Risikomanagement I - Vorlesung im WS 2007/2008 - Prof. Dr. Rainer Elschen Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Inhaltsübersicht h l b h 1. Überblick Finanzierungsforschung 2. Risikobegriffe 3. Wertpapierbewertung 3.1 3 1 3.2 3.3 3 3.4 3.5 3.6 3.7 Portfoliotheorie CAPM Empirische Tests CAPM-Erweiterungen C Faktorenmodell von Fama/French Modigliani-Miller - Arbitragegedanken und Unternehmenswert APT von Ross 4. Management von Wertpapierportfolios 4.1 4 1 Performancemessung auf Basis des CAPM 4.2 Varianz-Dekomposition und Index Tracking 4.3 Wertpapiermanagement und Shortfall-Risiko Prof. Dr. Rainer Elschen -2- Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Inhaltsübersicht h l b h 5. Derivatetheorie 5.1 Fundamentale Bewertungsansätze 5.2 Forwards und Futures 53 5.3 Bewertung unbedingter Terminkontrakte 5.4 Allgemeine Fair Value Bewertung Futures 5.5 Basisrisiko und Basishedging 5.6 Hedging mit Indexfutures 5.7 Optionen 5.8 p g Optionsstategien 5.9 Optionsbewertung 5.10 Delta- und Gammahedging 5 11 Impliziter Informationsgehalt aus Optionen 5.11 5.12 Stochastische Volatilität und Mean Reversion Prof. Dr. Rainer Elschen -3- Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Literaturübersicht b h (vorläufige ( l f Auswahl) hl) • Black, Bl k Fischer: Fi h Capital C it l M Market k tE Equilibrium ilib i with ith R Restricted t i t dB Borrowing i JJournall off B Business, i 1972 , 45 , 444-455. • Black, Fischer and Scholes, Myron: The Pricing of Options and Corporate Liabilities Journal of Political Economy, 1973, 81 , 637-654. • Breeden, Douglas T.: An Intertemporal Asset Pricing Model with Stochastic Consumption and investment opportunities, Journal of financial economics, 1979, 7, s. 265-296. • Breeden, Douglas T. and Litzenberger, Robert H.: Prices of State-contingent Claims Implicit in Option Prices Journal of Business, Business 1978 , 51 , 621-651. 621 651 • Breuer, Wolfgang/ Gürtler, Marc/ Schumacher, Frank: Portfoliomanagement, 1999. • Breuer, Wolfgang: Investition II: Entscheidungen bei Unsicherheit, 2. 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Prof. Dr. Rainer Elschen -6- Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 1 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen -7- Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 1 Überblick Finanzierungsforschung 1. Prof. Dr. Rainer Elschen -8- Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Finanzwirtschaftliche h f l h Forschungsfelder h f ld • Klassische Finanzierungslehre • Formenlehre • Projektorientierter Ansatz • Fi Finanzplanung l • Finanzanalyse • g Neoklassische Finanzierungslehre • Kapitaltheorie • Finanzchemie • Einwertige Ansätze unter Sicherheit • Neoinstitutionalismus Prof. Dr. Rainer Elschen -9- Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Gegenstand dd der Finanzierungsforschung f h (B) Kapitalgeber (A) Kapitalnehmer (A) Steuern Informationskosten Transaktionskosten (Bank-, Börsen-, Kontraktgebühren) Börsen (C) Marktzusammenhang Opportunitätskosten (durch weniger zukünftige Handlungsmöglichkeiten) Literaturhinweis: Perridon/Steiner, S. 16ff. Prof. Dr. Rainer Elschen - 10 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Neoklassik kl k als l Ausgangspunkt k d der Kapitalmarkttheorie l k h Annahme eines vollständigen und vollkommenen Kapitalmarktes • Löst das Problem präferenzabhängiger Bewertung • Ermöglicht getrennte Betrachtung von Investitions- und g g Finanzierungsentscheidungen ¾ („FISHER - SEPARATION“ ) Entwickelte Theorien: (1) Irrelevanzthesen von MODIGLIANI / MILLER (2) Portfoliotheorie von MARKOWITZ (3) CAPM von SHARPE / LINTNER / MOSSIN (4) APT von ROSS Prof. Dr. Rainer Elschen - 11 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Untersuchungszielsetzungen h l d der Kapitalmarkttheorie l k h Kapitalmarkttheorie erklärende Gleichgewichtstheorie gestaltende Kapitalkostentheorie Interpretation als Sekundärmarkt- oder Tauschmodell Interpretation als Primärmarkt- oder Finanzierungsmodell Ableitung von Gleichgewichtskursen und Gleichgewichtsrenditen bei Unsicherheit Ableitung von Kapitalkostensätzen und Kalkulationszinsfüßen bei Unsicherheit Quelle: Perridon/Steiner, S. 257 Prof. Dr. Rainer Elschen - 12 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Neoinstitutionalistische l h Finanzierungstheorie h Ausgangsfrage: Warum Institutionen (z.B. Banken) trotz der entstehenden Kosten? U sachen Ursachen: Marktunvollkommenheit, vor allem Informationsasymmetrie Folgen: • Moral Hazard – Probleme • Gefahr der Adverse Selection • Bildung von Institutionen zur Verringerung der y Informationsasymmetrie Prof. Dr. Rainer Elschen - 13 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 2 Risikobegriffe 2. Prof. Dr. Rainer Elschen - 14 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Grundlagen dl d des Risikomanagements k Risiko i.w.Sinn Risiko i.e.Sinn Ungewissheit Mischformen Risikobewertung Prof. Dr. Rainer Elschen - 15 - Risiko oidentifikation Risik kosteuerrung & Kontrollle Risikopolitik Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Entscheidung h d unter Risiko k Entscheidungsprinzip (Regelung, welche Parameter in die Entscheidung einfließen) Bayes - Prinzip Bernoulli - Prinzip • Ausschließliche Orientierung am erwarteten Ertrag einer Handlungsalternative • Entscheidungsregel: Wahl der Alternative mit dem höchsten erwarteten Ertrag • Einbezug von erwartetem Ertrag und damit verbundenem Risiko • Entscheidungsregel: Wahl der Alternative, die den höchsten erwarteten Nutzen [Erwartungsnutzen] stiftet ⇒ Minimalanforderung: subjektive Zustandswahrscheinlichkeiten für zukünftige, unsichere h Umweltlagen ll Prof. Dr. Rainer Elschen - 16 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Bernoulli ll - Prinzip Für jeden Entscheidungsträger existiert eine Nutzenfunktion, durch die alle möglichen Aktionen, Aktionen die durch erwarteten Ertrag und Risiko charakterisiert werden, in eine eindeutige Rangfolge gebracht werden können ª Steigendes Vermögen geht mit höherem Nutzen einher (Streng monoton wachsende Nutzenfunktion bzw. Nichtsättigungspostulat) ª Alle zukünftig möglichen Vermögensbeträge [W] sind in Nutzen-funktionen abbildbar (Stetigkeitsprinzip) ª Die Risikoeinstellung bestimmt, welcher Nutzenzuwachs mit zusätzlichen Ertragschancen empfunden wird. wird Demnach haben ª Risikoaverse Entscheider U ′′(W) eine konkave Nutzenfunktion r Ŵ = − > 0 U(W) ( ) U ′(W) ª Risikofreudige Entscheider eine konvexe Nutzenfunktion U ′′(W) r Ŵ = − < 0 U(W) U ′(W) ª Risikoneutrale Entscheider eine lineare Nutzenfunktion U ′′(W) r Ŵ = − =0 U(W) ′ U (W) ( ) W ( ) W W Prof. Dr. Rainer Elschen - 17 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikoaversion k im Bernoulli ll - Prinzip Nutze en Nutzenfunktion U(W) [ ( )] ~ E[U(W )] ~ E U WA B SÄ: A SÄ B SÄ: W1B W1A identischer Erwartungswert bei A und B ~ E[W] W2A W2B Ertrag W Grundmodell eines „rationalen“ Investors rel. risikoarme Handlung:A rel. risikoreiche Handlung: B Prof. Dr. Rainer Elschen • Der Erwartungsnutzen der risikoarmen Alternative A stiftet einen größeren Erwartungsnutzen als die risikoreiche Alternative B • Entsprechend ist die sichere Zahlung, die der risikobehafteten Alternative als gleichwertig eingestuft t ft wird i d [Sicherheitsäquivalent [Si h h it ä i l t SÄ], bei B geringer als bei A • Somit ist die geforderte Risikoprämie (E[W] (E[W]- SÄ) bei risikoreicheren Handlungen größer - 18 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 identischer Erwartungswert bei A und B N Nutzenfun nktion U(W W) Nutze en Risikopräferenz k f im Bernoulli ll - Prinzip SÄ: B SÄ: A [ ( )] [ ( )] ~ E U WB ~ E U WA Ertrag W W1B W1A ~ E[W] W2A W2B rel. risikoarme Handlung:A Grundmodell eines spekulativen Investors rel. risikoreiche Handlung: B Prof. Dr. Rainer Elschen • Der Erwartungsnutzen der risikoarmen Alternative A stiftet einen geringeren Erwartungsnutzen als die risikoreiche Alternative B • Entsprechend ist die sichere Zahlung, die der risikobehafteten Alternative als gleichwertig eingestuft t ft wird i d [Si [Sicherheitsäquivalent h h it ä i l t SÄ], bei B höher als bei A • Somit ist die geforderte Risikoprämie (E[W] (E[W]- SÄ) negativ, negativ der Betrag wächst mit steigendem Risiko - 19 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Nutze en Risikoneutralität k l im Bernoulli ll - Prinzip [ ( )] [ ( )] ~ ~ E U W A = E U WB identischer Erwartungswert bei A und B SÄ • Die Erwartungsnutzen der Alternativen A und B werden gleich hoch empfunden • Entsprechend gleicht das Sicherheitsäquivalent [SÄ] dem Erwartungswert zukünftiger Erträge • Die Risikoprämie beträgt = 0 • Lediglich Berücksichtigung des Erwartungswertes Ertrag W W1B W1A ~ E[W] W2A W2B rel. risikoarme Handlung:A Übereinstimmung mit BAYES - Prinzip rel. risikoreiche Handlung: B Prof. Dr. Rainer Elschen - 20 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikopräferenzfunktionen k f f k ⇒ Die Risikopräferenzfunktion transferiert den Risikonutzen in Abhängigkeit von erwartetem t t E t Ertrag μ und d erwartetem t t Ri ik σ Risiko ⇒ Die Menge aller μ/σ-Kombinationen, die den gleichen Nutzen stiften, lassen sich in Isonutzenfunktionen zusammenfassen μ μ μ Steigender Nutzenindex Steigender Nutzenindex Risikoaversion Prof. Dr. Rainer Elschen Steigender Nutzenindex Steigender Nutzenindex σ Risikoneutralität - 21 - σ Risikopräferenz σ Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikobegriffe – symmetrische Risikobegriffe Prof. Dr. Rainer Elschen - 22 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Markowitz k (1952, ( 9 2 1957): 9 ) Renditestreuung d • Standardabweichung als Risikomaß ( (mathematisch-technische th ti h t h i h D Definition) fi iti ) • Kritisch: Sowohl Abweichungen vom Erwartungswert nach oben als auch Abweichungen n h unten nach nten gehen in das d Risikomaß Ri ikom ß ein (symmetrische Definition) • Risikodefinition durch „Schwankungsempfinden“: Die Nutzen einbußen bei negativen Abweichungen dominieren die Nutzenvorteile durch positive Abweichungen • Saldo: Nutzennachteile durch Schwankung • Bei symmetrischen Verteilungen ist Semivarianz proportional zu Varianz und Standardabweichung Prof. Dr. Rainer Elschen - 23 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Markowitz k (1952, ( 9 2 1957): 9 ) Renditestreuung d • Symmetrische Verteilungen werden vollständig durch zwei Parameter (E (Erwartungswert; t t Standardabweichung) St d d b i h )b beschrieben h i b μ= n ∑ ri ⋅ wi WSK-Diichte i=1 2 σ = ∑ (ri − μ)2 ⋅ wi i=1 σ μ- σ Prof. Dr. Rainer Elschen n σ ⇒ σ = σ2 μ μ+σ - 24 - Renditeausprägungen Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikobegriffe – asymmetrische Risikobegriffe Prof. Dr. Rainer Elschen - 25 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Ausfallrisiko f ll k im Portfoliomanagement f l Roy (1952): • Risiko als Wahrscheinlichkeit von Verlusten (bei gebundenem Vermögen) • Verfehlung einer Zielrendite/Zielvorgabe: SHORT-FALL (Desaster) Vorgabe g ((Mindest-/Zielrendite) / ) ist die Rendite,, die ein Investor lediglich g mit marginaler Wahrscheinlichkeit α hinzunehmen bereit ist (NICHT: geringst mögliche Portfoliorendite!) • g einer „„Safety-First“ y Strategie: g Ableitung Zu gegebener Mindestrendite wird das Portfolio gewählt, das die geringste Verlustwahrscheinlichkeit aufweist Alternative Formulierung durch Kataoka (1963): • Nach Spezifikation einer Verlustwahrscheinlichkeit ist das Portfolio zu wählen, das die maximale Mindestrendite aufweist aufweist, das nur bei gegebener Wahrscheinlichkeit unterschritten wird Prof. Dr. Rainer Elschen - 26 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Ausfallrisiko: f ll k Implikationen lk d des Value l at Risk k ((VAR)) • X sei eine normalverteilte Zufallsvariable der Renditeausprägung eines Portfolios b bzw. eines i W Wertpapiers t i mit it x : → N(μ = 10,2 10 2 % ; σ = 20,6 20 6 %) ⇒ z = x -μ x − 0,102 = σ 0,206 0 206 Standardnormalverteilt mit z : → N(0;1) Wahrscheinlichkeit, dass eine Zielrendite von 0% unterschritten wird ist g gegeben g durch: ⎛ 0 − 0 ,102 ⎞ ⇒ P(x ≤ 0) = N⎜ ⎟ = N ( − 0 , 495 ) ⎠ ⎝ 0 ,206 WSK-Dichte = 1 − N ( 0 , 495 ) = 1 − 0 ,689 = 0 ,311 Mindestrendite, die mit Wahrscheinlichkeit α nicht unterschritten wird ( Wahrscheinlichkeit für eine negative Rendite beträgt α = 31,1% ) 1- α x Prof. Dr. Rainer Elschen μX Renditeausprägungen - 27 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 2 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 28 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3 Wertpapierbewertung 3. Prof. Dr. Rainer Elschen - 29 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3 1 Portfolio Theorie 3.1 Prof. Dr. Rainer Elschen - 30 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Portfolio f l – Selection-Theory S l h • Von Harry M. Markowitz [1952, 1957] entwickeltes Modell zur Erklärung und Gestaltung der Portefeuillebildung auf der Grundlage der Wertpapiermischung. • Explizite Abbildung der Substitutionsbeziehung von Risiko und Rendite einer Kapitalanlage • Grundlage sind durch Rationalität gekennzeichnete Investoren [charakterisiert durch Risikoaversion: Bernoulli-Prinzip der Erwartungsnutzenmaximierung] • Wenn sich der Erwartungsnutzen vollständig durch Erwartungswert und Streuung beschreiben läßt, präferieren Investoren Vermögensverteilungen mit höherem erwarteten Endvermögen und geringerer Streuung: risiko-/renditeeffiziente Portefeuilles Prof. Dr. Rainer Elschen - 31 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risiko-Ertrags-Kombinationen k b b bei Wertpapiermischung h • erwartete Rendite des Wertpapiers A: μA = • ∑ ri ⋅ wi i=1 Risiko des Wertpapiers A (Varianz der Renditeerwartung bzw. deren Standardabweichung): σ 2A • n = n ∑ (ri − μ A ) i=1 2 ⋅ wi ⇒ σ A = σ2A Erwartete Rendite aus dem Portfolio zweier Wertpapiere: μP = x A ⋅ μ A + xB ⋅ μB allgemein: Prof. Dr. Rainer Elschen μP = n ∑ xi ⋅ μi i=1 mit n ∑ xi i=1 - 32 - =1 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Portfoliorisiko f l k (Varianz ( der d Renditeerwartung) d ) σP2 = x2A ⋅ σ2A + xB2 ⋅ σB2 + 2 ⋅ x A ⋅ xB ⋅ cov AB = x2A ⋅ σ2A + xB2 ⋅ σB2 + 2 ⋅ x A ⋅ xB ⋅ σ A ⋅ σB ⋅ K AB allgemein: σP2 = n n ∑ ∑ xi ⋅ x j ⋅ covij i=1 j=1 E k s: Exkurs • ri Kovarianz der Wertpapiere A und B: cov AB = • n ∑ (rAi i=1 wi − μ A ) ⋅ (rBi − μB ) ⋅ wi K covAB Korrelationskoeffizient bezüglich der Wertpapiere A und B: K AB xA/B cov AB = σ A ⋅ σB Prof. Dr. Rainer Elschen - 33 - = Rendite des Wertpapiers bei Eintritt des Umweltzustandes i = Eintrittswahrscheinlichkeit des Umweltzustandes i = Korrelationskoeffizient = Kovarianz der erwarteten Renditen der Wertpapiere p p A und B = Anteil des Wertpapiers A bzw. B am Gesamtportefeuille Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Wahrscheinlichkeitsverteilung h h l hk l ffür zwei Wertpapiere μ σ 30 10 20 35 15 20 Ui U1 U2 U3 U4 wi 0,3 0,3 0,3 0,3 rAi -10 -10 30 rBi -5 -5 35 Ui = Umweltzustand i wi = Eintrittswahrscheinlichkeit des Umweltzustandes i rAi/rBi = Rendite des Wertpapiers A/B bei Eintritt des Umweltzustandes i Prof. Dr. Rainer Elschen - 34 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Dominierende d Portfolios f l in der d Portfolio f l Selektion S l k μ Maximierung der erwarteten Rendite bei gegebenem Risiko μi Minimierung des Risikos bei gegebenem Erwartungswert σi Prof. Dr. Rainer Elschen - 35 - σ Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Ertrags-Risikokombinationen bei Mischung der Wertpapiere A und B xA xB 0 1 0,1 µP σP σ 2P 15 20 400 0,9 14,5 19 364 02 0,2 08 0,8 14 18 3 18,3 336 0,3 0,7 13,5 17,8 316 0,4 0,6 13 17,4 304 0,5 0,5 12,5 17,3 300 0,6 0,4 12 17,4 304 07 0,7 03 0,3 11 5 11,5 17 8 17,8 316 0,8 0,2 11 18,3 336 0,9 0,1 10,5 19 364 1 0 10 20 400 µ 15 14 13 12 11 10 17 Annahme: K= K 0,5 05 Prof. Dr. Rainer Elschen - 36 - 18 19 20 σ Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Grundtypen d von Portefeuillelinien f ll l μ B K = -1 K=0 K=1 A σ 0 • Punkt A bzw. Punkt B: ausschließliche Anlage in Wertpapier A bzw. B • Abhängigkeit des Verlaufs der Portefeuillelinien (Rendite-Risiko-Kombinationen) von der Korrelation zwischen den betrachteten Wertpapieren – bei vollständig positiv korrelierten Wertpapieren (K=1) ist kein Diversifikationseffekt zu erzielen Prof. Dr. Rainer Elschen - 37 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Portefeuillelinien f ll l ffür mehrere h Wertpapiere ((1)) Beispiel: • Durch Kombination von mehreren Wertpapieren lässt sich der effiziente Bereich der Wertpapiere ausweiten • Wertpapier p p A: Erwartungswert: g 12 %;; Varianz: 20 % • Wertpapier B: Erwartungswert: 13 %; Varianz: 40 % • Wertpapier C: Erwartungswert: 15% ; Varianz: 30% • Als Korrelation zwischen den Wertpapieren sei einheitlich der Wert 0,5 angenommen