Fertiges Plakat

Von der Problemstellung zum Unmöglichkeitsbeweis
V1 = 1cm³
V2 = 2 * V1= 2cm³ = x³
X³ = 2cm²
X = ³√2 cm
=> Um die Konstruktion auszuführen
muss man ³√2
konstruieren können
Problemstellung
(Geometrisch)
Das antike Griechenland war Ursprung folgender
„klassischer“ Probleme, welche aber
damals trotz vieler Versuche ungelöst
blieben.
1)
r = 1cm
AKreis = 2 * π * 1 = 2* π
AQuadrat = x²
X² = 2* π
X = √2 * √ π
=> Für diese Konstruktion ist es sowohl
notwendig
Quadratwurzeln, als auch
die Kreiszahl zu
konstruieren
Die Kanten eines Würfels sollen so verlängert werden,
sodass man einen Würfel mit doppelt so
großem Flächeninhalt erhält
2)
Erst im 18. und 19. Jhd konnten die antiken Probleme
gelöst werden, da es erst jetzt die
nötigen theoretischen und
algebraischen Kenntnisse gab, die man
benötigt, um einen
Unmöglichkeitsbeweis aufzustellen
Wichtig für unsere Probleme sind:
1)
Was lässt sich nun alles mit der Euklidischen Geometrie
konstruieren? Wenn wir die möglichen
Operationen, welche mit der euklidischen
Geometrie möglich sind, genauer
untersuchen, stellen wir fest, dass sich nur
folgende Rechenschritte mit ihr
konstruieren lassen:
-
Additionen/Subtraktionen
-
Multiplikationen/Divisionen
-
Quadratwurzeln
Kurz: Es lassen sich alle rationalen Zahlen und
Quadratwurzelausdrücke mit der
Euklidischen Geometrie konstruieren
Welche Zahlen lassen sich
konstruieren
Körpertheorie:
Die Quadratur des Kreises
Hier ist ein Kreis gegeben und man soll ein Quadrat
konstruieren, dessen Flächeninhalt dem
des Kreises entspricht
2)
3)
3)
=> Hierzu muss es möglich sein einen
Kreisbogen in drei gleiche
Abschnitte zu teilen
Die Würfelverdoppelung
Problemlösung
(Algebraisch)
Konstruierbarkeit
Körpertheorie
Polynome
Die Winkeldreiteilung
Körper sind Zahlenmengen, auf die spezielle
Rechenregeln zutreffen. Die Menge Q ist
beispielsweise ein körper.
Es wäre gut, alle konstruierbaren Zahlen in einem Körper
zusammenzufassen. Dazu müsste man zu
den rationalen Zahlen noch
Wurzelausdrücke hinzufügen. Tut man das,
kommt man auf folgenden „Körperturm“:
Man hat einen beliebig großen Winkel und möchte den
dritten Teil dieses Winkels konstruieren.
Kn { z|z = a+b √Wn-1 , a, b є Kn-1, Wn-1 є Kn-1, fest}
2^n
…endlich viele Zwischenkörper
K1 { z|z = a+b √W1 , a, b є K0, W1 є K0, fest}
Doch es gelang erst um das 18.Jhd diese Probleme zu
lösen! Man nahm damals bereits an,
dass sie unlösbar sind. Doch während
als Möglichkeitsbeweis eine
Konstruktionsbeschreibung reicht,
benötigt ein Unmöglichkeitsbeweis
Kenntnisse, welche damals nicht
vorhanden waren.
K0 = Q
=> Im letzten Körper vom Grad 2^n sind alle Zahlen, die
konstruierbar sind. Wie man sieht, liegen
nur rationale Zahlen und
Quadratwurzelausdrücke darin
Unmöglichkeitsbeweise
Die Würfelverdoppelung
Wir benötigen hierfür Kubikwurzeln. Diese können wir jedoch nicht konstruieren, da
sich unter den Zahlen, die wir konstruieren können, lediglich die rationalen Zahlen
und Quadratwurzelausdrücke befinden. Eine Würfelverdoppelung kann also nicht mit
der Euklidischen Geometrie konstruiert werden.
