2.3 Endliche abelsche Gruppen

Algebra und Zahlentheorie
2.3
c Rudolf Scharlau, 2002 – 2013
�
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Endliche abelsche Gruppen
In diesem Abschnitt wollen wir die Struktur von endlichen abelschen Gruppen
behandeln. Die Grundidee ist, die Gruppe als ein direktes Produkt von kleineren und einfacheren Gruppen darzustellen. Für abelsche Gruppen ist dieses
tatsächlich möglich: Jede abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt von zyklischen Gruppen, deren Ordnung Potenz einer Primzahl ist; solche
speziellen zyklischen Gruppen können nicht weiter zerlegt werden, und die Zerlegung der gesamten Gruppe ist eindeutig in dem Sinne, dass Ordnungen und
Anzahlen der zyklischen Faktoren nicht von der Wahl der Zerlegung abhängen
( Erster Struktursatz” Theorem 2.3.8). Dieses Resultat liefert die Möglichkeit, für
”
eine gegebene Gruppenordnung n ein Vertretersystem für alle Isomorphieklassen
abelscher Gruppen der Ordnung n aufzuschreiben und insbesondere deren Anzahl zu bestimmen. Ein erster wichtiger Reduktionsschritt für den Beweis ergibt
sich aus Satz 2.3.7; er reduziert das Problem auf den Fall von Gruppen von
Primzahlpotenz-Ordnung n = pν . Für diesen Fall werden wir die Eindeutigkeit
der Zerlegung ausführlich besprechen und beweisen, weil an dieser Stelle ohne
allzu komplizierte Technik einige wichtige Ideen sichtbar werden. Auf den Beweis
der Existenz einer Zerlegung in zyklische Gruppen verzichten wir, da sich eine
systematische Behandlung besser an anderer Stelle, nämlich in der Theorie der
sogenannten Moduln” über Hauptidealringen, ergibt. In einem abschließenden
”
Zweiten Struktursatz” wird noch eine andere Zerlegung in zyklische Faktoren
”
(bzw. Summanden) besprochen, bei der die Ordnungen keine Primzahlpotenzen
mehr sind, aber sukzessiv Vielfache voneinander sind. Diese Version des Satzes
(wieder eine Art Normalform” für endliche abelsche Gruppen) hängt eng mit
”
dem sogenannten Elementarteilersatz für ganzzahlige Matrizen zusammen, auf
den wir an dieser Stelle aber nicht eingehen.
Wir erinnern daran (siehe Bemerkung 1.3.13), dass das kartesische Produkt A×B
zweier Gruppen mit der komponentenweisen Verknüpfung wieder eine Gruppe ist
und als direktes Produkt von A und B bezeichnet wird. Genauer wollen wir vom
externen direkten Produkt von A und B sprechen. Wir wollen zunächst klären,
wann eine gegebene Gruppe als ein solches Produkt dargestellt“ werden kann,
”
präzise: wann sie isomorph zu einem direkten Produkt ist. In diesem Zusammenhang wird der folgende Schluss häufig benutzt, der übrigens später auch für
nicht-abelsche Gruppen nützlich ist:
Lemma 2.3.1 Es sei G eine Gruppe und A ⊆ G, B ⊆ G zwei endliche Untergruppen mit A ∩ B = {e}. Dann besteht AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B} aus |A| · |B|
Elementen.
Beweis: Die Abbildung A × B → AB, (a, b) �→ ab ist nach Definition surjektiv,
und aus der Voraussetzung folgert man leicht ihre Injektivität.
�
Die Voraussetzung A ∩ B = {e} ist insbesondere erfüllt, wenn die Ordnungen |A|
und |B| teilerfremd sind.
