Mathematik 2
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Das ist
Mathematik 2
Lösungen
Testen und Fördern
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3
6
8
9
10
14
14
15
15
16
17
20
21
22
23
23
26
27
27
28
Kompetenztest Teilbarkeit natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Fördermaterial Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Teiler und Vielfache erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Teilbarkeitsregeln kennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Kompetenztest Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
27
28
29
30
32
Kompetenztest Gleichungen, Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
39
41
43
45
Fördermaterial Bruchzahlen
Anteile und Verhältnisse bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brüche kürzen und erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brüche vergleichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brüche addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brüche multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fördermaterial Gleichungen, Proportionalität
Gleichungen erstellen und lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mathematische Sprache deuten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
direkte und indirekte Proportionalität erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen umrechnen, Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kompetenztest Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Fördermaterial Prozentrechnung
Prozentangaben grafisch darstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Prozentangaben in unterschiedlichen Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
mathematische Sprache deuten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
mit Prozenten rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Lösungen
Kompetenztest Wiederholung aus der 1. Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
29
32
33
33
34
35
38
38
39
40
40
41
45
46
47
48
Fördermaterial Statistik
Daten aus Diagrammen ablesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Häufigkeiten berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
statistische Umfragen Darstellungen zuordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
statistische Darstellungen interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kompetenztest Geometrische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Fördermaterial Geometrische Grundbegriffe
Winkel messen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Winkelarten erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
mit dem Koordinatensystem umgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Symmetrie erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
geometrische Eigenschaften erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Kompetenztest Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Fördermaterial Figuren
Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Figuren zeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
geometrische Eigenschaften erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Vierecke und ihre Eigenschaften kennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Lösungen
Kompetenztest Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Testen und Fördern
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Inhaltsverzeichnis
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11,4
6,09
0,296
1,14
6,9
29,6
b) 20,1 – 8,7 =
c) 1,38 • 5 =
d) 14,8 : 5 =
2,96
69
11,04
10,5
Je 4 Kanten sind parallel und gleich lang.
O=6•a•a
Die 12 Seitenkanten sind gleich lang.
Es gibt 3 Paar gleich großer Seitenflächen.
Die 6 Begrenzungsflächen sind gleich groß.
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1 050 dm³
700 Liter
1 m³ 450 dm³
2
3
1
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570 dm³
4
3) Ordne die angegebenen Rauminhalte nach ihrer Größe – beginne mit dem größten.
Würfel
Quader
V=a•b•c
2) Was gilt für alle Quader? Was gilt nur für Würfel?
Ordne die Körper den Eigenschaften richtig zu.
1,05
105
a) 2,6 + 7,9 =
1) Grundrechenoperationen.
Berechne und wähle das richtige Ergebnis aus.
Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen
5
1/7
Größe • 3
Größe : 3
Größe : 4
Größe • 4
Rechteck H: a = 4 cm, b = 5 cm
1
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Rechteck S: a = 7 cm, b = 10 cm
Rechteck F: a = 5 cm, b = 20 cm
Rechteck I: a = 6 cm, b = 15 cm
Rechteck C: a = 10 cm, b = 3 cm
3
5
4
2
6) Ordne die Rechtecke nach ihrem Flächeninhalt. Beginne mit dem kleinsten.
16 • 34 • 12 =
(16 + 34) • 2 • 12 =
16 • 2 + 34 • 2 • 12 =
Ein rechteckiges Grundstück von 16 m Länge und 34 m Breite soll eingezäunt werden. Der
Laufmeter Zaun kostet 12 €. Wie viel Euro sind zu bezahlen?
5) Welche Reihenfolge der Rechenoperationen führt zur richtigen Lösung?
Für 1 Viertelliter Traubensaft verlangt der
Winzer 0,6 €. Wie teuer ist 1 Liter?
12 kg Erdäpfel kosten 18 €. Wie teuer sind
3 kg?
In 3 h kommt Peter 22,4 km weit. Gib seine
durchschnittliche Geschwindigkeit an.
Ein Fahrzeug verbraucht 7,5 l auf 100 km.
Wie viel Liter braucht es für 300 km?
4) Welche Rechenoperation führt zur Lösung?
Weise der Textaufgabe die richtige Rechenoperation zu.
Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen
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Testen und Fördern
Lösungen
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Der Umfang beträgt: 15,4 cm, 20,8 cm, 24,4 cm
Der Umfang beträgt: 18 m, 36 m, 38 m
b) Rechteck: a = 4,5 cm, b = 3,2 cm
c) Quadrat: Seitenlänge a = 9,5 m
364 – 100 : 24 =
26 m
24 m
17 m, 22 m, 12 m, 13 m, 12 m, 11 m
31 m, 25 m, 19 m, 31 m, 22 m, 28 m
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11
140
1,65
51
104
165
b) 34,5 + 17,5 – 18,5 – 12,5 =
c) 3,5 • 4 • 2 • 5 =
d) 57,75 : 3,5 =
16,5
14
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24,5
68,5
a) 17,5 + 23,7 + 6,9 + 20,4 =
86,5
14,5 m
12 m, 18 m, 20 m, 18 m, 19 m, 21 m
10) Berechne – eine Überschlagsrechnung hilft dir.
Wähle das richtige Ergebnis aus.
18 m
24 : 367 • 100 =
23 m, 17 m, 20 m, 22 m, 29 m, 33 m
9) Berechne den Mittelwert der gegebenen Weiten.
Verbinde mit dem richtigen Mittelwert.
(50 – 24) • 100 =
Daniela tankt bei einem Kilometerstand von 23 545 mit rund 50 Liter Treibstoff voll. Nach
367 km tankt sie 24 Liter nach. Wie viel Liter verbraucht Danielas Wagen auf 100 km?
8) Welcher Rechengang führt zur richtigen Lösung?
Der Umfang beträgt: 8,4 cm, 10,4 cm, 24 cm
a) Quadrat: Seitenlänge a = 2,6 cm
7) Berechne den Umfang des Rechtecks. Markiere die richtige Länge.
Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen
7
3/7
21 cm
10 cm²
Raummaße - Hohlmaße
Flächenmaße
21 cm²
20 cm
V = 512 cm³
V = 256 cm³
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V = 384 cm³
14) Berechne den Rauminhalt eines Würfels mit einer Seitenlänge von 8 cm.
Kreuze das richtige Ergebnis an.
ml
km²
Quadratmeter
Liter
Hektar
Kubikzentimeter
Ar
m³
13) Ordne die Maßangaben richtig zu.
Unterscheide zwischen Flächen- und Raummaßen.
__30___ cm³
12) Berechne den Rauminhalt des Quaders.
20 cm²
10 cm
11) Wie groß ist der Umfang der färbigen Fläche?
Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen
8
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Testen und Fördern
Lösungen
4
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16) Welche Bruchzahlen haben den gleichen Wert?
Verbinde gleichwertige Zahlen.
___210___ mm³
15) Berechne den Rauminhalt des Quaders.
Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen
9
5/7
28
d) 12 • 3 + 4 =
40
84
84
64
6
8
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erhabener Winkel
stumpfer Winkel
rechter Winkel
spitzer Winkel
18) Verbinde die Winkel mit ihrer Winkelart.
40
8
4
b) 24 : (4 + 2) =
c) 12 • (3 + 4) =
4
6
a) 24 : 4 + 2 =
17) Berechne. Achte auf die Rechenregeln.
Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen
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6/7
Testen und Fördern
Lösungen
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Der Zug fährt noch 1 Stunde
15 Minuten.
Der Zug fährt noch 38 Minuten.
Es ist 22:35 Uhr.
Zugankunft: 0:45 Uhr
Es ist 23:25.
Zugankunft: 1:00 Uhr
5
4
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x = 109
x = 220
x = 16
x:7=7
x + 61 = 77
154 – 45 = x
6
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x = 49
140 = x – 80
21) Welche Lösung passt zu welchem Rechenausdruck?
2
3
Der Zug fährt noch 2 Stunden
10 Minuten.
Es ist 19:45 Uhr.
Zugankunft: 20:23 Uhr
20) Ordne die Bruchzahlen – beginne mit der kleinsten.
Wenn du unsicher bist, dividiere.
Der Zug fährt noch 1 Stunde
35 Minuten.
Es ist 18:23 Uhr.
Zugankunft: 19:38 Uhr
19) Berechne die verbleibende Fahrzeit und ordne zu.
Wiederholung aus der 1. Klasse – Lösungen
11
7/7
durch 5 teilbar
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237
95
206
609
93
305
46
134
durch 2 teilbar durch 3 teilbar
3) Überlege durch welche Zahl die gegebenen Zahlen teilbar sind.
Bei einer durch 5 teilbaren Zahl können an der Einerstelle stehen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Bei einer durch 2 teilbaren Zahl können an der Einerstelle stehen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2) Markiere alle Ziffern, die an der Einerstelle stehen können.
..., 24, 28, 32, ...
..., 98, 112, 126, ...
..., 75, 90, 105, ...
..., 56, 70, 84, ...
..., 24, 27, 30, ...
..., 120, 135, 150, ...
..., 12, 16, 20, ...
..., 15, 18, 21, ...
1) Ergänze die Vielfachen-Reihe mit drei weiteren Zahlen.
Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen
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12
8
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3, 5, 7
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der ggT beträgt 25
der ggT beträgt 15
der ggT beträgt 5
Wie lautet der ggT von 50, 75 und 100?
6) Ermittle den ggT der gegebenen Zahlen.
105
2, 4, 8
5) Ermittle das kgV der gegebenen Zahlen.
5•3•4•3•7
7•5•3•3•2•2
5•3•3•3•2•2
7•5•4•3•2
4) Die Zahl 1 260 soll in Primfaktoren zerlegt werden.
Welche Zerlegung ist richtig?
Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen
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Teilt t zwei Zahlen a und b, dann teilt t auch die Summe (a + b).
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Zahlen, die nur aus unechten Teilern bestehen, heißen
zusammengesetzte Zahlen.
1 ist die kleinste Primzahl.
Alle natürlichen Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind,
heißen Primzahlen.
Ist eine Zahl t Teiler einer Zahl a, so ist a ein Vielfaches der Zahl t.
9) Entscheide dich, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
Kreuze die drei wahren Aussagen an.
Bestimme ggT und kgV von 8, 12 und 16: 2, 4, 8, 12, 24, 36, 48, 52, 60
Bestimme ggT und kgV von 4, 12, und 20: 2, 4, 8, 10, 20, 40, 60, 80
Bestimme ggT und kgV von 2, 10 und 8: 2, 3, 4, 6, 10, 20, 40, 80
8) Markiere das kgV GELB – den ggT ORANGE.
der ggT beträgt 24
der ggT beträgt 12
der ggT beträgt 6
Wie lautet der ggT von 24, 60 und 132?
7) Ermittle den ggT der gegebenen Zahlen.
Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen
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3/4
Testen und Fördern
Lösungen
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Hier ist das kgV gesucht.
Hier ist das kgV gesucht.
Hier ist das kgV gesucht.
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Hier ist das kgV gesucht.
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Hier ist der ggT gesucht.
An einer rechteckigen Wand sollen möglichst große quadratische Fliesen ohne Verschnitt
angebracht werden.
Hier ist der ggT gesucht.
