JProf. Dr. Simon Lentner Dr. E. Meir Prof. C. Schweigert Bereich Algebra und Zahlentheorie FB Mathematik Universität Hamburg Algebra (Bachelor) Wintersemester 2016/17 Blatt 3 Aufgabe 1 (4 Punkte) Sei E/K eine Körpererweiterung und seien L1 und L2 Zwischenkörper von endlichem Körpergrad über K. Zeigen Sie: gilt für die Körpergrade [L1 L2 : K] = [L1 : K] ∙ [L2 : K], so folgt L1 ∩ L2 = K. Aufgabe 2 (2+2 Punkte) √ √ a) Sei E = Q( 2, 5). Berechnen Sie den Körpergrad [E : Q] von E über Q. Hinweis: Benutzen Sie die Gradformel, um das Problem auf quadratische K örpererweiterungen zurückzuführen und bestimmen Sie zur Bestimmung der Körpergrade Minimalpolynome. √ b) Liegt 3 2 in E? Hinweis: indirekter Beweis: schließen Sie auf die Existenz eines Zwischenk örpers und verwenden Sie die Gradformel, um einen Widerspruch herbeizuf ühren. Aufgabe 3 (2+1+1+1 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring und a, b ∈ R. Wir sagen, a teilt b, in Zeichen a|b, wenn es c ∈ R gibt, so dass b = ac, also wenn b ∈ (a). Zwei Elemente a, b ∈ R heißen ∧ assoziiert, in Zeichen a = b, falls a|b und b|a gilt. Sei nun R ein Integritätsring. Zeigen Sie: a) Zwei Elemente a, b ∈ R sind assoziiert, genau dann wenn es eine Einheit ∈ R× gibt, so dass b = a. b) Zeigen Sie, dass assoziiert sein eine Äquivalenzrelation auf R definiert. c) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen assoziierter Elemente für den Ring R = Z. d) Zeigen Sie: die Einheitengruppe des Rings Z[i] := {a + bi |a, b ∈ Z} ist {±1, ±i}. Geben Sie die Struktur dieser Gruppe im Sinne des Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen an. Aufgabe 4 (1+1 Punkte) a) Sei R ein Integritätsring mit Einheitengruppe R× . Bestimmen Sie die Einheitengruppe des Polynomrings R[X]. Diskutieren Sie kurz die Einheitengruppen der Polynomringe R[X] für R = Z, R = Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} und wenn R ein Körper ist. 1 b) Zeigen Sie: Ist ein Ring R integer, so auch der Ring R[X] der Polynome mit Koeffizienten in R. Aufgabe 5 (2+2+1 Punkte) Die Charakteristik eines Körpers K ist die kleinste natürliche Zahl p, so dass die pfache Summe 1| + 1 +{z. . . + 1} = 0 verschwindet. (So hat der Körper mit 2 Elementen p−mal 0, 1) Charakteristik 2. Für den Körper Q der rationalen Zahlen gibt es keine solche Zahl, man sagt, er habe Charakteristik Null.) Sei K Körper positiver Charakteristik p. a) Zeigen Sie, dass die Charakteristik des Körpers K eine Primzahl ist. b) Zeigen Sie: Es gilt (x + y)p = xp + y p c) Folgern Sie: die Abbildung f : x 7→ xp ist injektiver Körper-Homomorphismus von K nach K. Abgabe der Lösungen in der Vorlesung am Freitag, dem 11.11.2016. Besprechung in den nachfolgenden Übungsgruppen. Sie können in Kleingruppen von höchstens drei Studierenden abgeben. 2