Mechanik und Festigkeitslehre
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Karlheinz Kabus Mechanik und Festigkeitslehre 7., aktualisierte Auflage Kabus Mechanik und Festigkeitslehre Karlheinz Kabus Mechanik und Festigkeitslehre unter Mitarbeit von Bernd Kretschmer und Peter Möhler mit 530 Bildern, 266 Lehrbeispielen und einer Beilage mit 42 Tabellen, 25 Diagrammen und zahlreichen Formeln 7., aktualisierte Auflage Dipl.-Ing. Karlheinz Kabus, Studiendirektor i. R. (yÞ Dipl.-Ing. Bernd Kretschmer, Studiendirektor an der Staatlichen Technikerschule Berlin Dr.-Ing. Peter Möhler, Studienrat an der Staatlichen Technikerschule Berlin Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. ISBN 978-3-446-43534-6 E-Book ISBN 978-3-446-43618-3 Einbandfoto: Gittermastkran (Author: Smial at de.wikipedia), Permission: CC-BY-SA-2.0-DE Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. # 2013 Carl Hanser Verlag München www.hanser-fachbuch.de Projektleitung: Jochen Horn Herstellung: Katrin Wulst Satz: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza Druck und Bindung: Friedrich Pustet KG, Regensburg Printed in Germany Vorwort Mechanik und Festigkeitslehre gehören zu den wichtigsten theoretischen Grundlagen jedes Technikers und Ingenieurs. Das vorliegende Buch will dem studierenden Nachwuchs bei der Erarbeitung dieser Grundlagen behilflich sein und ihn zur selbstständigen Lösung praktischer Aufgaben befähigen. Es ist besonders für den Gebrauch an Technikerschulen und Fachhochschulen gedacht. Für das Selbststudium und für Praktiker, die ihre theoretischen Kentnisse auffrischen oder erweitern wollen, ist es ebenfalls geeignet. Der Stoffumfang ist vorwiegend auf das Technikerstudium abgestimmt. Einige Kapitel gehen darüber hinaus, um auch Studenten an Fachhochschulen ein Hilfsmittel zum besseren Verständnis der Vorlesungen in Technischer Mechanik und interessierten Benutzern Weiterbildungsmöglichkeiten zu bieten. Auf eine Anwendung der höheren Mathematik wurde verzichtet, da diese an Technikerschulen nicht gelehrt wird. Bis auf wenige Ausnahmen werden die Berechnungsgleichungen hergeleitet und danach als Größengleichungen angegeben, so dass mit beliebigen Einheiten gerechnet werden kann. Die verwendeten Einheiten und Formelzeichen entsprechen den in einem Verzeichnis zusammengestellten neuesten Ausgaben der einschlägigen DIN-Normen und den gesetzlich vorgeschriebenen SI-Einheiten. Auf die üblichen Einheiten wird hingewiesen. In Übereinstimmung mit dem täglichen Sprachgebrauch sowie den Normenempfehlungen werden die Worte Gewicht und Last im Sinne einer Massengröße verwendet. Wenn Gewicht als Kraftgröße gemeint ist, wird der Ausdruck Gewichtskraft benutzt. Die Nummerierung der Bilder, Gleichungen und Lehrbeispiele erfolgte kapitelweise. Kontrollfragen am Ende eines in sich abgeschlossenen Sachgebietes sollen die Lernzielkontrolle erleichtern. Praxishinweise machen auf die Bedeutung des jeweiligen Lernstoffes für die Berufsarbeit aufmerksam. Dabei werden auch die früher verwendeten, nicht mehr zugelassenen Einheiten und die in der Praxis gebräuchlichen Zahlenwertgleichungen erwähnt. Lehrbeispiele aus vielen Gebieten der Technik ermöglichen eine Vertiefung des dargebotenen Stoffes. Bei der Auswahl der Beispiele wurde eine enge Beziehung zur Praxis angestrebt. Für häufig vorkommende Aufgabenarten werden Arbeitsschritte empfohlen. Dem Prinzip der Größengleichung folgend, sind auch bei den Zwischenrechnungen die Einheiten mitgeschrieben, so dass man bei umfangreichen Gleichungen nicht die Übersicht verliert. Nur wenn Einheiten sich offensichtlich herauskürzen, wurden sie weggelassen. Die Genauigkeit der Ergebnisse wurde in der Regel auf vier Ziffern beschränkt. Wird mit der gesamten vom Rechner angezeigten Stellenanzahl weitergerechnet, so ergeben sich in manchen Fällen etwas abweichende Resultate. Weitere Übungsmöglichkeiten bietet die auf das Lehrbuch abgestimmte Aufgabensammlung „Mechanik und Festigkeitslehre – Aufgaben“. Sie enthält eine große Zahl vom Leser zu lösender Aufgaben. Alle Tabellen und Diagramme (Bildnummern mit vorgesetztem A), die zum Lösen von Aufgaben benötigt werden, sind in einem separaten Anhang untergebracht, der auch eine Zusammenstellung der wichtigsten Formeln enthält. Die für Festigkeitsberechnungen erforderlichen Werkstoffkennwerte und sonstige Einflussziffern sowie Erfahrungswerte für erforderliche Sicherheiten bzw. zulässige Spannungen sind darin angegeben, womit die Berechnung vieler Bauteile ohne weitere Unterlagen möglich ist. Der lose beigefügte Anhang kann, z. B. bei Prüfungen, unabhängig vom Lehrbuch benutzt werden. Besonderer Wert wurde auf eine Übereinstimmung mit dem im gleichen Verlag erschienenen Lehrbuch Decker „Maschinenelemente“ und den dazugehörigen „Maschinenelemente-Aufgaben“ gelegt. Die „Mechanik und Festigkeitslehre“ enthält gewissermaßen das theoretische Rüstzeug für die genannten Bücher. Allen Kolleginnen und Kollegen und Lesern, die uns auf Verbesserungsmöglichkeiten hingewiesen haben, sagen wir herzlichen Dank. Bei den Mitarbeitern des Carl Hanser Verlages, besonders bei Herrn Jochen Horn, bedanken wir uns für die gute Zusammenarbeit. Wir hoffen, dass auch die 7. Auflage den Studierenden und den Lehrenden ebenso wie den bereits in der Praxis tätigen Technikern und Ingenieuren ein brauchbares Hilfsmittel werden möge. Anregungen und Verbesserungsvorschläge werden weiterhin dankbar entgegengenommen. Bernd Kretschmer Peter Möhler Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 Einführung . . . . . . . Aufgaben und Gliederung der Größen und Einheiten . . . Koordinatensysteme . . . . . . . . . Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 14 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 Statik starrer Körper . . . . . . . . . . Die Kraft . . . . . . . . . . . . . . . Kennzeichnung und Darstellung von Kräften . Verschiebesatz und Wechselwirkungsgesetz . Freimachen und Lagerungsarten . . . . . . Zentrales ebenes Kräftesystem . . . . . . . Das Kräfteparallelogramm . . . . . . . . Zeichnerische Kräfteermittlung . . . . . . Rechnerische Kräfteermittlung. . . . . . . Allgemeines ebenes Kräftesystem . . . . . Moment und Kräftepaar . . . . . . . . . Rechnerische Kräfteermittlung. . . . . . . Zeichnerische Kräfteermittlung . . . . . . Räumliche Kräftesysteme . . . . . . . . . Zentrales räumliches Kräftesystem . . . . . Allgemeines räumliches Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 17 18 22 22 23 28 32 33 36 39 44 44 47 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 Ebene Fachwerke . . . . . . . . . Aufbau, Annahmen und Voraussetzungen Ermittlung von Stabkräften . . . . . . Rechnerische Stabkraftermittlung . . . Zeichnerische Stabkraftermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 53 53 54 4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 Schwerpunkt . . . . . . . . . Begriffsbestimmung, Grundlagen . Schwerpunktberechnung . . . . . Körper . . . . . . . . . . . . Flächen . . . . . . . . . . . . Linien . . . . . . . . . . . . Gleichgewichtslagen, Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 57 58 58 59 61 62 5 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.4 5.4.1 5.4.2 5.5 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . Haft- und Gleitreibung . . . . . . . . . . . Reibungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . Reibungswinkel, Selbsthemmung, Haftsicherheit Reibung auf geneigter Ebene . . . . . . . . Technische Anwendung des Reibungsgesetzes . Gleitführungen . . . . . . . . . . . . . . Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . Reibungskupplungen und -bremsen . . . . . . Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rollen und Rollenzüge . . . . . . . . . . . Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . Seilreibungsgleichung . . . . . . . . . . . Technische Anwendung der Seilreibung . . . . Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 66 66 68 71 74 74 76 79 81 82 84 84 85 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Inhaltsverzeichnis 5.5.1 5.5.2 Rollwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . Geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . Gleichförmige geradlinige Bewegung . . . . . . . Ungleichförmige geradlinige Bewegung . . . . . . Kreis- und Drehbewegung . . . . . . . . . . . . Gleichförmige Kreis- und Drehbewegung . . . . . . Ungleichförmige Kreis- und Drehbewegung. . . . . Übersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammengesetzte Bewegungen . . . . . . . . . Geradlinige Bewegungen . . . . . . . . . . . . Waagerechter und schräger Wurf . . . . . . . . . Radialbeschleunigung bei Kreisbewegung . . . . . Relativ- und Absolutbewegung, Coriolisbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 90 90 90 92 99 99 101 104 107 107 110 114 115 7 7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . Translation . . . . . . . . . . . . . . . . Trägheitsgesetz, Grundgesetz der Dynamik . . . Anwendung des Grundgesetzes der Dynamik . . Trägheitskraft, Prinzip von d’Alembert . . . . Impuls, Impulssatz . . . . . . . . . . . . . Arbeit, Energie, Leistung . . . . . . . . . . Arbeit einer Kraft . . . . . . . . . . . . . Energie und Energiesatz. . . . . . . . . . . Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . Gerader zentrischer Stoß . . . . . . . . . . Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . Plastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . Wirklicher Stoß . . . . . . . . . . . . . . Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundgesetz der Dynamik für Drehbewegung . . Trägheitsmomente, Steinerscher Satz . . . . . Drehimpuls, Drehimpulssatz . . . . . . . . . Arbeit, Energie und Leistung bei Drehbewegung . Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 120 120 122 125 127 129 129 132 137 141 141 142 144 146 148 148 151 155 156 162 8 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.3 8.3.1 8.3.2 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.4.5 Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . Schwingungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . Schwingungen mit geradliniger Bewegung . . . . . . Pendelschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . Dreh- oder Torsionsschwingungen. . . . . . . . . . Freie gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . Dämpfungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . Fremderregung von Schwingsystemen . . . . . . . . Federkrafterregung . . . . . . . . . . . . . . . . Unwucht- oder Massenkrafterregung. . . . . . . . . Kritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . Schwingungsisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 167 169 169 176 180 183 183 184 188 188 189 192 196 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 88 Inhaltsverzeichnis 9 9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4 9.1.5 9.1.6 9.1.7 9.2 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.3.5 9.3.6 9.3.7 9.4 9.4.1 9.4.2 9.4.3 9.4.4 9.4.5 9.4.6 9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.6 9.6.1 9.6.2 9.6.3 9.7 9.7.1 9.7.2 9.7.3 9.7.4 9.8 9.8.1 9.8.2 9.8.3 9.8.4 Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannung und Formänderung . . . . . . . . . . . . . Begriff der Spannung und der Festigkeit. . . . . . . . . Freischneiden, Schnittkräfte und -momente . . . . . . . Normal- und Tangentialspannungen . . . . . . . . . . Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . Dehnung, Hookesches Gesetz, Elastizitätsmodul . . . . . Schiebung, Gleitmodul . . . . . . . . . . . . . . . . Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . Lastfälle, Sicherheiten, zulässige Spannungen . . . . . . Lastfälle, Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . Werkstofffestigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . Sicherheiten, zulässige Spannungen . . . . . . . . . . Zug-, Druck- und Scherbeanspruchung . . . . . . . . . Beanspruchung auf Zug oder Druck . . . . . . . . . . Reiß- und Traglänge bei Zugbeanspruchung . . . . . . . Zugspannungen durch Fliehkräfte . . . . . . . . . . . Wärmespannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Walzenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beanspruchung auf Scheren (Abscheren) . . . . . . . . Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . Biegespannungen in geraden Trägern . . . . . . . . . . Flächenmomente, Widerstandsmomente . . . . . . . . . Biegemomente, Quer- und Längskräfte . . . . . . . . . Berechnung biegebeanspruchter Bauteile . . . . . . . . Schubspannungen bei Biegebeanspruchung . . . . . . . Durchbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verdrehbeanspruchung (Torsion) . . . . . . . . . . . . Verdrehbeanspruchung kreisförmiger Querschnitte . . . . Verdrehung nichtkreisförmiger Querschnitte . . . . . . . Verdrehwinkel, Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . Zusammengesetzte Beanspruchung . . . . . . . . . . . Überlagerung von Spannungen, Festigkeitshypothesen . . . Biegung mit Zug oder Druck . . . . . . . . . . . . . Biegung mit Verdrehung . . . . . . . . . . . . . . . Gestaltfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kerbwirkung, Bauteilfestigkeit . . . . . . . . . . . . Kerbwirkungszahl, Spannungsgefälle . . . . . . . . . . Berechnung auf Gestaltfestigkeit (Dauerhaltbarkeit) . . . . Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen nach DIN Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilitätsproblem Knicken . . . . . . . . . . . . . . Elastische Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . Unelastische Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . Omega-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10.1 10.2 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 10.3 Hydromechanik . . . . . . . . . . . Einteilung, Eigenschaften von Flüssigkeiten Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . Druckausbreitung in Flüssigkeiten . . . . Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . Druckkräfte gegen Gefäßwände . . . . . Auftrieb und Schwimmen . . . . . . . Hydrodynamik reibungsfreier Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 202 202 203 206 207 209 211 212 213 213 215 217 219 219 222 223 224 225 228 229 233 233 235 240 252 256 259 264 264 267 268 269 269 271 274 277 277 279 281 289 295 295 296 298 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 301 302 302 306 308 311 316 10 10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4 10.4 10.4.1 10.4.2 10.4.3 10.5 10.5.1 10.5.2 10.5.3 Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen der Kontinuitäts- und der Bernoullischen Gleichung Kraftwirkungen stationärer Strömungen . . . . . . . . . . . Strömungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rückstoßkraft eines Flüssigkeitsstrahls . . . . . . . . . . . . Stoßkräfte von Fluidstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . Hydrodynamik wirklicher Strömungen . . . . . . . . . . . . Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laminare und turbulente Strömung, Reynolds-Zahl . . . . . . . Energieverluste in Rohrleitungsanlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 317 318 320 327 327 329 330 332 332 334 337 Verzeichnis der angeführten DIN-Normen und Richtlinien . . . . . . . . . . . . . . . 342 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Anhang (lose beigefügt): Tabellen, Diagramme, Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x. 1 Einführung 1.1 Aufgaben und Gliederung der Mechanik Lernziele: – Die Aufgabenstellung der Technischen Mechanik erläutern. – Die Gliederung der Mechanik in Teilgebiete angeben und die Inhalte der Teilgebiete erläutern. Die Mechanik ist als das älteste Teilgebiet der Physik eine für die Technik besonders wichtige Naturwissenschaft. Sie ist die Lehre von den Bewegungen der Körper und den Wirkungen der Kräfte auf feste, flüssige und gasförmige Körper. In der Technischen Mechanik werden die physikalischen Lehrsätze auf Körper angewendet, die in der Technik als Maschinen, Fahrzeuge, Geräte oder deren Teile vorkommen. Zur Aufgabenstellung der Technischen Mechanik gehört die Entwicklung von Methoden zur schnellen Lösung technischer Probleme, wobei es nicht immer auf exakte, sondern auf in kürzester Zeit erreichbare, für die Praxis ausreichende Nährungslösungen ankommt. Das Gesamtgebiet der Mechanik kann man in verschiedene Teilgebiete untergliedern: Die Kinematik ist die Lehre von den Bewegungen, unabhängig von den dabei wirkenden Kräften. Die Dynamik ist die Lehre von den Kräften und ihren Wirkungen. Sie wird unterteilt in die Kinetik, in der die Zusammenhänge zwischen Kräften und Bewegungen dargestellt werden, und in die Statik als Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte an einem Körper. Man kann die Statik als Sonderfall der Dynamik ansehen, bei dem zwar Kräfte, aber keine Bewegungsänderungen (Beschleunigungen oder Verzögerungen) auftreten. Die Körper befinden sich im Gleichgewicht (in Ruhelage oder in gleichförmig geradliniger Bewegung). Sie werden vereinfacht als starr aufgefasst (Statik starrer Körper). Aufgabe der Statik ist die Ermittlung unbekannter Kräfte. Die Kenntnis der am Körper angreifenden Kräfte ist eine Grundlage der Festigkeitsberechnung technischer Bauteile. Die Schwingungslehre behandelt Vorgänge, bei denen sich kennzeichnende Größen so ändern, dass sie nach bestimmter Zeit wiederkehren. Handelt es sich dabei um mechanische Größen, so spricht man von mechanischen Schwingungen. Wie in der Kinematik reicht es mitunter aus, nur den zeitlichen Verlauf der Schwingung zu betrachten. Untersucht man die Ursachen einer Schwingung, so müssen auch die wirkenden Kräfte und Momente einbezogen werden. Dies entspricht der Kinetik. Die Festigkeitslehre ist ein besonderes Teilgebiet der Technischen Mechanik. Es werden die elastisch-festen Körper untersucht, und zwar der Zusammenhang zwischen den äußeren und inneren Kräften und den durch diese hervorgerufenen Verformungen. Festigkeitsberechnungen gehören vornehmlich zu den Aufgaben des Konstrukteurs, der die Bauteile auf Haltbarkeit und Stabilität zu berechnen hat. Die Hydromechanik behandelt in der Hydrostatik die Kraftverhältnisse in ruhenden Flüssigkeiten und in der Hydrodynamik die Vorgänge in bewegten (strömenden) Flüssigkeiten. Die Mechanik kann auch nach dem Aggregatzustand (der Zustandsform) der Körper eingeteilt werden in die Mechanik der festen Körper (unterteilt in starre, elastische und plastische Körper), Mechanik der flüssigen Körper (Hydromechanik), Mechanik der gasförmigen Körper (Aeromechanik). Praxisnachweis Gründliche Kenntnisse der Technischen Mechanik und ihrer Verfahren zur Lösung technischer Probleme sind wichtige Voraussetzungen für eine erfolgreiche Arbeit von Technikern und Ingenieuren. Kontrollfragen: – Welche Aufgabe hat die Technische Mechanik? – In welche Teilgebiete kann die Mechanik eingeteilt werden? – Welche Inhalte haben die Kinematik, die Kinetik, die Statik und die Festigkeitslehre? 