Stochastik, Sommersemester 2015
Prof. Dr. I. Veselić
Dr. C. Schumacher
Hausaufgabe 9
Abgabe am 12. 6. 2015 in der Übung
Aufgabe 1. Zeichnen Sie für die geometrische Verteilung die Verteilungsfunktion und die Quantiltransformation.
Aufgabe 2.
(a) Die Polya-Urne enthält zur Zeit n = 0 je eine rote und eine schwarze Kugel. Vor jedem Zeitpunkt
n = 1, 2, 3, . . . wird eine zufällig ausgewählte Kugel entnommen und zusammen mit einer neuen
Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. Sei Rn die Anzahl der roten Kugeln zur Zeit n.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
(n ≥ 0, 1 ≤ r ≤ n + 1 )
pn,r := P (Rn = r)
für n ∈ N.
(b) Die Hoppe-Urne enthält zum Zeitpunkt 1 eine schwarze Kugel. Wir ziehen zu jedem Zeitpunkt
n ∈ N eine Kugel aus der Urne und verfahren je nach Farbe der Kugel wie folgt. Erwischen wir
die schwarze Kugel, dann legen wir sie zusammen mit einer weiteren Kugel einer noch nicht in
der Urne vorhandenen Farbe zurück in die Urne. Falls wir eine farbige Kugel erwischen, legen wir
zwei Kugeln derselben Farbe in die Urne zurück. Anschließend wird natürlich jedesmal gründlich
gemischt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die schwarze Kugel unendlich oft gezogen?
Aufgabe 3. Martin und Fabian werfen abwechselnd ein Paar Würfel. Fabian gewinnt, wenn die Augensumme nach seinem Wurf 6 ergibt (und Martin nicht schon vorher gewonnen hat). Martin gewinnt,
wenn die Augensumme nach seinem Wurf 7 ergibt (und Fabian nicht schon vorher gewonnen hat).
Fabian beginnt das Spiel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fabian gewinnt?
Aufgabe 4. Seien (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine reellwertige Zufallsvariable. Die Verteilung von X ist das Bildmaß PX := P ◦ X −1 von X. Die gemeinsame Verteilung der
Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn : Ω → R ist die Verteilung des zufälligen Vektors (X1 , . . . , Xn ) : Ω → Rn ,
also ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Rn , B(Rn )).
(a) Seien X1 , . . . , Xn unabhängige reellwertige Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilungen bezüglich des Lebesgue-Maßes auf R:
∀B ∈ B(R) :
P(Xi ∈ B) =
Z
B
fXi (t) dt
(1 ≤ i ≤ n).
Zeigen Sie: Die gemeinsame Verteilung von X1 , . . . , Xn ist absolutstetig bezüglich des Lebesguemaßes auf Rn mit Dichte
n
f : Rn → R, f (t1 , . . . , tn ) =
Y
fXi (ti ).
i=1
(b) Umgekehrt seien X1 , . . . , Xn reellwertige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung absolutstetig mit einer Dichte in Produktform ist:
n
f : R → R,
f (t1 , . . . , tn ) =
n
Y
fi (ti ),
fi : R → [0, ∞) messbar.
i=1
Zeigen Sie: X1 , . . . , Xn sind unabhängig und die Verteilungen sind absolutstetig mit Dichten
fi
fXi = R
, 1 ≤ i ≤ n.
R fi (t) dt
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