Zwei Zahnräder mit unterschiedlich vielen Zähnen greifen ineinander. Nach wie vielen
Umdrehungen haben sie die Ausgangsposition wieder erreicht?
Hier ist der ggT gesucht.
Drei Autobuslinien verlassen gleichzeitig den Bahnhof. Sie fahren alle 12, 20 bzw. 40
Minuten. Wann fahren sie wieder gemeinsam ab?
Hier ist der ggT gesucht.
Von zwei unterschiedlich großen Flüssigkeitsbehältern ist der Inhalt in möglichst wenige
gleich große Flaschen umzufüllen.
10) Entscheide, ob das kgV oder der ggT zu bestimmen ist.
Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen
15
4/4
1
42
2
21
3
14
6
7
7
6
14
3
21
2
42
1
3
6
7
19
3 • 3 • 11
2•2•2•2•3
18
21
24
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d) 99 =
5•5•3
15
b) 75 =
14
c) 48 =
12
2•2•3•3
8
a) 36 =
Zerlege in Primfaktoren!
2
Markiere alle durch 2 teilbaren Zahlen gelb, alle durch 3 teilbaren blau und alle
Zahlen, die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sind, grün!
Zuckerln
Kinder
25
Susanne hat 42 Zuckerln. Welche Möglichkeiten hat sie, diese gerecht aufzuteilen?
V11 = { 11, 22, 33, 44, 55, 66, ... }
Wie lauten die Vielfachen von 11?
T28 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
Welche Zahlen teilen 28?
Teiler und Vielfache erkennen
Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen
16
1/2
Testen und Fördern
Lösungen
8
12.11.2013 14:10:55
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12
60
90
120
42
3, 7, 2
4, 8, 18
3, 6, 12
2, 5, 9
5, 8, 15
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4
5
3
25
6
12, 24, 66
36, 54, 18
4, 12, 16
15, 45, 55
9, 12, 27
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18
25, 50, 75
Berechne den ggT der gegebenen Zahlen und verbinde!
72
4, 5, 6
Berechne das kgV der gegebenen Zahlen und verbinde!
Teiler und Vielfache erkennen
Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen
17
2/2
oder:
2 5 875
55 875, 85 875
53 421, 53 721
2 0 5 641
976 12 2
976 125, 976 128
oder: 235 641, 265 641, 295 641
oder:
4 840, 4 844, 4 848
1 572, 1 576
7 200, 7 204, 7 208
4 841
1 577
7 201
7 200, 7 205
1 570, 1 575
4 840, 4 845
2 170, 2 175
durch 5 teilbar
7 200, 7 209
1 575
4 842
2 178
durch 9 teilbar
1
2
3
4
5
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Teilt eine Zahl t die Zahl a und nicht die Zahl b, dann teilt sie auch die
Summe der Zahlen (a + b).
Die Primfaktorenzerlegung einer Zahl ist bis auf die Reihenfolge
eindeutig.
Null ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl.
9
falsch
8
7
richtig
6
Ob eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist nur von der Einerstelle abhängig.
Welche Aussagen sind richtig, welche falsch?
0
Welche Ziffern können mehrstellige Primzahlen nicht an der Einerstelle haben?
2 172, 2 176
2 173
durch 4 teilbar
Ändere die Zahlen an der Einerstelle so ab, dass sie teilbar werden!
Gib alle Möglichkeiten an!
oder:
53 1 21
Setze jeweils eine Ziffer in die Lücke ein, sodass eine durch 3 teilbare Zahl entsteht!
Gib alle Möglichkeiten an!
Teilbarkeitsregeln kennen
Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen
18
1/2
Testen und Fördern
Lösungen
9
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Zwei Stoffbahnen sind 840 cm bzw. 560 cm lang. Sie sollen so
zerschnitten werden, dass möglichst lange, gleich große Stoffstreifen
entstehen.
Zwei verschieden hohe Sorten Schachteln werden nebeneinander
gestapelt. Wie hoch sind die beiden Stapel, wenn sie zum ersten Mal
gleich hoch sind?
ggT
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kgV
Martin besucht seine Großeltern alle 2 Wochen, seine Schwester Barbara
besucht sie alle 3 Wochen. Wie viele Wochen vergehen, zwischen den
gemeinsamen Besuchen?
Muss bei der Aufgabe das kgV oder der ggT bestimmt werden?
Zahl. Jedes Vielfache von 12 ist daher auch Vielfaches von 3.
ZB: Weil 3 | 12; und wenn eine Zahl t eine Zahl teilt, dann teilt t auch jedes Vielfache dieser
Warum ist jede durch 12 teilbare Zahl sicher auch durch 3 teilbar?
36 + 48 = 6 • 6 + 6 • 8 = 6 • (6 + 8) = 6 • 14
durch die Zahl t teilbar. 6 | 36 und 6 | 48 daher gilt auch 6 | 84.
ZB: Wenn zwei Zahlen durch die gleiche Zahl t teilbar sind, dann ist auch ihre Summe
Weil sowohl 36 als auch 48 durch 6 teilbar sind, ist auch 84 durch 6 teilbar.
Erkläre in eigenen Worten!
Teilbarkeitsregeln kennen
Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Lösungen
19
2/2
1
12
hundert Bruchzahlen
unendlich viele Bruchzahlen
keine Bruchzahlen
beide gleich viel
Das kann man nicht beantworten, weil die Teile unterschiedlich groß sind.
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Konstantin
Sonja
3) Sonja und Konstantin haben zwei gleich große Pizzas gebacken. Sonja schneidet
ihre Pizza in 8 gleiche Teile und isst 4 davon. Konstantin schneidet seine Pizze in 6
gleiche Teile und isst 3 davon. Wer hat mehr Pizza gegessen?
genau eine Bruchzahl
2) Wie viele Bruchzahlen liegen zwischen einem Siebentel und einem Neuntel?
2
1) Wie heißt die kleinste natürliche Zahl, die größer als die gegebenen Bruchzahlen
ist?
Gib jeweils die natürliche Zahl an.
Bruchzahlen – Lösungen
20
1/7
Testen und Fördern
Lösungen
10
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10
12
16
18
28
36
8
12
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5) Erweitere und verbinde mit dem richtigen Kästchen.
3
Fabian hat ein Drittel der 24 Pralinen gegessen.
15
Zwei Fünfzehntel der 270 gelieferten Äpfel waren verdorben.
8
An dreiviertel der 16 Urlaubstagen schien die Sonne.
4) Wie viele sind das? Markiere die richtigen Antworten.
Bruchzahlen – Lösungen
21
2/7
84
1
3
1
+5 =
4
2
1
94
3
84
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3
7) Addiere und kreuze das richtige Ergebnis an.
richtig gekürzt
falsch gekürzt
6) Wo wurde richtig, wo falsch gekürzt?
Verbinde mit dem richtigen Kästchen.
Bruchzahlen – Lösungen
22
3/7
Testen und Fördern
Lösungen
11
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8) Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis.
Bruchzahlen – Lösungen
23
4/7
)
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kleiner als 7
größer als 7
10) Ist das Produkt kleiner oder größer als 7? Verbinde mit dem richtigen Kästchen.
falsch
richtig
9) Wurde richtig oder falsch gerechnet?
Verbinde mit dem entsprechenden Kasten.
Bruchzahlen – Lösungen
24
5/7
Testen und Fördern
Lösungen
12
12.11.2013 14:10:59
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ändert sich der Wert des Bruches nicht.
4
9
1
3
·1 =
9
8
1
3 24
3
34
1
1
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1
4
3
1 28
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7
3
:7=
4
13) Dividiere und kreuze die richtige Lösung an.
3
1
ändert sich der Wert des Bruches, aber man kann nicht sagen wie.
12) Multipliziere und kreuze die richtige Lösung an.
wird der Wert des Bruches größer.
wird der Wert des Bruches kleiner.
Multipliziert man den Zähler und den Nenner eines Bruches mit derselben Zahl (≠ null),
11) Welche Aussage ist richtig? Kreuze an.
Bruchzahlen – Lösungen
25
6/7
2
1
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3
4
5
indem man durch den Zähler des Divisors dividiert.
indem man die Nenner multipliziert.
indem man mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert.
indem man mit dem Kehrwert des Dividenden multipliziert.
15) Dividiere und ordne der Größe nach.
Beginne mit dem kleinsten Quotienten.
Man dividiert durch eine Bruchzahl in Bruchschreibweise,
14) Entscheide dich für die richtige Behauptung.
Bruchzahlen – Lösungen
26
7/7
Testen und Fördern
Lösungen
13
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DIM2_tuf_loesung.indd 14
4
36
b)
8
30
8
6
von 21 Tagen
die Hälfte des Monats April
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5
5
13
4
7
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relativer Anteil Mountainbiker
5
3
8
13
7
12
2C
30
18
3
Mountainbiker
relativer Anteil Surfer
10
16
Gesamtanzahl
Surfer
2B
26
16
2A
28
12
Die zweiten Klassen einer Schule fahren auf Sportwoche. Die Kinder können
entweder Surfen lernen oder Mountainbike fahren. Trage die relativen Anteile in
Bruchschreibweise in die untere Tabelle ein!
d)
4
6 von 200 Stück sind fehlerhaft
6
c) 13 von 800 Stück sind fehlerhaft
d)
6 m im Maßstab 1 : 35 dargestellt
16
b) 4 m im Maßstab 1 : 24 dargestellt
3
5
2 von 6 Stück Torte
c)
2
a) 3 von 8 Stück Torte
Was ist mehr bzw. länger? Kreuze an!
a)
3
1/1
27
3
12
3
8
5
b) =
48
30
6
5
7
c) =
15
21
3
d)
6
11
=
16
12
=
4
3
b)
75
25
=
3
1
c)
28
21
=
4
3
d)
90
66
=
15
7
8
12
,
6
5
=
10
12
,
4
3
=
9
12
15 · 18
12 · 3 · 5
=
3
2
b)
21 · 5
15 · 4 · 7
=
1
4
=4
b)
a)
=
=
2
4
3
7
5
6
d) =
8
3
c) =
12
45
54
32
f)
10 · 6
21
2
=
140
20
60
8
=
=
,
3
12
18
30 · 12
15
e)
c)
9
6
b) =
6
1
6
2
=
6
18
,
2
1
=
9
6
h)
10
8
9
=
5
4
108
72
7 · 48
6 · 14 · 2
g) =
d)
18
=
2
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24
18
49
14
Ergänze den fehlenden Zähler bzw. Nenner!
a)
Kürze so weit wie möglich!
3
2
a) =
Erweitere so, dass die drei Brüche einen möglichst kleinen gleichen Nenner haben!
a)
11
42
77
Kürze den Bruch! Schreibe ihn mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen!
4
a) =
1
Mit welcher Zahl wurde erweitert?
In einem Obstkorb waren 48 Äpfel. Wie viel Stück sind noch im Korb, wenn der
angegebene Teil bereits gegessen wurde?
1
Brüche kürzen und erweitern
Bruchzahlen – Lösungen
Anteile und Verhältnisse bestimmen
Bruchzahlen – Lösungen
28
1/1
Testen und Fördern
Lösungen
14
12.11.2013 14:11:01
DIM2_tuf_loesung.indd 15
,
3
47
2
6
,
,
6
94
3
7
,
,
8
105
7
15
,
12
157
11
27
13
2
d)
c)
>
6
4
2
3
>
4
3
7
4
=
8
14
1
5
22 < 13
,
9
1
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6
2
7
4
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1
Ordne die Bruchzahlen nach ihrer Größe! Beginne mit der kleinsten!