Die Quadratur des Kreises
Man braucht für diese Konstruktion die Kreiszahl.
Damit wir π konstruieren können, müsste es Lösung eines Polynoms vom Grad 2^n
und der Form anx^n+an-1x^n-1+…+a1x+a0 sein. Außerdem müssten alle Koeffizienten
Element unseres Körperturmes sein.
Mathematiker haben allerdings herausgefunden, dass man die Kreiszahl durch gar
kein Polynom darstellen kann! Also ist es für uns unmöglich sie mit der Euklidischen
Geometrie darzustellen.
Anmerkung: Man kann die Kreiszahl allerdings mit Hilfe einer Quadratrix darstellen.
(Ein Modell einer Quadratrix ist an unserem Stand ausgestellt)
Die Winkeldreiteilung
Es ist durchaus möglich manche Winkel (z.B. 90° oder 180°) dreizuteilen. Bei
anderen Winkeln (z.B. 60° scheint es nicht zu funktionieren). Um nun zu zeigen,
dass es auch Winkel gibt, die man nicht dreiteilen kann, reicht es einen einzigen
Winkel zu finden, bei dem die Dreiteilung nicht funktioniert. Wenn man nun zur
Dreiteilung bestimmter Winkel eine Zahl benötigt, die Nullstelle eines irreduziblen
Polynoms ist, das nicht vom Grad 2^n ist, dann wäre bewiesen, dass es Winkel gibt,
die man nicht mit Zirkel und Lineal dreiteilen kann.
Über Additionstheoreme erhalten wir Punkte, die mit Winkelgrößen zu tun haben.
Nach längerem Umformen, Vereinfachen und Substituieren kommen wir schließlich
auf die Gleichung: 4x³ - 3x – cosα = 0
Bei „α“ kann ein beliebiger Winkel eingesetzt werden, wir nehmen beispielsweise
einen Winkel der Weite α = 60°, also cos60° = ½ .
So erhalten wir die Gleichung 4x³ - 3x – ½ = 0, welche aber nicht aufgeht! D.h. die
Nullstelle ist nicht über unserem Erweiterungskörper von Q reduzibel und lässt sich
somit auch nicht konstruieren!
Es gibt also Winkel, welche sich allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal nicht dreiteilen
lassen.
Euklidische Geometrie
Polynome:
Die alten Griechen versuchten diese Probleme mit Hilfe
der Geometrie zu lösen. Sie benutzten
dazu die „Euklidische Geometrie“.
Euklidische Geometrie bedeutet grob:
Polynome sind Therme der Form:
-
Nur Zirkel und Lineal dürfen benutzt
werden
Das Lineal darf nur zum ziehen von
Geraden, nicht zum abmessen benutzt
werden
-
Bei Verwendung des Zirkels muss ein
Mittelpunkt vorhanden sein
-
Die Schritte müssen endlich sein
-
Die Einheit „1“ ist bekannt
anx^n+an-1x^n-1+…+a1x+a0
Anmerkung: Das heißt aber nicht, das eine Winkeldreiteilung unmöglich ist! Mithilfe
von Einschiebelineal, Rechtwinkelhaken, Gelenkmechanismen, Quadratrix oder
sogar Papierfalten ist dies durchaus möglich, gilt dann aber nicht mehr mit
Euklidischer Geometrie konstruiert. (Wir können ihnen diese Techniken gerne
demonstrieren)
Das Polynom ist über einer Menge M, aus der auch die
Koeffizienten sind und hat den Grad n
Polynome können reduzibel(=zerlegbar) oder
irreduzibel(=unzerlegbar) sein.

Wir können nur die Nullstellen von
irreduziblen Polynomen vom Grad 2^n
konstruieren.
Will man einen Unmöglichkeitsbeweis
machen, reicht es also aus ein
irreduzibles Polynom zu finden, das
nicht vom Grad 2^n ist und die zu
konstruierende Zahl als Nullstelle hat
Sollten sie Fragen haben, werden wir Ihnen diese gerne beantworten