Abiturvorbereitung Abiturvorbereitung turvorbereitung

Abiturvorbereitung
Mathematik Grundkurs
(oral exam preparation)
Inhaltsübersicht:
1
Tipps und Tricks
2
Kurzzusammenfassung
Differentialrechnung
Integralrechnung
Analytische Geometrie
Elementare Stochastik
3
Basisfragen
4
Aufgabensammlung
5
Beispielprüfungen (von 2015)
6
Hilfe !?
Der Autor:
Matthias Rehder, geboren am 22. Februar 1991, Akademiker (Mathematik
und VWL), sammelte bisher zahlreiche Unterrichtserfahrungen an einer
Oberschule (seit 2014) und im universitären Bereich (seit 2011). Im August
2014 schrieb Matthias Rehder seine Arbeit über den großen Riemannschen
Abbildungssatz (Uniformisierungssatz). Leiter zahlreicher Übungsgruppen und
Administrator von www.mathematikwelt.com, Leiter mathematischer Projekte.
Der Autor gewährt nicht für die Richtigkeit aller Inhalte. Fehler aller
Art und Irrtümer sind möglich. Rechtschreibfehler sind gewollt und
dienen der allgemeinen Belustigung.
Erste Prüfauflage von 2017 (last update: 15. Januar. 2017)
1) Tipps und Tricks
Bald steht Ihre mündliche Abiturprüfung in Mathematik an, und Sie wissen noch nicht, wie Sie sich
vorbereiten können? Was wird drankommen? Welche Aufgaben werden wohl gestellt? Werde ich es
schaffen? Wie soll ich mir das bloß alles merken? Unzählige solcher Fragestellungen quälen Sie in
Ihrer Vorbereitungsphase. Dieses vorliegende Skript soll Sie in Ihrer Vorbereitungsphase unterstützen.
Tipps und Tricks:
1) Machen Sie sich rechtzeitig einen strengen Zeitplan, in dem Sie genau Ihre Lernziele mit einer
entsprechenden Frist definieren.
2) Sprechen Sie sich so schnell wie möglich mit Ihrem Fachlehrer ab. Verschwenden Sie hierbei
keine Zeit. Horchen Sie Ihren Prüfer genau aus, welche Themenbereiche genau drankommen
können und verabreden Sie gegebenenfalls eine individuelle Sprechstunde, in der Sie Ihren
Lehrer intensiv ausfragen können. Machen Sie sich für einen späteren Zeitpunkt
aussagekräftige Notizen. Bringen Sie außerdem in Erfahrung, welche Aufgabenstellungen
möglicherweise in Ihrer Prüfung drankommen können (z.B. Basisfragen, Rechenaufgaben,
Herleitungen, Beweise, Scherzfragen, Multiple Choice Aufgaben, alte Übungsaufgaben, alte
Klausuraufgaben, ähnliche Aufgaben wie in …). Fragen Sie Ihren Prüfer ebenfalls, welche
Ratschläge er Ihnen mit auf den Weg geben kann.
3) Bilden Sie regelmäßig stattfindende Lerngruppen mit anderen Schülern, welche ebenfalls eine
mündliche Prüfung in Mathematik absolvieren müssen.
4) Löchern Sie Ihren Prüfer rechtzeitig mit Ihren Fragen. Beachten Sie, dass Sie Ihren Lehrer
unmittelbar vor der Prüfung nicht mehr sehen werden, da ab einem gewissen Zeitpunkt kein
weiterer Unterricht mehr stattfindet.
5) Fragen Sie nach der E-Mail Adresse Ihrer Lehrkraft, damit Sie auch zwischendurch Ihre
Fragen stellen können.
6) Nutzen Sie auch Ihre Frühlingsferien (auch die Ostertage) zur intensiven Vorbereitung.
7) Schränken Sie etwaige Freizeit- und Partyaktivitäten auf ein Minimum ein, sodass Sie mehr
Zeit für Ihre Prüfungsvorbereitung haben.
8) Informieren Sie sich rechtzeitig bei Ihrem Lehrer, im Internet und bei Absolventen vorhergehender
Schuljahre, ob Sie eventuell einige ältere Prüfungsunterlagen von Ihrem Prüfer zur Vorbereitung
einsehen können. Verwenden Sie wenn möglich diese Prüfungsunterlagen geschickt.
9) Falls alle Stricke reißen, sollten Sie sich rechtzeitig um eine Nachhilfeoption bemühen.
Nachhilfe muss nicht immer viel kosten und kann Sie gezielt unterstützen. Für Fragen und Hilfe
steht Ihnen in Berlin und Brandenburg im Schuljahr 2017 auch der Autor von diesem Skript als
optionale Unterstützung zur Seite. Schreiben Sie hierfür einfach zeitig eine E-Mail an:
[email protected] oder melden Sie sich unter 01520 3739348. Alternativ stellt der
Studentenring adäquate Nachhilfeoptionen zur Verfügung.
10) Rechnen Sie viele Aufgaben durch und erklären Sie jemanden Ihre Lösungsschritte. Gehen Sie
alle Kurzzusammenfassungen intensiv durch und verinnerlichen Sie die relevanten Abschnitte.
11) Bewahren Sie auch kurz vor Ihrer Prüfung Ruhe. Das ist einfacher gesagt als getan, denn fast
alle Prüflinge sind während ihrer Prüfungssituation oft sehr angespannt und nervös. Das kann
dazu führen, dass Sie nicht mehr Herr Ihrer Lage sind und zahlreiche Informationen
durcheinanderbringen bzw. komplett vergessen.
12) Planen Sie Ihre Vorbereitungszeit so ein, dass Sie mindesten 2 Tage vor dem Prüfungstermin
mit dem Lernprozess abschließen können und erholen Sie sich weitestgehend. Gehen Sie ins
Kino oder lesen Sie ein entspanntes Buch.
13) Machen Sie sich regelmäßig Notizen und Spickzettel, die Sie aber bitte an Ihrem
Prüfungstermin zuhause lassen.
14) Vermeiden Sie eine einseitige Vorbereitung. Berücksichtigen Sie in Ihrer Vorbereitungsphase
alle Ihre Prüfungsfächer gemäß Ihrer Präferenzordnung.
15) Erfragen Sie rechtzeitig, welche Hilfsmittel Sie in Ihrer Prüfung verwenden dürfen und
vergessen Sie nicht, diese dann auch mitzubringen.
16) Planen Sie vorausschauend und erscheinen Sie rechtzeitig zu Ihrer Prüfung.
17) Faustregel: Seien Sie mindesten 30 Minuten früher da. Kurzfristig kann immer mal eine
Unterbrechung im Nahverkehr entstehen. Den Verkehrsfluss kann man auch nicht detailliert
prognostizieren.
18) Im Falle einer ernsthaften Krankheit sollten Sie rechtzeitig Ihre Schule informieren und ein
entsprechendes ärztliches Attest vorlegen.
19) Bringen Sie mehrere (!!!) funktionsfähige Schreibgeräte (Stifte, …) mit.
20) Bringen Sie (falls zugelassen!) Ihren eigenen Taschenrechner als Hilfsmittel mit bzw.
erkundigen Sie sich, welchen Taschenrechner Sie ggf. von der Schule gestellt bekämen.
(Jedoch sollten Sie die Prüfung zur Not auch ohne Taschenrechner meistern können, indem
Sie die Lösungswege aufzeigen.)
Für die Prüfung:
-
Faustregel (nochmal): mindestens 30 Minuten früher da sein,
-
ruhig sein, es passiert schon nichts,
-
immer erst nachdenken und dann sprechen,
-
Vorbereitungszeit optimal nutzen,
-
keep cool!!
-
das Papier wird gestellt,
-
nicht schummeln (keine Spickzettel),
-
Handys am besten zuhause lassen, denn wenn Ihr Handy während der Prüfung
klingelt, kann es passieren, dass Sie ein ganzes Jahr dranhängen dürfen!
2) Kurzzusammenfassung: Differentialrechnung
1) Mittlere Steigung, Differentialquotient, Ableitung
Mittlere Steigung:
∶ [ , ] → ℝ eine veränderliche Größe, dann bezeichnet man den
Beschreibt eine Funktion
Differenzenquotienten
∆
≔
∆
−
−
im Intervall = [ , ].
als die mittlere Änderungsrate von
Beispiele:
a) Ein PKW durchfährt eine Ortschaft (3 km) innerhalb von 3,6 Minuten. Innerhalb einer
Ortschaft liegt die Geschwindigkeitsbegrenzung bei 50
/ℎ. Die Polizei registriert den
Autofahrer bei Ortseinfahrt und notiert die verstrichene Zeit bei der Ortsausfahrt. Mit dem
Weg – Zeit Gesetz =
"#$
∙ erhalten wir:
"#$
= ! = ",%$&' = (,(%) = 50
/ℎ. Somit
kann die Polizei unter Betrachtung der mittleren Geschwindigkeit für die Ortsdurchfahrt
keinen Gesetzesverstoß nachweisen. In der Tat kann der PKW – Fahrer aber trotzdem
gegen die Geschwindigkeitsbegrenzung verstoßen haben, wenn er z. B. die Hälfte der
Strecke mit 25
/ℎ und die andere Hälfte der Strecke mit 75
/ℎ unterwegs war. Der
Übergang der beiden Geschwindigkeiten soll hierbei vernachlässigt werden. Deshalb wird
bei einer Geschwindigkeitskontorolle immer die momentane Geschwindigkeit festgestellt.
= ² im Intervall [1,5; 1,6],
b) Bestimmen wir die mittlere Steigung der Normalparabel
dann erhalten wir:
=
Differenzierbarkeit:
∶
Eine Funktion
,
89
existiert. Die Zahl 85
dann nennen wir
(auf ganz
,
in
∆
1,6² − 1,5/
=
= 3,1
∆
1,6 − 1,5
→ ℝ heißt differenzierbar in
1
(
(
≔
1
(
−
−
= lim
(
5→56
(
(
∈
(
,
∗
heißt die (erste) Ableitung von
differenzierbar. Existiert ∗ für alle
) differenzierbar.
Punktuelle Steigung:
Beschreibt eine differenzierbare Funktion
bezeichnet man für ,
(
, falls der Grenzwert
∈ [ , ], > ,
1
als die punktuelle Änderungsrate von
(
(
∈
in
,
(.
Falls ∗ existiert,
, dann nennen wir
∶ [ , ] → ℝ eine veränderliche Größe, dann
≠
(
den Differentialquotienten
= lim
5→56
an der Stelle
−
−
( .
(
(
2) Eine Gerade heißt Tangente einer Funktion , wenn die Gerade den Funktionsgraphen nur in
einem Punkt berührt. Das gilt allerdings nur für eine gewisse Umgebung von <; später oder
früher darf die Gerade den Funktionsgraphen auch schneiden. Wichtig ist beim Berühren, dass
die Geraden den Kurvenverlauf in der Nähe des Punktes besonders gut annähert. Deshalb ist
auch die Steigung der Funktion in einem bestimmten Punkt gleich der Steigung ihrer Tangente
in diesem Punkt. Die Gleichung einer Tangente an den Graphen einer differenzierbaren
Funktion
(
an der Stelle
besitzt die Form (bitte unbedingt auswendig lernen!):
=
+
(
Als Normale > in einem Punkt <? ( |
(
1
−
(
(
A des Graphem B9 bezeichnet man diejenige
Gerade durch <, die auf der Tangente im Punkt < senkrecht steht. Für die Steigung
Normale gilt:
<? ( |
(
'
C
= − $ = − 9E
D
C
56
1
mit
der
≠ 0. Eine Normale in einem Punkt
A des Graphem B9 besitzt die Gleichung (bitte unbedingt auswendig lernen!):
>
Beispiel:
=−
1
1
−
(
+
(
(
= ² wollen wir die Gleichung der Tangente und Normale an den
Für die Funktion
"
G
im Punkt < F/ | HI bestimmen. Mit
Graph von
(
'
Gleichung der Tangente: (Formel
" /
"
G
=
(
1
+
= 2 erhalten wir
1
−
(
(
)
1 "
F/I
= 3.
G
= F/I + 3 F − /I = 3 − H (Gerade mit der Steigung 3,Achsenabschnitt − H)
Gleichung der Normale: (Formel >
>
C
"
" /
C
= − 9E
= − " F − /I + F/I = − " +
CC
H
C
56
−
(
+
(
)
C
(Gerade mit der Steigung − ",Achsenabschnitt
CC
H
)
Schnittwinkel zweier Graphen
Schneiden sich die Graphen zweier Funktionen h und g an einer Stelle
(,
dann wird der
die
zugehörigen
Schnittwinkel der beiden Graphen definiert als der nichtstumpfe Winkel J, den die beiden
Tangenten
im
Schnittpunkt
einschließen.
Tangentensteigungen, dann gilt für J die Formel:
tan J = N
C−
/
und
ℎ1 ( – Q1
N=O
1 + C ∙ /
1 + ℎ1 ( ∙ Q1
ℎ
C
Sind
/
(
Q
O
(
J
Beispiel (nachrechnen!)
Mit der obigen Formel erhalten wir für den Schnittwinkel der beiden Funktionen ℎ
Q
=
−2
/
$ T$U
R
S ∙$U
S
den Wert: tan J = RCV$
3) Ableitungsregeln
a) Faktorregel: Sei
8
b) Potenzregel: 85
' 1
=[∙Q
=
' 1
=R
/T T/
CV/∙ T/
H
R = " ⇒ J = arctan F"I = 53°.
, dann gilt für konstante [:
=>
'TC
= [ ∙ Q1
1
= 7 ³,
Beispiel:
H
= ² und
= 21 ²
1
c) Konstantenregel: Eine differenzierbare Funktion ist genau dann konstant, wenn ihre
Ableitung im gesamten Definitionsbereich 0 ist.
d) Summenregel: ^ +
e) Produktregel: ^ ∙
1
1
= ^1 +
=^
+^
1
1
1
Beispiel:
Beispiel:
= ² + 2 + 3,
= 2 _ ,
f) Kettenregel: Innere Kettenableitung ∙ äußere Kettenableitung
Beispiel:
= _ T5²V5 ,
g) Quotientenregel:
`
= a ,
1
1
=
= −2 + 1 _ T5²VC
`E a–`a E
a²
Beispiel:
=
5
1
/5²VC
1
5VC
1
=2 +2
= 2_ 5 + 2 _ 5
=
H5 5VC T/5²VC
5VC U
Ableiten unter Verwendung der Potenzgesetze:
Erinnerung (Potenzgesetze):
T'
Es gilt
C
/
d
b
=√ ,
= √
b
=
# ,
C
,
5b
für geeignete >, und reelle
≠ 0.
e
= 5.
Beispiele: Betrachten wir nun die Funktion
Um
mit den bisher thematisierten Regeln differenzieren zu können, wenden wir zunächst die
Potenzgesetze an:
Hierfür haben wir die Regel
Jetzt können wir
T'
=5
C
TC
= 5 b verwendet.
wie gewohnt differenzieren und erhalten:
1
= −5
T/
(Potenz- und
Faktorregel) Schließlich können wir unser Resultat noch vereinfachen. Dann steht da:
=−
1
5
²
Und damit haben wir unsere Ableitung schön aufgeschrieben.
Betrachten wir jetzt die Funktion Q
= √ .
Hierbei sollten Sie sich nicht von dem ablenken lassen. Wenn Sie aber trotzdem mit diesem
nicht klarkommen, dann behandeln Sie es einfach wie ein
und fassen Sie Q als eine von
abhängige Funktion auf. Legen wir mit dem Umschreiben (Potenzgesetze) los: Q
C//
Jetzt können wir uns an das Ermitteln der Ableitung wagen: Q1
=
C TC//
/
=√ =
Damit haben wir das Bestimmen der Ableitung schon gemeistert. Diese sieht aber noch nicht so
schön aus, also müssen wir wohl mit den Potenzgesetzen noch mal Hand anlegen und erhalten:
Q1
=
1
2
TC//
=
1
2√
Alle guten Dinge sind drei, also betrachten wir noch ein drittes anspruchsvolles Beispiel. Wir
C
√5
=
wollen die Funktion ℎ
TC//
=
C
besitzt die Ableitung − /
C
√5
C/
+ 5² + 2 differenzieren. Dazu leiten wir jeden Summanden ab.
T"//
=−
C
/√5 f
|
C/
5²
= 12
T/
besitzt die Ableitung −24
2 besitzt die Ableitung 0.Zusammen ergibt sich somit die Ableitung:
ℎ1
=−
1
2√
"
−
24
³
T"
/H
= − 5³
Fundamentale Ableitungen – Tabelle:
>
'
1
2√
√
b
ln
5
sin
cos
tan
cot
arcsin
arccos
arctan
sinh
cosh
tanh
−>
1
√
log j
'TC
'VC
'
_5
1
>√
b
1
,
ln
5
1
'TC
_5
> 0,
ln ,
1
> 0,
cos
≠ −1
≠ −1
− sin
1
cos²
−1
sin²
1
l1 − ²
−1
l1 − ²
1
1+ ²
cosh
sinh
1
cosh²
Weitere Ableitungen finden Sie im Internet (z.B. Wolfram Alpha) oder in einer guten Formelsammlung
4) Kurzübersicht der 9 Kriterien für eine vollständige Kurvendiskussion
Eigenschaft
Was sie bedeutet:
1. Maximaler Definitionsbereich nopq
Er gibt an, in welchem Bereich die
Funktionsvorschrift angewendet werden kann
und schließt jene Bereiche aus, in denen sie
nicht ausführbar ist.
2 Nullstellen
Sie geben an, an welchen Stellen die Funktion den
Wert 0 annimmt, d.h. jene Stellen, an denen der
Graph die − Achse schneidet.
3 a) Symmetrie
Symmetrie bedeutet, dass ein Teil des Graphen
durch eine Bewegung in seinen anderen Teil
überführt werden kann. Bei Achsensymmetrie zur
r − Achse wird der Graph durch Klappen
(Spiegeln) um diese Achse in sich überführt.
Bei Punktsymmetrie zu 0|0 wird er durch
Drehen um 180° um 0|0 in sich überführt.
3 b) Periodizität
Periodizität bedeutet, dass ein Teil des Graphen
sich in regelmäßigen Abständen wiederholt.
4. Asymptotisches Verhalten
Es geht hierbei um das Verhalten des Graphen am
Rand des Definitionsbereiches an, das heißt in der
Nähe von nicht definierten Stellen und für
sehr große | |.
5. Monotonie
Sie gibt an, wo der Graph steigend und wo er
fallend ist. (wird öfters ausgelassen)
6. Krümmungsverhalten
Es gibt an, wo der Graph links- und wo er
rechtsgekrümmt ist.
7. Extrema
Sie geben an, wo der Graph vom Fallen zum
Steigen übergeht bzw. umgekehrt. Sie geben
also die Maxima und Minima an.
8. Wendepunkte
Sie geben an, wo der Graph von einer Rechtskurve
in eine Linkskurve übergeht und umgekehrt.
9. Funktionsgraph
Der Funktionsgraph wird gezeichnet. Es werden
vor allem die besonderen Funktionswerte
aufgenommen: Nullstellen, Extrema, Wendepunkte
Wie man sie feststellt
Man untersucht den Funktionsterm
. Es geht um die
Frage: Für welche kann man
berechnen und für
welche nicht?
Es ist nicht mehr und weniger als die Gleichung
= 0 zu lösen.
Bei den erwähnten Symmetrien ist
mit
vergleichen:
= − bedeutet Achsensymmetrie
zur r − Achse.
= − − bedeutet Punktsymmetrie
zum Nullpunkt.
−
zu
Es ist zu untersuchen, ob für alle gilt:
+s =
. (Bsp.: sin, cos Es sind Grenzwerte von Funktionswerten zu berechnen:
lim5→±j
, wenn Randstelle ist;
lim5→±u
, das heißt für sehr große | |.
Sie kann mit der 1. Ableitung festgestellt werden:
1
> 0 ⇒ s. monoton wachsend
1
< 0 ⇒ s. monoton fallend
Kann mit 2. Ableitung untersucht werden:
11
> 0 linksgekrümmt 11
< 0 rechtsgekrümmt
Können mit der 1. Und 2. Ableitung untersucht werden:
1
= 0 und 11
> 0 (lokales) Minimum
1
11
= 0 und
< 0 (lokales) Maximum
Können mit der 2. Und 3. Ableitung untersucht werden:
11
= 0 und 111
≠ 0: Wendepunkt
Kann mit einer Wertetabelle realisiert werden.
Die Funktion wird in ein geeignetes Koordinatensystem
gezeichnet.
UNTERSUCHUNG VON FUNKTIONSEIGENSCHAFTEN
Monotonie:
Wo geht es bei dem Graphen bergauf, wo bergab? Diese noch so simple Frage lässt sich in der Realität
gar nicht so simpel beantworten. Betrachten Sie doch einmal den folgenden Funktionsgraphen etwas
genauer.
So kann man beispielsweise den abgebildeten
abg
Graphen im Intervall 0, 2 sowohl als steigend
als auch als fallend beschreiben: als steigend, wenn man ihn von links nach rechts durchläuft,
und als fallend, wenn man ihn von rechts nach links durchläuft. Solche Doppeldeutigkeiten
erschweren die Verständigung. Um sie zu vermeiden, werden Graphen immer so durchlaufen,
wie die Achsenrichtungen es ergeben, in
Richtung wird üblicherweise von links nach
rechts gelesen, in r − Richtung von unten nach oben. Der zuvor abgebildete Funktionsgraph
ist also im Intervall [0, 2 steigend und im Bereich 2, 4 fallend. Die linke Seite vom
Ursprung haben wir hierbei nicht betrachtet.
10
y
8
6
4
2
1
2
3
-2
Graph steigt
-4
-6
-8
-10
Graph fällt
4
x
Das Steigen und Fallen eines Graphen wird mit dem Fachbegriff Monotonie beschrieben. Wir
können die Monotonie eines Graphen mit unterschiedlichen Mitteln untersuchen. Die erste
Methode besteht darin, in einer hinreichend kleinen Umgebung benachbarte Funktionswerte
zu vergleichen, eine zweite Methode verwendet die Ableitung als Hilfswerkzeug.
Da wir die Ableitung als punktuelle Steigung aufgefasst haben, erkennen wir sofort das
folgende (schwache) Kriterium:
Sei ∶ , → ℝ eine differenzierbare Funktion und w ∈ , , dann gelten die folgenden
Aussagen:
Ist 1 w ≥ 0, dann ist in w monoton steigend.
Ist 1 w ≤ 0, dann ist in w monoton fallend.
Betrachten wir nun eine konstante Funktion, dann stellen wir fest, dass die Ableitung immer
Null ist, sodass eine konstante Funktion sowohl monoton steigend als auch monoton fallend
ist. Dies hinterlässt doch einen eher unbefriedigenden Eindruck, sodass wir den
Monotoniebegriff noch „verschärfen“ werden.
=2
Konstante Funktionen sind sowohl monoton
steigend, als auch monoton fallend. Das klingt zwar
komisch, ist aber so nach unserem Kriterium.
Wir werden das folgende Kriterium so formulieren, dass wir eine Funktion genau dann streng
monoton steigend nennen, wenn sie in der Tat auch ansteigt:
Hinreichendes Monotoniekriterium:
Sei ∶ , → ℝ eine differenzierbare Funktion und w ∈
Aussagen:
Ist 1 w > 0, dann ist in w streng monoton steigend.
Ist 1 w < 0, dann ist in w streng monoton fallend.
,
, dann gelten die folgenden
Dieses strengere Monotoniekriterium hinterlässt einen besseren Eindruck. Allerdings ist dies
kein notwendiges Kriterium. Das heißt, wenn in w streng monoton steigt, dann folgt im
Allgemeinen nicht die strikte Positivität der Ableitung.
= ³
5
Beispiel: Betrachten wir
4
den Graph der Abbildung
3
= ³. Die zugehörige
2
Ableitung lautet 1
=
1
3 ². An der Stelle w = 0
resultiert jedoch: 1 0 =
-2
-1
1
2
-1
0. Und trotzdem ist
-2
überall streng monoton
-3
steigend.
-4
Beispiel:
Wir betrachten den Graph der Funktion
-5
=−
1
250
H
+8
10
8
6
4
2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
Offenbar erkennen wir, dass im negativen Bereich monoton steigt, und im positiven Bereich
monoton fällt. Dies wollen wir jetzt mit einer kleinen Rechnung verifizieren:
Die Ableitungsfunktion von lautet:
4 "
1
=−
250
Aufgrund der Eigenschaft, dass die ungerade Potenz (hier ³) einer negativen Zahl weiterhin
negativ bleibt, erkennen wir sofort, dass für alle ∈ −10, 0 die strikte Relation 1
>0
erfüllt ist. Demnach ist im Intervall −10, 0 streng monoton steigend. Außerdem erkennen
wir, dass für alle ∈ 0, 10 die strikte Relation 1
< 0 erfüllt ist. Demnach ist im
Intervall 0, 10 streng monoton fallend. An der Stelle ( = 0 liegt keine strenge Monotonie
vor, weil 1 in einer beliebig kleinen Umgebung um den Ursprung sowohl positive, als auch
negative Werte annimmt. An der Stelle ( = 0 können wir bloß sagen, dass sowohl
(normal) monoton fallend und monoton steigend ist.
Im Rahmen einer kompletten Funktionsuntersuchung (alias Kurvendiskussion) werden Sie
später weitere Beispiele zur Monotonieuntersuchung finden. Es werden hierzu sogar sehr
viele Beispiele angesprochen, sodass wir uns an dieser Stelle mit diesem Beispiel genügen
wollen.
Bei Interesse können Sie gerne verifizieren, dass für eine monoton steigende (fallende)
differenzierbare Funktion : , → ℝ die abgeschwächte Relation 1
≥0
1
≤ 0 erfüllt ist. In der abgeschwächten Formulierung (monoton) erhalten wir also ein
hinreichendes und notwendiges Kriterium.
Nullstellen:
Falls der folgende Abschnitt bereits bekannt sein sollte, kann dieser ggf. übersprungen
werden.
Wir betrachten eine Funktion : [ , ] → ℝ. Eine Stelle ( ∈ [ , ] heißt dann eine Nullstelle
von , wenn
( = 0 erfüllt ist. Im der folgenden Graphik werden wir alle Nullstellen des
abgebildeten Funktionsgraphen markieren:
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-0. 2
1
2
3
4
5
6
7
-0. 4
-0. 6
-0. 8
-1. 0
Die abgebildete (Sinus)Funktion hat im Intervall [−7, 7] insgesamt 5 Nullstellen.
Wir wollen nun für einige ausgewählte Funktionen die Nullstellen rechnerisch ermitteln.
= 2 + 2 im Intervall [−5, 5].
Wir beginnen hierzu mit der Geraden C
Wir suchen also alle ( mit C ( = 0.
Die resultierende Gleichung lautet demnach:
2 + 2 = 0| − 2
⇔ 2 = −2| ∶ −2
⇔ = −1
Damit ist = −1 die einzige Nullstelle von
Graphisch sieht das so aus:
6
C
4
2
-2
-1
1
2
Nach diesem einfachen Beispiel gucken wir
-2
uns jetzt die Nullstellen einiger quadratischer
Funktionen an. Erstes betrachten wir hierzu die gestreckte Parabelfunktion /
=4 ²−2 :
Wir suchen also alle ( mit / ( = 0. Die resultierende Gleichung lautet demnach:
4 ²−2 =0
An dieser Stelle können wir ausklammern und erhalten: ⇔ 4 − 2 = 0
Ein Produkt, bestehend aus Faktoren, ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Demnach ist für C = 0 der erste Faktor 0 und somit hat auch das ganze Produkt | 4 − 2
}(
C = 0 eine Nullstelle von / . Wir kommen nun zum zweiten
4 − 2 = 0| + 2
⇔ 4 = 2| ∶ 4
1
⇔ =
2
C
= als zweite Nullstelle von / . Graphisch verifizieren wir diese
den Wert Null. Folglich ist
Faktor:
Demnach erhalten wir
/
beiden Nullstellen wie folgt:
/
7
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
Zweitens betrachten wir die getreckte und nach unten verschobenen Parabelfunktion "
=
4 ² − 4. Wir suchen also alle ( mit " ( = 0. Die resultierende Gleichung lautet demnach:
4 ² − 4 = 0| + 4
⇔ 4 ² = 4| ∶ 4
⇔ ² = 1 ⇒ = ±1
Damit sind C = 1 und / = −1 die beiden Nullstellen von " .
Graphisch verifizieren wir diese beiden Nullstellen wie folgt:
6
4
2
-2
-1
1
2
-2
-4
-6
Drittens untersuchen wir die quadratische Funktion H
= ² − 4 − 1 auf Existenz von
Nullstellen im Intervall [−1, 1] ∶
Wir suchen also alle ( mit H ( = 0. Die resultierende Gleichung lautet demnach:
²−4 −1=0
Um diese Gleichung zu lösen, verwenden wir die s~ − Formel, die jeder Schüler und jede
Schülerin sicher beherrschen sollte.
Alternativ können Sie hier auch „Mitternachtsformel“ anwenden. Der Name rührt übrigens
daher, dass jeder Schüler bzw. jede Schülerin in der Lage sein sollte, diese Formel frei zu
nennen, wenn man ihn oder sie nachts weckt.
Erinnerung an die Mitternachtsformel:
Eine lösbare Gleichung ² +
+ [ = 0 besitzt die Lösung(en):
C,/
=
− ±l ²−4 [
2
Nach diesem Einschub kommen wir nun zur Anwendung der s~ − Formel und erhalten für ² − 4 − 1 = 0:
C,/ = 2 ± √4 + 1 = 2 ± √5 = 2 ± 2,236
Somit lauten die Nullstellen von H ∶ C = 4,236 und / = −0,236.
Graphisch verifizieren wir diese beiden Nullstellen wie folgt:
6
4
2
-1
1
2
3
4
5
-2
-4
Viertens betrachten wir die quadratische Funktion e
= ² 2 + 2. Wir suchen auch
hier alle ( mit e ( = 0. Die resultierende Gleichung lautet demnach:
²−2 +2=0
Wenn Sie hierdrauf die s~ − Formel anwenden, dann stellen Sie fest, dass diese Gleichung
keine Lösung besitzt (nachrechnen!). Demnach besitzt e auch keine Nullstellen.
Graphisch sieht das in diesem Fall so aus:
10
8
6
4
2
-2
-1
1
-2
2
3
4
Zur Anzahl der Nullstellen einer können wir übrigens folgende mathematische Sätze
formulieren:
1) Ein nichttriviales reelles Polynom
ten Grades besitzt maximal Nullstellen.
2) Ein komplexes Polynom
ten Grades besitzt genau Nullstellen.
Auch wenn Sie die Bedeutung des zweiten Satzes, der auf den sogenannten Fundamentalsatz
der Algebra zurückgeht, nicht sofort verstehen, so sollten Sie doch die erste Aussage
schätzen. Eine quadratische Funktion besitzt demnach niemals mehr als zwei Nullstellen. Wie
wir aber zuvor eingesehen haben, kann es durchaus quadratische Funktionen geben, die gar
keine Nullstellen besitzen. Es gibt auch quadratische Funktionen, die genau eine Nullstelle
besitzen, denken Sie hierbei zum Beispiel an die Normalparabel ↦ ².
Wagen wir uns nun zu einigen kubischen Funktionen vor: Am Anfang betrachten wir die
Funktion %
=
³ + 4 ² − 3 . Wir suchen auch hier alle ( mit % ( = 0. Die
resultierende Gleichung lautet demnach:
− ³+4 ²−3 = 0
Zuerst klammern wir erneut aus und erhalten:
⇔ − ² + 4 − 3 = 0
Demnach ist C = 0 eine Nullstelle von % . Betrachten wir nun den zweiten Faktor und
bearbeiten ihn so lange, bis wir die s~ − anwenden können:
− ² + 4 − 3 = 0| ∙ −1
⇔ ² − 4 + 3 = 0
⇒ /," = 2 ± √4 − 3 = 2 ± 1
Demnach besitzt % die drei Nullstellen: C = 0, / = 3 und
"
= 1.
Graphisch sieht das in diesem Fall so aus:
10
8
6
4
2
-2
-1
1
-2
-4
-6
-8
-10
2
3
4
=
³+5 ² 3
1. Wir suchen auch hier
Schließlich betrachten wir die Funktion €
alle ( mit € ( = 0. Die resultierende Gleichung lautet demnach:
− ³+5 ²−3 −1 =0
Hier können wir erkennen, dass die Summe aller Koeffizienten gleich 0 ergibt, denn es ist:
−1 + 5 − 3 − 1 = 0
−1 ³ + 5 ² − 3 − 1 = 0
Demnach ist C = 1 eine Nullstelle von € . Dies ist immer dann der Fall, wenn die
Koeffizientensumme 0 ergibt. Alternativ hätte man durch Probieren ebenfalls auf die erste
Nullstelle kommen können. Mittels Polynomendivision können wir dann unser Polynom in
ein Produkt zerlegen. Falls Sie die Vorgehensweise bei der Polynomendivision nicht mehr
nachvollziehen können, dann empfehle ich Ihnen, diesen Abschnitt in ihren Mathematikaufzeichnungen aus der 11. Einführungsklasse nachzuarbeiten.
Wir dividieren − ³ + 5 ² − 3 − 1 durch abzüglich der bereits ermittelten Nullstelle 1:
− ³+5 ²−3 −1 ∶ −1 =− ²+4 +1
− − " + /
4 ²−3 −1
− 4 ²−4
−1
− −1
0
Damit geht unsere Polynomendivision gut auf. Wir erhalten hiermit folgende Faktorisierung
für − ³ + 5 ² − 3 − 1:
− ³+5 ²−3 −1= −1 − ²+4 +1
Fokussieren wir uns auf den zweiten Faktor:
− ² + 4 + 1 = 0| ∙ −1
⇔ ² − 4 − 1 = 0
⇒ /," = 2 ± √4 + 1 = 2 ± √5 = 2 ± 2,236
Somit lauten die Nullstellen von € ∶ C = 1, / = 4,236 und " = −0,236.
Graphisch sieht das in diesem Fall so aus:
10
8
6
4
2
-2
-1
1
-2
-4
-6
-8
-10
2
3
4
5
6
Für die allgemeine Gleichung dritten Grades ³ + ² + [ + • = 0 kann man übrigens die
sogenannten Lösungsformeln von Gerolamo Cardano anwenden.
= 2 H − 4 ² + 1.
Anschließen wollen wir diese Erinnerung mit der Funktion ‚
Auch hierfür wollen wir die Nullstellen ermitteln. Wir suchen auch hier alle ( mit ‚ ( =
0. Die resultierende Gleichung lautet demnach: 2 H − 4 ² + 1 = 0
Da alle auftretenden Exponenten (hier 4 und 2) gerade sind, bietet sich die folgende
Substitution an:
w≔ ²
Wir ersetzen also in der Gleichung ² durch w und H durch w².
Folglich steht da die folgende Gleichung: 2w² − 4w + 1 = 0
Diese Gleichung wollen wir jetzt mit der s~ − Formel lösen. Dazu bearbeiten wir diese
zuerst:
2w² − 4w + 1 = 0 | ∶ 2
1
⇔ w² − 2w + = 0
2
Für letztere Gleichung erhalten wir die Lösungen:
wC,/ = 1 ± l1 − 0,5 = 1 ± 0,707
Damit resultiert: wC = 1,707 und w/ = 0,293.
Wer denkt, dass wir an dieser Stelle schon fertig sind, der hat sich leider getäuscht, wir
wollten ja Lösungen der Gleichung 2 H − 4 ² + 1 = 0
berechnen, haben aber irgendwelche w herausbekommen. Damit wir unsere gesuchten
Nullstellen bekommen, sollten wir vermöge der Gleichung w = ² resubstituieren.
Somit steht da: C,/ = ±√1,707 = ±1,307 und ",H = ±√0,293 = ±0,541
Damit haben wir insgesamt 4 Nullstellen von ‚ ermittelt.
Graphisch sieht das in diesem Fall so aus:
10
8
6
4
2
-2
-1
1
-2
-4
2
Extrema
Betrachten Sie den folgenden Funktionsgraphen im Anschauungsraum ℝ" ∶
Spitze
In der Mitte des Funktionsgraphen besitzt die Funktion einen höchsten Bereich. Wenn wir uns
dieses Gebilde als einen Berg vorstellen, dann könnte dies die Bergspitze sein. Es handelt sich
hierbei um eine sogenannte (lokale) Maximalstelle. Solche Stellen wollen wir in diesem
Kapitel für zweidimensionale Funktionsgraphen ermitteln. Hierbei werden wir uns der
Differentiation als Hilfswerkzeug bedienen. Da wir nur einen lokalen Einblick auf den
Verlauf des Funktionsgraphen erhalten, können wir tatsächlich in den meisten Fällen
diesbezüglich auch nur eine lokale Aussage treffen. Es kann auch vorkommen, dass eine
Funktion mehrere (sogar unendlich viele) lokale Maximalstellen besitzt. Schauen wir uns
hierzu erneut einen dreidimensionalen Funktionsgraphen als Beispiel an:
Hier ist der Funktionsgraph von
, r = sin
∙ cos r im Bereich 5, 5 × −5, 5
dargestellt. Im zweidimensionalen Raum können wir das folgende Beispiel dazu angucken:
r
1.0
0.8
0.6
3 Maximalstellen
0.4
0.2
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-0.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-0.4
-0.6
-0.8
Hier wurde der Graph der Sinusfunktion ↦ sin im Bereich 9, 9 dargestellt. Wir
erkennen, dass die Sinusfunktion alleine in diesem kleinen Bereich drei lokale Maximalstellen
besitzt. Wir erkennen ebenfalls, dass die Sinusfunktion unendlich viele (lokale)
Minimalstellen besitzt. Abschließend gucken wir uns noch den populären dreidimensionalen
Graphen der sogenannten „Gebirgsfunktion“ an:
-1.0
Wenn wir mehr Stützpunkte zur Visualisierung verwenden, dann sieht der zugehörige
Funktionsgraph wie folgt aus:
Bei genauer Betrachtung können wir uns das entsprechende Gebirge mit den vielen Bergen
vorstellen. Kommen wir jetzt aber zu unserem eigentlichen Thema zurück, der zweidimensionalen Klassifizierung lokaler Maximal- und Minimalstellen einer glatten Funktion .
Maxima und Minima werden auch Extrema genannt. Betrachten wir eine Funktion : , → ℝ,
dann heißt eine Stelle … ∈ , eine (lokale) Maximalstelle bzw. ein lokaler Hochpunkt von ,
wenn der Funktionswert
… in der Umgebung dieser Stelle … am größten ist. Eine Stelle
, heißt eine (lokale) Minimalstelle bzw. ein lokaler Tiefpunkt von , wenn der
… ∈
Funktionswert
… in der Umgebung dieser Stelle … am kleinsten ist.
Globale Extremstellen:
Neben lokalen Extrempunkten gibt es auch Stellen, an denen die Funktion absolut größte
Funktionswerte annimmt. Wir nennen den absolut größten Funktionswert das globale
Maximum und den absolut kleinsten Funktionswert das globale Minimum. Betrachten wir
dazu exemplarisch die folgende Graphik:
Jetzt wollen wir einige Kriterien notieren, die jeder Schüler und jede Schülerin sicher
beherrschen sollte:
Notwendiges Kriterium für lokale Extremstellen:
Ist eine Funktion : , → ℝ differenzierbar und … ∈
, dann gilt: 1 … = 0.
,
eine lokale Extremstelle von
Für das Vorliegen einer Extremstelle muss also die Ableitung an dieser Stelle 0 sein.
Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen:
Ist eine Funktion : , → ℝ zweimal differenzierbar und gelten für … ∈ , die
Relationen 1 … = 0 und 11 … < 0, dann besitzt die Funktion an der Stelle … ein
lokales Maximum.
Gelten für … ∈ , die Relationen 1 … = 0 und 11 … > 0, dann besitzt die Funktion
an der Stelle … ein lokales Minimum.
11
11
Beispiel:
…
…
< 0 --- lok. Maximum
> 0 --- lok. Minimum
Wir untersuchen die zweimal differenzierbare Funktion
=
C
"
³+
C
/
² − 2 auf lokale
Extremstellen und bestimmen die Extrempunkte ihres Graphen.
Schritt 1: Wir bestimmen die ersten beiden Ableitungen
1
= ² + − 2 und 11
=2 +1
Schritt 2: (notwendige Bedingung) Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung
Der Ansatz 1 … = 0 liefert die Gleichung ² + − 2 = 0. Mit der s~ − Formel ermitteln
wir die Lösungen C = 1 und / = −2. (nachrechnen)
Damit lauten unsere möglichen Extremstellen: C = 1 und / = −2
Zur Klassifizierung der Extremstellen können wir die zweite Ableitung verwenden
Schritt 3: Wir untersuchen unsere möglichen Extremstellen mit der zweiten Ableitung
Wir überprüfen, ob die berechneten Stellen tatsächlich Extremstellen sind, ob dort also die
hinreichende Bedingung für die Existenz einer Extremstelle erfüllt ist.
Dazu setzen wir die beiden extremwertverdächtigen Kandidaten in 11
= 2 + 1 ein und
gucken, was raus kommt.
11
1 = 3 > 0 Demnach besagt das hinreichende Kriterium, dass an der Stelle C = 1 ein
lokales Minimum (Tiefpunkt) besitzt.
11
−2 = −3 < 0 Demnach besagt das hinreichende Kriterium, dass an der Stelle
C = −2 ein lokales Maximum (Hochpunkt) besitzt.
Schritt 4: Wir ermitteln die Funktionswerte der Extremstellen
7
10
1 = − ,
2 =
6
3
Somit ist † F−2| I ein Hochpunkt und ‡ F1| − I ein Tiefpunkt von .
C(
€
"
%
Merken Sie sich diese Vorgehensweise, denn Sie werde diese Vorgehensweise noch sehr oft
in ihrem Leben in Erinnerung rufen müssen. Graphisch sieht das übrigens wie folgt aus:
10 r
8
6
Hochpunkt
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-2
-4
Tiefpunkt
-6
-8
-10
Algorithmus: Untersuchen einer zweimal differenzierbaren Funktion auf Existenz von
lokalen Extrempunkten
Schritt 1: Wir bestimmen die ersten beiden Ableitungen
Schritt 2: (notwendige Bedingung) Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung
Schritt 3: (hinreichende Bedingung) Wir untersuchen unsere möglichen Extremstellen mit
der zweiten Ableitung
Schritt 4: Wir ermitteln die Funktionswerte der Extremstellen
Hiermit haben wir also ein schönes Kriterium zum Klassifizieren von lokalen Extremstellen
kennengelernt. Was passiert nun aber, wenn wir die Funktion
= H näher in Hinsicht auf
lokale Extremstellen untersuchen. Rechnerisch erhalten wir nach unserem Algorithmus:
Schritt 1: 1
= 4 ³ und 11
= 12 ²
Schritt 2: (notwendige Bedingung) 1 besitzt offenbar in … = 0 eine dreifache Nullstelle.
Schritt 3: (hinreichende Bedingung) 11 0 = 0
und was nun????
An dieser Stelle kommen wir nicht mehr weiter und brauchen eine Erweiterung des
hinreichenden Kriteriums, dessen Beweis auf den Satz von Taylor zurückgeführt werden
kann:
Erweitertes hinreichendes Kriterium
Sei : , → ℝ eine > + 1 − Mal differenzierbare Funktion (> ≥ 1). An der Stelle
∈ , gelte # ( = 0 für 1 ≤ < > und ' ( ≠ 0.
Ist > dann ungerade, dann besitzt in ( kein lokales Extremum.
Ist > gerade, so besitzt in ( ein (strenges) lokales Maximum bzw. Minimum, je nachdem,
ob ' ( < 0 oder ' ( > 0.
(
Sei ∶ , → ℝ eine differenzierbare Funktion. Eine Stelle … ∈ , mit 1 … = 0
nennt man auch eine kritische Stelle. Einen kritischen Punkt von , der kein Extrempunkt ist,
nennt man auch einen Sattelpunkt von . Beispielsweise besitzt die kubische Funktion
= ³ an der Stelle … = 0 weder ein lokales Maximum, noch ein lokales Minimum,
nach dem erweiterten hinreichenden Kriterium besitzt ab der Stelle … = 0 aber einen
Sattelpunkt. Graphisch sieht dieser „Sattel“ wie folgt aus:
50
40
30
20
10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-10
-20
-30
Dieser kritische Punkt ist kein Maximum
und auch kein Minimum, also ist er ein
Sattelpunkt
-40
-50
Jetzt sind wir in der Lage, unser angefangenes Beispiel von vorhin fortzusetzen:
Was passiert nun aber, wenn wir die Funktion
= H näher in Hinsicht auf lokale
Extremstellen betrachten. Rechnerisch erhalten wir nach unserem Algorithmus:
H
Schritt 1: 1
= 4 ³ und 11
= 12 ² und 111
= 24 und
= 24
Schritt 2: (notwendige Bedingung) 1 besitzt offenbar in … = 0 eine dreifache Nullstelle.
Schritt 3: (erweiterte hinreichende Bedingung) 11 0 = 0 = 111 0 , Es ist aber H
=
24 > 0 Demnach besitzt nach dem erweiterten hinreichenden Kriterium an der Stelle = 0
ein lokales Minimum.
Schritt 4: Der zugehörige Tiefpunkt lautet: ‡?0| 0 A = 0|0 .
Krümmung und Wendepunkte
Betrachtet man zweimal differenzierbare monotone Funktionen, dann lässt sich feststellen,
dass bei gleichem Monotonieverhalten die Funktionsgraphen unterschiedlich gekrümmt sein
können.
Für die Beschreibung des Krümmungsverhaltens vereinbaren wir, dass man den Graphen wie
bei der Monotoniebetrachtung immer von links nach rechts, das heißt in Richtung steigender
−Werte, gedanklich „durchfährt“. Auf diese Weise durchfährt man bei den Bildern (1) und
(3) eine Rechtskurve und bei den Bildern (2) und (4) eine Linkskurve.
Als Entscheidungskriterium, welches Krümmungsverhalten bei einer Funktion vorliegt, bietet
sich wieder die Analyse der Tangentenanstiege bzw. der 1. Ableitung an. Anhand der
eingezeichneten Tangenten in der obigen Graphik erkennt man, dass in einer hinreichend
kleinen Umgebung der zu untersuchenden Stelle ( alle Tangenten an das Kurvenstück
bei rechtsgekrümmten Graphen oberhalb des Graphens liegen
und
bei linksgekrümmten Graphenunterhalb des Graphens liegen.
Betrachtet man die Veränderung der Tangentenanstiege (der 1. Ableitung) mit wachsenden
− Werten als einen Prozess, so werden
bei rechtsgekrümmten Graphen die Tangentenanstiege immer kleiner
und
bei linksgekrümmten Graphen die Tangentenanstiege immer größer.
Diese Tatsache nutzt man zur Definition des Krümmungsverhaltens in einem Intervall
,
:
Ist : , → ℝ eine differenzierbare Funktion und ist 1 in , streng monoton fallend,
dann bezeichnet man den Graphen von in , als rechtsgekrümmt. Ist 1 in , streng
monoton wachsend, dann bezeichnet man den Graphen von in , als linksgekrümmt.
Rechtsgekrümmte Kurven nennt man auch „konkav“ und
linksgekrümmte Kurven „konvex“ (analog zur Charakterisierung
der Wölbung von Linsen in der Physik). Um in der
Mathematik die „Wölbung“ einer Kurve zu beschreiben,
hat man vereinbart, den Graphen einer Funktion immer von
„unten“ (also in Richtung steigender y-Werte) zu betrachten.
Eine Funktion heißt dann an einer Stelle ( lokal konkav,
wenn sie nach innen gewölbt ist bzw. lokal konvex,
wenn sie nach außen gewölbt ist.
Für die Angabe des Krümmungsverhaltens einer Funktion
benötigt man nach der Definition Informationen über
die Monotonie der 1. Ableitung. Für die Analyse der
1. Ableitung in einem vorgegeben Intervall I nutzt man
den Satz zum Monotonieverhalten wie folgt:
• 11
< 0 ist hinreichend dafür, dass 1
streng
Monoton fällt und deshalb rechtsgekrümmt ist.
streng
• 11
> 0 ist hinreichend dafür, dass 1
monoton wächst und deshalb linksgekrümmt ist.
Fig. D 63
In Fig. D 61, Fig. D 62 und Fig. D 63 sind der Graph einer
Funktion und die zugehörige 1. und 2. Ableitung dargestellt.
Die Stellen an denen der Graph sein Krümmungsverhalten
ändert, nennt man Wendestellen qˆ und die dazugehörigen Punkte Wendepunkte
‰?qˆ Š‹ qˆ A Man erkennt in Fig. D 62, dass die 1. Ableitung an den Wendestellen Œ ihr
Monotonieverhalten ändert, das heißt, dass die 1. Ableitung dort ein lokales Extremum
besitzt. Diese Erkenntnis nutzt man zur Definition von Wendepunkten:
Gegeben sei eine zweimal differenzierbare Funktion : , → ℝ. Besitzt 1 an der Stelle
, ein lokales Extremum, dann nennt man ΠWendestelle von und
Œ ∈
•? Œ Š
ΠA Wendepunkt des Graphen von .
Unverzichtbar für jeden Oberstufenschüler bzw. für jede Oberstufenschülerin sind die beiden
folgenden Kriterien:
Notwendiges Kriterium für eine Wendestelle:
Besitzt eine zweimal differenzierbare Funktion :
Wendestelle, so gilt 11 Π= 0.
,
→ ℝ an der Stelle
Ž
∈
,
eine
Hinreichendes Kriterium für eine Wendestelle:
Gegeben sei eine dreimal differenzierbare Funktion : , → ℝ. Gelten für Ž ∈ , die
Relationen 11 Œ = 0 und 111 Œ ≠ 0, dann hat die Funktion an der Stelle Œ eine
Wendestelle.
Gilt für eine Wendestelle Œ außerdem 1 Œ = 0, dann nennt man Œ auch Sattelpunkte,
Terrassenpunkte oder Horizontalwendepunkte. Wie wir bereits eingesehen haben, hat die
kubische Funktion ↦ ³ in Œ = 0 einen solchen Terrassenpunkt.
Beispiel:
Wir wollen die dreimal differenzierbare Funktion
= H − 6 ³ + 12 ² − 8 + 1 auf
Wendepunkteexistenz untersuchen. Falls Wendepunkte existieren, wollen wir ebenfalls die
Gleichungen der Tangenten in den Wendepunkten ermitteln.