5
1
Zwischen 5 und 8 liegen genau zwei Bruchzahlen, 6 und 7.
1
liegt auf dem Zahlenstrahl links von .
8
falsch
3
> 84
3
28
richtig
12
12
<
1
24
17
45
90
,
1
2
9
18
11
12
7
6
6
12
8
9
24 18 12
2
ist der direkte Nachfolger von 4.
1
,
5
, 17, 39,
47 < 48
2
4
5
17
Die Brüche 32 , 24 , 16 und 8 haben alle den gleichen Wert.
4
3
Welche Aussagen sind richtig, welche falsch?
6
5
Setze das richtige Zeichen „<“, „=“ oder „>“ ein!
b)
a)
Wie heißt die größte natürliche Zahl, die kleiner als alle gegebenen Bruchzahlen ist?
Brüche vergleichen
Bruchzahlen – Lösungen
29
1/1
3
5
2
7
5
9
8
4
4
+ 10 = 10 = 5
+5=5= 15
10
grün und
4
1
d)
c)
-
8
3
5
4
1
4
3
7
= 12 + 12 = 12
bleiben weiß.
+
1
=4= 12
6
1
5,25 – 3,75 = 1,50
0,875 – 0,375 = 0,500
12
12
-
7
12
5
= 12
1
- 2=
1
10
3
2
1
+6=
6
5
8
7
-
4
1
=
8
5
2
10
2
+ 5=
5
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5
3
Stelle die Rechung durch Bemalen der Teilflächen dar! Überprüfe durch Rechnen!
___________________________________________________________________
3
1
12
4
15
4
=8=2
blau! Welcher Bruchteil des
4
21
8
7
Rechtecks bleibt weiß? Überprüfe durch Rechnen!
3
1
0,4 + 1,4 = 1,8
0,3 + 0,5 = 0,8
Färbe im dargestellten Rechteck
b)
a)
Rechne in Bruchschreibweise und in Dezimalschreibweise!
Brüche addieren und subtrahieren
Bruchzahlen – Lösungen
30
1/2
Testen und Fördern
Lösungen
15
12.11.2013 14:11:02
DIM2_tuf_loesung.indd 16
1
1
3
2
1
b) 3 8 +1 3 = 5 24
1
2
5
10
1
1
7
� = 1 40
1
56
1
1
5
1
1
2
5
1
d) 4 5 - �1 6 - 3� = 3 30
1
1
c) 4 + 2 8 - 6 = 2 24
1
c) 6 4 - 2 8 = 4 8
1
5
11
d) 7 5 - 3 6 = 3 30
2
4
1
34
8
16
3
4
1
3
3
2
1
1
5
4
2
1
3
+ 3 12 -
1
5
6
1
7
1
1
3
� = 1 16
=33
16
15
1
3
2
1
9
+ 2 = 14
11
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richtig
richtig
richtig
richtig
richtig
richtig
richtig
falsch
falsch
falsch
falsch
falsch
falsch
falsch
5
1
3
2
1
1
5
1
3
17
9 5 - �6 4 - 5� = 2 20
2
3
1
�9 + 3� - �18 + 6� = 9
1
3
- �7 + 14� = 42
3 5 - �1 10 - 2� = 2 5
2
21
13
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g) 9 5 - �6 4 - 5� = 3 20
1
13
7
1
f) 14 +1 7 -
12
e) �9 + 3� - �18 + 6� = 6
2
d) 3 5 - �1 10 - 2� = 1 5
c)
11
b) 8 + 4 - �8 -
7
a) 21 - �7 + 14� = 21
13
Wurde richtig oder falsch gerechnet? Stelle falsche Rechnungen richtig!
35
1
3
5
3
24
2
5
4
7
1
32
14
1
12
1
1
24
3 12
1
9
Vervollständige das Zauberquadrat! Die Summe in jeder Zeile, Spalte und Diagonale
muss gleich sein.
b) 8 + �5 -
7
a) �8 + 2� - �7 + 7� =
3
Berechne! Achte auf die Klammerregel!
a) 4 3 +1 2 = 6 6
2
Rechne mit gemischten Zahlen!
Brüche addieren und subtrahieren
Bruchzahlen – Lösungen
31
2/2
3
3
1
b) 8 · 12 = 2 · 3 = 4 2
1
2
1
c) 6 4 · 2 = 12 4 = 12 2
1
4
2
:2=
2
2
b) 5 : 3 = 15
:3=
1 2
2
1
2
13
· 6 = 12
13 1
5 7
35
3
17
2
=7· 3 = 17
d) 6 · 3 = 18 = 1 18
4
3 12
c) 7 ·
3 4
1 4
1 1
1
1
2
f) 5 · 6 = 5 · 2 = 5 · 2 = 5
1 2
e) 4 · 3 = 2 · 3 = 6
6
5
3
1 1
2
3
5 3
5
3 1
5 1
5
3
3 1
1 20
7
1 10
10
= 49
·
49 20
10 14
1
=7
3
· = 10
4 5
3 2
5
· =6
4 3
5 2
3
1
3
3
5
f) 5 : 10 = 5 · 10 = 6
2
5 4
5
e) 4 : 3 = 4· 2 = 2 · 3 = 6
5 2
d) 8 : 4 = 8 · 2 = 8 · 2 = 4
1
3
6 · 10 = 5
2
6 ·3= 4
5
· =8
4 4
5 2
1
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1 14
c) 7 : 20 = 7 · 14 = 7 ·
b) 10 : 5 = 10 · 2 = 2 · 2 = 4
3
5 2
a) 6 : 3 = 6 · 2 = 2 · 2 = 4
1
h) 15 · 8 = 3 · 4 = 4
5
g) 9 · 10 = 3 · 2 = 6
Dividiere und führe Multiplikationsproben durch! Kürze vor dem Rechnen!
b) 14 · 6 =
13 7
a) 5 · 6 = 5 · 2 = 10 = 5
3 2
Multipliziere die Bruchzahlen miteinander! Kürze, wenn möglich, vor dem
Multiplizieren!
8
a) 10 : 2 = 10 = 5
5
d) 1 5 · 5 = 5 5 = 6
Dividiere und stelle die Divisionen mit Hilfe der Formen graphisch dar!
a) 3 · 6 = 2 · 2 = 4
2
Berechne! Kürze, wenn möglich, vor dem Multiplizieren!
Brüche multiplizieren und dividieren
Bruchzahlen – Lösungen
32
1/2
Testen und Fördern
Lösungen
16
12.11.2013 14:11:04
DIM2_tuf_loesung.indd 17
3 1
3 1
richtig
richtig
falsch
falsch
2 1
3 1
3
4 1
4
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richtig
falsch
falsch
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Weil 6 > 7 ist.
4
d) 6 : 3 < 7 : 3
4 1
Weil 5 < 4 ist.
2
richtig
Weil die Division duch einen Bruch dasselbe ist wie das Multiplizieren mit dem Kehrwert
des Bruches und 2 < 3 ist.
: < :
4 2 4 3
3 1
c) 5 · 4 < 4 · 4
b)
1
Weil 2 > 3 ist.
1
a) 4 · 2 < 4 · 3
3 1
Richtig oder falsch? Antworte ohne zu rechnen und begründe!
2/2
33
y = 15 + 4
y = 15 : 4
y = 15 - 4
y = 15 • 4
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y • 4 = 15
y : 4 = 15
y – 4 = 15
y + 4 = 15
2) Verbinde die Gleichung mit der passenden Umkehrung der Rechenoperation.
9,85 – 3 • b = 14,05
3
v : 3 + 9,85 = 14,05
6
Dividieren: 8 : 2 = 8
3
Kürzen: 8 = 8 : 2 = 4
6:2
9,85 + t • 3 = 14,05
wenn der Divisor kein Teiler des Zählers ist, der Nenner multipliziert.
6
14,05 = x + 9,85
Enes kauft eine Füllfeder um 9,85 € und drei Hefte. Er bezahlt insgesamt 14,05 €.
Wie viel kostet ein Heft?
1) Wie lautet die zum Text passende Gleichung?
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
der Wert des Bruches ändert sich nicht. Beim Dividieren wird nur der Zähler dividiert oder,
Beim Kürzen werden der Zähler und der Nenner durch die gleiche natürliche Zahl dividiert,
Erkläre den Unterschied zwischen dem Kürzen von Brüchen und dem Dividieren
eines Bruches durch eine natürliche Zahl in eigenen Worten! Gib auch Beispiele an!
Brüche multiplizieren und dividieren
Bruchzahlen – Lösungen
34
1/5
Testen und Fördern
Lösungen
17
12.11.2013 14:11:05
DIM2_tuf_loesung.indd 18
n=
z=
b) n : 2 – 0,5 = 8
c) (z + 4) • 3 = 27
5_
17
7_
c • 12 = 54
b + 12 = 54
h • 2 - 12 = 54
Das Doppelte einer Zahl ist um 12 kleiner
als 54.
Vermindert man das Doppelte einer Zahl
um 12, ergibt sich 54.
Welche Zahl muss man mit 12
multiplizieren, um 54 zu erhalten?
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3
4
5
6
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2
Auf einem kleinen Bauernhof leben 12 Hühner, 5 Schweine, ein Hund und die
Bauernfamilie. Zusammen haben sie 56 Beine.
Wie viele Familienmitglieder leben auf dem Bauernhof?
5) Markiere die richtige Lösung.
2 • s + 12 = 54
Welche Zahl vermehrt um 12 ergibt 54?
4) Welche Gleichung passt zu welchem Text?
b=
a) 3 • b + 10 = 31
3) Löse die Gleichung durch Umkehrung der Rechenoperationen.
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
35
2/5
Preis – Stückzahl
Anzahl der Zuflussröhren – Fülldauer
Fahrzeit – mittlere Geschwindigkeit
Temperatur – Anzahl der Badegäste
0,80 €
4,00 €
6,40 €
1
5
8_
24
8
2 kg
1
3
12_
kg
kg
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6 kg
4
Kistenanzahl Gewicht pro Kiste
8) Ergänze die Tabelle so, dass ein indirekt proportionales Verhältnis vorliegt.
1,60 €
Preis
2
Stückzahl
indirekt
proportional
7) Ergänze die Tabelle so, dass ein direkt proportionales Verhältnis vorliegt.
nicht
proportional
Anzahl der Personen – Gesamtgewicht
Arbeitszeit – Produktionsmenge
direkt
proportional
6) Entscheide, ob die beiden Größen direkt proportional, indirekt proportional oder
gar nicht proportional zueinander sind.
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
36
3/5
Testen und Fördern
Lösungen
18
12.11.2013 14:11:06
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mehr
(höher, geringer)
höher
größer
(länger, kürzer)
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Gläser
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20
Carolina stellt aus 3 kg Erdbeeren 24 Gläser Marmelade her.
Im nächsten Jahr erntet die nur 2,5 kg.
Wie viel Gläser Marmelade kann sie einkochen?
10) Berechne und fülle die Lücke aus.
