3. Pr¨asens¨ubung zur Linearen Algebra 2

Julia Sauter
SS 09
3. Präsensübung zur Linearen Algebra 2
Es bezeichne immer: n, m ≥ 1 ganze Zahlen, K einen Körper, R einen Ring, V einen n-dimensionalen
K-Vektorraum.
Aufgabe 1:
Es sei
Ü
∗
λ1
...
A=
ê
∈ M (n; K)
λn
mit λ1 , . . . , λn ∈ K sind paarweise verschieden. Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist und folgern
Sie, dass A ähnlich zu diag(λ1 , . . . , λn ) ist.
(Hinweis: Benutzen Sie VL 20.7)
Aufgabe 2:
a) Sei f : V → V ein Endomorphismus eines K-Vektorraums. Angenommen es gibt ein P ∈
K[T ], so dass P (f ) = 0 ∈ EndK (V ). Zeigen Sie: Ist λ ∈ K ein Eigenwert von f , so ist
P (λ) = 0. Also gilt:
{ Eigenwerte von f } ⊂ { Nullstellen von P }.
b) Sei A ∈ M (2; C) mit A2 = E2 . Wie sehen die drei möglichen charakteristischen Polynome
von A aus?
c) Sei A ∈ M (n; C) mit A2 − A − 2En = 0 und Spur(A) = 0. Folgern Sie: n = 3t für ein t ∈ N
und χA = (T − 2)t (T + 1)2t
Aufgabe 3:
Sei f : V → V ein Endomorphismus, dim V = n. Angenommen f n = 0, f n−1 6= 0. Sei x ∈ V mit
f n−1 (x) 6= 0.
Zeigen Sie, dass f n−1 (x), f n−2 (x), . . . , f (x), x linear unabhängig sind.
P
i
2
(Tipp: Wenden sie auf n−1
i=0 λi f (x) die Abbildungen f, f , . . . an.)
Folgern Sie, dass in dieser Basis die darstellende Matrix von f die folgende Form hat
â
0
ì
1
.. ..
.
.
...
1
0
.
Aufgabe 4:
Welche Matrizen sind ähnlich zueinander? Erinnerung A, B ∈ M (n; K) heißen ähnlich, falls es ein
P ∈ Gl(n; K) gibt mit A = P −1 BP .
Es gilt: A, B ∈ M (n; K) ähnlich ⇒ χA = χB , Spur(A) = Spur(B), rang(A) = rang(B), dim E(A, λ) =
dim E(B, λ) ∀λ ∈ K, µA = µB .1
a) Finden Sie drei Paare von ähnlichen (nicht gleichen) Matrizen.
Ç
å
Ç
å
Ç
å
0 −1
0 1
−1 1
A1 =
, A2 =
, A3 =
,
1 0
0 0
−1 1
Ç
å
Ç
å
Ç
å
1 −1
i 0
1 0
A4 =
, A5 =
, A6 =
.
0 −i
0 −1
0 −1
Wenn Sie noch mehr trainieren möchten: Finden Sie für je zwei ähnliche A, B ein Matrix
P ∈ Gl(2; C) mit A = P −1 BP .2
b) Zeigen Sie, dass je zwei nicht gleiche Matrizen auch nicht ähnlich sind:
Ö
B1 =
è
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Ö
è
2
, B2 =
0
Ö
, B3 =
0
è
2 6 5
0 1 7
0 0 −1
,
Aufgabe 5:
Sei f : V → V ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass für alle λ ∈ K \ {0} gilt:
E(f, λ) = E(f −1 , λ−1 ).
Mit Hilfe der Definition und ein paar Eigenschaften der Determinante können Sie auch die folgende
Aussage beweisen:
1
χf (T ) = (−1)n T n det(f )χf −1 ( ).
T
Aufgabe 6:
Zeigen Sie, dass für alle A ∈ M (n; K) gilt: χA (T ) = χtA (T ).
(Zwar haben A und tA dieselben Eigenwerte, aber die Eigenräume müssen nicht gleich sein !)
1
Trotzdem müssen zwei Matrizen A, B, für die alle
Beispiel fällt mir erst bei n = 7 ein)!

0 1
 0 1


0

0 1
A=


0 1


0
diese Invarianten gleich sind, nicht ähnlich sein (aber das erste



0 1
 0 1








0



,B = 

0
1






0





0 1
0
0
A und B können nicht ähnlich sein, da rang(A2 ) = 2 6= 1 = rang(B 2 ) gilt und A, B ähnlich impliziert immer A2 , B 2
ähnlich.
2
Für A3 gilt A23 = 0. Um ein P zu finden, kann man die Basis aus A3) benutzen: Sei x ∈ C2 mit A3 x 6= 0.
P = (A3 x, x) ist invertierbar und P −1 A3 P = P −1 A3 (A3 x, x) = P −1 (0, A3 x) = (0, P −1 A3 x) = (0, P −1 P e1 ) =
(0, e1 ) = A2