1.2 Größen und Einheiten Lernziele: – Die Begriffe physikalische Größe, Zahlenwert, Einheit und Größengleichung erklären. – Die in der Technischen Mechanik vorkommenden Basisgrößen und Basiseinheiten sowie deren übliche Vielfache und Teile nennen und Einheiten umrechnen. – Für zeichnerische Lösungen die Beträge von Größen in Streckenlängen umrechnen und umgekehrt. Zur Formulierung der naturwissenschaftlichen Gesetze bedient man sich der Mathematik und gibt die Zusammenhänge als Gleichung an. Die Größen der Mechanik sind physikalische Größen, für die Buchstaben als Kurzzeichen (Symbole) eingesetzt werden, z. B. l für Länge, s für die Wegstrecke, A für Fläche, V für Volumen, m für Masse, t für Zeit, v für Geschwindigkeit. In den Gleichungen (Formeln) treten sie als Formelzeichen auf (Tab. 1). Nach DIN 1313 wird der Größenwert als Produkt aus Zahlenwert und Einheit ausgedrückt, als Wortgleichung: ¨ ¼ Zahlenwert Einheit: Großenwert 12 1 Einführung Symbolisch wird eine physikalische Größe wie folgt angegeben: G ¼ fGg ½G: Darin bedeuten: G die Größe (durch Formelzeichen angegeben), fGg der Zahlenwert der Größe, [G] die Einheit der Größe. In der Angabe s ¼ 400 m bedeutet s die Größe, z. B. eine Wegstrecke, 400 ihren Zahlenwert ðfsg ¼ 400Þ und m als Meter ihre Einheit ð½s ¼ mÞ: Das Produkt „400 m“ ist der Größenwert oder Betrag (in der Messtechnik auch Messwert genannt). Der Zahlenwert gibt an, wievielmal die Einheit im Größenwert enthalten ist. Durch den Zahlenwert allein ist eine Größe nicht vollständig angegeben, die Einheit muss immer mitgeschrieben werden. Gleichungen, in denen physikalische Größen durch Formelzeichen oder durch Zahlenwerte und Einheiten angegeben sind, heißen Größengleichungen. Darin dürfen außer den Zahlenwerten auch die Symbole für Einheiten gekürzt, multipliziert und dividiert werden (s. die Beisp. 1.1 bis 1.8). Für den Begriff Einheit wird manchmal fälschlicherweise der Ausdruck Dimension verwendet. In DIN 1313 kennzeichnet man mit Hilfe von Dimensionen die Art einer Größe. So hat z. B. die Geschwindigkeit die Dimension Länge durch Dauer, aber die Einheit Meter durch Sekunde. Durch das „Gesetz über Einheiten im Messwesen“ ist die Verwendung der Einheiten des Internationalen Einheitensystems (SI-Einheiten) vorgeschrieben. In der Technischen Mechanik werden folgende SI-Basiseinheiten der Dimensionen Länge (L), Masse (M), Dauer (T) und Temperatur (Q) benutzt: Größe Name SI-Basiseinheit Zeichen Name Zeichen Länge Masse Zeit Temperatur (Temperatur l; s m t T J Meter Kilogramm Sekunde Kelvin Celsius m kg s K C) SI-Basisdimension Name Zeichen Länge Masse Dauer Temperatur L M T Q Im Einheitengesetz sind die Definitionen der Basiseinheiten angegeben, wie sie von der Internationalen „Generalkonferenz für Maß und Gewicht“ festgelegt wurden. Sie sind für das Meter und die Sekunde auf Atomstrahlung bezogen (das Meter wurde am 20. 10. 1983 nach der Lichtgeschwindigkeit neu festgelegt). Ursprünglich war das Meter als 40-millionster Teil des Erdumfanges definiert, später als Abstand zweier Markierungen auf einem in Paris aufbewahrten Stab, dem Urmeter. Die Sekunde war ursprünglich der 86400ste Teil des mittleren Sonnentages (60 s/min 60 min=h 24 h=d ¼ 86400 s=dÞ. Das Kilogramm war ursprünglich definiert als die Masse von 1 dm3 ¼ 1 Liter Wasser bei 4 C. Heute gilt: Ein Kilogramm ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps, des in Paris aufbewahrten Urkilogramms. Ein Kelvin ist der 273,15te Teil der Temperaturdifferenz zwischen dem absoluten Nullpunkt (tiefstmögliche Temperatur) und dem Tripelpunkt von Wasser. Ein Kelvin entspricht genau einem Grad Celsius ( C), zwischen beiden Temperaturskalen gibt es nur eine Nullpunktverschiebung. Die Einheiten für andere Größen, wie Geschwindigkeit, Kraft, Leistung usw., sind von den Basiseinheiten abgeleitet, sie werden aus ihnen gebildet (z. B. für die Geschwindigkeit die Einheit m/s bzw. m s1 ). Es werden auch Vielfache und Bruchteile von Einheiten verwendet (Tab. 2). Maßgebend für Einheiten ist DIN 1301, für Formelzeichen DIN 1304. Einige in der Technik übliche Vielfache und Teile der Basiseinheiten sind in Tab. 3 angegeben. Beispiel 1.1 Für eine feingeschlichtete Oberfläche ist eine Rautiefe von 6,3 mm zulässig. Wie viel mm sind das? Lösung: Gegeben: Rt ¼ 6,3 mm. Gesucht: Rt in mm. 1 mm (nach Tab. 3) wird Mit 1 mm ¼ 1000 1 mm ¼ 0,0063 mm Rt ¼ 6,3 mm ¼ 6,3 1000 oder durch Erweitern 1 mm Rt ¼ 6,3 mm ¼ 0,0063 mm, 1000 mm da sich mm herauskürzt. Beispiel 1.2 Welche Innenhöhe in mm muss ein Behälter für ein Fassungsvermögen von 4000 Litern mindestens haben, wenn seine quadratische Grundfläche 2,5 m2 beträgt? Lösung: Gegeben: V ¼ 4000 l ¼ 4 103 dm3 , A ¼ 2,5 m 2 . Gesucht: h in mm. Da 1 dm3 ¼ ð100 mmÞ3 und 1 m2 ¼ ð1000 mmÞ2 sind, betragen V ¼ 4 103 dm3 ð100 mmÞ3 ¼ 4 109 mm3 , dm3 ð1000 mmÞ2 ¼ 2,5 106 mm2 : m2 Aus der bekannten Gleichung für das Volumen V ¼ A h folgt für die gesuchte Innenhöhe A ¼ 2,5 m2 h¼ V 4 109 mm3 ¼ ¼ 1,6 103 mm ¼ 1600 mm: A 2,5 106 mm2 .d 1.2 Größen und Einheiten Mit den vorgenannten Umrechnungsbeziehungen erhält man auch ohne Zwischenrechnung in einem einzigen Rechnungsgang: 13 oder mit der Größe G und der zugehörigen Strecke Ggez : mG ¼ G G gez ð1:1Þ V 4 103 dm3 ð100 mmÞ3 m2 h¼ ¼ ¼ 1600 mm, A 2,5 m2 dm3 ð1000 mmÞ2 Maßstabfaktor da sich dm3 , m2 und mm2 herauskürzen. Entspricht z. B. 1 cm einer Zeichnung dem Größenwert 5 m, d. h. 1 cm ¼ b 5 m, dann beträgt der Längenmaßstabfaktor m1 ¼ 5 m/cm (5 Meter je Zentimeter). Aus Gl. (1.1) ergibt sich für eine darzustellende Größe G die zu zeichnende Beispiel 1.3 Ein Geräteteil wiegt 0,0375 g. Seine Masse in mg ist anzugeben. Lösung: Gegeben: m ¼ 0,0375 g. Gesucht: m in mg. Nach den Tabn. 2 und 3 ist 1 mg ¼ 103 g bzw. 1 g ¼ 1000 mg. Somit ist 1000 mg ¼ 37,5 mg oder kürzer m ¼ 0,0375 g g m ¼ 0,0375 1000 mg ¼ 37,5 mg: Beispiel 1.4 Wie viel kg wiegen die Massen 8,6 t und 4,2 Mt? Lösung: Gegeben: m1 ¼ 8,6 t, m2 ¼ 4,2 Mt. Gesucht: m1 und m2 in kg. Nach den Tabn. 2 und 3 ergeben sich: m1 ¼ 8,6 1000 kg ¼ 8600 kg, m2 ¼ 4,2 106 t ¼ 4,2 106 103 kg ¼ 4,2 109 kg: Beispiel 1.5 Die Zeitangabe „78 Min. 45 Sek.“ ist in Stunden, in Minuten und in Sekunden umzurechnen (Zahlenwerte als Dezimalzahlen). Lösung: Gegeben: t ¼ 78 min þ 45 s. Gesucht: t in h, in min und in s. Nach Tab. 2: 1 1 h þ 45 h t ¼ 78 min þ 45 s ¼ 78 60 3600 ¼ ð1,3 þ 0,0125Þ h ¼ 1,3125 h, t ¼ 78 min þ 45 1 min ¼ ð78 þ 0,75Þ min 60 ¼ 78,75 min t ¼ 78 60 s þ 45 s ¼ ð4680 þ 45Þ s ¼ 4725 s: Bei zeichnerischen Verfahren und in Diagrammen werden Größen als Strecken dargestellt. Dafür benötigt man einen Maßstab, der zweckmäßigerweise als Maßstabfaktor angegeben wird. Es gilt ¨ darzustellende Große Maßstabfaktor ¼ zugeordnete Strecke Streckenlange Ggez ¼ ¨ G mG ð1:2Þ Einer gezeichneten Strecke Ggez entspricht beim Maßstabfaktor mG die Große G ¼ Ggez mG ¨ ð1:3Þ Mit den Maßstabfaktoren wird bei Berechnungen wie mit Größen verfahren; die Einheiten sind immer mitzuschreiben. Beispiel 1.6 In einem Diagramm sollen verschiedene Volumen durch Balken dargestellt werden. Mit welchem Maßstabfaktor sind die Balkenlängen zu errechnen, wenn das größte Volumen von 200 m3 mit einer Länge von 8 cm zu zeichnen ist? Lösung: Gegeben: V ¼ 200 m3 , Vgez ¼ 8 cm: Gesucht: mV in m3 /cm. Entspr. Gl. (1.1) ist mV ¼ V 200 m3 ¼ ¼ 25 m3 =cm: Vgez 8 cm Beispiel 1.7 Wie groß ist die zu zeichnende Streckenlänge in mm für einen Abstand von 10,5 m bei einer Maßstabangabe 1 cm ¼ b 5 m? Lösung: Gegeben: l ¼ 10,5 m, m1 ¼ 5 m=cm: Gesucht: lgez in mm. Entspr. Gl. (1.2) l 10,5 m ¼ 2,1 cm ¼ 21 mm: ¼ lgez ¼ m1 5 m=cm Beispiel 1.8 Welchen Betrag in m/s hat eine Geschwindigkeit, die mit einer Strecke von 3,6 cm dargestellt ist, wenn die Zeichnung die Angabe 10 mm ¼ b 20 km/h enthält? Lösung: km=h : Gegeben: vgez ¼ 3,6 cm, mv ¼ 20 cm Gesucht: v in m/s. 14 1 Einführung Entspr. Gl. (1.3) v ¼ vgez mv ¼ 3,6 cm 20 ¼ 72 km=h km ¼ 72 cm h 1000 m ¼ 20 m=s: 3600 s Eine Größengleichung zeigt die Beziehung zwischen physikalischen Größen. In einer Zahlenwertgleichung wird lediglich die Beziehung zwischen den Zahlenwerten von Größen dargestellt. Sie gilt nur für bestimmte Einheiten, die stets besonders angegeben werden müssen. Beispiele für Zahlenwertgleichungen, die in der Technik gelegentlich vorkommen, werden am Ende der Abschnitte 6.3 und 7.4 erläutert. Praxishinweis Größengleichungen haben gegenüber Zahlenwertgleichungen den Vorteil, dass sie unabhängig von der Wahl der Einheiten gelten. Sie sind bevorzugt anzuwenden. Umrechnungen von Einheiten können mit ihnen übersichtlich durchgeführt werden. Bei Verwendung von Maßstabfaktoren wird die Beziehung zwischen einer Größe und der zugehörigen Strecke ebenfalls durch eine Größengleichung ausgedrückt. Die noch häufig anzutreffende Schreibweise der in eckigen Klammern eingeschlossenen Einheitenzeichen ist nach DIN 1313 nicht zulässig. Kontrollfragen: – Was versteht man unter einer physikalischen Größe? – Was ist eine Größengleichung? – Welche SI-Basisdimensionen und welche SI-Basiseinheiten kommen in der Technischen Mechanik vor? – Welche Vielfache und Teile der Basiseinheiten sind in der Technik üblich? – Was versteht man unter Maßstabfaktoren, und wozu dienen sie? 1.3 Bild 1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene Nullpunktes auf der Ordinate