(größer, geringer)
die Geschwindigkeit ist, umso
weiter kommt man in derselben Zeit.
Je
Projekts.
kürzer__ dauert es bis zur Fertigstellung des
Je mehr Arbeiter auf einer Baustelle arbeiten, desto
sind die Transportkosten.
Je größer die Entfernung ist, desto
(mehr, weniger)
Produkte verkauft werden,
desto größer sind die Einnahmen.
Je
direkt
indirekt
proportionales proportionales
Verhältnis
Verhältnis
9) Setze die fehlenden Begriffe aus den Klammern ein und kreuze an.
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
37
4/5
zehnmal
zwölfmal
siebenmal
10,25
17,50
c) Sprinter: 36,9 km/h
d) Radrennfahrer: 63 km/h
m/s
m/s
m/s
m/s
20 km/h
15 km schafft man in 45 min.
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96 km/h
130 km/h
Für 455 km benötigt man 3 h 30 min.
Für 216 km benötigt man 2 h 15 min.
13) Schätze die Geschwindigkeit und verbinde die Angabe mit der entsprechenden
Lösung.
50,00
37,50
b) Schnellzug: 180 km/h
a) Auto: 135 km/h
12) Rechne die Geschwindigkeit in m/s um (zwei Dezimalstellen).
sechsmal
Um einen Schuttberg abzutransportieren, müssen fünf Lastwagen jeweils achtmal fahren.
Wie oft müssten vier Lastwagen fahren?
11) Kreuze die richtige Lösung an.
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
38
5/5
Testen und Fördern
Lösungen
19
12.11.2013 14:11:07
DIM2_tuf_loesung.indd 20
x = 24 – 8
x = 24 : 8
x = 24 • 8
8 + x = 24
x : 8 = 24
x – 8 = 24
b = 18 + 12 = 30
b) b – 12 = 18
d) d : 3 = 6
c) 43 + c = 52
d = 6 • 3 = 18
c = 52 – 43 = 9
b = (9 + 7) : 4 = 4
b) 4 • b – 7 = 9
e = 12 : 2 + 7 = 13
d = 8 • 3 – 5 = 19
f) (2 • f + 5) : 3 = 3 f = (3 • 3 – 5) : 2 = 2
e) (e – 7) • 2 = 12
d) (5 + d) : 3 = 8
a = 4; 26 – 4 • 3 = 14; 8 < 14;
a = 6; 26 – 6 • 3 = 8; 8 = 8 → a = 6
b = 4; 12 : 4 + 3 = 6; 7 > 6;
b = 3; 12 : 3 + 3 = 7; 7 = 7 → b = 3
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Vertauschungsgesetz nicht für die Division gilt.
Man kann die Gleichung nicht durch Umkehrung der Rechenoperationen lösen, weil das
b) 12 : b + 3 = 7
Vertauschungsgesetz nicht für die Subtraktion gilt.
Man kann die Gleichung nicht durch Umkehrung der Rechenoperationen lösen, weil das
a) 26 – a • 3 = 8
Löse die Gleichung durch Probieren!
Warum kannst du sie nicht durch Umkehren der Rechenoperationen lösen?
c) 7 + c • 2 = 15 c = (15 – 7) : 2 = 4
a = (6 + 4) • 8 = 80
a) a : 8 – 4 = 6
Löse die Gleichung durch Umkehrung der Rechenoperationen!
a = 21 : 7 = 3
a) a • 7 = 21
Löse die Gleichung durch Umkehrung der Rechenoperation!
x = 24 + 8
1/2
39
u=s•t–v
c) u + v = s • t
v=s•t–u
s=r:t
b=c–a
s = (u + v) : t
y = ____________
z = (42 – 4) : 2 = 19
y • 2 – 4 = 42
2 • z + 4 = 42
t = (u + v) : s
m = ____________
2 • m + 4 = 82
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m = (82 – 4) : 3 = 26
m = ____________
m + m • 2 + 4 = 82
(m + m) • 2 + 4 = 82
b) Melanie ist vier Jahre alt. Ihre Großmutter ist doppelt so alt wie ihre Mutter. Melanie ihre
Mutter und ihre Großmutter sind zusammen 82 Jahre alt. Wie alt ist Melanies Mutter?
x = ____________
(x + 4) • 2 = 42
a) Das Doppelte einer Zahl ist um 4 kleiner als 42. Wie lautet die Zahl?
Wie lautet die zum Text passende Gleichung?
Löse sie!
r=t•s
a=c–b
b) s = t
r
a) a + b = c
Drücke jede Variable durch die anderen aus!
Verbinde die Gleichung mit der passenden Umkehrung der Rechenoperation!
x • 8 = 24
Gleichungen erstellen und lösen
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
Gleichungen erstellen und lösen
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
40
2/2
Testen und Fördern
Lösungen
20
12.11.2013 14:11:08
DIM2_tuf_loesung.indd 21
y • 4 = 28
x + 4 = 28
y • 3 + 4 = 28
Welche Zahl vermehrt um 4 ergibt 28?
Vermindert man das Doppelte einer Zahl
um 28, ergibt sich 4.
Das Dreifache einer Zahl ist um 4 kleiner
als 28.
a = 16
Probe: 16 : 4 = 4
Die gesuchte Zahl ist 16.
b = 40
Probe: 40 : 2 + 12 = 32
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c = 30
Probe: 30 • 1,5 = 45
Die gesuchte Zahl ist 30.
Die gesuchte Zahl ist 40.
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c • 1,5 = 45
c) Das Produkt einer Zahl mit 1,5 ist 45. Wie lautet die Zahl?
b : 2 + 12 = 32
b) Die Hälfte einer Zahl ist um 12 kleiner als 32. Wie groß ist die Zahl?
a:4=4
a) Das Viertel einer Zahl ist 4. Wie lautet die Zahl?
Schreibe den Text als Gleichung auf und löse sie! Mache auch die Probe!
2 • x – 28 = 4
Welche Zahl muss man mit 4
multiplizieren, um 28 zu erhalten?
Übersetze in die Sprache der Mathematik!
Welche Gleichung passt zu welchem Text?
mathematische Sprache deuten
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
41
1/2
s = 62
Ein Sack wiegt 62 kg.
x = 45
Es wurden 45 l getankt.
k = 0,88
Ein Briochekipferl kostet 0,88 €.
a = 6; b = 12
Die Seite a ist 6 cm und die Seite b ist 12 cm lang.
x = 12
Der Eintritt für einen Erwachsenen kostet 12 €.
p = 75
Die Jeans kostete vor der Preissenkung 75 €.
r=8
Regina ist 8 Jahre alt.
k = 20
Die leichteste Kiste wiegt 20 kg.
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k + (2 • k – 5) + 2 • k = 95
h) Drei Kisten wiegen gemeinsam 95 kg. Die leichteste Kiste ist nur halb so schwer wie die
schwerste. Die schwerste Kiste ist 5 kg schwerer als die zweitschwerste. Wie viel wiegt
die leichteste Kiste?
r + (r + 3) + (r + 3 + 5) = 35
g) Conny, David und Regina sind zusammen 35 Jahre alt. Conny ist um 5 Jahre älter als
David. David ist um 3 Jahre älter als Regina. Wie alt ist Regina?
p – p : 3 = 50
f) Im Ausverkauf werden alle Preise um ein Drittel verringert. Eine Jeans kostet jetzt 50 €.
Wie viel hat sie vor der Preissenkung gekostet?
3 • 5,50 + 2 • x = 40,50
e) Eine fünfköpfige Familie zahlt an der Museumskasse 40,50 €. Der Eintritt für jedes der
drei Kinder kostet 5,50 €. Wie viel kostet der Eintritt für einen Erwachsenen?
2 • (a + 2 • a) = 36
d) Ein Rechteck hat 36 cm Umfang. Die Seite b ist doppelt so lang wie die Seite a. Wie lang
sind die Seiten?
2 • k + 2,99 = 4,75
c) Thomas zahlt beim Bäcker 4,75 € für ein Käseweckerl um 2,99 € und zwei Briochekipferl.
Wie viel kostet ein Kipferl?
x • 1,38 = 62,10
b) Ein Liter Diesel kostet 1,38 €. Wie viel wurde getankt, wenn an der Tankstelle 62,10 € zu
bezahlen sind?
s • 23 = 1 426
a) 23 gleich schwere Säcke wiegen zusammen 1 426 kg. Wie viel wiegt ein Sack?
Stelle Gleichungen auf und löse sie!
mathematische Sprache deuten
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
42
2/2
Testen und Fördern
Lösungen
21
12.11.2013 14:11:09
DIM2_tuf_loesung.indd 22
Gewicht
15 kg
6 kg
3 kg
nein
Anzahl
5
2
1
ja
Preis
4,35 €
5,80 €
1,45 €
nein
b) Stückzahl
3
4
1
ja
c)
1
28 kg
2
56 kg
4
112 kg
5
140 kg
Gewicht
pro Paket
2 kg
3 kg
12 kg
nein
6
4
1
Pakete
ja
nein
Anzahl
Preis pro
Teilnehmer Person
20
18 €
30
12 €
10
36 €
c)
ja
2h
3h
1h
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20
3
15
4
12
5
10
6
8
7,5
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Bauarbeiter
Anzahl der Arbeitstage
5
12
nein
Geschwindigkeit
110 km/h
55 km/h
--
Ergänze die Tabelle so, dass ein indirekt proportionales Verhältnis vorliegt!
ja
a)
b)
10
280 kg
Fahrtdauer
8
224 kg
Überprüfe, ob ein indirekt proportionales Verhältnis vorliegt!
Baumanzahl
Zwetschkenernte
Preis
12,75 €
22,50 €
--
nein
Menge
1,5 kg
2,5 kg
1 kg
Ergänze die Tabelle so, dass ein direkt proportionales Verhältnis vorliegt!
ja
a)
Überprüfe, ob ein direkt proportionales Verhältnis vorliegt!
direkte und indirekte Proportionalität erkennen
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
43
1/2
d) 96 Packungen mit jeweils 0,25 kg.
b) 4 Packungen mit jeweils 6 kg.
d) 75 Flaschen füllt sie in 1,5 min.
c) 900 Flaschen füllt sie in 18 min.
1 cm
36 cm
3 cm
12 cm
4 cm
9 cm
indirektes Verhältnis
2 cm
18 cm
6 cm
6 cm
12 cm
3 cm
36 cm
1 cm
Preis – Stückzahl
Anzahl der Pferde – Tage die das Futter reicht
Gehzeit – Länge des Weges
Geschwindigkeit – Fahrzeit
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Stückzahl – Gesamtgewicht
indirekt
proportional
Arbeitsdauer – Anzahl der Arbeiter
direkt
proportional
Entscheide, ob die Größen direkt proportional oder indirekt proportional sind!
direktes Verhältnis
a
b
Ein Rechteck hat 36 cm² Flächeninhalt. Wie ändert sich die Länge der Seite b wenn
man die Länge der Seite a verändert? Lege eine Tabelle an!
Welche Art von Verhältnis liegt vor?
b) Sie füllt 3 000 Flaschen in 1 h.
a) Sie füllt 600 Flaschen in 12 min.
Eine Abfüllmaschine füllt 150 Flaschen in 3 Minuten. Ergänze jeweils den Text!
c) 48 Packungen mit jeweils 0,5 kg.
a) 12 Packungen mit jeweils 2 kg.
