Ubungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Institut für Informatik II
der Universität Bonn
Römerstraße 164
53117 Bonn
25. Mai 2000
Ch. Strelen / W. Sandmann
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Blatt 7, Besprechung: Donnerstag, 8. Juni, 13.30 Uhr, Hörsaal D
Die Tatsache bleibt bestehen, daß de Moivre der erste war, der die Mathematik der uns heute
bekannten Normalverteilungskurve umriß. Anerkennung dafür erfuhr de Moivre erst spät.
Lange nachdem er verblichen war, schrieb die Welt die Entstehung der Normalverteilung
erst einmal Gauß (sie wurde als die Gaußsche Kurve“ bekannt), dann Laplace zusammen
”
mit Gauß zu. De Moivre war ein Pechvogel, denn eine andere seiner Entdeckungen — der
Grenzwert einer Binomialverteilung — wurde Simeon Poisson zugeschrieben. Sie ist heute als
die Poisson–Verteilung bekannt! 1
THE
NORMAL
LAW OF ERROR
STANDS OUT IN THE
EXPERIENCE OF MANKIND
AS ONE OF THE BROADEST
GENERALIZATIONS OF NATURAL
PHILOSOPHY IT SERVES AS THE
GUIDING INSTRUMENT IN RESEARCHES
IN THE PHYSICAL AND SOCIAL SCIENCES AND
IN MEDICINE AGRICULTURE AND ENGINEERING IT IS AN INDISPENSABLE TOOL FOR THE ANALYSIS AND THE
INTERPRETATION OF DATA OBTAINED BY OBSERVATION AND EXPERIMENT 2
Hinweis: Wegen der Pfingstferien, des Feiertages am 22.6. und der dann bald anstehenden Klausur
müssen einige Termine für die Zentralübung ausfallen bzw. verlegt werden. Der folgenden Tabelle entnehmen Sie bitte die Termine für die Ausgabe und Besprechung der nächsten Übungsblätter.
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
erscheint am
Donnerstag, 8.6.
Dienstag, 20.6.
Donnerstag, 29.6.
wird besprochen am
Dienstag, 20.06., 17st Uhr
Donnerstag, 29.6., 13.30 Uhr
Dienstag, 4.7., 17st Uhr
Aufgabe 35
Ein Hobbymaler besucht einen Flohmarkt, um drei seiner Bilder zu verkaufen. Erfahrungsgemäß ist der
Preis, den er für ein Bild erzielen kann, eine normalverteilte Zufallsvariable, wobei der Mittelwert von der
Größe des Bildes (eine Mark pro 10cm2 ) und die Standardabweichung von der Zeit abhängt, die er für das
Malen benötigt hat (sechzig Mark dividiert durch die Anzahl der Stunden). Bei einem Bild, in dem viel
Arbeit steckt, geht man schließlich nur ungern mit dem Preis herunter! Die drei Bilder haben die Formate
B1 : 30cm×40cm, B2 : 30cm×50cm und B3 : 20cm×60cm (das dritte Bild ist ein Landschaftspanorama);
der Arbeitsaufwand betrug für B1 zwei Stunden, für B2 drei Stunden und für B3 sechs Stunden. Der
Preis eines Bildes ist jedoch unabhängig von den Preisen der anderen Bilder.
a) Berechnen Sie für jedes Bild die Wahrscheinlichkeit, daß der Maler es für einen Preis zwischen
DM 90,– und DM 150,– verkaufen kann. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verkauft er alle Bilder zu
diesen Konditionen?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er wenigstens die Materialkosten von DM 350,– decken?
1
G. Kennedy: Einladung zur Statistik
Dieses Zitat des Chemikers William John Youden (1900–1971) findet man in A.O. Allen: Probability, Statistics, and
Queueing Theory with Computer Science Applications.
2
Aufgabe 36
Eine Sekretärin hat zwei Telefone vor sich, die sie mit ihrem Chef im Zimmer nebenan bzw. mit der
übrigen Welt verbinden. Die Zeit C zwischen zwei Anrufen des Chefs ist exponentialverteilt mit dem
Parameter λ = 1 (pro Stunde); die Zeit A zwischen zwei Anrufen von außen ist exponentialverteilt
mit dem Parameter µ = 4 (ebenfalls pro Stunde). Welche Verteilung hat die Zeit T bis zum nächsten
Klingeln eines der beiden Telefone, wenn die Sekretärin gerade nicht telefoniert? Macht es für diese
Verteilung einen Unterschied, wenn sie bereits seit zehn Minuten ihre Ruhe hatte?
Aufgabe 37
Es sei die Zufallsvariable X exponentialverteilt mit Parameter λ. Berechnen Sie jeweils die Verteilungsfunktion, die Dichte, den Erwartungswert und die Varianz des Maximums von X und Y (X, Y
unabhängig) für Y ∼ E2 (µ) und für Y ∼ H2 (µ1 , µ2 , q1 ).
Aufgabe 38
Die Zeit V in Stunden, die ein Student während des Semesters in einer bestimmten Vorlesung verbringt,
sei N (30, 16) verteilt, und die Punktzahl K in Prozent, die er in der zugehörigen Klausur erzielt, sei
N (50, 225) verteilt (nehmen Sie an, daß beide Größen stetig sind). Die gemeinsame Dichte des Zufallsvektors (V, K) sei
"
1
25
f (v, k) =
exp −
72 π
18
(v − 30)2 2 (v − 30)(k − 50) (k − 50)2
−
+
16
75
225
!#
.
a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten ρ.
b) Geben Sie die Dichten, Mittelwerte und Varianzen der beiden Zufallsvariablen K | V = 40 und
K | V = 20 an.
Aufgabe 39
Skizzieren Sie die Funktion F (x), und berechnen
Sie den Erwartungswert und den Median einer Zufallsvariablen mit dieser Verteilungsfunktion.
F (x) =