Schritt 1: Wir bestimmen die ersten drei Ableitungen von ‹
1
= 4 ³ − 18 ² + 24 − 8
11
= 12 ² − 36 + 24
111
= 24 − 36
Schritt 2: (notwendiges Kriterium) Wir bestimmen die Nullstellen der zweiten Ableitung
Der Ansatz 11
= 0 liefert die Gleichung 12 ² − 36 + 24 = 0| ∶ 12
⇔ ² 3 + 2 = 0
Mit der s~ − Formel resultieren die Lösungen C = 1 und / = 2.
Unsere wendestellenverdächtigen Kandidaten lauten also C = 1 und / = 2.
Schritt 3: (hinreichendes Kriterium) Wir untersuchen unsere möglichen Wendestellen mit
der dritten Ableitung
111
1 = −12 ≠ 0 Demnach besitzt an der Stelle C = 1 nach dem hinreichenden
Kriterium tatsächlich eine Wendestelle.
111
2 = 12 ≠ 0 Demnach besitzt auch an der Stelle / = 2 nach dem hinreichenden
Kriterium tatsächlich eine Wendestelle.
Schritt 4: Wendepunkte angeben
Die Wendepunkte von lauten demnach • 1|0 und • 2|1 .
Schritt 5: Wir ermitteln nun den Anstieg der Wendetangenten C und / an den
Wendestellen Œ
Wegen = 1 Πgilt C = 1 1 = 2. C hat also den Anstieg 2.
Wegen = 1 Πgilt / = 1 2 = 0. / hat also den Anstieg 0. (Sattelpunkt)
Schritt 6: Wir ermitteln nun die Gleichungen der Wendetangenten
Vermöge der Beziehung r =
+ erhalten wir die folgenden beiden
Tangentengleichungen:
= 2 − 2 ( = −2 erhalten wir aus der Tatsache, dass C den Punkt • 1|0 beinhaltet.)
C
= 1 ( = 1 erhalten wir aus der Tatsache, dass / den Punkt • 2|1 beinhaltet.)
/
10
Graphisch sieht das so aus:
8
6
4
2
-1
1
-2
2
3
4
5
Symmetrie und Periodizität
Symmetrie bedeutet, dass ein Teil des Graphen durch eine Bewegung in seinen anderen Teil
überführt werden kann. Bei Achsensymmetrie zur r − Achse wird der Graph durch Klappen
(Spiegeln) um diese Achse in sich überführt. Bei Punktsymmetrie zu 0|0 wird er durch
Drehen um 180° um 0|0 in sich überführt.
Bei den erwähnten Symmetrien ist
mit
−
zu vergleichen:
= − bedeutet Achsensymmetrie zur r − Achse.
= − − bedeutet Punktsymmetrie zum Nullpunkt.
Beispiel für eine achsensymmetrische Funktion:
= ²−1
Visualisierungen ergeben:
10
8
6
4
2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
Achsensymmetrie zur Gerade q = •
Man kann allgemeiner die Achsensymmetrie eines Funktionsgraphen zu einer beliebigen zur
r − Achse parallelen Geraden mit der Gleichung = untersuchen. Hierzu muss man
überprüfen, ob die Funktion die Gleichung
− =
+
für ein festes ∈ ℝ und für alle aus dem zugehörigen Definitionsbereich erfüllt.
Beispiel für eine solche Funktion:
= ²−4 +3
Diese quadratische Funktion ist achsensymmetrisch zur Senkrechten = 2.
Schauen wir uns dazu den Graphen an:
10
8
6
4
2
-1
1
2
3
4
5
Achsensymmetrie zur Gerade q = •
-2
Wir weisen nach, dass die zugehörige Gleichung
2−
=
2+
2− = 2− ²−4 2− +3=
4−4 + ²−8+4 +3= ²−1
erfüllt ist:
2+ = 2+ ²−4 2+ +3=
4+4 + ²−8−4 +3= ²−1
Periodizität:
Periodizität bedeutet, dass ein Teil des Graphen sich in regelmäßigen Abständen wiederholt.
Es ist zu untersuchen, ob für alle gilt:
+s =
Periodizität ist eine typische Eigenschaft trigonometrischer Funktionen. Als Musterbeispiel
betrachten wir die 2‘ − periodische Kosinusfunktion:
Asymptotisches Verhalten
Es geht hierbei um das Verhalten des Graphen am Rand des Definitionsbereiches, das heißt in
der Nähe von nicht definierten Stellen und für sehr große | |. Es sind Grenzwerte von
Funktionswerten zu berechnen:
lim5→±j
, wenn Randstelle ist;
lim5→±u
, das heißt für sehr große | |.
Betrachten wir nun den Graph der Funktion
2 +1
=
²
Um das Verhalten im Unendlichen zu charakterisieren, berechnen wir die folgenden vier
Grenzwerte:
2 +1
lim
=0
5→±u
²
Demnach strebt für absolutmäßig große gegen 0.
2 +1
2 1
lim
= lim ’ + / “ = ∞
5→±(
5→±(
²
Strebt gegen die Polstelle = 0, dann strebt gegen ∞.
Damit haben wir genügend Bausteine zusammengetragen, um eine erste Kurvendiskussion
durchzuführen. Graphen können mithilfe von Wertetafeln gezeichnet werden. Dies ist freilich
eine sehr primitive Methode, denn sie zielt in keiner Weise auf die Besonderheit und
Individualität der jeweiligen Funktion ab und kann auch zu Fehldeutungen führen. Von ganz
anderer Qualität ist die Kurvendiskussion; sie will typische und charakteristische
Eigenschaften von Funktionen herausschälen. Im nächsten Abschnitt legen wir mit diesem
ersten Höhepunkt los.
Beispiele (teilweise ohne Rechenschritte!)
a) Wir diskutieren den Graph der folgenden Funktionen: (nachrechnen!)
Ableitungen:
=
1
5U
H
+
=
5
€
/
H
"
+
12
/
4
11
7
, ∈ ℝ
4
−
= +
5
C
/
1) Maximaler Definitionsbereich: •$j5 = ℝ
Wir können nämlich für
C
= 3,322;
Rechnung: Der Ansatz
C
/
jede beliebige reelle Zahl einsetzen. Es gibt hier keine
Singularitäten (wie z.B. 1 in
2) Nullstellen:
=
111
/
5
5TC
/
)
=
6,322;
"
=0
= 0 führt zu der Gleichung
7
+ −
12 4 4
"
/
7
= 0 ⇔ – + − —
12 4 4
/
Ein Produkt in ℝ ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Somit erkennen wir sofort die Lösung
"
= 0.
Die Restgleichung C/ + H − H = 0 lösen wir mit der pq – Formel und erhalten:
/
12
+
4
−
5U
5
€
7
= 0| ∙ 12 ⇔ 4
C,/
3) Symmetrie:
/
+3
≈ −1,5 ± 4,822 ⇒
21 = 0 ⇒
C
= 3,322;
ist nicht symmetrisch und nicht periodisch
4) Asymptotisches Verhalten: lim5→u
5) Extrema: Lokales Maximum bei
6) Wendestelle bei
7) Graph
%
H
C,/
/
= ∞ und lim5→Tu
= −1,5 ± l 1,5
=
6,322
= −∞
= −3,83 und lokales Minimum bei
= −1 (Überprüfung mit der 3. Ableitung: ok)
y
7
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
e
/
+ 21
= 1,83
5
144
5
40
² + , ∈ ℝ
18
9
b) Nun diskutieren wir den Graph der folgenden Funktionen: (nachrechnen!)
=−
H
+
1) Maximaler Definitionsbereich: •$j5 = ℝ
2) Nullstellen:
C
=
4;
= 4;
/
3) Symmetrie: Es besteht Achsensymmetrie zur r − Achse und
4) Asymptotisches Verhalten: lim5→u
5) Extrema: Lokales Maximum bei
6) Wendestellen bei
7) Graph
%
"
= −1,15 und
= ∞ und lim5→Tu
= −2
€
H
ist nicht periodisch
= −∞
= 2 und lokales Minimum bei
e
=0
= 1,15 (Überprüfung mit der 3. Ableitung: ok)
5 y
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
c) Abschließend diskutieren wir den Graph der folgenden Funktionen: (nachrechnen!)
= ³−
1
15
1) Maximaler Definitionsbereich: •$j5 = ℝ
2) Nullstellen:
C
=
3,87;
/
= 3,87;
e
, ∈ ℝ
"
=0
3) Symmetrie: Es besteht Punktsymmetrie zum Nullpunkt und
4) Asymptotisches Verhalten: lim5→u
5) Extrema: Lokales Maximum bei
Minimum bei
e
6) Wendestellen bei
‚
= −3
%
H
= −2,12 und
= −∞ und lim5→Tu
=∞
= 3 und lokales
€
10
8
= 2,12 und
= 0 (Überprüfung mit der 3. Ableitung: ok)
7) Graph
ist nicht periodisch
6
4
2
-4
-3
-2
-1
1
-2
-4
-6
-8
-10
-12
2
3
4
Geometrisches Differenzieren:
Wenn Sie einen konkreten Funktionsgraphen vor sich sehen, dann können Sie diesen auch
näherungsweise qualitativ geometrisch differenzieren, d.h. ohne konkrete Angabe von
Funktionsgleichungen. Dazu müssen Sie bloß die folgenden Tatsachen berücksichtigen:
Aus den Extremstellen von werden die Nullstellen von 1 .
Aus den Wendestellen von werden die Extremstellen von 1 .
In den Bereichen, in denen streng monoton steigt, befindet sich die Kurve von 1 oberhalb
der − Achse und in den Bereichen, in denen streng monoton fällt, befindet sich die Kurve
von 1 unterhalb der − Achse.
Möchte man nun noch einige Funktionswerte der Ableitung bestimmen, dann reicht es, wenn
man an den entsprechenden Stellen Tangenten an die Kurve von zeichnet und mit einem
Steigungsdreieck die entsprechenden Steigungen abliest. Diese sind dann die Funktionswerte
der Ableitung.
Schauen wir uns hierzu zunächst ein Beispiel an. Der rosafarbige Funktionsgraph ist dabei die
Ausgangsfunktion und der grüne Funktionsgraph ist dessen Ableitung:
y
2
1
Das lok. Maximum
wird zur Nullstelle
Die Wendestelle wird zum rel. Maximum
x
-2
-1
1
Das lok. Minimum
wird zur Nullstelle
-1
2
Schauen wir uns hierzu noch ein weiteres Beispiel an:
ist erneut die Ausgangsfunktion, 1 ist die erste Ableitung und
11
ist die zweite Ableitung
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
11
1
Extrema und Wendestellen können auch ohne Verwendung der 2. bzw. 3. Ableitung
festgestellt werden. Hierbei gilt folgendes vorteilhaftes Vorzeichenkriterium:
1
1
11
(
(
(
= 0 und
= 0 und
= 0 und
1
1
11
wechselt sein Vorzeichen von – nach +
wechselt sein Vorzeichen von + nach –
wechselt sein Vorzeichen
(
(
ist (lokales) Minimum
(
ist (lokales) Maximum
Wendestelle
5) Konstruktion von Funktionsgleichungen:
Die Suche nach einer Funktionsgleichung mit bestimmten Eigenschaften gleicht der Suche
nach dem Täter im Krimi. Hier wie dort geht es darum, vorhandene Indizien korrekt zu
interpretieren, sorgsam aufzuarbeiten und sachgerecht fortzuentwickeln. Und hier wie dort
wird man feststellen, dass sich der Fall nicht immer lösen lässt: mal sind die bekannten
Tatsachen und Indizien zu dürftig, dann kommen zu viele „Täter“ infrage, mal sind sie in sich
unstimmig, dann kann es keinen „Täter“ geben. Wie sieht so eine „Funktionsfahndung“ aus?
Die Konstruktion von Funktionsgleichungen anhand vorgegebener Indizien ist häufig ein
Bestandteil einer mündlichen Prüfung.
Sind über den Verlauf einer Polynomfunktion eine Anzahl von Bedingungen (z.B. über
Nullstellen, Extremalstellen, Wendestellen, …) vorgegeben, dann lässt sich damit geschickt
eine Gleichung aufstellen.
verläuft durch den Punkt <
| . ⇔ Übersetzungsregeln:
1)
2) Die Steigung von
bei
3)
besitzt an der Stelle
4)
besitzt an der Stelle
5)
besitzt an der Stelle
=
=
=
=
hat den Wert
ein Extrema ⇔
=
⇔ 1
eine Wendestelle ⇔
=
1
= 0 (notwendige Bedingung)
11
einen Terassenpunkt* ⇔
1
= 0 (notwendige Bedingung)
= 0 und
11
=0
* Ein Terassenpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente.
Beispiel: Gesucht ist der Funktionsterm einer Polynomfunktion dritten Grades, für die gilt:
-
Die Funktion hat bei
-
Die Funktion hat bei
= 2 eine Nullstelle.
= −2 ein Extremum.
Die Funktion hat in • 0|
-
4 einen Wendepunkt.
Wir übersetzten die drei vorgegebenen Indizien in mathematische Fachsprache.
Ansatz (allgemeine Polynomfunktion dritten Grades):
Die Funktion hat bei
= 2 eine Nullstelle bedeutet:
Wir erhalten somit die Gleichung:
∙ 2³ +
=
2 = 0
³+
²+[ +•
∙ 2² + [ ∙ 2 + • = 0, bzw. vereinfacht steht da:
8 + 4 + 2[ + • = 0
Alle resultierenden Gleichungen werden wir zur Übersicht durchnummerieren, beginnend mit
Die Funktion hat bei
=
2 ein Extremum bedeutet:
Differenzieren unserer Ansatzfunktion liefert:
1
1
1
=3
−2 = 0 (not. Bedingung)
²+2
−2 = 0 liefert somit die Gleichung: 0 = 12 − 2 + [
Die Funktion hat in • 0|
4 einen Wendepunkt bedeutet:
11
+[
0 =0
.
Differenzieren unserer abgeleiteten Ansatzfunktion liefert:
11
0 = 0 liefert somit die Gleichung 0 = 2 , ⇒ = 0
Die Funktion hat in • 0|
Punkt • 0|
+2
4 verläuft. Somit erhalten wir durch Einsetzen: • = −4 ™
4 und
folgende lineare Gleichungssystem:
= 0. Setzen wir das in und
8 + 2[ = 4
0 = 12 + [
Einsetzen von
=6
4 einen Wendepunkt bedeutet außerdem, dass
Insgesamt erhalten wir also • =
Einsetzen von
11
−12 = [
|
durch den
ein, erhalten wir das
12
12 = [ aus II in I liefert: 8 − 24 = 4 ⇔ 16 = 4 ⇒ =
=
C
H
in II liefert: [ = 3.
Insgesamt erhalten wir somit:
=
C
H
³+3
C
H
4 als eindeutigen „Täter“.
6) Extremwertprobleme:
Eines der vielen wichtigen Anwendungsgebiete der Differentialrechnung ist das Lösen von
Extremwertaufgaben. Es geht dabei, vereinfacht ausgedrückt, um das Ermitteln derjenigen
Lösung aus der Menge aller Lösungen für ein bestimmtes (praktisches) Problem, die unter
Berücksichtigung vorgegebener Bedingungen die optimale Variante darstellt. Die hierfür
genutzte Strategie lässt sich folgendermaßen kennzeichnen: Um die Hilfsmittel der
Extremwertberechnung anwenden zu können, beschreibt man zunächst die den jeweiligen
Sachverhalt kennzeichnenden Zusammenhänge mittels einer Funktion (Zielfunktion), in der
als abhängige Variable gerade diejenige Größe auftritt, welche einen Extremwert annehmen
soll. Enthält diese Zielfunktion mehrere unabhängige Variable, dann versucht man, deren
Anzahl durch Verwendung weiterer sich aus der Aufgabe ergebenden Bedingungen
(Nebenbedingungen) bis auf eine Variable zu reduzieren und bestimmt ein für die Lösung
sinnvolles abgeschlossenes Intervall (meist der Definitionsbereich). Die Lösung des
Ausgangsproblems wird dann durch das globale Extremum der Zielfunktion im genannten
Intervall angegeben.
Anzahl der Fahrgastkontrolleure bei der BVG:
Die BVG setzt in Berliner U – Bahnen Fahrkartenkontrolleure ein, die überprüfen, ob die
Fahrgäste mit einem gültigen Fahrschein unterwegs sind. Wird man ohne gültigen Fahrschein
angetroffen, dann muss man mindestens 60 Euro an Strafe zahlen. Doch wie viele
Kontrolleure setzt die BVG ein? Wenn der BVG Aufsichtsrat sich dazu entscheiden würde,
dass in jeder U – Bahn mindestens ein Kontrolleur ist, dann würden in der Regel alle
Fahrgäste ein gültiges Ticket kaufen, womit die BVG mehr Einnahmen erzielen würde. Der
offensichtliche Nachteil hierbei ist allerdings der extrem hohe Personalkostenaufwand für die
BVG. Entscheidet sich der Aufsichtsrat, keine Kontrolleure in der Berliner U – Bahn
einzusetzen, dann kaufen die Fahrgäste in der Regel keine Fahrscheine mehr, sodass die BVG
keine Einnahmen mehr erzielen würde. Demnach muss man sich für das Optimum
entscheiden. Das Optimum bezeichnet hierbei die Anzahl an Kontrolleuren, sodass der Umsatz
am größten ist. Zwar ist dieses komplexe Problem (Auffinden dieses Optimums) nicht so
einfach zu lösen, so bedarf es aber hauptsächlich an differentialrechnungstheoretischen
Methoden.
Extremwertprobleme – Lösungsalgorithmus:
(1) Analyse der Aufgabe
(2) Aufstellen der Funktion mit Extremalbedingung (Zielfunktion)
(3) Angabe von Nebenbedingungen
(4) Einsetzen der Nebenbedingungen in die Zielfunktion
(5) Festlegen eines Definitionsbereiches
(6) Ableitungen der Zielfunktion
(7) Bestimmen des lokalen Extremums
(8) Ermitteln des globalen Extremums
(9) Interpretation der ermittelten Werte
Beispiel: Aus einem Stück Pappe (60 cm × 70 cm) soll eine offene Schachtel hergestellt werden, deren
Länge und Breite gleich ist. Das Volumen der Schachtel soll maximal sein.
(1) Die Schachtel soll einen quadratischen Boden haben. Demnach kann man von dem Stück Pappe
nur ein quadratisches Stück mit der Seitenlänge 60 cm verwendet werden. Ausgangspunkt ist somit ein
Quadrat mit Seitenlänge
Gesucht ist hierbei die Länge
= 60 cm. Das entstehende Schachtelvolumen soll maximal werden.
eines zu entfernenden Quadrats in cm.
(2 – 4) Offenbar gilt für das Volumen (vgl. Skizze)
(Seitenlänge:
(5) Es gilt
™
=
−2 )
∈ 0, 30 .
(6) Es gilt ™ 1
= 12 ² − 8
−2 ²∙
=4 ³−4
+ ² und ™ 11
²+ ² .
= 24 − 8 .
(7) Notwendige Bedingung für die Existenz von Extremstellen ™ 1
12 ² − 8
Mit der Lösungsformel erhält man also:
C
(8) Wegen ™ 11 F% I = −4 < 0 liegt in
=
j
Für den Abschluss von 0, 30 gilt:
(9) Mit
= 60 erhalten wir
0, 30 außer bei
lim ™
5→(
C
= 10[
C
6
+ ²=0
und
/
=
= 0:
2
ein lokales Maximum vor.
= lim ™
5→u
= 10 cm. Da ™
= 0.
in 0, 30 differenzierbar ist, gibt es in
kein weiteres Maximum. Für
= 10[
der offenen Schachtel maximal, nämlich 16000[ ³ = 16• ³.
ist das Volumen
Integralrechnung
Sei ⊂ ℝ ein Intervall, das aus mehr als einem Punkt besteht, und
∶ → ℝ eine Funktion. Wir
1) Stammfunktion:
nennen dann eine differenzierbare Funktion • ∶ → ℝ mit • 1
Stammfunktion von
Beispiele:
a) •
=
C
"
auf .
³ ist eine Stammfunktion von
Stammfunktion von
•e
=
1
3
"
+ 3,
Stammfunktionen von
. Diese
= ² gegeben, denn es gilt auch hier •/ 1
= ²=
.
1
1
³ − 1,•"
=
³ + 2,
3
3
1 "
•%
=
− 3, …
3
Stammfunktionen von
b) •
•1
•
c) •
=%
C
=
=%
C
%
e
+
%
+2 =
,
=
e
+
.Die Menge aller Stammfunktionen von
= sin ist eine Stammfunktion von
∶
=
1
³
3
2,
= ², wobei Ÿ eine beliebige reelle Konstante ist.
→ ℝ stetig, dann schreiben wir anstatt ¡j
£
• + ¤,
¢
=" ³+Ÿ
C
+ 2 gegeben, denn es ist
ist gegeben durch
= cos , denn es ist • 1
2) Unbestimmtes (Cauchy’sche) Integral:
Ist
C
= ²sind. Allgemein sind also alle Funktionen •
+ / ² + 2 + Ÿ, Ÿ ∈ ℝ.
C
= " ³ + 1 ist eine weitere
•H
+ / ² + 2 ist eine Stammfunktion von
C
∈ eine
= ²=
Außerdem erkennen wir, dass auch
=
für alle
= ², denn es ist • 1
Stammfunktion ist jedoch nicht eindeutig, denn mit •/
•/
=
= cos
=
• auch
¤ ∈ ℝ.
Dies ist nur eine symbolische Notation, in der wir das Intervall
,
weglassen, weil es aus
dem Zusammenhang klar sein sollte. Das Integralzeichen ohne Angabe von Grenzen heißt
auch ein unbestimmtes Integral.
Regel Nr. 1 (Potenzregel), sei > ∈ ℕ, dann gilt:
£
'
• =
Regel Nr. 2 (Konstantenregel), sei
1
>+1
'VC
+ ¤,
¤∈ℝ
eine reelle Konstante, dann gilt:
£ • =
+ ¤,
¤∈ℝ
.
Beispiele: Sei ¤ ∈ ℝ.
¡ • = / ² + ¤
C
¡ ³ • = H
C
H
+¤
[ ¡ 5 • = / ² + ¤
e
• ¡ 2 + 3 ² • = ² + ³ + ¤
_ ¡ 3 • = 3 + ¤
¡
Q ¡ 5
+ 1 ²•
€
=
|
¦§¨©ª§«¬-®
¯©°ª®±
+2 • =‚
e
‚
² ¡ 5 U • = ¡
³ ¡
C
C
•
√5
¡
=¡
/
= 5b ,
C
d
b
= √
b
#
/
"//
+¤
TC//
• =2
C//
+ ¤ = 2√ + ¤
T/
• =
C
C
=
|
TC
+¤ =
jV¢ f }
j³V"j²¢V"j¢²V¢³
C//
¡ • = ln| | + ¤
5
µ ¡ cos
=√ ,
• ="
´ ¡ ² ∙ √ • = ¡ ² ∙
> ¡ sin
S
U
³+ ²+
C
"
C//
5³V"5²V"5VC
•
5VC
C
+2 +1 • =
+2 +¤
T'
(Potenzgesetze): Es gilt
ℎ ¡ √ • = ¡
¡
• = − cos
• = sin
• =¡
¡
e//
C
5
+¤
für geeignete >, und reelle
+¤
+ 1 ²• = ¡
• =€
/
€//
/
+2 +1 • = " ³+ ²+
C
+ ¤ = €√
/
€
+¤
+¤
+¤
s ¡ _5 • = _5 + ¤
3) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – dritter Teil
Sei
∶
,
→ ℝ stetig, und sei • eine beliebige Stammfunktion zu
man das Integral von
über
¢
£
berechnen.
j
≠ 0.
,
mit der Formel
¢
• = £ •1
j
• =•
−•
auf
,
. Dann kann
+¤
Beispiele:
/
1
· ²¸
¹º»
2
£ • = ¶
(
ÑÒÉÊÉ
ËÇÈÉÌÊÍÎÌÊÉÇÏÉ
Å
Å
®§¨®¼½¾ªª¿À¨Á½§©¨
®«Ã¨½®Ä°¾¨Â®¨
"
Ð
/
|
(
=
ÆÇÈÉÊÉ
ËÇÈÉÌÊÍÎÌÊÉÇÏÉ
1 / 1 /
∙ 2 − ∙ 0 = 2.
2
2
£ 4 • = ¶ 2 ² |C" = 2 ∙ 3/ − 2 ∙ 1² = 16.
C
"
[ £ 3 ² + 2 • = ¶
C
"
• £
C
Ó
1
√
"
• =£
_ £ − sin
TÓ
C
"
TC//
+ 2 |C" = 3³ + 2 ∙ 3 − 1 + 2 = 30.
• =¶ 2
• = cos
Ó
TÓ
C// "
ŠC
= ¶ 2√ ŠC = 2 ∙ √3 − 2 ∙ √1 ≈ 1,46.
"
= cos ‘ − cos −‘ = −1 − −1 = 0
Erinnerung: (Graph der Sinus – und Kosinusfunktion) , ‹ q = ÔÕÖ q , × q = ØÙÔ q
Ó
£ − sin
(
Ó
Q £ cos
TÓ
"
• = cos
• = sin
1
ℎ £ • = ln| |
/
"
/
Ó
(
Ó
TÓ
= cos ‘ − cos 0 = −1 − 1 = −2
= sin ‘ − sin −‘ = 0 − 0 = 0
= ln 3 − ln 2
3
ln ≈ 0,41
2
کľ°§½-ª®¨Ä®«®½Û®
=
|
4) Logarithmische Geheimformeln (logarithmische Integration):
¢
£
und
¢
j
1
£ Q1
Q
j
£
1
• = ln
• = ln|
• =
− ln
1
Q
2
²−Q
| + ¤, £ Q1
².
∙Q
1
• = Q
2
²
Beispiele:
Ü
¡(U sin cos •
Für Q
≔ sin hat der Integrand genau die Form Q1
des Integrals:
¡(U sin cos • = ¶Ý/ sin² ÞR
Ü
e
¡"
C
5T/
•
5²TH5VH
Ó//
(
C
Ó
Q
C
, also erhalten wir für den Wert
C
= / sin² F / I − / sin/ 0 = /
Zuerst bemerken wir, dass der Nenner im Integrand nur bei
= ±2 verschwindet, da im
Integrationsbereich immer ² − 4 + 4 ≥ 1 gilt, gibt es keine Probleme. Wenn wir das
Integral geschickt umformen (Integraleigenschaften), dann hat der Integrand die Form
und kann sofort berechnet werden:
e
¡"
5T/
•
5²TH5VH
C
e
= / ¡"
/5TH
•
5²TH5VH
9E 5
9 5
= ¶ ln ² − 4 + 4 |e" = ln 9 − ln 1 = ln 3/ = 2 ln 3 ≈ 2,197
5) Flächenberechnungen
Fall 1: Die Funktion ist im betrachteten Intervall immer positiv
Wenn die Funktion im vorgegebenen Intervall überall positiv ist, dann berechnet man den
zugehörigen Flächeninhalt einfach mit dem bestimmten Integral mit den entsprechenden
Integrationsgrenzen.
Beispiel: Wir betrachten die Funktion
= 2 + 5 und berechnen den markierten Flächeninhalt
unterhalb des Funktionsgraphen im Intervall −2, 2 .
Zuerst stellen wir fest, dass
im Intervall −2, 2 nur positive Werte annimmt.
Rechnerisch verifizieren wir dies, indem wir die einzige eindeutige Nullstelle von
bestimmen:
Der Ansatz
= 0 liefert die Gleichung 2 + 5 = 0 mit der Lösungsmenge
ß = à á ∉ −2, 2 . Wir berechnen also den zugehörigen Flächeninhalt unterhalb des
/
e
Funktionsgraphen im Intervall −2, 2 mithilfe des bestimmten Cauchyschen Integrals:
/
ã= £
T/
/
• = £ 2 + 5 • = ¶ ² + 5 |/T/ = 4 + 10 − 4 + 10 = 20•ä.
T/
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt hier 20 Flächeneinheiten.
Hinweis: Weil wir hier keine Angaben über die verwendete Maßeinheit haben, schreiben wir
allgemein •ä für Flächeneinheiten. Wenn man eine konkrete Angabe wie Quadratmeter hätte,
dann sollte man eher diese aufschreiben.
Fall 2: Die Funktion ist im betrachteten Intervall überall negativ.
Wenn die vorgegebene Funktion im betrachteten Intervall immer negativ ist, dann berechnet
man das zugehörige bestimmte Integral und erhält i. d. R. einen negativen wert. Hiervon
nimmt man den Absolutbetrag, denn für einen Flächeninhalt kommen nur positive reelle
Werte infrage.
¢
ã = ã ; å = æ£
j
• æ
= −_ 5 und berechnen den markierten
Beispiel: Wir betrachten die Funktion
Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der
− Achse im Intervall −2, 2 .
Weil die Exponentialfunktion im gesamten Definitionsbereich keine nullstellen besitzt und
hier einen negativen Vorfaktor hat, nimmt
im Intervall −2, 2 nur negative Werte an. Wir
berechnen nun den markierten Flächeninhalt:
/
ã = æ £ −_ 5 • æ
T/
=
|
轮ݾ±®§Ä®¨«¬-¾¿½®¨
穪©Ä®¨§½ä½,H.C,¦
≈ 7,254 •ä.
/
/
æ− £ _ 5 • æ = £ _ 5 • = ¶ _ 5 |/T/ = _ / − _ T/
T/
T/
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt hier ca. 7,254 Flächeneinheiten.
Fall 3: Die Funktion nimmt im betrachteten Intervall sowohl positive als auch negative
Werte an.
Wenn die Funktion im betrachteten Intervall sowohl positive, als auch negative Werte
annimmt, dann unterteilt man diese Bereiche geschickt, sodass man nur Bereiche mit positiven
Funktionswerten sowie auch Bereiche mit negativen Funktionswerten erhält. Hiervon
berechnet man jeweils die zugehörigen bestimmten Integrale (im negativen Bereich wird noch
der Absolutbetrag genommen) und addiert diese anschließend.
Beispiel Nr. 1: Wir betrachten die Funktion
=
und berechnen den markierten
Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen von : Der Ansatz
− Achse im Intervall −2, 2 .
nun die Bereiche in der Umgebung der einzigen Nullstelle
1 > 0 erkennen wir, dass
1 =
= 0 untersuchen. Aus
1 =
im Intervall 0, 2 positiv ist. Demnach erhalten wir für diesen
Bereich den Teilflächeninhalt:
Aus
= 0 liefert 0 = . Wir müssen
/
ãC = £ • = ¶·
(
1 erkennen wir, dass
/
1
²¸N = 2 − 0 = 2•ä.
2
(
2, 0 negativ ist. Demnach erhalten wir
im Bereich
für diesen Bereich unter Verwendung des Absolutbetrags den Teilflächeninhalt:
(
ã/ = æ £ • æ = O¶·
T/
(
1
²¸N O = |0 − 2|•ä = |−2|•ä = 2•ä.
2
T/
Insgesamt resultiert hiermit für den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der
− Achse im Intervall −2, 2
/
(
ãéê = ãC + ã/ = £ • + æ £ • æ = 4•ä
(
T/
Zum dritten Fall wollen wir uns noch ein weiteres (komplizierteres) Beispiel angucken:
= −0,1
Beispiel Nr. 2: Wir betrachten die Funktion
H
+
/
− 0,9 und berechnen den
markierten Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der
−3, 3 .
Zuerst werden wir die Nullstellen von
Gleichung −0,1
H
+
/
− Achse im Intervall
= 0 führt auf die
bestimmen. Der Ansatz
− 0,9 = 0. Um letztere Gleichung vierten Grades zu lösen, können
wir geschickterweise die Substitution w = ² verwenden und erhalten somit die Gleichung
0,1w² + w − 0,9 = 0.
−0,1w / + w − 0,9 = 0| ∶ −0,1
⇔ w² − 10w + 9 = 0
Letztere Gleichung lösen wir mit der Mitternachtsformel bzw. der s, ~ − Lösungsformel:
wC,/ = 5 ± √25 − 9 = 5 ± √16 = 5 ± 4,wC = 9,w/ = 1
Eine Resubstitution vermöge der Relation w = ² liefert:
C
= 1,
/
=
1,
"
= 3,
H
=
3
3, −1 , −1, 1 , 1, 3
Wir müssen als die folgenden drei Bereiche näher untersuchen:
Aufgrund von
0 = −0,9 < 0 ist die Funktion
negativ im Bereich −1, 1 und
demnach positiv in den beiden verbleibenden Bereichen −3, −1 und 1, 3 .
Für die einzelnen Teilflächeninhalte erhalten wir also:
TC
ã T",TC = £ −0,1
T"
H
+
/
− 0,9 • = ¶·−0,02
e
+
1
3
"
TC
− 0,9 ¸N
1
0,02 − + 0,9 − 4,86 − 9 + 2,7 •ä ≈ 2,026•ä
3
T"
=
C
ã TC,C = æ £ −0,1
"
TC
ã C," = £ −0,1
C
H
+
/
H
+
/
− 0,9 • æ = O¶·−0,02
− 0,9 • = ¶·−0,02
e
+
1
3
"
e
+
1
3
"
"
C
− 0,9 ¸N O = 1,173•ä
TC
− 0,9 ¸N ≈ 2,026•ä
C
=
|
¼ëªª®½°§®
ã T",TC
Insgesamt resultiert hiermit für den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der
− Achse im Intervall −3, 3
ã T"," = ã T",TC + ã TC,C + ã C," = 2,026•ä + 1,173•ä + 2,026•ä = 5,225.
Bevor wir uns den weiteren möglichen Fällen zuwenden, wollen wir noch einen Algorithmus
für den dritten Fall aufschreiben:
Algorithmus: Gesicht ist der Flächeninhalt, zwischen dem Funktionsgraphen einer Funktion
und der
− Achse im Intervall ≔
,
.
1. (optional) Skizzieren Sie den Funktionsgraphen im Intervall
Koordinatensystem.
,
in einem geeigneten
2. Bestimmen Sie die Nullstellen von . Hierfür können die Mitternachtsformel, eine
Substitution in der Form w = ², das Horner Schema, eine Polynomendivision bzw. die
Lösungsformel von Cardano hilfreich sein.
3. Bestimmen Sie den Inhalt der Flächenstücke zwischen je zwei Nullstellen.
4. Addieren Sie die Beträge der Teilflächeninhalte aus Schritt 3.
Fall 4: Es soll die Fläche berechnet werden, die zwischen zwei Funktionsgraphen liegt.
Seien , Q ∶
∈
C, /
C, /
sowie
→ ℝ zwei stetige nichtnegative Funktionen mit
C
≥Q
C
,
/
≥Q
/
>Q
.
für alle
Dann gilt für die Inhaltsmaßzahl der von den Graphen beider Funktionen im Intervall
eingeschlossenen Fläche
5U
5U
ã = ãC − ã/ = £
5U
• − £Q
5S
5S
• = £?
−Q
5S
C, /
A• .
Dieser Weg der Berechnung von Flächenstücken zwischen Funktionsgraphen ist unabhängig
von der Lage des Flächenstücks bezüglich der
erkennen können:
− Achse, wie wir in der folgenden Graphik
Liegt nun die Fläche teilweise oder vollständig unterhalb der
− Achse, kann durch eine
Verschiebung in Richtung der r − Achse die Fläche ì/ oder ì" mit ìC zur Deckung
gebracht werden. Diese Verschiebung lässt die Schnittpunktsabzissen (Integrationsgrenzen)
und
/
C
unverändert. Die Gleichungen der Funktionen Q& unterscheiden sich untereinander um
denselben konstanten Summanden wie die der entsprechenden Funktionen & . Dieser
Summand hebt sich dann bei der Differenzenbildung im Integranden auf. Deshalb gilt:
5U
£?
5S
C
− QC
5U
A• = £ ?
5S
/
− Q/
5U
A• = £ ?
5S
"
− Q"
A•
Auf unsere oben erwähnten Voraussetzungen bezüglich der Größe der Funktionswerte von
und Q bzw. der gegenseitigen Lage ihrer Graphen kann man verzichten, wenn man mit dem
Betrag des Differenzintegrals arbeitet, d.h.
5U
ã = æ£?
5S
−Q
A• æ
Hierzu werden wir uns jetzt drei Beispiele anschauen:
= − + 7 und Q
Beispiel Nr. 1: Die Graphen der Funktionen
=
−4 ²+1
schließen ein Flächenstück ein. Wir berechnen den Inhalt dieses Flächenstücks.
Zuerst berechnen wir die Schnittstellen von
=Q
und Q, das heißt, wir machen den Ansatz
und lösen die resultierende Gleichung − + 7 =
−4
/
+ 1. Mit der s, ~ −
Formel (angewand auf die äquivalent umgeformte Gleichung ² − 7 + 10 = 0) erhalten wir
C
= 2 und
/
Aufgrund von
Q
= 5 als Schnittstellen.
3 = 4 > Q 3 = 2 liegt im Intervall 2, 5 die Funktion
, das heißt es gilt
>Q
für alle
Flächeninhalt für die markierte Fläche:
e
ã
£?
©¦®°®ª§¨À« /
À¨½®°®¯À¨Á½§©¨
£ − +7−
/
=
|
e
/
Q
+ 8 − 17 • = £ −
Die Graphen der Funktionen
/
ein Flächenstück von 4,5•ä ein.
aus dem Intervall 2, 5 .Damit erhalten wir als
e
A• = £F
e
=
/
oberhalb von
/
+7
1
+ 7 − 10 • = ¶·−
3
+ 7 und Q
=
4 ² + 1AI • =
?
"
7
+
2
/
9
− 10 ¸N = •ä
2
/
e
4 ² + 1 schließen demnach
=
Beispiel Nr. 2: Die Graphen der Funktionen
C
/
² − 1 und Q
=−
−1 ²+2
schließen ein Flächenstück ein. Wir berechnen den Inhalt dieses Flächenstücks.
Zuerst berechnen wir den Integrationsbereich, indem wir die Schnittstellen von
berechnen. Der Ansatz
Lösungen (nachrechnen!)
C
=Q
= − " ,
Intervall Ý− " , 2Þ die Funktion Q
/
führt zur Gleichung / ² − 1 = −
/
/
C
= 2.Aufgrund von
oberhalb von
und Q
− 1 ² + 2 mit den
0 = −1 < Q 0 = 1 liegt im
, das heißt es gilt Q
>
für alle
aus dem Intervall F− " , 2I. Damit erhalten wir als Flächeninhalt für die markierte Fläche:
/
ã = £?Q
T
/
"
/
−
/
A • = £ ’−
T
Die Graphen der Funktionen
Flächenstück von
C/‚
•ä
/€
ein.
/
"
−1
=/ ²
C
/
+2+1−
1 und Q
1
2
=
/
“•
128
•ä.
27
¨¾¬-°®¬-¨®¨!
=
|
1 ² + 2 schließen ein
= " ³ − " und Q
C
Beispiel Nr. 3: Die Graphen der Funktionen
= " ²+"
H
C
/
schließen ein Flächenstück vollständig ein. Wir berechnen den Inhalt dieser Fläche.
×
‹
Wir erkennen anhand unserer Graphik, dass sich die beiden Funktionen in mehreren Punkten
schneiden. Es entstehen zwischen den Graphen mehrere Teilflächen, die wir nun einzeln
berechnen. Aufgrund von
äquivalent in die Form ³ −
/
resultiert die Gleichung " ³ − "
=Q
C
= " ² + " , die
C
/
− 6 = 0 umgeformt werden kann. Hieraus erhalten wir nach
²−
Anwendung des Distributivgesetzes
C
H
− 6 = 0, woraus wir einerseits sie Stelle
= 0 ablesen, und andererseits nach Anwendung der s, ~ − Formel (auf den zweiten Faktor)
die Stellen
/
= −2 und
Intervall −2, 0 . Wegen
Q, das heißt es gilt:
erhalten wir also:
ã T/,( = ¡T/?
(
−Q
"
= 3 erhalten. Wir untersuchen erst den Sachverhalt für das
−1 = 1 > Q −1 = − " liegt
C
>Q
für alle
im Intervall −2, 0 oberhalb von
∈ −2, 0 . Für den Flächeninhalt des ersten Teils
A • = ¡T/ ’" ³ − " − F" ² + " I“ • = ¡T/ F" ³ − " ² − " I • =
(
C
H
C
(
/
Wir untersuchen nun den Sachverhalt für das Intervall 0, 3 . Wegen
liegt
im Intervall 0, 3 unterhalb von Q, das heißt es gilt:
<Q
Für den Flächeninhalt des zweiten Teils erhalten wir also:
"
ã (," = £?Q
(
−
A•
Insgesamt erhalten wir damit:
ã T/," = ã T/,( + ã (," =
Die Graphen der Funktionen
=" ³
C
H
"
Flächenstück von rund 7•ä vollständig ein.
21
•ä
4
¨¾¬-°®¬-¨®¨!
C
C
1 = −1 < Q 1 = 1
für alle
∈ 0, 3 .
=
|
16
21
•ä + •ä ≈ 7•ä.
9
4
und Q
%
=
C
"
²+
/
"
schließen somit ein
C%
•ä
G
Das Volumen ™ eines Körpers im Anschauungsraum, der durch Rotation des Graphen einer
6) Rotationsvolumen
stetigen Funktion
∶
,
→ ℝ um die
− Achse entsteht, ist gegeben durch
¢
™ = ‘ £?
A • .
/
j
Beispiel: Die Oberfläche einer Kugel mit Radius î kann man sich entstanden denken durch
Rotation des oberen Halbkreises um die
Achse. Um das Volumen zu erhalten, muss man
also nur die Kreisgleichung ² + r² = î² nach r auflösen und r =
Für den oberen Hilfskreis erhalten wir r =
bei Rotation um die
ï
™( = ‘ £
Tï
= lî²
− Achse ergibt sich damit zu
ï
ï
² • = ‘ £ Flî² − ²I ² • = ‘ £ î −
Tï
Tï
/
² mit
/
benötigt.
∈
î, î . Das Volumen
³
4‘
• = ¶‘ ðî² − ñO =
î³
3 Tï
3
ï
7) Weitere Integrationstechniken
Warnung: Die folgenden Integrationstechniken sind wohl für die meisten Grundkursschüler
unwichtig, da diese nicht als obligatorischer Bestandteil im Rahmenlehrplan für
Berlin/Bandenburg in der aktuellen Verfassung aufgeführt werden. Sollte Ihr Prüfer diese
Integrationstechniken jedoch trotzdem im Unterricht thematisiert haben, sollten Sie den
folgenden Abschnitt angucken. Fragen Sie sicherheitshalber rechtzeitig nach, falls Sie das
zweite Semester gewählt haben, ob diese Integrationstechniken für Ihre Prüfung relevant sind.
Partielle Integration:
In diesem Abschnitt thematisieren wir eine Integrationstechnik, die bei der Berechnung vieler
Integrale hilfreich ist. Die Technik heißt partielle Integration (zur Integration von Produkten
zweier geeigneter Funktionen).
Formel: Seien , Q ∶
,
¢
£
j
Beispiele:
Wähle
1
1
→ ℝ stetig differenzierbar, dann gilt:
∙Q
£
• =¶
1
¢
Q
|¢j − £
j
Q • = Q − £ Q1 •
• .
£ ln • = £ 1 ∙ ln • sollberechnetwerden.
C
= 1, dann ist
= . Es ist außerdem Q = ln mit Q1 = 5.
Wir erhalten dann mit der partiellen Integrationsformel:
£ ln • =
∙ ln − £ 1 • =
ln −
/
Hier wählen wir
Q1
= √ ,dann ist
1
=
£ √ ∙
C
/
"
f
U
+¤ =
+1 •
. Es gilt außerdem Q =
Wir erhalten dann mit der partiellen Integrationsformel:
/
£√ ∙
C
2
+ 1 • = ¶· ’
3
¶·2 ’
3
e
/
+
"
/
ln − 1 + ¤,¤ ∈ ℝ.
−
e
/
2
5
+
/
"
/ “¸N
C
/
e
/ “¸N
C
/
−£
C
= 3,082.
2
3
+ 1 und Q1 = 1
"
/•
=
Man erkennt, dass es in erster Hinsicht bei der partiellen Integration darauf ankommt,
möglichst geschickt ′ und Q zu wählen, sodass die Integration elementar durchführbar ist.
¢
Hier wählen wir
1
= sin ,dann ist
[ £ ∙ sin
j
•
= − cos . Es gilt außerdem Q =
Wir erhalten dann mit der partiellen Integrationsformel:
¢
£ ∙ sin
j
• = ¶ − ∙ cos
− ∙ cos
|¢j
+ sin
¢
und Q1 = 1
+ £ cos • = ¶ − ∙ cos + sin
j
+
∙ cos
− sin
.
|¢j =
¢
Hier wählen wir
1
• £ ∙ cos
= cos
j
,dann ist
= sin
•
. Es gilt außerdem Q =
und Q1 = 1
Wir erhalten dann mit der partiellen Integrationsformel:
¢
£ ∙ cos
j
• =¶
∙ sin
∙ sin
¢
|¢j − £ sin
j
+ cos
−
H
• =¶
∙ sin
_ £ ln
− cos
|¢j =
+ cos
.
•
"
Hier wäre es ungeschickt, Q =
∙ sin
zu wählen, denn dann müssten wir
1
aus
= ln ermitteln
und bekämen ein noch komplizierteres zweites Integral. Viel besser ist es daher, Q = ln zu
wählen, also
1
C
C
= , dann ist Q1 = 5, und
nur Potenzen von
H
£ ln
"
= / ², das heißt, dass wir im zweiten Integral
erhalten. Insgesamt ist also:
• = ¶ð
/
2
H
H
ln
ñO − £
"
"
/
2
£
1
∙ • = ¶ð
/ «§¨ 5
/
2
ln
/
−
4
H
ñO = 4,397
"
•
Um das Cauchysche Integral zu lösen, werden wir zweimal hintereinander die partielle
Integrationsformel anwenden. Wir wählen
Q = ² und Q1 = 2 .Damit erhalten wir:
£
/ «§¨ 5
= sin und damit ist
• = − cos ∙
Hier wählen wir für das zweite Integral
Q=
1
1
= cos
/
+2
/
+ 2 £ cos
,dann ist
∙ •
= sin
. Es gilt außerdem
und Q1 = 1. Wir erhalten dann erneut mit der partiellen Integrationsformel:
£
/ «§¨ 5
• = − cos ∙
∙ sin + cos
Transformationsformel
Seien
= − cos . Außerdem ist
∶
Gleichheit:
,
+ ¤,¤ ∈ ℝ.
→ ℝ stetig und ∶ ö, ÷ → ℝ stetig differenzierbar, dann gilt die folgende
! ø
£
! ù
ø
• =£ ? w A
ù
1
w •w
Bemerkung: Die Kunst bei der Anwendung der Gleichheit ¡!
=
besteht im „Erkennen“ einer geeigneten Substitution
! ø
ù
• = ¡ù ? w A
ø
1
w •w
w . Mit dem Laufe der Zeit sollte
jeder Grundkursschüler bzw. jede Grundkursschülerin einige „leichte“ Standardsubstitutionen
beherrschen. Hierzu gucken wir uns jetzt einige Beispiele an:
DasIntegral
Beispiele:
/
≔ £ √2 + 1 • sollberechnetwerden. HierbeiistderAusdruckunterderWurzel
C
(Radikand) unsere „Störgröße“, deshalb ist es geschickt, die Substitution w ≔ 2 + 1 zu
wählen. Damit resultiert (Umformung nach
√w . Differentiation nach w liefert:
1
=
:
TC
/
=
w . Es ist also
= √2 + 1 =
w = /. Hiermit erhalten wir unter Berücksichtigung,
C
dass die Integralgrenzen mit substituiert werden:
=
/∙/VC
£
/∙CVC
? w A∙
1
e
e
C
e
1
1
2 " e 1
w •w = £ √w •w = £ w / •w = ¶·w / ¸N = ¶Ýlw " ÞR ≈ 1,995.
2
2
6
3
"
"
"
"
Fassen wir noch einmal unserer Rechenschritte übersichtlich zusammen, wie man mit der
Transformationsformel ein Integral berechnet:
Schritt 1: Wahl einer geeigneten Substitutionw,Bestimmung der Transformationsabbildung w .
=
Hier: Wähle w = 2 + 1, also
T
•
mit
1
w = /.
C
Schritt 2: Verwenden der Substitution (die Grenzen müssen mit berücksichtigt werden),
dann erhalten wir:
/∙/VC
/
£ √2 + 1 =
C
£
/∙CVC
Schritt 3: Berechnung des Integrals.
e
e
? w A∙
1
e
1
w •w = £ √w •w.
2
"
C
e
1
1
2 " e 1
£ √w •w = £ w / •w = ¶·w / ¸N = ¶Ýlw " ÞR ≈ 1,995.
2
2
6
3
"
"
"
"
Hinweis: Falls die rot markierte Funktion linear ist, dann spricht man von einer linearen
Substitution.
DasIntegral "
≔ £ √4 + 3 • sollberechnetwerden. HierbeiistderAusdruckunterderWurzel
C
erneut unsere „Störgröße“, deshalb ist es geschickt, die Substitution w ≔ 4 + 3 zu wählen.
Damit resultiert (Umformung nach
Differentiation nach w liefert:
1
:
=
T"
H
=
=
£
H∙CV"
? w A∙
1
c DasIntegral = √4 + 3 = √w .
w = . Hiermit erhalten wir unter Berücksichtigung, dass die
H
C
Integralgrenzen mit substituiert werden:
H∙"V"
w . Es ist also
Ce
Ce
C
Ce
1
1
2 ¶ " Ce 1 ¶
w •w = £ √w •w = £ w / •w =
·w / ¸N = Ýlw " ÞR ≈ 6,596.
4
4
12
6
€
€
€
€
"
≔ £ l ² + 1 • sollberechnetwerden. HierbeiistderAusdruckunterderWurzel
C
erneut unsere „Störgröße“, deshalb ist es geschickt, die Substitution w ≔
Damit resultiert (Umformung nach
√
/
+1=
Kettenregel:
:
= √w
1=
=£ ? w A∙
/
+ 1 zu wählen.
w , w ≥ 1. Es ist also
=
∙ √w = √w − 1 ∙ √w.Differentiation nach w liefert unter Anwendung der
1
w =/
C
.