Prof. Dr. Rainer Elschen - 38 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Portefeuillelinien f ll l ffür mehrere h Wertpapiere (2) 0,155 Wertpapier C 0,15 Erwartete e Rendite 0,145 0,14 0,135 Wertpapier B 0,13 0,125 Wertpapier A 0,12 0,115 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 Standardabweichung Zwei Wertpapiere Prof. Dr. Rainer Elschen Drei Wertpapiere Papier A - 39 - Papier B Papier C AB BC Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Portefeuillelinien f ll l ffür mehrere h Wertpapiere (3) Ergebnis: • Die Hinzunahme von Wertpapieren, die isoliert betrachtet deutlich dominiert werden, trägt dazu bei, den effizienten Bereich der Wertpapiere auszuweiten • Durch Wertpapiermischung p p g lässt sich das effektive Portfoliorisiko erheblich gegenüber dem durchschnittlichen Risiko mindern • Der effiziente Bereich von Wertpapieranlagen beginnt vom Portfolio mit der minimalen Varianz und erstreckt sich bis zum Portfolio mit der maximalen Varianz Prof. Dr. Rainer Elschen - 40 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 O Optimales l Aktienportefeuille k f ll μ Optimale Portfolioallokation: I3 I2 I1 C Bei der Portfolio Selection ist die optimale Wahl des Investitionsportfolios Q gekennzeichnet durch: (1) Tangente der Isonutzenkurve mit höchstem noch erlangbarem Nutzenindex ((Risikoaversion)) an effizientem Bereich der Wertpapiermischung Q (2) Identität der relativen Risikoaverionsparameter mit der Steigung der Effizienzlinie in Q E σ Prof. Dr. Rainer Elschen - 41 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3 2 Capital Asset Pricing Model (CAPM) 3.2 Prof. Dr. Rainer Elschen - 42 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Grundgedanken d d k und d Annahmen h d des C Capitall Asset Pricing Model d l → Sharpe (1964)/ Lintner (1965)/ Mossin (1966): CAPM Erweiterung der Portefeuilletheorie durch Einbeziehung des Kapitalmarkts • Einführung einer risikolosen Kapitalmarktanlagemöglichkeit • Annahme homogener Erwartungen bzgl. der Wertpapierrenditen • Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes – Fisher Separation (Trennbarkeit von Investitions- und Finanzierungsentscheidungen) – Tobin Separation (Trennbarkeit von Risikoneigung des Anlegers und Portefeuillestruktur) • Im Kapitalmarktgleichgewicht hält jeder Anleger ein in der Struktur gleiches Portefeuille • Vollständige Informationseffizienz Prof. Dr. Rainer Elschen - 43 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Annahmen h des d CAPM C im Einzelnen l • Normalverteilung der Wertpapierrenditen • risikoscheue Marktteilnehmer • homogene Erwartungen der Marktteilnehmer bzgl. der Wertpapierrenditen • risikolose i ikolo e und nd uneingeschränkte neinge h änkte K Kapitalanlagepit l nl ge und nd K Kapitalaufnahmemöglichkeit pit l fn hmemögli hkeit • fixe Menge an umlaufenden risikobehafteten Wertpapieren • beliebige g Teilbarkeit der Wertpapiere p p • keine Transaktionskosten und keine Beeinträchtigung des Wertpapierhandels durch sonstige Marktunvollkommenheiten • strenge Informationseffizienz • Planungshorizont von einer Periode Prof. Dr. Rainer Elschen - 44 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Informationseffizienz am Kapitalmarkt Originäre Formulierung der Informationseffizienz: • schwache Informationseffizienz Sämtliche Informationen über vergangene Kursentwicklungen sind im aktuellen Marktpreis berücksichtigt. Durch Einsatz der technischen Wertpapieranalyse sind keine Überrenditen Übe enditen erzielbar. e ielb • halb-strenge Informationseffizienz Sämtliche öffentlich verfügbaren Informationen sind im aktuellen Marktpreis berücksichtigt; dies schließt Informationen über die vergangene Kursentwicklung und somit die Anforderungen der schwachen Informationseffizienz mit ein. Durch den Einsatz der fundamentalen Wertpapieranalyse sind keine Überrenditen erzielbar. • strenge Informationseffizienz Alle, also auch nicht öffentlich zugängliche Informationen (Insiderinformationen) sind im aktuellen Marktpreis p berücksichtigt. g Literaturhinweis: Perridon/Steiner Perridon/Steiner, S S. 258 ff. ff Prof. Dr. Rainer Elschen - 45 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Kapitalmarktlinie l kl b bei G Gültigkeit l k d der Prämissen μ Kapitalmarktlinie (Effizienzgerade) μm μm-if if Effizienzkurve riskanter Portefeuilles Für die Kapitalmarktlinie gilt: σm σ σm μ = if + ⇒ Die Renditen-Austauschrate für eine Risikoeinheit beträgt somit μ μm if σ σm = = = = = μm - if ⋅σ σm μm − if σm Erwartungswert der Portefeuillerendite Erwartungswert der Rendite des Marktportefeuilles Risikoloser Marktzinsfuß Standardabweichung der erwarteten Portefeuillerendite Standardabweichung der erwarteten Rendite des Marktportefeuilles Prof. Dr. Rainer Elschen - 46 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Die Wertpapierlinie l Isolierung des anteiligen Renditeerwartungswertes μi und des Risikoanteils Wertpapiers i aus dem Gesamtportefeuille. Für den Renditeerwartungswert des Portefeuilles gilt μ = a ⋅ μi + (1 − a) ⋅ μm ⇒ ∂μ = μi − μm ∂a Im Kapitalmarktgleichgewicht gilt a = 0 ⇒ ∂μ ∂a a= 0 = μi − μ m a = Anteil des Wertpapiers i am Portefeuille Prof. Dr. Rainer Elschen - 47 - des Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Die Wertpapierlinie l Für das Risiko des Portefeuilles gilt: σ = (a2 σi2 + (1-a)2 σm2 + 2a(1-a) covim)1/2 [ ∂σ 1 2 2 2 = a ⋅ σi + (1 − a) ⋅ σ2m + 2a(1 − a) covim ∂a 2 [ ] − 1 2 ⋅ 2aσi2 − 2σ2m + 2aσ2m + 2 covim − 4a ⋅ covim ] Da im Kapitalmarktgleichgewicht a = 0 gilt, folgt: ∂σ ∂a 1 2 ) = (σ m 2 a=0 Prof. Dr. Rainer Elschen 1 2 ( 2 cov im σ m 2σ + 2 cov im ) = σm 2 m - 48 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Die Wertpapierlinie l Hieraus ergibt sich das marginale Rendite-Risiko-Austauschverhältnis: ∂μ μi − μm ∂a = ∂σ ((covim − σ 2m ) ∂a a=0 σm Im Gleichgewicht stimmt das Rendite Rendite-Risiko-Austauschverhältnis Risiko Austauschverhältnis für alle gehandelten Wertpapiere mit der Steigung der Kapitalmarktlinie überein, es gilt dann: μm − if μi − μm = σm (covim − σ 2m ) σm => Prof. Dr. Rainer Elschen μi = if + [μm − if ] ⋅ covim σ 2m - 49 - Wertpapierlinie Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Die Wertpapierlinie l Wertpapierlinie = Security Market Line μm if ßi ßm=1 Für die relativierte Risikohöhe des Wertpapiers i (ßi) gilt: covim σi ^ βi = = K ⋅ = relativierte Risikohöhe des Wertpapiers i im 2 σm => σm μi = if + [μm − if ] ⋅ βi ^ Wertpapierlinie = Literaturhinweis: Perridon / Steiner, S. 263ff. Prof. Dr. Rainer Elschen - 50 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Bedeutung d d des systematischen h Risikos k (1) ( ) • Die Risikoprämie wird nur für das marktbezogene Risiko (systematisches Risiko) gezahlt: hlt – Verhalten der Tarifpartner – steuerpolitische Maßnahmen – Konjunkturentwicklung k kl – Wechselkursentwicklung – u. a. m. • Das unsystematische Risiko (unternehmensspezifisches Risiko) läßt sich mit zunehmender Anzahl von Wertpapieren (nahezu) eliminieren Prof. Dr. Rainer Elschen - 51 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Bedeutung d d des systematischen h Risikos k (2) σ unsystematisches y Risiko Gesamtrisiko systematisches Risiko Anzahl Wertpapiere • Beispiele für unsystematische Risiken: – Bonitätsrisiken der Schuldner des Unternehmens – neue Produkte von Konkurrenten – Ableben der Vorstandsvorsitzenden – Risiko der Nichtvermietbarkeit (bei Immobiliengesellschaften) Prof. Dr. Rainer Elschen - 52 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Modell-Kritik d ll k • PRO: große theoretische Bedeutung als in sich geschlossenes Gl i h Gleichgewichtsmodell i ht d ll • CONTRA: Problem der Datenbeschaffung, jedoch Schätzung der relevanten Kennzahlen (σ, K, cov, ß) aus Vergangenheitswerten ( iehe Marktmodell) (siehe M ktmodell) oder ode durch d h Fundamentalanalyse F nd ment l n l e Prof. Dr. Rainer Elschen - 53 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Problematische bl h Prämissen • kein vollkommener Kapitalmarkt (mangelnde Informationseffizienz, T Transaktionskosten) kti k t ) • keine homogenen Erwartungen (unterschiedliche Erwartungen führen zu unterschiedlichen Portefeuillestrukturen) • kein Handel im Gleichgewicht bei homogenen Erwartungen • einperiodische Betrachtung unterstellt konstante Einflussgrößen ((z.B. ß-Faktor in Realität nicht konstant)) • Normalverteilung der Renditen in der Realität fraglich • empirische Tests können Ergebnisse des CAPM nicht eindeutig bestätigen (z B Problem der Bestimmung des Marktportefeuilles, (z.B. Marktportefeuilles Ersatz: Marktindizes, aber unvollständig) • lediglich eindimensionale Risikomessung (ß-Faktoren) Prof. Dr. Rainer Elschen - 54 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Durchschnittsrenditen h h d (USA) ( S ) 1926-94 926 9 Portfolio Average annuall nominal return Average annuall real return Average A risk premium Std. d dev. nominal returns Small-firm stocks 17 4% 17.4% 13 9% 13.9% 13 7% 13.7% 34 3% 34.3% Common stocks (S&P 500) 12.4 9.0 8.6 20.2 Corporate bonds 5.7 2.7 2.0 8.3 Long-term govt bonds 5.2 2.1 1.4 8.7 Treasury bills 3.7 0.6 0 3.3 Quelle: Brealey/Myers, chapter 7, Foliensammlung Prof. Dr. Rainer Elschen - 55 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Gesamtrisiko k (S (Standardabweichung) d d b h ) von US-Aktien, S k 1989 989 - 1994 99 Stock Standard deviation Stock Standard deviation AT&T 21.4% Exxon 12.1% Biogen 51.5 Ford Motor 28.0 Bristol-Myers Squibb 18.6 General Electric 19.6 Coca Cola 21.6 McDonald’s 21.7 Compaq 43.5 Microsoft 53.6 Quelle: Brealey/Myers, chapter 7, Foliensammlung Prof. Dr. Rainer Elschen - 56 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Marktrisiko k k (Beta) ( ) von US-Aktien S k 1989 989 - 1994 99 Stock Beta Stock Beta AT&T Biogen Bristol Myers Squibb Coca Cola Compaq .92 2.20 .97 97 1.12 1.18 Exxon Ford Motor Co. General Electric McDonald’s Microsoft .51 1.12 1 22 1.22 1.07 1.23 Prof. Dr. Rainer Elschen - 57 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3 3 Empirische Tests des CAPM 3.3 Prof. Dr. Rainer Elschen - 58 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Black/Jensen/Scholes l k/ /S h l ((1972) 9 2) Test • Vergleich der hypothetischen CAPM Wertpapierlinie mit der empirischen W t Wertpapierlinie i li i • Portfolios mit einem Beta < 1 wiesen vergleichsweise zu große Renditen aus • Portfolios mit einem Beta > 1 wiesen vergleichsweise g zu geringe g g Renditen aus • Empirische Kapitalmarktlinie fällt im Vergleich wesentlich flacher aus • Grundlage zum ZERO-BETA-CAPM rf M βP < 1 βP > 1 βP = 1 Prof. Dr. Rainer Elschen βP - 59 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Fama/McBeth / h (1973) ( 9 3) Test auff Gültigkeit G l k d des C CAPM ((1)) • Hypothese der Markteffizienz kann nicht unmittelbar getestet werden • Umweg über CAPM • Für das nicht beobachtbare Marktportfolio wird oft ein Index als Proxy benutzt • Z ei t fige Vo Zweistufiges Vorgehen: gehen 1. Stufe: Betawerte schätzen mittels linearer Regression 2. Stufe: Portfoliorenditen gegen Betawerte als exogene Variablen regressieren (daneben ist die Aufnahme weiterer Variablen Vk möglich) rP,t = γ0 + γ1 ⋅ βP,t + • K ∑ γk ⋅ Vk,t + uP,t k =2 Bei Gültigkeit des CAPM gilt: γ0 ≅ risikolosen Verzinsung γk ≈ 0;k ∈ {2;....;K} E(uP, P t) = 0 Prof. Dr. Rainer Elschen γ1 ≅ durchschnittliche Marktrisikoprämie andere Faktoren haben keinen systematischen Einfluss Portfolioresiduen sind durchschnittlich gleich Null - 60 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Fama/McBeth / h (1973) ( 9 3) Test auff Gültigkeit G l k des d CAPM C (2) • Empirische Faktoren die der Gültigkeit des CAPM entgegensprechen: – KGV: Basu 1977 – Größeneffekt: Banz (1981) – Dividendenrendite (Fama/French) – Day-of-the-Week Effekt/ Saisonalitäten Prof. Dr. Rainer Elschen - 61 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Empirische h Relevanz l d des C CAPM • Diese „Bewertungsanomalien“ haben sich in empirischen Tests als systematische (d h nicht (d.h. i ht nur zufällige) fälli ) Abweichungen Ab i h der d tatsächlichen t t ä hli h Renditen R dit von den d CAPM Renditeerwartungen erwiesen. Neben dem Betafaktor wurden noch weitere Einflussfaktoren ausgemacht: – Size Effekt: Kleinkapitalisierte Firmen (small caps) weisen positive Renditen gegenüber hochkapitalisierten Unternehmen auf. Damit wird durch die Marktkapitalisierung [Market Equity = Aktienkurs · Anzahl der Aktien] der Unternehmensgröße Rechnung getragen (Banz 1981) – Value Effekt: Firmen mit kleinen Kurs-Gewinn-Verhältnissen (Price Earning Ratios) haben höhere Renditen (Basu 1977) – Buchwert-Marktwert-Verhältnis (Book-to-Market-Equity): Als Indikator für das Konkursrisiko werden mit höheren Book-to-Market Verhältnissen höhere Renditen als Risikoprämie gezahlt (Fama/French 1992) Prof. Dr. Rainer Elschen - 62 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 3 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 63 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3 4 Erweiterungen des CAPM 3.4 Prof. Dr. Rainer Elschen - 64 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Black l k ((1972): 9 2) Zero-Beta-CAPM C • Ermittlung der Marktportfolios ohne risikolose Verzinsung (j d Investor (jeder I t wählt ählt unabhängig bhä i ein i effizientes ffi i t Portfolio P tf li als l Referenzportfolio) R f tf li ) • Summe aller individuellen Portfolios ergibt wiederum ein effizientes Portfolio M • Tangente g an M wird als Kapitalmarktlinie p interpretiert p • Für ein verschwindendes Risiko wird eine Renditeerwartung • Ist dieses Portfolio mit M unkorreliert, gilt βZ =0 μp μp M M P P μZ μZ σZ ≈ 0 Z postuliert σM Prof. Dr. Rainer Elschen βZ ≈ 0 βP - 65 - βM = 1 βP Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Definition f Zero-Beta-Portfolio f l Z • Portfolio mit der geringsten Renditestreuung, das mit dem Marktportfolio unkorreliert k li t iistt • Black-Version des CAPM kann auch für den empirisch relevanten Fall verwendet werden, wenn Soll/Haben-Zinsdifferenzen oder Kapitalanlage-/Verschuldungsrestriktionen e t iktionen existieren e i tie en μi = μZ + (μM − μZ ) ⋅ βi μZ : Renditeerwartung des Zero-Beta Portfolios (βZ=0) μM : Renditeerwartung des Marktportfolios βi : Prof. Dr. Rainer Elschen Spezifischer Betafaktor - 66 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S Single-Index-Modell l d d ll (Sh (Sharpe)) ((1)) Unterstellung: • Wertpapiere/Portfolios haben genau einen Faktor gemeinsam; z.B. Benchmark (Index), keine Relevanz weiterer Faktoren • Als Folge g sind die Residuen untereinander unkorreliert (unabhängig) ( g g) ri,t = ai + FIndex,t ⋅ bi + εi,t mit: Korr(εi,t ; ε j,t ) = 0 ; i ≠ j ; t ∈ T Die Bestimmung der Korrelation zweier Einzelanlagen ergibt sich dann aus: COV(ri,t ;rj,t ) = Cov(ai + FIndex,t ⋅ bi + εi,t ; aj + FIndex,t ⋅ b j + ε j,t ) = bi ⋅ b j ⋅ Var(FIndex,t ) Prof. Dr. Rainer Elschen - 67 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S Single-Index-Modell l d d ll (Sh (Sharpe)) (2) • Faktorsensitivitäten „erzeugen“ die Korrelationsstruktur • Erleichterte Schätzung der Korrelation von n Einzelanlagen • Bei Portfolio-Selection und CAPM wären 0,5·n·(n-1) Kovarianzen zu schätzen • Beim Single-Index-Modell Single Inde Modell erzeugen e e gen n Faktorsensitivitäten F kto en iti itäten alle lle relevanten ele nten Korrelationsbeziehungen • Nicht lediglich Schätzvereinfachung, sondern auch Erhöhung der Schätzgenauigkeit 2 ⎡ σ r1 Cov(r2;r1 ) Cov(r3;r1 ) Cov(r4;r1 )⎤ ⎢ ⎥ 2 Cov(r ;r ) σ Cov(r ;r ) Cov(r ;r ) 2 1 r2 3 2 4 2 ⎥ Var/Kovar - Matrix = ⎢ 2 ⎢Cov(r3;r1 ) Cov(r3;r2 ) σ r3 Cov(r4;r3 )⎥ ⎢ ⎥ 2 Cov(r ;r ) Cov(r ;r ) Cov(r ;r ) σ ⎢⎣ ⎥⎦ 4 1 4 2 4 3 r4 n ⋅ (n - 1) Kovarianze o a a en 2 Prof. Dr. Rainer Elschen - 68 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C ((1)) • Grundgedanke des Multi-Beta-CAPM: Z hl i h Ei Zahlreiche Einflussfaktoren fl f kt erfordern f d eine i diff differenziertere i t Risikobetrachtung Ri ik b t ht als l es die eindimensionale Risikobetrachtung des traditionellen CAPM zuläßt. – empirischer Nachweis zahlreicher Einflussfaktoren – Aufspaltung des Beta-Faktors Beta Faktors ßi (Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem Marktportefeuille) in eine beliebige Anzahl von Risikomaßen ßip , die die relativierte Risikohöhe (Sensitivität) des Wertpapiers i gegenüber dem Teilportefeuille p angeben – Interpretation der Teilportefeuilles als Einflussfaktoren und somit Interpretation des Multi-Beta-CAPM als Mehrfaktorenmodell – Anmerkung: Die Interpretation als Mehrfaktorenmodell ist für die Ableitung des MultiBeta-CAPM nicht zwingend notwendig • Annahmen und Implikationen: – perfekte Korrelation der einzelnen Teilportefeuilles mit dem jeweils zu simulierenden Einflussfaktor (bei Interpretation