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Die Gruppe A × B besitzt zwei kanonisch zu A bzw. B isomorphe Untergruppen,
� = A × {eB } ⊆ A × B und B
� = {eA } × B ⊆ A × B. Die Bedingung aus
nämlich A
� und B
� erfüllt, außerdem ist A
�B
� = A × B. Es
dem letzten Lemma 2.3.1 ist für A
�
�
�
�
� Dieses
gilt noch mehr, nämlich �
ab = b�
a für alle �
a = (a, e) ∈ A und b = (e, b) ∈ B.
führt uns auf folgende Definition, und eine erste Antwort auf die oben gestellten
Frage:
Definition und Bemerkung 2.3.2 (Internes Direktes Produkt)
Eine Gruppe G heißt (internes) direktes Produkt von zwei Untergruppen A und
B, wenn folgendes gilt:
(DP1) G = AB
(DP2) A ∩ B = {e}
(DP3) A und B sind elementweise vertauschbar“,
”
d.h. für alle a ∈ A, b ∈ B gilt ab = ba.
Unter diesen Voraussetzungen gilt: G ∼
= A × B.
Beweis: Unter der Voraussetzung von (DP3) ist die Abbildung (a, b) �→ ab aus
2.3.1 ein Homomorphismus, also ein Isomorphismus.
�
Bei additiver Schreibweise der Verknüpfung in der Gruppe würde man die Bedinung (DP1) natürlich als G = A + B notieren, wenn (DP1) und (DP2) beide
vorliegen, schreibt man G = A ⊕ B und spricht von einer direkten Summe, genau
wie bei Vektorräumen. Die Bedingung (DP3) entfällt dann, weil eine Verknüpfung
+ immer kommutativ ist.
Externe und interne direkte Produkte sind nach 2.3.2 bis auf Isomorphie dasselbe,
aber der Standpunkt ist ein anderer: Beim internen direkten Produkt liegt die
Gruppe bereits vor, und ihre Struktur wird durch zwei Untergruppen beschrieben;
ein externes direktes Produkt wird erst konstruiert.
Die Definition eines direkten Produktes verallgemeinert sich leicht auf mehr
als zwei Untergruppen A1 , . . . , Ar . Hier muss man verlangen, dass jedes Ai mit
dem Produkt der übrigen Aj trivialen Schnitt hat, genau wie bei der direkten
Summe von mehr als zwei Untervektorräumen. Außerdem muss jedes Ai mit
jedem Aj elementweise vertauschbar sein, eine Voraussetzung, die in abelschen
Gruppen immer erfüllt ist. G ist genau dann das direkte Produkt der Untergruppen A1 , . . . , Ar , wenn die Abbildung
A1 × A2 × · · · × Ar −→ G,
(x1 , x1 , . . . , xr ) �−→ x1 x2 . . . xr
ein Isomorphismus ist.
Bevor wir abelsche Gruppen genauer untersuchen, noch eine kleine Definition
(eigentlich nur eine Sprechweise).
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Definition 2.3.3 Es sei p eine Primzahl.
a) Ein Element einer Gruppe heißt p-Element, falls seine Ordnung eine Potenz
von p ist.
b) Eine endliche Gruppe heißt p-Gruppe, falls ihre Ordnung eine Potenz von
p ist.
Lemma 2.3.4 Für eine abelsche Gruppe G und m ∈ N ist
G(m) := {x ∈ G | xm = e}
eine Untergruppe von G. Wenn |G| = km ist mit ggT(k, m) = 1, dann ist G das
interne direkte Produkt G = G(k)G(m).
Beweis: Die Bedingung (DP3) aus Bemerkung 2.3.2 ist in abelschen Gruppen
immer erfüllt; die Bedingung (DP2) folgt sofort aus der Voraussetzung und dem
Satz von Lagrange: Jedes Element aus G(k) ∩ G(m) hat die Ordnung 1. Zum
Beweis von (DP1) schreibe mit dem Lemma von Bezout 1 = sk + tm, s, t, ∈ Z.
Dann zerlegt sich ein beliebiges Element x ∈ G als x = xtm xsk , und es gilt
(xtm )k = xtmk = e, also xtm ∈ G(k), analog xsk ∈ G(m).
�
Wir weisen noch einmal darauf hin, dass bei additiver Schreibweise der Verknüpfung, also für eine Gruppe (G, +) die Formeln des Lemmas natürlich anders
aussehen. Wir haben dann
G(m) = {x ∈ G | m.x = 0},
G = G(k) ⊕ G(m) (direkte Summe).