√ TC
1
∙
Hiermit erhalten wir unter Berücksichtigung, dass die
Integralgrenzen mitsubstituiert werden:
C(
/
C(
C(
C
1
1
1
1 ¶ " C(
/
w •w = £ √w − 1 ∙ √w ∙
•w = £ w •w = ·w / ¸N ≈ 9,598.
2
2
3
2√w − 1
/
/
/
Bemerkung: Bei einer nichtlinearen Transformation wie in Beispiel [ kann es leicht
vorkommen, dass man nicht sofort auf eine geeignete Substitution kommt. Wir schauen uns
später noch eine Substitution an, die überhaupt nicht offensichtlich ist und daher ziemlich viel
Routine erfordert.
• DasIntegral £ 3 + 5
/
• sollberechnetwerden:
Wir verwenden hierfür die Substitution w ≔ 3 + 5 und erhalten hiermit
Differentiation nach w liefert:
1
w = ". Es ist:
1
1
• = £ w² •w = w³ + ¤
3
9
Transformationsformel resultiert:
£ 3 +5
/
C
=
Te
"
= 3 + 5 ² = w². Mit der
=
w .
1
3 +5 ³+¤
9
®«À¦«½§½À½§©¨
=
|
}"5Ve
Hinweis: Verwendet man die Transformationsformel für unbestimmte Integrale, dann sollte
man zum Schluss eine Resubstitution durchführen.
_ DasIntegral £ 4 − 1
"
• sollberechnetwerden:
Wir verwenden hierfür die Substitution w ≔ 4 − 1 und erhalten hiermit
Differentiation nach w liefert:
1
w = H. Es ist:
£ 4 −1
"
1
1 H
• = £ w³ •w =
w +¤
4
16
Wir wollen nun das Integral
1
4 −1
16
®«À¦«½§½À½§©¨
=
|
}H5TC
H
w .
C
£ _ √5 •
(
1
=
+¤
berechnen. Hier liegt es nahe, die Substitution w ≔ √ zu wählen, es ist also
Differentiation nach wliefert
VC
H
= 4 − 1 ³ = w³. Mit der
C
Transformationsformel resultiert:
=
w = 2w. Außerdem ist
=
= _ √5 = _ . Auch
w = w².
w erfüllt
die Voraussetzungen für die Anwendung der Transformationsformel und deshalb ist:
C
√C
C
£ _ √5 • = 2 £ w ∙ _ •w = 2 £ w ∙ _ •w
(
(
√(
Das letzte Integral kann man mit der partiellen Integrationsformel berechnen. (Führen Sie dies
als kleine Übung aus!). Wir erhalten dann:
C
2 £ w ∙ _ •w = 2.
¢
(
Q WirberechnendasIntegral £ ∙ _ 5² • .
j
Hierzu wählen wir die Substitution w ≔
/
, also
=
w = √w,w ≥ 0. w erfüllt dann die
Voraussetzungen für die Anwendung der Transformationsformel. Differentiation nach w
liefert:
Es ist
¢
=
1
w =
1
2√w
.
∙ _ 5 = √w ∙ _ . Wir erhalten also mit der Transformationsformel:
U
¢²
j
j²
1
¢²
¢²
1
1
1
£ ∙ _ • = £ √w ∙ _ ∙
•w = £ _ •w = ¶· _ ¸N = ?_ ¢² − _ j² A.
2
2
2
2√w
j²
5²
j²
Unsere bisherigen Beispiele sollte jeder Schüler nachvollziehen können. Wie zuvor
angekündigt, gucken wir uns jetzt einige kompliziertere Beispiele an:
/
ℎ WirwollendasIntegral £ l1 + ² • berechnen:
C
Hier muss man schon einige Erfahrung haben, um auf eine günstige Substitution zu kommen,
denn die naheliegende Substitution w ≔ 1 + ² hilft uns hier nicht weiter (warum?). Wir
wählen hier vielmehr die Substitution w ≔ arcsinh = ln? + √1 +
sinh w .* Differentiation nach w liefert:
1
/ A,
w =
also
w = cosh w . Mit dem hyperbolischen Additionstheorem cosh² w − sinh/ w = 1 erhalten
wir mit der Transformationsformel dann:
±¨?/V√eA
/
£ l1 + ² • =
C
£
±¨?CV√/A
l1 + sinh ²w ∙ cosh w •w =
±¨?/V√eA
±¨?CV√/A
Berechnen von cosh² w = H _ + _ T ² = H 2 + _ /` + _ T/`
C
C
£
cosh² w •w.
und Bilden von Stammfunktionen jedes Summanden ergibt
1
_/
_ T/
= ¶ð2w +
−
ñO
4
2
2 ±¨?CV
1
1
1
ln?2 + √5A − ln?1 + √2A + √5 − √2 ≈ 1,810
2
2
2
/A ¨¾¬-°®¬-¨®¨!
±¨?/V√eA
√
=
|
Die übliche Reaktionen von Schülern beim erstmaligen Vorführen solcher Substitutionen ist:
„Darauf wäre ich nie gekommen!“. Eine angemessene Antwort wäre: „Das verlangt auch
keiner.“
(* Es ist: cosh = / _ 5 + _ T5 und sinh = / _ 5
C
Funktion
ù
'
,> ∈ ℕ
,ö ∈ ℝ\{ 1}, > 0
√ , > 0
1
Konstante Ÿ ∈ ℝ
sin
cos
tan
_5
ln
C
Stammfunktion •
1
'VC
>+1
1
ùVC
ö+1
2
l ³
3
ln| |
Ÿ
− cos
sin
−log cos
_5
∙ ln −
_ T5 )
Analytische Geometrie – Lineare Algebra
1) Grundlagen des Vektorrechnens:
Wir beschränken und hierbei auf den Euklidischen Raum ℝ" .
C
/
C+ /
rC + r/ = rC + r/
wC
w/
wC + w/
Addition von Vektoren (komponentenweise!):
C
/
C− /
rC − r/ = rC − r/
wC
w/
wC − w/
Subtraktion von Vektoren (komponentenweise!):
Skalare Multiplikation von Vektoren (komponentenweise!), sei hierzu
C
rC =
wC
C
rC
wC
∈ ℝ:
1
2
1+2
3
2 + 3 = −2 + 3 = 1
3
−4
3−4
−1
1−2
1
2
−1
²² 2 − 3 = −2 − 3 = −5
3+4
3
−4
7
3
1
3∙1
=
²²² 3
=
−6
2
3 ∙ −2
3
3∙3
9
Beispiele: (bitte immer bei den auftretenden Vorzeichen aufpassen)
² 1
2 −
3
² 3
1
2
−2 − 3
3
−4
3
−1
3+1
= −6 − −5 = −1
9
7
2
Betrag bzw. Länge (auch Norm) von Vektoren:
O–r—O =
w
² + r² + w²
1
Beispiel: Der Vektor 2 besitzt die Länge l1² + 2² + 4² = √21ßä ≈ 4,58ßä
4
Skalarprodukt (bitte immer von der skalaren Multiplikation unterscheiden!)
Formel:
C
/
rC ∙ r/ =
wC
w/
C /
+ rC r/ + wC w/
Das Ergebnis ist also ein Skalar und kein Vektor!
Formale Definition:
∙
= | | ∙ Š Š ∙ cos J , wobei 0° ≤ J ≤ 180°
1
5
3 ∙ −1 = 1 ∙ 5 + 3 ∙ −1 + −2 ∙ 2 = −2
−2
2
Beispiel zur Berechnung des Skalarprodukts:
Aus der formalen Definition des Skalarprodukts erhält man die folgende Winkelformel:
cos J =
∙
| |∙Š Š
J
Hierbei gilt 0° ≤ J ≤ 180°, denn es wird immer der kleinere Winkel zwischen den beiden
Vektoren , genommen.
4
7
Gesucht ist der Winkel zwischen 5 und 5 .
3
1
1. Schritt: Skalarprodukt berechnen
Beispiel zur Winkelformel:
4
7
5 ∙ 5 = 56
3
1
2. Schritt: Beträge der Vektoren ermitteln
4
5
3
= l4² + 5² + 3² = √50,
3. Schnitt: Kosinusformel anwenden:
cos J =
∙
| |∙Š Š
=
56
7
5
1
= l7² + 5² + 1² = √75
56
⇒ J = cos TC ’
“ = cosTC 0,9145 ≈ 23,87°
√50 ∙ √75
√50 ∙ √75
Orthogonale Vektoren:
Zwei Vektoren
und
heißen genau dann orthogonal (d.h. sie schleißen einen Winkel
von 90° ein), wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null ergibt. Kurz:
(unbedingt merken!)
2
1
0 , ∙
= −3 , =
−0,5
4
Beispiel für zwei orthogonale Vektoren:
=
⊥ ⇔ ∙
2
1
0
= 2 − 2 = 0.
3 ∙
−0,5
4
= 0.
Normierte Vektoren: Vektoren der Länge 1 nennt man auch normierte Vektoren.
Beispiel hierzu:
C
√CH
/
√CH
"
√CH
ist ein normierter Vektor, denn es gilt ÅÅ
C
√CH
/
√CH
"
√CH
Å=1
Å
0
Nullvektor 0
0
Wichtige Vektoren:
-
1
0
0
Einheitsvektoren 0 , 1 , 0
0
0
1
-
Ortsvektor, zum Punkt < |r|w gehört der Ortsvektor s = –r—.
w
Sonderfälle:
-
1) Eine Koordinate eines Vektors ist null: Dieser Vektor ist im ℝ/ parallel zu einer
Koordinatenachse und im ℝ" parallel zu einer Koordinatenebene.
2) Zwei Koordinaten eines Vektors des ℝ" sind null: Dieser Vektor ist im Raum parallel
zu einer Koordinatenachse und damit zu zwei Koordinatenebenen.
Das Vektorprodukt (alias Kreuzprodukt):
Formel:
Merkregel:
C
/
rC w/ − wC r/
C
/
rC × r/ = wC / − w/ C
wC
w/
C r/ − rC /
rC r/
wC
w/
C
rC
/
r/ Immer über kreuz multiplizieren und dann die Differenz (von oben nach
unten abzüglich von unten nach oben) berechnen.
2
6∙4−1∙3
21
5
6 × 3 = 1 ∙ 2 − 4 ∙ 5 = −18
4
5∙3−6∙2
3
1
Beispiel für das Kreuzprodukt zweier Vektoren:
Fläche aufgespanntes Parallelogramm:
Der Betrag Š × Š des Kreuzproduktes der Vektoren
Flächeninhalts des von den Vektoren
und
und
entspricht der Maßzahl des
aufgespannten Parallelogramms.
Anwendungen:
1
1
ã = Šã × ã¤ Š,ã = Šã Š ∙ Šã¤ Š ∙ sin ö
2
2
Fläche eines Dreiecks ABC
Volumen eines Spats ABCDEFGH
™ = Šã ∙ ?ã• × ãä AŠ
1
™ = Š ∙ ? × [AŠ
6
(Diese Formeln sollten Sie auswendig kennen!)
Volumen einer dreiseitigen Pyramide
Mittelpunkt einer Strecke
Für den Mittelpunkt M einer Strecke ã gilt:
= / ? + A dabei sind , und
C
die Ortsvektoren zu den Eckpunkten,
Schwerpunkt eines Dreiecks
Für den Schwerpunkt S eines Dreiecks ã ¤ gilt:
= ? +
"
C
+ [A, dabei sind , und [ die Ortsvektoren zu den Eckpunkten.
Beispiele:
Gegeben sei das Raumdreieck ABC mit den Eckpunkten ã 0|0|0 ,
1|2|1 ,¤
1|0|2 .
1
0
1
ã = 2 − 0 = 2 ,㤠=
1
0
1
Flächenformel:
1
1
−2
0 − 2 = −2
2
1
1
Wir berechnen dessen Fläche und Schwerpunkt. Zuerst stellen wir hierzu die Seitenkanten
als Spaltenvektoren dar:
1
−1
×
2
0
1
2
1
1
ã = Šã × ã¤ Š =
2
2
Probe: ☺ ☺
1
1
ã = Š ¤ × ãŠ =
2
2
1
0
−1
0 − 0 = 0 , ¤ =
2
0
2
−2
−1
×
−2
−2
1
−1
=
1
2
=
Schwerpunktformel: = " ? + + [A = "
C
C
1
2
4
−1 − 2
2
2+2
−1 − 2
4−2
1
= l4² + 3² + 2² = 2,69•ä
2
=
1
2
0
1
−1
0 + 2 + 0
0
1
2
4
−3
2
=
C
"
1
= l4² + 3² + 2²
2
0
2
3
F0 R R 1I.
/
"
Untersuchung von Vektoren auf lineare Abhängigkeit
Zwei Vektoren sind linear abhängig bzw. komplanar im ℝ" , wenn ein Vektor ein
Vielfaches eines anderen Vektors ist. Ansonsten nennt man diese Vektoren linear
unabhängig.
1
−2
a) Die Vektoren 2 und −4 sind linear abgängig.
4
−8
1
−2
Nachweis: 2 = −4 ordnen wir das Gleichungssystem
4
−8
Beispiele:
1 =
2
2 = −4
4 = −8 mit der eindeutig bestimmten Lösung = − zu.
/
C
Falls diese eindeutige Lösung nicht existiert, sind beide beteiligten Vektoren linear
unabhängig.
1
1
b) Die Vektoren 2 und 2 sind linear unabhängig.
4
3
1
1
Nachweis: 2 = 2 ordnen wir das Gleichungssystem
4
3
1 =
Zu. Aus
und
2 = 2
4 = 3
folgt unmittelbar
Gleichung, denn es gilt nach
:4=3∙1
= 1 , dies widerspricht aber der dritten
Drei Vektoren sind linear abhängig bzw. komplanar im ℝ" , wenn ein Vektor sich als ein
Vielfaches (Linearkombination) der beiden anderen Vektors darstellen lässt. Ansonsten
nennt man diese Vektoren linear unabhängig.
1
2
c) Die Vektoren 4 , 5 und
7
8
1
2
Nachweis: 4 = 5 +
7
8
Beispiel:
1 = 2 + 3 |
4 = 5 + 6
7 = 8 + 9
3
3
6 sind linear abhängig (komplanar).
9
3
6
9
′ 1
C
/
3 = 2 | ∶ 2
−/ =
"
und
1 3
4 = 5 ’ − “ + 6
2 2
Einsetzen von in
4 = 2,5 − 7,5 + 6
4 = 2,5 − 1,5 |
2,5
1,5 = −1,5 ⇒ =
7 = 8 + 9
1 3
7 = 8’ − “+ 9
2 2
7 = 4 − 12 + 9
7 = 4 − 3 |
4
3 = −3 ⇒ =
.
1
1
Wir haben für also eine eindeutige Lösung erhalten, falls man hier 2 unterschiedliche Werte erhalten hätte, dann wären aufgrund des Widerspruches die drei Vektoren
linear unabhängig.
Aus folgt nun mit =
1 (eingesetzt):
2=
1 3
+ =
2 2
1
2
3
Demnach gilt 4 = 2 5 − 1 6
7
8
9
Also sind die drei Vektoren tatsächlich linear abhängig.
Normalenvektor
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht. Er hat zahlreiche
wichtige Anwendungen.
Berechnung eines Normalenvektors > zu den Vektoren ^ und :
Formel: > = ^ ×
2
5
Beispiel: Berechnung eines Normalenvektors > zu den Vektoren 6 und 3 :
4
1
2
6∙4−1∙3
21
5
> = 6 × 3 = 1 ∙ 2 − 4 ∙ 5 = −18
4
5∙3−6∙2
3
1
Warnung: Es gibt i.d.R. unendliche viele Normalenvektoren zu den Vektoren ^ und ,
man kann zum Beispiel ein beliebiges Vielfaches von ^ × nehmen.
2) Geraden im Euklidischen Anschauungsraum ℝ :
Punkt-Richtungs-Form:
Hierbei ist
Q∶
=
+ ^, ∈ ℝ
ein Stützvektor der Geraden und ^ der Richtungsvektor der Geraden.
Zweipunktform:
Seien ã
C |rC |wC ,
dann besitzt Q ∶
/ |r/ |w/ zwei Punkte mit den Ortsvektoren
die Gleichung
Q∶
C
/
= rC +
wC
Beispiel:
Q verläuft durch die Punkte ã 1|0| − 1 und
Gleichung:
Q∶
=
1
0
¹º»
−1
ü !"# $%
+
C
r/ − rC
w/
wC
C
= rC und
wC
/
= r/ ,
w/
, ∈ ℝ
2|2|2 , dann besitzt Q ∶
2
1
1
= 0 +
2 − 0
2 &º&&
−1
−1
¹&&&
&&»
'()* +,×-!"# $%
die folgende
1
2 , ∈ ℝ
3
Punktprobe:
Ein Punkt liegt genau dann auf einer Geraden, wenn sein Ortsvektor bzw. seine Koordinaten die
Geradengleichung erfüllen.
Beispiel:
Der Punkt ¤ 1|3|0 liegt nicht auf der Geraden Q ∶
=
1
0 +
−1
1
2 , ∈ ℝ.
3
Nachweis: (Wir setzen den Ortsvektor zu Punkt ¤ in die Gerade ein und erhalten:)
1
1
1
3 = 0 +
2 |
0
−1
3
0
1
2
3 =
1
3
1
0
−1
Dieser Vektorgleichung ordnen wir das Gleichungssystem
0 =
3 = 2
zu, welches offenbar nicht lösbar ist, denn 0 =
1 = 3
aus I) widerspricht den Gleichungen
und
.
3) Lage von zwei Geraden:
Im ℝ" können zwei Geraden entweder
-
identisch sein oder
-
echt parallel sein oder
-
genau einen Schnittpunkt haben oder
-
windschief sein.
Klassifizierung: (unbedingt auswendig lernen!)
1) Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig
(kollinear) sind.
2) Zwei Geraden sind genau dann identisch, wenn sie parallel sind und ein Punkt der einen
Geraden auf der anderen Geraden liegt.
3) Zwei Geraden sind windschief, wenn ihre beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind
und sich beide Geraden in keinen Punkt schneiden, bzw. wenn ihre beiden Richtungsvektoren
und ein beliebiger Verbindungsvektor von einem Punkt der einen Geraden zu einem Punkt
der anderen Geraden linear unabhängig sind.
4) Zwei Geraden
und Q schneiden sich genau dann in einem eindeutigen Schnittpunkt, wenn
ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind und das Gleichungssystem
lösbar ist.
= Q eindeutig
5) Zwei Geraden sind genau dann zueinander senkrecht bzw. orthogonal, wenn ihre
Richtungsvektoren orthogonal sind.
Die Geraden Q und ℎ mit den Richtungsvektoren ^ und
4) Schnittwinkel Gerade – Gerade
schneiden einander in genau einem
Punkt. Dann gilt für den Schnittwinkel 0° ≤ J ≤ 90° die folgende Formel:
cos J =
|^ ∙ |
|^| ∙ | |
Spezialfall: Falls J = 90°, d.h. ^ ⊥ , dann steht Q senkrecht zu ℎ bzw. ℎ senkrecht zu Q. Wir
sprechen dann von zwei orthogonalen Geraden.
5) Abstandsberechnungen bei Geraden
Abstand Punkt – Punkt
Nach dem (räumlichen) Satz von Pythagoras gilt für den Abstand der beiden Punkte
ã
C |rC |wC
,
/ |r/ |w/
• ã;
die folgende Formel:
=
/
−
C
² + r/ − rC ² + w/ − wC ²
Beispiel: Wir berechnen den Abstand der beiden Punkte ã 1|2|1
• ã;
und
= l 2 − 1 ² + 2 − 2 ² + 2 − 1 ² = √1 + 0 + 1 = √2 ßä
Der Abstand zwischen ã und
beträgt somit √2 ßä.
2|2|2 .
Der Abstand zweier paralleler Geraden Q und ℎ ist gleich dem Abstand eines beliebigen
Abstand zweier paralleler Geraden:
Punktes der einen Geraden von einem Punkt der anderen Geraden.
1
= 3 +
5
3
2 , ∈ ℝ; ℎ ∶
1
4
= 3 +
1
−6
−4
−2
Beispiel: Die folgenden beiden Geraden sind zueinander (echt) parallel sind:
Q∶
Begründung der Lagebeziehung: Die beiden Richtungsvektoren sind einander linear abhängig
und beide Geraden besitzen keine gemeinsamen Punkte (d.h. Q und ℎ sind nicht identisch.)
Wir berechnen nun den Abstand von Q zu ℎ. Dazu nehmen wir jeweils den Punkt zum
Stützvektor und bestimmen dann den Abstand dieser beiden Punkte: ã 1|3|5 ist auf Q
enthalten und
somit: • ã;
4|3|1 ist auf ℎ enthalten. Mit der Abstandsformel (Punkt – Punkt) resultiert
= l3² + 0² + −4 ² = 5 ßä Der Abstand der beiden parallelen Geraden
beträgt somit 5 LE.
Abstand zweier windschiefer Graden: (Formel unbedingt auswendig lernen!)
Die Geraden Q ∶
= s + ^ und ℎ ∶
=~+
seien windschief; der Vektor > stehe
senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren ^ und
Geraden
•²
Beispiel:
=
| ~
, dann beträgt der Abstand dieser
s ∙ >|
|>|
1
= 2 +.
2
1+9
8
3 3 =
6
9+1
10
Wir bestimmen den Abstand der beiden windschiefen Geraden Q ∶
ℎ∶
=
3
7 +
2
erhalten wir •²
=
3
−1 , ∈ ℝ. Mit > =
−3
| /T0 ∙'|
|'|
=
/
‚
O–TG—∙–T%—O
(
C(
‚
O–T%—O
C(
=
3
1
1 × 3 =
3
1
C%VeH
l‚²V%²VC(²
= CH,CH = 4,95ßä.
€(
1
3 ,. ∈ ℝ und
1
(Normalenvektor)
Der Abstand eines Punktes < von einer Geraden Q ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors
Abstand eines Punktes von einer Graden:
<• vom Punkt < zum Lotfußpunkt 1 des Lotes von < auf Q.
^
<•
F
A
P
g
Beispiel: Wir bestimmen mit dem Lotfußpunktverfahren den Abstand von < −3|3| − 1 von
−2
3
7 + . 2 ,. ∈ ℝ.
2
1
3
3
C+3
Der Ansatz 2 ∙ <• = 0 liefert die Gleichung 2 ∙ / − 3 = 0. Mit
1
1
"+1
Q∶
=
C
/
"
−2
3
= 7 +. 2
2
1
−2 + 3. + 3
3
erhalten wir wiederum: 2 ∙ 7 + 2. − 3 = 0 und somit erhalten wir nach Berechnung des
2+.+1
1
zugehörigen Skalarprodukts die Gleichung: 14. = −14 mit der Lösung . = −1.
Einsetzen von . = −1 in Q liefert den folgenden Lotfußpunkt:
C
/
"
=
−2
7 + −1
2
Nun ermittelt man den Abstand von • zu <:
Somit besitzt <
3
−5
2 = 5 ~•
1
1
5|5|1
= l −3 + 5 ² + 3 − 5 ² + −1 − 1 ² = √12ßä
• ã;
3|3| − 1 von Q den Abstand √12ßä.
Wir betrachten eine Gerade im Anschauungsraum ℝ³. Die Schnittpunkte einer Geraden mit
Spurpunkte und Spurgerade:
den Koordinatenebenen bezeichnen wir als Spurpunkte der Geraden. Analog bezeichnet man
eine Schnittgerade einer Ebene mit einer Koordinatenebene als Spurgerade.
2
1
= 4 + . 1 ,. ∈ ℝ.
2
−1
Exemplarisch bestimmen wir alle Spurpunkte der folgenden Geraden:
Q ∶
Spurpunkt mit der 3
Setze
= 0:
Ebene:
Wir erhalten dann die Gleichung:
2 + . = 0 ⇔ . =
2
Eingesetzt in Q resultiert somit:
2
1
0
4 −2 1 = 2
2
−1
4
Der zugehörige Spurpunkt lautet demnach:
Spurpunkt mit der q − Ebene:
4
0|2|4 .
Setze r = 0: Wir erhalten dann die Gleichung: 4 + . = 0 ⇔ . =
2
1
−2
4 − 4 1 = 0 Der zugehörige Spurpunkt lautet demnach:
2
−1
6
resultiert somit:
Spurpunkt mit der q3 − Ebene:
4 Eingesetzt in Q
5
−2|0|6 .
Setze w = 0: Wir erhalten dann die Gleichung: 2 − . = 0 ⇔ . = 2 Eingesetzt in Q resultiert
2
1
4
4 + 2 1 = 6 Der zugehörige Spurpunkt lautet demnach:
2
−1
0
somit:
3
2
= 1,5 + . 3 +
0
−4
54
4|6|0 .
−3
3 ,., ∈ ℝ.
1
Exemplarisch bestimmen wir eine Spurgerade der folgenden Ebene:
ä ∶
Spurgerade mit der q3 − Ebene:
Mit dem Ansatz w = 0 erhalten wir die Gleichung: 0 = −4. + ⟺ 4. =
Das Einsetzen von 4. = in die Gleichung von ä ergibt die Spurgerade (nachrechnen)
3
−10
= 1,5 + 6 15 ,6 ∈ ℝ.
0
0
C
Q54 ∶
/
"
6) Ebenengleichung im Euklidischen Anschauungsraum ℝ :
Punkt-Richtungs-Form:
Hierbei ist
ä∶
=
+ ^ + 7 , , 7 ∈ ℝ
ein Stützvektor der Ebenen und ^, zwei Richtungsvektoren der Ebenen.
Dreipunktform:
Seien ã
/
C |rC |wC ,
= r/ und
w/
ä∶
/ |r/ |w/ und ¤
"
" |r" |w" drei Punkte mit den Ortsvektoren
= r" , dann besitzt ä ∶
w"
C
= rC +
wC
/
die Gleichung
C
r/ − rC
w/
wC
+7
"
C
r" − rC
w"
wC
, , 7 ∈ ℝ
C
= rC ,
wC
Beispiel:
ä verläuft durch die Punkte ã 1|0| − 1 ,
Gleichung:
ä∶
=
1
0
¹º»
−1
ü !"# $%
=
Punktprobe:
+
0|0|1 und¤ 2|2|2 , dann besitzt ä ∶
die folgende
0
1
2
1
+7
=
0 − 0
2 − 0
1
−1
2
−1
¹&&&&º&&&&»
¹&&&&º&&&&»
.'()* +,×-!"# $%
1
0 +
−1
•.'()* +,×-!"# $%
−1
1
0 + 7 2 ; , 7 ∈ ℝ
2
3
Ein Punkt liegt genau dann auf einer Ebenen, wenn sein Ortsvektor bzw. seine Koordinaten die
Ebenengleichung erfüllen.
Beispiel:
Der Punkt • 0|4|0 liegt nicht auf der Ebenen Q ∶
=
1
0 +
−1
−1
1
0 + 7 2 ; , 7 ∈ ℝ.
2
3
Nachweis: (Wir setzen den Ortsvektor zu Punkt • in die Ebene ein und erhalten:)
0
1
−1
1
4 = 0 +
0 +7 2
0
−1
2
3
−1
−1
4 =
0 +7
1
2
| −
1
2
3
1
0
−1
Dieser Vektorgleichung ordnen wir das folgende Gleichungssystem zu
1=
4 = 27
1 = 2 + 37
Aus Gleichung II) erhalten wir die Lösung 2 = 7.
Eingesetzt in I) und III) resultiert:
Setzen wir nun
+7
1=
+ 2| − 2
−3 = − ⇒ = 3
= 3 und 7 = 2 in die dritte Gleichung ein, dann erhalten wir:
1 = 6 + 6 = 12
Damit erhalten wir einen Widerspruch. Folglich liegt • nicht auf ä.
7) Darstellungsformen von Ebenen:
Neben der Parameterdarstellung gibt es noch die folgenden drei Darstellungsformen:
-
Eine Ebene im Euklidischen Anschauungsraum ℝ" lässt sich durch eine Gleichung in
der Form ä ∶
+ r + [w = • darstellen. Diese Gleichung nennt man
Koordinatengleichung einer Ebene.
Vorteil: Aus der Koordinatengleichung ä ∶
+ r + [w = • können wir sofort den
Normalenvektor > ablesen. > hat die folgenden Koordinaten: > = – —
[
(Erinnerung: > steht senkrecht auf ä.)
-
Eine Ebene im Euklidischen Anschauungsraum ℝ" lässt sich durch eine Gleichung in
der Form ä ∶ 5 + 4 +
5
6
4
6
6
= 1 darstellen. Diese Gleichung nennt man
Achsenabschnittsform einer Ebene. Hieraus liest man die folgenden Spurpunkte ab:
5
( |0|0
,
4
0|r( |0 ,
0|0|w( .
Aus der Koordinatengleichung ä ∶
Achsenabschnittsform:
(
+ r + [w = • erhält man wie folgt die
= j ,r( = ¢ ,w( = 8 .
8
8
8
Beispiel: Gegeben sei die Ebene ä ∶ 2 + 3r + w = 4.
w( =
8
8
= j = / = 2,r( = ¢ = "
8
H
= C = 4. ä besitzt also die folgende Achsenabschnittsform: ä ∶ / +
H
Hieraus liest man die folgenden Spurpunkte ab:
-
(
5
2|0|0 ,
4
5
F0| " |0I ,
H
"4
H
8
H
+ H = 1.
0|0|4 .
Eine Ebene im Euklidischen Anschauungsraum ℝ" lässt sich durch eine Gleichung in
der Form ä ∶
−
∙ > = 0 darstellen. Letztere Gleichung ist als
Normalengleichung bekannt. Hierbei ist
ein Stützvektor und > ein Normalenvektor
von ä. Wählt man hierbei einen normierten Einheitsvektor >( (>( hat die Länge 1,
|>( | = 1), dann nennt man ä ∶
∙ >( = 0 Hesse’sche Normalenform von ä.
Beispiel:
Eine Ebene ä ist durch zwei sich schneidende Geraden Q und ℎ gegeben.
Q∶
=
−2
7 +
2
3
2 , ∈ ℝℎ ∶
1
2
7 +
2
3
2 +
1
=
6
4 +
−1
1
1 , , ∈ ℝ
2
1
1 , ∈ ℝ
2
Dann erhalten wir (man nehme beide Richtungsvektoren und irgendeinen Stützvektor):
ä ∶ =
8) Umformungen:
Parametergleichung → Koordinatengleichung:
2
1
= 2 +. 1 +
0
−1
5
−1
−1
Beispiel: Gesucht ist die Koordinatengleichung der Ebene
ä∶
1
−1 − 1
−2
5
1 × −1 = −5 + 1 = −4
−1
−1 − 5
−6
−1
Zuerst berechnen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
−2
Der Vektor −4 ist orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren.
−6
−2
Die Komponenten von −4 verwenden wir nun für die Parameter , und [. Es resultiert:
−6
ä ∶ −2 − 4r − 6w = •
2
Zur Bestimmung des Parameters • setzen wir den zum Stützvektor 2 zugehörigen Punkt
0
9 2|2|0 ein und erhalten:
−4 − 8 = −12 = •
Somit lautet die Koordinatengleichung: ä ∶ −2 − 4r − 6w = −12.
−2
jedes Vielfache von −4 verwenden können (dann müssten wir aber auch • erneut ermitteln)
−6
Die Koordinatengleichung ist nicht eindeutig bestimmt, denn wir hätten im ersten Schritt auch
Algorithmus: Parametergleichung → Koordinatengleichung
1. Schritt: Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmen und die
Koordinaten für , und [ einsetzen.
2. Mit dem zum Stützvektor zugehörigen Punkt den Parameter • bestimmen.
3. Notieren der vollständigen Koordinatengleichung.
Koordinatengleichung →Parametergleichung:
Beispiel: Gesucht ist eine Parametergleichung der Ebene
ä∶
+ 2r + w = 4
Wir überlegen uns drei Punkte, die auf ä liegen:
ã 0|0|4 ,
4|0|0 ,¤ 0|2|0
0
4
= 0 +. 0 +
4
−4
Damit sind wir auch schon fertig.
0
2 ,
−4
Jetzt können wir mit der Dreipunktform eine Parametergleichung bestimmen:
ä∶
., ∈ ℝ
Algorithmus: Koordinatengleichung →Parametergleichung
1. Schritt: Bestimmung dreier Punkte, die auf der Ebene liegen
2. Schritt: Anwendung der Dreipunktform
3. Schritt: Notieren der vollständigen Parametergleichung
Koordinatengleichung →Achsenabschnittsform:
Gegeben sei die Ebene ä ∶ 3 + 2r + w = 4.
w( =
8
8
(
= j = " ,r( = ¢ = / = 2
8
H
8
H
= C = 4. ä besitzt also die folgende Achsenabschnittsform: ä ∶
H
H
5 F" |0|0I , 4
Hieraus liest man die folgenden Spurpunkte ab:
Algorithmus: Koordinatengleichung →Achsenabschnittsform
Aus der Koordinatengleichung ä ∶
Achsenabschnittsform:
(
0|2|0 ,
+ / + H = 1.
4
0|0|4 .
+ r + [w = • erhält man wie folgt die
= j ,r( = ¢ ,w( = 8 .
8
"5
H
8
8
Koordinatengleichung →Normalengleichung:
Beispiel: Gesucht ist eine Normalengleichung der Ebene
ä∶
+ 2r + w = 4
Wir lesen zuerst einen Normalenvektor von ä ab:
(Erinnerung: ä ∶
1
>= 2
1
+ •r + w = 4 Die markierten Koeffizienten sind die Koordinaten des
Normalenvektors.) Nun nehmen wir einen Punkt, der auf ä liegt, z.B. 1|1|1 .
(Punktprobe durch Einsetzen in die Koordinatenform: 1 + 2 + 1 = 4 ☺)
Damit erhalten wir vermöge der Formel ä ∶
1
− 1
1
ä∶
−
∙ > = 0:
1
∙ 2 =0
1
Algorithmus: Koordinatengleichung →Normalengleichung
1. Schritt: Ablesen des Normalenvektors
2. Schritt: Ermitteln eines Punktes, der auf E liegt (durch Einsetzen)
3. Schritt: Notieren der vollständigen Normalengleichung
Parametergleichung → Normalengleichung:
2
1
= 2 +. 1 +
0
−1
5
−1 ,., ∈ ℝ
−1
Beispiel: Gesucht ist die Koordinatengleichung der Ebene
ä∶
Zuerst berechnen wir einen Normalenvektor von ä:
1
−1 − 1
−2
5
1 × −1 = −5 + 1 = −4
−1
−1 − 5
−6
−1
2
Dann nehmen wir den Punkt zum Stützvektor 2 : < 2|2|0 liegt in der Ebene.
0
Damit erhalten wir vermöge der Formel ä ∶
ä∶
2
− 2
0
−
∙ > = 0:
−2
∙ −4 = 0
−6
Algorithmus: Koordinatengleichung →Normalengleichung
1. Schritt: Berechnung eines Normalenvektors (Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren)
2. Schritt: Ermitteln eines Punktes, der auf E liegt (den Punkt zum Stützvektor)
3. Schritt: Notieren der vollständigen Normalengleichung
Normalengleichung →Koordinatenform:
Beispiel: Gesucht ist die Koordinatengleichung ä ∶
2
2
0
ä∶
+ r + [w = • der Ebene
1
∙ 2 =0
3
1
Als erstens nehmen wir die Koordinaten des Normalenvektors 2 für die Koeffizienten ,
3
und [: ( = 1,
= 2, [ = 3
ä∶
+ 2r + 3w = •
2
1
Nun bestimmen wir •, indem wir das Skalarprodukt 2 ∙ 2 ausrechnen, es ist:
0
3
2
1
• = 2 ∙ 2 =2+4+0=6
0
3
Damit erhalten wir ä ∶
+ 2r + 3w = 6
Algorithmus: Normalengleichung →Koordinatengleichung ä ∶
+ r + [w = •
1. Schritt: Verwenden des Normalenvektors zur Bestimmung der Koeffizienten
2. Schritt: Skalarprodukt der beiden auftretenden Vektoren ist gleich •
3. Schritt: Notieren der vollständigen Koordinatengleichung
Normalengleichung →Parameterform:
Hier kann man zuerst die Koordinatenform ermitteln und diese danach in Parameterform
umwandeln.
Normalengleichung →Hesse’sche Normalenform:
Beispiel: Gesucht ist die Hesse’sche Normalenform der Ebene ä ∶
Dazu normieren wir zuerst den Normalenvektor:
1
2
3
2
2
0
1
∙ 2 = 0.
3
= l1² + 2² + 3² = √14, damit erhalten wir den Normaleneinheitsvektor
Die Hesse’sche Normalenform lautet somit: ä ∶
2
− 2
0
∙
C
√CH
/
√CH
"
√CH
= 0.
C
√CH
/
√CH
"
√CH
.
9) Wir wollen uns nun exemplarisch überlegen, wie wir die Lagebeziehungen Ebene – Gerade
bzw. Ebene – Ebene klassifizieren können.
Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade
Für eine Gerade Q ∶ und eine Ebene ℰ ∶
Lagebeziehungen möglich:
sind im Anschauungsraum ℝ" folgende
a) Q und ℰ schneiden sich in genau einem Punkt
(der eindeutig bestimmte Schnittpunkt, löse dazu das zugehörige LGS)
b) Q verläuft echt parallel zu ℰ.
c) Q liegt ganz auf ℰ.
Angenommen, die Gleichung der Ebene ist in Parameterform gegeben.
-
Eine Gerade und eine Ebene sind genau dann parallel, wenn ihre drei Richtungsvektoren
linear abhängig sind.
-
Eine Gerade liegt genau dann in einer Ebene, wenn ihre drei Richtungsvektoren linear
abhängig sind und ein Punkt der Geraden in der Ebene liegt.
-
Eine Gerade und eine Ebene haben genau dann einen Schnittpunkt, wenn ihre drei
Richtungsvektoren linear unabhängig sind.
-
Eine Gerade und eine Ebene sind genau dann zueinander senkrecht (orthogonal), wenn
der Richtungsvektor der Geraden zu beiden Richtungsvektoren der Ebene orthogonal ist.
(Diese Bedingungen bitte auswendig lernen!)
Beispiele:
a) Wir bestimmen den Schnittpunkt
Ebene ä ∶
1
= 1 +
1
−0,5
1
+
−0,5
1
1 +
1
der Geraden Q ∶
0
0,5 , , ∈ ℝ.
1,5
−0,5
1
+
−0,5
Die zugehörige Vektorgleichung lautet:
1
3
1
= 4 +.
, . ∈ ℝ mit der
−1,5
1
0
1
3
0,5 = 4 + .
1
1,5
−1,5
1
Das resultierende lineare Gleichungssystem besitzt die folgende eindeutige Lösung:
(nachrechnen!) = −2, . = 0, = 2. Damit erhalten wir den Schnittpunkt:
b) Wir untersuchen die Lagebeziehung der Geraden Q ∶
−1
−3
3 , ,
−1,5 +
1
2
−1
1
Die drei Richtungsvektoren −6 , −1,5 und
2
3
Ebene ä ∶
3
= 1,5 +
0
∈ ℝ.
1|2|4
1
5
= −3 + . −6 , . ∈ ℝ mit der
3
3
−3
3 linear abhängig sind (nachrechnen!) und
1
der Punkt < 5| − 3|3 nicht in ä liegt (nachrechnen, Punktprobe!), sind Q und ä echt parallel.
Angenommen, die Gleichung der Ebene ist in Normalenform gegeben.
-
Eine Gerade und eine Ebene sind genau dann parallel, wenn der Richtungsvektor der
Geraden und der Normalenvektor der Ebene orthogonal sind (Skalarprodukt 0).
-
Eine Gerade liegt genau dann in einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden
und der Normalenvektor der Ebene orthogonal sind und ein Punkt der Geraden in der
Ebene liegt.
-
Eine Gerade und eine Ebene haben genau dann einen Schnittpunkt, wenn der
Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene nicht orthogonal sind
-
Eine Gerade und eine Ebene sind genau dann zueinander senkrecht (orthogonal), wenn
der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene linear abhängig
sind. (Diese Bedingungen bitte auch auswendig lernen!)
3
3
ä ∶ ; − 5 < ∙ 1 = 0,Q ∶
1
2
4
2
= 2 + . 1 ,. ∈ ℝ
1
−2
2
3
Wir untersuchen den Normalenvektor 1 auf Orthogonalität zum Richtungsvektor 1 :
−2
2
2
3
Es gilt: 1 ∙ 1 = 6 + 1 − 4 = 3 ≠ 0. Demnach besitzen ä und Q genau einen Schnittpunkt.
−2
2
Beispiel:
10) Schnittwinkel:
1. Schnittwinkel Gerade – Ebene im ℝ" :
Voraussetzung: Die Gerade Q ∶
= s + .^ schneidet die Ebene ä ∶
−s ∙>
(Normalenform). Dann gilt für den Schnittwinkel = von Q und ä die Formel
sin = =
2. Schnittwinkel Ebene – Ebene im ℝ" :
|^ ∙ >|
.
|^| ∙ |>|
Voraussetzung: Schneiden sich zwei Ebenen äC und ä/ mit den Normalenvektoren >C und >/ ,
dann gilt für ihren Schnittwinkel cos = =
|>C ∙ >/ |
.
|>C | ∙ |>C |
Beispiele:
1) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Geraden Q ∶
ä∶;
3
3
5 < ∙ 1 = 0.
1
2
Lösung: Formel: sin = = |`|∙|'|.
sin = =
|^ ∙ >|
=
|^| ∙ |>|
4
2
= 2 + . 1 ,. ∈ ℝ mit der Ebene
1
−2
|`∙'|
2
3
1 ∙ 1
−2
2
2
3
∙ 1
1
−2
2
=
6+1−4
√9 ∙ √14
=
3
3
⇒ = = sinTC ’
“ = 15,5°
11,225
11,225
2) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Geraden Q durch die Punkte ã 1|0| − 2 und
mit der Ebene ä ∶
−2|3|1
1
1
−7
= 2 + . ∙ −1 + ∙ 5 ,., ∈ ℝ. (selber machen, Kontrollergebnis: 10,67° (ohne Gewähr))
1
1
2
0
0
3) Die Ebenen äC ∶ 4 + 3r + 2w = 12 und ä ∶ ; − 0 < ∙ 3 = 0 schneiden sich. Berechnen
6
2
Sie den Schnittwinkel.
(selber machen, Kontrollergebnis: 83,845° (ohne Gewähr))
4) Die Ebenen äC ∶ 5 + r + w = 5 und ä/ ∶ − + r + w = 5 schneiden sich. Berechnen Sie den
Schnittwinkel.
Lösung: Formel: cos = = |' S|∙|'U |.
cos = =
|'S ∙'U |
|'S |∙|'S |
|' ∙' |
=
S
e TC
O–C—∙– C —O
C
C
TC
e
O–C—O∙O– C —O
C
C
S
= e,CG%∙C,€"/ = 0,333 ⇒ = = sinTC 0,333 = 70,53°
"
11) Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene
Für eine Ebene > ∶
und eine Ebene ℰ ∶
sind im Anschauungsraum ℝ" folgende
Lagebeziehungen möglich:
a) > und ℰ schneiden sich. Längs einer Schnittgeraden.
(Zur Schnittgeradenbestimmung ist das zugehörige LGS zu lösen)
b) > verläuft echt parallel zu ℰ.
c) > und ℰsind identisch.
Angenommen die Gleichungen beider Ebenen sind in Parameterform gegeben.
äC ∶
-
-
ä/ ∶
=
=
+ ^ + 7 , , 7 ∈ ℝ
+ ö6 + ÷.,ö, ÷ ∈ ℝ
Zwei Ebenen äC und ä/ sind genau dann parallel, wenn die Richtungsvektoren ^, und
6 und die Richtungsvektoren ^, und w linear abhängig (komplanar) sind.
Zwei Ebenen äC und ä/ sind genau dann identisch, wenn zusätzlich ein Punkt der einen
Ebene in der anderen Ebene liegt.
-
Zwei Ebenen äC und ä/ haben genau dann eine Schnittgerade, wenn die
Richtungsvektoren ^, und 6 und die Richtungsvektoren ^, und w linear unabhängig
(komplanar) sind
(diese Bedingungen bitte auswendig lernen!)
Beispiel: äC ∶
1
= 3 +
5
3
−1
2 + 7 −2 ,ä/ ∶
1
1
4
= 3 +
1
−4
−4 +
0
2
0
2
Die Richtungsvektoren ^, und 6 und die Richtungsvektoren ^, und w linear abhängig.
Nachweis: (Man könnte den einen Richtungsvektor als Linearkombination der anderen beiden
Richtungsvektor darstellen lassen, nachrechnen)
3 1 4
det 2 2−4 = 4 − 8 − 8 + 12 = 0, d.h. die drei Vektoren ^, und 6 sind linear
1 1 0
3 1 2
unabhängig. det 2 20 = −12 + 4 + 4 + 4 = 0, d.h. die drei Vektoren ^, und w sind
1 1 2
Alternativ:
linear unabhängig. Somit sind äC und ä/ parallel. Wir untersuchen nun, ob ã 1|3|5 ∈ ä/ :
(Punktprobe)
1
4
=
3
3 +
5
1
−4
−4 +
0
2
0 |
2
4
3
1
3=
4 +2
3
−4
2
−4 + 0
0 =
4
0
2
Dieser Vektorgleichung ordnen wir das folgende Gleichungssystem zu:
⇔ 0 = −4 ⇒ = 0
4 = 2 ⇒ = 2
= 0 und = 2 erfüllen aber nicht die erste Gleichung. Demnach liegt ã 1|3|5 nicht auf ä/ .
Demnach sind äC und ä/ echt parallel.
Q
•
Einschub: Determinantenkriterium Die drei Vektoren – — , _ , – ℎ — sind im
[
²
Anschauungsraum ℝ" genau dann linear abhängig, wenn det
det
• Q
_ ℎ = 0 gilt. Im Falle
[
²
Q
• Q
•
_ ℎ ≠ 0 sind die drei Vektoren – — , _ , –ℎ — linear unabhängig.
[
[
²
²
• Q
Hierbei gilt (Formel von Sarrus): det _ ℎ = _² + •ℎ[ + Q
[
²
• Q
_ ℎ
[
²
• Q
_ ℎ
Merkregel:
+
+
+
[_Q
ℎ
² •
Angenommen die Gleichungen beider Ebenen sind in Normalenform bzw. Koordinatenform
gegeben.
-
Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig
(kollinear) sind.
-
Die Ebenen sind genau dann identisch, wenn sich eine Ebenengleichung durch
Multiplikation mit einer reellen Zahl in die andere Gleichung umformen lässt.
-
Zwei Ebenen haben genau eine Schnittgerade, wenn ihre Normalenvektoren linear
unabhängig sind.
-
Zwei Ebenen sind genau dann zueinander senkrecht (orthogonal), wenn ihre
Normalenvektoren orthogonal sind.
(diese Bedingungen bitte auswendig lernen!)
Beispiel: Die Ebenen äC ∶ 2 + 2r + 4w = 2 und ä/ ∶
+ r − 1w = 2 sind orthogonal zueinander.
Angenommen eine Ebenengleichung ist in Koordinatenform und die andere Gleichung ist in
Parameterform gegeben.
-
Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn der Normalenvektor der einen Ebene
orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene ist.
-
Die Ebenen sind genau dann identisch, wenn der Normalenvektor der einen Ebene
orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene ist und ein Punkt der einen
Ebene in der anderen Ebene liegt.
-
Zwei Ebenen haben genau eine Schnittgerade, wenn der Normalenvektor der einen Ebene
nicht orthogonal zu einem Richtungsvektor der anderen Ebene ist. (D.h. der Normalenvektor darf mit keinen der beiden Richtungsvektoren ein Skalarprodukt von 0 haben.)
-
Zwei Ebenen sind genau dann zueinander senkrecht (orthogonal), wenn der
Normalenvektor der einen Ebene und die beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene
linear abhängig (komplanar) sind.
Beispiel: Die Ebenen äC ∶ 2 + 2r + 4w = 2 und ä/ ∶
4
= 3 +
1
−4
−4 +
0
2
0 sollen
2
2
Wir lesen aus äC sofort den Normalenvektor ab: > = 2
4
2
−4
2
2
Es gilt: 2 ∙ −4 = −8 − 8 = −16 ≠ 0 und 2 ∙ 0 = 4 + 8 = 12 ≠ 0. Demnach
4
0
4
2
bezüglich ihrer Lagen zueinander untersucht werden.
besitzen äC und ä/ genau eine Schnittgerade.
Diese wollen wir jetzt bestimmen: (hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten)
Dazu wandeln wir äC zunächst in Parameterform um:
Folgende drei Punkte liegen auf äC : ã 1|0|0 ,
0|1|0 und ¤ −1|0|1 .
1
−1
−2
= 0 + . 1 + ³ 0 ,., ³ ∈ ℝ
0
0
1
Aus der Dreipunktform erhalten wir unmittelbar die folgende Parametergleichung:
äC ∶
Jetzt setzen wir äC und ä/ gleich und erhalten:
1
−1
−2
4
0 +. 1 +³ 0 = 3
0
0
1
1
1
−2
⇔ . 1 + ³ 0 =
0
1
−4
2
−4 + 0 | 0
2
3
−4
2
3 + −4 + 0
1
0
2
+
1
0
0
Letzterer Vektorgleichung ordnen wir das folgende Gleichungssystem zu:
Einsetzen von ³ = 1 + 2 in :
′
.
′ ⇔ .
2³ = 3 − 4 + 2
.
. = 3
³ = 1 + 2
2 1+2
4 in
′:
= 3−4 +2
2 − 4 = 3 − 4 + 2 | + 4
′ ⇔ .
Einsetzen von . = 3
4
2 = 3 − 4 + 6 | + 2
′ ⇔ . = 5
′ ⇔ . =
′′ ⇔ 3
4 + 6 | ∙
5 + 4 − 6 1 4 = −5 + 4 − 6 | − 4 ′′ ⇔ 3
′′ ⇔ 8
8 =
8 =
5
6 | + 5
6 | ∙ −1 ′′ ⇔ 8 + 8 = 6 | + 8
′′ ⇔ 8 = 6 + 8| ∶ 8
4
−4
= 3 + −4
1
0
4
−4
2
4
3
= 3 + ’ + 1“ −4 + 0 = 3
4
1
0
2
1
Einsetzen von
ä/ ∶
0
−1 +
1
= H + 1 in ä/ ∶
"
−3
−3 +
0
2
0
0 = −1 +
2
1
3
+ 1
4
2
+ 0 liefert:
2
−4
3 −4
+
−4 + −4 +
4
0
0
′′ ⇔ =
−3
2
−3 + 0
0
2
Die resultierende Schnittgerade lautet also Q ∶
0
= −1 +
1
0
= −1 +
1
2
0 =
2
−1
−3 , ∈ ℝ.