des Multi-Beta-CAPM als Mehrfaktorenmodell) – Die ein einzelnen elnen Fakto Faktoren en weisen eisen untereinander nte einande eine Korrelation Ko elation von on N Null ll auf a f – vollständige Diversifikation des Marktportefeuilles – jedes Wertpapier kann in beliebig vielen Teilportefeuilles enthalten sein – D Das Marktportefeuille M kt t f ill wird i d aus d den Teilportefeuilles T il t f ill gebildet bild t b bzw. setzt t t sich i h aus diesen di zusammen Prof. Dr. Rainer Elschen - 69 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C (2) 1. Formale Ableitung: Aufspaltung der Rendite des Marktportefeuilles: Rm = P ∑ wp ⋅ Rp p =1 mit: Rm : Rendite des Marktportefeuilles Rp : Rendite des Teilportefeuilles p wpm : Anteil des Portefeuilles p am Gesamtwert des Marktportefeuilles Prof. Dr. Rainer Elschen - 70 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C (3) Aufspaltung der Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem Marktportefeuille m: βim P ⎛ ⎞ ⎜ cov R i; ∑ wpm ⋅ R p ⎟ ⎜ ⎟ p =1 ⎝ ⎠ = = var(R m ) P ∑ wpm ⋅ cov(Ri;Rp ) p =1 var(R m ) P ∑ wpm ⋅ cov(Ri;Rp ) = Prof. Dr. Rainer Elschen p =1 var(R m ) ⋅ var(Rp ) var(Rp ) = - 71 - P ∑ var(Rp ) p =1 var(R m ) ⋅ wpm ⋅ cov(R i;R p ) var(Rp ) Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C ((4)) somit gilt: βim = ⎛ var(Rp ) m⎞ ⎜ ⋅ w ∑ ⎜ var(R ) p ⎟⎟ ⋅ βip m ⎠ p =1 ⎝ mit: P βip = cov(R i;R p ) var(Rp ) Für die CAPM Bewertungsgleichung g g g folgt g daraus: ⎞ ⎛ var(Rp ) E(Ri ) = R f + [E(R m ) − R f ] ⋅ ∑ ⎜⎜ ⋅ wpm ⎟⎟ ⋅ βip ⎠ p =1 ⎝ var(R m ) P Prof. Dr. Rainer Elschen - 72 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C ((5)) 2. Ableitung des Mehrfaktorenmodells (ökonomische Interpretation): Rendite des Wertpapiers i: R i = E(Ri ) + K ∑ bik ⋅ fk + εi k =1 Rendite des Marktportefeuilles p m: R m = E(R m ) + mit: bik bmk xim fk εi Prof. Dr. Rainer Elschen K N k =1 i =1 ∑ bmk ⋅ fk + ∑ xim ⋅ εi : Sensitivität der Wertpapierrendite gegenüber Faktor k : Sensitivität der Marktrendite gegenüber Faktor k bzw. durchschnittliche Sensitivität der einzelnen Wertpapiere : Anteil des Wertpapiers i am Gesamtwert des Marktportefeuille : Faktor k : stochastische Komponente, E(εi) = 0 - 73 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C (6) • Die Rendite des Wertpapiers i setzt sich aus der erwarteten Rendite und einer unerwarteten t t R Renditekomponente dit k t zusammen. Diese unerwartete Renditekomponente ergibt sich aus der Summe der Risikoprämien, die aus den verschiedenen Einflussfaktoren und der Sensitivität p p ig gegenüber g diesen Faktoren resultieren. des Wertpapiers • Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem aggregierten Einflussfaktor (repräsentiert durch das Marktportefeuille) : βim Prof. Dr. Rainer Elschen K K N ⎛ ⎞ cov⎜⎜ E(R i ) + ∑ bik ⋅ fk + εi ; E(R m ) + ∑ bmk ⋅ fk + ∑ xim ⋅ εi ⎟⎟ k =1 k =1 i =1 ⎝ ⎠ = var(R ( m) - 74 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C ((7)) Daraus folgt: βim = mit: K ⎞ ⎛ var(fk ) ⎜ b ⋅ ∑ ⎜ var(R ) mk ⎟⎟ ⋅ bik ⎠ m k =1 ⎝ βik = bmk cov(R i; fk ) var(fk ) cov(R m; fk ) = = var(fk ) N ∑ xim ⋅ bik i =1 Es gilt somit: βim mit: Prof. Dr. Rainer Elschen K ⎛ var(fk ) ⎞ = ∑ ⎜⎜ ⋅ bmk ⎟⎟ ⋅ bik = ⎠ k =1 ⎝ var(R m ) p=k ; P=K - 75 - a ( p) ⎛ var(R m⎞ ⎜ ⋅ w ∑ ⎜ var(R ) p ⎟⎟ ⋅ βip m ⎠ p =1 ⎝ P Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C (8) • Die Renditeerwartung des Teilportefeuilles E(Rp) ist somit durch den Einflussfaktor fk (z.B. (z B Zinsniveau ) determiniert. determiniert • Der Anteil wpm des Teilportefeuilles am Marktportefeuille m entspricht der Sensitivität der Marktrendite Rm gegenüber dem durch das Teilportefeuille p Einflussfaktor k. repräsentierten • Für die Bewertungsgleichung im Multi-Beta-CAPM folgt dann: E(Ri ) = R f + mit: Prof. Dr. Rainer Elschen K ∑ [E(Rm ) − R f ] ⋅ βf k k =1 β fk = cov(fk ;R m ) var(R m ) - 76 - ⋅ bik Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C (9) • Es ergibt sich eine weitere Darstellungsvariante für das Multi-Beta-CAPM, in der d CAPM B das Beta t als l F Funktion kti seiner i Sensitivität S iti ität gegenüber üb den d K Faktoren F kt beschrieben wird: E(R ( i ) = R f + [E(R ( m ) − R f ] ⋅ βim mit: Prof. Dr. Rainer Elschen βim = K ∑ βf k =1 k - 77 - ⋅ bik Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Multi-Beta-CAPM l C ((10) 0) • Legende der verwendeten Symbole: bik bmk βfk xim fk εi Rm Rp Rf w pm p k i : Sensitivität der Wertpapierrendite gegenüber Faktor k : Sensitivität der Marktrendite gegenüber Faktor k bzw. durchschnittliche Sensitivität der einzelnen Wertpapiere : Beta B t des d Faktors F kt k auff das d Marktportefeuille M kt t f ill : Anteil des Wertpapiers i am Gesamtwert des Marktportefeuille : Faktor k : stochastische Komponente, p , E(ε ( i) = 0 : Rendite des Marktportefeuilles : Rendite des Teilportefeuilles p : Risikoloser Zins : Anteil des Portefeuilles p am Gesamtwert des Marktportefeuilles : Laufindex für Teilportefeuilles p = 1....P : Laufindex für Einflussfaktoren k = 1....K p p i = 1....N : Laufindex für Wertpapiere Prof. Dr. Rainer Elschen - 78 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Intertemporall C CAPM von Merton ((1973) 9 3) und d Breeden d ((1979) 9 9) ((1)) • Erweiterung des CAPM auf mehrperiodige Anwendung • Bei mehrperiodiger Betrachtung müssen Investoren nicht nur Investitionsentscheidungen treffen, sondern auch Konsumentscheidungen • Beim ICAPM hängen g die zukünftigen g Preise von Gütern,, Wertpapieren, p p , Dividenden, zukünftigen Arbeitseinkommen etc. von unsicheren Zustandsvariablen ab • Diese Variablen repräsentieren p Risiken,, denen die Anleger g bei mehrperiodigen p g Entscheidungssituationen gegenüberstehen • Absicherung des Risikos erfolgt durch das Halten von sog. Hedging-Portfolios • Das Gesamtportfolio setzt sich aus einer risikolosen Komponente, Komponente dem Marktportfolio und K Hedgingportfolios zusammen • Daher werden neben dem Marktportfolio auch K Risiken gegenüber den Zustandsvariablen bewertet Prof. Dr. Rainer Elschen - 79 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Intertemporall C CAPM von Merton ((1973) 9 3) und d Breeden d ((1979) 9 9) (2) • Die erwartete Aktienrendite folgt aus: μi = rf + (μM − rf ) ⋅ βi.M + K ∑ (μk − rf ) ⋅ βi.k k =1 • Neben dem bekannten Betafaktor werden die Sensitivitäten gegenüber den Renditen der K Hedging-Portfolios bewertet • Empirisch stimmt das ICAPM mit dem Multi-Beta-CAPM überein • Breeden (1979) fasst das ICAPM wie folgt zusammen: μi − rf = (μC − rf ) ⋅ βi.C • μC gibt die erwartete Rendite eines Portfolios wieder, das eine perfekte K Korrelation l ti mit it der d W Wachstumsrate h t t C des d realen l aggregierten i t Konsums K aufweist f i t • βi,C ist entsprechend die Renditesensitivität mit der Risikoprämie Prof. Dr. Rainer Elschen - 80 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3 5 Faktorenmodell von Fama/French 3.5 Prof. Dr. Rainer Elschen - 81 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Fama und d French‘s h‘ 3-Faktorenmodell 3 k d ll ((1)) • empirisch führt das traditionelle CAPM zu unbefriedigenden Ergebnissen • Wertpapierrenditen hängen nicht nur vom Marktportefeuille (bzw. stellvertretend von Marktindizes), sondern von weiteren Faktoren ab – bestimmte Einflussfaktoren sind im Betafaktor nicht bzw. unzureichend enthalten – Einbeziehung weiterer Risikomaße in die Bewertung ri A: Ungleichgewicht im CAPM / Gleichgewicht im 3-Faktorenmodell •A •B B: Gleichgewicht im CAPM ßi Prof. Dr. Rainer Elschen - 82 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Fama und d French‘s h‘ 3-Faktorenmodell 3 k d ll (2) • Diese „Bewertungsanomalien“ haben sich in empirischen Tests als systematische (d h nicht (d.h. i ht nur zufällige) fälli ) Abweichungen Ab i h der d tatsächlichen t t ä hli h Renditen R dit von den d CAPM Renditeerwartungen erwiesen. Neben dem Betafaktor wurden noch weitere Einflussfaktoren ausgemacht: – Size Effekt – Value Effekt – Buchwert-Marktwert-Verhältnis (Book-to-Market-Equity) ⇒ K Konzentration t ti auff die di Einflussfaktoren Ei fl f kt Buchwert-Marktwert-Verhältnis B h t M kt t V hält i und d Size Si Effekt. Prof. Dr. Rainer Elschen - 83 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Fama und d French‘s h‘ 3-Faktorenmodell 3 k d ll (3) • Einfluss von Kapitalisierung und Book-to-Market auf Durchschnittsrenditen Book-to-Market (Konkursrisiko) Börsenkapitalisierung tief hoch hoch 21,2% 16,0% durchschnittlich 18,3% 11,8% tief 14,1% 11,2% Markt 12 0% 12,0% US Aktien 1963-1990 • Rendite des Wertpapiers i im 3-Faktorenmodell: ri = rf + ((rm - rf ) . ßi + SMB . si + HML . hi + εi Prof. Dr. Rainer Elschen - 84 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Fama und d French‘s h‘ 3-Faktorenmodell 3 k d ll ((4)) => ri = rf + (rm - rf) . ßi + (rS - rB) . si + (rH - rL) . hi + εi SMB „Small Minus Big“; Unternehmensgröße als Einflussfaktor Differenz der Renditen kleiner Unternehmen (rS) und großer Unternehmen (rB) HML „High Minus Low“; Buchwert-Marktwert-Verhältnis als Einflussgröße: Differenz der Rendite von Unternehmen mit hohem BE/ME (rH) und Unternehmen mit niedrigem BE/ME (rL) rf risikoloser Zinssatz rm Rendite des Marktportefeuilles εi Störgröße, es gilt E(εi) = 0 si Sensitivität des Wertpapiers i bzgl. des Faktors Unternehmensgröße hi Sensitivität S iti ität des d W Wertpapiers t i i bzgl. b l des d Faktors F kt Buchwert-Marktwert-Verhältnis Prof. Dr. Rainer Elschen - 85 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 4 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 86 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3.6 Modigliani Miller – Arbitragegedanken und Unternehmenswert Prof. Dr. Rainer Elschen - 87 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Modigliani-Miller-Theoreme d l ll h • Auf einem vollständigen Markt ist die Verschuldungspolitik irrelevant • MM I: Marktwert einer Unternehmung ist von seiner Kapitalstruktur unabhänigig • MM II: Gewogener Kapitalkostensatz (WACC) ist von der Kapitalstruktur unabhängig • W = EK + FK = WU EK FK + rFK ⋅ WACC = rEK ⋅ = rAsset EK + FK EK + FK Keine Steuern, Transaktionskosten, Informationsasymmetrien Prof. Dr. Rainer Elschen - 88 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 MM - Kapitalkosten K it lk t • Gültigkeit des CAPM (Marktvollständigkeit) – Risikolose Verzinsung: 5% – Risikoprämie: 6% • Ausschließlich EK- finanzierte Unternehmung – Marktwert W = 100 – Beta – Kapitalkosten ß =1 WACC = rEK = 5% +6% · 1 = 11% • Unternehmenspolitik: U t h litik – Fremdfinanzierter Aktienrückkauf von 20 – Ersatz von (teurem) EK durch (billiges) FK Prof. Dr. Rainer Elschen - 89 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 MM - Kapitalkosten K it lk t (2) VOR Transaktion NACH Transaktion (nur EK–Finanzierung) (Mischfinanzierung) Bruttogewinn (CAPM) Bruttogewinn (unverändert!) 100 · 11% = 11 100 ·11% = 11 FK = 5% · 20 =1 1 rEK = 11 Bruttogewi nn = = 11 % 100 EK rEK = WACC = rEK = 11% WACC = 11 − 1 = 12 , 5 % 80 80 20 ⋅ 12 , 5 % + ⋅ 5 % = 11 % 100 100 Kapitalkostensatz bleibt unberührt Prof. Dr. Rainer Elschen - 90 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 MM – Kapitalkosten K it lk t und dM Marktwerte kt t • Für eine verschuldete Unternehmung gilt: Bruttogewinn = Zinsen + Dividenden • Marktwert EK: Barwert der Dividenden, mit EK-Rendite diskontiert: • Marktwert FK: Barwert der Zinsen, Zinsen mit FK-Zins diskontiert: Prof. Dr. Rainer Elschen - 91 - D EK = rEK Z FK = rFK Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 MM – Kapitalkosten K it lk t und dM Marktwerte kt t EK FK WACC = rEK ⋅ + rFK ⋅ EK + FK EK + FK ( EK = D ) rEK Z ( FK = ) rFK => WACC⋅ ( EK + FK) = D + Z Bruttogewi g nn => >W = WACC Prof. Dr. Rainer Elschen - 92 - Marktwert einer verschuldeten Unternehmung Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 MM - Kapitalkosten K it lk t • Bruttorendite entspricht dem WAC rEK = rASSET + (r ( ASSET – rFK) · FK/EK r rEK WACC rFK V = Prof. Dr. Rainer Elschen - 93 - FK EK Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 MM - Kapitalkosten K it lk t • Leverage erhöht das EK-Risiko • Wenn EK durch FK ersetzt wird ª Spart dies zunächst Kosten, Kosten denn FK ist billiger als (altes) EK ª Umgehend wird das verbleibende EK teurer ª Direkte Kompensation auf vollst. Märkten • Unternehmen ist Portfolio aus EK und FK! β PF = β EK ⋅ xEK + β FK ⋅ xFK β PF = β ASSET => β ASSET = β ⋅ Prof. Dr. Rainer Elschen EK FK + β FK ⋅ EK + FK EK + FK - 94 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 MM - Kapitalkosten K it lk t => FK EK + ßFK ⋅ ßASSET = ßEK ⋅ EK + FK EK + FK FK ßEK = ßASSET + ( ßASSET − ßFK ) ⋅ EK => falls FK risikolos ist (ßFK= 0) => ßEK = ßASSET (1 + Im Beispiel: Prof. Dr. Rainer Elschen FK V ) = ßASSET ⋅ EK EK Asset BETA =1 EK BETA = 1·(1+20/80) = 1,25 WACC = 5% +6% · 1,25 , =12,5% , - 95 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 MM - Arbitragebeweis A bit b i • Zweii U Z Unternehmen t h U und d L sollen ll indentische i d ti h operative ti Gewinne G i X bei b i demselben d lb Marktrisiko erwirtschaften. WU = EKU; WL = EKL + FKL heute a·EKU = a·WU • Kauf a% Anteile U • Kauf a% Anteile L • Kauf a% FK-Teile (Bonds) a·FKL • Summe a·EKL zukünfiger Zahlungsstrom a·x a·r·FKL a·(x-rFK·FKL) a·EKL+a·FKL=a·WL a·x Bei identischem Marktrisiko und Bruttogewinnen müssen beide Unternehmen wertgleich sein, ansonsten bestehen Arbitragemöglichkeiten! Prof. Dr. Rainer Elschen - 96 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3 7 Arbitrage Pricing Theory (APT) von Ross 3.7 Prof. Dr. Rainer Elschen - 97 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Grundgedanke d d k d der APT • Die erwartete Rendite eines Wertpapiers setzt sich zusammen aus verschiedenen mikroik oder d makroökonomischen k ök i h Risikofaktoren Ri ik f kt d den S Sensitivitäten iti ität des d Wertpapiers gegenüber dessen Faktoren und einem risikolosen Zinssatz zusammen (mehrdimensionale Risikobetrachtung). • B i i l fü Beispiele für Ri Risikofaktoren ik f kt ( gemessen wird i d jeweils j il die di Veränderungsrate) V ä d t ) – reales Bruttosozialprodukt – Wechselkurs – Inflation I fl i – Zinssätze – u.a.m • Der Marktzusammenhang folgt durch die Annahme der Arbitragefreiheit: Durch Wertpapiertransaktionen, die per Saldo keinen Kapitaleinsatz erfordern und bei denen weder ein systematisches noch ein unsystematisches Risiko besteht sind keine Gewinne („free besteht, ( free lunch lunch“)) zu erzielen. erzielen ⇒ Verschiedene Wertpapiereportefeuilles, die dasselbe Risikoniveau aufweisen, müssen dieselbe Rendite erwarten lassen. Prof. Dr. Rainer Elschen - 98 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Annahmen h der d APT • Vollkommener Kapitalmarkt • homogene Erwartungen der Marktteilnehmer bezüglich der Wertpapierrenditen • Existenz einer risikolosen Kapitalanlage- und -aufnahmemöglichkeit • A bit Arbitragefreiheit f ih it im i K Kapitalmarktgleichgewicht it l kt l i h i ht • Risikoscheu der Marktteilnehmer • Abhängigkeit gg der Wertpapierrenditen p p von mehreren mikro- und makroökonomischen Risikofaktoren ⇒ Linearkombination verschiedener Einflussfaktoren ⇒ APT als lineares Mehrfaktorenmodell • Anmerkung: Eine Annahme über eine Verteilungshypothese der Wertpapierrenditen ist in der APT irrelevant. irrelevant Prof. Dr. Rainer Elschen - 99 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Formale l Darstellung ll d der APT ((1)) • Als Grundgedanke der APT hängen die Wertpapierrenditen von mehreren Ri ik f kt Risikofaktoren ab. b Fü Für das d einzelne i l Wertpapier W t i folgt: f l t R i = α + βi1 ⋅ F1 + βi2 ⋅ F2 + K + βik ⋅ Fk • Diese Einzelbetrachtung von Wertpapierrenditen ist nunmehr in die Gesamtbetrachtung (Marktzusammenhang) zu überführen, wodurch ein Kapitalmarktgleichgewicht erst möglich wird. • Durch Bildung eines Arbitrageportefeuilles wird der Zustand der Arbitragefreiheit erreicht. • Ein Arbitrageportefeuille g p ist ein risikoloses Portefeuille aus g gekauften und leerverkauften Wertpapieren, deren Wert stets null ist. Prof. Dr. Rainer Elschen - 100 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Formale l Darstellung ll d der APT (2) • Es muss dann gelten: n (1) ∑ x i = 0 i =1 • mit n ∑ xi = 1 i =1 Die Anteile der Wertpapiere am Gesamtvolumen müssen in der Summe null ergeben. n (2) ∑ x i ⋅ β ik = 0 i =1 • Damit das Portefeuille risikolos ist,, müssen sich die Sensitivitäten in der Summe aufheben (Neutralisierung des systematischen Risikos). n (3) ∑ x i ⋅ ε i = 0 i=1 • Es wird von einem gut diversifizierten Portefeuille ausgegangen. Das unsystematische Risiko wird als eliminiert angenommen. Prof. Dr. Rainer Elschen - 101 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Formale l Darstellung ll d der APT (3) • Exkurs: Mit steigender t i d Anzahl A hl an Wertpapieren W t i sinkt i kt das d unsystematische t ti h Risiko: Ri ik ∧ 1 var(∑ x i ⋅ εi ) ≈ var( ∑ εi ) = durchschnittliche Varianz n 1 var(∑ εi ) var(∑ εi ) = 2 var(∑ εi ) = ⇒ lim =0 2 2 n →∞ n n n • Als Grundgleichung der APT ergibt sich: (4) bzw. E(Ri)=if+[E(RF1)-if ]·ßi1+[E(RF2)-if ]·ßi2+ ...