liegen positive Werte, links bzw. unterhalb des Nullpunktes negative. Die Ebene wird durch die Koordinatenachse in vier Bereiche geteilt. Diese werden Quadranten genannt und von der positiven Abszisse aus im mathematisch positiven Drehsinn (linksdrehend) mit I, II, III und IV bezeichnet. Durch Angabe von Werten auf der Abszisse und der Ordinate lässt sich jeder Punkt in der Ebene eindeutig festlegen. Sollen Punkte im Raum bestimmt werden, so muss eine dritte, senkrecht auf der durch die xund y-Koordinaten gebildeten Ebene stehende und ebenfalls durch den Nullpunkt gehende Koordinate hinzugefügt werden. Nach DIN 4895 werden die Koordinaten mit x, y und z bezeichnet (Bild. 1.2). Es sind auch davon abweichende Angaben für die Koordinatenachsen möglich, wie z. B. in DIN 1080 festgelegt. Koordinatensysteme Lernziele – Die Notwendigkeit von Koordinatensystemen erkennen. – Den Aufbau eines rechtwinkligen Koordinatensystems erklären. – Bezeichnungen und Vorzeichenregeln für kartesische Koordinatensysteme nennen. – Die Ebene in Quadranten einteilen. Die Lage einzelner Punkte in der Ebene oder im Raum kann mithilfe von Koordinatensystemen eindeutig bestimmt werden. Beim meist angewendeten kartesischen Koordinatensystem stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander (Bild 1.1). Die waagerechte x-Achse oder Abszisse und die senkrechte y-Achse oder Ordinate schneiden sich im Nullpunkt 0. Rechts vom Nullpunkt auf der Abszisse und oberhalb des Bild 1.2 Räumliches kartesisches Koordinatensystem Kontrollfragen: – Wie ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufgebaut und welche Vorzeichenregeln gelten? – Was versteht man unter dem mathematisch positiven Drehsinn? – Wie können einzelne Punkte in der Ebene und im Raum eindeutig definiert werden? – Wo liegen die vier Quadranten im Koordinatensystem der Ebene? 2 Statik starrer Körper 2.1 Die Kraft Lernziele – Den Kraftbegriff definieren und die Krafteinheit angeben, den Vektorcharakter von Kräften erläutern und Kräfte grafisch darstellen. – Den Verschiebesatz und das Wechselwirkungsgesetz als Erfahrungssätze an Beispielen erläutern. – Das Verfahren des Freimachens von Körpern als Voraussetzung für die Darstellung des Kräftegleichgewichts und für die Ermittlung von Kräften erläutern und auf Bauteile anwenden sowie die Auflagerarten und ihre symbolische Darstellung angeben. 2.1.1 den Punkten A und B des Seiles in Bild 2.1 anfassenden Personen mit gleich großer Kraft ziehen, wenn das Seil in der Ruhelage bleiben soll. Um ein Gewichtsstück in der Ruhelage zu halten, muss man der Gewichtskraft mit einer gleich großen Kraft entgegenwirken (Bild 2.2). Nach der Definition des Kraftbegriffs besteht auch bei der gleichförmig geradlinigen Bewegung Kräftegleichgewicht, da keine Änderung der Geschwindigkeit erfolgt. Kennzeichnung und Darstellung von Kräften Aus der Erfahrung des täglichen Lebens ist der Begriff Kraft vor allem als Muskelkraft bekannt. Ebenso kennt man die Federkraft, die Magnetkraft, die Windkraft, die Wasserkraft. Kräfte sind nicht sichtbar, sondern nur an ihren Wirkungen erkennbar. Beim Spannen einer Feder durch den menschlichen Muskel wird die Feder verformt. Ursache der Verformung ist eine Kraft, ihre Wirkung ist die Formänderung. Wenn ein Magnet ein Stück Eisen anzieht, ist die Zugkraft selbst nicht zu sehen, jedoch ihre Wirkung, da das Eisenstück zum Magneten hin bewegt wird. Infolge der Erdanziehungskraft, der Schwerkraft, werden alle Körper von der Erde angezogen und beim Fallen in Richtung Erdmittelpunkt bewegt. In der Mechanik wird diese Kraft als Gewichtskraft bezeichnet. Auch durch die Gewichtskraft können Körper verformt oder in Bewegung gesetzt werden. Allgemein gilt für die Kraft als physikalische Größe: Eine Kraft ist die Ursache für die Verformung oder Bewegungsänderung eines Körpers. Demnach müssen überall, wo sich Geschwindigkeiten ändern oder Körper verformt werden, Kräfte wirken. Bild 2.1 Gleichgewicht zweier Kräfte beim Seilziehen Heben sich die Wirkungen zweier oder mehrerer Kräfte an einem ruhenden Körper auf, so bleibt er im Ruhezustand, d. h. die Kräfte sind im Gleichgewicht. Beispielsweise müssen die an Bild 2.2 Kräftegleichgewicht zwischen Handkraft und Gewichtskraft Das ist z. B. der Fall bei einer Hubbewegung mit gleich bleibender Hubgeschwindigkeit. Die dabei an einem Lasthaken (Bild 2.3) wirkenden Kräfte, die lotrecht nach unten gerichtete Gewichtskraft der angehängten Last und die nach oben gerichtete Zugkraft der Kette, sind gleich groß. Bild 2.3 Kräftegleichgewicht an einem Lasthaken Kräfte, die gleiche Wirkungen hervorrufen, sind gleich. Darauf beruht die Messbarkeit von Kräften. Die Messung von Kräften kann z. B. mittels geeichter Federwaagen oder Gewichtsstücke (Wägestücke) erfolgen. Die zu messende Kraft wird entweder mit der Federkraft oder der Gewichtskraft verglichen. Jede Messung ist ein Vergleich mit einer festgelegten Einheit. Die Einheit der Kraft ist das N (Newton1), gesprochen: njuten). Es ist eine aus den Basis1) Isaak Newton (1643 bis 1723), engl. Physiker 16 einheiten des Internationalen Einheitensystems (SI-Einheiten) abgeleitete Einheit mit der Definitionsgleichung 1 N ¼ 1 kg m/s2 In Worten lautet die Definition der Krafteinheit: 1 N ist gleich der Kraft, die einem Körper mit der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 m/s2 erteilt. In der Technik werden oftmals auch die Einheiten kN und MN verwendet (1 kN ¼ 1000 N ¼ 103 N, 1 MN ¼ 106 N). Als Formelzeichen für die Kraft ist der Buchstabe F (von force, engl.) in DIN 1304 festgelegt. Verschiedene Kräfte werden durch Indizes1) unterschieden, z. B. F1, F2, Fa, Fb, FA und dgl. 2 Statik starrer Körper Der Betrag oder Größenwert, gegeben durch das Produkt aus Zahlenwert und Einheit oder bei zeichnerischer Darstellung durch eine maßstäbliche Strecke (Bild 2.5), die Vektorlänge, die Lage, gekennzeichnet durch einen Punkt der Wirklinie, den Angriffspunkt, die Richtung oder der Richtungssinn, ausgedrückt durch den Richtungspfeil am Kraftvektor. Unter der Wirklinie einer Kraft versteht man die durch den Kraftvektor verlaufende Gerade. Die Vektorlänge wird mit einem Kräftemaßstabfaktor mF errechnet. Da der Richtungspfeil am Kraftvektor die Kraft bereits als Vektor kennzeichnet, kann in Zeichnungen der Pfeil über F entfallen. Die Definition der Krafteinheit beruht auf der bewegungsändernden Kraftwirkung (s. auch DIN 1305) und folgt aus dem Grundgesetz der Dynamik: F ¼ m a (Gl. (7.3), Abschn. 7.1.1; die kinematische Größe Beschleunigung a mit der Einheit m/s2 wird im Abschnitt 6.2.2 behandelt). Die Erfahrung zeigt, dass die Wirkung einer Kraft nicht nur von ihrem Betrag (dem Größenwert) abhängt, sondern auch von ihrer Lage am Körper, gekennzeichnet durch den Angriffspunkt, und außerdem von ihrer Wirkrichtung, was am Beispiel eines Wagens in Bild 2.4 dargestellt ist. Bild 2.4 Gleich große Kräfte, die verschiedene Wirkungen hervorrufen Die Kraft ist demnach eine gerichtete Größe. Physikalische Größen, die erst durch Betrag und Wirkrichtung vollständig angegeben sind, nennt man Vektoren, z. B. Kräfte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen. Größen, die allein durch Zahlenwert und Einheit bestimmt sind, heißen Skalare, wie z. B. Zeit, Temperatur, Masse. Zur Kennzeichnung einer Kraft als vektorielle Größe wird nach DIN 1313 ein Pfeil über das Formel~. Wenn nur zeichen gesetzt, und man schreibt F der Betrag einer Kraft symbolisch anzugeben ist, wird F ohne Pfeil geschrieben. Zur eindeutigen Bestimmung einer Kraft gehören folgende drei Angaben: 1) auch als Nebenzeiger oder Fußzeichen bezeichnet Bild 2.5 Zeichnerische Darstellung einer Kraft Beispiel 2.1 Wie groß ist die zu zeichnende Vektorlänge in cm für eine Kraft von 1800 N bei einem Kräftemaßstabfaktor von 400 N/cm? Lösung: Gegeben: F ¼ 1800 N, mF ¼ 400 N/cm. Gesucht: Fgez in cm. Entspr. Gl. (1.2) wird F 1800 N cm Fgez ¼ ¼ 4,5 cm: ¼ mF 400 N Beispiel 2.2 Welchen Betrag in kN hat eine Kraft, deren Vektor 32 mm lang ist, wenn die Zeichnung folgende Angabe enthält: 1 cm ¼ b 500 N? Lösung: Gegeben: Fgez ¼ 32 mm ¼ 3,2 cm, mF ¼ 500 N/cm. Gesucht: F in kN. Entspr. Gl. (1.3): F ¼ Fgez mF ¼ 3,2 cm 500 N=cm ¼ 1600 N ¼ 1,6 kN: Eine besonders wichtige Kraft in der Statik ist die bereits erwähnte Gewichtskraft FG (als Formelzeichen ist neben FG auch der Buchstabe G genormt). Ihr Betrag kann aus der Masse m eines 2.1 Die Kraft Körpers und der infolge der Erdanziehung auf ihn wirkenden Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s2 errechnet werden nach der Gleichung FG ¼ m g (Gl. (7.4), Abschn. 7.1.1). Sie ist stets lotrecht nach unten gerichtet (zum Erdmittelpunkt hin). Ihr Angriffspunkt ist der Schwerpunkt des Körpers (s. Abschn. 4.2.1). Damit sind Betrag, Lage und Richtung der Gewichtskraft bekannt. Beispiel 2.3 Für drei Körper mit den Massen 1 kg, 50 kg und 10 t sind die Gewichtskräfte zu errechnen. Lösung: Gegeben: m1 ¼ 1 kg, m2 ¼ 50 kg, m3 ¼ 10 t ¼ 10 103 kg. Gesucht: FG1 , FG2 und FG3 . Nach der Gl. FG ¼ m g wird FG1 ¼ m1 g ¼ 1 kg 9,81 m=s2 ¼ 9,81 kgm=s2 ¼ 9,81 N, FG2 ¼ m2 g ¼ 50 kg 9,81 m=s2 ¼ 490,5 N, FG3 ¼ m3 g ¼ 10 103 kg 9,81 m=s2 ¼ 98,1 kN: In der Natur sind Kräfte entweder auf ein Volumen verteilt, Volumenkräfte genannt, oder auf eine Fläche als so genannte Flächenkräfte. Die Gewichtskraft und die Magnetkraft sind Volumenkräfte; sie wirken auf alle Teilchen eines Körpers. Flächenkräfte sind beispielsweise die Windkraft oder die auf eine Kolbenfläche wirkende Wasserkraft in einer Kolbenpumpe. Die Vorstellung der in einem Punkt wirkenden Einzelkraft ist eine Idealisierung. Die Einzelkraft wird ersatzweise für die verteilten Kräfte eingesetzt und ist als deren Summe ihre Resultierende. In der Statik verwendet man auch den Ausdruck Streckenkraft für Kräfte, die auf einer Bauteillänge verteilt wirken. Ferner unterscheidet man ebene (Abschn. 