2
−1
−3 , ∈ ℝ.
2
12) Schnitte von Ebenen:
Zur Schnittbestimmung wird ein Gleichungssystem gelöst, das aus den beiden Gleichungen
gebildet wird.
-
Besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, dann sind die Ebenen echt parallel.
-
Gibt es unendlich viele Lösungen, dann gibt es entweder eine Schnittgerade oder die
0
0
Beispiel: Gesucht ist die Schnittgerade der beiden Ebenen äC ∶ ; − 0 < ∙ 3 = 0 und
6
2
2
1
ä/ ∶ ; − 1 < ∙ 0 = 0. Hierzu formen wir die beiden Ebenendarstellungen zuerst in
0
0
Koordinatengleichungen um (hierzu wird einfach das Skalarprodukt ausgerechnet):
Ebenen sind identisch.
0
0
0
0
äC ∶ ; − 0 < ∙ 3 = 0 ⇔ äC ∶ ;–r—
∙
<
0
3 =0
w
6
2
6
2
0
⇔ äC ∶ ð– r —ñ ∙ 3 = 0
w 6
2
⇔ äC ∶ 3r + 2w − 12 = 0 ⇔ äC ∶ 3r + 2w = 12
⇔ ä/ ∶ ;–r—
w
Wähle w = , wobei
=2
⇔ ä/ ∶
2 = 0 ⇔ ä/ ∶
2 ⇔ r =
Anders aufgeschrieben steht da:
=2+0
r =0−"
w =0+
=2
∈ ℝ (frei wählbarer Parameter), dann erhalten wir:
3r + 2 = 0 ⇔ 3r =
w=
2
1
ä/ ∶ ; − 1 < ∙ 0 = 0
0
0
2
1
2
1
1 < ∙ 0 = 0 ⇔ ä/ ∶ ; r − 1 < ∙ 0 = 0
0
0
w
0
/
"
/
0
2
Q ∶
, ∈ ℝ.
−
3
1
Für den Fall, dass beiden Ebenen in Parameterform gegeben sind, haben wir bereits zuvor ein
Hieraus erkennen wir unmittelbar die folgende Gleichung unserer Schnittgeraden:
2
= 0 +
0
Beispiel gesehen. In allen weiteren „gemischten Darstellungsfällen“ kann man auch eine
Darstellungsform zuerst umwandeln.
13) Abstandsberechnungen:
a) Der Abstand einer Geraden von einer parallelen Ebene ist gleich dem Abstand eines
beliebigen Punktes < der Geraden von der Ebene.
b) Der Abstand zweier paralleler Ebenen ist gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes <
der einen Ebene von der anderen Ebene.
Unter dem Abstand eines Punktes P von einer Ebene E versteht man die Länge d der Lotstrecke
<• , die senkrecht auf der Ebene E steht. Der Punkt F heißt Lotfußpunkt. Es gibt verschiedene
Möglichkeiten für die Schreibweise des Abstandes:
• = •²
= • <, ä = • •; < = Š•<Š
Drei mögliche Verfahren zur Abstandsberechnung:
(1) Abstandsformel(Verwendung der Hesse’schen Normalenform)
(2) Abstandsformel (Verwendung der Koordinatenform)
(3) Lotfußpunktverfahren
Unter der Hesse’schen Normalenform (HNF) verstehen wir eine Normelenform mit einem
Normalenvektor der Länge 1.
Hesse’schen Normalenform
ä∶
s ∙ >( = 0
: allgemeiner Ortsvektor der Ebene
s: Stützvektor eines Ebenenpunktes
>( : Normaleneinheitsvektor |>( | = 1
Sei ä ∶
− s ∙ >( = 0 eine Hesse’sche
Abstansdformel (Punkt – Ebene)
Normalengleichung der Ebene ä. Dann
gilt für den Abstand • eines beliebigen
Punktes • mit dem Ortsvektor
•²
Ebene ä:
von der
= • <, • = Š? − sA ∙ >( Š
Ist die Koordinatengleichung einer Ebene gegeben, so bietet sich folgende Formel zur
Abstandsberechnung Punkt - Ebene an:
Ist ä:
+ r + [w = _ eine Koordinatengleichung der Ebene E, so gilt für den Abstand
eines Punktes < sC |s/ |s" von E die folgende Formel:
• = • <, ä = O
⋅ sC +
l
/
⋅ s/ + [ ⋅ s"
+ ² + [²
_
O
1
1
1) Bestimmen Sie die Hesse’sche Normalenform der Ebene ä ∶ ; − 0 < ∙ 2 = 0. Die
3
2
1
1
C
zugehörige Hesse’sche Normalenform lautet: ä ∶ ; − 0 < ∙ " 2 = 0
3
2
Beispiele:
Der Ursprung @ 0|0|0 hat den Abstand • <, • = Š? − sA ∙ >( Š =
æ
0
1
0 − 0
0
3
1 1
∙
2 æ=
3
2
1 1 1
0 ∙
2
3
3
2
1
1
0 ∙ 2
3
2
1
=
3
Ein Kreis mit dem Radius î > 0 mit dem Mittelpunkt ì
14) Kreise und Kugeln
die Koordinatengleichung
AB
∶
C
/
+ r
/
A`
∶
C
/
+ r
/
/
1
7
1 + 6 = ßä
3
3
in der Ebene können wir
² = î² zuordnen.
Eine Kugel mit dem Radius î > 0 mit dem Mittelpunkt ì
die Koordinatengleichung
C |
=
C|
²+ w
/ |
"
"
im Raum können wir
² = î² zuordnen.
Elementare Stochastik
1) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ergebnismenge Ω:
-
Würfeln: Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6 , |Ω| = 6 (Mit |Ω| ist die Anzahl der Elemente in Ω bezeichnet.)
Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
Münzenwurf: Ω = Kopf; Zahl}, |Ω| = 2
Elfmeterschießen: Ω = {Treffer; keinTreffer},|Ω| = 2
Ereignis E:
Eine Teilmenge der Ereignismenge Ω
Elementarereignis:
Ereignis, das nur aus einem Ereignis besteht.
Laplace- Experiment: Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse gleich
wahrscheinlich sind, zum Beispiel:
-
Das Würfeln mit einem idealen (nicht gezinkten) Würfel. Jeder der sechs Augenzahlen ist bei
einem Wurf gleich wahrscheinlich.
Wahrscheinlichkeit bei Zufallsexperimenten:
Unter der Wahrscheinlichkeit ℙ(E) eines Ereignisses E versteht man die relative Häufigkeit
des Ereignisses.
ℙ ä =
AnzahlderErgebnisse, diezumEreignisEgehören
AnzahlallermöglichenErgebnisse
Wahrscheinlichkeiten werden als Bruchzahl, Dezimalbruch oder Prozentwert angegeben.
Für die Wahrscheinlichkeit P gilt 0 ≤ < ≤ 1 oder 0% ≤ < ≤ 100% .
P(E) = 0 (0 %) heißt, das Ereignis E tritt mit absoluter Sicherheit nicht ein.
P(E) = 1 (100 %) heißt, das Ereignis E tritt mit absoluter Sicherheit ein.
Ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses gleich P, dann ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Ereignis E nicht eintritt, gleich 1 – P.
(Gegenwahrscheinlichkeit)
Beispiele: Bei einem regulären Ikosaeder sind die 20 kongruenten Dreiecksflächen mit den
Zahlen von 1 bis 20 versehen. Jede dieser Zahlen wird also mit derselben Wahrscheinlichkeit
geworfen. Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse:
A: „Beim einmaligen Wurf mit dem Ikosaeder erscheint eine durch 3 teilbare Zahl“.
B: „Beim einmaligen Wurf mit dem Ikosaeder erscheint eine Primzahl.“
Ω = {1, 2, 3, … , 20},|Ω| = 20
ã = {3, 6, 9, 12, 15, 18},|ã| = 6
ℙ ã = |M| = /( = 0,3
|L|
ℙ
%
= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19},| | = 8
= |M| = /( = 0,4
|N|
‚
Vierfeldertafel:
Für gewisse Wahrscheinlichkeitsaufgaben kann man auch sogenannte Vierfeldertafeln verwenden.
Seien hierzu ã und
zwei Ereignisse, dann hat die Vierfeldertafel die folgende Form:
ã
ã̅
Beispiel:
ℙ ã∩
ℙ ã̅ ∩
ℙ
ℙ ã∩
ℙ ã̅ ∩
ℙ
ℙ ã
ℙ ã̅
1
Auf einer Maschine werden Bolzen gefertigt, deren Länge und Dicke innerhalb bestimmter
Toleranzgrenzen liegen darf. Von 400 Bolzen sind 380 in Bezug auf ihre Länge innerhalb der
Toleranzgrenzen, bezüglich der Dicke erfüllen 36 nicht die gesetzte Norm. 352 Bolzen erfüllen sowohl
bei der Länge als auch bei der Dicke die Normen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Bolzen, die
a) bzgl. der Dicke ihre Norm erfüllen,
b) mindestens eine der beiden Normen erfüllen,
c) weder bzgl. Länge noch bzgl. Dicke die Norm erfüllen,
d) bzgl. der Länge die Norm erfüllen, nicht aber bezüglich der Dicke?
Lösung:
A: „Ein Bolzen erfüllt die Längenkriterien.“
B: „Ein Bolzen erfüllt die Kriterien bzgl. der Dicke.“
ã
ã̅
352
= 0,88
400
•, •
364
= 0,91
400
•, •Q
•, ••
•, •R
380
= 0,95
400
0,05
1
Hinweis: Die fett markierten Werte wurden aus den gegebenen Werten unmittelbar berechnet.
Drei – Mindestens – Aufgabe:
Eine sehr häufige Anwendung der „1. Pfadregel“ sind die sogenannten „Drei – Mindestens –
Aufgaben“:
Einstiegsbeispiel:
Wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, damit mit mindestens 99 Prozent
Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die Zahl 6 erscheint?
(Hinweis: Für das Wort „mindestens“ werden in Aufgabentexten auch Synonyme verwendet.)
Lösung: Der Trick bei der Lösung ist, dass man von dem Ereignis A: „Bei > Würfen mindestens
einmal die 6“ auf das Gegenereignis ã̅: „Bei > Würfen keinmal die 6“ übergeht, da die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ã mithilfe von nur einem Pfad berechnet werden kann.
Die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit ℙ ã̅ = 1 − ℙ ã ist aus dem 2. Semester bekannt.
'
e
Es gilt: ℙ ã̅ = F%I
ℙ ã ≥ 0,99
⇔ ℙ ã = 1
⇔ 1
ℙ ã̅ ≥ 0,99
5 '
’ “ ≥ 0,99|
6
5 '
⇔ 0,01 ≥ ’ “
6
5 '
0,99| + ’ “
6
5 5
⇒ ln 0,01 ≥ > ln ’ “ | ∶ ln ’ “
6
6
ln 0,01
⇒
≤>
5
ln F I
6
⇒ 25,258 ≤ >
Man muss den Würfel also mindestens 26 – mal werfen.
Weiteres Beispiel:
Ein Abfüllautomat einer Süßmosterei in Burg Dithmarschen füllt Apfelsaftflaschen mit einer
Ausschusswahrscheinlichkeit von 0,5 Prozent. Wie viele Apfelsaftflaschen dürfen vom Automaten
höchstens gefüllt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 50 Prozent kein Ausschuss
auftritt?
A: „Unter > Apfelsaftflaschen ist kein Ausschuss.“
Es ist ℙ ã = 0,995 ' , ℙ ã̅ = 1 − ℙ ã = 1 − 0,995
ℙ ã > 0,50
⇔ 0,995
⇒ ±¨
±¨ (,e(
(,GGe
'
'
> 0,50
> > ⇒ > < 138,28
Es dürfen höchstens 138 Apfelsaftflaschen vom Automaten gefüllt werden.
Pfadregeln:
1) (erste Pfadregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses bei einem
mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten längs
des zugehörigen Pfads.
2) (zweite Pfadregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus mehreren
Pfaden zusammensetzt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade.
Beispiel: In einer Urne befinden sich fünf Kugeln, davon eine rote und vier grüne Kugeln.
Nacheinander entnehmen wir viermal rein zufällig eine Kugel mit Zurücklegen. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, vier mal hintereinander eine rote Kugel zu ziehen oder viermal
hintereinander eine grüne Kugel zu ziehen?
Lösung: Unsere Ergebnismenge lautet hier: Ω =
.QQQ , ..QQ , … . , QQQQ .
Wir interessieren uns für die beiden Elementarereignisse äC =
....
und ä/ =
QQQQ .
Nun berechnen wir jeweils die Teilwahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse nach der
ersten Pfadregel:
H H
ℙ ä/ = e ∙ e ∙ e ∙ e = FeI = 0,4096und
H H H H
C H
ℙ äC = e ∙ e ∙ e ∙ e = FeI = 0,0016
C C C C
Wir erhalten dann das folgende Baumdiagramm:
Start
Aufgrund der Fragestellung macht es nun Sinn, die beiden Teilwahrscheinlichkeiten zu
addieren, denn in der Fragestellung ist eine Oderverknüpfung vorhanden:
Das Ereignis, viermal hintereinander eine rote Kugel zu ziehen oder viermal hintereinander
eine grüne Kugel zu ziehen, kann man auch wie folgt aufschreiben:
ä=
äC&º
∪&ä»/
¹
U°®§Ä¨§«US
V®°®§¨§Ä½ª§½
U°®§Ä¨§«UU
¾±½®°¨¾½§V:
U°®§Ä¨§«US ©Â®°UU
= { .... , QQQQ }.
Damit erhalten wir: ℙ ä = ℙ äC + ℙ ä/ = 0,4096 + 0,0016 = 0,4112
ã, seien Ereignisse, wobei ℙ
> 0 vorausgesetzt wird. Dann ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit von ã unter der Voraussetzung durch die Zahl
2) Bedingte Wahrscheinlichkeit:
ℙ ã|
≔ ℙN ã ≔
ℙ ã∩
ℙ
definiert. Man sagt auch kürzer „bedingte Wahrscheinlichkeit von ã unter Voraussetzung ",
und das Symbol ℙ ã|
wird „< von ã unter “ ausgesprochen.
Multiplikationssatz:
Unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhalten wir den folgenden
Multiplikationssatz für zwei Ereignisse ã, :
ℙ ã|
∙ℙ
Veranschaulichung im Baumdiagramm:
=ℙ ã∩
A
ℙ ã|
ℙ ã ∩
ã̅
ℙ
Im Ergebnisraum Ω seien die Ereignisse ã,
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
ℙ ã =ℙ ã∩
definiert, dann gilt:
+ℙ ã∩
Umformuliert lautet der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit für ℙ
ℙ ã =ℙ
∙ ℙ ã|
+ℙ
∙ ℙ ã|
≠ 0, ℙ
≠ 0:
Bedeutung: Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit führt die „totale Wahrscheinlichkeit“
ℙ ã des Ereignisses ã auf die „bedingten Wahrscheinlichkeiten“ ℙ ã|
Ereignisses ã zurück.
und ℙ ã|
des
Beispiel:
Die Belegschaft eines großen Betriebes besteht zu 41 Prozent aus Angestellten und zu 59
Prozent aus Arbeitern. Die gesamte Belegschaft soll per Abstimmung entscheiden, ob für
einige Abteilungen die gleitende Arbeitszeit eingeführt werden soll. Interne Umfragen
ergaben, dass 80 Prozent der Angestellten, aber nur 25 Prozent der Arbeiter für die gleitende
Arbeitszeit sind. Wie wird die Abstimmung wohl ausgehen? Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich ein zufällig ausgewähltes Belegschaftsmitglied für die gleitende
Arbeitszeit entscheidet?
Lösung: Es sei B = EntscheidungfürgleitendeArbeitszeit},
î = {DieabstimmendePersonistArbeiter}, î = {DieabstimmendePersonistAngestellter}
Dann gilt: ℙ î = 0,59 und ℙ î = 0,41. Außerdem ist ℙ B ∩ î = 0,25 sowie
ℙ B ∩ î = 0,8. Mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit resultiert also:
ℙ B = ℙ î ∙ ℙ B ∩ î + ℙ î ∙ ℙ B ∩ î = 0,59 ∙ 0,25 + 0,41 ∙ 0,8 = 0,4755
Weil die Wahrscheinlichkeit weniger als 50 Prozent ist, wird die Abstimmung wohl so
ausgehen, dass sich gegen gleitende Arbeitszeiten entschieden wird.
Sind zusätzlich zu ℙ ã die Bedingten Wahrscheinlichkeiten ℙL
Satz von Bayes:
und ℙL̅
bekannt und
ist mindestens eine der beiden von null verschieden, dann kann man ℙN ã berechnen. Es gilt:
ℙN ã =
ℙ ã ∙ ℙL
ℙ ã ∙ ℙL
+ ℙ ã̅ ∙ ℙL̅
Zwei Ereignisse ã und B heißen genau dann (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
Stochastisch Unabhängig:
Formel von Sylvester: ℙ ã ∪
ℙ ã∩
=ℙ ã ∙ℙ
=ℙ ã +ℙ
−ℙ ã∩
Ausgewählte Beispielaufgaben:
1) Unter den 2500 Mitarbeitern einer Firma sind 1600 Raucher. Von den 2000 Männern der
Firma rauchen 1400. Man wählt rein zufällig aus allen Rauchern der Firma eine Person
aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um einen Mann?
Lösung:
A: „Mitarbeiter/in ist Raucher/in“
ℙ
1400
1400 7
= 2500 =
= = 0,875
1600 1600 8
2500
B: „Mitarbeiter ist männlich“
ℙ ã∩
|ã =
ℙ ã
2)
In Brighton leben während der Hochsaison nur noch zweimal so viele Einheimische wie
Touristen. 60 Prozent der Touristen tragen einen Trachtenhut, dagegen nur jeder 5.
Einheimische. Auf der Straße begegnet man während der Hochsaison einem Mensch mit
Trachtenhut. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es ein Einheimischer? (Voraussetzung:
Man begegnet jeder Person mit der gleichen Wahrscheinlichkeit.)
Lösung:
A: „Die Person, die uns begegnet, ist einheimisch.“
B: „Die Person, die uns begegnet, trägt einen Trachtenhut.
/
C
Gegeben: ℙ ã = , ℙ ã̅ = , ℙL
"
"
= ,ℙL̅
C
e
Gesucht: ℙN ã (inverse Wahrscheinlichkeit)
=
"
e
1) Lösung mithilfe eines Baumdiagramms:
0, 6
0, 3
A
0,2
0,6
ã̅
ℙ ã∩
ℙN ã =
ℙ
2 1
3∙5
=
= 0,40
2 1 1 3
∙
+
∙
3 5 3 5
Bemerkung: Beim Zähler erhält man die Wahrscheinlichkeit von ℙ ã ∩
mit der ersten
Pfadregel längs des Pfades ã − . Beim Nenner erhält man die Wahrscheinlichkeit von
ℙ
mit der 2. Pfadregel (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit), indem man alle
Pfade addiert, in denen
enthalten ist.
Der Rechenweg ist letztendlich mit dem über ein Baumdiagramm identisch. 2) Lösung mithilfe der Bayes-Formel:
ℙ ã ∙ ℙL
ℙN ã
=
|
+ ℙ ã̅ ∙ ℙL̅
¼¾½ÛV©¨ ℙ ã ∙ ℙL
Y¾ë®«
2 1
3∙5
=
= 0,40
2 1 1 3
∙
+
∙
3 5 3 5
3) Ein Wissenschaftler untersucht die Bevölkerung eines Landes auf Intelligenz und
Augenfarbe. Die Ereignisse werden so definiert:
A: „Die zufällig ausgewählte Person ist hochintelligent.“
B: „Die zufällig ausgewählte Person ist blauäugig.“
Es werden 5000 rein zufällig ausgewählte Personen bezüglich der Ereignisse A und B
geprüft. Das Ergebnis ist der folgenden Vierfeldertafel zu entnehmen:
320
5000
680
5000
1
5
ã
ã̅
1280
5000
2720
5000
4
5
1600
5000
3400
5000
1
Untersuchen Sie die Ereignisse A und B auf stochastische Unabhängigkeit.
Lösung:
320
=ℙ ã ∙ℙ
5000
1600 1
∙
5000 5
Wir überprüfen, ob die Produktregel (Definition der stochastischen Unabhängigkeit) erfüllt ist:
ℙ ã∩
=
=
Demnach ist die Produktregel erfüllt und A und B sind stochastisch unabhängig.
4) In einer Fabrik OHM für Elektrotechnik werden Stecker und Steckdosen hergestellt. Es
werden folgende Ereignisse definiert:
A: „Der Stecker ist defekt.“
B: „Die Steckdose ist defekt.“
Die Funktionsunfähigkeit von Stecker und Steckdose seien erfahrungsgemäß unabhängig.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stecker zusammen mit einer Steckdose
funktioniert, wenn gilt: ℙ ã = 0,02 und ℙ
= 0,05.
Wenn A und B stochastisch Unabhängig sind, dann sind auch ã̅ und
Lösung:
unabhängig (Beweis hierfür ist trivial.)
Es gilt ℙ ã̅ ∩
= ℙ ã̅ ∙ ℙ
= ?1 − ℙ ã̅ A ∙ ?1 − ℙ
stochastisch
A = 0,98 ∙ 0,95 = 0,931.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stecker zusammen mit einer Steckdose funktioniert
beträgt also ca. 93,1 Prozent.
4) Bernoulli – Experimente
Bernoulli - Experimente
In der Praxis werden oft > gleichartige Experimente unter sich
gegenseitig nicht beeinflussenden Bedingungen hintereinander
durchgeführt. Wir betrachten in diesem Abschnitt Experimente,
die nur zwei mögliche Ereignisse ‡ und ‡ haben (oft auch
Treffer und Niete genannt). Ein solches Experiment heißt
Bernoulli – Experiment oder auch Treffer – Niete –
Experiment. Ist die Trefferwahrscheinlichkeit s, dann spricht
man von einem Bernoulli – Experiment mit der Treffer –
Wahrscheinlichkeit s oder auch der Wahrscheinlichkeit s.
Jakob Bernoulli (1654 – 1705)
Standard – Beispiele:
1) Mehrfaches Ziehen aus einer Urne mit schwarzen und weißen Kugeln, wobei nach jedem Zug
die jeweilige Kugel zurückgelegt wird, damit sich für jeden Zug dieselbe Wahrscheinlichkeit
ergibt.
2) Anwendungsbezogener: Qualitätskontrolle bei der Produktion einer Ware. Das zufällig
ausgewählte Warenstück kann fehlerfrei oder fehlerhaft sein. Auf das Zurücklegen kann man
bei großen Stückzahlen verzichten.
Visualisiert man die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion in einem
Stabdiagramm, dann könnte man die folgende Graphik erhalten:
Bei einem Bernoulli – Experiment ist zu berücksichtigen, dass die (Zufalls-) Experimente sich nicht
gegenseitig beeinflussen und es sich jedes Mal um ein Bernoulli – Experiment derselben
Trefferwahrscheinlichkeit s handelt.
3) Bernoulliformel
Kommen wir nun
un zu einer wichtigen Formel der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die wir im
folgenden Abschnitt als Bernoulliformel bezeichnen.
> Bernoulli – Experimente mit derselben Treffer – Wahrscheinlichkeit [ und, zur
Bernoulli - Ketten
Vereinfachung, dem Ergebnisraum Ω
\ ; 1 steht für
1, 0 (genau 2 Ereignisse Z und Z
Treffer, 0 für Niete) werden unabhängig voneinander durchgeführt.. Ein solches
Zufallsexperiment heißt Bernoulli – Kette der Länge >.
>, s,
s
>
F I ∙ s# ∙ 1
s
'T#
Die Formel von Bernoulli liefert die Wahrscheinlichkeit, genau k von n Treffern zu erzielen.
>, s,
>
F I ∙ s# ∙ 1
s
'T#
Gesamtzahl der
Anzahl der
gezogenen Kugeln
Treffer
Trefferwahrscheinlichkeit
Sei 0 ≤ s ≤ 1, > ∈ ¥, sei 9 eine Zufallsvariable mit Werten in 0, 1, 2, … , > .9 besitzt eine
Binomialverteilung mit den Parametern > und s, falls gilt
>
ℙ 9
F I ∙ s# ∙ 1
für 0 y
y >.
s
'T#
Falls eine Zufallsvariable 9 binomialverteilt ist, notiert man hierfür in der Regel 9~
9 ²>.
Bei jeder Aufgabenstellung, indem es um eine binomialverteilte Zufallsvariable geht, sollte man zuerst
diese Zufallsvariable 9 definieren und danach ergänzen, dass 9~ ²> erfüllt ist. Ansonsten riskiert
man in einer Prüfung einen möglichen Punktabzug.
Beispiel:
Ein fairer Würfel wird achtmal geworfen. Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeiten der folgenden
Ereignisse:
(a) Genau dreimal wird eine Sechs gewürfelt.
(b) Genau fünfmal wird eine Fünf gewürfelt.
(c) Dreimal wird eine Augenzahl größer als 4 gewürfelt.
(d) Sieben Mal wird keine Sechs gewürfelt.
(e) Mindestens eine und höchstens drei Sechsen werden gewürfelt.
(f) Höchstens dreimal ist die Augenzahl kleiner als 3.
(g) Mindestens siebenmal wird eine Fünf gewürfelt
ℙ 9=
>
= F I ∙ s# ∙ 1 − s
'T#
Sei 9 die Zufallsvariable, welche die absolute Häufigkeit (Anzahl) der gewünschten Augenzahl
angibt, dann gilt 9~ ²>.
1 "
1
8
> = 8,s = , = 3,ℙ 9 = 3 = F I ∙ ’ “ ∙ ’1
3
6
6
1
1 e
8
> = 8,s = , = 5,ℙ 9 = 5 = F I ∙ ’ “ ∙ ’1
5
6
6
1
1 "
8
[ > = 8,s = , = 3,ℙ 9 = 3 = F I ∙ ’ “ ∙ ’1
3
3
3
1 e
“ = 0,10419
6
1 "
“ = 0,0041676
6
1 e
“ = 0,2731
3
5
5 €
5 C
8
• > = 8,s = , = 7,ℙ 9 = 7 = F I ∙ ’ “ ∙ ’1
“ = 0,3721
7
6
6
6
1
_ > = 8,s = ,ℙ 1 ≤ 9 ≤ 3 = ℙ 9 = 1 + ℙ 9 = 2 + ℙ 9 = 3 =
6
1 C
1 €
1 /
1 %
1 "
1 e
8
8
8
F I ∙ ’ “ ∙ ’1 − “ + F I ∙ ’ “ ∙ ’1 − “ + F I ∙ ’ “ ∙ ’1 − “ =
1
2
3
6
6
6
6
6
6
0,3721 + 26,05 + 10,42 = 0,7368
1
> = 8,s = , = 3,ℙ 9 ≤ 3 = ℙ 9 = 0 + ℙ 9 = 1 + ℙ 9 = 2 + ℙ 9 = 3 =
3
0,2586 (Diesen Wert kann man auch mit einer kumulierten Binomialverteilungstabelle
1
Q > = 8,s = , = 7,ℙ 9 ≥ 7 = ℙ 9 = 7 + ℙ 9 = 8 ≈ 0,000024
6
berechnen.)
Bemerkung:
Oft können Sie geschickterweise die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe einer Tabelle zur
Binomialverteilung berechnen. Hierzu gucken wir uns einen Auszug aus einer solchen Tabelle an:
Zum Ablesen aus einer solchen Tabelle finden Sie außerdem ein geeignetes Video auf YouTube.
Trainieren Sie das Arbeiten mit einer einfachen und kumulierten Tabelle.
Sei 9 eine binomialverteilte Zufallsvariable, d.h. 9~ ²>, dann gilt:
Erwartungswert der Binomialverteilung:
] 9 = > ∙ s und ^ 9 = >s 1 − s ,_ = l^ 9
Beispiel: Ein fairer Würfel wird 300 Mal geworfen. Sei 9 die ZV „Anzahl der Primzahlen“, dann gilt mit
s = / , 9~ ²> 2, 3, 5 sind Primzahlen). ] 9 = >s = 300 ∙ / = 150, ^ 9 = 75, _ = √75
C
C
Wir wollen dieses Kapitel zur Binomialverteilung mit einer wichtigen Anwendung
Anwendung abschließen. Es
handelt sich hierbei erneut um eine „mindestens – mindestens“ – Aufgabe.
Beispiel:
Ein Glücksrad hat zehn gleich große Sektoren. Davon sind
Alle Sektoren mit einer Zahl beschriftet. Ein Sektor ist mit
der Zahl 1, zwei Sektoren mit der Zahl 2, drei Sektoren mit
der Zahl 3 und vier Sektoren mit der Zahl 4 beschriftet. Wie
oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, wenn mit
einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98 Prozent
mindestens einmal ein Sektor
or mit einer 2 ausgewählt werden
soll?
Lösung:
Wir verwenden die folgenden Bezeichnungen:
>: Anzahl der Wiederholungen des Zufallsexperiments
9: Zufallsvariable, der ausgewählte Sektor ist mit einer 2 beschriftet bei > Wiederholungen, 9~ ²>
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einmaligem Drehen ein mit einer 2 beschrifteter Sektor ausgewählt
wird, beträgt: s = C( = 0,2.
/
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einmaligem Drehen kein mit einer 2 beschrifteter Sektor ausgewählt
wird, beträgt (Gegenwahrscheinlichkeit):
inlichkeit): ~
1
Unser Ansatz ist offenbar äquivalent zu: 1
ℙ 9
Unser Ansatz lautet nun: ℙ 9 x 1 x 0,98.
s
1
/
C(
Mit unserem äquivalenten Ansatz resultiert
resultie hiermit:
⇔
ℙ 9
0,8
⇔ 0,8
'
0 x 0,98 ⇔ 1
'
x
0,02| ∙
1
0,8
'
x 0,98|
0,2
0,8.
0 x 0,98
Mit der Bernoulliformel können wir jetzt ℙ 9 0 bestimmen:
>
ℙ 9 0
F I ∙ 0,2( ∙ 0,8 '
0
1
1
0,8
'
1
y 0,02(Alle Relationszeichen sind aufgrund der Multiplikation mit einer negativen Zahl umgedreht wurden.)
Auf die letzte Gleichung wenden wir nun die (monotone) Logarithmusfunktion an und erhalten:
log 0,8
'
Mit den Logarithmengesetzen erhalten wir somit:
y log 0,02
> log 0,8 y log 0,02| ∶ log 0,8
⇔ > x
log 0,02
⇔ > x 17,53
log 0,8
(Alle Relationszeichen sind aufgrund der Division mit einer negativen Zahl erneut umgedreht wurden.)
Man muss also mindestens 18-mal
mal drehen, damit mit mindestens 98 Prozent Wahrscheinlichkeit
mindestens einmal ein Sektor mit einer 2 auftritt.
4) Kombinatorik
Übersicht der vier wesentlichen Abzählformeln:
mit Zurücklegen (d.h. mit
Wiederholung),
>#
Geordnete Stichprobe
(Reihenfolge wird
berücksichtigt)
Ungeordnete
Stichprobe
∈ ¥(
1
I
>=
! >
(Reihenfolge wird
nicht berücksichtigt)
Wiederholung)
>
Tupel
>=
F
ohne Zurücklegen (d.h. ohne
Kombinationen
1 !
1 !
>!
y>
!
Permutationen
Permutationen
>
F I
>!
! >
!
Mengen
Ein Grundproblem der Kombinatorik ist das Abzählen der Elemente einer gegebenen
endlichen Menge. Angenommen Sie haben zehn Legosteine zur Verfügung und wollen daraus
einen Turm bauen. Auf wie viel verschiedene
verschiedene Arten können wir dies tun? Um diese Frage
mathematisch zu beantworten, müssten
wir zunächst genau festlegen, was wir
unter einem Turm verstehen und wann
wir zwei Türme als unterschiedlich
ansehen wollen. So können wir zum
Beispiel Legotürme dann als gleich
gle
ansehen, wenn sie sich nur durch die
Farbe der verwendeten Bausteine
unterscheiden oder wenn sie durch
Drehung ineinander deformiert werden können, oder wenn sie spiegelsymmetrisch zueinander
sind.
Wenn es zum Beispiel in einem Restaurant 4 Vorspeisen, 5 Hauptgerichte und drei
Nachspeisen gibt, dann kann man 4 ∙ 5 ∙ 3 60Menüs
Menüs zusammenstellen.
•
•
Bei unserer systematischen Untersuchung wird es ebenfalls um Auswahlen gehen. Man wählt
endlich oft aus einer endlichen Menge etwas aus. Hierbei sind zwei Aspekte des Zählens zu
unterscheiden:
Die Reihenfolge des Auswählens kann wichtig oder unwichtig sein.
sei . Wichtig ist sie zum
Beispiel, wenn man Buchstaben wählt und ein Wort zusammensetzt: Der Name OTTO ist
etwas anderes als TOTO. In anderen Fällen spielt die Reihenfolge keine Rolle, so ist es völlig
egal, in welcher Reihenfolge man die sechs Zahlen auf dem
dem Lottoschein ankreuzt.
In manchen Situationen ist es möglich, mehrfach das gleiche Objekt zu wählen.
wählen Wenn es etwa
um aus vier Buchstaben gebildete Wörter geht, ist nicht nur BLAU erlaubt, sondern auch
TOTO. Es kann aber auch sein, dass Wiederholungen nicht
nicht zugelassen sind: Soll aus 21
Spielern eine elfköpfige Fußballmannschaft gebildet werden, kann jeder Einzelne nur einmal
auftreten. Insgesamt sind damit vier elementare Zählprobleme zu behandeln.
Problem 1: Reihenfolge wichtig, Wiederholung möglich
Typische Situationen: Fünfbuchstabige Wörter, achtstellige Zahlen im Dezimalsystem
Die Formel: Man kann auf genau ># verschiedene Weisen Auswahlen von Elementen
einer> − elementigen Menge bilden, wenn die Reihenfolge wichtig ist und Elemente mehrfach
ausgewählt werden dürfen.
Eine
−Permutation mit Wiederholungen über
` = 1, 2, 3, … , > ist ein
− Tupel aus Elementen
Anzahl = >#
Von `. Die Elemente von ` dürfen mehrfach auftreten.
Kurzformataufgaben:
Wie viele sechsbuchstabige Wörter gibt es? 26% = 308.915.776
Wie viele Dezimalzahlen kann man mit den Ziffern 1, 4, 5, 7 bilden? Unendlich viele!
Wie viele achtstellige Dualzahlen gibt es?2‚ = 256
Gibt es mehr vierstellige Hexadezimalzahlen als sechsstellige Dezimalzahlen?
Wegen 16H < 10% gibt es mehr sechsstellige Dezimalzahlen.
5) In einer Ortschaft in Schleswig Holstein namens Burg (Dithm.) gibt es hinter der Vorwahl in
der Telefonnummer eine vierstelle Zahlenfolge. Exemplarisch notieren wir die
Telefonnummer 04825 2274. Wie viele Einwohner darf Burg maximal haben, damit jeder
Einwohner eine Telefonnummer besitzen kann?
Da die Zahlenfolge 0000 als Telefonnummer nicht möglich ist, darf Burg maximal 10H − 1 =
9.999 Einwohner haben.
1)
2)
3)
4)
Problem 2: Reihenfolge wichtig, keine Wiederholung
Typische Situationen: Wahl des Vorstands (Präsident, Vertreter, Schriftführer, Schatzmeister)
in einem Verein. Planung einer Reise, bei der > Städte je einmal besucht werden sollen.
Vierbuchstabige Wörter ohne Buchstabenwiederholung.
Die Formel: Es sei> ∈ ℕ und
∈ 1, … , > . Dann gibt es
> ∙ > − 1 ∙ …∙ >
+1
Möglichkeiten, Elemente aus einer > elementigen Menge auszuwählen, wenn die
Reihenfolge wichtig ist und Wiederholungen nicht zugelassen sind. Im Fall = > ist die
gesuchte Anzahl gleich > ∙ > 1 ∙ …∙ 2 ∙ 1 = >!.
Letzteres nennt man auch die Fakultät einer natürlichen Zahl > ∈ ℕ. Beispielsweise ist
Eine
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6,5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120.
−Permutation ohne Wiederholungen über
` = 1, 2, 3, … , > ist ein
− Tupel aus lauter Elementen
verschiedenen Elementen von `.
Anzahl =
'!
'T# !
Beispiele:
a) Es gibt insgesamt 26 ∙ 25 ∙ 24 = 15600 dreibuchstabige Wörter ohne
Buchstabenwiederholung. b) Mann kann auf 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 Weisen eine Rundreise
durch fünf Städte machen.
Kurzformataufgaben:
1) Die Schulmensa der Robert – Jungk Oberschule in Berlin Wilmersdorf habe eine Sitzkapazität
von 100 Plätzen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 100 Schüler hier willkürlich zu platzieren?
100!
2) Wie viele vierstellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 bilden, wenn jede der
Ziffern in einer Zahl maximal einmal vorkommen darf? 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840
Problem 3: Reihenfolge unwichtig, keine Wiederholung
Das ist sicher das wichtigste der Zählprobleme.
Typische Situationen: Lottotipps, Skatblätter, wie viele Verabschiedungen bei > Personen, …
Die Formel: Es sei > ∈ ℕ und
∈ 1, … , > . Dann gibt es
> ∙ > − 1 ∙ …∙ >
!
+1
elementige Teilmengen von 1, … , > ; das entspricht den Möglichkeiten, Elemente
auszuwählen, wenn die Reihenfolge der ausgewählten unwichtig ist und Wiederholungen nicht
zugelassen sind. Der Ausdruck
'∙ 'TC ∙…∙ 'T#VC
#!
man kürzt ihn durch das Symbol
kommt sehr oft in der Kombinatorik vor,
>
F I
>
ab. Man nennt F I auch die Binomialkoeffizienten. Gesprochen wird das "> über ". (Im
Englischen sagt man übrigens – wesentlich suggestiver als im Deutschen – „> choose ".)
>
Merke: F
Beispiele:
I=
'∙ 'TC ∙…∙ 'T#VC
#!
11
a) Wenn sich 11 Leute voneinander verabschieden, gibt es F I = 55 Mal einen Händedruck.
2
49
b) Auf einem Lottoschein in Deutschland kann man auf F I = 13.983.816 verschiedene
6
Arten sechs Zahlen ankreuzen.
Hinweis: Mit einem Taschenrechner lassen sich die Werte für einen Binomialkoeffizienten
22
übrigens wie folgt mithilfe der nCr – Taste berechnen: F I = 22>¤.3 = 1540
3
Kurzformataufgaben Problem 3:
a) Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten wenn möglich mit dem Taschenrechner
21
69
150
F I = 1330, F I = 11238513, F
I ≈ 1,4297 ∙ 10C( ,
18
5
6
100
12345
F
I = 0, F
I = 100891344545564193334812497256.
50
13245
b) Bei einer Losbude auf dem „Hamburger DOM“ gibt es insgesamt 60 unterschiedliche
Trostpreise. Svenja darf sich drei Trostpreise aussuchen. Wie viele Möglichkeiten hat Svenja,
60
sich drei Trostpreise auszuwählen? F I = 34220
3
c) Im italienischen Lotto müssen sechs richtige Zahlen aus insgesamt 90 möglichen Zahlen
gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs Zahlen auf einem Italienischen
90
Lottoschein anzukreuzen? F I = 622.614.630
6
Problem 4: Reihenfolge unwichtig, Wiederholung möglich
Typische Situationen: Gegeben sind > unterscheidbare Kästen und identisch aussehende
Kugeln. Auf wie viele Weisen können die Kugeln in den Kästen platziert werden?
>+
Die Formel: Es gibt genau F
−1
unterscheidbare Kästen zu platzieren.
I Möglichkeiten, identisch aussehende Kugeln in >
Beispiele: a) Zwei Kugeln in drei Kästen. Hier sind also > = 3 und = 2. Wir erhalten
4
F I = 6 Möglichkeiten. Das wollen wir uns jetzt veranschaulichen:
2
Es gibt also tatsächlich insgesamt genau 6 Möglichkeiten, zwei identische Kugeln in drei
Kästen zu platzieren. (2 - Kombination aus einer 3 – Menge)
b) 15 Kugeln sollen in 3 Kästen untergebracht werden. Die Anzahl der Möglichkeiten ist
17
17
F I = F I = 136. Hierfür werden wir uns keine Veranschaulichung angucken. ☺
15
2
Kurzformataufgaben Problem 4:
1) 20 identische Kugeln sollen in 3 unterscheidbare Kästen untergebracht werden. Wie viele
22
22
Möglichkeiten gibt es hierfür? F I = F I = 231
20
2
2) Wie viele verschiedene Wurfbilder gibt es beim Würfeln mit 2 gleichen fairen Würfeln
7
(Augenzahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6)? Notieren Sie alle verschiedenen Wurfbilder. F I = 21
2
3) Wie viele verschiedene Wurfbilder gibt es beim Würfeln mit 5 gleichen fairen Würfeln? 252
Wie viele verschiedene Wurfbilder gibt es beim Würfeln mit 10 gleichen fairen Würfeln? 3003
Ergänzung: Weitere Anzahlformel
Wir geben eine weitere Anzahlformel an, die bei vielen Abzählungsproblemen benutzt werden
kann:
Die Formel: Hat die Menge > Elemente und sind darunter
gibt es
'!
#S !∙#U !∙#f!∙…∙#a !
C, /, ", … , B
Anordnungsmöglichkeiten. Dabei gilt:
C
+
/
+
+ …+
= >.
gleiche Elemente, dann
"
B
Beispiel:
a) Wie viele 4 – stellige Wörter gibt es, die genau die Buchstaben A, A, B, B haben?
resultiert: /!∙/! = 3! = 6. Es gibt also sechs vierstellige Wörter, die genau die Buchstaben A, A,
H!
Exemplarisch erhalten wir: AABB, ABBA, BBAA, BAAB, BABA, ABAB. Mit unserer Formel
B, B haben.
Kurzformataufgaben zur Ergänzung:
1) Wie viele verschiedene „Wörter“ kann man aus den Buchstaben des Wortes
LOTTOMODELL bilden, wenn jeweils alle Buchstaben verwendet werden sollen?
L – 3, O – 3, T – 2, M – 1, D – 1, E – 1, "!∙"!∙/!∙C!∙C!∙C! = 554.400
CC!
2) Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es, die genau die Ziffern 2, 2, 3, 3, 3 haben? "!∙/! = 10
e!
Die Anzahlen, die durch die 4 Anzahlformeln für Permutationen* bzw. Kombinationen** mit
bzw. ohne Wiederholungen gegeben sind, werden häufig an einem Urnenmodell
veranschaulicht. Aus einer Urne mit > unterscheidbaren Kugeln werden nacheinander
Kugeln gezogen. Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es unter den folgenden
Voraussetzungen?
(1)
(2)
(3)
(4)
Die Reihenfolge wird berücksichtigt, Kugeln werden nicht zurückgelegt.
Die Reihenfolge wird berücksichtigt, Kugeln werden zurückgelegt.
Die Reihenfolge ist egal, Kugeln werden nicht zurückgelegt.
Die Reihenfolge ist egal, Kugeln werden zurückgelegt.
Veranschaulichung am Beispiel > = 3 und
nacheinander 2 Kugeln gezogen.
= 2. Aus der Urne mit drei Kugeln werden
(*) Jede mögliche Anordnung von allen > Elementen einer Menge heißt Permutation dieser Elemente.
(**) Jede mögliche Anordnung (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) aus jeweils
einer Menge heißt Kombination dieser Elemente (Kombination von > Elementen zur
von > Elementen
− ten Klasse).
Ziehungsmöglichkeiten für die obigen vier Fälle:
Beispielaufgaben:
1) Svenja will zu einer Party. Sie kann sich bei ihrer Bekleidung nicht entscheiden zwischen
2 Paar Schuhen, 3 Hosen und 2 T – Shirts. Wie oft muss Svenja sich anziehen, wenn sie
alle Kombinationsmöglichkeiten ausprobieren will?
Lösung: 2 ∙ 3 ∙ 2 = 12 Mal muss Svenja sich anziehen.
2) Wie viele Ausgänge gibt es beim fünfmaligen Wurf eines fairen Würfels?
Lösung: 6e = 7776 verschiedene 5 – Tupel gibt es.
3) Wie viele 3 – stellige Zahlen mit verschiedenen Ziffern können aus der Menge
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 gebildet werden?
>!
>−
7!
= 7 ∙ 6 ∙ 5 = 210Möglichkeiten
4!
Lösung: (3 – Permutation ohne Wiederholung)
!
=
4) Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes SVENJA anordnen?
Lösung: 6! = 720 Möglichkeiten
5) Das sogenannte „Reeperbahn – Problem“:
Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes REEPERBAHN anordnen?
Lösung:
10!
= 302400
3! ∙ 2!
Anzahl der R’s: 2; Anzahl der E’s: 3
6) Ein „City – Zug“ besteht aus 10 Waggons: 4 Wagen der Touristenklassen (T), 3 Wagen in
der ersten Klasse (E), 2 Großraumwagen (G) sowie 1 Speisewagen (S). Wie viele
Möglichkeiten gibt es, den Zug zusammenzustellen, wenn nur nach den Kategorien T, E,
G und S unterschieden wird und
a) sonst keine Vorgaben zu beachten sind,
b) Die Großraumwaggons am Anfang des Zuges stehen und der Speisewagen 5. oder 6.
Wagen sein soll?
Lösung:
10!
= 12600
4! ∙ 3! ∙ 2!
b) Für den Speisewagen gibt es 2 Möglichkeiten, die Möglichkeiten für die restlichen
7!
= 70Möglichkeiten
4! ∙ 3!
Wagen sind wie in Teilaufgabe a) zu berechnen.
2∙
7) Eine Urne enthält 49 Kugeln mit den Nummern 1 bis 49. Es wird eine Stichprobe von 6
Kugeln entnommen. Svenja hat 6 Ziffern getippt. Gehen wir davon aus, dass die Kugeln
mit diesen Nummern rot sind, die restlichen weiß.
a) Wie viele Stichproben gibt es?
b) Wie viele Stichproben enthalten 0, 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 rote Kugeln?
49
a) Es handelt sich um eine 6 – Menge aus einer 49 – Menge. Es gibt F I = 13983816
6
Stichproben.
Lösung:
b) Sei
. die Anzahl der Stichproben mit . „Richtigen“ (entspricht den roten Kugeln):
Man muss aus 6 roten Kugeln . Kugeln wählen und aus 43 weißen Kugeln 6
Das ergibt
6
43
. = F IF
I Möglichkeiten.
. 6−.
. Kugeln.
0 = 6096454, 1 = 5775588, 2 = 1851150, 3 = 246820,
4 = 13545, 5 = 258, 6 = 1
8) Aus einer Urne mit einer roten, einer blauen und einer weißen Kugel wird eine ungeordnete 8
– Stichprobe mit Zurücklegen gezogen. Wie viele solcher Stichproben gibt es?
Lösung: Es handelt sich um eine 8 Kombination aus einer 3 – Menge (r, b, w).
8+3
F
8
1
10
I = F I = 45 solcher Stichproben gibt es.
8
Warnung: Oft können kombinatorische Aufgaben nicht mit einer einzelnen Formel gelöst
werden. Vielmehr müssen oft mehrere dieser Formeln in Kombination mit dem allgemeinen
Zählprinzip angewendet werden.
5) Hypergeometrische Verteilung
Einstiegsbeispiel:
Eine Urne enthält 5 schwarze und 3 weiße gleichartige Kugeln. Es werden 6 Kugeln ohne
Zurücklegen gezogen. Ω besteht aus allen 6 – Teilmengen aus der Menge der acht Kugeln.
8
|Ω| = F I = 28
6
A:„Es werden 4 schwarze und zwei weiße Kugeln gezogen.“
|A| 15
3
|A| = F5I ∙ F I = 15ℙ ã =
=
= 0,536
2
|Ω|
4
28
Hypergeometrisches W – Maß (ohne Zurücklegen)
Zieht man aus einer Urne, die ` gleichartige Kugeln enthält,
`−
schwarze Kugeln und
weiße und > Kugeln ohne Zurücklegen, dann gilt für die Anzahl 9 der gezogenen
`−
F I∙F
I
> − ,0 ≤ ≤ >.
ℙ 9= =
`
F I
>
Beispiel: Bei einer Losbude auf dem Hamburger Dom verspricht ein Schild: „Jedes 10.
schwarzen Kugeln:
Los gewinnt“. Ein Kontrolleur kauft 10 Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass mindestens ein Gewinnlos dabei ist?
Lösung: Gesucht ist also ℙ 9 ≥ 1 . = 10 (Gewinnlose) und ` −
= 90 (Nieten)
10
90
F I∙F I
0
10 ≈ 67%.
ℙ 9 ≥1 =1−ℙ 9 =0 =
100
F
I
10
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Gewinnlos dabei ist beträgt ca. 67 Prozent.
(Jedes 10. Los gewinnt)
Modifizierte Formel (mit Zurücklegen)
Zieht man aus einer Urne, die ` gleichartige Kugeln enthält,
`
schwarze Kugeln und
weiße und > Kugeln nacheinander mit Zurücklegen, dann gilt für die Anzahl 9 der
gezogenen schwarzen Kugeln:
ℙ 9=
'T
`
>
=F I∙’ “ ∙’
“
für0 ≤
`
`
≤ >.
Beispiel: Eine Urne enthält 5 schwarze und 3 weiße gleichartige Kugeln. Es werden 6
Kugeln nacheinander gezogen. Jede gezogene Kugel wird nach dem Notieren der Farbe in
die Urne zurückgelegt. A:„Es werden 4 schwarze und zwei weiße Kugeln gezogen.“
5
3
ℙ diegezogeneKugelistschwarz = ,
ℙ diegezogeneKugelistweiß = ,
8
8
4 der 6 Ziehungen liefern eine schwarze Kugel:
Bei jeder der 6 Ziehungen gilt:
e
" %TH
6
≈ 32,2%.