Die Untergruppe G(m) aus dem letzten Lemma heißt auch die m-TorsionsUntergruppe oder kurz die m-Torsion von G. Allgemein bezeichnet man als Torsionselement einer Gruppe jedes Element von endlicher Ordnung. Die m-Torsion
von G besteht aus allen Elementen von G, deren Ordnung ein Teiler von m ist.
Das Lemma 2.3.4 kann übrigens als eine Verallgemeinerung von Satz 2.1.17, also
der Isomorphie Z/mZ × Z/nZ ∼
= Z/mnZ für ggT(m, n) = 1 angesehen werden.
Allerdings ist der Standpunkt ein anderer: Dort ging es darum, dass Z/mZ×Z/nZ
zyklisch ist, jetzt geht es darum, dass Z/mnZ in ein direktes Produkt zerlegt
werden kann.
Es ist richtig, aber an dieser Stelle noch nicht bewiesen, dass in der Situation von
Lemma 2.3.4 |G(k)| = k und |G(m)| = m ist. Hierzu dient das nächste Lemma:
Lemma 2.3.5 Es sei G eine endliche abelsche Gruppe und p ein Primteiler der
Gruppenordnung. Dann enthält G ein Element der Ordnung p.
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Beweis durch Induktion über die Gruppenordnung, bzw. über |G|/p. Wähle in G
ein beliebiges von e verschiedenes Element y. Falls p | ord(y), nimm eine geeignete
Potenz von y. Anderenfalls wende die Induktionsannahne auf die Faktorgruppe
G/�y� an. (Details in der Vorlesung.)
�
Das Lemma gilt (mit schwierigerem Beweis) auch im nicht-abelschen Fall (sogenanntes Lemma von Cauchy“, siehe das spätere Kapitel 2.5).
”
Lemma 2.3.6 Unter den Voraussetzungen von Lemma 2.3.4 gilt |G(k)| = k und
|G(m)| = m.
Beweis: Setze kurz k � := |G(k)|, m� := |G(m)|. Es reicht zu zeigen: Jeder Primteiler p von k � teilt auch k, entsprechend für m� . Wegen k � m� = |G| = km und
ggT(k, m) = 1 folgt dann die Behauptung.
Sei also p ein Primteiler von k � . Nach Lemma 2.3.5, angewendet auf G(k), gibt
es in G(k) ein Element x der Ordnung p. Wenn p nicht k teilen würde, dann würde
es m teilen. Dann würde aber x auch in G(m) liegen, wäre also ein nichttriviales
Element von G(k) ∩ G(m). Widerspruch.
�
Wenn wir die Lemmata 2.3.4 und 2.3.6 mehrfach anwenden (also eine Induktion
über die Anzahl der verschiedenen Primteiler von |G| machen), erhalten wir den
folgenden Satz:
Satz 2.3.7 Jede endliche abelsche Gruppe G zerlegt sich eindeutig als ein direktes
Produkt von p-Gruppen. Genauer: Betrachte die kanonische Primfaktorzerlegung
|G| = pν11 · pν22 · . . . · pνrr , wobei die pi paarweise verschiedene Primzahlen sind und
νi ∈ N. Setze
νi
Gi = {x ∈ G | xpi = e} .
Dann sind die Gi , i = 1, . . . , r Untergruppen von G mit |Gi | = pνi i , und G ist das
interne direkte Produkt der Gi , also auch
G∼
= G1 × G2 × . . . × Gr .
Die Untergruppe Gi aus dem Satz heißt auch die pi -primäre Komponente von G.
Gegeben ein endliche abelsche Gruppe G und ein Primteiler p ihrer Ordnung, so
ist also die p-primäre Komponente von G die pν -Torsions-Untergruppe von G,
für genügend großes ν. Man spricht von einer Komponente, weil diese Untergruppe sogar ein direkter Faktor von G ist. Die p-primäre Komponente ist, für sich
betrachtet, eine p-Gruppe im Sinne der Definition 2.3.3. Zusammengefasst sagt
also der Satz 2.3.7, dass jede endliche abelsche Gruppe eindeutig in ein direktes
Produkt von p-Gruppen zerlegt werden kann.
