¨Ubung zur Vorlesung Statistik I für Biowissenschaften WS 2016

Übung zur Vorlesung Statistik I für
Biowissenschaften
WS 2016-2017
Übungsblatt 13
31. Januar 2017
Aufgabe 41 (1 Punkt): In einer Studie werden 10 Patienten therapiert. Die
Heilungswahrscheinlichkeit sei 50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
A
die drei letzten Patienten geheilt werden?
B
mindestens zwei der letzten drei Patienten geheilt werden?
C
der erste, der letzte und von den übrigen weitere 3 geheilt werden?
Aufgabe 42 (1 Punkte):
A
Beschreiben Sie mit Hilfe eines Laplace Wahrscheinlichkeitsraums das
dreimalige Werfen einer unverfälschten Münze. Geben Sie die Elemente
dieses Raums und die Wahrscheinlichkeit für jedes Element explizit an.
B
Obiges Experiment werde beschrieben durch drei unabhängige Zufallsvariablen Xi , i = 1, 2, 3, jeweils mit Xi = −1 für Zahl und Xi = +1 für
Kopf beim i-ten Wurf. Wie lautet die Bildmenge und Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable S = X1 + X2 + X3.
Aufgabe 43 (1 Punkt):
A
Die Wahrscheinlichkeit, beim Wurf eines fairen Würfels eine Eins zu würfeln, ist 61 . Es sei bekannt, dass in drei Versuchen genau zweimal eine 1
gewürfelt wurde. Wie wahrscheinlich ist es, dass der erste Wurf eine Eins
war?
B
Wie wahrscheinlich ist es, dass man beim ersten mal eine Eins gewürfelt
hat, wenn zusätzlich noch bekannt ist, dass der dritte Wurf eine Eins
war?
Aufgabe 44 (1 Punkt):
A
Eine Zufallsvariable X hat Erwartungswert 3 und Varianz 9. Bestimmen
Sie Erwartungswert, Varianz und Streuung (Standardabweichung) der
Zufallsvariablen 3 ∗ X + 3.
B
Eine Zufallsvariable Y nimmt nur die Werte 0 und 1 an. Y hat Erwartungswert 0.2. Berechnen Sie Varianz und Streuung von Y .
Aufgabe 45 (1 Punkt): Eine Zufallsvariable X habe Erwartungswert 3 und
Standardabweichung 4. Eine Zufallsvariable Y habe Erwartungswert 4 und
Standardabweichung 3. Angenommen die Zufallsvariable X + Y habe
A
Erwartungswert 7 und Standardabweichung 5
B
Erwartungswert 7 und Standardabweichung 7
C
Erwartungswert 7 und Standardabweichung 9.
Geben Sie für jeden der drei Fälle an, ob die beiden Zufallsvariablen X und Y
unabhängig sein können (mit Begründung).
Aufgabe 46 (1 Punkt): Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Zufallsexperiment das Ereignis X < 5 zu erhalten, sei 0.05, die Wahrscheinlichkeit X > 5
zu erhalten sei ebenfalls 0.05. Kann die Zufallsvariable mit einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung verteilt sein? (Begründung!)
Aufgabe 47 (1 Punkt): Die Funktion f sei stetig, symmetrisch zur y-Achse
und größer gleich Null. Es gelte für f : Das Integral von −∞ bis −3 sei 0.2
und das Integral von −3 bis +3 sei 0.6. Kann f die Dichte einer stetigen
Wahrscheinlichkeitsverteilung sein? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 48 (1 Punkt): Berechnen Sie für eine poissonverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert λ die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass
X ≥ 2 ist, wenn X ≥ 1 ist.
Aufgabe 49 (1 Punkt): Es sei S die Summe zweier unabhängiger poissonverteilter Zufallsvariablen mit Parameter λ1 und λ2 . Man kann beweisen, dass
S wieder poissonverteilt ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis S = 0.
Aufgabe 50 (1 Punkt): Als Normbereich bezeichnet man bei diagnostischen
Tests diejenigen Messwerte, die dafür sprechen, dass der/die Getestete gesund
ist (=negatives Testresultat). Beurteilen Sie die folgenden Aussagen:
A
Wenn der Normbereich verkleinert wird, steigt die Spezifität.
Richtig oder falsch?
B
Wenn der Normbereich verkleinert wird, steigt die Sensitivität.
Richtig oder falsch?
(Es wird davon ausgegangen, dass durch die Änderung des Normbereichs sich
für mindestens einen Kranken und mindestens einen Gesunden das Testergebnis ändert.)
Aufgabe 51 (1 Punkt): Bei einem Patienten verlief ein klinischer Test positiv. Sollte es den Patienten eher beunruhigen, wenn er erfährt, dass die Sensitivität des Tests niedrig ist oder wenn er erfährt, dass die Spezifität des Tests
niedrig ist?
Aufgabe 52 (1 Punkt): Füllen Sie die vier Lücken aus.
Ein Fehler erster Art wurde begangen, wenn die Nullhypothese
aber nach der Studie die Alternative
wurde.
Ein Fehler zweiter Art wurde begangen, wenn die Nullhypothese
aber nach der Studie die Alternative
wurde.
war,
war,
Aufgabe 53 (1 Punkt): Verifizieren Sie die folgenden Aussagen:
A
Die Power des t-Tests steigt, wenn bei sonst gleichen Rahmenbedingungen die Fallzahl verdoppelt wird.
Richtig/falsch?
B
Die Power des t-Tests steigt, wenn bei sonst gleichen Rahmenbedingungen das Signifikanzniveau verdoppelt wird.
Richtig/falsch?
C
Die Power des t-Tests steigt, wenn bei sonst gleichen Rahmenbedingungen der wahre Effekt verdoppelt wird.
Richtig/falsch?
Aufgabe 54 (1 Punkt): Ziel einer Studie sei der Vergleich von zwei Medikamenten (A und B) bezüglich ihrer Wirkung auf den Blutdruck. Die Patienten
werden zufällig auf zwei Therapiegruppen A und B verteilt. Der Blutdruck wird
unmittelbar vor Beginn der Studie und nach drei Wochen Therapie gemessen.
Die Werte werden stetig gemessen und seien normalverteilt. Dasselbe gelte für
die Differenzen der Werte. Mit welchem statistischen Test wird geprüft,
A
ob sich die beiden Gruppen am Anfang unterschieden,
B
ob die Werte am Ende der Studie für die Patienten insgesamt unterschiedlich zu den Werten am Anfang der Studie waren,
C
ob sich die beiden Gruppen am Ende unterschieden,
D
ob die Differenz “Messung nach drei Monaten minus Anfangswert“ in den
Gruppen unterschiedlich war?
Aufgabe 55 (1 Punkt): Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit
Varianz σ12 bzw. σ22 . Berechnen Sie die Varianz von X − Y und X + Y .
Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Montag, den 6.2.2017 direkt an
[email protected] (Gergana Stanilova).