ℙ 9 = 4 = F I ∙ F‚I ∙ F‚I
4
Lottomodell
Vielen Schülerinnen und Schülern in Berlin und Brandenburg ist das
sogenannte Lottomodell als Spezialfall der hypergeometrischen
Verteilung bekannt: Das Ermitteln von Tippwahrscheinlichkeiten
beim fairen deutschen Lottospiel (6 aus 49) kann hierbei als
„Algorithmus“ für zahlreiche weitere Zufallsprozesse verwendet
werden. Legen wir hierzu mit einer Beispielaufgabe los:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim fairen
deutschen Lotto (6 aus 49) mit einem abgegebenen Tipp genau
drei Richtige erzielt?
Lösungsweg:
49
Insgesamt gibt es F I
6
ä wie folgt: ä
13983
983816 mögliche Tipps. Wir definieren das zu analysierende Ereignis
„genau drei Richtige“. Um zu zählen, wie viele Tipps für unser Ereignis ä möglich
sind, verwenden wir den folgenden Ansatz:
Wir denken uns den Inhalt der Urne (gefüllt mit den Lottokugeln) in zwei Abschnitte von Zahlen
unterteilt: in einem Abschnitt 6 rote Gewinnkugeln, im anderen Abschnitt 43 Nieten.
Abschnitt 1
Abschnitt 2
3 aus 6
3 aus 43
6
43
F IF I
3
3
Möglichkeiten
6
Ein für ä günstiger Tipp enthält drei rote und drei weiße Kugeln. Es gibt F I 20 Möglichkeiten, aus
3
43
dem ersten Abschnitt 3 der 6 roten Kugeln auszuwählen. Außerdem gibt es F I 12341
3
Möglichkeiten, aus dem zweiten Abschnitt 3 der 43 weißen Kugeln auszuwählen. Somit gibt es
6
43
F I ∙ F I Möglichkeiten, drei rote mit drei weißen Kugeln zu einem für ä günstigen Tipp zu
3
3
49
kombinieren. Vermöge der Laplaceformel erhalten wir nach Division durch die Gesamtanzahl F I
6
die Wahrscheinlichkeit: ℙ ä
ℙ „genaudreiRichtige“ ≈
F%I∙FH"I
"
"
FHG
I
%
= 0,01765
01765.
6) Zufallsvariablen:
Eine Variable 9 heißt eine Zufallsvariable, wenn der Wert, den 9 annimmt von dem Ausgang eines
Zufallsexperiments abhängt.
Definition: Eine Abbildung 9 ∶ Ω → ℝ, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet, heißt
Zufallsvariable bzw. Zufallsgröße (kurz: ZV).
Bemerkung: Zwei Zufallsvariablen 9 und h, welche die Werte
heißen unabhängig, wenn für alle Tupel
Beispiel: 9
h
ℙ 9=
& ; h
& , r&
C, … , '
bzw. rC , … , r' annahmen,
die folgende Relation gilt:
= r& = ℙ 9 =
&
∙ ℙ h = r& .
Anzahl der geraden Augenzahlen bei n – maligem Würfelwurf
Anzahl der ungeraden Augenzahlen bei n – maligem Würfelwurf
Dann sind 9 und h unabhängig.
Beispiele einiger diskreter Zufallsvariablen:
-
Anzahl der 6’en beim > maligen Würfelwurf
-
Anzahl der Tore von Wayne Rooney
-
Anzahl der defekten Sender
-
Anzahl der infizierten Löwen
-
Gewinn bzw. Verlust bei einem Spiel
Neben der Höhe des Gewinns oder des Verlusts ist auch die Wahrscheinlichkeit von Interesse, mit
dem er eintritt. Dazu wird jedem Wert der Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet.
Hierbei sprechen wir von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Beispiel: Ein Glücksrad mit 5 unterschiedlich großen Sektoren wird gedreht. Als Teilnahmegebühr
wird 5 Euro verlangt. Die Zufallsvariable X beschreibt den möglichen Gewinn bzw. Verlust pro
Drehung in Euro. Außerdem ist die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben.
i&
Ausgewählter
1
2
3
4
5
15
0
0
2
4
0,5
0,2
0,1
0,1
Sektor
9 i&
Ist dieses Spiel fair?
ℙ 9 = i&
0,1
Antwort: Wir „erwarten“ einen durchschnittlichen Gewinn von 15 ∙ 0,1 + 2 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,1 = 2,1 Euro
pro Spiel. Aufgrund der deutlich höheren Teilnahmegebühr von 5 Euro ist dieses Spiel offenbar nicht
als fair anzusehen.
Erwartungswert:
Ist X eine Zufallsvariable, welche die Werte
C, … , '
'
] 9 =j
&}C
&
annimmt, dann heißt die reelle Zahl
∙ℙ 9 =
&
Erwartungswert von X. Satt ] 9 schreibt man gelegentlich auch 7.
Varianz, Standardabweichung, Streuung:
Ist X eine Zufallsvariable, welche die Werte
C, … , '
'
annimmt und 7 = ] 9 , dann heißt
= ]? 9 − 7 ²A = j
^
&}C
&
−7 ∙ℙ 9 =
&
Varianz von X oder mittlere quadratische Abweichung.
_ 9 = l^ 9 heißt Standardabweichung oder Streuung von X.
Beispiel: Die folgende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Zufallsvariablen
X - Klausurnote Mathematik Grundkurs 13.1, Rehder
Y - Klausurnote Mathematik Grundkurs 13.1, else
bzw. r
7
40
18
40
3
40
1
ℙ 9=
ℙ 9=r
2
40
16
40
2
5
40
4
] h = H( ∙ 1 + H( ∙ 2 + H( ∙ 3 + H( ∙ 4 + H( ∙ 5 + H( ∙ 6 =
] 9 =
"
C%
C/
"
C
5
1
40
1
40
6
C"
H
(für X selbst ausrechnen!)
^ h =F
^ 9 =
e
7
40
3
40
5
40
12
40
3
"
H(
−
C" /
I
H
e
C" /
− I
H(
H
∙1+F
∙ 2 + …+ F
_ h = l1,1875 = 1,09; _ 9 =
C
H(
C" /
I
H
∙ 6 = 1,1875
Sei X eine ZV mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung ℙ, dann gelten für alle k > 0 die folgenden
7) Ungleichungen von Tschebyscheff
Ungleichungen:
ℙ |9 − ] 9 | > k <
_/ 9
_/ 9
ℙ |9 − ] 9 | ≥ k ≤
k²
k²
ℙ |9 − ] 9 | < k ≥ 1 −
_/ 9
_/ 9
|9
|
ℙ
−] 9 ≤k >1−
k²
k²
Für k > _ 9 erhält man vernünftige Wahrscheinlichkeitsaschätzungen.
Beispiele:
1) Die Körpergröße von jungen Frauen in England liegt derzeit durchschnittlich bei ca. 1,66
Meter mit einer Standardabweichung von 6,4cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens,
dass die Größe einer englischen jungen Frau um mehr als 15 cm vom Durchschnittswert
abweicht?
Gegeben: 9 sei die Zufallsvariable: „Körpergröße einer Frau in cm“, 7 = ] 9 = 166 cm
_ 9 = 6,4,k = 15[
Formel von Tschebyscheff: ℙ |9 − ] 9 | > k <
lU m
n²
ℙ |9 − 166| > 15 <
6,4²
= 0,1820
15²
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Größe einer englischen jungen Frau um mehr als 15 cm vom
Durchschnittswert abweicht ist nach der Tschebyscheff Ungleichung kleiner als 18,20 Prozent.
2) Mit welcher Maximalwahrscheinlichkeit taucht bei 300 Würfen eines fairen Würfels mehr als
60 Mal oder seltener als 40 Mal die Augenzahl 5 auf?
Gegeben: 9 sei die Zufallsvariable: „Anzahl der 5’en bei 300 Würfen“, 9~ ²> (nicht vergessen!!)
> = 300, s = % ,7 = ] 9 = >s =
C
"((
%
= 50, ^ 9 = >s 1 − s = 7 ∙ % = 41, 6
_ 9 = 6,455,k = 10(Abweichung nach oben und unten.)
Formel von Tschebyscheff: ℙ |9 − ] 9 | > k <
e
lU m
n²
ℙ |9 − 50| > 10 <
41, 6
= 0,416
100
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 300 Würfen eines fairen Würfels mehr als 60 Mal oder seltener
als 40 Mal die Augenzahl 5 auf tritt ist kleiner als 41, 6 Prozent.
8) Normalverteilung: (letzter Abschnitt)
Letztendlich kommen wir zu einem der wichtigsten Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Viele von Ihnen erinnern sich bestimmt noch an den alten 10 Markschein. Auf diesem
Geldschein ist der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777, Braunschweig – 1855,
Göttingen) zusammen mit einer glockenförmigen Funktion abgebildet.
Was macht diese glockenförmige Funktion nun so wichtig, dass sie auf einem Geldschein
gezeigt wird? Die Antwort auf diese Frage ist ganz einfach: Durch diese Glockenfunktion
erhält man eine besonders wichtige Verteilung, nämlich die sogenannte „Normalverteilung
„Normalverteilung“.
Ein Leistungskursschüler würde dies präziser formulieren: „Die Gaußsche Glockenkurve ist
eine Dichtefunktion. Hat man ℝ mit dieser Dichtefunktion zu einem Wahrscheinlichkeitsraum
Wahrscheinl
gemacht, dann spricht man von der Normalverteilung.“. Schauen wir uns diese Glockenkurve
einmal genauer an:
Wir können dann die folgende „Wahrscheinlichkeitsdichte“ ablesen:
j,l U
≔
1
√2‘ ∙ _
exp –
2_²
²
—
Die Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariable beschreibt die Breite der
Normalverteilung. 95 Prozent aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 1,960_
vom Erwartungswert.
Man kann sich graphisch leicht davon überzeugen, dass die Binomialverteilung sowie auch die
hypergeometrische Verteilung für große >gegen
gegen die Glockenkurve konvergieren. Das ist kein
Zufall, denn die Normalverteilung ist allgegenwärtig,
allgegenwärtig, wie der folgende Satz
S (kommt so
nicht im Abitur dran ☺)) besagt:
Es seien 9C , 9/ , … unabhängige Kopien einer Zufallsvariablen 9, für die Erwartungswert ] 9
Zentraler Grenzwertsatz (allgemeiner Fall):
und Varianz _² existieren, die Varianz soll dabei nicht 0 sein. Dann konvergieren die
Zufallsvariablen ?9C + 9
9/ = …= 9'
>] 9 A/√>_ „in Verteilung“ gegen die
Standardnormalverteilung ` 0, 1 . Insbesondere gilt:
lim ℙ –o
'→u
9C = 9/ =
= …= 9'
für beliebige Intervalle
,
√>_
.
>] 9
∈
,
q—
1
√2‘
¢
£ exp –
j
/
2
—•
Wer diesen Satz in der Oberstufe auf Anhieb nicht nachvollziehen kann, der kann sich auch
mit der folgenden Variante vorläufig begnügen: Die Summe von > identisch verteilten,
unabhängigen Zufallsvariablen 9 gehorcht für große > näherungsweise einer
„Normalverteilung“, nämlich der Gaußschen Glockenkurve. Dies gilt insbesondere für die
Binomialverteilung mit dem Erwartungswert 7 = >s. Falls man Sie in der U – Bahn (auf dem
Rückweg vom Abiturtraining) nach dem zentralen Grenzwertsatz (kurz: ZGS) fragt, dann
würde vielleicht auch die Antwort: „Die Normalverteilung ist allgegenwärtig.“ ausreichen.
In der Abiturprüfung könnte die Normalverteilung bei stetigen ZV drankommen:
Bisher haben wir nur diskrete Zufallsvariablen (diskrete Zahlenwerte) angeguckt. Wir nennen
eine Zufallsvariable stetig, falls diese innerhalb eines bestimmten Intervalls jeden beliebigen
Zahlenwert annehmen kann. (Beispiele hierfür: Gewicht einer Kirsche, Größe einer Frau, …)
Gauß’sche Integralfunktion:
r w =
1
√2‘
C
£ _ T/!² •
Tu
Sei 9 eine normalverteilte Zufallsvariable, dann gilt: ℙ 9 ≤ . = r w mit w =
BTs
l
Diese Formel bitte merken!
Die Werte für r können aus der Normalverteilungstabelle in der Formelsammlung abgelesen
werden.
Beispielaufgabe: Die Körpergröße (in cm) einer englischen Frau ist eine normalverteilte
Zufallsvariable 9. Aus empirischen Untersuchungen sind Erwartungswert 7 = 1,66Meter und
Standardabweichung _ = 6,4cm bekannt. Für eine Studie wird zufällig eine englische Frau
ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie höchstens 1,80 Meter groß?
Gesucht ist ℙ 9 ≤ 180 .
. = 180,7 = 166,_ = 6,4,w =
ℙ 9 ≤ 180 = r 2,1875 = 0,9857.
.
_
7
=
180 − 166
= 2,1875
6,4
Die Frau ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9857 maximal 1,80 Meter groß.
Alternativ hätten Sie auch noch zusätzlich (zur Übung) die Wahrscheinlichkeit mit der
Tschebyscheff Ungleichung abschätzen können.
Aus dem ZGS erhalten wir als unmittelbares Korollar die folgenden Näherungsformeln von DE
MOIVRE – Laplace:
Es sei Ω, ℰ, ℙ ein Wahrscheinlichkeitsraum und 9 eine binomialverteilte Zufallsvariable mit
> ∙ s ∙ 1 − s > 9 (Laplace – Bedingung). Dann gelten die
lokale Näherungsformel:
ℙ 9=
≈
1
−7
∙J’
“
_
_
und die globale Näherungsformel:
ℙ 9≤
≈ J’
+ 0,5 − 7
“
_
wobei 7 = ] 9 = >s und _ = t 9 = l> ∙ s ∙ 1 − s .
Anwendungsbeispiel:
Flugzeuge werden üblicherweise überbucht, weil die Erfahrung gezeigt hat, dass praktisch nie alle
Fluggäste kommen. Üblicherweise erscheinen 5 Prozent aller Passagiere nicht. Eine Fluggesell-schaft
überbucht generell größere Flugzeuge mit 200 Sitzplätzen um drei Plätze. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit kommt es zu einem Engpass?
Lösung:
Sei 9 die binomialverteilte Zufallsvariable, welche die Häufigkeit der Fluggäste angibt, die ihren Flug
antreten. Es ist > = 203 und s = 0,95. Wir erhalten für den Erwartungswert: 7 = ] 9 = >s =
192,85. Damit erhalten wir die Streuung _ = l>s 1 − s ≈ 3,1. Nach dem zentralen Grenzwertsatz
können wir die Binomialverteilung mit der Normalverteilung approximieren. (Wir sind damit schon
deutlich außerhalb des 2_ − Bereichs und somit auf der sicheren Seite.) Aus der auf der nächsten
Seite aufgeführten Tabelle zur Normalverteilung erhalten wir den folgenden Wert vermöge der
Transformation: w =
5TsV(,e
l
ℙ 9 ≤ 200 = J 2,4677 = 0,9932.
Es kommt als mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 − 0,9932 = 0,0068 zu einem Engpass.
3)
Basisfragen
Der folgende Fragenkatalog ist keineswegs vollständig. Trotzdem sollte der Katalog alle
wesentlichen Basisthemen abfragen, welche für eine mündliche Prüfung relevant sein
könnten. Beantworten Sie die folgenden Fragen ausführlich unter Berücksichtigung der
Notationen und Konventionen aus dem Unterricht.
Semester 1:
∶ • → ℝ im Punkt
a) Wann heißt eine Funktion
b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion
(
∈ • differenzierbar?
= 3 mit dem Differentialquotienten.
c) Was ist der Unterschied zwischen einem Differenzenquotienten und einem
Differentialquotienten?
d) Was unterscheidet eine Tangente von einer Sekanten?
e) Warum ist die Betragsfunktion im Nullpunkt nicht differenzierbar?
f) Warum sind alle Polynome im gesamten Definitionsbereich differenzierbar?
g) Welche notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Existenz einer lokalen Extremstelle
kennen Sie?
h) Welchen notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Existenz einer Wendestelle kennen Sie?
i)
Was versteht man unter einer Wendetangente?
j)
Eine Ableitungsfunktion
Ausgangsfunktion
1
= 3 ² + 3 sei gegeben. Wie kann die Funktionsgleichung der
lauten?
k) Was ist die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion?
l)
Was ist die Ableitungsfunktion der Kosinusfunktion?
m) Was ist die Ableitungsfunktion der Exponentialfunktion?
n) Was ist die Ableitungsfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion?
o) Was ist die Ableitungsfunktion der Wurzelfunktion?
p) Wie kann man die Nullstellen eines Polynoms berechnen?
q) Geben Sie ein Beispiel einer differenzierbaren Funktion
Wendepunkt besitzt, aber keine Extremstelle hat.
∶ • → ℝ, die genau einen
Semester 2:
a) Was ist eine Stammfunktion und wozu braucht man sie?
b) Besitzt jede Funktion
c) Warum besitzt
∶ • → ℝ, • ⊂ ℝ eine Stammfunktion?
= cos Fsin Fl_ 5²VC/5VC II + sec csc ² +
d) Was ist ein unbestimmtes Integral?
+2
eine Stammfunktion?
e) Welche Grundintegrale für das bestimmte Integral kennen Sie aus dem Unterricht?
f) Ist jede Funktion integrierbar?
g) Was ist ein bestimmtes Integral und wozu braucht man es?
h) Wer oder was ist ein Riemann?
i)
Wie kann man ein bestimmtes Integral berechnen?
j)
Welche Integraleigenschaften sind Ihnen aus dem Unterricht bekannt?
k) Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? Wozu braucht man ihn?
l)
Wie kann man mit dem bestimmten Integral den Flächeninhalt berechnen, wenn die Funktion
im betrachteten Bereich ausschließlich positive Werte annimmt?
m) Wie kann man mit dem bestimmten Integral den Flächeninhalt berechnen, wenn die Funktion
im betrachteten Bereich ausschließlich negative Werte annimmt?
n) Wie kann man mit dem bestimmten Integral den Flächeninhalt berechnen, wenn die Funktion
im betrachteten Bereich sowohl positive als auch negative Werte annimmt?
o) Wie kann man mit dem bestimmten Integral den Flächeninhalt berechnen, welcher von zwei
oder drei oder … Funktionen eingeschlossen wird?
p) Wie lautet die Substitutionsformel und wozu braucht man Sie? (frei formuliertes Beispiel!)
q) Wie lautet die partielle Integrationsformel und wozu braucht man sie? (frei formuliertes
Beispiel!)
r) Wie kann man mit Mitteln der Integralrechnung das Rotationsvolumen berechnen? Geben Sie
hierzu die Formel und ein frei formuliertes Beispiel an.
Semester 3:
1) Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2) Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3) Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4) Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen
kartesischen Koordinatensystem?
5) Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6) Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein
„Rechtssystem“ bildet.
7) Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8) Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ" ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie
1
9) Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ" , der zu 2 parallel ist.
3
jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff
„Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ" .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors 2 .
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ/ w6.ℝ" addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ/ w6.ℝ" definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ/ w6.ℝ" definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ" orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines
Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
19) Was versteht man unter einer Linearkombination einiger Vektoren im Anschauungsraum ℝ" ?
20) Wann heißen
Vektoren linear unabhängig?
21) Ist der Nullvektor zu jedem anderen Vektor linear abhängig?
22) Wie ist eine Basis des ℝ/ w6. ℝ" definiert?
1
−2
23) Ist àF I , F Iá ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des ℝ/ ?
2
1
24) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
25) Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ/ auf lineare
1
−2
26) Ist àF I , F Iá eine Basis des ℝ/ ?
3
1
27) Warum fliegt ein Flugzeug?
Unabhängigkeit untersuchen?
28) Was ist ein lineares Gleichungssystem?
29) Nennen Sie fünf unterschiedliche Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
30) Lösen Sie (wenn möglich) das folgende lineare Gleichungssystem auf fünf unterschiedlichen
Lösungswegen.
+ r + 4w = 10
2r − 5w = −14
r + 3w = 4
31) Was ist eine Gerade im Anschauungsraum ℝ" ? Wie lautet ihre allgemeine Parametergleichung?
32) Was ist der Stützvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ" ?
33) Was ist der Richtungsvektor einer Geraden im Anschauungsraum ℝ" ?
34) Wie bestimmt man eine Geradengleichung im Anschauungsraum ℝ" ,die durch genau zwei
Punkte ã,
∈ ℝ" verläuft?
35) Welche vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Anschauungsraum ℝ" sind möglich.
Beschreiben Sie, wie man diese Lagebeziehungen klassifizieren kann.
36) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte ã 1|2|3 ,
2|1|6 mit der Abstandsformel.
37) Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden im
Anschauungsraum ℝ" ?
38) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ" orthogonal?
39) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ" parallel?
40) Wann sind zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ" windschief?
41) Was versteht man unter Spurpunkte einer Geraden?
42) Was ist eine Geradenschar?
43) Was ist eine Ebene im Anschauungsraum ℝ" ? Geben Sie eine vektorielle Parametergleichung
einer Ebene an. Fertigen Sie hierzu eine Skizze an.
44) Was ist der Orts- Stützvektor einer Ebene im Anschauungsraum ℝ" ? (Skizze!)
45) Was sind die beiden Richtungsvektoren einer Ebene im Anschauungsraum ℝ" ? (Skizze!)
46) Wie bestimmt man die Gleichung einer Ebene im Ebene im Anschauungsraum ℝ" , die durch
drei Punkte ã, , ¤ ∈ ℝ" verläuft?
47) Was ist der Normalenvektor einer Ebene im Anschauungsraum ℝ" ? Fertigen Sie eine Skizze
an. Welche Bedeutung hat der Normalenvektor einer Ebene?
48) Wie lautet die allgemeine Normalengleichung einer Ebene im Anschauungsraum ℝ" ? Leiten
Sie diese Gleichung unter Verwendung einer Graphik selber her.
49) Wie wandelt man eine Parametergleichung einer Ebene in eine Normalengleichung um?
50) Wie wandelt man eine Normalengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
51) Was ist die Koordinatengleichung einer Ebene im Anschauungsraum ℝ" ? Leiten Sie diese
Gleichung unter Verwendung einer Graphik selber her.
52) Wie wandelt man eine Koordinatengleichung einer Ebene in eine Normalengleichung um?
53) Wie wandelt man eine Normalengleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung um?
54) Wie wandelt man eine Koordinatengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
55) Wie wandelt man eine Parametergleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung um?
56) Welche Lagebeziehungen von Punkt und Ebene im Anschauungsraum ℝ" sind möglich?
57) Welche Lagebeziehungen von Gerade und Ebene im Anschauungsraum ℝ" sind möglich?
58) Wann heißt eine Gerade im Anschauungsraum ℝ" parallel zu einer Ebene?
59) Wann heißt eine Gerade im Anschauungsraum ℝ" orthogonal zu einer Ebene?
60) Welche Lagebeziehungen zweier Ebenen im Anschauungsraum ℝ" sind möglich?
61) Wie berechnet man die Schnittgerade und den Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen?
62) Was ist ein Ebenenbüschel im Anschauungsraum ℝ" ?
63) Was ist ein Lotfußpunkt? Beschreiben Sie das Lotfußpunktverfahren zur Abstandsbestimmung.
64) Beschreiben Sie konträr die Vor- und Nachteile der Ebenenformen im Anschauungsraum ℝ" .
65) Nennen Sie die Hesse’sche Normalform und leiten Sie diese geometrisch her.
66) Wie erhält man mit der Hesse’schen Normalform eine Abstandsformel (Punkt – Ebene)?
67) Wie berechnet man den Abstand zweier windschiefer Geraden?
68) Besitzt eine Gerade im ℝ/ eine Normalform? Besitzt eine Gerade im ℝ" auch eine Normalform?
69) Welche Darstellungsformen von Geraden in der Ebene gibt es? Welche Verbindungen zur
Darstellung von Ebenengleichungen kennen Sie aus Ihrem Unterricht?
70) Welche Vor- und Nachteile besitzen die jeweiligen Darstellungsformen von Geraden in der Ebene?
Semester 4 (Fortsetzung von Semester 2) (Stochastik):
1) Was ist eine Ergebnismenge?
2) Was ist ein Elementarereignis? Geben Sie ein frei formuliertes Beispiel an.
3) Was ist ein Laplaceraum?
4) Wie lautet die Laplaceformel?
5) Wie lauten die beiden Pfadregeln für mehrstufige Zufallsexperimente?
6) Ist das mehrmalige Ziehen ohne Zurücklegen eine Laplaceexperiment?
7) Was ist ein Laplaceexperiment?
8) Welche kombinatorischen Formeln kennen Sie aus dem Unterricht? Geben Sie jeweils ein frei
formuliertes Beispiel an.
9) Was ist eine Vierfeldertafel?
10) Was versteht man unter einer „Drei – mindestens Aufgabe“ und wie löst man sie?
11) Wie lautet die Formel für das Gegenereignis?
12) Wie lautet die Formel von Sylvester?
13) Wie lautet der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit?
14) Wie lautet die Formel von Bernoulli? Erklären Sie die Bedeutung aller auftretenden Terme.
15) Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit und wozu braucht man sie?
16) Wie lautet der Multiplikationssatz?
17) Wann heißen zwei Ereignisse stochastisch unabhängig?
18) Wie lautet der Satz von Bayes und warum gilt dieser Satz?
19) Was versteht man unter einem inversen Baumdiagramm?
20) Was ist ein Bernoulliexperiment? Geben Sie hierfür ein frei formuliertes Beispiel an.
21) Was ist eine Bernoullikette der Länge >? Geben Sie hierfür ein frei formuliertes Beispiel an.
22) Ist das Ziehen ohne Zurücklegen binomialverteilt?
23) Was ist eine Zufallsgröße und wozu braucht man sie?
24) Was ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen? Wozu braucht man den Erwartungswert?
25) Was ist die Varianz einer Zufallsvariablen? Wozu braucht man die Varianz?
26) Was ist die Standardabweichung einer Zufallsvariablen? Wozu braucht man sie?
27) Was besagt die Ungleichung von Tschebyscheff und wozu braucht man sie?
28) Was versteht man unter der hypergeometrischen Verteilung und wozu bracht man sie?
29) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Binomialverteilung und der
hypergeometrischen Verteilung? (Stichwort: Approximation)
30) Was ist eine Normalverteilung?
31) Wie lauten die lokalen und globalen Näherungsformeln von Laplace?
32) Was besagt der zentrale Grenzwertsatz und wozu braucht man ihn?
33) Wie kann man die Varianz und den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen
berechnen?
4) Aufgabensammlung
Die folgenden Aufgaben können zur Unterstützung der Prüfungsvorbereitung für die mündliche
Abiturprüfung in Mathematik verwendet werden. Der folgende Aufgabenkatalog ist keineswegs
vollständig. Trotzdem sollte die Aufgabensammlung alle wesentlichen Basisthemen abfragen, welche
für eine mündliche Prüfung relevant sein könnten. Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben ausführlich
unter Berücksichtigung der Notationen und Konventionen aus dem Unterricht.
Analysis Teil 1 – Differentialrechnung – Übungsaufgaben zur Prüfungsvorbereitung:
=2 ²+
Aufgabe 1: Beweisen Sie mit dem Differentialquotienten, dass die Funktion
Stelle
(
= 2 differenzierbar ist.
a) Bestimmen Sie den Anstieg von
in
(
= 2.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graph von
im Punkt
im Intervall 2, 3 .
c) Bestimmen Sie die mittlere Steigung von
(
an der
= 2.
d) Gibt es einen Punkt im maximalen Definitionsbereich von , in dem die Steigung der
Steigung von
am größten ist?
Aufgabe 2:
Betrachtet man an einem Ort auf der Erde die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe über dem
Erdboden, dann ergibt sich eine streng monoton fallende Funktion, die jeder Höhe
‡
zuordnet.
a) Wie groß ist der Temperaturunterschied zwischen den Höhen
und
eine Temperatur
+ ℎ?
b) Wie groß ist die durchschnittliche Temperaturgefälle zwischen den Höhen
c) Definieren Sie das punktuelle Temperaturgefälle in der Höhe
Aufgabe 3:
Betrachten Sie die Sinusfunktion
= − sin .
(.
b) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graph von
im Punkt
c) Bestimme eine Funktionsgleichung der Tangente an den Graph von
Aufgabe 4: Betrachten Sie die Exponentialfunktion
b) Bestimmen Sie den Anstieg von
(
= 0.
+ ℎ?
im Intervall 0, ‘ , das heißt für den Bereich 0 ≤
a) Bestimmen Sie die mittlere Steigung von
a) Berechnen Sie die mittlere Steigung von
und
= _ 5.
(
= 1.
im Punkt
(
≤ ‘.
= 1.
im Intervall 0, 1 , das heißt im Bereich 0 ≤
sowie die Gleichung der Tangente an den Graphen von
≤ 1.
in
1
3
³− ²+8
4
2
Aufgabe 5: Bestimmen Sie alle Nullstellen der folgenden Funktion.
=
Aufgabe 6: Wir betrachten zwei differenzierbare Funktionen und Q. Im Unterricht haben Sie bereits
+Q
folgende Regel zur Differentiation von Summen eingeführt:
1
=
(
1
(
+ Q1
(
.
Beweisen Sie unter Verwendung des Differentialquotienten die so genannte „Produktregel“ für zwei
∙Q
Faktoren:
1
(
=
1
(
∙Q
+
(
∙ Q1
(
(
.
=
Bestimmen Sie hiermit die Ableitungsfunktion der Funktion
Aufgabe 7: Es seien , w reellwertig mit , w ≠ 0und
≠ −1. Berechnen Sie für die folgenden Funktionen
jeweils die ersten zwei Ableitungsfunktionen.
_ ℎ C
e
‚
5
= 4 ³ + 2 + , 3
=
=
³+3 ²+3 +1
, +1 ²
"
_ T5
,² = √ + 5,[ /
6
w² ²
Aufgabe 8: Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen
&
mithilfe der elementaren Ableitungsregeln. (Dabei ist > ∈ ℕ.)
C
%
=3
H
=
, , w ∈ ℤ,Q = ,[ /
=
€
'V"
=
"
= sin ∙ cos ,Q %
= ln| | ∙ cos +
G
² + 1 ∙ _ 5.
,ℎ =
‚
l ²
v
1
+ + w• = sin² + 5w ,
€
'T"
,² =4
H
=>
G
e
(
,_ ,³ Aufgabe 9: Berechnen Sie für die folgenden Funktionen
&
jeweils die Steigung im Punkt
Aufgabe 10: Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen
&
jeweils die Ableitungsfunktionen
C
=3
H
+ ³ + 2 + 2, =
/
elementaren Ableitungsregeln. (Dabei sind >,
_ ³ > . C
e
G
C"
C€
=
=
=
j²VH
1
"j
=
+ 1, l ³, yzS
=
, 1
√
Ü
√
b
√
~
,µ + 4 w, /
%
C(
CH
C‚
=
=
=
=
=
Tj²TC
l
y²{S
1
√
|
l√
} f
,[ ,Q jVC U ,´
,s l√
• f
1 ,[ ∈ ℕ, r ∈ ℝ, ≠ 0)
CVj CTj
1
+1
+ _ ±¨
5²
, "
€
CC
Ce
CG
=2
=l
CVj² U
"
=
= l ²,
{y
=
1
√
S{y
= l ³∙
x
jTC
€
e
2
,• + ³ + 2,² €
1
/
w
= f
√w
H
jeweils die Ableitungsfunktionen
= 8 ³,• "
1
,~ ‚
C/
C%
=
e
C(
= >
= 1.
1
&
mithilfe der
H
1
1
+1
3
"
= l ³ + 2 x
w =
1
∙ r² ∙ f
+2
l√
1
²
2
(
=
H
1
&
=
1
lw²
f
√
e
l ²
}
+5
+
2
Aufgabe 11: Betrachten Sie die beiden folgenden Funktionen für ∈ ℝ.
= ³ − 2 ²,Q
= sin
.
a) Bilden Sie für beide Funktionen den Differenzenquotienten an der Stelle =
(.
b) Bestimmen Sie jeweils mit dem Differentialquotienten die Ableitung an der Stelle =
(.
c) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funkionen an der Stelle
d) Berechnen Sie die zweite Ableitungsfunktion von
e) Berechnen Sie die Nullstellen von
f) Skizzieren Sie
C
mit den elementaren Ableitungsregeln.
und der Ableitungsfunktion
und die zugehörige Ableitungsfunktion
1
1
= 1.
.
in ein Koordinatensystem.
Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitungsfunktion
1
?
Es seien , , w ∈ ℝ, ≠ 0.Berechnen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitungsfunktion.
Aufgabe 12:
=8
H
+" ³
C
C
"
/
+%
• 1
= 2√ + _ Q =
'
,> ∈ ℕℎ 4 e
=
4
√
f
e
=
w ² + 1[ 1
"
w+1 "
F
€ • w 1I
=
+5 +4
w²
‚ }
+ x√ + = ∙ sin ² =
= 5 + •1 + ƒ1 + 1 + √1 + …
Aufgabe 13: Diskutieren Sie den Graph der folgenden Funktionen. (vollständige Kurvendiskussion!)
[ =
"
12
= ³
+
/
4
1
15
−
e
7
, ∈ ℝ 4
, ∈ ℝ• = 3 sin Q = ³ ∙ _5
=
²
=
4
5
144
H
+
5
40
² + , ∈ ℝ
18
9
_ =
5 ∙√
Aufgabe 14:
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind.
Aussage:
Die Tangente einer Kurve im Punkt < ist eine Gerade und hat in < die gleiche Steigung wie
die Kurve.
Die Tangentensteigung bestimmt sich geometrisch aus dem Steigungsdreieck der Sekanten.
Die Tangentensteigung bestimmt sich rechnerisch aus dem Grenzwert der Differenzenquotienten.
Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist eine Zahl.
wahr
falsch
Aufgabe 15:
= 2 − ² ∙ _5
Diskutieren Sie den Graphen der Funktion
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von .
b) Bestimmen Sie die Nullstellen von .Zwischenlösung zur Kontrolle:ß =
c) Untersuchen Sie
auf Symmetrie und Periodizität.
d) Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten von .
0, 2
e) Bestimmen und klassifizieren Sie allen lokalen Extrema von .
Zwischenlösung zur Kontrolle: Nullstellen der ersten Ableitung ß = „±√2…
f) Bestimmen Sie alle Wendestellen von .
Zwischenlösung zur Kontrolle: Nullstellen der zweiten Ableitung ß = „−1 ± √3…
g) Entscheiden Sie begründet, welcher der folgenden Graphen A oder
zu
gehört.
10
8
B
4
6
A
-6
-5
-4
-3
2
-2
-1
1
4
2
2
-2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
Aufgabe 16:
Eine Funktion dritten Grades besitzt im Punkt
eine eindeutige Wendestelle.
besitzt zudem in
C
= 0 die Steigung 2. Außerdem besitzt
= 1 und
/
in
Œ
=1
= 2 jeweils eine einfache Nullstelle
ist konstant 6. Konstruieren Sie mit den vorgegebenen Daten
und die dritte Ableitungsfunktion von
eine Funktionsgleichung von . Ist
(
durch die vorgegebenen Daten eindeutig bestimmt? Beweisen
Sie Ihre Behauptung.
Aufgabe 17: Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.
a) Für eine differenzierbare Funktion
lokales Extremum an der Stelle
b) Wenn die Funktion
an der Stelle
(
(.
ist
1
(
= 0 auch ein hinreichenden Kriterium für ein
(
in einer Umgebung von
differenzierbar ist,
einen Vorzeichenwechsel hat, dann ist
(
1
(
= 0 gilt und
eine lokale Extremstelle von .
1
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen über eine differenzierbare Funktion .
Aufgabe 18:
a) Besitzt
kein lokales Extremum, dann besitzt
b) Besitzt
keinen Wendepunkt, dann besitzt
c) Besitzt
in einer Stelle
für die zweite Ableitung
…
auch keinen Wendepunkt.
auch kein lokales Extremum.
aus dem Definitionsbereich eine lokale Maximalstelle, dann gilt
11
…
= 0.
10
•
•
Aufgabe 19: Verifizieren Sie die folgende Ableitungsregel durch iteriertes Anwenden der Produktregel.
/
∙ sin ∙ _ 5
1
=
² ∙ sin ∙ _ 5 = 2 sin _ 5 + ² cos _ 5 + ² ∙ sin ∙ _ 5
Aufgabe 20:
=
Spezielle gleichmäßig beschleunigte Bewegungen lassen sich durch die Gesetzte
= const =
beschreiben. Dabei bezeichnen den Weg, die Zeit,
j
/
²,
=
die Geschwindigkeit und
und
die
Beschleunigung. Bilden Sie von diesen Funktionen die Ableitungen nach der Zeit und zeigen Sie den
Zusammenhang auf.
Aufgabe 21: Ein ICE hat eine maximale Beschleunigung von 0,5 / ². Die maximale Geschwindigkeit
beträgt 300
/ℎ.
a) Kann ein PKW, der 20 Sekunden nach dem ICE startet (Beschleunigung 3
$j5
= 100
/ ²,
/ℎ) und auf einer Straße parallel zu den Gleisen fährt, diesen einholen?
b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem der PKW den ICE einholt.
c) Formulieren Sie die Funktionsgleichungen (abschnittsweise definierte Funktionen) für ICE und
PKW.
Aufgabe 22: Ein Paketdienstleiser „OHM“ formuliert folgende Konditionen für ein quaderförmiges
Standardpaket †: Mindestens zwei Seiten sind gleich lang, die Summe aller drei Seiten darf maximal
50[
betragen. Svenja möchte ein Paket mit der maximal möglichen Oberfläche verschicken. Lösen
Sie dieses Extremwertproblem für Sie, indem Sie die zugehörigen Maße bestimmen.
c
Standardpaket
b
a
Aufgabe 23: Betrachten Sie die Funktion r
= 5_ 5 + 4 .
a) Beweisen Sie, dass r die folgende Differentialgleichung ∗ zweiter Ordnung löst.
r 11
r1 =
4 ∗
b) Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Lösung von ∗ eindeutig bestimmt ist.
Aufgabe 24: Sabrina erklärt, sie habe sich bei der Ortsdurchfahrt durch Burg (2,5 km) definitiv an die
Geschwindigkeitsbeschränkung gehalten. Sabrina erklärt, sie sei die 2,5 Kilometer in 180 Sekunden
gefahren. Die Auswertung ihres elektrischen Fahrtenbuchs durch die Polizei ergibt, dass die Weg-Zeit5
5
³+ ²
27
6
Funktion im Ort während der besagten Zeit durch die Gleichung
=−
beschrieben wird kann. Dabei ist die Zeit in Minutenaus dem Definitionsbereich
• = 0min, 3min
die zurückgelegte Strecke in Kilometern.
a) Belegen Sie rechnerisch, wie Sabrina ihre Aussage, sich an die
Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten zu haben, begründet!
b) Ermitteln Sie rechnerisch Sabrinas höchst gefahrene Maximalgeschwindigkeit!
c) Wie müsste die Funktionsgleichung lauten, damit Sabrina Recht hätte? Geben Sie ebenfalls
den Definitionsbereich mit an!
d) Bestimmen Sie rechnerisch, auf welchen Streckenabschnitten Sabrina langsamer bzw.
/ℎ fuhr.
schneller als 50
∈ ℝ, ≠ 0. Berechnen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitungsfunktion.
Aufgabe 25: Ableitungsberechnung
Es sei
Dokumentieren Sie hierbei ihren Lösungsweg ausführlich.
C
%
= ² + 2
= 4√ €
/
=
= ³ + 2 + 1 ²
"
= 2
=
2
mit der Gleichung
/(Ce
‚
H
=
1
2
+ 2 G
e
=3 ³
= 0
C(
=
Aufgabe 26: Anwendung der Produktregel
Betrachten Sie die Funktion
=
∙ _5
Berechnen Sie die erste und zweite Ableitungsfunktion von . Bestimmen Sie außerdem den
Funktionswert der ersten Ableitung
1
an der Stelle
(
= 0.
Freiwilliger Zusatz: Wie lautet die dritte Ableitung der durch Q
Aufgabe 27: Monotonie und Extrema
Untersuchen Sie die folgende reelle Funktion
mit der Gleichung
=
∙ √ definierten Funktion?
=
H
− 3 ² + 2 auf
Monotonie und bestimmen und klassifizieren Sie alle lokalen Extrempunkte von .
Aufgabe 28: Nullstellenbestimmung
Betrachten Sie die folgende reelle Funktion
mit der Gleichung
=
H
−3 ²+2
a) Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen von
b) Berechnen Sie die erste Ableitungsfunktion
c) Berechnen Sie sämtliche Nullstellen von
1
im Intervall −5, 5 .
1
im Intervall −5, 5 .
11
d) Berechnen Sie die zweite Ableitungsfunktion
e) Berechnen Sie sämtliche Nullstellen von
11
f) Berechnen Sie die dritte Ableitungsfunktion
g) Berechnen Sie sämtliche Nullstellen von
von .
111
von .
im Intervall −5, 5 .
111
von .
im Intervall −5, 5 .
Betrachten Sie das folgende Schaubild von :
3
2
1
x
-2
-1
1
2
-1
h) Ergänzen Sie in obiges Schaubild die Tangente an den Graph von
in
(
= 1,25.
an der Stelle
i)
Bestimmen Sie den Anstieg von
j)
Welche geometrisch Bedeutung haben die beiden Nullstelle der zweiten Ableitung
(
= 1,25.
11
von ?
Aufgabe 29: Krümmungsverhalten und Wendestellen
Gegeben ist die Funktion
Untersuchen Sie
Graphen von
mit der Gleichung
= ³ − 5 ² − 8 + 2.
auf mögliche Wendestellen und geben Sie die Koordinaten der Wendepunkte des
an. Ist
symmetrisch oder periodisch (Beweis!)?
Aufgabe 30: Ein einfacher Beweis
Beweisen Sie, dass eine beliebige reelle Funktion dritten Grades
eine Wendestelle besitzt, wenn
≠ 0 ist.
=
³+
² + [ + • genau
= ² ∙ _5
Aufgabe 31: Eine komplette Kurvendiskussion mit Anweisungen
Diskutieren Sie den Graphen der Funktion
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von .
b) Bestimmen Sie die Nullstellen von . Zwischenlösung zur Kontrolle:ß =
c) Untersuchen Sie
0
auf Symmetrie und Periodizität.
d) Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten von .
e) Rechnen Sie nach, dass die ersten drei Ableitungen von
haben:
11
111
1
die folgende Form
= _5 2 + ²
= _ ? ² + 4 + 2A
= _5
²+6 +6
f) Bestimmen und klassifizieren Sie allen lokalen Extrema von .
Tipp: Produktregel anwenden und vereinfachen.
Zwischenlösung zur Kontrolle: Nullstellen der ersten Ableitung ß = 0| − 2
g) Bestimmen Sie alle Wendestellen von .
Zwischenlösung zur Kontrolle: Nullstellen der zweiten Ableitung ß = „−2 ± √2…
h) Entscheiden Sie begründet, welcher der folgenden Graphen A oder
zu
gehört.
A
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
1
B
-5
-4
-3
-2
-1
y
1
-1
-2
= ³ + 6 ² + 9 auf den
Aufgabe 32: Kurvendiskussion Untersuchen Sie die Funktion
größtmöglichen Definitionsbereich, auf Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Mullstellen, Extremund Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion mindestens im Intervall – 2 ≤
≤ 2!
Aufgabe 33: Gemischtes
a) Im folgenden Schaubild ist der Funktionsgraph von
dargestellt. Markieren Sie
näherungsweise alle Wendepunkte im Schaubild.
10
8
6
4
2
-3
-2
-1
1
-2
2
0 ,
b) Bestimmen Sie geometrisch die folgenden Funktionswerte:
3
2 , 2
c) Bestimmen Sie geometrisch die mittlere Steigung im Intervall 0,1 . Skizzieren Sie hierzu im
Schaubild die zugehörige Sekante.
(
d) Bestimmen Sie die lokale Steigung an der Stelle
die zugehörige Tangente an den Graph von
e) In der Tat besitzt
an der Stelle
=
die Funktionsgleichung
Differentialquotienten nachweisen, dass
0 = ∆ 0 = lim
lim
5→(
H
−5 ²
5→u
= lim
5→(
− 0
−0
H
= 0.
(
5 ² + 4. Svenja möchte mit dem
im Ursprung differenzierbar ist. Hierbei macht sie
aber einige Fehler. Markieren Sie alle Fehler.
1
= 0. Skizzieren Sie hierzu im Schaubild
=
|
9 ( }H
lim
5→(
H
5 ²+4−4
³−5
= ³ − 5 = lim ³ − 5
5←(
→0
f) Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen von
=
=0
H
=
H
−5 ²+4−4
5 ² + 4.
g) Bestimmen Sie anschließend den größten und kleinsten Wert (lok. Extrema), den
=
im Bereich
−3, 3 annimmt. Vergleichen Sie ihr Resultat mit dem Schaubild. Was stellen Sie fest?
h) Berechnen Sie alle möglichen Wendestellen von
Ableitung von
und weisen Sie mit der dritten
nach, dass bei diesen Stellen tatsächlich Wendepunkte besitzt.
i)
Begründen Sie, dass
nicht periodisch ist.
j)
Untersuchen Sie das Verhalten von
=
H
5 ² + 4 im Unendlichen.
Aufgabe 34: Mathematisches Argumentieren
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben ausführlich unter Berücksichtigung der
Unterrichtskonventionen.
= 5 in
C
a) Daria behauptet, dass die Funktion
= 0 nicht differenzierbar ist. Ist dem
(
tatsächlich so? Nehmen Sie Stellung zu Darias Behauptung.
b) Die Bundeskanzlerin berichtet während ihrer wöchentlichen Pressekonferenz folgendes:
„Unmittelbar nach der Grenzschließung hat die Steigung der Zunahme der
Flüchtlingsanzahlen drastisch nachgelassen.“ Beurteilen Sie diese Aussage aus
mathematischer Sicht.
c) In der Literatur findet man z.B. die folgenden Ausdrücke für das Problem der
Bestimmung der lokalen Änderungsrate einer Funktion an einer Stelle
(
ihrer
Definitionsmenge. Nehmen Sie Stellung zur mathematischen Korrektheit der
Begriffsbildung vor dem Hintergrund der Bildung eines Grenzwertes einer „Zahlenfolge“.
Welche Ausdrücke geben den Sachverhalt mathematisch präzise wieder, wo werden
(welche?) Vereinfachungen gemacht?
1
2
² – lim
5→5
2
6
²
lim
5U →5S
/
−2
− (
−
/−
C
(
C
−
'−
— ²² lim
'
'→u
+ℎ
ℎ
lim
)→(
(
(
²²² lim
∆5→(
∆
∆
=
∆r •r
=
∆5→( ∆
•
² lim
•
•
Beweisen oder widerlegen die folgenden Aussagen über eine dreimal differenzierbare Funktion .
Aufgabe 35: Bewiese
a) Besitzt
kein lokales Extremum, dann besitzt
b) Besitzt
keinen Wendepunkt, dann besitzt
c) Es gibt ein
d) Besitzt
auch kein lokales Extremum.
mit unendlichen vielen lokalen Extremstellen und unendlich vielen Wendestellen.
in einer Stelle
für die zweite Ableitung
…
aus dem Definitionsbereich eine lokale Maximalstelle, dann gilt
11
…
= 0.
e) Für eine differenzierbare Funktion
lokales Extremum an der Stelle
f) Wenn die Funktion
an der Stelle
auch keinen Wendepunkt.
(
(.
ist
1
(
in einer Umgebung von
= 0 auch ein hinreichenden Kriterium für ein
(
differenzierbar ist,
einen Vorzeichenwechsel hat, dann ist
g) Eine beliebige reelle Funktion dritten Grades
Wendestelle, wenn
≠ 0 ist.
=
(
1
(
= 0 gilt und
eine lokale Extremstelle von .
³+
1
² + [ + • besitzt genau eine
Aufgabe 36: Wendestellen und Sattelpunkte
Recherchieren Sie in der Fachliteratur, was man unter einem Sattelpunkt versteht. Diskutieren Sie
=
danach die Anzahl der Wendepunkte der Funktion
von
und
H
und untersuchen Sie, ob Sattelpunkte vorliegen.
−
² ,
∈ ℝ in Abhängigkeit
Aufgabe 37: Wendestelle und Wendetangente
Beweisen Sie, dass
=
e
bei
Œ
= 0 eine Wendestelle besitzt und geben Sie die Funktions=
gleichung der zugehörigen Wendetangente an. Untersuchen Sie
Extrema. Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von .
Aufgabe 38: Eine spezielle Kurvendiskussion
Betrachten Sie die Funktion
mit der Funktionsgleichung
Graphen dieser Funktion.
=
5
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von .
e
außerdem auf lokale
, > 0. Diskutieren Sie den
b) Bestimmen Sie die Nullstellen von .
c) Untersuchen Sie
auf Symmetrie und Periodizität.
d) Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten von .
e) Bestimmen und klassifizieren Sie allen lokalen Extrema von .
f) Bestimmen Sie alle Wendestellen von . Bestimmen Sie wenn möglich die
Funktionsgleichung einer Wendetangente.
= ³ + 6 ² − 4.
Aufgabe 39: Eine komplette Kurvendiskussion mit Anweisungen
Gegeben sei die Funktion
mit der Gleichung
a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von
b) Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen von .
an.
c) Ermitteln Sie alle lokalen Extrempunkte von .
d) Untersuchen Sie das Verhalten von
e) Untersuchen Sie
im Unendlichen.
auf mögliche Wendestellen.
Aufgabe 40: Funktionsgraphen skizzieren
Skizzieren Sie Graphen von Funktionen, die folgende Extrem- bzw. Wendepunkte besitzen:
a) Genau einen Minimumpunkt und genau einen Maximumpunkt, beliebig viele
Wendestellen.
b) Genau 2 Wendepunkte, einen lokalen Maximumpunkt, zwei lokale Minimumpunkte.
Aufgabe 41: Schatzsuche
Smith und Maier befinden sich auf Schatzsuche. Sie wissen bereits aus der Schatzkarte, dass
sich der Schatz an der höchsten Stelle des mysteriösen Berges befindet. Mathematische
Analysen ergeben, dass der mysteriöse Berg näherungsweise mit der Funktionsgleichung
Q
= − ² + 6 beschrieben werden kann. Bestimmen Sie aus dieser Kenntnis die genauen
Koordinaten, wo sich der Schatz befindet.
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
Aufgabe 42: Quotientenregel
Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die ersten beiden Ableitungsfunktionen.