24 kg Mandeln sollen verpackt werden. Wie viele Packungen mit dem angegebenen
Gewicht kann man füllen?
direkte und indirekte Proportionalität erkennen
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
44
2/2
Testen und Fördern
Lösungen
22
12.11.2013 14:11:11
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Er braucht 35 min.
(Überlege zuerst wie lang der Zug für 1 km braucht!)
Ein Zug braucht für eine 80 km lange Strecke 50 min. Wie lange braucht er mit der
gleichen Geschwindigkeit für eine 56 km lange Strecke?
Das Auto braucht etwa 5,5 s.
(Rechne zuerst in m/s um!)
Wie lang braucht ein Auto mit 130 km/h ungefähr, um 200 m weit zu fahren?
Der Flug dauert etwa 2 h.
Wie lange dauert ein Flug von Graz nach Athen (1 224 km) ungefähr, wenn das
Flugzeug mit durchschnittlich 600 km/h fliegt?
Sie fährt 55 km weit.
Kathi fährt mit ihrem Fahrrad durchschnittlich 22 km/h.
Wie weit fährt sie in 2 h 30 min?
d) 5,2 m/s = 18,72 km/h
b) 22,22 m/s = 79,992 km/h ≈ 80 km/h
25 920 m = 25,92 km
7,2 m/s = 25,92 km/h
c) 9,1 m/s = 32,76 km/h
Zeit in s Weg in m
1
7,2
3 600
25 920
a) 13,9 m/s = 50,04 km/h ≈ 50 km/h
• 3 600
Beispiel: 7,2 m/s
Rechne die Geschwindigkeit in km/h um!
Größen umrechnen, Geschwindigkeit
Gleichungen; Proportionalität – Lösungen
45
1/1
40 %
37,5 %
40 %
5%
0,20
0,25
25 %
0,5
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20 %
3) Welche beiden Möglichkeiten haben denselben Wert wie die Bruchzahl ein
Fünftel?
50 %
2) Gib den gefärbten Flächeninhalt als Teil der Gesamtfläche in Prozent an.
1) Welche der angegebenen Zahlen entsprechen 30 %?
Prozentrechnung – Lösungen
46
1/6
Testen und Fördern
Lösungen
23
12.11.2013 14:11:12
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auf ein Drittel gesenkt
um die Hälfte gesenkt
auf das Doppelte erhöht
1
2
4
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Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5)
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Von einer Gesamtfläche von 350 m² sind 105 m² verbaut, auf 35 m² wird Gemüse
angebaut und der Rest ist Wiese.
(grau ... bebaut, hellgrün ... Gemüse, dunkelgrün ... Wiese)
5) Welcher Prozentstreifen passt zur folgenden Beschreibung?
um ein Drittel gesenkt
3
4) Die Preise in einem Geschäft werden geändert.
Ordne die Änderungen nach der Höhe der neuen Preise.
Beginne mit den kleinsten Preisen.
Prozentrechnung – Lösungen
47
2/6
18°
72°
270°
75 %
33,33333333333... %
5%
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120°
20 %
7) Um einen Prozentkreis zu zeichnen, musst du Prozentsätze in Winkelgrade
umrechnen. Dh. du musst den entsprechenden Anteil an 360° bestimmen.
Verbinde die Prozentsätze mit den entsprechenden Winkelgraden.
Gesucht ist der Prozentsatz.
d) 120 von 300 Autofahrern fahren zu schnell. Wie viel Prozent sind das?
Gesucht ist der Grundwert.
c) Die 15 % Preisnachlass auf eine Jacke im Sommerschlussverkauf betrugen 14,70 €. Wie
viel hat sie vorher gekostet?
Gesucht ist der Prozentanteil.
b) 3,7 % der heurigen Apfelernte von 5,6 Tonnen sind von einem Schädling befallen. Wie
viele Äpfel sind das?
Gesucht ist der Prozentsatz.
a) Von den 25 Kindern in der Klasse 2A können 15 gut Schi fahren. Wie viel Prozent der
Klasse sind das?
6) Welche Größe ist gesucht?
Der Grundwert, der Prozentsatz oder der Prozentanteil?
Prozentrechnung – Lösungen
48
3/6
Testen und Fördern
Lösungen
24
12.11.2013 14:11:14
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20 %
20 %
500 %
25 %
250 m sind wie viel % von 125 m?
50 € sind wie viel % von 250 €?
50 %
200 %
50 %
33 Buchungen für 30 Plätze
22,5 g von 50 g
21 von 300 Seiten
18 von 150 Stimmen
12 %
45 %
65 %
110 %
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2 % von 5 000
7,5 % von 750
10 % von 800
3
1
2
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13 % von 800
4
10) Berechne die Prozentanteile.
Ordne sie der Größe nach – beginne mit dem kleinsten Anteil.
5,20 € von 8,00 €
7%
9) Verbinde die Prozentsätze mit den richtigen Aufgabenstellungen.
5%
10 %
50 € sind wie viel % von 100 €?
8) Berechne den Prozentsatz.
Prozentrechnung – Lösungen
49
4/6
100 Stück,
100 dag,
85 % von 120 Stück sind:
30 % von 6 kg sind:
180 dag,
102 Stück,
12 cm,
1 300 g
115 Stück
1,2 m
mehr als 66 %
zwischen 33 % und 66 %
weniger als 33 %
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8 von 24 Kindern in der 2B spielen Schach.
6 von 24 Kindern in der 2C spielen Schach.
8 von 20 Kindern in der 2A spielen Schach.
13) In welcher Klasse sind die meisten Schachspielerinnen und Schachspieler?
20 cm,
40 % von 3 m sind:
12) Welcher Prozentanteil ist richtig?
Streiche die falschen Werte durch.
3,3 kg von 6 kg
4,4 km von 8 km
90 dag von 5 kg
300 € von 750 €
8 m von 10 m
3,15 € von 4,5 €
120 € von 600 €
270 km von 900 km
11) Schätze den Prozentsatz und verbinde die Angabe mit dem richtigen Kästchen.
Prozentrechnung – Lösungen
50
5/6
Testen und Fördern
Lösungen
25
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Der Grundwert beträgt:
Der Grundwert beträgt:
26 % sind 7,28 €.
84 % sind 4,2 m.
50 m,
280 €,
1 500 kg,
2,15 €
1,35 €
1,65 €
5 % von 17 € sind
5 % von 43 € sind
5 % von 27 € sind
5m
56 €
1 050 kg
300 Personen
1 200 Personen
180 Einwohner
150 Einwohner
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70 % 30 % 130 %
Einwohner im Jahr 2010. Dieser Zuwachs betrug 30 %.
c) Die Einwohnerzahl eines Ortes stieg von 350 Einwohnern im Jahr 1980 auf 455
171 Einwohner
nur noch 171 Einwohner.
b) Nachdem 5 % der 180 Einwohner einer Gemeinde weggezogen sind, hat die Gemeinde
3 000 Personen
Personen. Bei der Zählung im Jahr 2000 wurden 3 000 Personen gezählt.
a) Die Einwohnerzahl eines Dorfes nahm von 2000 bis 2010 um 4 % ab – dies waren 120
16) Die Einwohnerzahlen aus verschiedenen Jahren werden verglichen.
Berechne die gesuchten Größen.
0,85 €
8 m,
28 €,
150 kg,
5 % von 33 € sind
15) Du beschließt 5 % Trinkgeld zu geben. Bestimme den Wert.
Der Grundwert beträgt:
3 % entsprechen 45 kg.
14) Markiere jeweils den Grundwert.
Prozentrechnung – Lösungen
51
6/6
12,5 %
30 %
80 %
Essen
Sonst.
Sparen
Miete
66,6� %
40 %
Bus
zu Fuß
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Fahrrad
Von den 1 500 Schülerinnen und Schülern einer Schule fahren 35 % mit dem Fahrrad zu
Schule, 50 % fahren mit dem Bus und alle anderen gehen zu Fuß.
Stelle die Aufgabe in einem Prozentstreifen dar!
Wähle eine geeignete Länge!
Herr Pekitsch verbraucht 55 % seines Einkommens für Miete,
25 % für Essen, 10 % für Sonderausgaben und den Rest spart er.
Stelle die Aufgabe in einem Prozentkreis dar!
25 %
Gib den gefärbten Flächeninhalt als Teil der Gesamtfläche in Prozent an!
75 %
Schätze, welcher Prozentsatz ungefähr dargestellt ist!
Prozentangaben grafisch darstellen
Prozentrechnung – Lösungen
52
1/1
Testen und Fördern
Lösungen
26
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0,01
0,05
0,1
0,4
0,5
0,7
7
10
0,9
9
10
1
1
1
15 %
3
20
1
50
2%
0,15
0,02
37,5 %
3
8
0,375
65 %
13
20
0,65
75 %
3
4
0,75
0,9
90 %
Dezimalzahl
Prozent
17 %
0,17
17
100
33,3� %
0,3�
1
3
60 %
0,6
3
5
5%
0,05
1
20
20 %
0,2
1
5
12,5 %
0,125
1
8
120 %
1
15
1,2
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36°
Winkelgrad
90°
25 %
126°
35 %
144°
40 %
180°
50 %
240°
66,6� %
270°
75 %
324°
90 %
130 %
1,3
13
10
300 %
3
1
3,0
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10 %
Prozent
Um einen Prozentkreis zu zeichnen, musst du Prozentsätze in Winkelgrade
umrechnen. Bestimme die jeweiligen Anteile an 360°!
9
10
Bruch
4
5
0,8
80 %
Schreibe den Bruch als Dezimalzahl und als Prozentangabe!
Prozent
Bruch
Dezimalzahl
Schreibe die Dezimalzahl als Bruch und als Prozentangabe! Kürze wenn möglich!
Dezimalzahl
1
2
100 %
1/1
53
In der Lieferung sind 45 kg Äpfel enthalten.
Es wurden 144 Verkehrsteilnehmer kontrolliert.
Die Erhöhung beträgt 2 %.
Der Preis vor der Erhöhung betrug 100 €.
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gesucht: Grundwert
d) Ein Verkaufspreis wurde um 20 % auf 120 € erhöht.
Wie groß war der Preis vor der Erhöhung?
gesucht: Prozentsatz
c) Herrn Hubers Einkommen wird von 2 150 € auf 2 193 € erhöht.
Wie viel Prozent beträgt die Erhöhung?
gesucht: Grundwert
b) Bei einer Verkehrskontrolle wurden 36 „Raser“ erwischt. Das sind 25 % aller
kontrollierten Verkehrsteilnehmer. Wie viele wurden kontrolliert?
gesucht: Anteil
a) Ein Supermarkt bekommt in einer 250 kg Obstlieferung 18 % Äpfel geliefert.
Wie viel Kilogramm Äpfel sind das?
Gib an, welche Größe gesucht ist und berechne sie!
c) 40 % der 2 640 Einwohner eines Ortes, also 1 056 Personen, haben Haustiere.
Einkommens von 2 000 €.
b) Frau Mayr erhält eine Gehaltserhöhung von 46 €, das sind 2,3 % ihres ursprünglichen
Bruch
2
5
90 %
a) Im Schlussverkauf wird eine 120 € teure Jacke um 10 % verbilligt. Dies sind 12 €.