2.2 u. 2.3) und räumliche Kräftesysteme (Abschn. 2.4). 2.1.2 Verschiebesatz und Wechselwirkungsgesetz Zur Erhaltung des Kräftegleichgewichts beim Seilziehen (s. Bild 2.1) spielt die Lage der Angriffspunkte der Kräfte keine Rolle. Ihre Wirkung bleibt dieselbe, unabhängig davon, ob die Angriffspunkte dicht beieinander oder weit von- 17 einander entfernt liegen. Ebenso verhält es sich beim Fortbewegen eines Wagens (Bild 2.6). Für den Bewegungsvorgang ist es bedeutungslos, ob an einem Seil oder unmittelbar am Zughaken gezogen oder auf derselben Wirklinie hinten am Wagen direkt oder mittels einer Stange geschoben wird. Diese Tatsache wird ausgedrückt im Verschiebesatz: Kräfte am starren Körper dürfen auf ihrer Wirklinie beliebig verschoben werden. Wird auf einen Körper eine Kraft ausgeübt, so reagiert er mit einer gleich großen Gegenkraft. Beim Seilziehen spürt man, dass das Seil an der Hand zieht. Am Lasthaken (s. Bild 2.3) zieht die Kette nach oben, der Haken zieht an der Kette nach unten. Ein Körper drückt mit der Gewichtskraft FG auf seine Unterlage, diese drückt mit der gleich großen Kraft F gegen den Körper (Bild 2.7). Von den an einer Berührungsstelle zweier Körper paarweise auftretenden Kräften ist eine die Aktions-, die andere die Reaktionskraft. Diese Erfahrungstatsache wird ausgedrückt im Wechselwirkungs- oder Reaktionsgesetz: Kräfte, mit denen zwei Körper aufeinander wirken, haben eine gemeinsame Wirklinie und sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet (Aktionskraft ¼ Reaktionskraft). Bild 2.7 Gewichtskraft FG und Gegenkraft F als Reaktionskraft Das Zugfahrzeug und der Anhänger in Bild 2.8 drücken mit einem bestimmten Teil der auf sie wirkenden Gewichtskraft an jedem Rad gegen den Boden. Dieser wiederum drückt mit gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Reaktionskräften, die auch Stützkräfte genannt werden, gegen die Räder. Während der Fahrt zieht der Zugwagen am Hänger (Aktionskraft) ebenso wie der Hänger am Zugwagen (Reaktionskraft). Bild 2.6 Auf einer Wirklinie an verschiedenen Punkten angreifende Kraft F 18 2 Statik starrer Körper Bild 2.8 Aktions- und Reaktionskräfte an Fahrzeugen Erfahrungstatsachen, wie der Verschiebesatz und das Wechselwirkungsgesetz, das erstmalig von Newton formuliert wurde, nennt man Axiome1). Das sind nicht beweisbare, sondern durch Erfahrung bestätigte Lehrsätze. Auf ihrer Grundlage werden andere Lehrsätze aufgebaut. Wegen des Verschiebesatzes sind Kräfte am starren Körper linienflüchtige Vektoren. Dies gilt nicht für die Ermittlung der Verformung von Bauteilen in der Festigkeitslehre. Dabei ist der Angriffspunkt von Bedeutung und die Kraft ist ein gebundener Vektor. 2.1.3 Freimachen und Lagerungsarten Bei der Lösung von Aufgaben der Statik ist vorzugsweise das Kräftegleichgewicht an Körpern (Bauteilen, Maschinen, Geräten) zu untersuchen. Dafür ist die Kenntnis aller am Körper angreifenden Kräfte erforderlich. Diese Kräfte wirken an den Berührungsstellen mit anderen Körpern. Nach dem Wechselwirkungsgesetz treten an diesen Stellen Aktions- und Reaktionskräfte auf. Will man sich über die an einem Körper angreifenden Kräfte Klarheit verschaffen, so löst man ihn in Gedanken an allen Stütz-, Berührungsund Verbindungsstellen aus seiner Umgebung heraus (macht ihn frei) und ersetzt die weggedachten Teile durch die Kräfte, die sie an der freigemachten Stelle auf den zu untersuchenden Körper ausüben. Dieses Verfahren wird als Freimachen bezeichnet und beruht auf der Anwendung des Wechselwirkungsgesetzes. Im freigemachten Zustand kann ein Körper stark vereinfacht dargestellt werden. Bild 2.9 zeigt einen auf diese Weise freigemachten Hebel. An allen Stellen, wo ein freizumachender Körper gedanklich von seiner Umgebung getrennt wird, in Lagern und Gelenken, an Stütz- und Führungsflächen, an Seilen, Aufhängungen usw., werden die auf ihn wirkenden Kräfte als Vektoren angesetzt. An Verbindungsstellen mit unbekannter Kraftrichtung trägt man bei ebenen Kräftesystemen zwei senkrecht aufeinander wirkende Kräfte ein, da jede Kraft in zwei senkrechte Komponenten zerlegt werden kann (s. Beisp. 2.7). Liegt die Richtung der Komponenten nicht eindeutig fest, so sind sie in der Regel im positiven Sinne der Koordinatenachsen 1) Axiom (griech.) ¼ Forderung Bild 2.9 Freimachen eines Hebels a) Hebelsystem, b) freigemachter Hebel einzutragen. Die Gewichtskraft darf vernachlässigt werden, wenn sie gegenüber den anderen Kräften relativ klein ist. Beim Freimachen werden die auf einen Körper wirkenden äußeren Kräfte dargestellt. Auch die Gewichtskraft ist eine äußere Kraft. Sollen innere Kräfte ermittelt werden, so denkt man sich einen Schnitt durch das Bauteil und trägt an der Schnittstelle die vom weggeschnittenen Teilstück ausgeübten Kräfte ein. Dieses Verfahren heißt Freischneiden (s. Abschn. 9.1.2). Dabei werden die inneren zu äußeren Kräften und können mit den Regeln der Statik bestimmt werden. Die Berührungs- und Verbindungsstellen, an denen die Kräfteübertragung zwischen Bauteilen stattfindet, werden auch als Auflager bezeichnet, die dort wirkenden Reaktionskräfte dementsprechend als Auflagerkräfte. Durch die Art der Lagerung sind meistens Wirklinie und Richtung dieser Kräfte bestimmt. Nachfolgend werden die wichtigsten Kraftübertragungselemente und Lagerungsarten erläutert, die beim Freimachen eine besondere Rolle spielen, Reibungskräfte sind dabei vernachlässigt: Seile Seile, Riemen, Ketten (Bild 2.10) und ähnliche flexible Elemente können nur Zugkräfte übertragen. Durch Rollen werden die Wirklinien der Kräfte umgelenkt. Bild 2.10 Kräfte an Seilen und Ketten a) Anordnung, b) Seil und Kette freigemacht 2.1 Die Kraft Pendelstützen Pendelstützen und Zweigelenkstäbe (Bild 2.11) nehmen nur Längskräfte (Zug- oder Druckkräfte) auf. 19 zur Führungsebene bzw. senkrecht zur möglichen Bewegungsrichtung (Normalkräfte). Bild 2.11 Pendelstütze und Zweigelenkstab a) druckbeanspruchte Pendelstütze, b) zugbeanspruchter Zweigelenkstab Parallelführungen Einseitige Parallelführungen (Bild 2.12) und ebene Stützflächen können nur Druckkräfte übertragen, deren Wirklinien senkrecht auf den Stütz- oder Führungsflächen stehen, so genannte Normalkräfte. Bild 2.12 Freimachen von Parallelführungen a) Maschinenteil mit Führungen, b) freigemachtes Maschinenteil Bild 2.14 Loslager a) Ausführungen, b) Symbole, c) freigemachtes Bauteil mit Loslagerkraft als Normalkraft FN Festlager Dabei handelt es sich um Lager, die ein Längsverschieben verhindern, und um feste Gelenkverbindungen (Bild 2.15). Sie können Kräfte in beliebiger Richtung aufnehmen und sind für die Übertragung von Längs- und Querkräften (Axial- und Radialkräften) geeignet. Rollkörper Das sind Kugeln und Zylinder (Bild 2.13) und ähnliche Körper. Sie übertragen nur Druckkräfte, deren Wirklinien durch ihren Mittelpunkt gehen bzw. auf der Tangente im Berührungspunkt senkrecht stehen (Normalkräfte). Das gilt ebenfalls für gewölbte Berührungsflächen beliebiger Form. Bild 2.13 Stützkräfte an Rollkörpern a) ebene Berührungsflächen, b) gewölbte Berührungsflächen Loslager Das sind Lager, die eine Längsverschiebung des gelagerten Bauteils (z. B. Achse oder Welle) zulassen, und verschiebbare Gelenkverbindungen (Bild 2.14). Sie übertragen wie Parallelführungen und Rollkörper nur Druckkräfte senkrecht Bild 2.15 Festlager a) Ausführungen, b) Symbole, c) freigemachtes Bauteil mit den Festlagerkräften Fx (Längskraft) und Fy (Querkraft) Einspannungen Eine feste Einspannung (Bild 2.16) verhindert jede Art von Bewegung des so gelagerten Bauteils. Sie lässt weder Verschiebungen noch Drehungen zu. Als Reaktionen können Kräfte in beliebiger Richtung (Längs- und Querkräfte) und ein Moment (Abschn. 2.3.1) auftreten. 20 2 Statik starrer Körper Bild 2.16 Feste Einspannungen a) Ausführungen, b) Prinzipskizze, c) an der Einspannstelle freigeschnittenes Bauteil mit dem inneren Kräftesystem, bestehend aus Längskraft Fl, Querkraft Fq und Moment M Die Lagerungen werden auch nach dem Freiheitsgrad beurteilt. Darunter versteht man die Anzahl der Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers. Im Raum hat jeder Körper sechs Bewegungsmöglichkeiten: Verschiebungen in Richtung der drei Koordinatenachsen und Drehungen um diese Achsen. Das sind sechs Freiheitsgrade. In der Ebene sind es nur drei, nämlich Verschiebungen in Richtung von zwei Koordinatenachsen und Drehung um eine zur Ebene senkrechte Achse. Lagerungen verringern die Zahl der Freiheitsgrade. Beim Loslager hat der Körper noch zwei Freiheitsgrade, das Lager ist einwertig. Festlager gestatten nur einen Freiheitsgrad und sind zweiwertig. Feste Einspannungen haben keinen Freiheitsgrad und sind dreiwertig. Mit der Wertigkeit wird die Anzahl der Unbekannten beim rechnerischen Ansatz zur Bestimmung der Auflagerreaktionen ausgedrückt. Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass bei vorstehenden Betrachtungen Reibungskräfte vernachlässigt sind (die Berücksichtigung der Reibung beim Freimachen erfolgt im 5. Kapitel)! Bild 2.17 Getriebewelle mit Los- und Festlager a) Zeichnung, b) Prinzipskizze, c) freigemachte Welle Am Kegelrad tritt außer den angegebenen Kräften (Bild 2.17b) noch eine zur Zeichnungsebene senkrecht wirkende Tangentialkraft auf, die hier nicht eingetragen wurde. Die Kräfte an Kegelrädern ergeben ein räumliches Kräftesystem (Abschn. 2.4, s. a. Beisp. 2.33). Die Eigengewichtskraft der Welle kann vernachlässigt werden. Beispiel 2.4 Bild 2.18a zeigt in vereinfachter Darstellung den Kurbeltrieb eines Verbrennungsmotors. Die Pleuelstange ist freizumachen unter Vernachlässigung ihres Eigengewichts. Um Fehler beim Freimachen zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen nach folgenden Arbeitsschritten: 1. Schritt: Prinzipskizze mit schematischer Darstellung des freizumachenden Bauteils anfertigen. 2. Schritt: Kraftangriffspunkte und Wirklinien der Kräfte einzeichnen unter Beachtung der durch die Lagerungsarten gegebenen Bedingungen. 3. Schritt: Kräfte unmaßstäblich mit Richtungspfeilen und Bezeichnungen eintragen. Bild 2.17 zeigt das Freimachen am Beispiel einer Getriebewelle. Der 1. Schritt ist im Bildteil b) dargestellt. Im Bildteil c) sind der 2. und 3. Schritt vollzogen. Bild 2.18 Freimachen einer Pleuelstange a) Kurbeltrieb als Tauchkolben-Triebwerk, b) freigemachte Pleuelstange 2.1 Die Kraft Lösung: 1. Schritt: Skizzieren der Pleuelstange als Pendelstange. 2. Schritt: Kraftangriffspunkte sind die Gelenkmittelpunkte am Kolbenbolzen B und am Kurbelzapfen A, die Wirklinie geht durch beide Punkte. 3. Schritt: Einzeichnen der am Kolbenbolzen in die Stange eingeleiteten Druckkraft FB (Pfeilspitze zur Stange hin) und der vom Kurbelzapfen ausgeübten Gegenkraft FA (Bild 2.18b). Beispiel 2.5 Der Hebel des in Bild 2.19a vereinfacht dargestellten Sicherheitsventils ist freizumachen, wobei die Gewichtskräfte des Hebels und des Ventiltellers zu vernachlässigen sind. 21 Leiter ist unter Vernachlässigung ihres Eigengewichts freizumachen. Bild 2.20 Freimachen einer Leiter a) angelehnte Leiter, b) Prinzipskizze, c) freigemachte Leiter Lösung: 1. Schritt: Skizzieren der Leiter mit Festlager A am Boden und Loslager B am Rohr (Bild 2.20b). 2. Schritt: Bei A horizontale und vertikale Wirklinien der Festlagerkräfte FAx und FAy, bei B Wirklinie der Loslagerkraft FB senkrecht zur Leiter einzeichnen. 3. Schritt: Kräfte mit Richtungspfeilen wie in Bild 2.20c einzeichnen und benennen. Bild 2.19 Freimachen eines Ventilhebels a) Vereinfachte Ventildarstellung, b) Prinzipskizze, c) freigemachter Hebel Lösung: 1. Schritt: Skizzieren des Hebels mit Gewichtskraft FG des Belastungsgewichts (im Schwerpunkt S0 lotrecht abwärts gerichtet), dem Ventilteller als Loslager und dem Lagerbock als Festlager (Bild 2.19b). 2. Schritt: Gelenkmittelpunkte als Kraftangriffspunkte markieren und Wirklinien parallel zur Gewichtskraft einzeichnen (eine Längskraft am Festlager ist nicht vorhanden, da keine Belastungskraft in Hebellängsrichtung wirkt). 3. Schritt: Einzeichnen der durch den Druck p auf den Ventilteller ausgeübten, aufwärts wirkenden Kraft F und der aufwärts (positiv) angenommenen Lagerkraft FL, die vom Bolzen im Lagerbock auf den Hebel als Reaktionskraft ausgeübt wird. Beispiel 2.6 Die in Bild 2.20a gezeigte Leiter ist an einer festen Leiste abgestützt. Sie lehnt an einem Rohr und wird mit der Gewichtskraft FG einer Person belastet. Die Beispiel 2.7 In Bild 2.21a ist eine an Scharnieren befestigte Tür dargestellt. Die Tür und die Scharnierhaken sind freizumachen. Lösung: 1. Schritt: Getrennte Skizzen für Tür und Scharnierhaken anfertigen. 2. Schritt: Kraftangriffspunkte festlegen: Schwerpunkt S0 für die Gewichtskraft FG und die Scharniermittelpunkte bei A für die Loslagerkraft FA mit horizontaler Wirklinie sowie bei B für die Festlagerkräfte FBx (horizontal) und FBy (vertikal). 3. Schritt: Eintragen der Kräfte an den Türscharnieren mit Richtungspfeilen und Bezeichnungen (Bild 2.21b). An den Haken wirken diese Kräfte als Reaktionskräfte entgegengerichtet (Bild 2.21c). Bild 2.21 Freimachen einer Tür a) an Scharnieren befestigte Tür, b) freigemachte Tür, c) Kräfte an den Scharnierhaken 22 2 Statik starrer Körper Praxishinweis Das sorgfältige Freimachen ist eine wichtige Voraussetzung für die Lösungsverfahren der Statik zur Ermittlung unbekannter Kräfte. Die Eigengewichtskräfte von Bauteilen und Reibungskräfte können dabei vernachlässigt werden, wenn sie gegenüber den anderen Kräften gering sind. Im Bauingenieurwesen (Baustatik, Stahlbau, DIN 1080, DIN 18800 u. a.) werden Kräfte, die von außen auf ein System einwirken, als Lasten bezeichnet, und anstelle Gewichtskraft ist der Ausdruck Eigenlast üblich (sinngemäß Windlast, Schneelast). Ebenso sind die Begriffe Streckenlast und Flächenlast üblich. Dagegen wird im Maschinenbau unter Last eine Masse verstanden. Das Wort Gewicht wird allgemein im Sinne einer Masse als Wägeergebnis verwendet. Um Missverständnisse auszuschließen, soll Gewicht nicht anstatt Gewichtskraft gebraucht werden (s. DIN 1305). Wo eine genaue Berechnung der Gewichtskraft (bzw. Eigenlast) nicht erforderlich ist, kann man mit dem Näherungswert der Fallbeschleunigung g 10 m=s2 rechnen. Damit entspr. DIN 1080: Die Masse 1 kg wirkt mit der Eigenlast 10 N. Kontrollfragen: – Was ist eine Kraft, wie ist ihre Einheit definiert und durch welche Angaben ist sie bestimmt? – Wie lauten der Verschiebesatz und das Wechselwirkungsgesetz? – Was versteht man in der Mechanik unter dem Freimachen eines Körpers? – Welche Kräfte können von Seilen und Ketten, Parallelführungen und Rollkörpern, Pendelstützen und Zweigelenkstäben übertragen werden? – Worin besteht der Unterschied zwischen einem Loslager und einem Festlager? 2.2 Zentrales ebenes Kräftesystem Lernziele: – Den Satz vom Kräfteparallelogramm und den Begriff Krafteck erläutern. – Unbekannte Kräfte in zentralen Kräftesystemen zeichnerisch und rechnerisch ermitteln. – Die Gleichgewichtsbedingungen des zentralen Kräftesystems nennen und bei der Ermittlung von Kräften anwenden. 2.2.1 Schnittpunkt ausgehende Diagonale des aus beiden Kraftvektoren gebildeten Kräfteparallelogramms. Die jeweilige Resultierende Fr der Kräfte F1 und F2 in Bild 2.22 wurde durch maßstäbliches Aufzeichnen des Kräfteparallelogramms ermittelt. Bild 2.22 Zusammensetzen von Kräften mittels Kräfteparallelogramm a) a < 90 , b) a ¼ 90 , c) a > 90 Das Zusammensetzen von Kräften ist eine vektorielle Addition. Die Vektoren, aus denen die Resultierende geometrisch zusammengesetzt oder in die sie zerlegt werden kann, heißen Komponenten. F1 und F2 sind Komponenten der Resultierenden Fr. Als Vektorgleichung geschrieben: ~r ¼ F~1 þ F~2 . F Der Satz vom Kräfteparallelogramm ist ebenfalls ein Axiom, auf dem weitere Lehrsätze der Mechanik beruhen. Seine Richtigkeit lässt sich z. B. durch folgenden Versuch nachweisen: An einem feststehenden Träger befinden sich zwei verschiebbare und feststellbare Haken, in die Federwaagen eingehängt sind (Bild 2.23a). An jeder Federwaage ist ein Seil befestigt. Beide Seile münden in einem Ring, an dem ein Körper hängt, dessen Gewichtskraft FG die Seile spannt. Die Seilkräfte F1 und F2 werden an den Federwaagen abgelesen, der Winkel a gemessen. Danach wird der Körper nur an eine Federwaage gehängt und an dieser die Kraft Fr abgelesen (Bild 2.23b). Das Kräfteparallelogramm Wenn Kräfte nur an einem Punkt eines Körpers angreifen oder sich die Wirklinien in einem Punkt schneiden, so handelt es sich um ein zentrales Kräftesystem. Oft interessiert die gemeinsame Wirkung dieser Kräfte, d. h. die Kraft, die alle anderen Kräfte ersetzen könnte. Diese gedachte Ersatzkraft oder resultierende Kraft würde die gleiche Wirkung ausüben wie alle angreifenden Kräfte gemeinsam. Für zwei Kräfte lässt sie sich ermitteln nach dem Satz vom Kräfteparallelogramm: Die Resultierende zweier Kräfte mit sich schneidenden Wirklinien ist die vom Bild 2.23 Versuch zum Satz vom Kräfteparallelogramm a) Körper an zwei Federwaagen hängend, b) Körper an einer Federwaage, c) Kräfteparallelogramm Die Kräfte F1 und F2 üben gemeinsam die gleiche Wirkung aus wie die Kraft Fr allein: Der 2.2 Zentrales ebenes Kräftesystem Körper wird im Ruhezustand gehalten, das System befindet sich im Gleichgewicht. Zeichnet man die aus mehreren Versuchen mit unterschiedlichen Seillängen oder Befestigungsabständen jeweils ermittelten Kräfte F1 und F2 maßstäblich als Vektoren unter dem betr. Winkel a auf, so ergibt sich stets die resultierende Kraft Fr als Diagonale in dem durch Parallelverschieben der Kraftvektoren entstandenen Parallelogramm (Bild 2.23c). Beispiel 2.8 In einer Versuchseinrichtung entspr. Bild 2.24a wurde das mittlere Gewichtsstück durch Anhängen der beiden äußeren Gewichtsstücke in der skizzierten Lage im Ruhezustand gehalten. Durch maßstäbliches Aufzeichnen des Kräfteparallelogramms ist nachzuweisen, dass die Resultierende der Seilkräfte gleich der Gewichtskraft des mittleren Gewichtsstückes ist. 23 2.2.2 Zeichnerische Kräfteermittlung Die zeichnerische Ermittlung von Kräften beruht auf dem Kräfteparallelogramm. Es genügt, nur eine Hälfte des Parallelogramms zu zeichnen, nämlich ein Dreieck als so genanntes Krafteck (Bild 2.25). Dazu werden die einzelnen Kraftvektoren unter Einhaltung ihrer Richtung zu einem Kräftezug aneinander gereiht, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt, wie Bild 2.25b zeigt. Die Verbindungsgerade von Anfang und