C
=
³+7 −9
² + 12 + 8
=
/
³
2
2 +1
Aufgabe 43: Kettenregel
Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die ersten beiden Ableitungsfunktionen.
C
= l ² + 1
= √sin /
"
Aufgabe 44: Regeln von L‘HOSPITAL
_5
lim
5→u + 1
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.
Aufgabe 45: Diskussion einer Exponentialfunktion
Diskutieren Sie den Funktionsgraphen von
= ² ∙ _ T5².
sin
5→( 2
lim
(Hierbei ist eine vollständige Kurvendiskussion erforderlich!)
= _ T5²
Aufgabe 46: Extremwertproblem
Es soll ein rundes, oben offenes Betonsilo (Zylinder) mit einem Volumen von 1000 ³ gebaut
werden. Die Bodenplatte mit Fundament kostet
Stahlbeton
Œ
9
= 500€ pro Quadratmeter, die Wände aus
= 700€ pro Quadratmeter. Berechnen Sei die Höhe und den Durchmesser des Silos,
so dass die Baukosten minimal werden.
Aufgabe 47: Eine weitere Modellierung
Ein Supermarkt A führt eine neue Zahnpasta ein. In den ersten fünf Wochen ergeben sich folgende
wöchentliche Verkaufszahlen:
Verkaufswoche
1
2
3
4
5
Verkaufte Stückzahl in dieser Woche
26
46
60
76
86
In einem Modell beschreibt die Funktion f in der Form
innerhalb der Woche .
a) Bestimmen Sie a und
=
j5VCe
¢5VCe
die verkaufte Stückzahl
anhand der Werte der ersten und fünften Woche.
b) Zeichnen Sie den Graph Ÿ dieser Funktion
für das erste Jahr.
c) Wie entwickeln sich nach diesem Modell die wöchentlichen Verkaufszahlen während des
ersten Jahres?
Nennen Sie mögliche Gründe für diese Entwicklung.
d) Welche Entwicklung ist hierbei langfristig zu erwarten?
Eine Gerade verläuft durch die Punkte ã 0|2 und
1|4 .
Aufgabe 48: Gerade
a) Bestimmen Sie die Steigung dieser Geraden.
b) Geben Sie die Funktionsgleichung dieser Geraden an.
c) Liegt der Punkt ¤ 2|6 auf dieser Geraden? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
Aufgabe 49: Monotonieuntersuchung und Achsenschnittpunkte
Untersuchen Sie die folgende reelle Funktion
mit der Gleichung
Monotonie und Skizzieren Sie den Funktionsgraphen von
außerdem alle Achsenschnittpunkte der zweiten Ableitung
Funktionsgraphen von
Nullstellen von
11
11
=
H
− 3 ² + 2 auf
im Intervall −2, 2 . Berechnen Sie
11
von . Ergänzen Sie den
in Ihre Skizze. Welche geometrische Bedeutung haben hierbei die
für den Kurvenverlauf von ?
Aufgabe 50: Geometrische Bestimmung der Steigung
Betrachten Sie den folgenden Funktionsgraphen.
y
2
1
x
-2
-1
1
2
-1
-2
a) Bestimmen Sie geometrisch die folgenden Funktionswerte:
0 ,
b) Bestimmen Sie geometrisch die mittlere Steigung im Intervall 0,1 .
c) Bestimmen Sie die lokale Steigung an der Stelle
(
= 0.
1 , 1
Aufgabe 51: Jack Russel am Zaun, Kurvenuntersuchung, Monotonie (10 P)
Ein Jack Russell rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die
Geschwindigkeit des Hundes, wobei positives
nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit
die Bewegung nach rechts, negatives v die Bewegung
wird dabei in Meter pro Sekunde
Sekunden ( ) gemessen. Der Jack Russell startet zum Zeitpunkt
(
/ , die Zeit in
= 0 in der Mitte des Zaunes.
1)
In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Jack Russell nach links bzw. nach rechts?
2)
Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach links bzw. rechts erreicht?
3)
Wann wird der Hund schneller, wann langsamer?
4)
In welchen Zeitintervallen, bzw. zu welchen Zeitpunkten bewegt sich der Hund nicht?
Aufgabe 52: Gewinnfunktion – Comic
Der Tag begann gut mit dem morgendlichen Bad, doch nach ersten Vorahnungen wurde es zur
Gewissheit: Das kürzlich erworbene Kieswerk in Taylorstadt meldet Verluste über Verluste. Dabei hatte
Dagobert den Laden nach dem Kauf für viel Geld modernisieren lassen, um die stündliche Ausbringung
angesichts der günstigen Nachfrage auf 5 Tonnen steigern zu können. - Was ist zu tun? - Die Einstellung
eines Wirtschaftsmathematikers ist viel zu teuer!
Damit Donald seine beginnenden Selbstmordgedanken nicht realisiert ist es wohl notwendig, dass
Tick,Trick und Track ihm helfen. - Nach Studium der Akten ergibt sich folgender Sachverhalt:
Der (stabile) Marktpreisfür eine Tonne Kies beträgt 10 Taylorneten; die totalen Produktionskosten
betragen je Ausbringung (Anzahl der produzierten Tonnen Kies):
1
=
³ − 5 / + 26 + 10
Ÿ!
3
Die 3 Neffen berechnen: a) Den Term der Gewinnfunktion G, b) das Gewinnintervall,
c) die Ausbringung $j5 , für die der Gewinn von Großonkel Dagobert am größten wäre.
Zwei Wochen später ruft Dagobert seine 3 Großneffen zu sich: Der Preis je Tonne Kies ist angesichts
desgrößeren Angebots auf 9,41 Taylorneten gesunken. - Sollte die Ausbringung geändert werden?
Aufgabe 53: Der Lehrling Arne M. beim
Glasermeister Fritz Durchblick hat mal wieder
Flurschaden angerichtet. Aus einer neuen
Glasscheibe mit dem Flächenmaß: 100 cm × 60 cm
ist eine Ecke herausgebrochen! Da der Preis einer
Glasscheibe sich nach der Größe der Fläche richtet,
und nur rechteckige Scheiben verkäuflich sind, soll
der Lehrling den Schaden minimieren, indem er eine
rechteckige Scheibe größten Flächeninhalts aus
dem Bruchstück herausschneidet. Arne M. hat sich
folgende Skizze im Koordinatensystem angefertigt.
Da er jedoch in seiner Schulzeit keine
Differentialrechnung gelernt hat, muss ihm von
Experten geholfen werden.
Arne M. teilt den Mathematikexperten mit, dass die abgebrochene Glasscheibenecke ein rechtwinkliges
Dreieck ist, deren eine Kathete 20 cm lang ist. Das Maß der zweiten Kathete ist nicht richtig zu
entziffern( b ?) und so beschließt man, die Aufgabe für die 3 Fälle:
"
= 60 cm alternativ zu lösen.
C
= 20 cm,
/
= 40 cm und
1) Bestimmen Sie für die 3 Fälle von b die Gleichung der zugehörigen Geraden, auf der der
Eckpunkt P der neuen Glasscheibe liegen muss.
2) Definieren Sie sich geeignete Variable für die Koordinaten von P und geben sie einen
zugehörigen
Funktionsterm für den Flächeninhalt der neuen Glasscheibe an.
3) Transferieren Sie ins mathematische Modell und geben Sie für alle 3 Fälle die
Funktionsgleichungen
der zugehörigen Extremalfunktionen an.
4) Bestimmen Sie das jeweilige lokale Maximum der Extremalfunktionen im Sinne der Differentialrechnung mit geeigneten Kriterien.
5) Interpretieren Sie die mathematische Lösung im Sinne der Anwendung. Kann Lehrling Arne M.
mit dieser Lösung etwas anfangen? – Bestimmen Sie das absolute Maximum des
Flächeninhaltesin allen 3 Fällen!
Aufgabe 54:
y
G
O
x
N
Gegeben ist eine Funktion mit der Funktionsgleichung:
f x =
W
1 H 1 "
x − x ,x ∈ ℝ
12
3
Der zu f zugehörige Graph ist G (siehe Skizze)
a) Bestimmen Sie den Koeffizienten a so, damitf
111
x =a x
1 die dritte Ableitung der
gegebenen Funktion ist. Listen Sie ebenfalls die erste
erste und zweite Ableitung auf.
b) Erläutern Sie kurz und präzise die geometrische Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung.
Ordnen Sie ausführlich begründet die Aussage von Ursela von der Leyen: „Wir haben nun
einen Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl erlebt.“ konträr einer passenden Bedeutung
zu! Skizzieren Sie die Ausgangsfunktion im geeigneten Intervall! Ergänzen Sie ihre Skizze
mit der ersten und zweiten Ableitungsfunktion! Analysieren Sie begründet den Verlauf der
drei Funktionen.
c) Geben Sie jeweils
ls rechnerisch die Nullstellen von f, die Koordinaten des lokalen
Minimumpunktes E und des Wendepunktes W an! Welche besondere Eigenschaft hat hier der
Koordinatenursprung bezüglich des Graphen G?
Aufgabe 55: Eine Glashütte stellt eine Serie hochwertiger großer farbiger Pflanzschalen her, die in der
Form alle ähnlich sind, etwa so wie in der nebenstehenden
neb
Abbildung gezeigt. Die einzelnen
Modelle der Serie unterscheiden sich aber in der Breite ihrer Silhouette
(Seitenansicht). Diese Seitenansichten lassen
lass sich gut beschreiben durch
Funktionen
¢
mit
15
¢
Für verschiedene Werte von
/
,
: 0.
ergeben sich unterschiedlich breite Schalen. Dabei ist der Boden
immer bei r = 0,, und der obere Rand ist bei r = 5.. Eine Einheit entspricht dabei 10
1 cm in der
Realität. Drehen Sie das Blatt „Anlage 1“ um 90° im Uhrzeigersinn. Sie sehen nun für drei
verschiedene
die Seitenansichten mit in
und in r −Richtung
Richtung gleich langen Einheiten. Die
waagerechten Linien in der Zeichnung markieren die Werte r = 0und r = 5.
a
In der Anlage 1 sind die Graphen für
CC
,
/
/(
,
"
und
8eingezeichnet.
eingezeichnet. Ergänzen Sie
eine passende Achsenbeschriftung und ordnen Sie den drei Graphen die zugehörigen Werte
von begründet zu.
E
b) Berechnen Sie den Wert für , bei dem der Durchmesser der Schale am oberen Rand genau
4 Einheiten beträgt.
c) Begründen Sie, dass die Beschreibung der Pflanzschalen für
< 5 nicht sinnvoll ist.
Hinweis: Überlegen Sie, wie groß der Radius der Schale am oberen Rand sein kann.
d) Die Pflanzschalen werden draußen vor öffentlichen
Gebäuden aufgestellt und müssen besonders standfest sein.
Deshalb sollen sie aus massivem Glas hergestellt werden,
und der Innenraum soll kegelförmig sein. Die nebenstehende
Abbildung zeigt das Prinzip. Die eingezeichneten geraden
Mantellinien des Innenkegels (Begrenzung des Innenkegels)
verlaufen am oberen Rand tangential zur Randkurve. Bestätigen Sie, dass das Volumen des
Innenkegels für
Anlage zu Aufgabe 55
= 7 etwa 31 Liter beträgt.
Aufgabe 56:
D
C
A
B
Der Tierpark „Zoo Berlin“ plante im Herbst 2014 eine rechteckige Fläche ABCD als Gehege mit sechs
kleineren rechteckigen Bereichen anzulegen, welche alle gleichgroß sein sollten.
Der Außenzaun sollte aus hochwertigerem Material bestehen, weil er als Eyecatcher dienen sollte. Die
Kosten für den Außenzaun sollten 13 Euro je Quadratmeter betragen, für den Innenzaun war mit 6
Euro je Quadratmeter zu rechnen.
a) Berechnen Sie die Gesamtkosten für alle Zäune zunächst unter der Annahme, dass die
Gesamtfläche quadratisch ist und einen Inhalt von 3000 m² hat.
b) Bestimmen Sie die äußeren Abmessungen für ein 3000 m² großes, nicht quadratisches Gehege
so, dass die Gesamtkosten für alle benötigten Zäune minimal werden! Nennen Sie zudem die
allgemeinen Bedingungen für beide lokalen Extremstellen!
c) Für den Kauf der Zäune standen nur 2800 Euro aus der Spendenkasse zur Verfügung.
Berechnen Sie den maximal möglichen Flächeninhalt, welcher damit eingezäunt werden
konnte! Berechnen Sie alle vier Schnittwinkel der Flächendiagonalen im rechteckigen
Gehege! (Flächeneinteilung, siehe obige Skizze)
Aufgabe 57:
Der Hochseefrachter „CH@OS“ verfügt über eine elektronische Seekarte, die mit einem SatellitenNavigationssystem verbunden ist. Die Seekarten blendet Randskalen in Seemeilen ein und erzeugt so ein
Koordinatensystem, welches schnelles Ablesen der Informationen ermöglicht. Wenn dieses System die
Annäherung zweier Schiffe registriert, rechnet es die Möglichkeit einer Kollision hoch. Dazu setzt es eine
gradlinige, gleichförmige Fahrt voraus. Um 22.15 liefert das System folgende Informationen:
„CH@OS“: Positionspunkt (1/ 12)
anderes Schiff: Positionspunkt (14/ 10)
Eine Minute später ergeben sich folgende Daten:
„CH@OS“: Positionspunkt (1,5/ 11)
anderes Schiff: Positionspunkt (13/ 9)
Nach den aktuellen Regeln für den Schiffsverkehr soll bei Schiffsbegegnungen ein indestabstand von einer
halben Seemeile eingehalten werden. Sollte dieser minimale Abstand einmal nicht eingehalten werden
können, dann gibt das System eine Warnung aus.
a) Skizzieren Sie beide Schiffe in einem geeigneten Koordinatenkreuz und beschriften Sie ihre Skizze
sinnvoll!
Fortsetzung auf der nächsten Seite!
b) Bestimmen Sie rechnerisch, ob das System vor einer gefährlichen Begegnung der Schiffe warnen
(Unterschreitung des minimalen Abstandes) wird! Beschreiben Sie kurz ihren Lösungsweg in
Textform und kommentieren sie ihn!
c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten beider Schiffe!
Aufgabe 58:
Differenzieren Sie den Graphen der folgenden Funktion geometrisch und skizzieren Sie den
zugehörigen Graphen. Kommentieren Sie dabei Ihre Überlegungen.
r
15
10
5
-5
-4
-3
-2
-1
-5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
r
15
10
5
-5
-4
-3
-2
-1
-5
Aufgabe 59:
Auf einer Hamburger Werft wird eine Hochgeschwindigkeitsfähre als Doppelrumpfschiff (Katamaran) geplant.
Der mittlere Teil des Schiffsrumpfes wird auf einer Länge von 12 m im Querschnitt nach der
Funktion
mit
= 0,2 ∙
H
− 1,8 ∙ ² hergestellt.
Die waagerechte Decklinie liegt in einer Höhe von 1 Einheit über dem Hochpunkt H.
a)
Ermitteln Sie den senkrechten Abstand der Tiefpunkte von der Decklinie.
b)
Berechnen Sie die Länge der Decklinie.
Aufgabe 60: Betrachten Sie das folgende Kanalbett. Eine Einheit entspricht hierbei 10 m in der Natur.
Weisen Sie nach, dass
für −4 ≤
=−
1
3
³+
²
128
32
≤ 8 den oben abgebildeten Kanalbettverlauf beschreibt, indem Sie:
a) nachweisen, dass
verläuft.
durch die (in der Graphik erkennbaren) Punkte ã −4|2 ,
0|0 und ¤ 8|2
b) zeigen, dass im Koordinatenursprung einen Tiefpunkt und in H einen Hochpunkt hat.
Analysis Teil 2 – Integralrechnung – Übungsaufgaben zur Prüfungsvorbereitung:
1. Stammfunktion
a) Zeigen Sie, dass die Funktionen •C
=
•"
=
−1
+ 3 + 5;•/
+ 1 + ‘ Stammfunktionen ein und derselben Funktion
b) Geben Sie zwei weitere Stammfunktionen •H , •e der Funktion
=
1
/
+ 3 und
sind. Geben Sie
an.
an.
so, dass • eine Stammfunktion von
2. Stammfunktion für gewisse Parameter
Bestimmen Sie den reellen Parameter
=
H
−2 ³
,•
5 ²
=
1
3
³
²
ist.
= 2 − 3, die an der
3. Stammfunktion bestimmen
Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Stammfunktion von
Stelle −1 den Funktionswert / besitzt. Ist diese eindeutig bestimmt?
G
(Knobelaufgabe) Sei • ∶
,
→ ℝ stetig, und sei • Stammfunktion zu
4. Randbereich einer Stammfunktion
,
. Ist • dann auch auf
,
auf dem Intervall
Stammfunktion zu ? (Beweis, Gegenbeispiel!)
5. Integraleigenschaften
a) Belegen Sie mit den Integraleigenschaften, warum die folgende Relation gilt:
/
e
C
/
"
€
£ ²+1 • +£ ²+1 • +£ ²+1 • +2 ≤2+£ ²+1 • +£ ²+1 •
(
C
/
(
€
Tipp: Vereinfachen Sie beide Seiten der Ungleichung so weit wie möglich unter Verwendung
der Integraleigenschaften.
b) Berechnen Sie das folgende Riemann Integral
/Ó
£ sin
/Ó
cos
• .
6. Unbestimmte Cauchysche Integrale
Berechnen Sie die folgenden Cauchyschen Integrale
£ ²
1 • £
1
_ £ ’ ∙ √ “ • 2
² £
• [ £ ² + 3 + 1 • • £?√
£ ’ +
1
1
1
+ “ • Q £ – f — • ℎ £
²
³
l ²
1 ²•
+ ² •w³ £ _ 5 + 1 •
Betrachten Sie die folgende Funktionenschar •!
∶ 0, 2 → ℝ.
7. Integrabilität und unbestimmte Integrale
a) Zeigen Sie, dass •!
•!
≔2 ³+3
eine Stammfunktion der Funktion
b) Geben Sie eine weitere Stammfunktion von
c) Beweisen Sie, dass •!
Riemann integrabel ist.
£ 2 cos
• £ 2 sin
• [ £
e) Berechnen Sie das folgende unbestimmte Integral.
C((! '
£ ‰j
'}C Š}C
eine auf
,
• =
[ ∙
8. Mittelwertsatz der Integralrechnung
Erinnerung (Mittelwertsatz): Sei
,
(Mittelwert) mit
¢
£
j
Berechnen Sie für die nachfolgende Funktion
∶ 0, 2 → ℝ mit
Š
³−1
£
(
− 2 sin
•
stetige Funktion. Dann gibt es einen Punkt
−
.
= 2 den Mittelwert [ im Intervall 0, 2 .
= 1 für
Zeigen Sie: Dann gibt es keinen Mittelwert [ ∈ 0, 2 mit
/
+ 2 cos
•
9. Gegenbeispiel zum Mittelwertsatz der Integralrechnung?
Betrachten Sie die Funktion
= 6 ² + 3 ist.
= 6 ² + 3 an.
d) Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
[∈
√ A•
≤ 1 und
= −1 für
> 1.
• =2 [ .
Warum widerspricht dies nicht dem Mittelwertsatz der Integralrechnung?
(Anleitung: Gehen Sie hierzu alle Voraussetzungen im Mittelwertsatz der Integralrechnung durch. Hierbei sollte
eine Voraussetzung nicht erfüllt sein. (Beweis hierfür ist nicht erforderlich, es reicht eine entsprechende Skizze!))
∶
,
→ ℝ und Q ∶
,
→ ℝ stetig und nichtnegativ.
10. Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Integralrechnung
(Knobelaufgabe): Seien
Beweisen Sie, dass es dann ein ‹ ∈
¢
£
,
Q
j
gibt derart, dass
• =
¢
‹ £Q
•
j
gilt. Wie erhält man hieraus den Mittelwertsatz der Integralrechnung als Spezialfall? Gilt
dieses Resultat auch, wenn man die Voraussetzung Q
∶
,
≥ 0 fallenlässt?
→ ℝ monoton und Q ∶
,
→ ℝ integrabel.
11. Nochmal verallgemeinerter Mittelwertsatz der Integralrechnung
(Knobelaufgabe): Seien
Beweisen Sie, dass es dann ein ‹ ∈
¢
£
Q
j
,
• =
, sodass
Œ
£Q
• +
j
¢
£Q
Œ
•
Wie erhält man hieraus den verallgemeinerten Mittelwertsatz der Integralrechnung aus
Aufgabe 10 als Spezialfall? Gilt dieses Resultat auch, wenn man die Monotonie von
fallenlässt?
12. Integrablilität
(Knobelaufgabe): Seien
dann auch sup , Q ,
∶
∙ Q,
,
→ ℝ und Q ∶
,
→ ℝ integrabel. Beweisen Sie, dass
² und | | integrabel sind.
(Knobelaufgabe): Seien , Q ∶ 0, 1 → 0, 1 Riemann integrabel. Finden Sie ein Beispiel
13. Gegenbeispiel finden
derart, sodass die Komposition (Verkettung) Q ∘
nicht Riemann integrabel ist. Verifizieren
Sie die geforderten Eigenschaften.
a) Definieren Sie, was es für eine Funktion • ∶ ℝ → ℝ heißt, eine Stammfunktion der
14. Hauptsatz der Differential – und Integralrechnung, Stammfunktion
Funktion
∶ ℝ → ℝ zu sein.
b) Beweisen Sie, dass die Funktion
∶ ℝ → ℝ mit
= _ 5² eine Stammfunktion besitzt
und geben Sie diese an. (hierbei ist keine elementare Berechnung erforderlich!)
15. Bestimmte Riemannintegrale berechnen
Berechnen Sie die folgenden Riemann Integrale mit dem Hauptsatz der Differential und
Integralrechnung. Hierbei seien ,
/
H
£ 6• C
¢
• £
j
¢
e
£
"
∈ ℝ mit
> und > ∈ ℕ.
¢
2 + 2 • [ £ 2 ³ + 3 − 5 • j
¢
+ 6 • _ £ 3√ • j
¢
Q £?2 + √[A • ,[ ∈ ℕℎ £ 2_
j
+1
Hinweis zu k): Es gilt
"
¢
¢
£ ’
j
1
³
4 − 2“ • «§¨ 5 V¬©« 5 ∙±¨ ½¾¨ 5
• = ³ + 3 ² + 3 + 1 (siehe verallgemeinerter binomischer Lehrsatz)
"
£
/
³+3 ²+3 +1
•
+1 ²
∈ ℝ so, dass die folgende Integralgleichung erfüllt ist.
16. Integralgleichung
Bestimmen Sie
#
£
3
2
2 • =
C
17. Hauptsatz – Anwendung I
(Knobelaufgabe): Beweisen Sie die folgende Version des Hauptsatzes:
Sei
auf
,
Riemann integrabel und stetig in
Integralfunktion
in
(
differenzierbar und es gilt •
1
(
•
18. Hauptsatz – Anwendung I
5
=
≔£
j
(
.
(
∈
,
stetig, dann ist die
•
(Knobelaufgabe): Beweisen Sie den folgenden Sachverhalt für eine stetig differenzierbare
Funktion
∶
,
→ ℝ mit
¢
= 0.
£| ∙
j
1|
• ≤
¢
−
£
2
j
1
²•
19. Multiple Choice, Wichtiges zur Integralrechnung
Seien , Q ∶
∈
alle
(1) Es gilt
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
¢
¡j
¢
¡j
¢
¡j
,
?Q1
1
,
→ ℝstetig differenzierbare Funktionen, [ ∈
=•
AQ
A Q1
?Q
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
¢
¡j
¢
¡j
¢
• =•
• =•
• = ¡é
| • ≤ R¡j
¢
é ¢
j
• = ¡¢
j
¢
Es gibt ein , sodass
• =•
¢
• + ¡8
¡j
8
¢
¡j
¢
¡j
¢
¡j
¢
¡j
¢
¡j
¢
¡j
¢
¡j
• +
• +
Q1
• =¶
Q
Q
Q
,
,
,
• .
• .
¢
¡¢
• =¶•
• =¶•
• =¶
• =¶
−•
−• [ .
8
¡¢
8
¡j
Q
1
¢
∈
∈
∈
−•
• R.
• = ¡j
¡8
∈
für alle
•
= 0.
Wenn
≥ 0 für alle
Wenn
> 0 für alle
Wenn
< 0 für alle
(9) ¡j |
und •
≔ ¡j
5
• für
. Welche der folgenden Aussagen sind stets wahr? Kreuzen Sie Zutreffendes an.
A Q1
?Q
,
,
.
.
• .
gilt, dann ist •
gilt, dann ist •
gilt, dann ist •
• =
Q1
Q
1
Q
Q
Q
≥ 0 für alle
> 0 für alle
= 0 für alle
¢
8
¡j
8
¡¢
,
,
,
.
.
.
• .
• .
• .
|¢5}j − ¡j •
¢
¢
|¢5}j − ¡j •
¢
|¢5}j − ¡j 1
¢
|¢5}j − ¡j
¢
|¢5}j − ¡j 1
20. Kinetische Energie
Leiten Sie die (aus der Physik bekannte) Formel • =
Q
• .
Q1
• .
Q1
Q
Q
$a²
/
• .
• .
• .
für die kinetische Energie bei einer
Translationsbewegung unter Verwendung bestimmter Integrale her.
Leiten Sie außerdem die (aus der Physik bekannte) Formel • =
Energie unter Verwendung bestimmter Integrale her.
Kinetische Energie
∈
∈
∈
• > 0.
• = ¡j
• =
.
Potentielle Energie
Qℎ für die potentielle
21. Hauptsatz der Differential – und Integralrechnung, Anwendung
Berechnen Sie wenn möglich (bitte dies begründen!) die erste Ableitung der folgenden Funktion.
5³V"
= £ _ /!² •
(
Seien ,
∈ ℝ.Berechnen Sie die folgenden Integrale möglichst geschickt.
22. Logarithmische Integration
¢
3 ²
• £
³+6
j
¢
¢
£
j
4_ /5 − 4_ T/5
• [ 2 £ tan •
_ /5 + _ T/5 + 5
¢
4 ²+5+8
ln 2
• £
• _ £
2 ³+4 ²+5 +2
j
•
j
23. Fläche unter dem Funktionsgraph I
a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche unter der Parabel
Intervallen:
0; 2 , 0,5; 1 ,[ = ² + 1 in den folgenden
2; 3 . Fertigen Sie jeweils eine Skizze an.
b) Berechnen Sie den Inhalt der folgenden markierten Fläche.
‹ q = −q³ + q² + Žq
24. Fläche unter dem Funktionsgraph II
a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen der Funktion
4 + 2 und der
Sachverhalt an.
− Achse im Intervall 0, 2 . Fertigen Sie eine Skizze für diesen
b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen der Funktion
und der
=
H
+
= 3 sin
− Achse im Intervall −3, 3 . Betrachten Sie hierzu auch die folgende Skizze:
c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen der Funktion
16 und der
Der Graph der Funktion
− Achse im Intervall −3, 6 .
=−
vollständig.
/
+ 5 und die
=
H
−8
− Achse begrenzen eine Fläche (Parabelsegment)
d) Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
e) Dem Parabelsegment soll ein Quadrat mit größtmöglichem Umfang einbeschrieben
werden, dessen eine Seite auf der
Flächeninhalt dieses Quadrates.
−Achse liegt. Berechnen Sie den Umfang und den
25. Beweis erbringen für ungerade Funktionen
(Knobelaufgabe): Beweisen Sie, dass für eine ungerade integrable Funktion
j
gilt. Eine Funktion
−
=−
∶
,
erfüllt ist.
£
Tj
• =0
→ ℝ heißt ungerade, wenn für alle
∈
,
die Gleichung
die Relation
/
−
26. Flächenberechnungen sich schneidender Funktionen
a) Die Funktionen
= − + 4,5 und Q
1 schneiden sich in genau zwei
√2
Punkten und begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche
und fertigen Sie ein Schaubild an.
b) Berechnen Sie den Inhalt der folgenden markierten Fläche.
c) Die Funktionen
²
4 = 5, Q
4 ²
1 und ℎ
= ² − 12 = 37
begrenzen ein Flächenstück vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche und
fertigen Sie eine Skizze an.
27. Parabelhalle
Beim Bau einer 12 Meter hohen Traglufthalle wird eine parabolische Bogenkonstruktion verwendet.
Die Maße sind der folgenden Skizze zu entnehmen.
1) Berechnen Sie die Gleichung dieser Parabel.
2) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche.
30 m
3) Bestimmen Sie das Luftvolumen.
20 m
28. Flächenberechnung
Für welchen Wert von
sind die beiden markierten Flächen gleich groß?
‹ q = oq
‹ q = −q² + •q
Seien , reelle Zahlen. Berechnen Sie genau 10 der folgenden Integrale mithilfe der
29. Partielle Integration
partiellen Integration.
£ 5 ∙ _ • ¢
5
1
_ £ ∙ ln • j
¢
£ 2 ∙ √ • [ £ √3 ∙ sin
• • £
£ 2 ² ∙ _ • Q £ 2 ³ ∙ _ 5 • ℎ £
¢
5
² £ 2 sin² • ³ £ 2cos² • j
¢²
C
j
j
/
H
_ √5
£
• ´ £ sin >
3
(
C
'
(
"
2+
∙ _5 • ,
∙ cos
•
•
,> ∈ ℕ
30. Schwerpunkt berechnen
Berechnen Sie den Schwerpunkt, Umfang und den Flächeninhalt für das folgende Dreieck.
∶ 0, 1 → ℝ definiert durch
31. Integrable Funktion ohne Stammfunktion
(Knobelaufgabe): Sei
Beweisen Sie, dass
1
= •sin ,
1,
∈ 0, 1 ¶
=0
Riemann integrabel ist, aber keine Stammfunktion besitzt.
∶ 0, 1 → ℝ definiert durch
32. Nicht integrable Funktion mit Stammfunktion
(Knobelaufgabe): Sei
Beweisen Sie, dass
= •2 sin
1 2
1
− cos ,
²
²
1,
∈ 0, 1 ¶
=0
nicht Riemann integrabel ist, aber eine Stammfunktion besitzt.
Seien , geeignete reelle Zahlen. Berechnen Sie genau 5 der folgenden Integrale mithilfe der
33. Transformationssatz
Substitutionsmethode (Transformationssatz).
£ 5 + 1
¢
/(C%
• _5
_ £
• 1 + _5
j
1
£
2 +3
£ 3 ∙ _
T5²
/ "
C #}C
und Q durch
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der
b) Skizzieren Sie den Graphen von
• [ £ √5
• Q £ j
34. Noch einmal Flächenberechnung
Gegeben sind die Funktionen
e
T#
C
1 • • £ ƒ √5 + 3 •w
Ó
/
• ℎ £
= _ 5 bzw. Q
Ó
%
=
(
sin ∙ cos
•
sin²
4 ².
−Achse und die Extrempunkte des Graphen von Q.
und Q in ein Koordinatensystem im geeigneten Bereich.
c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen und den Inhalt der von ihnen
eingeschlossenen Fläche.
35. Eine schöne Fläche
(Knobelaufgabe): Berechnen Sie den folgenden markierten Flächeninhalt, der durch die
= cos
Graphen der Funktionen
− ² + 1,4 und Q
= 2_ «§¨ 5 − 2 begrenzt wird.
(Lösung zur Selbstkontrolle: ã = 18,377•ä)
36. Rotationsvolumen
Der Graph der Funktion
= √ + 2 schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück
ein. Berechnen Sie dessen Inhalt sowie das Volumen des Körpers, der bei Rotation dieses
− Achse entsteht.
Flächenstücks um die
37. Modellierungsaufgabe
Ein beliebig dehnbares Gummiband auf der
− Achse ist bei
= 0 fest, während sich das freie
Ende mit der konstanten Geschwindigkeit ™ entfernt. Zur Zeit = 0 hat das Band die Länge ß.
Zu dieser Zeit fängt ein Käfer bei
= 0 an, mit der konstanten Geschwindigkeit
relativ zum
Band auf diesem entlang zu krabbeln. Erreicht er das andere Ende und wenn ja, wann?
38. Spezielle Hecken
Für alle ≠ 0 ist die Funktion
!
gegeben durch
!
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von
Untersuchen Sie den Graphen von
!
=
!
!ê ‘
ê ‘ VC( U
,
∈ ℝ.
mit den Koordinatenachsen.
auf Extrempunkte.
Hinweis: Eine Argumentation ohne Verwendung der zweiten Ableitung ist möglich.
Entscheiden Sie, für welches Hochpunkte vorliegen.
Geben Sie so an, dass † ln 10 |11 Hochpunkt des Graphen von
b) Im Koordinatensystem in der Anlage sind der Graph der Funktion
Funktion Q mit Q
Graphen von
HH(
!
ist.
HH(
und der Graph der
= 40_ T5 eingezeichnet. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der
und Q.Zur Kontrolle: Für die Schnittstelle
gilt
= ´>?1 + √11A ≈ 1,46.
Für eine große Zierhecke pflanzt eine Landschaftsgärtnerin verschiedene Sträucher der
Sorten F und G in einer Reihe abwechselnd ein. Zum Zeitpunkt des Pflanzens sind die
Sträucher jeweils 4 Dezimeter hoch. Die Funktionen
HH( und
Q beschreiben
vereinfachend die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten der Sträucher F und G (in
Dezimeter pro Jahr) in Abhängigkeit von der Zeit , gemessen in Jahren ab dem Zeitpunkt
des Einpflanzens.
c) Ermitteln Sie die Stammfunktionen F und G, die die Strauchhöhen der Sorten F bzw. G in
Abhängigkeit von der Zeit
darstellen.
Tipp: Die Substitution ^ = _ + 10 kann hilfreich sein.
5
Berechnen Sie die Strauchhöhen beider Sorten zum Zeitpunkt gleicher momentaner
Wachstumsgeschwindigkeiten.
44
Arbeiten Sie in jedem Fall mit folgenden Funktionen für die Strauchhöhe weiter:
SorteF ∶ •
=
10_ T5 + 1
,SorteG ∶ B
= 44 − 40_ T5 .
d) Begründen Sie, dass beide Sträucher nach 8 Jahren als ausgewachsen gelten.
e) Vergleichen Sie das Wachstumsverhalten beider Sorten (Wachstumsgeschwindigkeit und
Höhenentwicklung). Weisen Sie nach, dass die beiden Sorten zu jenem Zeitpunkt den
größten Höhenunterschied aufweisen, an dem sich die Graphen der Funktionen
HH(
und Q schneiden.
f) Die relative Wachstumsgeschwindigkeit w ist definiert als Quotient aus der momentanen
Wachstumsgeschwindigkeit eines Strauches und seiner Höhe.
Ermitteln Sie für beide Strauchsorten 6
einfach dar.
Anlage:
a)
und stellen Sie die Funktionsterme möglichst
39. Weitere Flächenprobleme
a) Geben Sie die Funktionsgleichung
Punkt < 0; 1 schneidet und mit der
Flächeneinheiten einschließt.
=
+ > an, deren Graph die r − Achse im
− Achse im Intervall 2, 4 eine Fläche von 5
b) Eine Potenzfunktion dritten Grades hat ein Minimum bei 1; 0 und einen Wendepunkt
bei 0; 1 . Stellen Sie die Gleichung dieser Funktion auf und berechnen Sie den Inhalt der
Fläche, die der Graph dieser Funktion und die
c) Gegeben sei die Funktionenschar
j mit j
1) Zeichen Sie den Graphen der Funktionen
2) Welchen Einfluss hat der Parameter
− Achse einschließen.
= ²+
( , C, /
+ 2
und
H
∈ ℝ; ≥ 0 .
in ein Koordinatensystem.
auf den Verlauf des Graphen der Funktion
3) Die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen
Gleichung dieser Kurve an.
j
liegen auf einer Kurve. Geben Sie die
4) Die Ortskurve der Scheitelpunkte und der Graph der Funktion
vollständig ein. Berechnen Sie deren Inhalt.
5) Für welches
j?
H
schließen eine Fläche
hat die Fläche zwischen der Ortskurve der Scheitelpunkte und dem
Graphen der Funktion
j
einen Inhalt von 9 Flächeneinheiten?
40. Kanalbett
Betrachten Sie erneut das folgende Kanalbett. Eine Einheit entspricht hierbei 10 m in der Natur.
1
3
³+
²
128
32
kann näherungsweise durch die folgende Funktionsgleichung beschrieben werden:
=−
Bei einem starken Hochwasser steigt das Wasser bis zum Punkt H. Berechnen Sie mithilfe der
Funktion
den Inhalt der Querschnittsfläche des dann mit Wasser gefüllten Kanals.
41. Das Auge
Q
a) Geben Sie mögliche Funktionsgleichungen für , Q ∶ ℝ → ℝ an.
Q
=
=
Hinweis: Falls Sie keine Gleichungen für
und Q aufstellen konnten, dann können Sie für den nächsten Aufgabenteil die
folgenden beiden (nicht korrekten) Funktionsgleichungen verwenden:
=
C
e
² − 3 und Q
=−
C
e
² + 3.
b) Bestimmen Sie nun unter Verwendung der Integralrechnung den Inhalt der (orange)
markierten Fläche.
42. In der Baumschule Meier wird eine neue Art junger Blautannen in regelmäßigen Abständen
(auf den Gitterpunkten eines kartesischen Koordinatensystems) angepflanzt, die zu
stattlichen Weihnachtsbäumen heranwachsen sollen. Der Abstand der Stammmittelpunkte
(innerhalb einer Reihe) betrage 125 cm. Gefällt wird der Baum dann, wenn sich die unteren
Tannenzweige gerade berühren. Es kann angenommen werden, dass alle Weihnachtsbäume
in gleicher Weise und regelmäßig wachsen.
Das Wachstum der Bäume soll an der Volumenänderung von senkrechten Kegeln verfolgt
werden, von denen man sich die Bäume umhüllt denken kann (die Zweige der einzelnen
Kränze berühren den umhüllenden Kegel gerade). Die Volumenveränderung der Kegel
folge dem Wachstumsgesetz™Aê
= ™( ∙ _ (,((C∙! , wobei ™( das Volumen des Kegels
zum Pflanzzeitpunkt und t die Zeit in Tagen ist. Der Radius des unteren Tannenkranzes
entspreche jeweils dem Grundkreisradius r des Kegels und der Abstand von der Tannenspitze
bis zum unteren Kranz der Höhe h des Kegels.
1) Zum Zeitpunkt der Pflanzung haben die unteren Kränze der Blautannen einen Radius von
.( = 35 cm, der Abstand der Tannenspitze zum unteren Kranz betrage ℎ( = 75 cm.
Berechnen Sie, wie viele Tage vom Beginn der Pflanzung an verstreichen müssen, bis die
Tannenbäume gefällt werden können.
2) Die Wachstumsgeschwindigkeit der Blautannen soll untersucht werden. Als Maß dafür
kann die Volumenveränderung der oben beschriebenen Kegel pro Zeiteinheit betrachtet
werden. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung, mit der man die momentane
Wachstumsgeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmen kann. Zeichnen Sie
einen entsprechenden Funktionsgraphen (Einheit im Koordinatensystem: t-Achse: 1 cm ≙
1 500, y-Achse: 1 cm ≙ 1).
3) Gibt es einen Zeitpunkt, an dem das Wachstumsverhalten minimal bzw. maximal ist?
Machen Sie entsprechende, begründete Aussagen zum Wachstumsverhalten der
Blautannen. Charakterisieren Sie allgemein das Wachstumsverhalten der Blautannen.
4) Die Konkurrenz, Gärtnerei Grün, wirbt für eine Nadelbaumart, die angeblich schneller
wachse als die der Baumschule Meier. Die Volumenveränderung der umhüllenden Kegel
zeigt das Wachstum dieser Nadelbäume und kann durch die Funktion
™–j8ê—
= ™( ∙
(,/C
beschrieben werden. Dabei sei ™( das Volumen des Kegels zu
Beginn des Beobachtungszeitraums und t die Zeit in Tagen. Stellen Sie das
Wachstumsverhalten dieser Nadelbaumart grafisch dar und beurteilen Sie dann die
Behauptung der Gärtnerei Grün.
5) Diskutieren Sie die Eignung der Funktion ™Aê
für große Werte von t.
43. Ein Kanalbett soll mithilfe einer Funktion beschrieben werden. Dazu ist von Schülerin Jasmin
ein erster Ansatz gemacht worden:
Eine Einheit entspricht hierbei 10 m in der Natur.
a) Zeigen Sie, dass der Graph von h durch die Punkte P, den Koordinatenursprung und H geht,
im Koordinatenursprung einen Tiefpunkt und in H einen Hochpunkt hat.
b) Zeichnen Sie den Graphen von h.
c) h(x) ist abschnittsweise definiert. Begründen Sie, warum nur ein trigonometrischer
Funktionsterm vom Typ ?– cos
+ [A nicht ausreicht, um das ganze Kanalbett zu
beschreiben.
1
3
³+
²
128
32
Ein zweiter vereinfachender Ansatz von Robert sieht so aus:
=−
d) Zeigen Sie, dass der Graph von f ebenso wie der von h durch die gegebenen Punkte geht,
im Koordinatenursprung einen Tiefpunkt und in H einen Hochpunkt hat.
e) Zeichnen Sie den Graphen von f in ein zweites Koordinatensystem.
f) Bei einem starken Hochwasser steigt das Wasser bis zum Punkt H. Berechnen Sie mithilfe
der Funktion f den Inhalt der Querschnittsfläche des dann mit Wasser gefüllten Kanals.
g) Begründen Sie, warum sich für den rechten Teil des Kanalprofils bei beiden Funktionen (f
und h) der gleiche Flächeninhalt der Querschnittsfläche ergibt. Beziehen Sie in Ihre
Argumentation die Wendepunkte beider Graphen ein.
44. Gegeben ist die Funktionenschar
Graph von
j
sei Bj .
j
mit der Gleichung
j
a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von
= 5²V5Vj ; ∈ • ⊂ ℝ. Der
/5VC
C,
die Koordinaten der Schnittpunkte
von BC mit den Koordinatenachsen und das Verhalten von
C
für
→ ±∞.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten und Art relativer Extrempunkte sowie die Koordinaten
der Wendepunkte von BC . Hierbei können Sie die folgende zweite Ableitung ohne
Nachweis verwenden:
11
C
=
−1 4 +2
+2
²+ +1 ³
c) Zeichnen Sie den Graphen BC im Intervall −3 ≤
≤ 3 (1 LE ≙ 1cm)
d) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, die sich durch den Schnitt des Graphen BC und
des Graphen der Funktion g mit der Gleichung Q
=
ergeben. Begründen Sie, dass
diese Schnittpunkte die Endpunkte des Durchmessers eines Kreises mit dem Mittelpunkt
(0 | 0) sind. Geben Sie die Gleichung des Kreises an und zeichnen Sie ihn in das Bild von
Teilaufgabe c) ein.
e) Die Kreisfläche aus Teilaufgabe d) wird durch den Graphen BC in zwei Teilflächen
zerlegt. Bestimmen Sie die Flächenmaßzahlen beider Teilflächen.
f) Bestimmen Sie
∈ ℝ so, dass die Bj durch den Punkt ` F− / |0Igeht.
C
g) Bestimmen Sie Anzahl und Gleichungen senkrechter Asymptoten (Polgeraden) von Bj in
Abhängigkeit von .
45. Für jedes reelle
von
j
ist Bj .
> 0 ist eine Funktion
=
j
−
∙ √_ 5 ; ∈ ℝ, gegeben. Der Graph
1) Die Abbildung zeigt die Graphen B/ , BS , B" und. Bf in einem Intervall. Geben Sie an, zu
U
f
jeweils welchem Graphen die Bezeichnung B/ , BS , B" bzw. Bf gehört und begründen Sie
diesen Fall die Zahl .
diese Zuordnung. Der Punkt
S
C
< F/ |2_ x I
U
f
liegt auf dem Graphen Bj . Bestimmen Sie für
2) Untersuchen Sie Bj auf Extrempunkte und Wendepunkte. Geben Sie die Koordinaten
dieser Punkte an. Die Tangente an Bj im Wendepunkt ist durch die lineare Funktion
bestimmt. Berechnen Sie eine Gleichung für
9y6
und die Nullstelle von
Aussage wahr ist.
3) Es sei nun
j
mit
!y6 ,
j.
dann gilt
Bezeichnet man die Nullstelle von
9y6
−
!y6
j
j
mit
= 8. Zeigen Sie, dass diese
= 3. Der Graph B" und die Koordinatenachsen schließen eine Fläche ein.
Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes dieser Fläche. Untersuchen Sie, ob
folgender Grenzwert existiert:
j
lim £
¢→Tu
¢
j
•
4) Der Graph Bj und die Gerade mit der Gleichung Qj
abhängige Fläche ein. Für
=
−
schließen eine von
∈ {1, 2, 3, 4, 5} sind die Maßzahlen ãj der Flächeninhalte
dieser Fläche in folgender Tabelle vorgegeben.
Geben Sie die Maßzahlen ãj für
5) Es sei
= 6 und für
= / an.
"
= 2. Der Graph B/ und die Koordinatenachsen schließen eine Fläche ein. Durch
Rotation dieser Fläche um die r − Achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie die
Maßzahl des Volumens dieses Körpers.
Analytische Geometrie und Lineare Algebra – Übungsaufgaben zur Prüfungsvorbereitung:
1. Physikalischer Einstieg
Bei einem Kettenkarussell auf dem Hamburger Sommerdom sind die Ketten am Dach des Karussells in
einem Abstand von 5m von der Drehachse befestigt. Der Schwerpunkt der Mitfahrer befindet
sich in der Ruhe vor dem Start 6m unterhalb dieser Befestigung. Bei gleichmäßiger Fahrt
werden die Sitze an Ihren Ketten nach außen ausgelenkt, so dass die Mitfahrer einen Kreis
mit größerem Radius beschreiben.
a) Zeichnen Sie ein Vektordiagramm (nicht maßstäblich) aller während der Fahrt auf einen
Mitfahrer wirkenden Kräfte. (Momentaufnahme mit zugehörigen Bezeichnungen). Welche
Beziehung muss zwischen diesen Vektoren bestehen?
b) Bei welcher Umlaufzeit sind die Ketten gegen die Vertikale um 40 Grad nach außen geneigt?
c) Wie groß ist bei dieser Drehzahl die Fliehkraft auf eine Mitfahrerin der Masse 70 kg?
d) Welche Kraft verspürt eine Mitfahrerin in ihrer Sitzfläche?
2. Räumliches kartesisches Koordinatensystem
Das Fußballfeld der Eintracht aus Frankfurt ist 100 m lang und 60 m breit. Ein Fußballtor hat
als Innenmaße näherungsweise eine Breite von 7,3 m und eine Höhe von 2,4 m. Das Tor
befindet sich genau in der Mitte der kurzen Spielfeldbegrenzungen. In der folgenden
Abbildung ist eine Spielfeldecke im Koordinatenursprung. Eine Einheit des
Koordinatensystems entspricht 1 m in der Realität.
b)
Geben Sie die Koordinaten der mit ã bezeichneten oberen Innenecke des rechten Tores an.
c)
Geben Sie Koordinaten von Punkt
a)
d)
Geben Sie den zu ã zugehörigen Ortsvektor an und bestimmen Sie seine Euklidische Norm (Länge).
(siehe Graphik) an. Sind diese eindeutig bestimmt?
Wie kann man den Abstand von Punkt ã zu Punkt
ermitteln?
Gegeben sind die Punkte ã 5|6|1 ,
2|6|1 , ¤ 0|2|1 , • 3|2|1 und
3. Konstruktionen im räumlichen Koordinatensystem
ã ¤• ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze .
2|4|5 . Das Viereck
a) Zeichnen Sie die Pyramide in ein kartesisches räumliches Koordinatensystem (Schrägbild).
b) Entscheiden Sie begründet, ob die Pyramide ã ¤• eine rechteckige Grundfläche besitzt.
c) Bestimmen Sie die Länge der Seitenkante ã .
4. Rechnen mit Vektoren
Betrachten Sie die drei Vektoren
möglich:
3
= 1 ,
−1
+ ; 5 ∙ ; [ 2 ∙
f
2
Q + F I ℎ l
3
+
1
1
= 0 , [ = 2 . Berechnen Sie wenn
0
−3
− 3 ∙ [; • ∙ ; _ ∙
4
1
+ 4 ² ∙ F I + 5³ [ ∙ ƒ˜F I˜
3
5 /
∙ ; | | + Š Š
5. Winkel, Kreuzprodukt, Orthogonalität
Gegeben sin die folgenden beiden Vektoren im Anschauungsraum ℝ" :
=
a) Berechnen Sie den Winkel zwischen
b) Berechnen Sie das Kreuzprodukt
1
2
2 , = −3
−3
0
und .
× .
c) Bestimmen Sie einen Vektor [ ∈ ℝ" , [ ≠ 0, der orthogonal zu
ist (i.Z.: [ ⊥ ).
d) Gibt es einen Vektor • ∈ ℝ" , • ≠ 0, der orthogonal zu beiden Vektoren
Gegeben ist das Raumdreieck ABC mit ã 4| − 2|2 ,
6. Dreieck
und
ist?
0|2|2 und ¤ 2| − 1|4 . Stellen Sie
die Seitenkanten des Dreiecks als Spaltenvektoren dar. Berechnen Sie den Umfang und die
Fläche des Dreiecks.
(freiwilliger Zusatz) Spiegeln Sie das Dreieck ABC im Punkt < 4|4|3 . Fertigen Sie ein
Schrägbild des Dreiecks ABC und des gespiegelten Dreiecks an.
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
C
= rC und
wC
Das Vektorprodukt der Vektoren
×
Verifizieren Sie die Gleichung
C
/
= rC × r/
wC
w/
×
=− × .
/
= r/ ist definiert durch
w/
rC w/ − wC r/
= wC / − C w/
C r/ − rC /
7. Determinantenkriterium, lineare Unabhängigkeit, Dimension einer Basis
3 1
0 2
1
5
ã=F
I , = F
I ,¤ = F
I
5 −7
0 1
4 −20
a) Berechnen Sie jeweils die Determinante für die folgenden Matrizen.
b) Untersuchen Sie hiermit, ob die folgenden Teilmengen jeweils eine Basis des ℝ/ bilden.
