5 Grundlegende Algebra

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Grundlegende Algebra
Der Inhalt des nachfolgenden Abschnitts orientiert sich an Abschnitt 5.3 des Buches von
Schichl/Steinbauer, die Darstellung ist jedoch anders.
In Teilen folgt die Darstellung dem Buch von Fischer/Sacher, Einführung in die Algebra, Teubner,
1983.
5.1 Elementare Zahlentheorie
Folgendes ist bereits bekannt:
Theorem 5.1.1 (Primfaktorzerlegung). Zu jedem n 2 N
mit n > 1 gibt es paarweise verschiedene Primzahlen
p1 ; p2 ; : : : ; pr und `1 ; `2 ; : : : ; `r 2 Nnf 0 g mit
n D p1`1 p2`2 pr`r :
Diese Faktorisierung ist (bis auf Reihenfolge) eindeutig.
Nun zur Division mit Rest. Wir verwenden, dass N
wohlgeordnet ist, d. h., jede nichtleere Teilmenge von
N besitzt kleinstes Element.
Theorem 5.1.2 (Division mit Rest). Zu je zwei Zahlen
m; n 2 Z; m ¤ 0, gibt es eindeutig bestimmte Zahlen
s; r 2 Z mit
n D sm C r und 0 r < jmj:
Wäre s 0 > s , so gälte s 0 s C 1, also
r0 D n
s0m n
.s C 1/m D r
m < 0;
ein Widerspruch. Analog führt man den Fall s 0 < s zum
Widerspruch, also muss s 0 D s gelten. Damit gilt n D
sm C r D sm C r 0 , also auch r 0 D r .
b) Wir betrachten nun den Fall m < 0. Dann gibt es
(eindeutige) s; r 2 Z; 0 r < jmj mit n D s. m/ C r ,
und dann gilt n D . s/m C r . (Darstellung ist auch
eindeutig.)
Beispiel. Praktisch wird Division mit Rest genauso
durchgeführt wie Division ohne Rest:
56365 W 456 D 123 Rest 277
456
1076
912
1645
1368
277
bzw. 56365 D 123 456 C 277.
M
Wir hatten schon definiert: Für m; n 2 Z heißt m Teiler
von n, falls n D km für ein k 2 Z. Notation:
m j n, falls m Teiler von n, sonst m6 j n.
Beweis.
a) Betrachte zunächst Fall m > 0.
Beispiel. Es gilt 6 j 18; 6 j 18; 36 j 10.
(i) Existenz: Sei
Definition 5.1.3. Für m; n 2 Z heißt d 2 Z größter gemeinsamer Teiler (kurz ggT) von m und n, falls die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
M WD f n
sm j s 2 Z g \ N:
Es ist M ¤ ¿, denn n 2 M , falls n 0, und n nm D
m/ 2 M im Fall n 0. Wegen M ¤ ¿ und der
Wohlordnung von N gibt es ein kleinstes Element r D
n sm 2 M mit s 2 Z geeignet. Dann gilt r 0 sowie
n.1
.s C 1/m D n sm m < 0
„ ƒ‚ …
r
und damit r < m.
(ii) Eindeutigkeit: Seien nun s 0 ; r 0 2 Z mit
n
n D s 0 m C r 0 und 0 r 0 < jmj:
a) d teilt m und n,
b) falls ein t 2 Z sowohl m als auch n teilt, so teilt t
auch d .
Notation: d = ggT(m; n). Es heißen m und n teilerfremd,
wenn 1 = ggT(m; n).
Beispiel. Es sind ˙1; ˙2; ˙3; ˙6 die Teiler der Zahl 6,
und ˙1; ˙3; ˙5; ˙15 sind die Teiler der Zahl 15. Damit
sind ˙1; ˙3 Teiler sowohl von 6 als auch von 15, also
˙3 D ggT.6; 15/. M
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Kapitel 5 Grundlegende Algebra
Es gibt (bis auf Vorzeichen) höchstens einen ggT:
Proposition 5.1.4. Seien m; n 2 Z mit m ¤ 0; n ¤ 0.
Ist d = ggT(m; n), so ist auch d = ggT(m; n). Weitere
größte gemeinsame Teiler gibt es nicht.
Beweis. (1) Wir zeigen zunächst d = ggT(m; n), wofür nach Definition zwei Eigenschaften nachzuweisen
sind. Eigenschaft a): Es gibt nach Annahme e; f 2 Z
mit de D m; df D n. Dann gilt auch e; f 2 Z
sowie . d /. e/ D m; . d /. f / D n, also teilt d
ebenfalls m und n. Eigenschaft b): Für jedes t 2 Z mit
t j m und t j n gibt es nach Annahme e; f 2 Z mit
te D m; tf D n. Dann gibt es nach Annahme ein h 2 Z
mit th D d , und dann gilt t. h/ D d , d. h., t teilt auch
d.