1
10
70 %
1
20
1
100
50 %
5%
1%
Prozent
40 %
Markiere in den Texten den Grundwert gelb, den Anteil grün und den Prozentsatz rot!
Schreibe die Prozentangaben als Bruch und als Dezimalzahl! Kürze wenn möglich!
10 %
mathematische Sprache deuten
Prozentrechnung – Lösungen
Prozentangaben in unterschiedlichen Darstellungen
Prozentrechnung – Lösungen
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1/1
Testen und Fördern
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107,25 €
∙100
:12
zu a)
f) 170 % von 8 t
10,75
€
129
100 1 075
1
%
12
13,6 t
∙100
:12
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f) 128,70 € sind 120 % von G
20 m
e) 12 m sind 60 % von G
978,125 €
c) 128 % von G sind 1 252 €
700 g
120 kg
b) 25 % von G sind 30 kg
d) 42 g sind 6 % von G
1 075 €
a) 12 % von G sind 129 €
Berechne den Grundwert!
(Du kannst eine Tabelle zur Hilfe nehmen.)
c) 25 % von 0,1 km 0,025 km = 25 m
650 g
1/2
55
36 %
55 %
e) 27 ha sind ? % von 75 ha
f) 4,4 km sind ? % von 8 km
75
1
km
250
30
0,4
%
100
78 der 1 300 Papierbögen haben Flecken
5 kg Äpfel von insgesamt 75 kg sind wurmig
1 250 von 25 000 Glühbirnen funktionieren nicht
4 von 20 Waschmaschinen sind beschädigt
300 kg von 2,5 t Bananen sind verdorben
+6%
15 €
- 25 %
-5%
33,75 € 68,97 € 46,125 €
- 10 %
45 €
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105 €
+ 20 %
1 600 € 87,50 € 37,50 € 72,60 €
193,80 € 271,40 € 15,90 € 1 200 €
+18 %
Preisänderung - 15 %
Neuer Preis
230 €
228 €
Alter Preis
Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle!
+ 2,5 %
∙75
:250
In welcher Lieferung sind prozentuell am wenigsten Produkte beschädigt bzw.
verdorben? Kreuze an!
130 %
∙75
6,94� %
33,3� %
zu a)
:250
30 %
d) 1 898 € sind ? % von 1 460 €
c) 20 min sind ? % von 1 h
0,1 m = 10 cm
b) 10 % von 1 m
e) 200 % von 325 g
b) 25 € sind ? % von 360 €
1 474,20 €
0,6 kg
a) 2 % von 30 kg
d) 78 % von 1 890 €
a) 75 km sind ? % von 250 km
Berechne den Prozentsatz!
(Du kannst eine Tabelle zur Hilfe nehmen.)
mit Prozenten rechnen
Prozentrechnung – Lösungen
Berechne jeweils den Prozentanteil!
mit Prozenten rechnen
Prozentrechnung – Lösungen
56
2/2
Testen und Fördern
Lösungen
28
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32 %
8%
20 %
12 %
7 Gut
8 Befriedigend
3 Genügend
2 Nicht genügend
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28 %
5 Sehr gut
2) Auf der linken Seite sind die absoluten Häufigkeiten der Noten bei der
Mathematikschularbeit angegeben.
Ordne ihnen die zugehörigen relativen Häufigkeiten in Prozent zu.
Mehr als die Hälfte aller Besucher der Ausstellung waren männlich.
1) Ordne die Beschreibung der richtigen Grafik zu!
Statistik – Lösungen
57
1/6
10:00 Uhr
12:00 Uhr
12:00 Uhr
14:00 Uhr
4
20
6
10
16:00 Uhr
.
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d) Wie viele Kinder mögen am liebsten andere Sorten?
c) Wie viele Kinder essen am liebsten Erdbeereis?
b) Wie viele Kinder essen am liebsten Schokoladeneis?
a) Wie viele Kinder essen am liebsten Vanilleeis?
8:00 Uhr
16:00 Uhr
14:00 Uhr
gemessen.
2:00 Uhr
18:00 Uhr
und um
20:30 Uhr
22:00 Uhr
gemessen.
1:30 Uhr
2:00 Uhr
0:00 Uhr
20 °C
.
4) 40 Kinder wurden nach ihrem Lieblingseis befragt.
Jedes Kind gab eine Antwort.
14:00 Uhr
d) 20 °C hatte es um
12:00 Uhr
c) Die höchste Temperatur wurde um
2:00 Uhr
15 °C
14 °C
12,5 °C
b) Die niedrigste Temperatur wurde um
14 °C
a) Die Temperatur um 10 Uhr betrug
3) Eine Schule hat eine Wetterstation.
Alle zwei Stunden wurde die Temperatur gemessen.
Das Schaubild zeigt den Verlauf der Temperatur eines Tages.
Statistik – Lösungen
58
2/6
Testen und Fördern
Lösungen
29
12.11.2013 14:11:20
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Der Stichprobenumfang ist 26.
Die relative Häufigkeit der Größe 1,51 m beträgt gerundet 23 %.
Die absolute Häufigkeit der Größe 1,43 m ist 5.
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Die angegebenen Werte lassen sich in einem Polygonbild darstellen.
6) In der 2B wurden folgende Körpergrößen gemessen.
Kennzeichne wahre Aussagen.
Alle Kinder haben geantwortet. Dabei ergab sich folgendes Ergebnis:
60 % kommen mit dem Bus, 30 % kommen mit dem Fahrrad, 5 % kommen zu Fuß und
5 % werden mit dem Auto gebracht.
5) In der Schule wurde eine Umfrage durchgeführt:
„Wie kommst du zur Schule?“
Kreuze den passenden Prozentkreis an.
Statistik – Lösungen
59
3/6
29
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8) In der 2C wurde eine Umfrage durchgeführt:
„Was machst du am liebsten in deiner Freizeit?“
Jedes Kind hat eine Antwort gegeben.
Welches Diagramm passt zu der Umfrage?
Mit welcher relativen Häufigkeit (gerundet) wurde grün genannt?
25 %
17 %
10 %
40 %
Wie viele Kinder wurden befragt?
30
28
25
Welche Farbe wurde am häufigsten gewählt?
rot
blau
grün
gelb
7) In einer Klasse wurde die Lieblingsfarbe erhoben. Alle Kinder haben geantwortet.
Markiere die richtigen Antworten.
Statistik – Lösungen
60
4/6
Testen und Fördern
Lösungen
30
12.11.2013 14:11:22
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10 Mädchen
9 Mädchen
28 Kinder
5/6
In der Klasse gibt es mehr Jungen als Mädchen.
B
B ist falsch
ja
keine von beiden
ja
Durch die Wahl des Grundwertes.
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61
in Darstellung B
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in beiden gleich
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c) In welcher Darstellung wirkt der Preisanstieg stärker?
Durch die Wahl des Anteils.
Durch die Skalierung der y-Achse.
in Darstellung A
die Skalierung der x-Achse
B ist falsch
b) Wodurch unterscheiden sich die Darstellungen?
A ist falsch
a) Sind beide Darstellungen des Preisanstieges korrekt?
B
die Aufteilung der Jahre
die Skalierung der y-Achse
c) Was bewirkt den unterschiedlichen Eindruck?
A ist falsch
b) Sind beide Darstellungen korrekt?
A
a) Welche Darstellung zeigt die Steigerung deutlicher?
B
5 Kinder haben etwas anderes gewählt
A
17 Jungen
Lesen wurde häufiger von den Mädchen gewählt.
Die Jungen haben häufiger als die Mädchen Computer gewählt.
Kein Mädchen hat Fernsehen gewählt.
A
13 Jungen
30 Kinder
falsch
richtig
Am häufigsten wurde Sport gewählt.
12) Von 2002 bis 2012 ist der Brotpreis in Österreich stark angestiegen.
16 Jungen
27 Kinder
17 Mädchen
11) In der 2A wurde eine Umfrage durchgeführt:
„Was machst du am liebsten in deiner Freizeit?“
Entscheide, ob die Aussagen richtig oder falsch sind.
Statistik – Lösungen
10) Tourismus in Österreich:
Von 2000 bis 2010 ist die Zahl der Nächtigungen stark gestiegen.
8 Jungen
c) Wie viel Jungen sind in dieser Klasse?
29 Kinder
b) Wie viele Kinder sind in dieser Klasse?
8 Mädchen
a) Wie viel Mädchen sind 12 Jahre alt?
9) In einer Klasse wurde eine Umfrage durchgeführt.
Alle Kinder haben ihr Alter genannt.
Statistik – Lösungen
62
6/6
Testen und Fördern
Lösungen
31
12.11.2013 14:11:23
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2:00
16:00
Uhr.
4
8
10
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Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5)
6
Fußball
25%
Rad fahren
25%
Laufen
5%
Schwimmen
10%
Reiten
20%
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Sportarten am liebsten?
Wie viele Kinder haben andere als die angegebenen
Wie viele Kinder gehen am liebsten Reiten?
Wie viele Kinder schwimmen am liebsten?
Wie viele Kinder gehen am liebsten Rad fahren?
andere
15%
Uhr ist die Temperatur um 14 Grad gestiegen.
Uhr und um 6:00
Uhr und
.
.
40 Kinder wurden nach ihrem liebsten Freizeitsport gefragt.
2 °C hatte es um
4:00
14 °C
Der Höchstwert an diesem Tag war
Zwischen
6 °C
Um 8:oo Uhr morgens hatte es nur
In einer Wetterstation wurde automatisch alle zwei Stunden die Temperatur
aufgezeichnet. Lies die Werte ab und fülle die Lücken im Text!
Daten aus Diagrammen ablesen
Statistik – Lösungen
63
1/2
29
30
32
5
7
grün
~13 %
~47°
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~42 %
~150°
Ausgaben:
Winkel:
b) Soziales
Ausgaben:
Winkel:
a) Verwaltung
Der österreichische Staat hat im Jahr 2011 insgesamt 151 994 Mio. Euro ausgegeben.
Im Prozentkreis sind die Ausgaben nach den unterschiedlichen Aufgabenbereichen
geteilt eingetragen. Miss die Zentriwinkel und bestimme daraus die ungefähren
Ausgaben in Prozent!
Wie viele Kinder wurden befragt?
26
28
4
5
Wie viele Kinder haben lila gewählt?
1
2
4
Wie viele Buben haben rot gewählt?
1
2
3
lila
Welche Farbe wurde am wenigsten oft gewählt?
rot
blau
gelb
In der 2C wurde die Lieblingsfarbe erfragt.
Beantworte die Fragen und kreuze die richtigen Antworten an!
Daten aus Diagrammen ablesen
Statistik – Lösungen
64
2/2
Testen und Fördern
Lösungen
32
12.11.2013 14:11:24
DIM2_tuf_loesung.indd 33
112
0,28
0,26
0,1125
0,1075
0,24
24 %
28 %
26 %
~11 %
~11 %
25 %
20 %
Tagebuch eines Vampirs
The Hunger Games
12
15
9
3
21
absolute Häufigkeit
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ja
nein
absolute Häufigkeit
49
29
65
73
27
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Diagramm passt:
Lieblingsfach
Deutsch
Mathematik
Englisch
Sport
Biologie
Passt das Kreisdiagramm zur gegebenen Umfrage über das Lieblingsfach?