3
1
1
0
2
5
ä = àF I , F Iá ⊂ ℝ²,• = àF I , F
Iá ⊂ ℝ², B = àF I , F Iá ⊂ ℝ²,
5
−7
4
0
1
−20
1
c) Beweisen Sie, dass die drei Vektoren 1
2
1
bestimmen Sie die Dimension von • 0 ,
0
,
3
−1
−1 , 3 linear abhängig sind und
1
3
0
0
2 , 0 ™.
0
−3
8. Basis und Linearkombination
a) Für welche ∈ ℝ bildet die folgende Teilmenge eine Basis des des ℝ/ ?
1
• = àF I , F Iá ⊂ ℝ/
1
1
−2
0
b) Stellen Sie den Vektor 2 als Linearkombination der Vektoren −4 und 0 dar.
3
6
12
a) Gegeben ist das Raumdreieck ABC mit ã 4| − 2|2 ,
9. Schwerpunkt und Normalenvektor
0|2|2 und ¤ 2| − 1|4 .
2
4
b) Bestimmen Sie einen Normalenvektor zu 0 und 0 . Ist Ihr Normalenvektor eindeutig
4
2
Berechnen Sie den Schwerpunkt von ABC.
bestimmt?
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Beweisen Sie unter Verwendung von Vektoren die folgende Aussage.
Halbieren in einem Viereck ABCD die Diagonalen einander, dann ist ABCD ein
Parallelogramm.
10. Lineare Gleichungssystem mit zwei Unbekannten lösen
Lösen Sie wenn möglich das folgende lineare Gleichungssystem und deuten Sie die
Lösungsmenge anschließend geometrisch.
r−
=1
4r = −2 + 8
11. Lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten lösen
Lösen Sie wenn möglich das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit von
und deuten Sie die resultierenden Lösungsmengen anschließend geometrisch.
+r+w =1
∈ℝ
+ r+w =1
+r+ w =1
12. Textgleichung
Für Kunden, die mehrere Hörspiele von den drei Fragezeichen kaufen, bietet ein Händler
einen Mengenrabatt an. Ein Kunde namens Sturridge kauft eine gewisse Anzahl (die wir mit >
bezeichnen wollen) an Hörspielen zu einem Preis, den wir mit s bezeichnen wollen. Der
Kunde zahlt insgesamt 300 Euro für alle gekauften Hörspiele. Eine andere Kundin namens
Ohm kauft beim selben Händler insgesamt 10 Hörspiele weniger und zahlt pro Hörspiel 2
Euro mehr. Somit muss die Kundin Ohm insgesamt 320 Euro bezahlen. Wie viele Hörspiele
kauft der Kunde Sturridge und wie viel muss er pro Hörspiel bezahlen?
Bestimmen Sie eine Gleichung für eine Gerade Q im Anschauungsraum ℝ³, die durch die
13. Geradengleichung aufstellen
Punkte < 2|1| − 3 und † 1|3|4 verläuft und entscheiden Sie anschließend begründet, ob
der Punkt ‡ 1|1|0 auf Ihrer Geraden liegt.
Eine Gerade Q ∶
verläuft durch die Punkte ã 0| − 3|3 und
14. Schnittpunkt und Schnittwinkel
gegeben durch ℎ ∶
=
−1
6 +
10
1|0|2 . Die Gerade ℎ ∶
−1
3 , ∈ ℝ. Bestimmen Sie wenn möglich den
4
ist
Schnittpunkt und den Schnittwinkel von Q und ℎ.
Die Geraden Q, ℎ und
15. Noch einmal Dreiecke
Sie die Eckpunkte ã,
schneiden sich in den Eckpunkten eines Dreiecks ã ¤. Bestimmen
und ¤ und den Umfang und die Fläche des Dreiecks ã ¤. Ermitteln
Sie außerdem die Summe aller Innenwinkel des Dreiecks ã ¤ und den Schwerpunkt des
Dreiecks ã ¤.
Q∶
0
1
= −3 + . 3 ℎ ∶
3
−1
=
1
6 +
10
−1
3 ∶
4
3
= 6 +
0
1
1 ,., , ∈ ℝ
−2
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Beweisen Sie, dass 2 Geraden im ℝ" nicht genau 2 Schnittpunkte im ℝ" besitzen können.
16. Geraden, Punktprobe, Parallelität
a) Liegt der Punkt ã 3|5| − 2 auf der Geraden Q ∶
Sie Ihre Vermutung.
=
−1
3
1 + . 2 , . ∈ ℝ? Beweisen
2
1
b) Eine Gerade ℎ ist durch die folgende Gleichung gegeben:
ℎ∶
−4
= 5 +
2
Zeigen Sie, dass ℎ zu Q parallel verläuft.
6
4 , ∈ℝ
2
Hinweis: Da die beiden Stützvektoren unterschiedlich sind, reicht es nachzuweisen, dass die beiden
Richtungsvektoren linear abhängig sind (ein Vektor ist hierbei ein Vielfaches des anderen Vektors).
Geben Sie zwei nicht identische Punkte ã,
17. Geraden – das volle Programm
im Anschauungsraum ℝ³ an.
Hinweis: Gerne können Sie sich bei der Bearbeitung am Beispiel im Skript orientieren. Hierbei dürfen Sie nicht
dieselben Punkte wie im Unterrichtsbeispiel wählen.
a) Bestimmen Sie eine Gleichung Q der Geraden, die durch die Punkte ã und
verläuft.
b) Geben Sie eine Gleichung ℎ für eine Gerade im Raum an, die zu Q windschief ist.
c) Bestimmen Sie den Abstand von ã zu .
d) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Stützvektoren von ℎ und Q.
e) Bestimmen Sie alle Spurpunkte von ℎ und Q.
f) Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden , welche orthogonal zu Q verläuft und
bestimmen Sie anschließend den Schnittwinkel der Geraden Q und .
18. Spurpunkte
Bestimmen Sie alle Spurpunkte der Geraden Q ∶
=
−1
3
1 + . 2 ,. ∈ ℝ.
2
1
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Beweisen Sie die folgende Aussage unter Verwendung von Vektoren: Halbieren in einem
Viereck ABCD die Diagonalen einander, dann ist ABCD ein Parallelogramm.
19. Kollisionsproblem
Im Tower werden von den Fluglotsen über Radar folgende Positionskoordinaten erhoben:
Flugzeug A: 12:34 Uhr −30|80|100 und 12:35 Uhr −10|50|110
Flugzeug B: 12:34 Uhr 414|−238,2|85,2 und 12:35 Uhr 374|−225,2|97,2
Müssen die Fluglotsen eingreifen? Belegen Sie Ihre Entscheidung ausführlich.
20. Geradenscharen und Gleichungssysteme
Gegeben sind die Gleichungen zweier Geraden im ℝ" .
Q∶
1
= 1 +
1
1
. ; ℎ ∶
.²
=
1
1
+ s ./ ,
1
3. + 3
.
.²
,s ∈ ℝ
a) Untersuchen Sie, für welche . ∈ ℝ die beiden Geraden parallel sind. Verifizieren Sie, ob
echte Parallelität vorliegt oder ob die Geraden identisch sind.
b) Untersuchen Sie, für welche . ∈ ℝ die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben.
Berechnen Sie seine Koordinaten.
c) Geben Sie die Lage beiden Geraden zueinander an, wenn Sie für . andere Werte wählen
als unter Teilaufgabe a) und Teilaufgabe b) gefunden.
Gegeben sei nun das Gleichungssystem
2 +
+ 1 r − 2w = ² − 3
6 + 3r +
d) Geben Sie an, für welche
−2 w =2 −5
+ w = 1
∈ ℝ das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
e) Lösen Sie das Gleichungssystem für den Fall
Interpretation der Lösungsmenge an.
f) Lösen Sie das Gleichungssystem für den Fall
Interpretation der Lösungsmenge an.
g) Lösen Sie das Gleichungssystem für den Fall
= 0. Geben Sie eine geometrische
= 2. Geben Sie eine geometrische
= −1. Als Lösungsmenge ergibt sich eine
Gerade im Anschauungsraum ℝ" . Geben Sie die Gleichung dieser Geraden in vektorieller
Form an.
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Beweisen Sie die folgende Aussage unter Verwendung von Vektoren: Im Trapez ist die
Mittellinie parallel zu den Grundseiten und halb so groß wie deren Summe.
21. Abstandsberechnungen bei Geraden
1
= 1 +
1
1
2 ; ℎ ∶
−2
1
−2
2 + . −4 ,
−3
4
a) Zeigen Sie, dass die folgenden Geraden parallel sind und berechnen Sie deren Abstand.
Q∶
=
., ∈ ℝ
b) Zeigen Sie, dass die folgenden Geraden windschief sind und berechnen Sie deren
Abstand.
Q∶
1
= 1 +
0
c) Gegeben sei die Gerade Q ∶
1
0
1
., ∈ ℝ
4 ; ℎ ∶ = 0 + . 0 ,
−3
0
−2
−2
3
= 7 + 2 , ∈ ℝ und der Punkt < 6|6| − 2 .
2
1
Bestimmen Sie den Abstand von < zu Q.
Bestimmen Sie eine Parametergleichung für eine Ebene, die durch die Punkte < 0|2|0 ,
22. Parametergleichung einer Ebene
† 1|3|4 und î 2|5|3 verläuft. Liegt der Punkt ‡ 1|2|4 auf dieser Ebene? Beweisen Sie
Ihre Vermutung.
Eine Ebene ä geht durch die Punkte ã 0|3| − 1 ,
23. Parametergleichung einer Ebene
4|1|1 , ¤ 1|0| − 2 .
a) Bestimmen Sie eine vektorielle Parametergleichung der Ebene ä.
b) Wandeln Sie Ihre Parametergleichung in eine Koordinatengleichung der Ebene ä um.
c) Wandeln Sie Ihre Koordinatengleichung in eine Achsenabschnittsform der Ebene ä um.
d) Wandeln Sie Ihre Parameterdarstellung in eine Normalform um.
e) Wandeln Sie Ihre Koordinatengleichung in eine Normalform um und überprüfen Sie, ob
Ihre resultierende Normalform zu der Normalform aus Aufgabenteil d) identisch ist.
f) Bestimmen Sie die Hesse’sche Normalform der Ebene ä.
Bearbeiten Sie die folgenden vier Teilaufgaben. Hierbei sind ., ∈ ℝ.
24. Lagebeziehungen, Schnittwinkel, Schnittgeraden, Abstandbestimmung
a) Die Gerade Q schneidet die Ebene ä. Berechnen Sie den Schnittpunkt
Schnittwinkel =.
Q ∶
0
1
= 2 +. 1 ,
4
2
ä ∶
und den
+ r + 2w = 6
b) Beweisen Sie, dass die beiden folgenden Ebenen ä und Ÿ sich einander schneiden.
Bestimmen Sie den Schnittwinkel = und eine Parameterdarstellung einer Schnittgeraden Q von
ä und Ÿ.
0
−2
ä ∶ ; − 0 < ∙ 3 ,Ÿ ∶
0
6
2
4
0
= 0 + . 0 + −2
1
−2
2
0
−2
c) Bestimmen Sie eine Gleichung † einer Ebene, die zu ä ∶ ; − 0 < ∙ 3 parallel ist.
0
6
d) Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes ‡ 1|2| − 3 zu ä aus Aufgabenteil a) und
Aufgabenteil b) unter Verwendung der Hesse’schen Normalform.
25. Pyramide, Ebene und Abstandsbestimmung
Im Anschauungsraum ℝ" seien die folgenden vier Punkte gegeben:
ã 0|0|0 ,
8|4|2 ,¤
2|6| − 4 , 1|7|3
a) Welches Volumen hat die Pyramide mit der Grundfläche ã ¤ und der Spitze ?
b) Bestimmen Sie eine vektorielle Parameterdarstellung der Ebene ä, welche die Punkte ã,
¤ enthält.
und
c) Bestimmen Sie anschließend eine Hesse’sche Normalform von ä.
d) Eine weitere Ebene ä 1 ist orthogonal zur Ebene Ÿ ∶ 2 − 4w = 6. Die Gleichung
Q∶
=
1
−2
2 + . −2
−1
1
stellt eine Schnittgerade von ä 1 und Ÿ dar. Stellen Sie eine Normalengleichung von ä auf.
26. Gemischte Aufgaben
a) Geben Sie im Anschauungsraum ℝ" zwei nicht parallele Geraden Q durch 1|1|0 und ℎ durch
0|1|1 an, welche sich nicht schneiden. Bestimmen Sie anschließend den Abstand zwischen Q und ℎ.
b) Die Punkte ã 0|0|0 ,
der Spitze
4|6|6 .
8|6|0 , ¤ 2|8|0 bilden die dreieckige Grundfläche einer Pyramide < mit
i) Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide <.
ii) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide <.
iii) Geben Sie eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene ä durch die
Punkte , ¤ und •an.
c) Untersuchen Sie, ob sich die folgenden Geraden im Raum schneiden und berechnen Sie ggf.
−2
3
1 + . 2 ,ℎ ∶
−4
1
2
= 2 +
4
den Schnittpunkt und den Schnittwinkel beider Geraden.
Q∶
=
2
3 ,., ∈ ℝ
−6
d) Eine Ebene im Anschauungsraum ℝ" besitzt die folgende Parameterdarstellung
k ∶ =
i)
ii)
iii)
3
1 +.
1
1
1 +
0
−1
0 ,., ∈ ℝ
1
Untersuchen Sie, ob der Punkt 1|2|3 auf k liegt.
Bestimmen Sie eine Koordinatendarstellung der Ebene k.
Bestimmen Sie eine Normalform der Ebene k. Ist Ihre Normalform eindeutig bestimmt?
27. Multiple choice
Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Aussagen entweder „wahr“ oder „falsch“ sind.
wahr
falsch
Aussage
1.
Der Nullvektor besitzt die Euklidische Länge 2.
2.
Die Schnittmenge zweier Ebenen ist niemals ein Punkt.
3.
Die Euklidische Länge eines Vektors ist eindeutig bestimmt.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ" sind genau dann orthogonal, wenn deren
Kreuzprodukt ungleich dem Nullvektor ist.
Zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ" sind genau dann orthogonal, wenn deren
Skalarprodukt gleich Null ist.
Ein Punkt liegt genau dann auf einer Geraden, wenn sein Ortsvektor bzw. seine
Koordinaten die Geradengleichung erfüllen.
Im ℝ" können zwei parallele Geraden sich nicht in genau einem Punkt schneiden.
Zwei Geraden im ℝ" sínd genau dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear
anhängig sind.
Eine Ebene im ℝ" ist parallel zu einer Koordinatenebene, wenn nur einer der
Koeffizienten von Null verschieden ist.
11.
Eine Gerade im ℝ" liegt niemals in einer Ebene im ℝ" .
12.
Ein Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene heißt Spurpunkt.
13.
Der Winkel zwischen zwei Vektorenrepräsentanten ist eindeutig bestimmt.
14.
Eine Schnittgerade einer Ebene mit einer Koordinatenebene heißt Spurgerade.
15.
Die Determinante quadratischer Matrizen ã, ∈ ℝ/×/ ist additiv, es gilt also für alle
ã, ∈ ℝ/×/ : det ã +
= det ã +det .
10.
16.
Zwei Ebenen haben genau dann eine Schnittgerade, wenn ihre Normalenvektoren linear
abhängig sind.
Der Abstand zweier paralleler Ebenen ist immer strikt größer als 0.
28. Anwendungsbezogene Kompaktaufgabe
Die Amateurastronomen Myers und Smith besitzen in den Ebenen von Kansas ein
quaderförmiges Haus mit aufgesetztem Dach. Dies kann in einem räumlichen
Koordinatensystem dargestellt werden mit Hilfe der Eckpunkte des Fußbodens
Eckpunkte des Fußbodens des Speichers
horizontal liegendes Rechteck – bilden.
&
&,
der
und der Punkte •& , die den Dachabschluss – ein
Diese Punkte haben die folgenden Koordinaten (1 ßä ≙ 1 m):
Die Strecken
a)
C •C ,
C
C
0|0|0 , 0|0|10 , /
/
10|0|0 , 10|0|10 , "
"
10|12|0 , 10|12|10 , H
H
0|12|0
0|12|10
•C 2|3|12 , •/ 6|3|12 , •" 6|9|12 , •H 2|9|12
/ •/ , " •" ,
und
H •H
nennt man Grate.
Zeichen Sie ein Schrägbild des Gebäudes samt Dach. (Längeneinheit 1 cm ≙ 1 m;
Verkürzungsfaktor in
C
Richtung 0,5 ∙ √2; Winkel zwischen
b)
Ermitteln Sie das Flächenmaß für das Grunddreieck
c)
Berechnen Sie den Neigungswinkel des Grates
d)
Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Dachfläche
Speichers.
/ " •" •/
e)
Zeigen Sie, dass
f)
Ermitteln Sie das Flächenmaß der Dachfläche
/ •/
/ " H.
C
und
/
Achse 135°)
gegen den Fußboden des Speichers.
/ " •" •/
und dem Fußboden des
ein Trapez ist und bestimmen Sie den Umfang von
/ " •" •/ .
/ " •" •/ .
Im Punkt ì 9|5|10 wird ein 6 m langer Antennenmast, der das Dach durchstößt, senkrecht auf dem
Fußboden des Speichers montiert.
g)
Bestimmen Sie die Länge, mit der der Mast ins Freie ragt.
h)
Vom Mittelpunkt des Mastes aus ist eine Stütze senkrecht zur Dachfläche
/ " •" •/
angebracht. Ermitteln Sie die Länge der Stütze, wenn sie auf dieser Dachfläche endet.
i)
Ermitteln Sie eine Gleichung für eine Gerade Q, die durch ì verläuft und orthogonal
zur Dachfläche ist. Im Punkt Ÿ 8|6|10 wird ein weiterer 6 m langer Antennenmast, der das
Dach durchstößt und senkrecht auf dem Fußboden des Speichers montiert. Ermitteln Sie
ebenfalls eine Gleichung für eine Gerade ℎ, die durch Ÿ verläuft und orthogonal zur Dachfläche
ist. Zeigen Sie anschließend, dass ℎ parallel zu Q verläuft und berechnen Sie den Abstand von Q
zu ℎ. Bestimmen Sie abschließend eine Gleichung für eine Gerade QŒ , die zu Q und ℎ nicht
parallel ist und mit Q und ℎ keine gemeinsamen Punkte besitzt.
Elementare Stochastik – Übungsaufgaben zur Prüfungsvorbereitung:
1. Mensch Ärgere dich nicht
Beim Spiel „Mensch ärgere dich nicht“ braucht man eine Sechs, um eine Figur auf das
Startfeld stellen zu können. Hat man keine Figur im Feld, so hat man drei Versuche, um eine
Sechs zu würfeln; glückt hier keine Sechs, muss man bis zur nächsten Runde warten.
Angenommen der Spielwürfel sei fair.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln eine Sechs zu würfeln.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, beim ersten Wurf keine Sechs zu würfeln.
Wie groß ist demzufolge die Wahrscheinlichkeit, seine Figur gleich beim ersten Wurf auf
das Startfeld stellen zu können?
b) Svenja hat im ersten Wurf eine Zwei gewürfelt, im zweiten Wurf eine Fünf. Geben Sie an,
mit welcher Wahrscheinlichkeit Svenja im dritten Wurf eine Sechs würfelt.
c) Bestimme Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man nach dem zweiten Wurf seine Figur
auf das Startfeld stellen kann.
d) Wenn man „Glück hat“, kann man in der ersten Runde (also: während der ersten drei
Würfe) seine Figur auf das Startfeld stellen. Beschreiben Sie die Situation durch ein
Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür. Interpretieren Sie „Glück
haben“ mithilfe deines Ergebnisses.
e) Melissa hat es schon drei Runden lang nicht geschafft, eine Figur einzuwürfeln. Den
Tränen nahe sagt sie: „Das ist so unfair! Das passiert nur in jedem tausendsten Fall, und
ausgerechnet bei mir muss das passieren!“ Entscheiden Sie, ob Melissa Recht hat.
f) „Ach was, hab‘ dich doch nicht so!“ antwortet seine Schwester Sabrina. „Schau, wir sind
vier Spieler, und da muss man schon davon ausgehen, dass einer von ihnen im ersten
Durchgang nicht rauskommt.“ Beurteilen Sie Sabrinas Aussage.
2. Black Jack
Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf ein faires Black Jack Kartenspiel (52 Pokerkarten).
a) Angenommen Sie wählen 5 unterschiedliche rote Karokarten K1, K2, K3, K4 und K5 aus
diesem Spiel. Wie viele Bilder können mit genau 5 Karten Sie dann damit legen?
(eine Möglichkeit ist K1, K2, K3, K4, K5, eine weitere ist K1, K2, K3, K5, K4)
K1
K2
K3
K4
K5
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 unterschiedliche Karten aus einem fairen Black Jack
Kartenspiel zu ziehen?
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 unterschiedliche Karokarten aus einem fairen Black
Jack Kartenspiel zu ziehen?
d) Wie viele Möglichkeiten für ein „Full House“ beim Poker gibt es?
3. Kombinatorik I
Wie viele Ergebnisse sind möglich? (Keine Rechnung erforderlich!) Bearbeiten Sie genau 10 der
folgenden Teilaufgaben.
a) Gleichzeitiges Werfen von drei unterscheidbaren fairen Würfeln
b) Gleichzeitiges Werfen von fünf paarweise verschiedenfarbigen, ungezinkten Tetraedern
c) Erstellen eines fünfbuchstabigen „Wortes“ aus den 26 Buchstaben des Alphabets.
d) Bilden von vierstelligen natürlichen Zahlen nur aus den vier Ziffern 0, 1, 2 und 3
e) Bilden von vierstelligen natürlichen Zahlen nur aus den vier Ziffern 0, 1, 2 und 3, ohne dass
sich eine Ziffer wiederholt
f) Bilden von zweistelligen natürlichen Zahlen nur aus den fünf Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5
g) Bilden von zweistelligen natürlichen Zahlen nur aus den fünf Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5, ohne
dass sich eine Ziffer wiederholt
h) Bilden von neunstelligen natürlichen Zahlen nur aus den fünf Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5, die
genau viermal die Vier, genau dreimal die Drei und genau einmal die Eins enthalten.
i)
Bilden von elfstelligen natürlichen Zahlen nur aus den sechs Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 so,
dass die Ziffer 1 nur einmal und die restlichen jeweils genau zweimal enthalten sind, und
zwar so, dass die Eins unmittelbar zwischen den beiden dreien steht
j)
Bilden von (beliebigen) fünfstelligen Hexadezimalzahlen
k) Bilden von fünfstelligen natürlichen Zahlen, in denen keine Ziffer mehrmals auftritt
l)
Bilden von vierbuchstabigen „Wörtern“ aus allen Buchstaben von ZAHL
m) Bilden von sechsbuchstabigen „Wörtern“ aus allen Buchstaben von ZIFFER
n) Platzieren von sieben Personen auf eine Stuhlreihe mit genau sieben Plätzen so, dass stets
genau zwei bestimmte Personen nebeneinander sitzen
o) Platzieren von sieben Personen an einem runden Tisch mit genau sieben Stühlen so, dass
stets genau zwei bestimmte Personen nebeneinander sitzen
p) Bilden von „Wort“ – Paaren aus paarweise verschiedenen Buchstaben so, dass das erste
„Wort“ alle Konsonanten und das zweite „Wort“ alle Vokale des Wortes
VEKTORSUBTRAKTION enthält.
4. Kombinatorische Überlegungen beim Schafkopf
Wie wahrscheinlich ist es bei einem fairen Schafkopfspiel, dass die „Ruf-Sau“ nicht gestochen
wird, wenn der Ausspieler 1,2 oder 3 Karten der gesuchten Farbe in der Hand hält.
5. Eintracht Frankfurt
Aus langjährigen Beobachtungen von Fußballspielen der Eintracht aus Frankfurt weiß man,
dass 14 von 20 Toren von Stürmern, 5 von Mittelfeldspielern und ein Tor von Abwehrspielern
geschossen werden. Ein Torwart namens Hrádecký hält 20 % aller Elfmeter, die auf sein Tor
geschossen werden.
a) Wie viel Prozent der Tore von Eintracht Frankfurt werden von einem Stürmer erzielt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stürmer einen Elfmeter verwandelt, wenn
Hrádecký im Tor steht?
c) Welches der folgenden Ereignisse ist wahrscheinlicher? Begründen Sie Ihre Entscheidung
rechnerisch. Notieren Sie hierzu anfangs die Ergebnismenge Ω und das gesuchte Ereignis ä
unter Berücksichtigung der Notationen und Konventionen aus dem Unterricht.
(i)
„Das Würfeln einer 6 mit einem Würfel und einem Wurf.“
(ii)
„Ein Stürmer schießt ein Tor.“
d) In einem Fußballspiel werden zwei Elfmeter auf das Tor von Hrádecký geschossen. Zeichnen
Sie ein Baumdiagramm für dieses mehrstufige Zufallsexperiment und beschriften Sie dabei
die Abschnitte der einzelnen Äste mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
Seien Ω ein Ereignisraum und 9, h ∶ Ω → ℝ reelle Zufallsvariablen. Beweisen Sie, dass dann
6. Zufallsvariable
auch 9 ± h und 9 ∙ h Zufallsvariablen sind.
SeiΩ = ℝ und 9 ∶ Ω → ℝ eine differenzierbare Funktion, mit nicht notwendigerweise stetiger
7. Zufallsvariable
Ableitung 9 1 . Beweisen Sie, dass dann auch 9 1 eine Zufallsvariable ist.
8. Verallgemeinertes Ziegenproblem
Diskutieren Sie das Ziegenproblem in der Variante mit
Gewinn, der Kandidat wählt, der Quizmaster öffnet
Türen, wobei
> 2: Es gibt einen
− 2 Türen, und der Kandidat darf noch
einmal wechseln. Würden dadurch seinen Gewinnchancen steigen? Und wenn ja, um wie viel?
9. Schätzen
a) Geben Sie einen Schätzwert für die Anzahl der Erbsen im folgenden Bild an.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im deutschen Lotto für genau fünf Richtige. Geben Sie
eine Größenvorstellung für diese kleine Zahl an.
c) Angenommen Sie wollen wissen, wie viele Löwen es ein einem separaten Regenwaldabschnitt
gibt. Sie fangen dazu 50 Löwen, markieren sie und lassen sie danach wieder frei. Nach ein paar
Tagen fangen Sie erneut Löwen, diesmal sind es 60 Löwen, davon sind 2 markiert. Geben Sie
ein ML – Schätzer für die Anzahl der Löwen im Regenwaldabschnitt an.
10. Aus der Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 50 wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Zahl
a) durch 4 teilbar ist,
b) durch 6 teilbar ist,
c) durch 9 teilbar ist,
d) durch 4 und 6 teilbar ist,
e) durch 6 oder 9 teilbar ist?
11. Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender
Ereignisse:
A: „Der erste Wurf hat mindestens die Augenzahl 5, die Augenzahl des zweiten Wurfes
ist gerade.“
B: „Genau ein Wurf hat die Augenzahl 6.“
C: „Die Augensumme ist durch 4 teilbar.“
D: „Es werden zwei gleiche Augenzahlen geworfen.“
12. In einer Urne befinden sich zwei weiße (w), eine rote (r) und fünf schwarze (s) Kugeln. Es
wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende
Ereignisse:
A: „Es wird zuerst eine schwarze, dann eine rote Kugel gezogen.“
B: „Es werden zwei gleichfarbige Kugeln gezogen.“
C: „Die zuerst gezogene Kugel ist weiß.“
D: „Die zweite Kugel ist rot.“
13. Die Polizei prüft innerhalb einer Ortschaft die Geschwindigkeit von Kraftfahrzeugen.
Erfahrungsgemäß überschreiten 8 Prozent der Pkw – Fahrer die zulässige Höchstgeschwindigkeit. Ein Fernsehteam möchte an einer Kontrolle teilnehmen und wenigstens einen
„Verkehrssünder“ nach Gründen für dessen Fehlverhalten befragen. Wie viele Pkw müssten
mindestens kontrolliert werden, damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einen Pkw mit
überhöhter Geschwindigkeit festzustellen, nicht kleiner als 0,8 ist?
14. Ermitteln Sie aufgrund der in der Vierfeldertafel gegebenen Werte die Wahrscheinlichkeit
B = sowohlã̅alsauch trittein
folgender Ereignisse:
ä = vonAundBtrittnurAein
= entwederAoderBtrittein
\trittein
• = wederAnochB
ã
ã̅
Ÿ = entwedertrittAeinoderAundBtretenein
† = ã̅oder trittein
0,03
0,01
0,17
1
15. Ein Glücksrad ist in drei Sektoren mit den Farben Rot (R), Grün (G) und Blau (B) unterteilt.
Das Glücksrad ist so konstruiert, dass der Auswahlpfeil nicht auf die Trennlinie zwischen
zwei Sektoren anhält. Die Farbe, auf die der Pfeil nach Stillstand des Rades zeigt, gilt als
gezogen. Die Farbe Rot erscheint mit einer Wahrscheinlichkeit ., wobei 0 < . < ", die Farbe
C
Grün erscheint mit der Wahrscheinlichkeit Q = 2 ∙ .. Das Glückstad wird zweimal gedreht.
Betrachten Sie die Ereignisse äC : „Mindestens einmal Rot“ und ä/ : „Genau einmal Grün“.
a) Berechnen Sie die Eintrittswahrscheinlichkeiten von äC und ä/ .
b) Begründen Sie, für welchen Wert von . die Wahrscheinlichkeit ℙ ä/ maximal wird.
(Tipp: Man kann diesen Aufgabenteil auch geschickt ohne Methoden aus der Differentialrechnung (1. Semester) lösen)
16. Svenja ist an einem Freitag geboren. Nehmen Sie an, dass die Geburten gleichmäßig auf die
Wochentage verteilt sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, die Svenja zufällig
begegnet, auch am Freitag geboren wurde?
b) Berechnen Sie die Eintrittswahrscheinlichkeit für das folgende Gegenereignis äC von.
äC : „Von > Personen, die Svenja zufällig begegnet, ist keine an einem Freitag
geboren“. Beschreiben Sie außerdem das Gegenereignis äC in eigenen Worten.
17. Ermitteln Sie aufgrund der in der Vierfeldertafel gegebenen Werte die Wahrscheinlichkeit
folgender Ereignisse:
ä = vonAundBtrittnurAein
= entwederAoderBtrittein
\trittein
• = wederAnochB
ã
ã̅
B = sowohlã̅alsauch trittein
Ÿ = entwedertrittAeinoderAundBtretenein
† = ã̅oder trittein
0,05
0,03
0,19
1
18. Der Abfüllautomat einer Molkerei füllt Jogurtbecher mit einer Ausschusswahrscheinlichkeit
von 2 Prozent. Wie viele Jogurtbecher dürfen vom Automaten höchstens gefüllt werden, damit
mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 50 Prozent kein Ausschuss auftritt?
19. In einer Tierpopulation sind 4 Prozent aller männlichen Tiere farbenblind. Wie groß muss die
Anzahl der männlichen Tiere dieser Tierpopulation mindestens sein, damit mit einer
Eintrittswahrscheinlichkeit von mehr als 50 Prozent ein Tier farbenblind ist.
Hierbei dürfen Sie ohne Weiteres annehmen, dass es entweder nur männliche oder
weibliche Tiere in dieser Tierpopulation gibt. (Es gibt also keine Zweigeschlechter.)
20. Von zwei äußerlich nicht unterscheidbaren Geldbehältern enthalte der erste vier
Zweieurostücke und zwei Eineurostücke, der zweite drei Zweieurostücke und drei
Eineurostücke. Weitere Münzen oder Geldscheine befinden sich nicht in den Geldbehältern.
Beim zufälligen Ziehen einer Münze aus einem Geldbehälter seien Ein- und Zweieurostück
nicht unterscheidbar.
a) Einem der beiden Geldbehältern wird eine Münze entnommen, wobei die Auswahl
des Geldbehälters und die Auswahl der Münze zufällig sind. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist die entnommene Münze ein Zweieurostück?
b) Dem ersten Geldbehälter wird eine Münze zufällig entnommen. Wenn sie kein
Zweieurostück ist, wird die Münze in den Geldbehälter zurückgelegt; das
Zufallsexperiment wird dann wiederholt. Nach dem erstmaligen Erscheinen eines
Zweieurostücks erfolgen keine weiteren Versuche. Wie oft muss man dieses
Zufallsexperiment realisieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95
Prozent ein Zweieurostück zu erhalten? Berechnen Sie außerdem die
Eintrittswahrscheinlichkeit dafür, dass spätestens nach dem vierten Versuch ein
Zweieurostück entnommen wird.
21. Veranschaulichen Sie die folgenden Zusammenhänge in einer adäquaten Vierfeldertafel.
Im Fritzklub am Postbahnhof befinden sich um 01:00 Uhr am Samstag 200 feiernde
Personen. Hiervon sind 128 Personen männlich. Von allen Frauen haben insgesamt 24 blonde
Haare. Von allen 200 Personen im Fritzklub sind 80 nicht blond. Die Ereignisse werden wie
folgt definiert:
ã̅: „Die betreffende Person ist eine Frau.“
A: „Die betreffende Person ist ein Mann.“
: „Die betreffende Person ist blond.“
: „Die betreffende Person ist nicht blond.“
Ermitteln Sie unter Verwendung Ihrer Vierfeldertafel wenn möglich die
Eintrittswahrscheinlichkeiten für die folgenden drei Ereignisse ab und beschreiben Sie
diese Ereignisse mit eigenen Worten.
ã ∩
ã ∩ ã̅
[ ã ∩
• ã ∪
_ ã̅ ∪
ã̅ ∩
22. Eine Münze wird 7 – Mal geworfen. Wie viele verschiedene Ereignisse sind möglich?
23. Ein Reisender überquert auf einer Fahrt von West nach Ost die drei Flüsse Lech, Isar und Inn.
Am Lech hat er 3 Brücken, an der Isar 6 Brücken und am Inn 5 Brücken zur Auswahl. Wie
viele verschiedene Routen stehen ihm zur Verfügung?
24. Beim Schafkopfspiel werden 32 Karten auf 4 Spieler verteilt. Unter den 32 Karten sind 4 Ober.
a) Wie viele verschiedene Karten kann ein Spieler erhalten?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt ein bestimmter Spieler mindestens einen Ober?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt ein bestimmter Spieler mindestens drei Ober?
25. Ein Student muss in einer Prüfung 12 von 15 Aufgaben lösen. Wie viele
Auswahlmöglichkeiten hat er, wenn
a) keine weiteren Bedingungen gestellt werden,
b) die ersten drei Aufgaben auf jeden Fall bearbeitet werden müssen,
c) genau acht von den ersten zehn Aufgaben bearbeitet werden müssen,
d) mindestens zwei der ersten drei Aufgaben bearbeitet werden müssen?
26. Wie viele verschiedene Wurfbilder gibt es beim Würfeln mit 9 gleichen fairen Würfeln?
27. In einem Sack hat Svenja viele Widerstände in den Farben Blau, Rot, Gelb und Weiß. Fünf
Widerstände werden gleichzeitig gezogen. Bestimmen Sie die Anzahl aller möglichen
Farbkombinationen?
28. a) Wie viele dreistellige Zahlen mit lauter verschiedenen Ziffern gibt es?
b) Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, in denen genau 2 gleiche Ziffern vorkommen?
c) Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es, bei denen sich gerade und ungerade Ziffern
abwechseln? Wie viel Prozent aller fünfstelligen Zahlen sind das?
Hinweis: 0 ist hierbei eine gerade Zahl.
29. Beim deutschen Zahlenlotto werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. Wie viele Tipps gibt es, die (a)
genau 3
(b) genau 4
(c) genau 5
richtige Zahlen haben?
Wie viel Prozent aller Gesamttipps sind das jeweils?
30. Transaktionsnummern bei Banken sind in der Regel sechsstellig und bestehen aus
Großbuchstaben (26er Alphabet) und Ziffern (0 bis 9). Wie viele Transaktionsnummern gibt
es, wenn solch eine Nummer mindestens einen Buchstaben und eine Ziffer enthalten soll?
31. Wie viele verschiedene „Wörter“ kann man aus den Buchstaben des Wortes TOPOLOGIE
bilden, wenn jeweils alle Buchstaben verwendet werden sollen?
32. Svenja will auf dem Wochenmarkt 8 Stück Obst kaufen von den Sorten Apfel, Birne und
Banane. Wie viele Einkaufsmöglichkeiten hat Svenja?
33. 14 Personen werden anonym nach ihrem Geburtsmonat befragt. Wie viele Befragungsergebnisse
sind möglich? Wie viele Befragungsergebnisse gibt es bei 100 bzw. 300 Personen?
34. Die Zahl 9 soll in genau 3 positive Summanden zerlegt werden. Wie viele Zerlegungen sind möglich,
(a) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Summanden?
(b) bei Berücksichtigung der Reihenfolge der Summanden?
35. Bei einer Variante des Pokerspiels mit 52 Karten (2, 3, 4, 5, … , 10, B, D, K, A in den Farben
Karo, Herz, Pik und Kreuz) bekommen die Spieler 5 Karten auf die Hand. Gewinnen kann
man u. a. mit „Paaren“ (z.B.: zweimal 3), „Dreiern“ (z.B.: dreimal 3), „Full House“ und
„Straights“ (siehe unten).
a) Wie viele Blattmöglichkeiten gibt es für einen Spieler?
b) Wie viele Möglichkeiten für „genau ein Paar“ gibt es?
c) Wie viele Möglichkeiten für ein „Full House“ (Dreier + Paar) gibt es?
d) Wie viele Möglichkeiten gibt es für „Straight“ (5 Karten in direkter Folge, nicht über
das Ass hinaus)?
e) Wie viele Möglichkeiten gibt es für „Straight Flush“ (5 Karten gleicher Farbe in direkter
Folge)?
Berechnen Sie bei (b) – (e) jeweils die Prozentanteile an den Gesamtmöglichkeiten.
36. Nach wie vielen Wochen ist beim deutschen Lotto (6 aus 49) auf jeden Fall eine Zahl zweimal
aufgetreten? Begründen Sie Ihre Behauptung.
37. Nach wie vielen Wochen ist beim italienischen Lotto (6 aus 90) auf jeden Fall eine Zahl
zweimal aufgetreten? Begründen Sie Ihre Behauptung.
38. Beweisen Sie: Unter 6 natürlichen Zahlen gibt es immer 2 zahlen, deren Differenz durch 5 teilbar ist.
39. Wie viele natürliche Zahlen von 100 bis 1000 sind durch keine der Zahlen 3, 5 und 7 teilbar?
40. Auf einem Fest treffen sich 20 Personen. Beweisen Sie: Dann gibt es zwei Personen, die die
gleiche Anzahl von Bekannten unter den Festgästen haben.
41. Wie viele natürliche Zahlen ≤ 100sind durch 2 oder durch 3 teilbar?
42. Wie viele natürliche Zahlen ≤ 100sind durch 2, 3 oder durch 5 teilbar?
43. Wie viele natürliche Zahlen ≤ 100sind weder durch 2 noch durch 3 teilbar?
44. Auf wie viele Arten kann man 8 Geschenke auf 3 Personen verteilen, wenn keine leer
ausgehen soll?
45. Der Defekt eines Kugelschreibers kann zwei Gründe haben: defekte Mechanik (1. Mangel)
bzw. defekte Mine (2. Mangel). Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kugelschreiber defekt
ist beträgt 0,088. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 1. Mangels ist 0,05 und die für
das Auftreten beider Mängel gleichzeitig ist 0,002. Untersuchen Sie, ob die beiden Mängel
unabhängig voneinander auftreten.
46. Eine Urne A enthält 3 grüne und 5 rote Kugeln; eine zweite Urne B enthält 6 grüne und 4 rote
Kugeln. Es wird zunächst eine der Urnen ausgewählt (beide jeweils mit derselben
Wahrscheinlichkeit), dann eine Kugel aus dieser Urne gezogen.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Kugel rot?
b)
Es wurde eine grüne Kugel gezogen, mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie aus Urne A?
47. In einer Fabrik OHM erstellen die drei Maschinen A, B und C mit den Anteilen 30 %, 30 %
und 40 % die Gesamtproduktion an elektrischen Widerständen. Die einzelnen Maschinen
liefern einen Ausschussanteil von 4 %, 2 % und 5 %. Die elektrischen Widerstände werden
gemischt verkauft.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gekaufter Widerstand defekt ist?
b)
Angenommen, ein defekter Widerstand wird verkauft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt
er von Maschine C?
c)
Svenja kauft einen intakten Widerstand, mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er von
Maschine B?
48. Eine Kinovorstellung im Sputnik Kino (Berlin – Höfe am Südstern) wird von Erwachsenen
und Jungendlichen besucht. 60 Prozent der Erwachsenen kaufen zum Ticket ein Getränk hinzu
und 20 Prozent der Jugendlichen kaufen zum Ticket ein Getränk hinzu.
a)
Wie groß ist der Anteil der Jugendlichen unter den Besuchern einer Vorstellung, wenn 40
Prozent der Besucher für einen Film ein Getränk hinzu kaufen?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weiterer Käufer eines Getränks hinzu ein
Jugendlicher ist.
c)
Warum kaufen nur 20 Prozent der Jugendlichen zum Ticket ein Getränk mit hinzu?
49. Zwei Firmen OHM und HINRICHS liefern Fahrzeugkatalysatoren. 20 Prozent der
Fahrzeugkatalysatoren sind von Firma OHM fehlerhaft, von Firma HINRICHS sind sogar 30
/
Prozent der Fahrzeugkatalysatoren fehlerhaft. " aller fehlerhaften Bauteile sind von Firma
OHM. Wie viel Prozent der Bauteile werden demnach von der Firma OHM geliefert?
50. Gegenstand von Rekonstruktionsberechnungen in einem Betrieb sei eine veraltete Maschine,
die Massenartikel herstellt. Es wurde durch Kontrollen größerer Serien festgestellt, dass
jeweils 5,0 % der auf ihr produzierten Erzeugnisse unbrauchbar sind. Von den brauchbaren
Artikeln können aber nur 25 % als Qualitätserzeugnisse verkauft werden. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgegriffener Artikel Qualitätsniveau aufweist?
51. Ein Würfel trägt auf einer Seitenfläche die Augenzahl 1, auf zwei Seitenflächen die Augenzahl
2 und auf drei Seitenflächen die Augenzahl 3. Bei einem Spiel zwischen Svenja und Rebekka
wird der Würfel zweimal gewürfelt.
a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der folgenden Ereignisse:
A: „Es werden zwei verschiedene Augenzahlen gewürfelt.“
B: „Die Augensumme ist ungerade.“
b)
Untersuchen Sie die Ereignisse ã und B auf stochastische Unabhängigkeit.
52. In einer Population seinen von 1000 Individuen genau 100 mit dem Genotyp AA und 400 mit
dem Genotyp Aa.
a) Als wie groß ist die Wahrscheinlichkeit anzusehen, dass ein willkürlich aus dieser Population
ausgewähltes Individuum ein a – Allel besitzt?
b) Als wie groß ist die Wahrscheinlichkeit anzusehen, dass ein willkürlich aus dieser Population
ausgewähltes Individuum ein a – Allel besitzt, wenn bekannt ist, dass es ein A – Allel
aufweist?
53. Das Werk Jenchip produziert elektronische Bauelemente mit den drei Maschinen ìC , ì/ , ì"
und nur mit diesen. ìC hat an dieser Gesamtproduktion einen Anteil von 35 Prozent, ì/ von
42 %. Die Ausschussquoten betragen 10 % bei ìC , 25% vei ì/ und 20 Prozent bei ì" .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein von Jenchip produziertes Teil ein
Ausschussteil ist!
54. Das Ergebnis von langjährigen Beobachtungen über die Sterberate besagt: Von 100 000
Kindern, die das zehnte Lebensjahr erreichten, werden 82 277 älter als 40 Jahre und 37 977 älter
als 70 Jahre. Berechnen Sie aufgrund dieser Angaben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man
das 70. Lebensjahr erreicht, wenn man 40 geworden ist.
55. (Zum Lottomodell) Eine Zehnerpackung Widerstände enthält vier Widerstände mit verminderter
Leistung. Svenja kauft vier Widerstände. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter
a) genau zwei defekte Widerstände, b) mindestens zwei defekte Widerstände,
c) höchstens zwei defekte Widerstände
56. Patienten, die an einer bestimmten Krankheit leiden, werden durch das Medikament ì mit der
Wahrscheinlichkeit 0,70geheilt, ohne dass sich Nebenwirkungen zeigen. Mit der
Wahrscheinlichkeit 0,15 wirkt das Medikament heilend und verursacht Nebenwirkungen. Die
Einnahme eines Medikaments verursacht mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 Nebenwirkungen, ohne
gleichzeitig heilend zu wirken. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Patient, bei dem sich
Nebenwirkungen zeigen, nicht geheilt? Geben Sie zwei unterschiedliche Lösungswege an.
57. Falls Sie am Sonntagmorgen das Radio bei einem zufällig gewählten Sender einstellen, erklingt mit
20 Prozent Wahrscheinlichkeit Orgelmusik, an den anderen Vormittagen nur mit 2 Prozent
Wahrscheinlichkeit. Nun hatten Sie in den Frühlingsferien ein etwas unstrukturiertes Leben, die
Tage der Woche waren alle gleichberechtigt. An irgendeinem Vormittag wachten Sie auf, und beim
Radio – Einschalten – der Sender wurde zufällig gewählt – erklang Orgelmusik. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist Sonntag?
58. Für die Mitarbeit an einer wissenschaftlichen Studie haben sich 14 Personen beworben, davon
haben 5 bereits an dieser Art von Studie mitgearbeitet, die übrigen 9 noch nicht. Es werden
nun 5 Mitglieder per Losentscheid ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass
genau 3 erfahrene Mitglieder an der Studie arbeiten werden?
59. In einem Kasino wird nach folgenden Regeln mit drei Würfeln gespielt: Ein Spieler bekommt
5000 Euro für drei Sechsen, 500 Euro für zwei Sechsen und 50 Euro für eine Sechs. In allen
anderen Fällen gibt es gar nichts. Welchen Mindesteinsatz wird der Kasinobetreiber
verlangen, wenn er nicht draufzahlen will?
60. 13 ein-Euro Münzen zwischen Wilhelm, Xaver, Yvette, und Zora sind zufällig verteilt, so dass
jede Verteilung die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. (Zum Beispiel, hat die Verteilung bei der
Zora alle 13 Münzen bekommt die gleiche Wahrscheinlichkeit wie die Verteilung: 4 für
Wilhelm, 1 für Xaver, 5 für Yvette und 3 für Zora.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
jemand kein Geld bekommt?
61. Chuck – a – luck ist ein Spiel aus Großbritannien. Man würfelt einmal mit drei fairen Würfeln.
Ein Spieler nennt vorab eine Zahl zwischen 1 und 6. Er gewinnt ein (zwei, drei) Euro, falls
beim Wurf die gewählte Zahl ein (zwei-, drei-) mal auftritt. In allen anderen Fällen verliert er
einen Euro. Sei 9 die ZV, die jedem Wurfergebnis i die Gewinnhöhe 9 i zuordnet.
a) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von 9 an und zeichnen Sie •m .
b) Berechnen Sie ] 9 und ^ 9 .
62. Zwei faire Würfel, deren Seitenflächen mit den Augenzahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind,
werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsvariable 9 ordnet dem Würfelergebnis den
nichtnegativen Differenzwert der beiden gefallenen Augenzahlen zu. Ermitteln Sie die
Wahrscheinlichkeitsverteilung, den Erwartungswert und die Standardabweichung von 9.
63. Ein Kartenstapel mit n Karten enthält 2 Asse. Es wird gemischt (alle Reihenfolgen gleich
wahrscheinlich). Die Karten werden aufgedeckt. Sei 9 die Anzahl der Karten, bis das erste
Ass erscheint, h die Anzahl bis das zweite As erscheint. Beweisen Sie, dass ] 9 =
] h =
/'V/
.
"
'VC
"
und
Angenommen dieser Stapel würde 3 Asse enthalten. Sei å die Anzahl bis das
dritte As erscheint. Bestimmen Sie ] å .
64. Beweisen Sie für eine Zufallsvariable 9 ∶ œ → ℝ das folgende Verschiebungsgesetz:
^ 9 = ] 9/
?] 9 A²
Vorausgesetzt wird hierbei, dass ] 9 / und ] 9 auch existieren. Ermitteln Sie mit dem
Verschiebungsgesetz die Varianz ^ 9 für die ZV aus Aufgabe 61.
65. Gegeben sei die Zufallsvariable X (Augensumme dreier fairer Würfel). Das Zufallsexperiment
wird einmal realisiert. Ist ℙ 9 = 12 gleich ℙ 9 = 11 ?
66. Es wird mit zwei fairen Würfeln um Geld gewürfelt: Augensumme 2 und 12 gewinnt 7 Euro,
Augensumme 3, 4, 10, 11 gewinnt 2 Euro, Augensumme 5, 6, 8, 9 verliert einen Euro und
Augensumme 7 verliert 3 Euro. Ist es ein faires Spiel? Führen Sie hierzu eine Zufallsvariable
9 ein und berechnen Sie den Erwartungswert von 9. Wie muss man den Hauptgewinn ggf.
erhöhen, damit das Spiel fair wird?
67. Bei einer Klausur im Multiple – Choice – Verfahren gibt es für jede der 10 Aufgaben vier
Antworten, drei davon falsch und eine richtig. Bestanden hat man bei mindestens 5 richtig
bearbeiteten Aufgaben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit durch reines Raten zu bestehen?
68. 51,4 Prozent aller Neugeborenen sind Knaben. Eine Familie hat sechs Kinder. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass es genau drei Knaben und drei Mädchen sind?
69. Aus einer Urne mit zehn roten und fünf weißen Kugeln werden acht Kugeln mit Zurücklegen
entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man 4 bis 6 rote Kugeln?
70. Ein fairer Würfel wird zehnmal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der
folgenden Ereignisse:
(a) Genau dreimal wird eine Sechs gewürfelt.
(b) Genau fünfmal wird eine Fünf gewürfelt.
(c) Dreimal wird eine Augenzahl größer als 4 gewürfelt.
(d) Sieben Mal wird keine Sechs gewürfelt.
(e) Mindestens eine und höchstens drei Sechsen werden gewürfelt.
(f) Höchstens dreimal ist die Augenzahl kleiner als 3.