Ende des Kräftezuges ergibt die Resultierende, deren Richtungspfeil am Ende des Kräftezuges liegt. Bild 2.25 Zusammensetzen zweier Kräfte mittels Krafteck a) Kräfteparallelogramm, b) Kraftecke Bild 2.24 Versuch zum Kräfteparallelogramm a) Versuchsanordnung, b) Kräfteparallelogramm Lösung: Gegeben: m ¼ 5 kg, m1 ¼ m2 ¼ 3,5 kg, a ¼ 90 . Gesucht: Fr ¼ FG . Die Gewichtskräfte betragen FG ¼ m g ¼ 5 kg 9,81 m=s2 ¼ 49,05 N, FG1 ¼ m1 g ¼ 3,5 kg 9,81 m=s2 ¼ 34,34 N ¼ FG2 : In den unter a ¼ 90 gespreizten Seilen wirken die Seilkräfte F1 ¼ FG1 und F2 ¼ FG2. Gewählt wird der Kräftemaßstabfaktor mF ¼ 10 N/cm. Mit diesem ergeben sich nach Gl. (1.2) die zu zeichnenden Vektorlängen FG1 34,34 N cm ¼ 3,43 cm: ¼ F1 gez ¼ F2 gez ¼ mF 10 N Damit wird das Kräfteparallelogramm gezeichnet (Bild 2.24b). Für die Resultierende wird gemessen Fr gez ¼ 4,9 cm. Somit beträgt nach Gl. (1.3): Fr ¼ Fr gez mF ¼ 4,9 cm 10 N=cm ¼ 49 N ¼ FG , was zu beweisen war. Die lotrecht abwärts wirkende Gewichtskraft FG ist so groß wie die aus den Seilkräften F1 und F2 gebildete Resultierende Fr, wirkt dieser jedoch entgegen. Zu beachten ist, dass Resultierende und Einzelkräfte niemals gemeinsam wirken, sondern nur die Resultierende oder nur die Einzelkräfte. Sie ersetzen sich gegenseitig. In diesem Buch sind zur Unterscheidung entweder die Resultierende oder deren Komponenten mit hellem Richtungspfeil dargestellt, und zwar vorzugsweise die jeweils zu ermittelnden Kräfte. Beispiel 2.9 Es ist die Resultierende zweier Kräfte von 1200 und 800 N, deren Wirklinien sich rechtwinklig schneiden, zeichnerisch mittels Kräfteparallelogramm und mittels Krafteck zu bestimmen und der Richtungswinkel zur größeren Kraft anzugeben. Lösung: Gegeben: F1 ¼ 1200 N, F2 ¼ 800 N, g ¼ 90 . Gesucht: Fr und ar . 1. Kräfteparallelogramm (Bild 2.26a) Gewählt wird der Kräftemaßstabfaktor mF ¼ 400 N/cm. Damit ergeben sich entspr. Gl. (1.2) die zu zeichnenden Vektorlängen F1 1200 N F1 gez ¼ cm ¼ 3 cm, ¼ 400 N mF F1 800 N F2 gez ¼ cm ¼ 2 cm: ¼ mF 400 N Die Kraftvektoren werden unter dem Winkel g aneinander gezeichnet und zum Parallelogramm (hier zum Rechteck) ergänzt. Die vom Schnittpunkt der Wirklinien ausgehende Diagonale ist die Resultie- 24 rende Fr, deren Vektorlänge Fr gez ¼ 3,6 cm gemessen wird. Somit ist entspr. Gl. (1.3): Fr ¼ Fr gez mF ¼ 3,6 cm 400 N=cm ¼ 1440 N: Ferner wird gemessen der Richtungswinkel ar ¼ 33,7 : 2. Krafteck (Bild 2.26b) 2 Statik starrer Körper Beispiel 2.10 Für eine Kraft von 2 kN, deren Wirklinie mit der x-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems den Winkel 30 einschließt und deren Vektorlänge 8 cm betragen soll, sind die Komponenten in Richtung der Koordinatenachsen zeichnerisch zu ermitteln. Lösung: Gegeben: F ¼ 2000 N, a ¼ 30 , Fgez ¼ 8 cm. Gesucht: Fx und Fy . Der Kraftvektor wird unter a ¼ 30 zur x-Achse in das Koordinatensystem eingezeichnet (Bild 2.28). Durch die Pfeilspitze zu den Koordinatenachsen gezogene Parallelen ergeben auf den Achsen die gesuchten Komponenten Fx und Fy . Die Lösung mittels Kräfteparallelogramm zeigt Bild 2.28a, mittels Krafteck Bild 2.28b. Bild 2.26 Ermittlung der Resultierenden a) im Kräfteparallelogramm, b) im Krafteck Die Kraftvektoren werden ihrer Richtung entsprechend zu einem Kräftezug aneinander gereiht. Die Verbindungsgerade von Anfangs- und Endpunkt ist die Resultierende Fr mit dem Richtungspfeil an der Spitze von F2. Die Vektorlänge Fr gez und der Winkel ar werden wie unter 1. gemessen. Für die zeichnerische Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten, deren Wirklinien gegeben sind, wird der Parallelogrammsatz sinngemäß angewendet. Die gegebene Kraft ist die Resultierende der gesuchten Komponenten. Mittels Parallelverschiebung der Wirklinien W1 und W2 (Bild 2.27a) bis zur Pfeilspitze von F ergibt sich ein Parallelogramm, dessen Seiten die Komponenten F1 und F2 darstellen (Bild 2.27b). Mit weniger Zeichenaufwand erhält man dasselbe Ergebnis im Krafteck (Bild 2.27c), wobei es bedeutungslos ist, ob W1 oder W2 verschoben wird. Bild 2.27 Zerlegen einer Kraft in Komponenten a) Kraft und Wirklinien der Komponenten, b) Kräfteparallelogramm, c) Kraftecke Bild 2.28 Ermittlung der Komponenten einer Kraft a) im Kräfteparallelogramm, b) im Krafteck Gemessen werden Fx gez ¼ 6,92 cm und Fy gez ¼ 4 cm. Mit dem Kräftemaßstabfaktor (nach Gl. (1.1)) F 2000N mF ¼ ¼ 250 N=cm ¼ Fgez 8 cm ergeben sich entspr. Gl. (1.3) die Komponenten Fx ¼ Fx gez mF ¼ 6,92 cm 250 N=cm ¼ 1730 N ¼ 1,73 kN, Fy ¼ Fy gez mF ¼ 4 cm 250 N=cm ¼ 1000 N ¼ 1 kN: Wird anstelle der Ersatzkraft (der Resultierenden) die Kraft gesucht, die sich mit zwei Einzelkräften im Gleichgewicht befindet, so ist das ebenfalls mittels Krafteck möglich. Diese Gleichgewichtskraft ist so groß wie die Resultierende, dieser jedoch entgegengerichtet und hat somit im Krafteck gleichen Umfahrungssinn wie die Vektoren der gegebenen Kräfte. In Bild 2.29 sind die Zusammenhänge an einer Pendelstange mit Seilrolle und Seil dargestellt. Die Seilrolle, an der die Seilkräfte FS wirken, wird durch die von der Stange auf die Seilrollenachse ausgeübte Kraft F im Gleichgewicht gehalten. Der Richtungspfeil der gesuchten Gleichgewichtskraft F schließt den aus den bekannten Seilkräften FS gebildeten Kräftezug. Alle Vektoren haben im Krafteck gleichen Umfahrungssinn (Bild 2.29c). 2.2 Zentrales ebenes Kräftesystem Bild 2.29 Kräftegleichgewicht an einer Seilrolle a) Anordnung der Rolle (Lageplan), b) Kräfteparallelogramm mit Resultierender und Gleichgewichtskraft, c) Krafteck zur Ermittlung von F mit Angabe des Umfahrungssinns (Kräfteplan) Diese Erkenntnisse sind allgemein für das Gleichgewicht von Kräften wichtig und lassen sich zusammenfassen zur zeichnerischen Gleichgewichtsbedingung: Die Kräfte eines zentralen ebenen Kräftesystems befinden sich im Gleichgewicht, wenn ihre Vektoren ein geschlossenes Krafteck bilden und darin gleichen Umfahrungssinn haben. Dieser Lehrsatz besagt auch, dass in einem Kräftesystem, das sich im Gleichgewicht befindet, die Resultierende gleich null ist, da Anfang und Ende des Kräftezuges zusammentreffen. Um die zeichnerische Kräfteermittlung übersichtlich zu gestalten, ist es zweckmäßig, einen Lageplan und einen Kräfteplan anzufertigen: Der Lageplan veranschaulicht die maßstabgerechte Lage der Kräfte (ihrer Wirklinien) unabhängig vom Betrag (die Kraftvektoren werden unmaßstäblich, jedoch lagegerecht eingezeichnet). Der Kräfteplan ist das maßstäbliche Krafteck, das durch lagegerechtes Aneinanderreihen der Kraftvektoren entsteht. Aus dem Lageplan werden die Wirklinien durch Parallelverschieben in den Kräfteplan übertragen. Betrag und Wirkrichtung der gesuchten Kraft ergeben sich im Kräfteplan. Zur Lagebestimmung wird ihr Vektor in den Lageplan übertragen. Es empfehlen sich folgende Arbeitsschritte: 1. Schritt: Freimachen des Bauteils, an dem die gesuchte Kraft angreift. 2. Schritt: Lageplan mit winkelgerechter Anordnung der sich in einem Punkt schneidenden Wirklinien zeichnen, Kräfte unmaßstäblich eintragen. 3. Schritt: Kräfteplan anfertigen durch maßstäbliches Aneinanderzeichnen der Kraftvek- 25 toren in beliebiger Reihenfolge zu einem Kräftezug, dessen Anfang und Ende verbinden, so dass ein geschlossenes Krafteck entsteht. 4. Schritt: Wirkrichtung der ermittelten Kraft im Kräfteplan durch Eintragen des Richtungspfeils angeben (Resultierende am Ende, Gleichgewichtskraft am Anfang des Kräftezuges). 5. Schritt: Vektorlänge der ermittelten Kraft im Kräfteplan abmessen und in Krafteinheiten umrechnen (ihren Betrag errechnen). Danach den unmaßstäblichen Kraftvektor in den Lageplan übertragen, falls seine Lage nicht schon vorher bekannt war. Beispiel 2.11 An einem Lasthebemagneten (Bild 2.30a) sind zwei Ketten unter einem Winkel von 100 angebracht. Jeder Kettenstrang ist für eine Kraft von 10 kN zugelassen. Welche größte Kraft darf an der Aufhängeöse auftreten? Bild 2.30 Lasthebemagnet mit Zweistrangkette a) Darstellung, b) freigemachte Öse Lösung: Gegeben: FK ¼ 10 kN, a ¼ 100 , gewählt mF ¼ 2,5 kN/cm, damit FK gez ¼ (10/2,5) cm ¼ 4 cm (nach Gl. (1.2)). Gesucht: F in kN. 1. Schritt: Freimachen der Aufhängeöse (Bild 2.30b). Die gesuchte Kraft F hält mit den Kettenkräften FK die Öse im Gleichgewicht. 2. Schritt: Zeichnen des Lageplans (Bild 2.31a). Die unmaßstäblichen Kraftvektoren werden im Schnittpunkt der Wirklinien (Ösenmitte) angesetzt. 3. Schritt: Parallelverschieben der Wirklinien der Kettenkräfte in den Kräfteplan (Bild 2.31b). Auf den Wirklinien die Vektorlängen FK gez aneinander fügen, Richtungspfeile eintragen und Krafteck schließen durch Verbinden von Anfangs- und Endpunkt. 4. Schritt: Richtungspfeil der Gleichgewichtskraft F so eintragen, dass im Krafteck alle Vektoren gleichen Umfahrungssinn haben. 5. Schritt: Messen der für F im Kräfteplan entstandenen Vektorlänge Fgez und umrechen mit mF entspr. 