+[E(RFK)-if ]· ßiK K E(R i ) = i f + ∑ [E(R Fk ) − i f ] ⋅ βik k =1 Prof. Dr. Rainer Elschen - 102 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Formale l Darstellung ll d der APT ((4)) • Die Grundgleichung folgt aus der ökonomischen Interpretation der APTB Bewertungsgleichung t l i h : (5) • E(Ri)= λ0 +λ1·ßi1+ λ2·ßi2+...+ λK· ßiK allgem. Bewertungsgleichung λk bzw. b [E(RFk)-i ) if ] stellen t ll dabei d b i die di Risikoprämie Ri ik ä i fü für di die Übernahme Üb h des d Risikos aus Faktor k dar. Ri λ0 Fk ßik E(Ri) E(RFk) N εi xi λk Prof. Dr. Rainer Elschen = = = = = = = = = = Rendite des Wertpapiers i risikoloser Renditebestandteil Ausprägung des Faktors k B t F kt d Beta-Faktor des Wertpapiers W t i i bzgl. b l des d Einflußfaktors Ei fl ßf kt k erwartete Rendite des Wertpapiers i erwartete Rendite bzgl. des Faktors k Anzahl an Wertpapieren unsystematisches Risiko des Wertpapiers i Anteil des Wertpapiers i am Gesamtvolumen des Portefeuilles Risikoprämie bzgl. des Faktors k - 103 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 APT-Hyperplane l mit 2 Risikofaktoren k f k E(Ri) A: überbewertetes WP βi2 •B B: unterbewertetes WP Wertpapierlinie if •A βi1 • Im traditionellen CAPM wird implizit für alle Wertpapiere dasselbe Verhältnis der Sensitivitäten zueinander unterstellt (lediglich ein Risikofaktor). Das CAPM stellt somit einen „Spezialfall“ der APT dar. • In der APT lassen sich - im Rahmen der Modellannahmen - Renditeerwartungen auf einzelne Einflussfaktoren zurückführen. • Wertpapiere, deren erwartete Renditen oberhalb der Hyperplane liegen sind unterbewertet; die darunter liegenden überbewertet. Prof. Dr. Rainer Elschen - 104 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Zentrale l Unterschiede h d d der APT zum C CAPM • Trotz einer engen Verwandtschaft zwischen APT und CAPM besteht eine Reihe zentraler t l U Unterschiede: t hi d – Mehrdimensionale Risikobetrachtung (Mehrfaktorenmodell) – Einflussfaktoren als Ausgangspunkt der Bewertung – verteilungshypothesenfreie Bewertung – Kenntnis des Marktportefeuilles irrelevant – keine inhaltliche Definition der Einflussfaktoren – möglicherweise einfachere empirische Testbarkeit Prof. Dr. Rainer Elschen - 105 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Modell-Kritik d ll k APT • Vorteile: – Differenzierte Risikobetrachtung (k-dimensionale Risikomessung) – weniger rigide Annahmen (z. B. keine Verteilungshypothese) – Problem P bl d der E Ermittlung ittl d des M Marktportefeuilles kt t f ill entfällt tfällt • Nachteile: – Prämissen bezüglich ▪ strenge Informationseffizienz ▪ vollkommener Kapitalmarkt u.a.m. – Identifikation und Bestimmung der Anzahl der Einflussfaktoren schwierig ▪ für fü di die ökonomische ök i h Interpretation I i von entscheidender h id d Bedeutung B d ▪ hilfsweise Lösung: empirische Ermittlung – Sensitivitäten und Einflussfaktoren zeitlich nicht konstant – Lineare Li Abhä Abhängigkeiten i k it der d Faktoren F kt ungeklärt klä t Prof. Dr. Rainer Elschen - 106 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Beispiell zur APT - Ausgangsdaten d Es gibt drei gut diversifizierte Portefeuilles A, B und C, deren erwartete R dit E(Ri) sowie Rendite i Sensitivität S iti ität (βi) gegenüber üb d den Ei fl ßf kt Einflußfaktoren Wechselkurs (F1) und reales Bruttosozialprodukt (F2) bekannt sind. Portfeuille A B C E(Ri) 15% 13% 14% β1 1,4 0,9 11 1,1 β2 0,8 0,4 09 0,9 Nun ist - im Rahmen der Modellannahmen - zu überprüfen, ob bei den Portefeuilles D, D E und F eine ÜberÜber oder Unterbewertung vorliegt oder ob die Portefeuilles arbitragefrei bewertet sind. Portfeuille E(Ri) D 16,37% E 12,56% F 12 58% 12,58% Prof. Dr. Rainer Elschen - 107 - β1 1,3 0,8 07 0,7 β2 0,4 1,1 09 0,9 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Beispiell zur APT – Vorgehensweise h (1) ( ) • Ermittlung der Risikoprämien für die Übernahme des Risikos aus den Ei fl Einflussfaktoren f kt F1 und d F2 und d des d risikolosen i ik l Renditeanteils. R dit t il • Bestimmung der Bewertungsgleichung durch Aufstellen eines linearen Gleichungssystems. • Ermittlung der arbitragefreien Renditeerwartung der Portfeuilles D, E und F durch Einsetzen der Sensitivitäten in die Bewertungsgleichung und Vergleich mit der bisherigen Renditeerwartung. • Die allgemeine Bewertungsgleichung lautet: E(R i ) = λ 0 + β i1 ⋅ λ1 + β i 2 ⋅ λ 2 • Für das lineare Gleichungssystem gilt nun: 15 = λ0 + 1,4 ⋅ λ1 + 0,8 ⋅ λ2 13 = λ0 + 0,9 ⋅ λ1 + 0,4 ⋅ λ2 14 = λ0 + 1,1 ⋅ λ1 + 0,9 ⋅ λ2 Prof. Dr. Rainer Elschen - 108 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Beispiell zur APT – Vorgehensweise h (2) • Als Lösung ergibt sich: λ0 λ1 λ2 • = = = 9,588 3,529 0 588 0,588 Die Bewertungsgleichung lautet nun: E( R i ) = 9,588 + 3,529 ⋅ β1 + 0,588 ⋅ β 2 • Für die richtige g Bewertung g der Portfeuilles D,E , und F folgt: g E(RD) = E(R ( E) = E(RF) = Prof. Dr. Rainer Elschen 9,588 9,588 9,588 + + + 3,529 3,529 3,529 · 1,3 · 0,8 · 0,7 - 109 - + + + 0,588 0,588 0,588 · 0,4 = 14,41 · 1,1 = 13,06 · 0,9 = 12,58 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Beispiell zur APT – Ergebnis b und d Handlungsempfehlung dl f hl • Ergebnis: – D ist unterbewertet – E ist überbewertet – F ist arbitragefrei bewertet • Handlungsempfehlung: – Kauf von D – Verkauf von E Prof. Dr. Rainer Elschen - 110 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 5 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 111 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 4 Management von Wertpapierportfolios 4. Prof. Dr. Rainer Elschen - 112 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 4 1 Performancemessung auf Basis des CAPM 4.1 Prof. Dr. Rainer Elschen - 113 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Sh Sharpe-Ratio (S P): (SR ) Reward d to Variability bl Ratio rP − i rf SR P = σP rp M P irf σM Prof. Dr. Rainer Elschen σP - 114 - • Überrendite im Verhältnis zur Standardabweichung eines Portfolios • Risiko = Gesamtrisiko • SR entspricht der individuellen Kapitalmarktlinie p des Portfolios • Performancegüte steigt mit SR • SR ist lediglich zur Beurteilung von ganzen Portfolios sinnvoll Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Treynor-Ratio (TR ( P): ) Reward d to Volatility l l Ratio TR P = rP − i rf rp M P irf βM = 1 Prof. Dr. Rainer Elschen βP - 115 - βP • Überrendite im Verhältnis zum systematischen Risiko eines Portfolios • Risiko = systematisches Risiko (Marktrisiko) • SR entspricht der Steigung der individuellen Wertpapierlinie des Portfolios • Performancegüte steigt mit TR • TR ist nicht benchmarkfrei Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Jensen´s ´ Alpha l h ((JAP) rP = α P + i rff + [rM - i rff ] ⋅ β P + ε P ⇒ JA P = E(α P ) = rP − i rf − [rM - i rf ] ⋅ β P rp P αP • JA folgt unmittelbar aus der ex-post CAPM-Gleichung • Differenz d Diff der P Portfoliorendite tf li dit zur rechnerisch ermittelbaren Rendite • Wenn das Alpha signifikant positiv ausfällt, fällt h hatt das d P Portfoliotf li management Selektionsfähigkeiten, d.h. unterbewertete Wertpapiere zu identifizieren • Performancegüte steigt mit JA • Gefahr der Vermengung mit unsystematischen t ti h Ri Risiken ik M irf βM = 1 Prof. Dr. Rainer Elschen βP - 116 - E(ε P ) = 0 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Jensen´s ´ Alpha l h versus Treynor Ratio CAPM-Gleichung CAPM Gleichung (incl. Jensen Jensen´s s Alpha) rP = α P + i rf + [rM - i rf ] ⋅ β P ⇔ rP − i rf = α P + [rM - i rf ] ⋅ β P Division durch BETA-Faktor rP − i rf α P ⇔ = + [[rM - i rf ] βP βP ⇔ Treynor − Ratio P = Prof. Dr. Rainer Elschen - 117 - αP + Treynor − Ratio M βP Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Treynor-Black l k Ratio: Appraisall Ratio ((ARP) ((1)) Jensen s Alpha Jensen´s αP AR P = = Streuung der Residuen σ ε rp αA μP rA rB 45° αB Erwartete Portfoliorendite gemäß CAPM AR(A) > AR(B) Prof. Dr. Rainer Elschen σε - 118 - • Jensens Alpha wird um unsystematische Risiken bereinigt • Performancegüte steigt mit AR • Bei großer AR musste zur E i l Erzielung d der signifikanten i ifik t Überrendite nur geringes unsystematisches Risiko in Kauf genommen werden Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Treynor-Black l k Ratio: Appraisall Ratio ((ARP) (2) Streuung der Residuen wird mittels Determinationskoeffizienten R2 aus der li linearen R Regression i geschätzt hät t • R2 gibt den Anteil der durch die Regression erklärten Streuung an der Gesamtstreuung an M Monatsüber rrenditen Portfolio • σ P2 − σ ε2 2 2 2 R = ⇒ σ = ( 1 − R ) ⋅ σ ε P σ P2 σ ε2 = (1 − 0,5911) ⋅ σ P2 2 y = rP if x = rM − i f Monatsüberrenditen der Benchmark Prof. Dr. Rainer Elschen - 119 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Modigliani-Modigliani d l d l Ratio: Risk-Adjusted-Performance k d d f (RAP) ( ) (1) ( ) • Erweiterung der Rankingmöglichkeiten der Sharpe-Ratio um die Angabe der Diff Differenzrendite dit [i [in R Renditeprozentpunkten] dit t kt ] • Transformation der Sharpe Ratio in eine Renditegröße • Gedankliche Normierung g des Portfoliorisikos auf das Marktrisiko (Risikokalibrierung) • Konstruktion: • Wenn: σP > σM ⇒ Fiktiver Verkauf Anteil di (di < 0) am Portfolio, Kapitalanlage zu rf („unlevering“) • Wenn: σP < σM ⇒ Fiktive Kreditaufnahme di (di > 0) zu rf Anlage in Portfolio („levering“) σP Kalibriert Prof. Dr. Rainer Elschen = (1 + d i ) ⋅σ P = σ M - 120 - σM ⇒ di = -1 σP Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Modigliani-Modigliani d l d l Ratio: Risk-Adjusted-Performance k d d f (RAP) ( ) (2) • Durchschnittliche Portfoliorendite: RAP = (1 + d i ) ⋅ μ P − d i ⋅ rf ⎡ σM ⎤ σM ⇒ RAP = ⋅μP − ⎢ − 1⎥ ⋅ rf σi ⎣ σi ⎦ σM ⇒ RAP = (μ P − rf ) + rf = Sharpe − Ratio ⋅ σ M + rf σi ⇒ RAP identifiziert das Portfolio, das in Kombination mit rf für jedes vorgegebene Risiko die höchste risikonormierte Rendite erzielt Prof. Dr. Rainer Elschen - 121 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Modigliani-Modigliani Ratio: Market-Risk-Adjusted-Performance (MRAP) (1) • Erweiterung der Rankingmöglichkeiten der RAP durch explizite Berücksichtigung d systematischen des t ti h Risikos Ri ik (Ri (Risikokalibrierung) ik k lib i ) • Konstruktion: βP > 1 • Wenn: ⇒ Fiktiver Verkauf Anteil di (di < 0) am Portfolio, Kapitalanlage zu rf („unlevering“) βP < 1 • Wenn: ⇒ Fiktive Kreditaufnahme di (di > 0) zu rf Anlage in Portfolio („levering“) βP Kalibriert ⇒ di = = (1 + d i ) ⋅β P = 1 Prof. Dr. Rainer Elschen - 122 - 1 βP -1 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Modigliani-Modigliani Ratio: Market-Risk-Adjusted-Performance (MRAP) (2) • Durchschnittliche Portfoliorendite: ⎡ ⎤ MRAP = (1 + d i ) ⋅ μ P − d i ⋅ rf ⇒ MRAP = 1 ⋅ μ P − ⎢ 1 − 1⎥ ⋅ rf βP ⎣ βP ⎦ ⇒ MRAP = 1 βP (μ P − rf ) + rf = Treynor y − Ratio + rf ⇒ MRAP identifiziert die Überschussrendite des risikonormierten Vergleichsportfolios in Renditeprozentpunkten Prof. Dr. Rainer Elschen - 123 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Zusammenhang h MRAP, TR und d JA MRAPP = Treynor − RatioP + rf JA P ⇒ Treynor − RatioP = + Treynor − RatioM βP JA MRAPP = P + Treynor - RatioM + rf βP JAP MRAPP = + μM βP Einsetzen: ⇒ Mit der MRAP können Differenzen der Performance unterschiedlicher Portfolios unmittelbar verglichen werden Prof. Dr. Rainer Elschen - 124 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 4 2 Varianz-Dekomposition und Index Tracking 4.2 Prof. Dr. Rainer Elschen - 125 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Varianzdekomposition d k • Annahme: • Die Renditen eines Wertpapiers (oder eines Portfolios) folgen einem Ein-FaktorModell, z.B. dem Single-Index Modell von Sharpe • Die Residuen und der Faktor seien unkorreliert μi = rf + (μM − rf ) ⋅ bi + E(εi ) • Die Wertpapier(Portfolio)-Varianz Wertpapier(Portfolio) Varianz lässt sich demzufolge zerlegen: Var(ri ) = bi2 ⋅ Var(F)i + Var(εi ) Gesamtrenditestreuung Erklärte Variation Unspezifisches Risiko (unerklärte Variation) ⇒ Fundamentalgleichung der Regressionsanalyse ⇒ Grundlage g zur Erklärung g des Tracking g Errors Prof. Dr. Rainer Elschen - 126 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Tracking k Error • Index-Tracking: Nachbildung eines vorgegebene Benchmarkportfolios (Index) • Der Tracking Error ergibt sich aus dem ex-post Vergleich des gemanagten Portfolios mit der Benchmark • Die auf Jahresbasis hochgerechnete g Streuung g der Residualgröße g wird als Tracking Error bezeichnet (Jahresstreuung des unspezifischen Risikos) rPF,t, = aPF + rPF,t, ⋅ bPF + εPF,t, • aPF ⇒ entspricht Jensen´s Alpha [a > 0 :unabhängiger Erfolg Management] • bPF ⇒ mittleres Renditeverhältnis ggü. ggü der Benchmark [typischerweise > 0] • εP,t ⇒ Maß für das in Kauf genommene unspezifische Risiko (kann auch als Soll-Größe formuliert sein) Tracking Error = Var(εPF,t ) Prof. Dr. Rainer Elschen - 127 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Gründe d ffür das d Verfehlen f hl der d Benchmark h k • Perfekte Replikation der Benchmark unmöglich • Kapitalanlagebeschränkung durch Gesetz • Kapitalanlagebeschränkung durch Fondspolitik • Erweiterte E it t A Anlagemöglichkeiten l ö li hk it d durch hF Fondspolitik d litik (internationale Anlagemöglichkeiten) • Erweiterte Selektionsmöglichkeiten • Erweiterte Timingaktivitäten • Ex-Post Formulierung der Benchmark • Bewusste Inkaufnahme unspezifischer Risiken • ... Prof. Dr. Rainer Elschen - 128 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Praktische k h Anwendung d des d CAPM C ((1)) • Bestimmung der Über- und Unterbewertung von Aktien Erwartete Aktien- 15 rendite Schering VW BASF Henkel Viag 10 BMW Dt Bank Dt. RWE 5 0,5 1 1,5 ß-Faktor Quelle: Steiner/Bruns, S. 258 • Handlungsempfehlung: – Kauf von oberhalb der Wertpapierlinie liegenden Aktien (z.B. BASF) – Verkauf von unterhalb der Wertpapierlinie liegenden Aktien (z. B. Dt. Bank) Prof. Dr. Rainer Elschen - 129 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Praktische k h Anwendung d des d CAPM C (2) Rendite Aktienrendite ß = 1,2 Siemens-Aktie; ß = 1,2 1,2 1 DAX Indexrendite (DAX) Zeit Quelle: Perridon/Steiner, S. 282 • Interpretation: Bei Anstieg des DAX um 1% steigt die Rendite der Siemens Siemens-Aktie Aktie um 1,2% • Handlungsempfehlung : – Bei erwarteter Hausse-Phase Kauf von Aktien mit einem ß-Faktor > 1 Baisse-Phase Phase Kauf von Aktien mit möglichst niedrigen, niedrigen – Bei erwarteter Baisse am besten negativen Beta-Werten Prof. Dr. Rainer Elschen - 130 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Praktische k h Anwendung d des d CAPM C (3) • Bestimmung des „richtigen“ Kalkulationszinsfußes μ Wertpapierlinie X4 X1 if X3 Kapitalkosten nach MM X2 ß-Faktor Quelle: Schmidt/Terberger, S. 357ff. • Handlungsempfehlung: H dl f hl Durchführung derjenigen Projekte, die oberhalb der Wertpapierlinie liegen • Das nach MM unvorteilhafte Investitionsprojekt 1 wird im CAPM als vorteilhaft be e tet bewertet Prof. Dr. Rainer Elschen - 131 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 4 3 Wertpapiermanagement und SHORTFALL-Risiko 4.3 Prof. Dr. Rainer Elschen - 132 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S O SHORTFALL-Risiko k und d Portfolio-Management f l Roy (1952); Telser (1955); Kataoka (1963); Leibowitz (1989): • Vorgabe einer Zielrendite, die nicht unterschritten werden soll (z.B.: reale Kapitalerhaltung durch Ausgleich der Inflation [ca. 3%] oder nominelle Kapitalerhaltung [ 0 %] ) • Wahl der Ausfallwahrscheinlichkeit, die durchschnittlich gerade noch akzeptiert wird, z.B. 1% < α < 10% • g und Marktportfolio p Investitionsalternativen: risikolose Verzinsung • Optimierungsaufgabe: – Maximierung der Renditeerwartung – Restriktion: Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls bzgl bzgl. der Mindestrendite überschreitet nicht α – Es werden nur Aktienquoten x betrachtet, bei denen die Ausfallwahrscheinlichkeit α für die Portfoliorendite nicht überschritten wird (Normalverteilung der Renditen unterstellt) P(rPF (x) ≤ X ) ≤ α Prof. Dr. Rainer Elschen - 133 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S O SHORTFALL-Gerade G d • Alle Portfolios, die bzgl. der Mindestrendite dieselbe Ausfallwahrscheinlichkeit haben liegen im μ/σ-Raum haben, Ra m a auff eine einer Geraden Ge aden • Als Ansatzpunkt dient die Mindest-Zielrendite • Die Steigung g g k bildet die Höhe der Ausfallwahrscheinlichkeit ab,, je steiler die Gerade, desto geringer die Ausfallwahrscheinlichkeit k mit α = 1 - N(k) ⇒ k = N-1(1 - α) • Unter