(g) Mindestens siebenmal wird eine Fünf gewürfelt
71. Ein Außerhausverkauf für italienische Speisen weiß aus Erfahrung, dass 60 Prozent der
Kunden eine Pizza, 30 Prozent ein Nudelgericht und der Rest eine Gemüseplatte wünschen.
Svenja möchte für ihren Freund eine Gemüseplatte mit nach Hause nehmen. Sie steht in einer
Schlange vor der Ausgabe, vor ihr stehen noch acht Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) wünschen von den Personen vor ihr sechs eine Pizza und zwei ein Nudelgericht,
b) erhält Svenja ihre Gemüseplatte, wenn sie weiß, dass nur noch drei Gemüseplatten
vorrätig sind?
72. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens elf von dreizehn rein zufällig ausgewählten
Zahlen gerade?
73. Ist die absolute Häufigkeit 9 eines Ereignisses beim Ziehen ohne Zurücklegen binomialverteilt?
Begründen Sie Ihre Behauptung.
74. Wie viele nicht geworfene Augenzahlen sind in einer Serie von sechs Würfen mit einem fairen
Würfel zu erwarten, dessen Seiten mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 durch-nummeriert sind?
75. Durchschnittlich 60 Prozent der 100 Angestellten einer Firma essen in der werkseigenen
Kantine. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die folgende Anzahl von Personen in der
Kantine isst:
a) Genau 70,
b) höchstens 50,
c) mehr als 70,
d) weniger als 60,
e) höchstens 51,
f) mehr als 50 und höchstens 70?
76. Ein Glücksrad hat vier gleich große Sektoren, drei weiße und einen roten. Wie oft muss man
das Glücksrad mindestens drehen, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95
Prozent mindestens einmal „rot“ auftreten soll? [Lösung: 11-mal]
77. Wie oft muss Svenja mit einem fairen Würfel Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
mindestens würfeln, bis
die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Vier zu werfen, mindestens 0,95 ist?
78. Svenja besitzt eine kleine CD-Sammlung. In einem Regal hat sie ungeordnet fünf CDs von
„Rage AgainsttheMachine“, vier von CannibalCorpse und drei von Metallica. Weitere CDs
befinden sich nicht in dem Regal.
Weil Svenja es eines Tages dem Zufall überlassen will, welche Musik sie hört, zieht sie ohne
Zurücklegen mit geschlossenen Augen nacheinander zwei CDs aus dem Regal.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Ereignis A: Beide CDs sind von Rage AgainsttheMachine.
Ereignis B: Beide CDs sind von Metallica.
Ereignis C: Eine gezogene CD ist von CannibalCorpse, die andere von Metallica.
Ereignis D: Beide CDs sind von demselben Interpreten.
b) Svenja schlägt Sabrina folgendes Spiel vor: „Die 12 CDs werden gut gemischt. Wenn ich
mit verbundenen Augen eine CD von Rage AgainsttheMachine ziehe, erhalte ich von Dir
3,50 €, ansonsten muss ich 2,00 € an Dich bezahlen." Ermitteln Sie rechnerisch, für wen
das Spiel langfristig vorteilhaft ist! Welchen Betrag sollte Sabrina erhalten, damit das
Spiel fair wird?
c) Ein Kaufhaus bietet als Eröffnungsangebot CDs für 10 € je Stück an. In einer großen Kiste
befinden sich viele dieser CDs, welche in Werbehüllen des Kaufhauses verpackt sind,
sodass man den Interpreten an der Verpackung nicht erkennen kann. 50 % der CDs sind
von Rage AgainsttheMachine, 30 % von CannibalCorpse, der Rest sind CDs von
Metallica. Svenja zieht acht CDs. Die Ziehungen können aufgrund der großen Anzahl von
CDs als voneinander unabhängig angenommen werden. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse!
Ereignis D: Genau 5 CDs von Metallica befinden sich unter den gezogenen,
Ereignis E: Höchstens 6 CDs von Rage AgainsttheMachine befinden sich unter den
gezogenen.
Wie viele CDs muss Svenja mindestens ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass sie
mindestens eine CD von CannibalCorpse zieht, größer als 99 % wird?
79. Flugzeuge werden üblicherweise überbucht, weil die Erfahrung gezeigt hat, dass praktisch nie
alle Fluggäste kommen. Üblicherweise erscheinen 5 Prozent aller Passagiere nicht. Eine
Fluggesellschaft überbucht generell kleine Flugzeuge mit 250 Sitzplätzen um einen Platz. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit kommt es zu einem Engpass?
80. Bei einer Löwenpopulation sind durchschnittlich 3 Prozent der Löwen mit dem Erreger einer
Krankheit K infiziert. Die Zufallsvariable, die die Anzahl der infizierten Löwen in einer
Stichprobe angibt, wird als binomialverteilt angenommen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
-
In einer Herde von 50 Löwen mindestens vier Löwen;
-
In einem Bestand von 420 Löwen höchstens 10 Löwen infiziert sind.
b) Berechnen Sie die Mindestgröße einer Herde, bei der mit mindestens 95 Prozent
Wahrscheinlichkeit mindestens ein Löwe infiziert ist.
c) Bei einem Blutschnelltest werden 85 Prozent der infizierten Tiere als solche erkannt.
Irrtümlich werden aber auch 20 Prozent der nicht infizierten Tiere durch den Test als
infiziert eingestuft. Nach dem Schnelltest wird ein Löwe als nicht infiziert eingestuft.
Weisen Sie nach, dass dann der Löwe mit weniger als ein Prozent Wahrscheinlichkeit
tatsächlich infiziert ist.
81. Svenja zahlt 1 €, um einmal an dem Glücksrad drehen zu dürfen. Sie gewinnt den doppelten
Betrag der markierten Zahlen und verliert den einfachen Betrag der weißen Zahlen in €.
a) Geben Sie die zugehörige Verteilungsfunktion 9 an. (Stellen Sie eine Wertetabelle für
9(e) auf.)
b) Berechnen Sie den Erwartungswert ] 9 .
c) Korrigieren Sie den Einsatz so, dass das Spiel fair wird.
82. Das Gewicht 9 einer Brombeere kann als normalverteilte Zufallsvariable aufgefasst werden.
Aus Untersuchungen sind Erwartungswert und Standardabweichung 7 = 10Q, _ = 1Q
bekannt. Svenja pflückt im Garten eine Brombeere. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sein
Gewicht maximal 9 Gramm?
83. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 500 fairen Münzwürfen (K oder Z) mehr als
200 Mal Zahl und weniger als 300 Mal Zahl fällt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 500 fairen Münzwürfen (K oder Z) genau 300
Mal Zahl fällt?
84. Ein Berliner Mietshaus wird von 50 Parteien bewohnt. 40 davon haben die lokale
Tageszeitung abonniert, von diesen wiederum 30 Prozent auch eine Wochenzeitschrift. Von
10 Parteien, die nicht die Tageszeitung abonniert haben, haben 60 Prozent eine
Wochenzeitschrift abonniert. Beim Betreten des Hauses trifft Svenja einen Bewohner, der
seine Wochenzeitschrift aus dem Briefkasten holt. Bestimmen Sie mithilfe eines
Ereignisbaumes, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Bewohner auch die Tageszeitung
abonniert hat.
5) Beispielprüfungen von 2015
Die folgenden Aufgaben wurden im Jahre 2015 an einer Oberschule in Berlin genau so gestellt,
können jedoch von den Themenbereichen, die in Ihrem Unterricht behandelt wurden, abweichen.
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht, Donnerstag, 21. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Vektoren, Vektorraumaxiome, Orthogonalitätsbedingung)
1) Was ist ein Vektor?
2) Geben Sie drei nicht paarweise identische Vektoren , und [ im Anschauungsraum ℝ" an
und berechnen Sie
+ ; 4 ∙ ; [ 2 ∙
+
0
− 3 ∙ [; • [ + 0 ; _ | | + Š Š
0
3) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ" orthogonal?
Eine Ebene ä im Anschauungsraum besitzt die Parameterdarstellung
ä∶
1
= −1 +
4
3
2 +
3
1
3 , , ,
4) Beweisen Sie, dass die beiden Richtungsvektoren von ä für
∈ ℝ.
= −3 zueinander orthogonal sind.
4. Semester (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, Kombinatorik)
Gegeben sei ein nicht fairer, sechsseitiger Würfel mit den Augenzahlen 1, 1, 2, 2, 2, 3. Dieser Würfel
wird einmal geworfen.
1) Notieren Sie die zugehörige Ergebnismenge Ω.
2) Handelt es sich bei diesem Würfelwurf um ein Laplace – Experiment? Begründen Sie Ihre
Entscheidung.
3) Welches der folgenden Elementarereignisse ist für diesen nicht fairen Würfel
wahrscheinlicher?
äC = Eswirdeine1gewürfelt} = {1}
ä/ = {Eswirdeine2gewürfelt} = {2}
ä" = {Eswirdeine3gewürfelt} = {3}
4) Wie viele sechsstellige natürliche Zahlen gibt es, die genau die Ziffern 1, 1, 2, 2, 2, 3 haben?
5) In einen Wahrscheinlichkeitsraum seien ã,
zwei Ereignisse mit ℙ
> 0. Definieren Sie
die bedingte Wahrscheinlichkeit von ã unter der Voraussetzung von . Wieso ist die
Bedingung ℙ
> 0 hierbei zwingend erforderlich?
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Donnerstag, 21. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Vektoren, Vektorraumaxiome, Punktprobe)
1) Was ist ein Vektor und wozu benötigt man ihn?
Das Fußballfeld des FC Schienbein 08 ist 100 m lang und 60 m breit. Ein Fußballtor hat als
Innenmaße näherungsweise eine Breite von 7,3 m und eine Höhe von 2,4 m. Das Tor befindet
sich genau in der Mitte der kurzen Spielfeldbegrenzungen. In der folgenden Abbildung ist eine
Spielfeldecke im Koordinatenursprung. Eine Einheit des Koordinatensystems entspricht 1 m
in der Realität.
2) Geben Sie die Koordinaten der mit ã bezeichneten oberen Innenecke des rechten Tores an.
im Anschauungsraum ℝ" und berechnen Sie
1
1
seine Euklidische Norm (Länge). Berechnen Sie außerdem 2 ∙ und 2 + 2 ∙ .
1
1
−1
3
3) Liegt der Punkt ã 3|5| − 2 auf der Geraden Q ∶ = 1 + . 2 , . ∈ ℝ? Beweisen Sie
2
1
Bestimmen Sie den zugehörigen Ortsvektor
Ihre Vermutung.
4. Semester (Laplaceraum, Ziegenproblem)
Ein Glücksrad mit 12 Sektoren ist vierfarbig.
1) Tragen Sie in das folgende Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten dafür ein,
zufällig auf eine der Farben zu treffen.
2) Das Glücksrad wird zweimal gedreht, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die
folgenden Ereignisse:
äC = EswirdzweimaleinschwarzerSektorgetroffen}
ä/ = {Eswirdzweimal•žÕÖschwarzerSektorgetroffen}
3) Von einem vollständigen Skatspiel (32 Karten) wurde das Kreuz Ass entfernt. Die restlichen
Karten seien mit der Gleichverteilung versehen. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit
ℙ Dame|Kreuw ?
4) Beschreiben Sie als Anwendung für den Satz von Bayes
das sogenannte Ziegenproblem. Verwenden Sie zur
Unterstützung den Schuhkartondeckel (mit drei Türen),
die beiden Plastikziegen und das Spielzeugauto.
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Donnerstag, 21. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Vektorraumaxiome, Basis und Determinantenkriterium, Koordinatenform einer Ebene)
1) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ/ w6.ℝ" addieren, subtrahieren, multiplizieren?
Geben Sie hierzu jeweils frei gewählte Beispiele an.
2) Wie ist eine Basis des ℝ/ w6. ℝ" definiert?
Erinnerung: Für die Determinante einer quadratischen Matrix gilt die Formel: det F
3
ã=F
5
1
I
7
[
•
3) Berechnen Sie die Determinante für die folgende Matrix.
Untersuchen Sie hiermit, ob die folgende Teilmenge ä eine Basis des ℝ/ bildet.
3
1
ä = àF I , F Iá ⊂ ℝ²
5
−7
4) Für welche ∈ ℝ bildet die folgende Teilmenge eine Basis des des ℝ/ ?
1
• = àF I , F Iá ⊂ ℝ²
1
5) Geben Sie einen Punkt † an, der auf der Ebene ä ∶
+ r + w = 3 liegt.
I= •
[.
4. Semester (Ziegenproblem, Abzählende Kombinatorik, Häufigkeiten, Bernoulliformel)
In einer amerikanischen Spielshow sind auf der Bühne drei
Türen aufgebaut. Hinter einer befindet sich ein Hauptgewinn,
ein Auto, hinter den beiden anderen Türen steht jeweils eine
Ziege. Der Kandidat wählt eine Tür, die verschlossen bleibt.
Der Moderator, der die Verteilung kennt, öffnet daraufhin eine
andere Tür, hinter der sich eine Ziege befindet, und fragt den
Kandidaten, ob er bei seiner Entscheidung bleiben oder zur
zweiten verschlossenen Tür wechseln will.
1) Was würden Sie dem Kandidaten empfehlen? Begründen Sie Ihre Entscheidung mit einem
mathematischen Satz aus dem Unterricht. (Eine Rechnung ist hierbei nicht erforderlich.)
2) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die zwei Ziegen hinter den drei Türen anzuordnen, wenn
hinter jeder Tür maximal eine Ziege stehen darf?
3) Der Mathematik Grundkurs hat das Spiel
„Schweine würfeln“ untersucht. Die folgende Tabelle
zeigt, wie oft die Schweine in welcher Lage liegen
blieben.
Tragen Sie in die Tabelle ein, wie häufig „Backe“ fiel und bestimmen Sie die relative
Häufigkeit der Lage „Suhle“. Handelt es sich hierbei um ein Laplaceexperiment? Begründen
>
4) Definieren Sie, was Sie unter einem Binomialkoeffizienten F I verstehen und berechnen Sie
Sie Ihre Entscheidung.
100
mit Ihrer Definition F
I.
99
5) Die Formel von Bernoulli aus dem Unterricht ist ein Produkt, bestehend aus drei Faktoren,
>
wovon einer der Binomialkoeffizient F I ist. Wie lauten die beiden anderen Faktoren? Welchen
Wert liefert die Bernoulliformel für
Binomialkoeffizienten.
> >? Denken Sie hierbei an die Rolle des
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Donnerstag, 21. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Lagebeziehungen zweier Ebenen, Schnittwinkel, Orthogonalität)
1) Welche Lagebeziehungen zweier Ebenen im Anschauungsraum ℝ" sind möglich?
Aus dem Unterricht ist eine explizite Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden Q ∶
ℎ∶
bekannt. Seien dazu
Q∶
=
+.∙
ℎ ∶
=
und
+ ∙ >
Dann ergibt sich der Schnittwinkel = von Q und ℎ aus der Formel:
cos = =
| ∙ >|
| | ∙ |>|
Zwei Geraden im Anschauungsraum ℝ³, die sich schneiden, stehen genau dann senkrecht
aufeinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind.
2) Die beiden Geraden Q ∶
0
1
= −3 + . 3 undℎ ∶
3
−1
=
1
6 +
10
in genau einem Punkt. Bestimmen Sie den Schnittwinkel = von Q und ℎ.
−1
3 schneiden sich
4
3) Addieren Sie die beiden Stützvektoren von Q und ℎ. Welchen Vektor erhalten Sie?
4) Beweisen Sie, dass Q nicht senkrecht auf ℎ steht.
4. Semester (Hauptgewinn im Lotto, hypergeometrische Verteilung, ML-Schätzungen)
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn im deutschen Lotto (6 aus 49)?
2) Geben Sie anhand eines Beispiels eine Größenvorstellung für Ihre in Teilaufgabe 1) ermittelte
Wahrscheinlichkeit an.
Aus dem Unterricht ist die folgende Formel für das Wahrscheinlichkeitsmaß der
> >−.
F IF
I
−
; ., > =
>
F I
hypergeometrischen Verteilung bekannt:
ℎ ,
3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 4 Richtige im deutschen Lotto?
4) Wie viele Reißzwecken sind ungefähr im folgenden Bild zu sehen? Geben Sie eine Schätzung
an und beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise.
5) Was versteht man unter einer Maximum – Likelihood – Schätzung? Geben Sie ein frei
gewähltes Beispiel an.
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Donnerstag, 21. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Lagebeziehungen zweier Geraden, Vektorprodukt, lineare Unabhängigkeit)
1) Welche vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Anschauungsraum ℝ" sind möglich?
Beschreiben Sie, wie man diese Lagebeziehungen klassifizieren kann.
Das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt der Vektoren
durch
×
C
= rC und
wC
rC w/ − wC r/
C
/
= rC × r/ = wC / − C w/
wC
w/
C r/ − rC /
/
= r/ im ℝ" ist definiert
w/
1
1
2) Bestimmen Sie exemplarisch das Vektorprodukt 3 × 3 . Wie heißt der Vektor, den Sie
2
2
erhalten?
3) Beweisen Sie allgemein die Gültigkeit von
Zwei Vektoren
wenn
×
und
≠ 0 gilt.
×
= 0. (Tipp: Nachrechnen!)
im Anschauungsraum ℝ" sind genau dann linear unabhängig,
4) Beweisen Sie, dass die beiden Vektoren
1
= 3 und
2
2
= 0 linear unabhängig sind.
2
4. Semester (Kombinatorik, mehrstufige Zufallsexperimente, Schätztheorie)
Im italienischen Lotto müssen sechs richtige Zahlen aus insgesamt 90 möglichen Zahlen
gewählt werden.
1) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs unterschiedliche Zahlen auf einem italienischen
Lottoschein anzukreuzen?
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn im italienischen Lotto und
geben Sie hierfür eine Größenvorstellung an.
3) Eine 2 – Zloty Münze wird zweimal hintereinander geworfen. Es fällt Wappen (W) oder Zahl
(Z). Fertigen Sie ein Baumdiagramm für dieses zweistufige Zufallsexperiment an. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal hintereinander Zahl fällt?
4) Wie viele Kugeln befinden sich ungefähr in dem folgenden Behälter? Geben Sie einen
Schätzwert an und beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise.
5) Angenommen Sie haben einen Fischteich geerbt und wollen wissen, wie viele Karpfen drin
sind. Dazu fangen Sie 40 Karpfen, markieren sie und setzen sie anschließend wieder aus. Nach
ein paar Tagen fangen Sie noch einmal Fische, diesmal sind es 20 Karpfen, davon sind 10
markiert. Geben Sie eine ML – Schätzung für die Anzahl der Karpfen im Fischteich an.
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Donnerstag, 21. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Parameterform einer Ebene, Vektorprodukt, lineare Unabhängigkeit)
1) Geben Sie drei nicht identische Punkte ã,
und ¤ im Anschauungsraum ℝ³ an.
2) Bestimmen Sie eine Parametergleichung ä ∶
durch die Punkte ã,
und ¤ verläuft.
= ö + . ∙ ÷ + ∙ =,., ∈ ℝder Ebene, die
Das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt der Vektoren
durch
×
C
= rC und
wC
rC w/ − wC r/
C
/
= rC × r/ = wC / − C w/
wC
w/
C r/ − rC /
/
= r/ im ℝ" ist definiert
w/
3) Bestimmen Sie exemplarisch das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren Ihrer Ebene aus
Teil 2. Welche geometrische Bedeutung hat das Kreuzprodukt?
4) Verifizieren Sie die Gleichung
Sind Vektoren
×
=− ×
im Anschauungsraum ℝ³. (Tipp: Nachrechnen!)
und 6 im Anschauungsraum ℝ" orthogonal, dann sind
5) Beweisen Sie, dass die beiden Vektoren
=
1
3 und
−1
und 6 linear unabhängig.
2
= 0 linear unabhängig sind.
2
4. Semester (Schätztheorie, Laplaceräume, Bayesscher Filter)
1) Schätzen Sie die Anzahl der Süßigkeiten in der Mitte des folgenden Behälters. Beschreiben
Sie hierbei Ihre Vorgehensweise.
2) Die Weihnachtsinsel ist eine 135 Quadratkilometer große Insel im indischen Ozean. Auf der
Weihnachtsinsel lebt die größte dokumentierte Population an Palmendieben (Krebstier). Der
Name rührt daher, dass ein Palmendieb auf Palmen klettert und Kokosnüsse isst.
Um die Anzahl der auf der Weihnachtsinsel lebenden
Palmendiebe näherungsweise zu bestimmen, werden an
einem Tag 400 dieser Krebstiere eingefangen und
anschließend wieder ausgesetzt. Zwei Tage später werden
erneut 300 Palmendiebe gefangen. Darunter befinden sich 2
markierte Tiere. Geben Sie mit einem Maximum –
Likelihood Argument eine Schätzung für die Anzahl der auf
der Weihnachtsinsel lebenden Palmendiebe an.
Ein fairer Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 wird zweimal hintereinander geworfen.
3) Wie viele unterschiedliche Wurfbilder können hierbei auftreten?
4) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der folgenden Ereignisse.
äC = Zweimalhintereinanderwirdeine1gewürfelt =
ä/ = Zweimalhintereinanderwirdkeine1gewürfelt
1, 1
ä" = DieSummebeiderAugenzahlenisteinePrimzahl}
5) Wozu benötigt man einen Bayesschen Filter? (Denken Sie an Ihren E – Mail Provider.)
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Donnerstag, 21. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Euklidische Norm, Normalenvektor einer Ebene, Punktprobe)
1) Wie berechnet man die Euklidische Norm (Länge) eines Vektors im Anschauungsraum ℝ" ?
Gegeben sei die Ebene ä ∶ 2 − 3r + w = 4 im Anschauungsraum ℝ" .
2) Bestimmen Sie den Normalenvektor > von ä. Welche (geometrische) Bedeutung hat >?
3) Berechnen Sie die Euklidische Norm von >.
4) Beweisen Sie, dass der Punkt † 2|1| − 1 auf der Ebene ä liegt und geben Sie einen frei
gewählten Punkt im Anschauungsraum ℝ" an, der nicht auf der Ebene ä liegt
4. Semester (Binomialverteilung, Abzählende Kombinatorik)
1) Wie lautet die Formel von Bernoulli? Erklären Sie die auftretenden Faktoren.
Das Reiseunternehmen OHM chartert ein Flugzeug, das 100 Passagiere befördern kann.
2) An einem Flug nehmen 99 Personen teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 99 Personen
anzuordnen, wenn die Reihenfolge der Passagiere unwichtig ist? Wie viele Möglichkeiten gibt
es, die verbleibenden Plätze anzuordnen? Vergleichen Sie beide Resultate und beschreiben Sie
Ihre Feststellung.
Aus Erfahrung weiß OHM, dass ein gebuchter Platz nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,90 auch
tatsächlich belegt wird.
3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 50 „auf gut Glück“ ausgewählten
gebuchten Plätzen höchstens 46 belegt wurden?
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Donnerstag, 21. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Geradengleichung, Umfang und Fläche eines Dreiecks)
1) Wie bestimmt man eine Geradengleichung im Anschauungsraum ℝ" ,die durch genau zwei
Punkte ã,
∈ ℝ" verläuft?
Gegeben ist das Raumdreieck ABC mit ã 4| − 2|2 ,
0|2|2 und ¤ 2| − 1|4 .
2) Stellen Sie die Seitenkanten des Dreiecks als Spaltenvektoren dar.
3) Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks ABC.
4) Beschreiben Sie, wie man die Fläche des Dreiecks ABC bestimmen kann. Eine quantitative
Berechnung ist nicht erforderlich.
4. Semester (Binomialverteilung, Abzählende Kombinatorik)
1) Was ist ein Bernoulliexperiment? Geben Sie ein frei gewähltes Beispiel für ein
Bernoulliexperiment an.
2) Nennen Sie die Bernoulliformel und diskutieren Sie diese für den Fall s = 1.
Das Reiseunternehmen TRAVEL chartert ein kleines Flugzeug, das 40 Passagiere befördern kann.
3) An einem Flug nehmen insgesamt 40 Personen teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 40
Passagiere anzuordnen?
Aus Erfahrung weiß TRAVEL, dass ein gebuchter Platz nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95
auch tatsächlich belegt wird.
4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 10 „auf gut Glück“ ausgewählten
gebuchten Plätzen genau 2 nicht belegt wurden?
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Donnerstag, 21. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Nullvektor, Determinante einer quadratischen Matrix, Ebenengleichung)
1) Was ist ein Nullvektor?
2) Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2 Matrix an.
1
Berechnen Sie exemplarisch die Determinante von F
0
2
I.
4
3) Wie lautet die Gleichung der Ebene ä, welche die folgenden Punkte ã,
ã 4|2|1 ,
3|6|1 ,¤ 0|0|5
und ¤ enthält?
4) Beweisen oder widerlegen Sie, dass der Ursprung @ 0|0|0 nicht auf Ihrer Ebene ä liegt.
4. Semester (Binomialverteilung, Zentraler Grenzwertsatz)
1) Geben Sie ein frei gewähltes Beispiel für eine Bernoullikette der Länge 5 an.
2) Nennen Sie die Bernoulliformel und diskutieren Sie diese für den Fall s = 0.
Das Reiseunternehmen JOURNEY chartert ein Flugzeug, das 200 Passagiere befördern kann.
Aus Erfahrung weiß JOURNEY, üblicherweise 5 Prozent aller Passagiere nicht erscheinen.
3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 10 „auf gut Glück“ ausgewählten
gebuchten Plätzen genau 3 nicht belegt wurden?
Das Reiseunternehmen JOURNEY überbucht generell Flugzeuge mit 200 Sitzplätzen um 3 Plätze.
4) Beschreiben Sie mögliche Vor – und Nachteile einer Flugzeugüberbuchung aus der
Perspektive des Reiseunternehmens.
5) Formulieren Sie den zentralen Grenzwertsatz und beschreiben Sie, wie man hiermit nun die
Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass es zu einem Engpass kommt.
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Freitag, 22. Mai 2015
Mündliche Prüfung
1. Semester (Definition der Differenzierbarkeit, Bedeutung der Ableitung)
5) Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Aussagen „wahr“ oder „falsch“ sind. Falls Sie „falsch“
angekreuzt haben, ist Ihre Entscheidung kurz und präzise zu begründen
Aussage
wahr
= ² − 2 besitzt die Ableitungsfunktion
Die Funktion
1
Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist eine Zahl.
Eine stetig differenzierbare Funktion
dann, wenn
1
= 0 für alle
aus
∶
,
,
falsch
Begründung
= .
→ ℝ ist konstant, genau
erfüllt ist.
Die Tangentensteigung bestimmt sich rechnerisch aus dem Grenzwert
2 −2 (
2 −
= lim
5→5
− (
−
6
der Differenzenquotienten.
Esgilt: lim
5→56
(
(
= .
Ein Jack Russell rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die
Geschwindigkeit des Hundes, wobei positives
die Bewegung nach rechts, negatives v die
Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit
wird dabei in Meter pro Sekunde
Zeit in Sekunden ( ) gemessen. Der Jack Russell startet zum Zeitpunkt
Zaunes.
(
/ , die
= 0 in der Mitte des
6) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Jack Russell nach links bzw. nach rechts?
7) Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach links bzw. rechts erreicht?
8) Wann wird der Hund schneller, wann langsamer?
9) In welchen Zeitintervallen, bzw. zu welchen Zeitpunkten bewegt sich der Hund nicht?
4. Semester (Nadelexperiment von Buffon, Häufigkeiten, mehrstufige Zufallsexperimente, BV)
1) Beschreiben Sie das Nadelexperiment von Buffon. Welche Zahl kann man mit diesem Monte
Carlo Verfahren näherungsweise berechnen?
Svenja hat 40 Mal das Glücksrad gedreht und die Ergebnisse in einer Strichliste festgehalten:
2) Ergänzen Sie die folgende Tabelle mithilfe der Angaben aus Svenjas Strichliste.
3) Merle dreht das Glücksrad zweimal hintereinander. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für
die folgenden Ereignisse: Ereignis A: „Es wird zweimal nacheinander die 8 angezeigt.“
Ergebnis B: „Es wird zweimal nacheinander die gleiche Zahl angezeigt.“
4) Entscheiden Sie, ob das Gegenereignis richtig angegeben wurde. Begründen Sie Ihre
Entscheidung.
5) Beschreiben Sie, mit welcher Formel aus dem Unterricht man die folgende Frage beantworten
kann: „Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, wenn mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 98 Prozent mindestens einmal ein Sektor mit einer 8
ausgewählt werden soll?“
(Eine konkrete Berechnung ist hierbei nicht gefordert!)
Zugelassene Hilfsmittel: Nicht programmierbarer TR, Formelübersicht
Freitag, 22. Mai 2015
Mündliche Prüfung
3. Semester (Lagebeziehung Gerade - Ebene, Vektorraumaxiome, Gleichungssysteme)
1) Welche Lagebeziehungen von Gerade und Ebene im Anschauungsraum ℝ" sind möglich?
2) Entscheiden Sie, ob die jeweiligen Aussagen „wahr“ oder „falsch“ sind. Kreuzen Sie
Zutreffendes an. In jedem Fall ist Ihre Entscheidung kurz und präzise zu begründen.
Aussage
wahr
falsch
Begründung
1
3
3
Im Anschauungsraum ℝ" gilt: 2 + 2 = 3 .
3
1
3
1
2
−1
Im Anschauungsraum ℝ" gilt: 2 ∙ 1 − 2 = 0 .
1
1
−1
Der Nullvektor besitzt die Euklidische Norm (Länge) 0.
Im Anschauungsraum ℝ" gilt:
2
2
0 ist orthogonal zu 0 .
−2
2
2
2
0 ∙ 0 = 4 − 4 = 0.
−2
2
1 2
Es gilt det F
I = 0.
1 2
Die Gerade Q ∶
0
1
= 0 + . 1 besitzt keinen Stützvektor.
0
1
3) Nennen Sie zwei unterschiedliche Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
4) Finden Sie reelle
und r, sodass die folgende Vektorgleichung im ℝ" erfüllt ist.
r
2
0
∙ 2 + r = 0
r
3
0
4. Semester (Kombinatorik, bedingte Wahrscheinlichkeit)
1) Beschreiben Sie das Nadelexperiment von Buffon. Was kann man hiermit bestimmen?
2) Berechnen Sie jeweils die folgenden Werte.
5! = ______________________
5
F I = _______________________
3
1000
F
I = _______________________
999
10
3) Um den Wert des Binomialkoeffizienten F I zu berechnen, kann man folgende
11
kombinatorische Überlegung berücksichtigen: In einem Osternest mit 10 unterschiedlich
gefärbten Ostereiern sollen 11 Ostereier ausgewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es
10
Bestimmen Sie hiermit den Wert des Binomialkoeffizienten F I.
11
hierfür?
4) a) Wie viele verschiedene „Wörter“ kann man aus den Buchstaben des Wortes
LOTTOMODELL bilden, wenn jeweils alle Buchstaben verwendet werden sollen?
b) Zwei identische Kugeln sollen in 3 unterscheidbare Kästen untergebracht werden. Wie viele
Möglichkeiten gibt es hierfür? Wie viele Möglichkeiten gibt es, 15 identische Kugeln in 3
unterscheidbare Kästen unterzubringen?
5) Falls Sie am Sonntagmorgen das Radio bei einem zufällig gewählten Sender einstellen,
erklingt mit 20 Prozent Wahrscheinlichkeit Orgelmusik, an den anderen Vormittagen nur mit
2 Prozent Wahrscheinlichkeit. Nun hatten Sie in den Frühlingsferien ein etwas unstrukturiertes
Leben, die Tage der Woche waren alle gleichberechtigt. An irgendeinem Vormittag wachten
Sie auf, und beim Radio – Einschalten – der Sender wurde zufällig gewählt – erklang
Orgelmusik. Geben Sie an, mit welchem mathematischen Satz aus dem Unterricht man die
Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass dann Sonntag ist? (Eine konkrete Berechnung ist
hier nicht erforderlich!)
Berlin Charlottenburg – Wilmersdorf
Dienstag, 10. März 2015
Mündliche (Probe-) Prüfungsaufgaben
1. Semester (Differentialrechnung und ihre Anwendung zur Untersuchung von
Funktionseigenschaften)
1) Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Aussagen „wahr“ oder „falsch“ sind. Falls Sie „falsch“
angekreuzt haben, ist Ihre Entscheidung kurz und präzise zu begründen
Aussage
wahr
= 3 ² + 2 besitzt die Ableitungsfunktion
Die Funktion
falsch
Begründung
= .
1
Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist eine Zahl.
Die Tangentensteigung bestimmt sich rechnerisch aus dem Grenzwert
der Differenzenquotienten.
5 −5 (
= 5 + 12
56 →(
− (
Esgilt: lim
Die Tangentensteigung bestimmt sich geometrisch aus dem
Steigungsdreieck der Sekanten.
2) Gegeben ist die Funktion
= 2 − ² ∙ _5
Bestimmen Sie eine Nullstelle von und entscheiden Sie begründet, welcher der folgenden
Graphen A oder
zu
10
gehört. Begründen Sie Ihr Entscheidung!
8
4
B
6
A
2
4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
2
-2
-10
-4
-6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
-8
-8
3) Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion, die genau ein lokales Maximum und keine
Wendestelle besitzt.
8
10
3. Semester (Analytische Geometrie und lineare Algebra, Vektoren im
Anschauungsraum, Ebenen)
1) Was ist ein Vektor? Was ist ein Nullvektor?
2) Eine Nadel besitze im Anschauungsraum ℝ" die Koordinaten: ã 1|6|0 (gespitzter
Anfangspunkt) und F , 2, 0I (Endpunkt)
G
C(
z
y
x
Bestimmen Sie die Länge dieser Nadel.
3) Die Nadel liegt in einer Ebene mit der Höhe w = 0. Außerdem enthält ä den
Koordinatenursprung
0|0|0 . Bestimmen Sie eine vektorielle Gleichung für ä, welche
durch die drei Punkte ã, und
gegeben ist. Wie bestimmt man den Normalenvektor der
beiden Richtungsvektoren? (Sie brauchen diesen hier nicht explizit auszurechnen!) Welche
geometrische Bedeutung hat der Normalenvektor für Ihre Ebeneä?
4. Semester (Elementare Stochastik, Nadelexperiment von Buffon)
1) Beschreiben Sie kurz und präzise das Nadelexperiment von Buffon.
2) Ergänzen Sieden folgenden Lückentext sinnvoll.
Es geht um ein berühmtes Experiment aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, dass auf den
Grafen George Comte de Buffon aus dem Jahre 1777 zurückgeht. Es handelt sich um das erste
Monte-_________-Verfahren der Mathematikgeschichte. Unter einem Monte-_________Verfahren verstehen wir ein Verfahren, bei denen der Zufall zu Berechnungen eingesetzt wird.
George Comte de Buffon war Privatgelehrter mit vielen Interessen, berühmt ist er durch das
folgende Nadelexperiment geworden:Man nehme ein liniertes Blatt Papier (Linienabstand •)
und eine Nadel der Länge ´; es soll ´ < • sein. Nun wird die Nadel „zufällig“ auf das Papier
„fallen gelassen“, und uns interessiert, ob sie eine der Linien schneidet.
Es bezeichne >L die Anzahl aller Nadeln mit der gleichen Länge ´ und >¡ die Anzahl aller
Nadeln, die eine der Linien kreuzen und • ist der Abstand zweier benachbarter Linien.
Gesucht ist dann ein n___________________ Wert für den folgenden Quotienten:
2 ∙ >L ∙ ´
>¡ ∙ •
Wir erkennen, dass wir überraschenderweise mit dem Buffonschen Nadelexperiment
näherungsweise ______________________ approximieren können, das heißt
2 ∙ >L ∙ ´
______ ≈
>¡ ∙ •
Als Schüler der Sekundarstufe I kennt man die irrationale und transzendente Zahl _____
normaler- weise nur von der Kreisberechnung her. Die hier aufgezeigte Verbindung zwischen
Zufall und der Zahl _____ stellt eine interessante Entdeckung dar. Mit Mitteln der
Integralrechnung können wir als Anwendung der G____________________ eine Formel für
die Wahrscheinlichkeit, ob eine Nadel die Linien schneidet (Ereignis ä), angeben. Es ist:
=
ℙ ä = Ó∙8.
/∙—
Beweis: Eine Nadel „zufällig zu werfen“ entspricht der g__________________ Auswahl eines
Tupels ö, r aus Ω = 0, ‘/2 × 0, •/2 . Hierbei bezeichnet r den minimalen Abstand des
Mittelpunktes der der Nadel zur nächstliegenden Linie. Geometrisch erkennt man, dass eine
Nadel die Linie schneidet, genau dann, wenn r ≤ ´/2 sin ö gilt. Das ist das uns
interessierende Ereignis, wir bezeichnen es mit ä. ä ist die Fläche unter dem Graphen der
Funktion ö ↦ ´/2 sin ö, diese Funktion ist auf 0, ‘/2 definiert. Folglich ist der
Flächeninhalt gleich ¡(
´/2 sin ö •ö = ´/2. Damit resultiert mit der Formel für die
G___________________:
Ó//
#ä ¡(
ℙ ä =
=
#Ω
Ó//
´/2 sin ö •ö
‘/2 •/2
=
2∙´
.
‘∙•
3) Wie viele verschiedene „Wörter“ kann man mit den Buchstaben des Wortes
NADELEXPERIMENT bilden, wenn jeweils alle Buchstaben verwendet werden sollen?
Mündliche (Probe-) Prüfung - Kurzlösung
1. Semester
1) Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Aussagen „wahr“ oder „falsch“ sind. Falls Sie „falsch“
angekreuzt haben, ist Ihre Entscheidung kurz und präzise zu begründen
Aussage
wahr
= 3 ² + 2 besitzt die Ableitungsfunktion
Die Funktion
falsch
= .
1
Begründung
=6
1
Es ist:
Summen-/ Potenz und
Konstantenregel
Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist eine Zahl.
Die Tangentensteigung bestimmt sich rechnerisch aus dem Grenzwert
der Differenzenquotienten.
Differentialquotient
5 −5 (
Esgilt: lim
= 5 + 12
56 →(
− (
1
5 −5 (
56 →(
− (
0 = lim
= 5.
hiermit bestimmt man
Die Tangentensteigung bestimmt sich geometrisch aus dem
nur die mittlere Steigung
Steigungsdreieck der Sekanten.
in einem Intervall.
= 2 − ² ∙ _5
2) Gegeben ist die Funktion
=5
Bestimmen Sie eine Nullstelle von und entscheiden Sie begründet, welcher der folgenden
Graphen A oder
zu
gehört. Begründen Sie Ihr Entscheidung!
= 0. (Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null
10
B
ist). Es ist Graph A (denn
= 0 ist eine Nullstelle.)
Eine Nullstelle ist
(
(
4
8
6
A
2
4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
2
-2
-10
-4
-6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
-8
-8
3) Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion, die genau ein lokales Maximum und keine
Wendestelle besitzt.
8
10
3. Semester (Analytische Geometrie und lineare Algebra, Vektoren im Anschauungsraum,
Ebenen)
1) Was ist ein Vektor?
Unter einem Vektor ein einem Anschauungsraum versteht man die Menge aller Pfeile, die
gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Ein einzelner Pfeil aus dieser
Menge heißt ein Repräsentant des Vektors.
Was ist ein Nullvektor?
Nullvektor 0 nennt man denjenigen Vektor, der durch die identische Abbildung in der Menge
der Verschiebungen beschrieben wird. Für jeden Vektor
0+
= .
im Anschauungsraum gilt
+0=
2) Eine Nadel besitze im Anschauungsraum ℝ" die Koordinaten: ã 1|6|0 (gespitzter
Anfangspunkt) und FC( , 2, 0I (Endpunkt)
G
z
y
x
Bestimmen Sie die Länge dieser Nadel.
Mit der Abstandsformel resultiert: • ã|
=
G /
F1 − C(I + 6 − 2 ² + 0² ≈ 4,00125ßä
3) Die Nadel liegt in einer Ebene mit der Höhe w = 0. Außerdem enthält ä den
Koordinatenursprung
0|0|0 . Bestimmen Sie eine vektorielle Gleichung für ä, welche
durch die drei Punkte ã, und
1
ä ∶ = . 6 +
0
gegeben ist.
0,9
2 ,., ∈ ℝ
0
Wie bestimmt man den Normalenvektor der beiden Richtungsvektoren? (Sie brauchen diesen
1
0,9
d.h. > = 6 × 2
0
0
hier nicht explizit auszurechnen!) U. a. mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren,
Welche geometrische Bedeutung hat der Normalenvektor für IhreEbeneä?
Der Normalenvektor > liegt senkrecht auf ä.
4. Semester (Elementare Stochastik, Nadelexperiment von Buffon)
1) Beschreiben Sie kurz und präzise das Nadelexperiment von Buffon.
Approximatives Verfahren zur Bestimmung der Kreiszahl Pi. Ggf. Versuchsaufbau
beschreiben, (siehe 2))
2) Ergänzen Sie den folgenden Lückentext sinnvoll.
Es geht um ein berühmtes Experiment aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, dass auf den
Grafen George Comte de Buffon aus dem Jahre 1777 zurückgeht. Es handelt sich um das erste
Monte-Carlo-Verfahren der Mathematikgeschichte. Unter einem Monte- Carlo-Verfahren
verstehen wir ein Verfahren, bei denen der Zufall zu Berechnungen eingesetzt wird. George
Comte de Buffon war Privatgelehrter mit vielen Interessen, berühmt ist er durch das folgende
Nadelexperiment geworden:Man nehme ein liniertes Blatt Papier (Linienabstand •) und eine
Nadel der Länge ´; es soll ´ < • sein. Nun wird die Nadel „zufällig“ auf das Papier „fallen
gelassen“, und uns interessiert, ob sie eine der Linien schneidet.
Es bezeichne >L die Anzahl aller Nadeln mit der gleichen Länge ´ und >¡ die Anzahl aller
Nadeln, die eine der Linien kreuzen und • ist der Abstand zweier benachbarter Linien.
Gesucht ist dann ein näherungsweiser Wert für den folgenden Quotienten:
2 ∙ >L ∙ ´
>¡ ∙ •
Wir erkennen, dass wir überraschenderweise mit dem Buffonschen Nadelexperiment
näherungsweise die Kreiszahl £approximieren können, das heißt
2 ∙ >L ∙ ´
£≈
>¡ ∙ •
Als Schüler der Sekundarstufe I kennt man die irrationale und transzendente Zahl
£normalerweise nur von der Kreisberechnung her. Die hier aufgezeigte Verbindung zwischen
Zufall und der Zahl £stellt eine interessante Entdeckung dar. Mit Mitteln der
Integralrechnung können wir als Anwendung der Gleichverteilung eine Formel für die
Wahrscheinlichkeit, ob eine Nadel die Linien schneidet (Ereignis ä), angeben. Es ist: ℙ ä =
=
/∙—
.Beweis:
Ó∙8
Tupels ö, r aus Ω = 0, ‘/2 × 0, •/2 . Hierbei bezeichnet r den minimalen Abstand des
Mittelpunktes der der Nadel zur nächstliegenden Linie. Geometrisch erkennt man, dass eine
Nadel die Linie schneidet, genau dann, wenn r ≤ ´/2 sin ö gilt. Das ist das uns
interessierende Ereignis, wir bezeichnen es mit ä. ä ist die Fläche unter dem Graphen der
Funktion ö ↦ ´/2 sin ö, diese Funktion ist auf 0, ‘/2 definiert. Folglich ist der
Eine Nadel „zufällig zu werfen“ entspricht der gleichverteilten Auswahl eines
Flächeninhalt gleich ¡(
Ó//
Gleichverteilung
´/2 sin ö •ö = ´/2. Damit resultiert mit der Formel für die
#ä ¡(
ℙ ä =
=
#Ω
Ó//
´/2 sin ö •ö
‘/2 •/2
=
2∙´
.
‘∙•
3) Wie viele verschiedene „Wörter“ kann man mit den Buchstaben des Wortes
15!
≈ 2,724 ∙ 10C(
2! 4!
NADELEXPERIMENT bilden, wenn jeweils alle Buchstaben verwendet werden sollen?
=
Berlin Charlottenburg – Wilmersdorf
Grundkurs Mathematik, Klasse 13
Freitag, 13. März 2015
Mündliche (Probe-) Prüfung
3. Semester (Rechnen mit Vektoren, Basis, Matrix, Determinante, Vektorieller Beweis)
1) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ/ w6.ℝ" addieren, subtrahieren, multiplizieren? Geben
2
Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
Was versteht man unter einer quadratischen > × > −Matrix ã? Was ist die Determinante einer
quadratischen Matrix ã?Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Determinante einer 2 × 2
Matrix an. Wie kann man unter Verwendung von Determinanten zwei Vektoren im ℝ/ auf
1
−2
lineare Unabhängigkeit untersuchen? Ist das Erzeugendensystem àF I , F Iá ⊂ ℝ² eine
3
1
Basis des ℝ²?
3) Beweisen Sie die folgende Aussage unter Verwendung von Vektoren: Die Diagonalen eines
Parallelogramms halbieren einander.
4. Semester (Lottospiel, hypergeometrische Verteilung, Schätzen, Maximum Likelihood Schätzer)
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im deutschen Lotto (6 aus 49) genau 6 richtige Zahlen
anzukreuzen (Hauptgewinn)? Geben Sie eine Größenvorstellung für diese Wahrscheinlichkeit an.
2) Wie lautet das Wahrscheinlichkeitsmaß der hypergeometrischen Verteilung? Berechnen Sie
hiermit die Wahrscheinlichkeit für genau vier Richtige im deutschen Lotto.
3) Geben Sie einen Schätzwert für die Anzahl der Erbsen im folgenden Bild an.
4) Angenommen Sie wollen wissen, wie viele Löwen es ein einem separaten Regenwaldabschnitt
gibt. Sie fangen dazu 40 Löwen, markieren sie und lassen sie danach wieder frei. Nach ein paar
Tagen fangen Sie erneut Löwen, diesmal sind es 60 Löwen, davon sind 2 markiert. Geben Sie ein
ML – Schätzer für die Anzahl der Löwen im Dschungel an.
6) Hilfe?!
Schlusswort: Zehn Dinge, mit denen Sie in Ihrer schriftlichen Abiturprüfung
nicht durchkommen:
Achtung: Hier wird als Stilmittel der Sarkasmus verwendet. Diese 10 Dinge sind nur der Unterhaltung
halber beschrieben und sollen Ihr Verhalten nicht beeinflussen.
Geben Sie für eine Prüfungsfrage zwei Lösungen an
Wenn Sie sich nicht entscheiden können, welche von zwei Lösungen die richtige ist,
schreiben Sie sie beide hin, unterkringeln Sie beide irgendwie und streichen Sie sie irgendwie
halbherzig durch. Wenn eine von Ihren beiden Lösungen richtig ist, wir der Lehrer im Zweifel
einen Punkt für Sie geben.
Schreiben Sie in Prüfungen unleserlich
Ermitteln Sie die Lösung auf Ihrem Taschenrechner und schreiben Sie Ihren „Lösungsweg“
dann so schlampig, dass der Lehrer ihn nicht lesen kann. Weil Sie die richtige Antwort haben,
geht er davon aus, dass Sie wussten, was Sie tun, und gibt Ihnen die volle Punktzahl.
Zeigen Sie Ihren Lösungsweg in der Prüfung nicht auf
Ermitteln Sie die Lösung auf Ihrem Taschenrechner und schreiben Sie unter die Aufgabe
„Einfache Aufgabenstellung – im Kopf gelöst“. Der Lehrer wird Ihnen glauben.
Lösen Sie nicht alle Prüfungsaufgaben
Wer sagt, dass Sie alle Prüfungsaufgaben lösen müssen? Wenn eine Prüfung vier Seiten
umfasst, suchen Sie sich die Seite mit den schlimmsten Aufgaben, entfernen Sie, stecken Sie
sie in die Tasche und legen Sie die anderen Seiten sorgfältig wieder zusammen. Ihr Lehrer
wird denken, die Seite sei beim Kopieren verloren gegangen. Wenn Sie später den „fehlenden
Teil“ der Prüfung vervollständigen und alle Aufgaben perfekt beherrschen, wir Ihr Lehrer
keinen Verdacht schöpfen.
Machen Sie Ihre Lerngruppe für Ihre schlechten Noten verantwortlich
Sagen Sie Ihrem Lehrer, dass Ihre Lerngruppe Ihnen alles falsch erklärt hat, dass es also nicht
Ihr Fehler war. Ihr Lehrer wird die Prüfung wiederholen lassen.
Sagen Sie Ihrem Lehrer, dass Sie eine gute Note in Mathematik brauchen,
um Ihre Flamme zu beeindrucken.
Ihr Lehrer ist letztendlich ein Romantiker – und erinnert sich sicher an seine Schultage, als er
gut in Mathematik und damit Liebling aller Frauen war – und gibt Ihnen 15 Punkte.
Beschweren Sie sich, dass Prüfungen am frühen Morgen nicht fair sind,
weil Sie ein Morgenmuffel sind
Erklären Sie, dass Sie im Frühaufstehen einen persönlichen Angriff sehen. Ihr Lehrer erlaubt
Ihnen, alle Prüfungen nachmittags zu schreiben, und vertraut Ihnen, dass Sie in der
Zwischenzeit nicht mit ihren Freunden sprechen, die die Prüfung schon vormittags abgelegt
haben.
Stellen Sie das gesamte Notensystem in Frage
Verklagen Sie Lehrer, die annehmen, sie hätten das Recht, Ihnen eine Note zu geben. Wer
sind sie, dass sie glauben, Sie beurteilen zu können? Treten Sie als engagierter Notengegner
auf. Argumentieren Sie, dass Noten eine ungerechte Bewertung von Talent und Intelligenz
darstellen – und dass das gesamte System menschenfeindlich ist. Ihr Lehrer wird von Ihren
philosophischen Abhandlungen beeindruckt sein und lässt Sie alle Prüfungen bestehen.
Lösen Sie während der Prüfung den Feueralarm aus
Das ist nun wirklich ein bisschen kindisch – im Gegensatz zu den vorherigen Tipps, natürlich.
Verwenden Sie diese Prüfungsvorbereitung als Entschuldigung
Wenn Sie keine der obigen Ausreden anbringen können, sagen Sie Ihrem Lehrer, dass Sie
meinten, es stimmt, weil Sie es in einem Buch gelesen haben. Ihr Lehrer wird Ihnen sicher
glauben.
Viel Erfolg für Ihre mündliche Prüfung,
wünscht Ihnen,
Matthias Rehder