¨Ubungen zu ” Analysis III“

Mathematisches Institut
der Universität Tübingen
WS 2015/16
28.01.2016
Blatt 13
Prof. Dr. Frank Loose,
Pirmin Vollert
Übungen zu Analysis III“
”
+
Aufgabe 1: Sei (X, d) ein metrischer Raum und s ∈ R+
0 . Für jedes δ ∈ R und jede Teilmenge
A ⊆ X definiert man zunächst
(
X
Hδs (A) := inf
diam(Cj )s : (Cj )j∈N ist eine Überdeckung von A
j∈N
)
und diam(Cj ) ≤ δ für alle j ∈ N
und dann Hs (A) := supδ>0 Hδs (A). Zeigen Sie, dass Hs ein äußeres Maß auf X ist.
Aufgabe 2: Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊆ X und definiere die Hausdorff-Dimension
von A durch
s
dimH (A) := inf{s ∈ R+
0 : H (A) = 0}.
Zeigen Sie für 0 ≤ s < t < ∞ die Implikationen
(i) Hs (A) < ∞ =⇒ Ht (A) = 0,
(ii) Ht (A) > 0 =⇒ Hs (A) = ∞.
s
Folgern Sie damit dimH (A) = sup{s ∈ R+
0 : H (A) = ∞}.
Aufgabe 3: Die Cantormenge C wird auf folgende Weise konstruiert: Im ersten Schritt nimmt
man aus C0 := [0, 1] das mittlere Drittel heraus,
C1 := C0 \ ( 13 , 23 ). Im zweiten Schritt nimmt
man aus den verbleibenden Intervallen 0, 13 und [ 32 , 1] wiederum das jeweils mittlere Drittel
heraus, C2 := [0, 19 ] ∪ [ 92 , 13 ] ∪ [ 23 , 79 ] ∪ [ 89 , 1]. Bei jedem weiteren Schritt nimmt man aus den
verbleibenden Intervallen jeweilsTwieder das mittlere Drittel heraus und erhält im n-ten Schritt
Cn . Schließlich setzt man C := n∈N Cn .
(a) Zeigen Sie, dass C eine Borelmenge und λ(C) = 0 ist.
(b) Zeigen Sie, dass C überabzählbar ist. (Hinweis: Man beschreibe alle Zahlen in [0, 1] im
triadischen System.)
Aufgabe 4: Sei C ⊆ R die Cantormenge und s :=
folgende Aussagen zeigen:
ln 2
.
ln 3
Beweisen Sie dimH (C) = s, indem Sie
(i) Hs (C) ≤ 1.
(ii) Sei 0 < δ < 31 und (Ji )m
i=1 eine endliche Überdeckung von C aus offenen Intervallen mit
diam(Ji ) ≤ δ für alle 1 ≤ i ≤ m. Dann gilt
m
1 X
≤
diam(Ji )s .
2
i=1
(Hinweis: Wählen für jedes 1 ≤ i ≤ m jeweils k(i) ∈ N mit 3−(k(i)+1) ≤ diam(Ji ) < 3−k(i) ,
definieren Sie k = max{k(1), . . . , k(m)} und überlegen Sie sich, wie viele Teilintervalle
von Ck das Intervall Ji höchstens schneiden kann.)
(iii) Es gilt
1
2
≤ Hs (C).
Abgabe von Aufgabe 1: Am Donnerstag, dem 4. Februar 2016, in der Vorlesung.