allen Portfolios mit gleicher Ausfallwahrscheinlichkeit wird das Portfolio gewählt, das die höchste Renditeerwartung aufweist • In Rendite/Risiko Dimensionen sind diese durch die Kapitalmarktgerade bezeichnet Prof. Dr. Rainer Elschen - 134 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S O SHORTFALL-Gerade G d und d Kapitalmarktgerade l k d μi SHORTFALL-Gerade SHORTFALL Gerade μX X Steigung k = σX μM rf Marktportfolio M Optimaler Investitionspunkt X bei gegebener Ausfall Ausfall-WSK WSK σX μX − X X Mindestrendite σM Prof. Dr. Rainer Elschen - 135 - σi Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Ermittlung l d des optimalen l Aktienanteils k l Aus der Steigung der SHORTFALL-Geraden folgt: ⇒X ≡μ-k σ Für das Fü d optimale ti l Portfolio P tf li als l Kombination K bi ti aus risikoloser i ik l A Anlage l und d (unvollständiger) Investition in das Marktportfolio gilt: μ PF (x) ( ) = rf + x ⋅ (μ ( M − rf ) Einsetzen: σ PF (x) ( ) = x ⋅ σM X ≡ μ - k⋅σ ⇒ X = [ rf + x ⋅ (μ M - rf )] - k ⋅ [ x ⋅ σ M ] rf − X ⇔x= k ⋅ σ M − (μ M − rf ) Prof. Dr. Rainer Elschen - 136 - Optimaler Anteil, der in das Marktportfolio investiert werden sollte Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 6 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 137 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5 Derivatetheorie 5. Prof. Dr. Rainer Elschen - 138 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5 1 Fundamentale Bewertungsansätze 5.1 Prof. Dr. Rainer Elschen - 139 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Grundlagen dl • Bei Termingeschäften fallen Vertragsabschluß und Erfüllung mehr als zwei Tage auseinander i d • Unbedingte Termingeschäfte (Forwards, Futures) verpflichten Käufer und Verkäufer zur Erfüllung des Vertrages (in Bezug auf Lieferort, -zeit, -menge und P i d Preis des V Vertragsgegenstands t t d [„Underlying“]), [ U d l i “]) insofern i f besteht b t ht kein k i Wahlrecht, W hl ht sondern eine Verpflichtung der Erfüllung bzw. auf Erfüllung des Vertrages • Bedingte Termingeschäfte (Optionen) verpflichten nur den Verkäufer des Kontraktes zur Erfüllung, Erfüllung wenn der Käufer des Kontraktes auf die Ausübung besteht; der Käufer hat die Flexibilität, unter bestimmten Bedingungen die Lieferung des y g zu einem vorher spezifizierten p Kurs zu beziehen Underlyings • Motive für den Abschluss von Termingeschäften: – Hedging – Spekulation – Arbitrage Prof. Dr. Rainer Elschen - 140 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Gründe d ffür Existenz und d Einsatz von Derivaten • Hedging: – Risikotransfer durch Abwälzung von marktfähigen Risiken (Finanzderivate) und von nicht marktfähigen Produktionsrisiken (Commodity Derivatives, Wetterderivate, Katastrophenderivate etc.) – Nichtnotierte Unternehmen können via Derivate den Markt an Risiken des Unternehmens teilhaben lassen • Spekulation: – Über subjektive Einschätzungen bzgl bzgl. zukünftiger Umweltlagen der Spekulanten können in Derivaten Informationen gehandelt werden • Arbitrage: – Marktprozesse sorgen über den Kauf und gleichzeitigen Verkauf von Risikopositionen für eine ausreichende Allokation von Preisen Prof. Dr. Rainer Elschen - 141 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5 2 Forwards und Futures 5.2 Prof. Dr. Rainer Elschen - 142 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Grundlagen dl • Standardisierte unbedingte Termingeschäfte werden Futures genannt und sind bö börsengehandelt. h d lt • Individuelle unbedingte Termingeschäfte werden Forwards genannt. • Financial Futures sind unbedingte g Termingeschäfte, g , deren Underlying y g Devisen,, Zinsen oder Indizes sind. • Warentermingeschäfte (Commodity Futures) haben Waren (Getreide, Rohöl, Metalle,, Elektrizität,, Katastrophen p u.a.m.)) als Underlying. y g Prof. Dr. Rainer Elschen - 143 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Finanzmärkte k Finanzmärkte Kassamärkte Terminmärkte Bedingte Termingeschäfte Standardisierte Optionen Unbedingte Termingeschäfte „Individuelle“ Optionen Standardisierte Forwards Financial Futures Devisen-Futures Devisen Futures Prof. Dr. Rainer Elschen Warentermingeschäfte Zins-Futures Zins Futures - 144 - Forwards Index-Futures Index Futures Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Financial-Futures-Börsen l • Eurex – Indizes (Dax-, SMI-, FOX-, Dow Jones EURO STOXX 50-, Dow Jones STOXX 50, Dow Jones Nordic STOXX 30 -Futures) – Zinsen (Euro-Schatz-, Euro BOBL-, Euro Bund- Future; Geldmarkt: Ein Ein-, Drei Drei-Monats Monats EURIBOR - Future) • Weitere internationale Financial-Future-Börsen – CBOT (Chicago Board of Trade ) – CME (Chicago (Chi Mercantile M til Exchange) E h ) – LIFFE (London international Financial Futures Exchange) Prof. Dr. Rainer Elschen - 145 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Warenterminbörsen b ((1)) • CBOT – Korn, Hafer, Reis, Katastrophen, Elektrizität • CME (Chicago Mercantile Exchange) – Vieh, Schweine • COMEX (Commodity Exchange Division of NYMEX) – Kupfer, Gold, Silber • CSCE (Coffee, (C ff S Sugar, and d Cocoa C Exchange, E h N.Y.) NY) – Kakao, Kaffee, Zucker • CTN (N.Y. Cotton Exchange) – Orangensaft, Baumwolle • IPE (International Petroleum Exchange of London) – Rohöl, Gas • LIFFE (London International Financial Futures and Options Exchange) – Korn, Hafer, Reis, Katastrophen, Elektrizität Prof. Dr. Rainer Elschen - 146 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Warenterminbörsen b (2) • LME (London Metal Exchange) – Aluminium, Kupfer, Blei, Nickel • NYMEX (New York Mercantile Exchange) – Heizöl, Gas, Bleifreies Benzin, Rohöl, Strom • WTB (Warenterminbörse, Hannover) – Kartoffeln, Schlachtschweine, Weizen, Altpapier • EEX (European (E Energy E Exchange, E h F Frankfurt) kf t) Prof. Dr. Rainer Elschen - 147 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Kontraktspezifikationen k fk für f Financial-Futures l an der d EUREX ((1)) • Indizes (hier: DAX) – Kontraktwert: K t kt t EURO 25 pro IIndexpunkt d kt d des Dax D – Erfüllung: Durch Barausgleich basierend auf dem Schlußabrechnungspreis, fällig am ersten Börsentag nach dem letzten Handelstag. g In Punkten;; auf eine Dezimalstelle. – Preisermittlung: – Minimale Preisveränderung: 0,5 Punkte; dies entspricht einem Wert von EURO 12,50. – Verfallmonate: Die jeweils nächsten drei Quartalsmonate des Zyklus März, Juni, September und Dezember. – L Letzter Handelstag: H d l D Der dritte d i Freitag F i des d Verfallmonats, V f ll sofern f dies di ein i Börsentag Bö ist, i andernfalls der davor liegende Börsentag. Handelsschluß ist der Beginn der Aufrufphase, der von der Geschäftsführung bestimmten untertägigen Auktion im elektronischen Handelssystem der Frankfurter Wertpapierbörse (Xetra) um 13:00 Uhr MEZ. – Tä Täglicher li h Ab Abrechnungspreis: h i V Volumengewichteter l i ht t D Durchschnitt h h itt d der P Preise i aller ll Geschäfte in der Minute vor 17.30 Uhr MEZ, sofern in diesem Zeitraum mehr als fünf Geschäfte abgeschlossen wurden. Ist eine derartige Preisermittlung nicht möglich, wird der tägliche Abrechnungspreis entsprechend der mittleren Geld-/Briefspanne des Kombinationsauftragsbuchs festgelegt. – Schlußabrechnungspreis: Wert des DAX; ermittelt auf der Grundlage der am letzten Handelstag in der untertägigen Auktion im elektronischen Handelssystem an der Frankfurter Wertpapierbörse (Xetra) zustande gekommenen Preise für die im DAX enthaltenen Werte. – Handelszeit: 07:50 bis 22.00 Uhr MEZ Prof. Dr. Rainer Elschen - 148 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Kontraktspezifikationen k fk für f Financial-Futures l an der d EUREX (2) • Geldmarkt (hier: Dreimonats-EURIBOR-Future (FEU3)) – Basiswert: European Interbank Offered Rate (EURIBOR) für Dreimonats-Termingelder in Euro. – Kontraktwert: EUR 1.000.000 – Erfüllung: E füll D Durch hB Barausgleich, l i h fälli fällig am ersten t Bö Börsentag t nach h dem d letzten l t t Handelstag. H d l t – Preisermittlung: In Prozent auf drei Dezimalstellen auf der Basis 100 abzüglich gehandeltem Zinssatz. – Minimale Preisveränderung: 0 0,005 005 Prozent; dies entspricht einem Wert von EUR 12,50. 12 50 – Verfallmonate: Die nächsten zwölf aufeinanderfolgenden Quartalsmonate aus dem Zyklus März, Juni, September, Dezember. Die längste Laufzeit beträgt somit 36 Monate. – Letzter Handelstag - Schlussabrechnungstag: Zwei Börsentage vor dem dritten Mittwoch des jeweiligen Erfüllungsmonats, soweit von der EURIBOR FBE/ACI an diesem Tag der für Einmonats-Euro-Termingelder maßgebliche Referenz-Zinssatz EURIBOR festgestellt wird, ansonsten der davor liegende Börsentag. Handelsschluss für den fälligen Kontraktmonat ist 11.00 Uhr MEZ. Prof. Dr. Rainer Elschen - 149 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Kontraktspezifikationen k fk für f Financial-Futures l an der d EUREX (3) • Geldmarkt (hier: Dreimonats-EURIBOR-Future (FEU3), Fortsetzung) – Täglicher Abrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise aller während der letzten Handelsminute ( vor 17.15 Uhr MEZ) zustande gekommenen Geschäfte, sofern in diesem Zeitraum mehr als fünf Geschäfte zustande gekommen sind. Ist eine derartige Preisermittlung nicht möglich, wird der tägliche Abrechnungspreis entsprechend der mittleren Geld-/Briefspanne des Kombinationsauftragsbuchs festgelegt. – Schlussabrechnungspreis: Der Schlussabrechnungspreis wird von der Eurex auf Grundlage des von der FBE/ACI ermittelten Referenz Referenz-Zinssatzes Zinssatzes (EURIBOR) für Dreimonats-Termingelder in Euro um 11.00 Uhr MEZ am letzten Handelstag festgelegt. Bei der Festlegung des Schlussabrechnungspreises wird der EURIBOR-Satz auf das nächstmögliche Preisintervall (0,005; 0,01 oder ein Vielfaches) gerundet und anschließend von 100 subtrahiert. – Handelszeit: 8.00 bis 19.00 Uhr MEZ – Zustandekommen von Geschäften (Pro-Rata-Matching): Die Zusammenführung von Aufträgen und Quotes, die sich auf den Dreimonats-Euribor-Future beziehen, erfolgt nach dem Pro-Rata-Matching-Prinzip*. * Der ausschließlich auf Preispriorität basierende Pro Rata-Algorithmus hat mit Wirkung zum 14.09.1999 das bis dahin für Geldmarkt-Futures übliche Matching Prinzip nach Preis Zeit Priorität ersetzt. Preis-Zeit-Priorität ersetzt Prof. Dr. Rainer Elschen - 150 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Kontraktspezifikationen k fk für f Financial-Futures l an der d EUREX ((4)) • Kapitalmarkt (hier: Euro-BUND-Future) – Basiswert: Fiktive langfristige Schuldverschreibung der Bundesrepublik Deutschland mit 8½ bis 10½jähriger Laufzeit und einem Kupon von 6 Prozent. – Kontraktwert: EUR 100.000 – E Erfüllung: füll Ei Eine Lieferverpflichtung Li f fli ht aus einer i Short-Position Sh t P iti iin einem i E Euro-BUND-FutureBUND F t Kontrakt kann nur durch bestimmte Schuldverschreibungen - nämlich Anleihen der Bundesrepublik Deutschland - mit einer Restlaufzeit von 8½ bis 10½ Jahren erfüllt werden. Die Schuldverschreibungen müssen ein Mindestemissionsvolumen von 5 Mrd. Euro aufweisen. aufweisen – Preisermittlung: In Prozent vom Nominalwert; auf zwei Dezimalstellen. – Minimale Preisveränderung: 0,01 Prozent; dies entspricht einem Wert von EURO 10. – Li Liefertag: f t Der D Liefertag Li f t ist i t der d zehnte h t Kalendertag K l d t des d jeweiligen j ili Quartalsmonats, Q t l t sofern dieser Tag ein Börsentag ist, andernfalls der darauffolgende Börsentag. – Liefermonate: Bis zu neun Monate; die jeweils nächsten drei Quartalsmonate des Zyklus März, Juni, September und Dezember. – Letzter Handelstag: Zwei Börsentage vor dem Liefertag des jeweiligen Liefermonats. Handelsschluss für die fälligen Futures ist 12.30 Uhr MEZ. Prof. Dr. Rainer Elschen - 151 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Kontraktspezifikationen k fk für f Financial-Futures l an der d EUREX ((5)) • Kapitalmarkt (hier: Euro-BUND-Future, Fortsetzung) – Täglicher Abrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise aller während der letzten Handelsminute ( vor 17.15 Uhr MEZ) zustande gekommenen Geschäfte, sofern in diesem Zeitraum mehr als fünf Geschäfte zustande gekommen sind. Ist eine derartige Preisermittlung nicht möglich, wird der tägliche Abrechnungspreis entsprechend der mittleren Geld-/Briefspanne des Kombinationsauftragsbuchs festgelegt. – Schlussabrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise der letzten zehn zustande gekommenen Geschäfte, sofern sie nicht älter als 30 Minuten sind, oder der volumengewichtete Durchschnitt der Preise aller während der letzten Handelsminute abgeschlossenen Geschäfte, sofern in diesem Zeitraum mehr als zehn Geschäfte zusammengeführt wurden. Der Zeitpunkt der Festlegung des Schlussabrechnungspreises ist 12.30 Uhr MEZ des letzten Handelstages. Ist beides nicht möglich, oder entspricht der so ermittelte Preis nicht den tatsächlichen Marktverhältnissen, legt die EUREX den Abrechnungspreis fest. – Handelszeit: 8.00 bis 22.00 Uhr MEZ Prof. Dr. Rainer Elschen - 152 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S h h Sicherheitsleistungen l (Margin) ( ) • Initial Margin D Betrag, Der B t den d ein i Käufer Kä f oder d Verkäufer V kä f beim b i Eingehen Ei h einer i offenen ff FutureF t Position als Ersteinschuss erbringen muss. • Variation Margin Di täglichen Die tä li h V Veränderungen ä d d der b bestehenden t h d P Positionen iti werden d dem d Margin M i Account gutgeschrieben bzw. belasten das Konto. Zur Vereinfachung wird eine Bandbreite festgelegt; innerhalb dieser Grenzen ist ein „„Nachschießen“ nicht erforderlich. • Maintenance Margin (Mindesteinschuss) Stellt einen bestimmten Kontostand (Untergrenze der Bandbreite) des Margin p bis zum Erreichen Account dar,, bei dessen Unterschreiten eine Nachschusspflicht der Initial Margin notwendig ist. Andernfalls erfolgt durch die Clearing-Stelle eine Zwangsliquidation der offenen Positionen. Prof. Dr. Rainer Elschen - 153 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Gewinne und d Verluste l b beim Long und d Sh Short Future Long Future Short Future G G F V Prof. Dr. Rainer Elschen K F V mit: G: Gewinne V: Verluste F: Future Preis K: Kassakurs - 154 - K Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5.3 Bewertung unbedingter Terminkontrakte Prof. Dr. Rainer Elschen - 155 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Z hl Zahlungsprofil fil unbedingter b di t Termingeschäfte T i häft St Preis des Underlyings in t Ft Preis in t (t < T) für die Lieferung in T Cash Flows Vertragsschluss Erfüllung (Maturität) L Long 0 ST – Ft Short 0 Ft ST Prof. Dr. Rainer Elschen - 156 - – Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 El Eleminierung i i d der U Unsicherheit i h h it Durch Aufbau gegenläufiger Positionen mit unbedingten Termingeschäften lässt sich die Unsicherheit vollständig eliminieren. Z it Zeitpunkt kt t1 < T: T A fb Aufbau einer i LongL P iti Position zu Li Lieferpreis f i F1 Zeitpunkt t2 < T: Aufbau einer Short- Position zu Lieferpreis F2 => Gewinn/Verlust bei Maturität: (ST – F1) + (F2 – ST) = F2 – F1 Prof. Dr. Rainer Elschen - 157 - (Sicher!) Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 A bit Arbitragefreie f i ffaire i Bewertung B t (1) • Underlying ohne Dividendenzahlung und ohne Lagerkosten • Gegenwärtiger Kassakurs des Underlyings: 150,- € • Zins: 5% • Laufzeit bis Maturität T: 1 Jahr • Fairer Preis F0 ? t0 T=t1=1 0 ST – F0 + ST Strategie g 1: Long g Future Strategie 2: Long Spot - 150 Kredit +150 - 150 · (1,05) = 157,50 ∑0 Prof. Dr. Rainer Elschen ST – 157,5 - 158 - ! Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 A bit Arbitragefreie f i ffaire i Bewertung B t (2) • Fairer Preis: F0 = S0 · e r·T • Der Faire Preis ist der Lieferpreis, der den Wert des Kontraktes + Underlyings gleich 0 setzt! => Wert eines unbedingten Kontraktes mit Lieferpreis K: f = S0 – K · e -r·T f = 0 für K = F0 Prof. Dr. Rainer Elschen - 159 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 A bit Arbitrage • Wenn F0 ≠ S0 · e r·T : Arbitragemöglichkeiten • Cash and Carry- Arbitrage: – F0 > S0 · e r·T – fremdfinanzierter Kauf des Underlyings, Short Future • Reverse Cash and Carry- Arbitrage: – F0 < S0 · e rr·T T – Leerverkauf des Underlyings, Anlage zu r, Long Future Prof. Dr. Rainer Elschen - 160 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 A bit Arbitrage: B Beispiel i i l • U d l i Underlying: S0 = 150,150 € • Zins: 5% • T=1 S0 · e r·T = 157,69 € => Wenn: Future Preis = 160,- € ▪ Future überbewertet Æ verkaufen! ▪ Long Spot - 150 + S1 ▪ Kredit + 150 - 157,69 ▪ Short Future 0 160,00 – S1 ▪ Summe 0 +2,31 (Sicher!) => Wenn: Future Preis = 140,- € ▪ Future unterbewertet Æ kaufen! ▪ Short Spot + 150 - S1 ▪ Anlage - 150 + 157,69 ▪ Short Future 0 S1 – 140,00 ▪ Summe 0 +17 69 +17,69 Prof. Dr. Rainer Elschen - 161 - (Sicher!) Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5.4 Allgemeine Fair Value Bewertung Futures Prof. Dr. Rainer Elschen - 162 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Fair Value l und dd der C Cost-off Carry-Ansatz C ( ) (1) • Legende der verwendeten Symbole: – T Laufzeit des Kontraktes (in Jahren) – t gegenwärtiger Zeitpunkt (in Jahren) – S Preis des zugrundeliegenden Basiswertes zum Zeitpunkt t (K (Kassakurs k in i t) – ST Preis des zugrundeliegenden Basiswertes am Ende der Laufzeit (Kassakurs in T) – F Future Preis im Zeitpunkt t – r risikoloser inländischer Zinssatz – rf risikoloser Auslandszinssatz – q Dividende (in Prozent) – u Lagerhaltungskosten (in Prozent des Kassakurses) – y „convenience y yield“ (Vorteilszins) ( ) – c „cost of carry“ – k Diskontierungsfaktor (CAPM) Prof. Dr. Rainer Elschen - 163 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Fair Value l und dd der C Cost-off Carry-Ansatz C (2) • Für „no-income securities“ (z. B. ohne Dividendenzahlung) gilt folgender Zusammenhang: h F = Se r(T− t) • Unter Einbeziehung von Dividendenzahlungen folgt: F = Se (r −q)(T − t) • Für Währungskontrakte ergibt sich: F = Se S (r −rf )(T− t) • Futures auf Waren: F = Se (r + u − y)(T− t) Prof. Dr. Rainer Elschen - 164 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Fair Value l und dd der C Cost-off Carry-Ansatz C (3) • Mit dem Begriff „cost of carry“ werden die verschiedenen Kostenbestand- teile des Termingeschäfts erfaßt (Lagerhaltungskosten, (Lagerhaltungskosten Finanzierungskosten etc.). etc ) F = Se(c − y)(T− t) • Zusammenhang zwischen F und dem bei Fälligkeit in T erwarteten Kassakurs S F = E(ST )e (r −k)(T − t) Literaturhinweis: Hull, S.55-84 Prof. Dr. Rainer Elschen - 165 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5.5 Basisrisiko und Basishedging Prof. Dr. Rainer Elschen - 166 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Konvergenz von Future- und d Kassa-Kurs F Future - Preis BASIS K Kassa - Kurs Z it Zeit Verfallzeitpunkt mit: F: Future-Preis K: Kassakurs F-K: F K: Basis Prof. Dr. Rainer Elschen Es gilt: F > K : Contango F < K : Backwardation - 167 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Basisrisiko • Basisrisiko Ri ik des Risiko d Ab Abweichens i h d des Future-Preises F t P i von seinem i Fair F i Value V l während äh d der d Laufzeit. Beim Hedging beispielsweise eines Aktienportefeuilles mit DAX-Futures entstehen hierdurch Gewinn- bzw. Verlustmöglichkeiten, falls die PortefeuilleHaltedauer von der Future-Laufzeit abweicht Dax, F FV F 7200 RisikoKomponente BASIS FV 7000 t0 Prof. Dr. Rainer Elschen Zeit - 168 - mit: F: Preis des DAX Futures FV: Fair Value des DAX Futures Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 B i Risiko BasisRi ik (2) Basis = Kassakurs des Underlyings – Future-Preis t1 t2 <T Spot S1 S2 Future F1 F2 Basis b1 = S1 - F2 b2 = S2 – F2 CF in t2 - Longhedge: – S2 + (F2 – F1) = – F1 –b2 - Shorthedge: Sh th d + S2 + (F1 – F2) = + F1 +b b2 in t1 bekannt Prof. Dr. Rainer Elschen - 169 - in t1 nicht bekannt Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Mi i Minimum Varianz V i Hedge H d des d Basisrisikos B i i ik Asset Long, Future Short Δv = ΔS − h ⋅ ΔF Varianz: var(v) = σ s + h 2σ F − 2hρ S ; F σ Sσ F BEO: ∂ var(v) 2 = 2hσ F − 2 ρ S ; F σ Sσ F =! 0 ∂h => 2 2 σS h = ρS ; F ⋅ σF Prof. Dr. Rainer Elschen opt - 170 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 O Optimale l Hedgeratio d d des Basisrisikos k • Erfassung des Basisrisikos: h opt = ρ F,S ⋅ σS σF = cov F,S σ F2 = βS,F mit: ρF,S F S : Korrelation Future- und Kassakurs σS : Standardabweichung Kassakurs σF : Sandardabweichung Futurekurs Prof. Dr. Rainer Elschen - 171 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5 6 Hedging mit Indexfutures 5.6 Prof. Dr. Rainer Elschen - 172 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Beteiligungsmanagement l mit DAX-Futures (1) ( ) Aktie Menge Daimler-Chrysler Veba Dresdner Bank Siemens 2000 3000 5000 1000 Kassakurs 59,00 55,40 45,20 166 70 166,70 05.06.2000 Beta 05.06.2000 EURO/Aktie EURO/Aktie EURO/Aktie EURO/Aktie Schlusskurs DAX am 06.06.2000: 7.408,02 Punkte DAX-Futures Sept.00 am 06.06.2000: 7.425,00 Punkte Szenario: Am 3. Freitag im September ist DAX auf 6.500 Punkte gefallen ! Gesucht: a) Gesamtportpolio-Volumen 0,5264 0,2986 0,8574 1 3819 1,3819 b) Beta ad a) Kapitalisierung: Daimler-Chrysler: 118.000 ,- Veba: 166.200 ,- D Dresdner d Bank B k 226 000 ,226.000 Siemens Gesamtportfolio-Volumen 166.700 ,676.900 ,- ad b) Portfolio-Beta: ßp = xDCX . ßDCX + xV . ßV + xDRB . ßDRB + xSIE . ßSIE = 0,7917 Prof. Dr. Rainer Elschen - 173 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Beteiligungsmanagement l mit DAX-Futures (2) • Die Wertänderung des Portfeuilles bis September ergibt sich durch Multiplikation d relativen der l ti Veränderung V ä d d des DAX mit it dem d Portfolio-Beta: P tf li B t ⇒ [(6.500 - 7.408,02)/7.408,02] . 0,7917 = - 0,1226 . 0,7917 = - 9,7036% ⇒ Daraus folgt ein Verlust in der Kassaposition i.H.v. -65.683,90 EURO. • DAX-Futures-Position: – Hedge-Ratio: mit ( Portfolio - Volumen ) ⋅ ßP ⋅ h opt Futures - Preis ⋅ Index - Multiplika p tor – Portfolio-Volumen: 676.900,- EURO – DAX-Futures-Preis : 7425 Punkte – Index-Multiplikator : 25 EURO pro Indexpunkt – Beta-Faktor : – 0,7917 ρ DAX,DAX− Futures ⋅ σ DAX h = σ DAX− Futures opt = 0,9597 0 9597 676.900,⎛ ⎞ HR = ⎜ ⎟ ⋅ 0,7917 ⋅ 0,9597 = 2,7705 ⎝ 7.425,00 ⋅ 25 EURO/Pkt ⎠ Prof. Dr. Rainer Elschen - 174 - d h 3 DAX d.h. DAX-Futures Futures short Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Beteiligungsmanagement l mit DAX-Futures (3) • DAX-Futures-Position im September: (7.425 Punkte – 6.500 Punkte) · 25 EURO/Punkt · 3 = + 69.375,00 EURO • Damit ergibt g sich als Netto-Position: 69.375,00 - 65.683,90 = 3.691,10 EURO • Hinweis: Die Ermittlung der Hedge-Ratio mittels hopt ergibt lediglich eine ä e u gs ösu g ! Näherungslösung Prof. Dr. Rainer Elschen - 175 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 7 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 176 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5 7 Optionen 5.7 Prof. Dr. Rainer Elschen - 177 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Grundlagen dl • Eine Option ist ein handelbares und übertragbares Instrument. Die mit einer O ti Option verbundenen b d R Rechte ht und dV Verpflichtungen fli ht sind i d entweder t d durch d h offizielle ffi i ll Richtlinien und Regelungen oder durch freie Vereinbarungen zwischen Käufer und Verkäufer festgelegt. • Eine O Ei Option ti verkörpert kö td das R Recht, ht nicht i ht aber b di die Verpflichtung, V fli ht einen i Basiswert B i t zu einem vereinbarten Kurs innerhalb eines festgelegten Zeitraumes oder zu einem vereinbarten Fälligkeitstermin zu kaufen oder zu verkaufen. Für dieses p dem Verkäufer die Optionsprämie. p p Recht zahlt der Käufer der Option • Eine Call (Kauf) Option gibt dem Käufer (Halter) das Recht, einen bestimmten Basiswert zu einem vereinbarten Kurs innerhalb eines festgelegten Zeitraumes g zu kaufen. oder zum Fälligkeitstermin • Eine Put (Verkauf) Option gibt dem Käufer (Halter) das Recht, einen bestimmten Basiswert zu einem vereinbarten Kurs innerhalb eines festgelegten Zeitraumes g zu verkaufen. oder zum Fälligkeitstermin Prof. Dr. Rainer Elschen - 178 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 O Options-Begriffe ff (1) ( ) • Der Käufer einer Option erwirbt eine Call oder Put Option und zahlt dem V kä f die Verkäufer di Optionsprämie. O ti ä i Der Käufer hat eine Long Position in der Option. • Der Verkäufer (Schreiber oder Stillhalter) einer Call oder Put Option erhält die O ti Optionsprämie ä i von d dem Kä Käufer. f D Der V Verkäufer kä f gewährt äh t dem d Käufer Kä f die di mit it der d Option verbundenen Rechte. Aufgrund dieser potentiellen Verbindlichkeit ist der Verkäufer von Optionen verpflichtet, Margins mit der Clearing Stelle zu halten. p Der Verkäufer hat eine Short Position in der Option. • Der Basiswert einer Option ist das der Option zugrundeliegende Instrument. Dieses Instrument wird bei der Ausübung des Optionsrechtes geliefert. • Bei der Option zugrundeliegenden Instrument kann es sich um ein Instrument des Kassamarktes oder des Futures Marktes handeln. • Der Basispreis ist der Preis, zu dem der Käufer der Call (Put) Option den der Option zugrundeliegenden Basiswert bei der Ausübung des Optionsrechtes erwerben (verkaufen) kann. Der Basispreis wird auch Exercise (X) oder Strike Price genannt. Prof. Dr. Rainer Elschen - 179 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 O Options-Begriffe ff (2) • Basispreise werden in Intervallen von E 5 (X<99), E 10 (100<X<199), E 20 (200<X<499) E 50 (500<X<999) und E 100(X>1000) festgelegt. (200<X<499), festgelegt • Der Verfallstermin von Optionen ist der letzte Tag, an dem das Optionsrecht ausgeübt werden kann. Dieser Verfallstag ist der erste Börsentag nach dem dritten Freitag g des Verfallmonats. Nach dem Verfallstermin sind alle Optionen p wertlos. Der letzte Handelstag einer Optionsserie ist der dritte Freitag des Verfallmonats. • Die Verfallsmonate der an Börsen gehandelten Optionen folgen einem f t l t festgelegten Z Zyklus. kl Der D für fü die di an der d Eurex E gehandelten h d lt Aktienoptionen Akti ti gültige ülti Zyklus der Verfallstermine basiert auf Laufzeiten der Kontrakte von 1,2 und 3 Monaten. Ein weiterer Kontrakt wird auf den März-Zyklus basierenden nächsten Monat gehandelt. • Die Optionsprämie ist der zwischen Käufer und Verkäufer der Option ausgemachte Tauschpreis. Die Prämie wird vom Käufer der Option an den Verkäufer gezahlt. • Prämien werden allgemein als Preis pro Einheit des Basiswertes quotiert. Der Preis einer Option wird mit Preisabstufungen von E 0,01 ermittelt, soweit nicht von den Geschäftsführungen der Eurex-Börsen etwas anderes bestimmt wird. Prof. Dr. Rainer Elschen - 180 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 O Options-Begriffe ff (3) • Eine amerikanische Option kann vom Käufer zu jedem Zeitpunkt während der L f it ausgeübt Laufzeit übt werden. d • Eine europäische Option kann dagegen vom Käufer nicht während der Lauf- zeit sondern nur am Verfallstermin ausgeübt werden. • Von wenigen Ausnahmen abgesehen, handelt es sich bei an Börsen gehandelten Optionen um amerikanische Optionen. • Ein Eröffnungskauf g ((-verkauf)) ist eine Transaktion,, bei der der Investor eine long g (short) Optionsposition einnimmt. • Ein Glattstellungskauf (-verkauf) ist eine Transaktion, bei der der Investor eine Option, p , die die gleichen g Konditionen wie die vorher verkaufte (gekaufte) (g ) Option p aufweist, nun (zurück-) kauft (verkauft). Mit dieser Transaktion hat der Investor effektiv alle vorherigen Rechte und Verpflichtungen eliminiert, und damit seine ursprüngliche Position glattgestellt. Prof. Dr. Rainer Elschen - 181 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 O Options-Begriffe ff (4) ( ) • Das offene Interesse ist die zu einem Zeitpunkt existierende Anzahl aller O ti Optionskontrakte. k t kt • Wenn sowohl Käufer als auch Verkäufer in eine neue Optionsposition eintreten, so erhöht sich das offenen Interesse. • Wenn sowohl Käufer als auch Verkäufer durch eine Transaktion eine vorher eingenommene Position glattstellen, so verringert sich das offene Interesse. • Bei allen anderen Transaktionen bleibt das offene Interesse konstant. Prof. Dr. Rainer Elschen - 182 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Börsen und d Underlyings d l • Wichtige Optionsbörsen – Eurex – CBOE – AMEX • Underlyings von Financial Options – Aktien – Währungen g – Indizes – Futures Prof. Dr. Rainer Elschen - 183 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Teilnehmer l h am O Optionsmarkt k • Börsenteilnehmer – Market Marker – Einfacher Teilnehmer ▪ Kundengeschäft (Broker) ▪ Eigenhandel h d l ((Prinzipial) l) • Kundengeschäft (Broker) – Auftragsausführung – Provisionseinnahmen – Clearing / Nonclearing – Führung der Margin Konten – Marktanalyse – Beratung – Ausbildung • Publikum – Institutionen / Privatanleger – National / International Prof. Dr. Rainer Elschen - 184 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Komponenten des d O Optionsauftrags f • Kauf / Verkauf • Eröffnung / Glattstellung • Festlegung des Basiswertes • A Anzahl hl der d Kontrakte K t kt • Festlegung der Laufzeit • Festlegung g g des Basispreises p • Laufzeit des Auftrages – Tagesauftrag – Fixiertes Datum – Widerruf • Festlegung der Optionsprämie – Marktpreis – Limitierter Preis Prof. Dr. Rainer Elschen - 185 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Exotische h Optionen O • Was unterscheidet exotische Optionen von klassischen Optionen? – Variation der Laufzeit und der Ausübungsmodalitäten – Variation der Anzahl und der Art der Basisinstrumente – Variation des Basispreises – Variation der Auszahlungsfunktion Prof. Dr. Rainer Elschen - 186 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Variation Laufzeit f und d Ausübungsmodus b d • Bermuda-Optionen – Die Ausübung ist nur zu festgelegten Terminen innerhalb der Laufzeit möglich. Einzelne Tage oder eine Reihe von Terminen können als Ausübungszeitpunkte festgelegt werden. – Anwendung: Hedging von Anleihen mit Kündigungsrechten (Callable bzw bzw. Puttable Bonds), oder auch zur Absicherung von Optionen auf Swaps (Swaptions) mit Ausübungsmöglichkeiten an den Kündigungsterminen der Anleihe • Forward Start Option/ Delayed Option – Die Optionsprämie wird bei Geschäftsabschluss fällig, jedoch beginnt die Laufzeit der Option ab einem zukünftigen Zeitpunkt. Der Bezugspreis wird i.d.R. bei Abschluß des Geschäftes als Prozentsatz des bei Laufzeitbeginn aktuellen Marktpreises festgelegt. Der Bezugspreis wird bei Laufzeitbeginn gefixt (Strike Fixing). Fixing) Prof. Dr. Rainer Elschen - 187 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Variation Basisinstrument • Basket-Optionen – Das Underlying besteht aus einem Korb (Basket) mehrerer gleichartiger Instrumente. Das Basket kann aus Aktien bestimmter Branchen (z.B. Automobil, Banken, Chemie...) oder Währungen bestimmter Regionen (z.B.Asien, Lateinamerika, Osteuropa) zusammengesetzt sein. – Der Preis des Baskets ist die gewichtete Summe der Einzelinstrumente, wobei bei Vertragsabschluß die Gewichtungsfaktoren und die Bestandteile zu fixieren sind. – Der Ausübungspreis wird zu 1 +/- X% des Basketwertes beim Fixing festgelegt. – Absicherung bzw. Spekulation bei Sonderbewegungen bestimmter Wirtschaftsregionen Prof. Dr. Rainer Elschen - 188 - Branchen oder Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Variation Basisinstrument (2) • Rainbow Option – Multifaktor-Option, die sich durch Bezug auf mehrere Underlyings auszeichnet. – Spread Optionen: ▪ Bezugnahme auf die Differenzen von Preisen oder Renditen zweier Basisinstrumente (z.B. (z B Renditespread von Staatsanleihe und Aktienindex) – Exchange Option ▪ Tausch eines Basisinstrumentes gegen ein anderes (Kauf von Pfund gegen EURO) • Q Quanto-Optionen t O ti – Optionen, deren Auszahlung in einer anderen Währung als die des Basisinstrumentes vereinbart wird („Quantity Adjusting Option“). – Der Wechselkurs wird vorab festgelegt. festgelegt Diese Option wird häufig auch mit anderen exotischen Optionstypen gemischt. (z. B. Quanto auf Forward Start Options) Prof. Dr. Rainer Elschen - 189 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Variation Basisinstrument (3) • Compound Option – Optionen, deren Basisinstrument selbst wieder Optionen auf andere Basisinstrumente darstellen. Dabei können die Ausübungspreise von Mutter- und Tochteroption divergieren. ▪ Spekulation auf implizite Volatilitäten ▪ Potentiell Optionskäufer können den Kauf (Verkauf) in hoch (gering) volatilen Märkten auf zukünftige Zeitpunkte verschieben. • Wetteroption p – Optionen, deren Underlying die klimatische Entwicklungen einer vorab definierten Messstation (z.B. Station Flughafen Frankfurt) darstellt. – Besonders klimaempfindliche Branchen (Energieversorger, Wintersport-Touristik, Landwirtschaft) können sich damit gegen Umsatzeinbrüche absichern. Prof. Dr. Rainer Elschen - 190 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Variation Basispreis • Barrier Option – Optionen, die erst bei Über-oder Unterschreiten einer Wertschwelle (Barrier) des Basisinstruments ihre ursprüngliche Form annehmen (Knock-In-Option), oder wertlos verfallen (Knock-Out-Option). – Damit sind die Kombinationen Down Down-In In, Down Down-Out Out, Up Up-In In, Up Up-Out Out möglich. möglich Bei einem Down-In Call/Down-Out Call ist die Barriere meist unter dem Ausübungspreis, bei einem Down-In Put/Down-Out Put darüber. Die Barrier Optionen haben damit eine größeren