15 %
5%
Die drei ???
Ronja Räubertochter
35 %
prozentuelle Häufigkeit
Warrior Cats
Lieblingsbuch
60 Kinder wurden nach ihrem Lieblingsbuch gefragt. Die Ergebnisse der Umfrage
sind in Prozent angegeben. Berechne die absoluten Häufigkeiten!
104
45
Jonas
Mirna
43
Maximilian
96
Hannah
absolute Häufigkeit relative Häufigkeit prozentuelle Häufigkeit
Kevin
KandidatIn
Bei der Schulsprecherwahl wurden 400 Stimmen abgegeben. Ergänze die Tabelle!
Häufigkeiten berechnen
Statistik – Lösungen
65
1/1
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40 % der Kinder gehen in den Ferien Schi fahren, 5 % fahren Snowboard, 15 % gehen
Rodeln, 10 % fliegen in den Süden und die anderen bleiben zu Hause.
Welcher Prozentkreis passt zu den gegebenen Umfrageergebnissen?
bestelltes
absolute
Essen
Häufigkeit
Spaghetti
54
Schnitzel
34
Salat
28
Germknödel
13
Suppe
41
Stelle die gegebenen absoluten Häufigkeiten in einem Säulendiagramm dar!
statistische Umfragen Darstellungen zuordnen
Statistik – Lösungen
66
1/2
Testen und Fördern
Lösungen
33
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Die Brotpreise sind angestiegen. Du arbeitest für die Bäckerinnung und sollst für
eine Aussendung diesen Preisanstieg möglichst harmlos darstellen.
Welches Diagramm würdest du auswählen?
In die 2A gehen 28 Schüllerinnen und Schüler.
4 Kinder haben grün genannt.
In die 2A gehen mehr Buben als Mädchen.
Mehr Buben als Mächen haben gelb genannt.
Es sind mehrere Aussagen zu einer Umfrage über die Lieblingsfarbe in der 2A
gegeben. Kreuze an, welche Darstellung zu allen Aussagen passt!
statistische Umfragen Darstellungen zuordnen
Statistik – Lösungen
67
2/2
nein
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gezeichnet.
verschieden langen Zeitintervalle. ZB ist 1990 bis 1995 gleich groß wie 2007 bis 2008
Durch die gleich groß dargestellten
Mit welchen Mitteln wird der
Eindruck verstärkt?
Positiv hervorgehoben wird,
dass der Energieverbrauch
nicht mehr steigt und zuletzt
sogar zurückgegangen ist.
Die Darstellung zeigt den
Jahresstromverbrauch in
Österreich in kWh pro Kopf.
„Österreich-Säule“ ist im Vergleich viel zu gering. Der Schuldenstand wirkt dadurch kleiner.
Die Säulen haben die richtige Höhe, aber sie sind verschieden dick. Das Volumen der
Mit welchen Mitteln wird in dieser Darstellung versucht den Betrachter zu täuschen?
ja
Ist die Darstellung korrekt?
Im Zusammenhang mit der
Euro-Schuldenkrise sind viele
grafische Darstellungen zu
sehen. Die gegebene Grafik
zeigt die Schuldenstände von
Österreich und Griechenland
in Prozent des BIP im
Vergleich.
statistische Darstellungen interpretieren
Statistik – Lösungen
68
1/1
Testen und Fördern
Lösungen
34
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1
2
4
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2) Ordne den symmetrischen Figuren links die passenden Spiegelachsen rechts zu.
keine
1) Wie viele Symmetrieachsen (Spiegelachsen) hat die Figur?
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
69
1/6
Ursprung
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C(6|7)
5) Bestimme die Koordinaten des Punktes C.
B(6|2)
4) Bestimme die Koordinaten des Punktes B.
c) Der Schnittpunkt der Achsen heißt:
Mittelpunkt
Zentrum
b) Der Punkt A hat die Koordinaten:
A(2|1)
A(1|2)
a) Der Winkel den die Achsen im Koordinatensystem einschließen ist:
spitz
90°
gestreckt
3) Welcher Begriff ist hier jeweils richtig?
Markiere das richtige Wort färbig.
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
70
2/6
Testen und Fördern
Lösungen
35
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halbiert
Spiegelachse sind
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Winkelschenkeln gleich weit entfernt sind.
Achsen
Winkelschenkeln Endpunkten
Auf der Winkelsymmetrale liegen alle Punkte, die von den beiden
Ein Winkel wird von seiner Winkelsymmetrale halbiert.
verdoppelt
gedrittelt
Auf ihr liegen alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind.
gleich weit entfernt sind
verschieden sind
Die Streckensymmetrale steht normal auf die Strecke AB.
liegt parallel
steht normal
verlängert AB
Die Streckensymmetrale einer Strecke AB halbiert diese.
Streckensymmetrale Strecke CD
Winkelsymmetrale
Die Verbindungsstrecke dieser Punkte steht normal zur Geraden g.
steht normal
ist parallel
liegt symmetrisch
dieser Geraden den gleichen Abstand.
verschiedenen den gleichen keinen
Zwei Punkte, die symmetrisch bezüglich einer Geraden g liegen, haben von
parallel
symmetrisch
gleichmäßig verteilt
7) Ergänze den Lückentext richtig. Wähle aus den Klammern aus.
D(1|7)
6) Bestimme die Koordinaten des Punktes D so, dass ein Quadrat entsteht.
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
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Der Winkel hat 80°.
10) Miss die Größe des eingezeichneten Winkels.
Der Winkel hat 210°.
9) Lies die Größe des roten Winkels ab.
Der Winkel hat 150°.
8) Wie groß ist der eingezeichnete Winkel?
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
72
4/6
Testen und Fördern
Lösungen
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ergänzen einander
auf 180°
gleich groß
11) Entscheide, ob die eingezeichneten Parallelwinkel gleich groß sind oder sich auf
180° ergänzen.
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
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δ = 120°
γ = 30°
β = 60°
12) Wie groß sind die Winkel in der Zeichnung?
Antworte ohne zu messen.
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
74
6/6
Testen und Fördern
Lösungen
37
12.11.2013 14:11:31
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β = 130°
stumpf
γ = 25°
spitz
erhaben
δ = 340°
δ
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β = 38°
γ = 275°
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α = 112°
Zeichne die Winkel! Verwende die vorgezeichneten Schenkel und Scheitel!
α = 65°
spitz
α
γ
1/1
75
120° oder 60°
75° oder 105°
90°
b) β = 120°
c) β = 75°
d) β = 90°
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30° oder 150°
a) β = 30°
Wie groß kann ein Parallelwinkel zum gegebenen Winkel β sein?
α
Markiere in der Figur alle auftretenden Parallelwinkel zu α!
Markiere alle gleich großen Parallelwinkel von α orange, alle Parallelwinkel, die α auf
180° ergänzen, blau!
Gib die Art des Winkels an! Schätze seine Größe und überprüfe deine Schätzung
durch Messen!
β
Winkelarten erkennen
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
Winkel messen
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
76
1/2
Testen und Fördern
Lösungen
38
12.11.2013 14:11:32
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β = 60°
γ = 90°
30°
δ = 60°
γ
ε = 30°
δ
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α = 120°
60°
α
β
ε
Wie groß sind die Winkel α, β, γ, δ und ε in der Figur?
Antworte ohne zu messen!
γ
180° - γ
γ‘
2/2
77
x
D(3|3)
C(4|2)
B(2|0)
A(1|1)
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y
Lies die Koordinaten der Punkte A, B und C aus dem Koordinatensystem ab!
Ergänze einen Punkt D so, dass ein Rechteck entsteht!
x
Zeichne die Punkte A(2|3), B(4|4), C(7|1) und D(1|5) in das Koordinatensystem ein!
Zeichne einen gleich großen Normalwinkel zu γ und einen der γ auf 180° ergänzt!
y
mit dem Koordinatensystem umgehen
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
Winkelarten erkennen
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
78
1/1
Testen und Fördern
Lösungen
39
12.11.2013 14:11:33
DIM2_tuf_loesung.indd 40
d)
b)
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g
B1 (1|7)
B1
b) Spiegle B an der Geraden durch A und C!
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A1 (5|6)
A1
a) Spiegle den Punkt A an der Geraden g!
Gib die Koordinaten der gespiegelten Punkte an!
c)
1/1
79
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Wo sollte sie hingebaut werden?
Über den Fluss soll eine Brücke
gebaut werden, die von den
Orten A und B gleich weit
entfernt ist.
Zeichne die Symmetrieachse der symmetrisch liegenden Figuren ein!
Verbindung ist die Streckensymmetrale.
und B jeweils gleich weit entfernt. Ihre
Radius gezogen. Die Schnittpunkte sind von A
werden um A und B Kreisbögen mit demselben
den Punkten A und B gleich weit entfernt sind,
Weil die Punkte der Streckensymmetrale von
Erkläre den Konstruktionsgang beim Zeichnen einer Streckensymmetrale!
Begründe die Arbeitsschritte!
Zeichne jeweils alle Symmetrieachsen ein!
a)
geometrische Eigenschaften erkennen
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
Symmetrie erkennen
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
80
1/2
Testen und Fördern
Lösungen
40
12.11.2013 14:11:36
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60° konstruiert und zweimal halbiert, weil:
60° : 2 = 30°, 30° : 2 = 15° und
60° - 15° = 45°
b) β = 45°
60°
Zweimal 60° konstruiert und addiert, weil:
60° + 60° = 120°
Erinnere dich: Einen 60°-Winkel kann man durch zweimaliges
Abschlagen desselben Radius konstruieren (siehe Figur).
a) α = 120°
Konstruiere die Winkel durch Halbieren bzw. Addieren geeigneter Winkel!
Gib an, wie du vorgegangen bist!
Zeichne einen Winkel α = 75° und konstruiere seine Winkelsymmetrale!
Ein Winkelschenkel ist schon vorgezeichnet.
geometrische Eigenschaften erkennen
Geometrische Grundbegriffe – Lösungen
81
2/2
Gleichschenkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
60°
, γ = 30°
, β = 60°, γ = 60°
38°
60°
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α=
α = 112°, β =
α = 35°, β = 85°, γ =
2) Von einem Dreieck kennt man die Größen zweier Winkel.
Gib die Größe des dritten Winkels an.
Zwei Seiten sind gleich lang.
a=b=c
Es gibt eine Symmetrieachse.
Zwei Seiten stehen normal.
Es gibt drei Symmetrieachsen.
Alle Winkel betragen 60°.
1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene
Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften
den Dreiecken zu.
Figuren – Lösungen
82
1/7
Testen und Fördern
Lösungen
41
12.11.2013 14:11:37
DIM2_tuf_loesung.indd 42
heißen die Seiten, die
des Dreiecks.
Im rechtwinkligen Dreieck
Hypotenuse.
längste Seite
gegenüberliegt
Katheten,
die Seite, die dem rechten Winkel
Sie ist die
2
10
1
7
9
6
4
5
8
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Die Angabe kann nicht eindeutig konstruiert werden.
Die Angabe kann nicht konstruiert werden, weil die Dreiecksungleichung nicht gilt.
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Die Angabe kann konstruiert werden.