26 2 Statik starrer Körper 5. Schritt: Im Kräfteplan werden gemessen die Vektorlängen F1 gez ¼ 2,8 cm und F2 gez ¼ 3,6 cm. Mit mF ergeben sich entspr. Gl. (1.3) die gesuchten Seilkräfte F1 ¼ 2,8 cm 150 N=cm ¼ 420 N, F2 ¼ 3,6 cm 150 N=cm ¼ 540 N: Bild 2.31 Lage- und Kräfteplan a) Lageplan, b) Kräfteplan Gl. (1.3). Es ergibt sich Fgez ¼ 5,2 cm und damit die größtzulässige Kraft F ¼ 5,2 cm 2; 5 kN=cm ¼ 13 kN: Auch wenn zwei Kräfte mit bekannten Wirklinien bestimmt werden sollen, die sich mit einer gegebenen Kraft im Gleichgewicht befinden, kann sinngemäß nach den vorgenannten Arbeitsschritten verfahren werden. Beispiel 2.12 An einem Mast (Bild 2.32) ist ein Halteseil für den Oberleitungsdraht einer Straßenbahn befestigt. Die Seilkraft beträgt 750 N. Welche Kräfte wirken in den Spannseilen 1 und 2, die mit dem Halteseil in einer Ebene liegen? Bild 2.33 Lage- und Kräfteplan a) Lageplan, b) Kräfteplan Wirken mehr als zwei Kräfte (Bild 2.34a), so kann man die Resultierende oder deren Gegenkraft (die Gleichgewichtskraft) durch wiederholte Parallelogrammkonstruktionen ermitteln. Es wird jeweils von zwei Kräften eine Zwischenresultierende konstruiert, z. B. Fr 1/2 aus den Kräften F1 und F2 sowie Fr 3/4 aus F3 und F4 (Bild 2.34b). Durch Zusammensetzen von Fr 1/2 und Fr 3/4 ergibt sich dann die Gesamtresultierende Fr. Diese erhält man auch, indem man die Zwischenresultierende zweier Kräfte mit der nächsten Kraft zusammensetzt und so fortfährt, bis alle Kräfte erfasst sind. Bild 2.32 Mast mit Halteseil und Spannseilen Lösung: Gegeben: F ¼ 750 N, a ¼ 45 , b ¼ 33 , gewählt mF ¼ 150 N/cm, damit Fgez ¼ 5 cm (nach Gl. (1.2)). Gesucht: F1 und F2. 1. Schritt: Freimachen des Mastes. Die gesuchten Seilkräfte F1 und F2 ziehen am Mast, wie Bild 2.33a zeigt. 2. Schritt: In den Lageplan (Bild 2.33a) werden die Wirklinien W1 und W2 unter den Winkeln a und b gezeichnet und die Kräfte unmaßstäblich eingetragen. 3. Schritt: Der Kräfteplan wird mit Fgez begonnen. An einem Ende dieser Strecke wird die Wirklinie W1, am anderen die Wirklinie W2 winkelgerecht angetragen, so dass ein geschlossenes Krafteck entsteht. 4. Schritt: Die Richtungspfeile für F1 und F2 sind durch die Wirkrichtung von F bedingt. Wegen des Gleichgewichts haben die Vektoren im Krafteck gleichen Umfahrungssinn. Bild 2.34 Vier Kräfte an einem Punkt a) Lageplan, b) Kräfteplan mit wiederholter Parallelogrammkonstruktion Einfacher und schneller gelangt man zum Ziel mittels Krafteck, das zu einem Kräftepolygon wird. Beim Aneinandersetzen der Kraftvektoren spielt die Reihenfolge keine Rolle, wie Bild 2.35 zeigt. Die in Bild 2.35a angedeuteten Zwischenresultierenden Fr 1/2 und Fr 3/4 veranschaulichen den Werdegang zum Polygon. Sie werden nicht 2.2 Zentrales ebenes Kräftesystem mitgezeichnet. Das Krafteck wird übersichtlich, wenn die Reihenfolge der Kräfte so gewählt wird, dass sich der Kräftezug nicht selbst schneidet, was bei der Folge F3, F4, F1, F2 geschehen würde. 27 3. Schritt: Der Kräfteplan wird mit F1 gez begonnen (Bild 2.37b). Anschließend wird F2 gez unter dem Winkel b angetragen und daran F3 gez unter dem Winkel g angefügt. Die richtigen Winkel entstehen durch Parallelverschieben der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan. Anfang und Ende des Kräftezuges werden verbunden, so dass ein Krafteck entsteht. 4. Schritt: Die Wirkrichtung der Resultierenden wird durch Anbringen des Richtungspfeiles angegeben. Seine Spitze weist auf das Ende des Kräftezuges, liegt also an der Spitze von F3. Bild 2.35 Kraftecke als Kräftepolygone a) Reihenfolge F1 , F2 , F3 , F4 , Fr , b) geänderte Reihenfolge F3 , F2 , F1 , F4 , Fr , c) wie b), jedoch am Ende mit F als Gegenkraft zu Fr Der Lösungsgang kann ebenfalls sinngemäß in den zuvor erläuterten fünf Arbeitsschritten erfolgen. Beispiel 2.13 An einem Telegrafenmast sind in einer Ebene drei Drähte befestigt, in denen die Kräfte 350 N, 500 N und 300 N unter den in Bild 2.36 angegebenen Winkeln wirken. Die Resultierende dieser Kräfte ist zeichnerisch zu ermitteln mit einem Maßstabfaktor von 100 N/cm. Bild 2.37 Lage- und Kräfteplan a) Lageplan, b) Kräfteplan 5. Schritt: Die Vektorlänge der ermittelten Resultierenden und ihr Richtungswinkel zur Kraft F1 werden im Kräfteplan gemessen: Fr gez ¼ 4,63 cm, ar ¼ 54 . Durch Parallelverschieben in den Lageplan ergibt sich die Lage von Fr. Es betragen: Fr ¼ 4,63 cm 100 N=cm ¼ 463 N, ar ¼ 54 : Wirken mehrere Kräfte auf derselben Wirklinie, dann liegt auch die Resultierende Fr bzw. die Gleichgewichtskraft F auf dieser Wirklinie (Bild 2.38). Kräfteparallelogramm und Krafteck werden zu einer Strecke. Zur übersichtlichen Darstellung zeichnet man die Kraftvektoren dicht neben die Wirklinie und markiert die Vektorlängen durch kurze Querstriche. Bild 2.36 Kräfte an einem Telegrafenmast Lösung: Gegeben: F1 ¼ 350 N, F2 ¼ 500 N, F3 ¼ 300 N, b ¼ 65 , g ¼ 130 , mF ¼ 100 N/cm, damit F1 gez ¼ 3,5 cm, F2 gez ¼ 5 cm, F3 gez ¼ 3 cm. Gesucht: Fr und ar als Richtungswinkel zu F1. 1. Schritt: Entfällt, da die angreifenden Kräfte und deren Lagen bekannt sind (Bild 2.36) 2. Schritt: In den Lageplan werden die Wirklinien W1, W2 und W3 unter den Winkeln b und g gezeichnet und die Kräfte unmaßstäblich eingetragen (Bild 2.37a). Bild 2.38 Kräfte auf gleicher Wirklinie a) zwei Kräfte gleicher Richtung, b) zwei Kräfte entgegengesetzter Richtung, c) drei Kräfte verschiedener Richtung 28 2.2.3 2 Statik starrer Körper Damit ergibt sich die Rechnerische Kräfteermittlung Kräfte auf gemeinsamer Wirklinie Die Berechnungsgleichungen ergeben sich aus Bild 2.38. Danach gilt für die aus n Einzelkräften gebildete Resultierende ð2:1Þ Fr ¼ SFi ¼ F1 þ F2 þ F3 þ . . . þ Fn In diese Gleichung sind Kräfte mit entgegengesetzter Wirkrichtung mit verschiedenen Vorzeichen einzusetzen. Vorzugsweise werden waagerecht nach rechts und senkrecht nach oben wirkende Kräfte positiv angenommen und zu diesen entgegengesetzt wirkende negativ. Die Gegenkraft zur Resultierenden, die Gleichgewichtskraft F, die das Kräftesystem im Gleichgewicht hält, folgt aus der Gleichgewichtsbedingung SF ¼ 0, also F þ Fr ¼ 0 oder F þ SFi ¼ 0, weil bei Gleichgewicht die Resultierende und damit die Summe aller Kräfte gleich null ist. Somit beträgt für n Einzelkräfte die Gleichgewichtskraft F ¼ SFi ¼ ðF1 þ F2 þ F3 þ . . . þ Fn Þ ð2:2Þ Auch in dieser Gleichung sind entgegengesetzte Wirkrichtungen durch verschiedene Vorzeichen zu unterscheiden. Die Wirkrichtung der errechneten Kraft ergibt sich aus dem Vorzeichen des Ergebnisses. Zwei Kräfte, deren Wirklinien sich rechtwinklig schneiden Aus Bild 2.39 folgt nach dem Lehrsatz des Pythagoras der Betrag für die qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð2:3Þ Resultierende Fr ¼ F12 þ F22 Zur Kraft F1 folgt für den Richtungswinkel tan ar ¼ F2 F1 ð2:4Þ Resultierende Fr ¼ F1 F2 ¼ cos ar sin ar ð2:5Þ Die Gleichgewichtskraft F zu den Kräften F1 und F2 sowie ihr spitzer Richtungswinkel a zur Wirklinie von F1 (Bild 2.40) lassen sich sinngemäß mit den Gl. (2.3) bis (2.5) errechnen. Bild 2.40 Berechnungsskizze zur Ermittlung der Gleichgewichtskraft Beispiel 2.14 Die Wirklinien zweier Kräfte von 2 kN und 3,5 kN schneiden sich rechtwinklig wie in den Bildern 2.39 und 2.40. Es sind die Gleichgewichtskraft und deren spitzer Richtungswinkel zur Wirklinie der kleineren Kraft zu errechnen. Lösung: Gegeben: F1 ¼ 2 kN, F2 ¼ 3,5 kN. Gesucht: F und a. Aus Bild 2.40 folgen entspr. Gln. (2.3) und (2.4) für die Gleichgewichtskraft qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F ¼ F12 þ F22 ¼ ð2 kNÞ2 þ ð3,5 kNÞ2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 22 þ 3,52 kN ¼ 4,03 kN und für den Richtungswinkel F2 3,5 kN ¼ , daraus a ¼ 60,26 : tan a ¼ F1 2 kN Die errechnete Kraft F ist so groß wie die Resultierende Fr und liegt auf derselben Wirklinie, wirkt jedoch entgegengerichtet zu Fr. Zwei Kräfte, deren Wirklinien sich schiefwinklig schneiden Für die in Bild 2.41 den Winkel g einschließenden Kräfte F1 und F2 erhält man die Resultierende Fr aus dem Cosinussatz Fr2 ¼ F12 þ F22 2 F1 F2 cosð180 gÞ Da cosð180 gÞ ¼ cos g ist, beträgt die Bild 2.39 Resultierende von zwei rechtwinklig zueinander wirkenden Kräften a) Kräfteparallelogramm (Rechteck), b) Krafteck (rechtwinkliges Dreieck) Resultierende qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fr ¼ F12 þ F22 þ 2 F1 F2 cos g ð2:6Þ Der Winkel zwischen der Resultierenden Fr und der Kraft F1 ergibt sich aus dem Sinussatz 2.2 Zentrales ebenes Kräftesystem 29 sin ar sinð180 gÞ ¼ F2 Fr die gesuchten Kräfte Mit sinð180 gÞ ¼ sin g folgt für den F2 Richtungswinkel sin ar ¼ sin g Fr sin b sin 33 ¼ 418 N ¼ 750 N sin g sin 102 sin a sin 45 ¼ 750 N ¼ 542 N F2 ¼ F sin g sin 102 F1 ¼ F ð2:7Þ Mehr als zwei Kräfte Zweckmäßig bedient man sich eines x,y-Koordinatensystems (Bild 2.43), in dem die Vektoren der Kräfte im Achsenschnittpunkt beginnen. Alle Kräfte werden in Richtung der beiden Koordinatenachsen zerlegt, so dass sich nur zwei senkrecht zueinander stehende Wirkrichtungen ergeben und sich alle Komponenten leicht zusammenfassen lassen. Bild 2.41 Zur Berechnung schiefwinkliger Kräftedreiecke a) Lageplan, b) Krafteck Mit dem Sinus- und dem Cosinussatz lassen sich auch die Gleichgewichtskraft, die Komponenten und alle Winkel in einem schiefwinkligen Kräftedreieck errechnen. Beispiel 2.15 Die Seilkräfte in den Spannseilen nach Beisp. 2.12 sind rechnerisch zu ermitteln (Bild 2.42). Bild 2.42 Berechnungsskizze a) Mast mit Halteseil und Spannseilen, b) freigemachter Mast, c) Krafteckskizze Lösung: Gegeben: F ¼ 750 N, a ¼ 45 , b ¼ 33 : Gesucht: F1 und F2. Mit dem Winkel g ¼ 180 a b ¼ 180 45 33 ¼ 102 folgen aus dem Sinussatz F1 F2 F ¼ ¼ sin b sin a sin g Bild 2.43 Kräftezerlegung und -zusammensetzung im Koordinatensystem a) Zerlegen von Einzelkräften, b) Zusammensetzen zur Resultierenden Mittels der Winkelfunktion erhält man die Komponenten der Einzelkräfte Fix ¼ Fi cos ai ð2:8Þ Fiy ¼ Fi sin ai ð2:9Þ mit i ¼ 1, 2, 3 . . . n bei n Einzelkräften und ai als spitzem Winkel der Kraft Fi zur x-Achse.
