Protokoll in Informatik 25

Protokoll in Informatik 25.11.2010
Thema: Theorie der Turing-Maschine
Protokollantin: Tina Urbanek
MSS 13
*Akzeptor: einfachstes Mittel um Kellerautomat zu simulieren*
*These: Eine Turing-Maschine kann alles!*
Theorie der Turing-Maschine
a) Die Turing-These
1. Die Turing-Maschine ist ein Computer
{Turing-Maschine}≤{Computer}
Jede Turing-Maschine lässt sich am PC simulieren
*Ein Computer ist also mindestens so leistungsfähig wie eine Turing-Maschine*
2. Jeder Computer lässt sich auf eine Turing-Maschine reduzieren
{Computer}≤{Turing-Maschine}
 Endliches Alphabet
Der PC erkennt nur endlich viele Zeichen (ASCII)
 Beliebig großes (endliches) Speicherband
Das Turingband enthält beliebig viel Speicherplatz
 Optionen *Einträge am Pfeil*
–schreiben
Kommunikation
–lesen
–nach rechts
Befehle
–nach links
 Endliche Zustandsmenge
Endlich viele Programmschritte (Befehlszyklus, Prozessschritte)
 Eindeutige Überführungs-, Übergangsfunktion δ: z x X  Z
Eindeutige Festlegung des Folgezustands
3. Jeder (!) Algorithmus kann (im Prinzip) von einer Turing-Maschine
abgearbeitet werden.
4. Ergebnis: (Turing-These)
{Computer}={Turing-Maschine}
*Die Klasse der Turing-berechenbaren Funktionen ist genau die Klasse der
intuitiv berechenbaren Funktionen*
mehr dazu: hier
 Jeder Algorithmus lässt sich mit einer Turing-Maschine darstellen
 Jede intuitiv berechenbare Funktion ist eine Turing-berechenbare Funktion

Jeder Algorithmus ist eine Turing-Maschine
5. Umkehrschluss
Beweise für die Ausführbarkeit von Algorithmen:
ausführbar Turingmaschine existiert dazu
nicht ausführbar  es gibt keine Turingmaschine dazu
b) Abzählbarkeit
1. Definition
Eine unendliche Menge heißt abzählbar, wenn deren Elemente sich umkehrbar
eindeutig der Menge der natürlichen Zahlen zuordnen lassen, sonst heißt die
Menge überabzählbar
*****
12345
2. Beispiel:
*
ist abzählbar x = p/q; p,q 
Nenner (
1/1
1/2
1/3
1/4 . . . .
2/1
2/2
3/1
3/2
2/3
3/3
2/4.
. . .
3/4 .
. . .
)
Zähler ( )
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3. Satz: Die Menge der Turing-Maschine ist abzählbar
4. Beweis:
Die Turing-Maschine ist durch eine endliche Zeichenkette darstellbar:
Turing-Simulator 01:1R 0,...
 Die Menge aller Wörter über einem endlichen Alphabet ist abzählbar.
1 Buchstabe a....z
1....26
2 Buchstaben aa,ab......zz
1, 2........26²
.
.
.
n Buchstaben a...a,.......,z....z
1..................26n
Summe
1...26,27....27+26²....+r+1....r+26n +…
Ordnet jedem Wort endlicher Länge eine Nummer zu
Ergebnis:
- Die Menge der Turing-Maschinen entspricht der Menge endlicher
Wörter aus Befehls-Fünf-Tupeln
=> diese Menge ist abzählbar
*Beweisführung abgeschlossen*
HA: Recherche über Turing-These und Abzählbarkeit.