Damit gilt d = ggT(m; n).
(2) Sei nun d 0 2 Z eine Zahl mit d 0 = ggT(m; n). Wir
zeigen im Folgenden d 0 D ˙d . Nach Definition gilt d j
d 0 und d 0 j d , also existieren e; f 2 Z mit de D d 0 und
d 0 f D d . Daraus folgt d.ef / D .de/f D d 0 f D d ,
also (wegen d ¤ 0) ef D 1 und damit e D f D 1 oder
e D f D 1. Dies zeigt d 0 D ˙d .
Bemerkung 5.1.6. Tatsächlich gilt mit der Notation
d D ggT.m; n/ für die in Theorem 5.1.5 betrachtete
Menge Folgendes:
f km C `n j k; ` 2 Z g D d Z WD f dr j r 2 Z g:
Aus Theorem 5.1.5 erhält man das folgende wichtige
Ergebnis. Es rechtfertigt die Notation „ggT “.
Proposition 5.1.7. Seien m; n 2 Z mit m ¤ 0; n ¤ 0.
Für eine Zahl d 2 Z gilt d D ggT.m; n/ gdw.
a) d teilt m und n,
b) Für jedes t 2 Z mit t j m und t j n gilt jt j jd j.
Es folgt eine hilfreiche Darstellung für den ggT.
Beweis. Ist d = ggT(m; n), so gilt a), und für t 2 Z mit
t j m und t j n gilt nach Definition des ggT t j d und
damit jt j jd j. (Denn te D d für ein e ¤ 0, und dann
je j 1, daher jd j D jte j D jt j je j jt j:)
Es erfülle nun d 2 Z Bedingungen a) und b). Gilt für
d 0 2 Z d 0 = ggT(m; n), so gibt es nach Definition k; ` 2 Z
mit d 0 D km C `n. Wegen b) der Proposition gilt jd 0 j jd j. Es gilt aber auch jd j jd 0 j, denn d j m und d j n
impliziert d j d 0 und damit jd j jd 0 j (sieher erster
Teil des Beweises). Damit jd j D jd 0 j bzw. d D ˙d 0 , so
dass d D ggT.m; n/.
Theorem 5.1.5. Seien m; n 2 Z mit m ¤ 0; n ¤ 0. Die
kleinste positive Zahl in
Korollar 5.1.8. Seien m; n; s 2 Z und sind m und n
teilerfremd, so gilt:
M WD f km C `n j k; ` 2 Z g
m j ns =) m j s:
ist ggT von m und n.
Beweis. Es ist M \ N N und M \ N ¤ ¿, also gibt
es wegen der Wohlordnung von N ein kleinstes nichtnegatives Element d D km C `n in M (mit geeigneten
k; ` 2 Z). Wir zeigen d D ggT.m; n/:
Offensichtlich gilt für jedes t 2 Z mit t j m und t j n
auch t j d : es gibt ja dann e; f 2 Z mit te D m; tf D n
und dann
Beweis. Wegen der Teilerfremdheit gibt es k; ` 2 Z mit
1 D km C `n, so dass auch
s D .sk/m C `.ns/
......
t.ek C f `/ D k.te/ C `.tf / D km C `n D d:
„ ƒ‚ …
2Z
Würde d 6 j m gelten, so liefert Division mit Rest Zahlen s; r 2 Z mit m D sd C r; 0 < r < d . Dann
gilt, wobei me D ns für ein e 2 Z eingeht.
Euklidischer Algorithmus zur Berechnung des ggT.
Seien m; n 2 N Zahlen mit m > 0; n > 0. Definiere
rekursiv Folge d0 ; d1 ; d2 ; : : : durch
r Dm
D .1
sd D m
s.km C `n/
sk/m C . s`/n 2 M:
Die Ungleichung 0 < r < d liefert dann einen Widerspruch zur „Kleinstheit“ von d . Analog führt man d 6 j n
zum Widerspruch. Also teilt d doch m und n.
C .`e/m D .sk C `e/m
d0 D m; d1 D n;
dj
1
D sj dj C dj C1 ;
sj 2 N; 0 dj C1 < dj ;
j D 1; 2; : : : :
Der Algorithmus bricht mit J WD j ab, falls dJ C1 D 0.
Man beachte, dass aufgrund der strengen Monotonie
der Werte dj ; j D 0; 1; : : : der Algorithmus tatsächlich
nach endlich vielen Schritten abbricht.