Von einem Dreieck ist angegeben:
a = 65 mm, b = 23 mm, c = 20 mm
4) Nicht alle Dreiecksangaben können konstruiert werden.
Kreuze an, ob die Angabe gezeichnet werden kann.
den rechten Winkel einschließen
3
3) Bringe die Satzteile in die richtige Reihenfolge.
(Es sind zwei Sätze.)
Figuren – Lösungen
83
2/7
Ja
Ja
b) a = 45 mm, c = 50 mm, α = 50°
c) b = 35 mm, α = 42°, γ = 90°
Nein
Nein
Nein
Zwei Seitenlängen und die Größe irgendeines Winkels.
γ = 80°, γ = 60°, c = 55 mm
Angabe: α = 25°, β = 75°
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c = 70 mm, β = 45°, γ = 60°
β = 54°, α = 50°, c = 40 mm
Angabe: a = 35 mm, b = 25 mm
Angabe: c = 77 mm, b = 30 mm
7) Was fehlt in der Angabe zur eindeutigen Konstruktion des Dreiecks?
Markiere die fehlende Angabe.
Eine Seitenlänge und die Größen zweier Winkel.
Zwei Seitenlängen und die Größe des eingeschlossenen Winkels.
Die Größen der drei Winkel.
Die drei Seitenlängen.
6) Zwei Dreiecke sind deckungsgleich (kongruent), wenn bestimmte Angaben in
beiden Dreiecken übereinstimmen.
Welche Angaben können das sein? Kreuze die richtigen an.
Ja
a) b = 25 mm, α = 30°, c = 40 mm
5) Nicht alle Dreiecksangaben können eindeutig konstruiert werden.
Kann das Dreieck eindeutig konstruiert werden oder nicht?
Figuren – Lösungen
84
3/7
Testen und Fördern
Lösungen
42
12.11.2013 14:11:38
DIM2_tuf_loesung.indd 43
4/7
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Trapez
Parallelogramm
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Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez, Deltoid
Die Diagonalen stehen normal aufeinander.
Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez, Deltoid
Alle vier Innenwinkel sind gleich groß.
Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez, Deltoid
Das Viereck hat genau ein Paar paralleler Seiten.
85
Deltoid
falsch
richtig
c) Gegenüberliegende Seiten im Rechteck sind zueinander parallel.
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falsch
falsch
richtig
richtig
b) Im Parallelogramm sind benachbarte Winkel immer gleich groß.
a) Benachbarte Seiten des Quadrats stehen senkrecht zueinander.
12) Richtig oder falsch?
Rechteck
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez, Deltoid
Raute
9) Welche Vierecke haben die angegebene Eigenschaft?
Markiere die passenden Vierecke.
11) Welche Bezeichnungen passen zu diesem Viereck?
(Es sind auch mehrere Nennungen möglich.)
Parallelogramm
Umkreismittelpunkt
Dieser Punkt ist beim rechtwinkligen
Dreieck mit einem Eckpunkt ident.
Trapez
Inkreismittelpunkt
Unterstützt man das Dreieck in diesem
Punkt, ist es im Gleichgewicht.
Rechteck
Schwerpunkt
Dieser Punkt hat von den Seiten des
Dreiecks denselben Normalabstand.
Deltoid
Raute
Höhenschnittpunkt
Dieser Punkt hat von den Eckpunkten
des Dreiecks den gleichen Abstand.
10) Welche Bezeichnungen passen zu diesem Viereck?
(Es sind auch mehrere Nennungen möglich.)
Figuren – Lösungen
8) Einige Punkte im Dreieck haben wesentliche Eigenschaften.
Ordne die Beschreibungen den besonderen Punkten im Dreieck zu.
Figuren – Lösungen
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5/7
Testen und Fördern
Lösungen
43
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Quadrat
Trapez
Rechteck
richtig
falsch
richtig
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Das ist Mathematik 2. Testen und Fördern, Arbeitsheft (ISBN 978-3-209-08438-5)
Inkreis
Umkreis
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Deltoid
Raute
gleichschenkliges Trapez
Rechteck
15) Haben die besonderen Vierecke einen Inkreis oder einen Umkreis?
Verbinde mit dem entsprechenden Kasten.
c) Jedes Rechteck hat mindesten zwei Symmetrieachsen.
falsch
falsch
richtig
b) Benachbarte Seiten des Deltoids stehen immer senkrecht aufeinander.
a) Gegenüberliegende Winkel der Raute sind immer gleich groß.
14) Richtig oder falsch?
Deltoid
13) Welche Bezeichnungen passen zu diesem Viereck?
(Es sind auch mehrere Nennungen möglich.)
Figuren – Lösungen
87
6/7
β = 135°
d) Deltoid: α = 65°, γ = 45°
γ = 120°
γ = 120°
γ = 115°
γ = 115°
β = 125° β = 120° β = 115°
γ = 125°
γ = 125°
β = 125° β = 120° β = 115°
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γ = 135°
γ = 135°
b) Raute: α = 120°
c) gleichschenkliges Trapez: α = 65°
β = 135°
a) Parallelogramm: α = 45°
16) In den gegebenen Vierecken lassen sich Winkel berechnen.
Ermittle die Größe des gesuchten Winkels.
Figuren – Lösungen
88
7/7
Testen und Fördern
Lösungen
44
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50°
, β = 20°, γ = 110°
60°
15°
d) α = 80°, β = 80°, γ =
c) α = 115°, β =
20°
, γ = 50°
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d) α = 52,5° , β = 52,5° , γ = 75°
b) α = 32,5° , β = 32,5° , γ = 115°
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c) α = 25° , β = 25°, γ = 130°
a) α = 45°, β = 45° , γ = 90°
Berechne die fehlenden Winkel des gleichschenkligen Dreiecks (a = b)!
α + β + γ = 180° und α = β = γ daher ist α = β = γ = 180° : 3 = 60°
Begründe, warum die gleich großen Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck 60° haben
müssen!
b) α =
a) α = 45°, β = 75°, γ =
Von einem Dreieck sind zwei Winkel gegeben. Berechne den dritten!
Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen
Figuren – Lösungen
89
1/3
r, p
q
Hypotenuse:
Katheten:
l
n, m
Hypotenuse:
Katheten:
g, f
h
,
70°
,
63 mm ,
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α ≈ 15°
a ≈ 17 mm , b ≈
b) Konstruiere den Schwerpunkt
des rechtwinkligen Dreiecks (γ = 90°)
mit c = 65 mm, β = 75°!
,γ≈
44 mm
ρ ≈ 13 mm
β ≈ 55°
a=b≈
a) Konstruiere den Inkreis des
gleichschenkligen Dreiecks mit
c = 50 mm und α = 55°!
Vervollständige das Dreieck und konstruiere den merkwürdigen Punkt! Eine Seite ist
bereits vorgezeichnet. Miss die gesuchten Größen ab!
Hypotenuse:
Katheten:
Welche Seiten sind die Katheten, welche Seite ist die Hypotenuse? Ergänze auch die
fehlenden Winkelgrößen!
Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen
Figuren – Lösungen
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2/3
Testen und Fördern
Lösungen
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Gleichschenkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
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Drei Seiten sind gleich lang.
Zwei Seiten stehen normal
aufeinander.
Es gibt drei Symmetrieachsen.
Die Punkte U, I, H und S liegen auf der
Symmetrieachse.
Es gibt eine Symmetrieachse.
Die Punkte U, I, H und S fallen
zusammen.
Der Höhenschnittpunkt fällt mit einem
Eckpunkt zusammen.
Alle Winkel betragen 60°.
Zwei Seiten sind gleich lang.
Ordne die Eigenschaften den besonderen Dreiecken zu!
Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen
Figuren – Lösungen
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3/3
d) b = 74 mm, c = 50 mm, β = 90°
c) c = 55 mm, α = 45°, β = 60°
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b) a = 38 mm, b = 46 mm, γ = 35°
a) a = 40 mm, b = 60 mm, c = 70 mm
Konstruiere die Dreiecke!
Figuren zeichnen
Figuren – Lösungen
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1/2
Testen und Fördern
Lösungen
46
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nicht konstruierbar
nicht eindeutig konstruierbar
eindeutig konstruierbar
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a = 55 mm, b = 37 mm, c = 18 mm
b = 70 mm, α = 40°, γ = 30°
a = 45 mm, b = 20 mm, c = 70 mm
a = 60 mm, c = 40 mm, γ = 30°
α = 15°, β = 45°, γ = 115°
a = 35 mm, b = 20 mm, α = 40°
α = 25°, β = 65°, γ = 90°
a = 25 mm, b = 30 mm, c = 40 mm
α = 60°, c = 40 mm, γ = 30°
Ist bei den Dreiecksangaben eine eindeutige,
keine eindeutige oder gar keine Konstruktion
möglich?
Figuren zeichnen
Figuren – Lösungen
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Dreieck A und Dreieck B können kongruent sein, müssen aber nicht.
Dreieck A und Dreieck B sind kongruent.
d) a = 44 mm, α = 45°, β = 45°
Dreieck A und Dreieck B können kongruent sein, müssen aber nicht.
Dreieck A und Dreieck B sind kongruent.
c) α = 60°, β = 30°, γ = 90°
Dreieck A und Dreieck B können kongruent sein, müssen aber nicht.
Dreieck A und Dreieck B sind kongruent.
b) a = 40 mm, b = 55 mm, β = 30°
Dreieck A und Dreieck B können kongruent sein, müssen aber nicht.
Dreieck A und Dreieck B sind kongruent.
a) a = 35 mm, b = 15 mm, c = 56 mm
Von zwei Dreiecken A und B sind drei gemeinsame
Bestimmungsstücke bekannt.
Sind die Dreiecke sicher kongruent oder nicht?
Kreuze die richtige Antwort an!
geometrische Eigenschaften erkennen
Figuren – Lösungen
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1/1
Testen und Fördern
Lösungen
47
12.11.2013 14:11:45
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Rechteck,
Quadrat,
Trapez,
Trapez,
Deltoid,
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Rechteck,
Trapez,
Rhombus,
Parallelogramm, Quadrat,
Deltoid,
Rhombus
Deltoid
Rhombus
Quadrat
gleichschenkliges Trapez
Deltoid,
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Rhombus,
Das Viereck besitzt einen Inkreis.
gleichschenkliges Trapez,
Das Viereck hat mindestens eine Symmetrieachse.
Rechteck,
Das Viereck hat genau ein Paar paralleler Seiten.
Parallelogramm, Rhombus,
Das Viereck besitzt einen Umkreis.
Quadrat,
Die Diagonalen stehen normal aufeinander.
Welche Vierecke haben die angegebenen Eigenschaften?
Markiere die passenden Vierecke!
Vierecke und ihre Eigenschaften kennen
Figuren – Lösungen
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Rechteck
Quadrat
Parallelogramm
Rhombus
Deltoid
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gleichschenkliges Trapez
Trapez
allgemeines Viereck
Ergänze das „Haus der Vierecke“! Die unten liegenden Vierecke sollen alle
besonderen Eigenschaften der Vierecke darüber haben.
Skizziere die Vierecke und ergänze die Namen!
Vierecke und ihre Eigenschaften kennen
Figuren – Lösungen
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2/2
Testen und Fördern
Lösungen
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