Hebel, jedoch besteht das Risiko, dass die Option vorzeitig wertlos wird. • Korridor Option – Der Inhaber der Korridor Option erhält für jeden Tag der Laufzeit, der sich das Basisinstrument in einer bestimmten Wertgrenze befindet, einen vorab festgelegten Wertzuwachs der bei Fälligkeit zur Auszahlung kommt. Wertzuwachs, kommt – Einsatz nach sehr volatilen Marktphasen, wenn mit einer längeren Seitwärtsbewegung gerechnet wird. (z.B. DAX zwischen 5000 und 5500 Pkt.) Prof. Dr. Rainer Elschen - 191 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Variation Basispreis (2) • Asiatische Optionen – Optionen, deren Wert von der Entwicklung des Basisinstruments während der Laufzeit abhängt. – Average Price Option: ▪ Der beobachtete Durchschnittspreis des Underlyings wird als Spotpreis bei Fälligkeit gewertet. Die Auszahlung ergibt sich aus der Differenz des Durchschnittspreises zum Basispreis. – Average Strike Option ▪ Der Durchschnittspreis des Underlyings dient als Bezugspreis. Die Auszahlung bei Fälligkeit ergibt sich aus dem Spotpreis und dem Durchschnittspreis. Prof. Dr. Rainer Elschen - 192 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Variation Auszahlungsfunktion hl f k • Binär Option (Digital Option) – All-or-Nothing Option: ▪ Am Ende der Laufzeit wird eine fest vereinbarte Summe ausgezahlt, wenn die Option im Geld ist. Andernfalls verfällt sie wertlos. – Asset-or-Nothing Asset or Nothing Option ▪ Bei dieser Option wird entsprechend der Wert des Basisinstruments gezahlt oder verfällt wertlos. • Power Option – Power Optionen weisen nichtlineare Auszahlungsfunktionen auf, da die Differenz von Spotpreis und Strike mit einem Faktor (Multiple) versehen wird. Prof. Dr. Rainer Elschen - 193 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Long und d Sh Short Aktien k Positionen Short Ge ewinn Ge ewinn Gewinn und Verlust am Verfalltag Prof. Dr. Rainer Elschen Kurs Verlust Verlust Kurs Long - 194 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Long und d Sh Short Options-Positionen O Prof. Dr. Rainer Elschen Call Gewinn Short Put Strike - 195 - Long Strike Ve erlust Strike Gewinn Short Verlust Verrlust Gewinn Verrlust Gewinn Gewinn und Verlust am Verfalltag Long Strike Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5 8 Optionsstrategien 5.8 Prof. Dr. Rainer Elschen - 196 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S Synthetische h h Long und d Short Sh Future Positionen Long Future Gew winn Gew winn Gewinn und Verlust am Verfalltag Short Future Short Call Short Put Long Put Long Call Ve erlust Strike Ve erlust Strike Strategie: geringerer Kapitalbedarf gegenüber direktem Aktienkauf Prof. Dr. Rainer Elschen Strategie: Leerverkauf von Aktien - 197 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S l S Split Strike k Future Position Long Split Strike Future Gew winn Gew winn Gewinn und Verlust am Verfalltag Short Split Strike Future A B Nettoposition Ve erlust Ve erlust A Strategie: - Erwartung steigender Kurse, Absicherung für leicht fallende Kurse - geringerer Kapitaleinsatz gegenüber direktem Aktienkauf Prof. Dr. Rainer Elschen B - 198 - Nettoposition Strategie: - Erwartung fallender Kurse, - Absicherung für leicht fallende Kurse - Leerverkauf Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Bull-Price-Spread p Bear-Price-Spread p Gewin nn Gewin nn Price-Spread S d Position B A A Verlu ust Verlu ust B Nettoposition St t i Strategie: - E Erwartung t lleicht i ht steigender t i d K Kurse - Begrenzung maximaler Gewinn-/ Verlustmöglichkeiten - insensitiv gegenüber Volatilitätsveränderungen ä d Prof. Dr. Rainer Elschen - 199 - Nettoposition St t i Strategie: - E Erwartung t lleicht i ht ffallender ll d K Kurse - Begrenzung maximaler Gewinn-/ Verlustmöglichkeiten - insensitiv gegenüber Volatilitätsveränderungen ä d Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Butterfly fl Position Short Butterfly Gewinn Gewinn Long Butterfly A C B A Verlus st Strategie:- Erwartung eines wenig Strategie: veränderten Kurses - Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten - Kompensation von Volatilitätseffekten Prof. Dr. Rainer Elschen C Verlus st B Strategie:- Erwartung eines stark veränderten Kurses Strategie: - Erwartung steigender Volatilität - Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten - Kompensation von Volatilitätseffekten - 200 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 C d Position Condor Short Condor Gewinn Gewinn n Long Condor D A Strategie: - Erwartung sinkender Volatilität - Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten - Bildung einer Spanne maximaler Gewinne Prof. Dr. Rainer Elschen A C D Verlus st C Verlus st B B Strategie: - Erwartung einer stark steigenden Kursvolatilität - Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten auf Spanne zwischen den beiden mittleren Basispreisen - 201 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S ddl Position Straddle Short Straddle Gewinn Gewinn Long Straddle A Strategie: - Erwartung stark steigender Volatilität, die zu großen Kursveränderungen führt g Gewinnpotential p - unbegrenztes Prof. Dr. Rainer Elschen Verrlust Verlus st A Strategie: - Erwartung einer sinkenden Volatilität - Maximaler Gewinn bei kaum veränderten Kursen - hohes Risiko,, da unbegrenzte g Verlustpotentiale - 202 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S Strangle l Position Short Strangle Gewinn Gewinn Long Strangle A B Strategie: - Erwartung extrem steigender Volatilität - Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten Prof. Dr. Rainer Elschen B Verllust Verllust A Strategie: - Erwartung einer sinkenden Volatilität - Maximaler Gewinn bei kaum veränderten Kursen - Gewinnspanne zwischen den beiden Basispreisen - hohes Risiko, Risiko da unbegrenzte Verlust Verlustpotentiale - 203 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 8 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 204 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5.9 Optionsbewertung Prof. Dr. Rainer Elschen - 205 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Binomialmodell l d ll ((1)) Cox, Ross, Rubinstein (1976): Binomiale Optionsbepreisung • Grundlegende Annahme des Binomialmodells ist das Vorliegen der Bedingungen eines vollkommenen Kapitalmarktes. • Ferner sollen folgende g Eigenschaften g besonders hervorgehoben g werden: – freier Marktzugang – keine Friktionen, gesetzliche Restriktionen, Transaktions- oder Informationskosten – Leerverkäufe jederzeit gestattet, keine Margin Margin-Leistungen, Leistungen, fällige Verpflichtungen werden sofort erfüllt – Möglichkeit der jederzeitigen risikofreien Geldanlage sowie -aufnahme zu einem positiven, konstanten Zinssatz – Aktienkurse folgen einem Binomialpfad über diskrete, äquidistante Zeitpunkte Prof. Dr. Rainer Elschen - 206 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Binomialmodell l d ll (2) • Optionspreise können ohne Rückgriff auf Risikopräferenzen abgeleitet werden • Zugrunde liegende Prinzipien sind – „pricing by duplication“ – „law of one price“ • Grundidee: • Gelingt es, die zustandsabhängigen Rückflüsse einer Option mit einem Portefeuille aus anderen Finanztiteln mit bekannten Marktpreisen zu duplizieren, so lässt sich daraus der Preis für die Option ableiten (sog. äquivalentes Portefeuille). Prof. Dr. Rainer Elschen Zwei Finanztitel, die in jedem Umweltzustand identische Rückflüsse versprechen, müssen denselben Preis haben, da ansonsten Arbitragegewinne erzielbar wären. - 207 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Wertverlauf l f eines Call C ll b bei einperiodischer d h Binomialmodellierung l d ll Kontraktabschluß Maturität up - Fall A+= uA=120 C+ = max(0; uA-X) = uA-X C+ = 120 - 100 = 20 u Aktie = 100 Option = ? down - Fall A-= dA = 85 C- = max (0; dA-X) = 0 C- = max (0;85 (0 85 - 100) = 0 d u = A+/A => u = 1,2 12 d = A-/A => d = 0,85 i = 0,1 =10% Wertfindung für den Call anhand Duplizierung der Option durch ein synthetisches Portefeuille Prof. Dr. Rainer Elschen - 208 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Wann sind die Werte des Call und des Synthetischen Portefeuilles gleich? Äquivalenz Wert des Call: ? X A C ≥ max[0; A − Xe −it ] mit: A = Kassakurs X = Ausübungspreis Prof. Dr. Rainer Elschen - 209 - synthetisches Portefeuille: Portefeuil le = a ⋅ A + M mit: a = Anzahl Aktien M= Kreditaufnahme/Geldanlage zum Zins i (M<0 bei Kreditaufnahme) (M>0 bei Geldanlage) Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Portefeuillewert: Wert der Call - Option im Zeitpunkt T: ⇒ bei gestiegenen Kursen: Portefeuil lewert = ⇒ bei gestiegenen Kursen: a ⋅ (1 + r + ) ⋅ A + (1 + i) ⋅ M + C = A T − X da d AT > X mit: ⇒ bei gefallenen Kursen: C − = 0 da A T < X A + − A 0 uA − A 0 r = = A0 A0 + ⇒ bei gefallenen Kursen: P t f il lewert Portefeuil l t = a ⋅ (1 + r − ) ⋅ A + (1 + i) ⋅ M mit: Prof. Dr. Rainer Elschen - 210 - A − − A 0 dA − A 0 r = = A0 A0 − Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Zusammenführung: f h Die Rückflüsse des Synthetischen Portefeuilles müssen in beiden Zuständen denen d Call des C ll ( C+ C+; C C- ) entsprechen t h ! C + = a ⋅ (1 + r + ) ⋅ A + (1 + i ) ⋅ M C − = a ⋅ (1 + r − ) ⋅ A + (1 + i ) ⋅ M ⇒ Matrixschreibweise: ⎡(1 + r + ) ⋅ A (1 + i)⎤ ⎡ a ⎤ ⎡C + ⎤ ⋅ = ⎥ ⎢ −⎥ ⎢ ⎢ ⎥ − ⎢⎣(1 + r ) ⋅ A (1 + i)⎥⎦ ⎣M ⎦ ⎢⎣C ⎥⎦ Prof. Dr. Rainer Elschen - 211 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Lösung des d Gl Gleichungssystems: h a= C+ − C− + − (r − r ) ⋅ A M= = C+ − C− + A −A − ⇒ sogenanntes Optionsdelta ((Spanne p möglicher g Optionspreise p p bezogen auf die Spanne möglicher Aktienkursentwicklungen) (1 + r + ) ⋅ C − − (1 + r − ) ⋅ C + (r + − r − ) ⋅ (1 + i) Prof. Dr. Rainer Elschen - 212 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Einsetzen in die d G Grundgleichung d l h d des äquivalenten l Portefeuilles: f ll C = a ⋅A + M ⇔ Callpreis = Optionsdelta * Aktienkurs + Kreditaufnahme/Geldanlage es ergibt sich: mit mit: p ⋅ C + + (1 − p) ⋅ C − C= 1+ i p≡ i − r− + r −r (1 − p) ≡ − r+ − i r+ − r− Da p und (1-p) nicht von der Eintrittswahrscheinlichkeit für Steigen oder Fallen des Underlyingkurses abhängen, sondern nur von der Spanne möglicher Kursentwicklungen werden sie auch als „Pseudo-Wahrscheinlichkeiten“ Kursentwicklungen, Pseudo Wahrscheinlichkeiten“ bezeichnet. bezeichnet Prof. Dr. Rainer Elschen - 213 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Preisbestimmung b einer Put-Option O ⇒ Für die Preisbestimmung eines Puts (P) ergibt sich eine analoge Berechnung (die G öß Größen C C, C+, C- sind i d entsprechend t h d durch d h P, P P+, P- zu ersetzen). t ) Prof. Dr. Rainer Elschen - 214 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Zahlenbeispiel hl b l zum äquivalenten l Portefeuille: f ll Aktie = 100 Option = ? u up - Fall: A+= uA=120 C+ = 120 - 100 = 20 d down - Fall: A-= dA = 85 C- = max (0;85 - 100) = 0 t0 up-Fall Verkauf eines C all + 12,99 Ausübung: Kauf von a Aktien + 100 - 57,14 Eindecken (1-a): Kreditaufnahme down-Fall + 44,16 Tilgung: - 51,43 Verkauf +48,75 - 48,57 Tilgung: - 48,75 0 • 0 Schwankungsbreite – für die Option: – für fü die di Aktie: Ak i Prof. Dr. Rainer Elschen 20 - 0 = 20 120 - 85 = 35 → somit : - 215 - a= 20 = 0,571428 35 0 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Erweiterung des d Binomialmodells l d ll ffür d den Zweiperiodenfall d f ll Kontraktabschluss t0: t1: A+ Aktie = 100 Call = ? u d = 120 C+ = ? C- = ? Maturität t2: u d u A++ = 144 C++ = 144 - 100 = 44 A+ -= A- + = 102 C+ - = C- += 102 - 100 = 2 A- = 85 d • C- - = max(0; 72,25-100) = 0 A- - = 72,25 Der Wert des Call in t0 kann rekursiv ausgehend von t2 über t1 errechnet werden: – in t2: up - up Fall: C++ = A+ + - X = 144 - 100 = 44 – in t2: up - down Fall: C+ - = C-+ = A+ - - X = 102 - 100 = 2 – in i t2 t2: down d - down d F ll C - = max (0; Fall: (0 A A--X) X) = max (0 (0; 72 72,25 25 - 100) = 0 Prof. Dr. Rainer Elschen - 216 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Erweiterung des d Binomialmodells l d ll ffür d den Zweiperiodenfall d f ll (2) • Nach Berechnung des Optionspreises für t = 2 durch Subtraktion des B i Basispreises i vom Akti Aktienkurs k k kann der d Wert W t der d O Option ti C+ und d CC durch d h Einsetzen in die Bewertungsgleichung ermittelt werden: ⇒ für t=1 : ++ −+ p C ( 1 p ) C 0,71429 ⋅ 44 + (1 − 0,71429 ) ⋅ 2 ⋅ + − ⋅ C+ = = = 29,09091 1+ i 1 + 0,1 −+ −− p C ( 1 p ) C 0,71429 ⋅ 2 + (1 − 0,71429 ) ⋅ 0 ⋅ + − ⋅ C− = = 1,29870 = 1+ i 1 + 0,1 ⇒ Rekursiv kann also auch der Wert der Option für t = 0 ermittelt werden : p ⋅ C + + (1 − p) ⋅ C − 0,71429 ⋅ 29,09091 + (1 − 0,71429 ) ⋅1,2987 C= = 1+ i 1 + 0,1 = 19,2275257 ≈ 19,23 Prof. Dr. Rainer Elschen - 217 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Abschließende b hl ß d Hinweise zum Binomialmodell: l d ll • Durch die Verlängerung der Laufzeit im Beispiel um eine Periode ist der O ti Optionspreis i von 12 12,99 99 auff 19 19,23 23 gestiegen. ti • C+- und C-+ müssen identisch sein ! • Handelt es sich nicht um g ganzjährige j g Perioden,, sondern um Subperioden, p , dann ist die unterjährige Verzinsung zu beachten. z.B.: i Bin = (1 + i) ( t ) m −1 mit m = Anzahl der Subperioden pro Jahr • Die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Kursentwicklung spielen für die g der Optionspreise p p keine Rolle. Ermittlung Literaturhinweis: Steiner/Bruns, S.274-297; Franke/Hax, S. S.366-369 Prof. Dr. Rainer Elschen - 218 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 9 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 219 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5.9 Optionsbewertung (Fortsetzung) Prof. Dr. Rainer Elschen - 220 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Black l k & Scholes-Modell S h l d ll ((1)) • Black, Fisher/ Scholes, Myron (1972): Stetige Optionsbepreisung Lässt man die Anzahl der Perioden im Binomialmodell wachsen und verkleinert man den Abstand der Intervalle, nähert sich die diskrete Binomialverteilung der stetigen logarithmischen Normalverteilung an. (De Moivre-Laplace G Grenzwertsatz) t t ) • Black & Scholes unterstellen weiter: – Normalverteilung der Aktienrendite – europäische Optionen – das Fehlen von Dividenden und Bezugsrechten – kontinuierlichen Wertpapierhandel – einen kontinuierlichen, stochastischen Aktienkursverlauf (Random Walk) – vollkommener Kapitalmarkt (u.a. bekannter, einheitlicher Zins i, zu dem restriktionslos Geld aufgenommen/angelegt werden kann) – beliebige Teilbarkeit der Wertpapiere und Leerverkäufe Prof. Dr. Rainer Elschen - 221 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Das Black l k & Scholes-Modell S h l d ll (2) • Der Optionspreis kann im Folgenden als Funktion der Variablen aufgefasst werden: d A = Aktienkurs X = Basispreis i = risikoloser k l Zins t = Restlaufzeit der Option in Jahren σ = Aktienkursvolatilität • Der Black&Scholes Ansatz unterstellt folgenden stochastischen Prozess für die Aktienkurse: dA = μAdt + σAdz mit: dz μ : momentan erwartete Aktienrendite : Wiener Prozess Literaturhinweis zum Wiener Prozess: Hull, S.218-236 Prof. Dr. Rainer Elschen - 222 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Black l k & Scholes S h l Bewertungsfunktion f k für f Calls C ll C = A ⋅ NV(d1 ) − X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(d2 ) C Untergrenze: C = max[ 0 ; A - Xe-it] Obergrenze: C=A Zeitwert innerer Wert X ⋅ e −i⋅t Out of the Money y Prof. Dr. Rainer Elschen At the Money y - 223 - A X In the Money y Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Black l k & Scholes S h l Optionsbewertungsformel O b f l (Call) (C ll) C mit: B/S = A ⋅ NV (d1 ) − X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV (d 2 ) ⎛A⎞ ln⎜ ⎟ + (i + 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t X d1 = ⎝ ⎠ σ⋅ t ⎛A⎞ ln⎜ ⎟ + (i − 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t X⎠ ⎝ d2 = = d1 − σ ⋅ t σ⋅ t NV = Flächeninhalt unter der Standardnormalverteilung von -∞ ∞ bis di Prof. Dr. Rainer Elschen - 224 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Beispiell zum Black l k&S Scholes-Modell h l d ll ((1)) • Der Kurs einer Aktie ist heute A = 111. Es gibt eine Kaufoption, die es dem O ti Optionsinhaber i h b erlaubt, l bt di die Aktie Akti nach h einem i Jahr J h zum Basispreis B i i von X = 100 zu erwerben. Die Volatilität der Aktie wird mit 0,4 beziffert. Welchen Wert hat der Call heute, wenn man für die gesamte Restlaufzeit einen risikolosen Zins in Höhe von i = 10 % unterstellen kann? • Zunächst gilt es, die Argumente d1 und d2 zu bestimmen: ⎛A⎞ ⎛ 111 ⎞ ⎟ + (0,1 + 0,5 ⋅ 0,4 2 ) ⋅1 l ⎜ ⎟ + (i + 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t ln l ⎜ ln ⎝X⎠ ⎝ 100 ⎠ = => = 0,7109 d1 σ⋅ t 0,4 ⋅ 1 d = d − σ ⋅ t => 0,7109 − 0,4 ⋅ 1 = 0,3109 2 • 1 Die