0





 x/72






für
für
19/36 + (x − 2)/72 für
29/36 + (x − 4)/72 für
1
für
x<0
0≤x<2
2≤x<4
4≤x<6
6≤x
Aufgabe 40*
Im Jahre 1827 entdeckte der schottische Biologe Robert Brown, daß in Flüssigkeiten oder Gasen schwebende sehr kleine Teilchen unregelmäßige Bewegungen ausführen, die auf Zusammenstöße der Teilchen
mit Molekülen zurückzuführen sind. Dieses Phänomen ist heute nach ihm benannt und als Brownsche
Molekularbewegung berühmt geworden.
Reduziert man die Brownsche Bewegung auf eine Dimension (d.h. auf die Bewegung eines Teilchens entlang der beidseitig unendlichen reellen Achse), so läßt sich die Position des Teilchens zu einem Zeitpunkt
t ≥ 0 durch eine Zufallsvariable X(t) beschreiben. In einem Zeitintervall [s, t + s] ändert sich die Position
des Teilchens um X(t + s) − X(s), und diese Änderung ist mit Mittelwert 0 und Varianz ct normalverteilt
(c > 0 ist ein konstanter Parameter). Außerdem sind für alle n ∈ IN die Änderungen X(ti + si ) − X(si ) in
n Intervallen [si , ti + si ] vollständig unabhängig, wenn 0 ≤ si < ti + si ≤ si+1 < ti+1 + si+1 für 1 ≤ i < n
gilt.
Zeigen Sie, daß unter den Bedingungen X(t1 ) = a und X(t2 ) = b die Position X(t) des Teilchens zu
einem Zeitpunkt t aus dem Zeitintervall (t1 , t2 ) normalverteilt ist mit Mittelwert und Varianz
µ=a+
t − t1
(b − a)
t 2 − t1
bzw.
σ2 = c
(t2 − t)(t − t1 )
.
t2 − t1
Hinweis: Setzen Sie Y = X(t) − X(t1 ), Z = X(t2 ) − X(t) und S = Y + Z, und betrachten Sie die Dichten
us (y) von Y | S = s und vy (s) von S | Y = y.