Welle
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Physik II im Studiengang Elektrotechnik - Wellen - Prof. Dr. Ulrich Hahn SS 2008 Eigenschaften von Wellen Kette gekoppelter Oszillatoren: Auslenkung eines Oszillators Nachbarn folgen mit zeitlicher Verzögerung Anregungszentrum zeitlich variable Auslenkung eines Mediums an definiertem Ort räumliche Ausbreitung Auslenkungsprofil wandert durch das Medium mit bestimmter Geschwindigkeit Energietransport Medium: ohne Materietransport räumliche Anordnung gekoppelter Oszillatoren Kopplungsstärke Ausbreitungsgeschwindigkeit Oszillatoren nicht nicht separierbar: kontinuierliche Medien Wellen 2 Beispiele von Wellen Mechanik: Festkörper Seil, Feder Platte 3 dim. Körper Flüssigkeiten Gase Elektrodynamik: Vakuum, Nichtleiter Leiter Atome, Kerne: Wellen Oberflächenwellen Druckwellen Oberflächenwellen Druckwellen Druckwellen elektromagnetische Wellen Strom-, Spannungs-, Ladungswellen Ladungsverteilung im Raum Aufenthaltswahrscheinlichkeit 3 was beeinflußt die Wellenausbreitung? Welle: zeitlicher Verlauf Anregungszentrum Geometrie räumliche Verteilung Medium Anregungszentrum - Medium ebene Wellen Zylinderwellen Kugelwellen Richtungen von Auslenkung & Ausbreitung Transversalwellen Longitudinalwellen Mischformen Dämpfung im Medium Dispersion im Medium Wellen Auslenkung ⊥ Ausbreitung Auslenkung // Ausbreitung Deformation der räumlichen Verteilung 4 Ausbreitung eindimensionaler Wellen keine Dämpfung, keine Dispersion zeitlicher Verlauf der Auslenkung eines Punktes xi im Medium: phasenverschoben zum Anregungszentrum x0 nacheilend s (t , xi ) = s (t − ∆t , x0 ) räumlicher Verlauf der Auslenkung zu verschiedenen Zeiten tj: s (t j , x ) = s (t0 , x − ∆x) verschoben in Ausbreitungsrichtung s x1 x t1 t 5 Ausbreitung eindimensionaler Wellen Welle Ausbreitung eines räumlichen Auslenkungsmusters Muster zum Zeitpunkt t = 0: s ( x, t = 0) := f ( x) t > 0: s ( x, t ) := f ( x − c ⋅ t ) Welle in x-Richtung: c > 0 gegen x-Richtg: c < 0 c: Phasengeschwindigkeit alle Auslenkungszustände f(x) breiten sich im Medium mit c aus ein Punkt von f(x) beschreibt auch die Wellenausbreitung Wellenfront alle Punkte im Medium: gleiche Bewegung wie Anregungszentrum jeder Punkt: Anregungszentrum für weitere Ausbreitung Anregungszentrum x = 0: x > 0: Wellen s ( x = 0, t ) := g (t ) Schwingung s ( x, t ) := g (t − x / c) 6 harmonische Wellen Anregungszentrum schwingt harmonisch: g (t ) = sˆ ⋅ cos ωt ω x*) Oszillator am Ort x*: t t – x*/c c s(x,t) periodisch am Ort x* für die Zeitintervalle ωT = 2π ω Welle auf dem Medium zum Zeitpunkt t*: s ( x, t*) = sˆ ⋅ cos(− x + ωt*) c ω s(x,t) periodisch zur Zeit t* für die Ortsintervalle λ = 2π c s ( x*, t ) = sˆ ⋅ cos(ωt − λ : Wellenlä Wellenlänge 2π/λ := k : Wellenzahl ⇒ s ( x, t*) = sˆ ⋅ cos k ( x − c ⋅ t*) andere Zeiten t*: t = 0 : s ( x,0) := f ( x) = sˆ ⋅ cos kx x x – c t* Ausbreitung harmonischer Wellen: s ( x, t ) = sˆ ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x) andere Wellen: Fourieranalyse Wellen 7 Ausbreitungsgeschwindigkeit ∆s transversale Seilwelle: Wellenprofil Kreissegment ϑ= ∆s r r Fl r ϑ r Fr r r r r ϑ rücktreibende Kraft: FRück = Fl + Fr = 2 | F | sin 2 Kreisbogen stabil ⇔ rücktreibende Kraft = Zentripetalkraft r c² ϑ m∆s = 2 | F | sin r 2 σ c= ρ σ: Seilspannung F/Seilquerschnittsfläche Kopplung der Oszillatoren ρ: Dichte des Seilmaterials Trägheit der Oszillatoren istnur nurabhängig abhängigvon vonKenngrößen Kenngrößendes desMediums Mediums ccist Wellen 8 Ausbreitungsgeschwindigkeit Ausbreitung von Wellen im Medium Wellengleichung ∂s ( x, t ) ∂s ( x, t ) = c² ∂t ² ∂x ² Mechanik: Elektrodynamik: Kräfte Felder Ausbreitungsgeschwindigkeiten unterschiedlicher Medien: Longitudinalwellen (Gas) c = Longitudinalw. (Flüss.) c = Longitudinalw. (Stab) c = elektromagnet. Welle c = c = Wellen elektromagnet. Welle (2-Draht) κ⋅P ρ K ρ E ρ 1 µ ⋅ε P: mittlerer Druck κ: Adiabatenexponent 1 C /l⋅L /l C/l: Kapazitätsbelag L/l: Induktivitätsbelag K: Kompressionsmodul ρ: Dichte E: Elastizitätsmodul ρ: Dichte µ: Permeabilität ε: Permittivität 9 Energietransport Welle breitet sich im Medium aus: t =0 s Zone mit Epot ≠ 0 wandert Energietransport t=τ x | ℓ | Energiestrom: dE c P= = EWelle dt l kontinuierliche räumliche Medien: jeder Punkt Energiedichte w EWelle = wWelleVWelle ⇒ P = wWelle ⋅ c ⋅ AMedium P = IWelle ⋅ AMedium Intensitä Intensität harmonische Seilwelle: EOsz Wellen mOsz = ω² sˆ² 2 Energiestromdichte [W/m²] 1 I = ω² sˆ² ρσ 2 10 Wellenwiderstand elektromagnetische Wellen im 2-Draht: Energie eines Schwingkreises: E = 1 LSK iˆ² = 1 CSK uˆ ² 2 2 Energiestrom: 1 ˆ 11 Wellenwiderstand 1 L ˆ L ⇒ P = Z ⋅i ² = ⋅ uˆ ² P= ⋅ i ² mit := Z der Leitung 2 2Z 2 C C elektromagnetische Wellen im Raum: Z 1 µ r µ 0 rˆ I= |H |² 2 εr ε0 Seilwelle: Wellen L≙m 1/Z 1 r r r r w = ( E • D + H • B) 2 1 ε r ε 0 rˆ I= |E|² 2 µrµ0 ZVakuum = 377 Ω 1 ˆ 1 ⇒ Li ² =ˆ mvˆ ² 2 2 ⇒ iˆ² =ˆ vˆ ² 1 ⇒I = ρσ ⋅ vˆ ² 2 Z Seil = ρσ = ρc 11 Reflexion von Wellen was passiert am Ende des Mediums? „loses“ Ende: Reflexion Grenzoszillator kann ungehindert schwingen Profil der reflektierten Welle bleibt Grenzoszillator: keine Kopplung an Grenze „festes“ Ende: Grenzoszillator kann nicht schwingen Profil der reflektierten Welle wird invertiert Grenzoszillator: starre Kopplung an Grenze Wellen 12 Reflexion von Wellen was passiert der Grenze zwischen 2 Medien? Transmission c1 > c2: Reflexion Kopplung im Medium 1 stärker als im Medium 2 loses Ende Reflexion ohne Inversion c1 < c2: Kopplung im Medium 2 stärker als im Medium 1 festes Ende Reflexion mit Inversion sprunghafte Änderung von c: kontinuierliche Änderung von c: Wellen Transmission & Reflexion Transmission 13 Energieaufteilung an der Grenze Energiesatz: Eein = Erefl . + Etransm. ⇒ I ein = I refl . + I transm. einlaufende und reflektierte Welle: Medium 1 transmittierte Welle: Medium 2 c1, Z1 c2 , Z 2 elektromagnetische Welle auf Zweidraht: 1 1 1 2 2 2 ⇒ Z1 ⋅ iˆein = Z1 ⋅ iˆrefl + Z 2 ⋅ iˆtrans 2 2 2 iˆein + iˆrefl = iˆtrans Kirchhoffsche Regel an der Grenze: Reflexionsgrad Wellen I refl Z − Z2 R := =( 1 )² I ein Z1 + Z 2 I trans 2 Z1 =( )² Transmissionsgrad T := I ein Z1 + Z 2 FresnelFresnelFormeln 14 Energieaufteilung an der Grenze Grenzfälle: Medium 1: loses Ende ≙ c2 = 0 => Z2 = 0 ⇒ iˆrefl = iˆein Medium 1: festes Ende ≙ c2 → ∞, Z2 → ∞ ⇒ iˆrefl = −iˆein Medium 1: Abschluß mit Z1 „Wellensumpf“ Wellensumpf“ Wellen ≙ Z2 = Z1 ⇒ iˆrefl = 0 Abschluß von HF-Kabeln 15 Transversalwellen Wellen 16 Longitudinalwellen Wellen 17 Wasserwellen Wellen 18