zugehörigen Werte der Standardnormalverteilung lauten: NV (d1 ) ≈ 0,7611 Prof. Dr. Rainer Elschen sowie - 225 - NV (d 2 ) ≈ 0,6217 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Beispiell zum Black l k&S Scholes-Modell h l d ll ((1)) • Anschließend können die Werte in die Bewertungsformel eingesetzt und der O ti Optionspreis i b bestimmt ti t werden: d C B / S = A ⋅ NV (d1 ) − X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(d 2 ) = 111 ⋅ 0,7611 − 100 ⋅ e −0,1⋅1 ⋅ 0,6217 ≈ 28,2284 Prof. Dr. Rainer Elschen - 226 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Die Put-Call-Parität C ll Portefeuille I: Portefeuille II: Ein Call und eine laufzeitkongruente Anlage in Höhe des abgezinsten Ausübungspreises bei Maturitä ät: PortefeuillePo tefe ille wert heute: Szenario I: A>X Szenario II: A<X ein Put und eine Aktie, die der Option als Underlying dient C + X ⋅ e −i⋅t P+A A−X+X = A 0+A = A 0+X = X X−A+A = X Da beide Portefeuilles in allen möglichen Umweltzuständen die gleichen Rückflüsse versprechen, müssen sie auch gegenwärtig den gleichen Wert haben: E muß Es ß gelten: lt Prof. Dr. Rainer Elschen C + X ⋅e − i⋅t - 227 - ! =P+A Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Put-Optionspreise O Die Bewertungsformel für Puts läßt sich über die Put-Call Parität ableiten: In die Put-Call Parität C + X ⋅ e −i⋅t = P + A wird die Black/Scholes Bewertungs Bewertungsgleichung für Calls C = A ⋅ NV (d1 ) − X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV (d 2 ) eingesetzt: A ⋅ NV (d1 ) − X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV (d 2 ) + X ⋅ e −i⋅t = P + A ⇔ P = − A ⋅ [1 − NV(d1 )] + X ⋅ e −i⋅t ⋅ [1 − NV(d 2 )] => P = − A ⋅ NV( −d1 ) + X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV( −d 2 ) mit: ⎛A⎞ ln⎜ ⎟ + (i + 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t X d1 = ⎝ ⎠ σ⋅ t Prof. Dr. Rainer Elschen und ⎛A⎞ ln⎜ ⎟ + (i − 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t X d2 = ⎝ ⎠ = d1 − σ ⋅ t σ⋅ t - 228 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Black l k & Scholes S h l Bewertungsfunktion f k für f Puts P X⋅e −i⋅t P = − A ⋅ NV(−d1 ) + X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(−d2 ) Untergrenze: P = max[ 0 ; Xe-it -A] X ⋅ e −i⋅t In the Money Prof. Dr. Rainer Elschen At the Money - 229 - A Out of the Money Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Einflussfaktoren fl f k auff Optionspreise O Einfluss uss auf: au Sensitivität der Optionspreise Kurs Basiswert steigt Delta Ausübungspreis Wachsende Restlaufzeit Theta Volatilität Vega Zins Rho Dividende Prof. Dr. Rainer Elschen - 230 - Call Put ⇑ ⇓ ⇓ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇓ ⇑ ⇓ Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Griechische h h Variablen bl Die Reaktion des Optionspreises auf eine marginale Änderung (ceteris paribus) einer d genannten der t F kt Faktoren läßt sich i h durch d h Sensitivitätskennzahlen S iti ität k hl ausdrücken, d ü k fü die für di sich die Verwendung griechischer Variablen etabliert hat. p Das Optionsdelta p mißt die Sensitivität des Optionspreises p p bezüglich g Optionsdelta: einer marginalen Änderung des Aktienkurses, d.h. es gibt näherungsweise an, wie sich der Preis der Option ändert, wenn sich der Kurs des Underlying um eine Einheit ändert. Delta Call = Δ Call = Es gilt: ∂C = NV (d1 ) ∂A Delta Put = Δ Put = Δ Call − Δ Put = 1 Prof. Dr. Rainer Elschen - 231 - ∂P = NV (d1 ) − 1 ∂A Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 C ll - Preise Call 60 50 40 30 Call - Preise 20 10 Prof. Dr. Rainer Elschen Aktie nkurs - 232 - 150 146 138 134 130 126 122 118 114 110 106 102 98 94 90 86 78 74 70 66 6 62 6 58 5 0,1 54 4 0,21 50 lat ilit ät 82 0,32 Vo 142 0 0,43 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 G Gamma und dO Omega Optionsgamma: Das Optionsgamma gibt die Sensitivität des Optionsdeltas bezüglich einer i marginalen i l Ä d Änderung d Aktienkurses des Akti k an. GammaCall = GammaPut = ΓCall = ΓPut = ∂Δ Call ∂ΔPut NV′(d1 ) = = ∂A ∂A A⋅σ⋅ t NV´(d1) stellt dabei den Funktionswert und nicht den Flächeninhalt der Standardnormalverteilungsdiche an der Stelle d1 dar. Optionsomega: Das Optionsomega bemißt die Elastizität des Optionspreises in bezug g Veränderung g des Aktienkurses. Mitunter wird das Omega g auch auf eine marginale als Leverage Faktor bzw. als Hebel bezeichnet. OmegaCall = Ω Call = Prof. Dr. Rainer Elschen ∂C / C A = NV (d1 ) ⋅ ∂A / A C g Put = ΩPut = Omega - 233 - ∂P / P A = [NV(d1 ) − 1] ⋅ ∂A / A P Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Delta l - Call C ll 1 0,9 0,8 0,7 0,6 Call - Delta 0,5 0,4 Prof. Dr. Rainer Elschen - 234 - 92 86 80 74 68 2 62 56 0,1 50 0,16 0,22 2 0,,28 0,34 0,46 Volatilität 0,4 128 122 1 110 104 0 98 0,1 116 0,2 Aktienkurs 134 140 146 0,3 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Optionsgamma 0,05 0,045 0,04 0,035 0 03 0,03 0,025 Gamma 0,02 0,015 0,01 0,1 0,17 0,005 0,24 Volatilität0,31 0 Prof. Dr. Rainer Elschen Aktienkurs - 235 - 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94 102 1 106 110 14 11 11 18 12 22 126 0 130 134 4 138 8 142 2 146 150 0,45 98 0,38 Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 O Omega - Call C ll 100 90 80 70 60 50 40 30 20 0,1 10 0,21 Volatilität0,32 - 236 - 50 54 58 62 70 74 78 7 82 8 86 8 90 9 94 9 98 9 10 02 106 110 0 114 4 118 8 122 2 126 6 130 0 134 138 142 146 150 Prof. Dr. Rainer Elschen Aktienkurs 66 0 0,43 Call - Omega Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Rho h und d Theta h Optionsrho: Das Options - Rho drückt die Sensitivität des Optionspreises in bezug auff Veränderungen V ä d des d risikolosen i ik l Zinssatzes Zi t aus. Die Di Bedeutung B d t des d Zinssatzes Zi t nimmt mit abnehmender Restlaufzeit immer mehr ab. Bei steigenden Aktienkursen hingegen nimmt die Bedeutung zu, da höhere Aktienkurse höhere pp bedeuten. Opportunitätskosten RhoCall = ∂C = t ⋅ X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(d2 ) ∂i RhoPut = ∂P = −t ⋅ X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(−d2 ) ∂i Optionstheta: Das Optionstheta bemisst die Sensitivität des Optionspreises in bezug auf die Veränderung der Restlaufzeit. Folglich kann es als Maß für den Zeitwertverfall interpretiert werden. ThetaCall = ΘCall = − ThetaPut = ΘPut = − Prof. Dr. Rainer Elschen ∂C − A ⋅ NV′(d1 ) ⋅ σ = − X ⋅ i ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(d2 ) ∂t 2⋅ t ∂P A ⋅ NV′(d1 ) ⋅ σ = − X ⋅ i ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(−d2 ) ∂t 2⋅ t - 237 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Rho h - Call C ll 80 70 60 50 Call - Rho 40 30 20 0,73 0,61 , 10 0,49 0 Prof. Dr. Rainer Elschen - 238 - 150 0 01 0,01 145 140 135 130 0 125 5 12 20 0,13 11 15 110 1 105 Aktienkurs 100 95 90 85 0,25 80 75 70 65 60 50 55 0,37 Restlaufzeit in Jahren Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Theta h - Call C ll 0 -20 -40 Call - Theta -60 -80 -100 0,73 0,61 0,49 -120 Prof. Dr. Rainer Elschen - 239 - 150 0 01 0,01 145 140 135 5 130 12 25 120 0,13 115 1 110 105 Aktienkurs 100 95 90 85 80 75 70 65 55 60 50 0,37 0,25 Restlaufzeit Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Options-Vega • Options-Vega: Das Options - Vega misst den Einfluss infinitesimal kleiner Ä d Änderungen der d Volatilität V l tilität auff die di Optionspreise. O ti i Diese Di wirkt i kt sich i h gleichermaßen l i h ß auf Call- und Put - Preise aus. υCall = υPut = ∂C ∂P = = VegaCall = VegaPut = A ⋅ t ⋅ NV′(d1 ) ∂σ ∂σ ⇒ Mit abnehmender Restlaufzeit sinkt der Einfluß veränderter Volatilität auf die Optionspreise. Insofern steht dieser Effekt in diametralem Gegensatz zu dem Einfluss des Options - Thetas, Thetas das mit abnehmender abnehmende Restlaufzeit Restla f eit an Bede Bedeutung t ng gewinnt. ge innt Prof. Dr. Rainer Elschen - 240 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Options - Vega 35 30 25 20 Optionsvega 15 10 5 0,73 0,61 0 61 0,49 0 Prof. Dr. Rainer Elschen - 241 - 150 0,01 145 140 135 130 125 120 0 0,13 115 5 11 10 105 Aktienkurs 100 1 95 90 85 0,25 80 75 70 65 60 55 50 0,37 Restlaufzeit in Jahren Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5 10 Delta- und Gammahedging 5.10 Prof. Dr. Rainer Elschen - 242 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Deltal und dG Gammahedging h d ((1)) • Sensitivität eines Portfolios gegenüber eines Risikofaktors ist gleich der Summe d Sensitivitäten der S iti ität der d Bestandteile B t dt il gegenüber üb dem d Risikofaktor Ri ik f kt • Zur Immunisierung des Risikos gilt: Δ[n ⋅ A + m ⋅ B] = n ⋅ ΔA + m ⋅ ΔB = 0 ΔA ⇒ m = -n ΔB • Sensitivität eines Portfolios gegenüber eines Risikofaktors ist gleich der Summe der Sensitivitäten der Bestandteile gegenüber dem Risikofaktor • Zur u Immunisierung u s e u g des Risikos s os gilt: g t Prof. Dr. Rainer Elschen - 243 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Deltal und dG Gammahedging h d (2) • Das Portfolio kann ebenso gegen andere Risikofaktoren immunisiert werden ( B das (z.B. d Gamma): G ) – Es sind so viele Hedging-Instrumente notwendig, wie Risiken zu neutralisieren sind – Das Gamma erfasst die Veränderungsrate des Optionsdeltas – Gamma-Neutralität G l impliziert l S Schutz h vor größeren ß Wertschwankungen h k d des Underlyings d l • Konstruktion Gamma-Neutralität: Portfoliobildung aus einer Aktie (S0 = 110) mit einer Standardabweichung von 20% zweii O 20%, Optionen ti C1(X C1(X=100)=14,08, 100) 14 08 C2(X C2(X=105)=10,53; 105) 10 53 risikolose i ik l Verzinsung 5%, Zeithorizont 6 Monate • Nach Black/Scholes sind die Delta- bzw. Gammawerte der beiden Optionen gegeben b d durch: h Prof. Dr. Rainer Elschen ΔC1(X = 100) = 0,8216 ΓC1(X = 100) = 0,0167 ΔC2 (X = 105) = 0,7178 0 7178 ΓC2 (X = 105) = 0,0217 0 0217 - 244 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Deltal und dG Gammahedging h d (3) • Die Immunisierung des Portfolios gegen Delta- und Gammaveränderungen erfolgt f l td durch: h x1 ⋅ 110 + x2 ⋅ 14,08 + x3 ⋅ 10,53 = 1 x1 ⋅ 1 + x2 ⋅ 0,8216 + x3 ⋅ 0,7178 = 0 x1 ⋅ 0 + x2 ⋅ 0,0167 + x3 ⋅ 0,0217 = 0 • Die Verhältnisse der drei Kontrakte sind gegeben durch: x1 = 0,0114 x2 = −0,0426 x3 = 0,0329 Prof. Dr. Rainer Elschen - 245 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Risikomanagement I - Vorlesung 10 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen - 246 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5.11 Impliziter Informationsgehalt aus Optionen (Momente impliziter Verteilungsfunktionen) Prof. Dr. Rainer Elschen - 247 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 1. Moment: Erwartungswert f(A) A E (A) • Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen ⇒ Future - Kurs als „bester“ Zukunftsschätzer ⇒ Informationsgehalt: Höhe der erwarteten Renditen Prof. Dr. Rainer Elschen - 248 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 2. Moment: Varianz f(A) A • Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen ⇒ implizite Volatilität aus empirischen Optionspreisen ermittelbar ⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzung über die Höhe des Risikos und somit über die Risikoprämie Prof. Dr. Rainer Elschen - 249 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3 Moment: Schiefe 3. S h f (Rechtsschiefe/Linksschiefe) ( h h f / k h f ) „Skewness“ Sk “ (1) ( ) f(A) A • Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen auf einem unvollkommenen Kapitalmarkt (mangelnde Arbitragemöglichkeiten!) ⇒ Abweichungen der Put - Call - Parität während der Laufzeit ⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzungen zu steigenden oder eher fallenden Kursen Prof. Dr. Rainer Elschen - 250 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 3 Moment: Schiefe 3. S h f (Rechtsschiefe/Linksschiefe) ( h h f / k h f ) „Skewness“ Sk “ (2) • C + Xe-it > P + A ⇒ Markt rechnet mit eher steigenden Kursen ⇒ rechtsschiefe Verteilung • C + Xe-it < P + A ⇒ Markt rechnet mit eher fallenden Kursen ⇒ linksschiefe Verteilung Merke: M k bei b i vollkommenem llk Kapitalmarkt K it l kt gilt ilt die di P Put-Call-Parität t C ll P ität Unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung Prof. Dr. Rainer Elschen - 251 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 4. Moment: Enden d der d Verteilung l „Kurtosis/Leptokurtosis“ / k “ f(A) E (A) A • Möglichkeiten der Ermittlung aus aktuellen Kursen: ⇒ Vergleich der impliziten Volatilitäten aus at at-the-money the money und out-of-the-money Optionen. Prof. Dr. Rainer Elschen - 252 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Gew winn Beispiell S Strangle l • A: Strike Price Long Put • B: Strike Price Long Call B ⇒ Kurs p , unterschiedliche Basispreise, gleiche Maturität Verlust A • falls: σimplizit Delta − Strangle out − of − the − money > σimplizit Delta − Strangle at − the − money dann: „Markt Markt“ unterstellt dickere Enden als bei Normalverteilung ⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzung über die Höhe der erwarteten Kursschwankungen Prof. Dr. Rainer Elschen - 253 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Informationsgehalt f h l von Volatilitätskurven l l k ((1)) Beispiel Volatility-Smile: • Empirische Beobachtung eines Volatility-Smiles läßt auf kurtosische Verteilungsfunktionen schließen. implizite Volatilität at-the-money Ausübungspreis Kassakurs Prof. Dr. Rainer Elschen - 254 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Informationsgehalt f h l von Volatilitätskurven l l k (2) f(A) ( ) implizite Verteilung log-normal Verteilung B1 B2 Bi: Basispreise ⇒ Beim B i deep-out-of-the-money d t f th Call C ll ist i t die di Wahrscheinlichkeit, W h h i li hk it B2 zu erreichen, größer als bei log-normal Verteilung. ⇒ Das höhere Risiko schlägt sich in höheren impliziten Volatilitäten nieder. Prof. Dr. Rainer Elschen - 255 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S Stochastische h h Volatilität l l - das d Hull&White ll& h Modell d ll ((1)) • Aufhebung der Annahme einer konstanten Volatilität • Einführung der Annahme eines stochastischen Prozesses für die Veränderung der Volatilität im Zeitverlauf (stochastische Volatilität) • für die Veränderung g der Volatilität folgt g bei Annahme eines Wiener Prozesses: dV = a(b − V )dt + ξV α dz V mit: Prof. Dr. Rainer Elschen V a, b, ξ, α dzV : Varianz : Konstanten : Wiener Prozess - 256 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S Stochastische h h Volatilität l l - das d Hull&White ll& h Modell d ll (2) • Unter Berücksichtigung der stochastischen Volatilität ergibt sich ein veränderter stochastischer t h ti h P Prozess d des U Underlying, d l i d der zur Preisbildung P i bild unterstellt t t llt werden d kann: dA = rdt + VdzS A • Unter Berücksichtigung der stochastischen Volatilität ergibt sich ein veränderter stochastischer Prozess des Underlying, der zur Preisbildung unterstellt werden kann: ∞ CH& W = ∫ CB& S ( V ) g ( V ) dV 0 mit: Prof. Dr. Rainer Elschen V : durchschnittliche Volatilität - 257 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 5.12 Stochastische Volatilität, Mean Reversion Prof. Dr. Rainer Elschen - 258 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 S Stochastische h h Volatilität l l - das d Hull&White ll& h Modell d ll (2) • Ergebnisse bei Black&Scholes gegenüber Hull&White: • Überpreisung von at-the-money Optionen • Unterpreisung von deep-in-the-money oder deep-out-of-the-money Optionen Prof. Dr. Rainer Elschen - 259 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Mean Reversion (1) ( ) • Empirische Beobachtungen der Tendenz von Marktvariablen (z.B. Strompreise) zu einem i langfristigen l f i ti Mitt Mittelwert l t ((„mean reversion“) i “) füh führen zu unbefriedigenden b f i di d Ergebnissen von Black&Scholes. • Für mean-reverting-Variablen gelte: dA t = α(L t − A t )dt + A t σdz t mit: Lt t α σ dzt Prof. Dr. Rainer Elschen At = Kassakurs = langfristiger Gleichgewichtspreis = Beobachtungshorizont = mean mean-reverting reverting Koeffizient = Volatilität = Wiener Prozeß - 260 - Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08 Mean Reversion (2) Ergebnisse: • Optionspreise nach Black&Scholes sind zu hoch, da das Risiko (Abweichung vom langfristigen Gleichgewichtskurs) bei mean reversion geringer ist. • Da im mean reversion Prozess mit zunehmender Abweichung des Kassakurses vom Gleichgewichtskurs die Wahrscheinlichkeit für ein zurückfallen des Kassakurses in Richtung des Gleichgewichtskurses ansteigt führt dies dazu, ansteigt, dazu daß die für die Restlaufzeit zu unterstellende Volatilität geringer ist, als bei der „ursprünglichen“ geometrischen brownschen Bewegung (bzw. des Wiener Prozesses). • Modifikation der Black&Scholes Preise mittels Berücksichtigung einer variablen Volatilität. Prof. Dr. Rainer Elschen - 261 -