Die Frage nach der Struktur und letztlich einer vollständigen Klassifikation endlicher abelscher Gruppen ist nunmehr auf den Fall von p-Gruppen reduziert. Die
eigentliche Antwort gibt der folgende Satz:
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Theorem 2.3.8 (Struktursatz für abelsche Gruppen, Version 1)
Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem Produkt von zyklischen pGruppen Z/pj Z. Die auftretenden Primzahlpotenzen pj sind dabei einschließlich
ihrer Vielfachheiten eindeutig bestimmt (bis auf Reihenfolge).
Der Beweis des Theorems reduziert sich mittels des Satzes 2.3.7 unmittelbar auf
den Fall, dass nur eine Primzahl p auftritt, d.h. G eine p-Gruppe ist. Der Beweis
der Existenz der Zerlegung ist etwas komplizierter als die bisherigen Beweise
in diesem Abschnitt. Er wird üblicherweise in weiterführenden Vorlesungen im
Kontext von Moduln über Hauptidealringen (siehe Kapitel 3.1) behandelt.4
Die Eindeutigkeitsaussage des Satzes wollen wir hingegen jetzt noch etwas
genauer erklären und letztlich auch vollständig beweisen. Betrachten wir als Beispiel die Gruppe G = Z/2Z × Z/4Z × Z/4Z × Z/8Z der Ordnung 256 = 28 . Die
Vielfachheit des Faktors Z/4Z bzw. der Primzahlpotenz 22 ist hier gleich 2, wir
können die Gruppe auch als Z/2Z × (Z/4Z)2 × Z/8Z schreiben. Da es hier und
im Folgenden nicht auf die konkrete Gruppe Z/mZ ankommt, sondern nur auf
die” (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte, siehe 2.1.9) zyklische Gruppe der
”
Ordnung m, schreiben wir ab jetzt Zm für diese Gruppe. ferner benutzen wir für
eine endliche Folge natürlicher Zahlen m1 , m2 , . . . mr die Abkürzung
Z[m1 , m2 , . . . , mr ] := Zm1 × Zm2 × · · · × Zmr .
(2.3.1)
Die als Beispiel betrachtete Gruppe ist also Z[2, 4, 4, 8].
Wenn die Zahlen m�1 , m�2 , . . . m�r lediglich eine Permutation von m1 , m2 , · · · mr
sind, dann ist natürlich
Z[m�1 , m�2 , . . . , m�r ] ∼
= Z[m1 , m2 , . . . , mr ].
Da wir Gruppen nur bis auf Isomorphie auflisten wollen, können wir also immer
m1 ≤ m2 ≤ · · · ≤ mr annehmen. Auf das Beispiel angewendet ist die Behauptung des Satzes, dass aus Z[m1 , m2 , . . . , mr ] ∼
= Z[2, 4, 4, 8] folgt, dass r = 4 und
weiter m1 = 2, m2 = m3 = 4, m4 = 8 ist; wir kommen unten beim Beweis des
allgemeinen Falls darauf zurück.
Wenn man mittels des Theorems 2.3.8 für gegebene Primzahlpotenz m = pν
eine Liste aller Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung m aufstellen
möchte, so muss man also Möglichkeiten aufschreiben, m als ein Produkt von
natürlichen Zahlen mi zu schreiben, wobei die Faktoren notwendig von der Form
mi = pνi sind und ihre Anzahl r höchstens gleich ν werden kann. Die mi sollen
ferner aufsteigend der Größe nach geordnet sein. Wenn man diese Bedingungen
in die Exponenten νi übersetzt, so muss man alle Partitionen, genauer Zahlpartitionen
ν = ν1 + ν2 + · · · + νr , 1 ≤ ν1 ≤ ν2 ≤ · · · ≤ νr
(2.3.2)
4
Einen im Kontext dieser Vorlesung direkt verständlichen Beweis findet man z.B. in dem
Buch Algebra von J.C. Jantzen und J. Schwermer, Satz 5.15
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der natürlichen Zahl ν auflisten. Eine naheliegende Art, all diese Partitionen (und
damit die zugehörigen Gruppen) in eine Reihenfolge zu bringen, besteht darin,
allen Partitionen von ν durch Auffüllen mit Nullen die Länge r = ν zu geben
und diese ν-Tupel dann lexikographisch anzuordnen. Insbesondere stehen dann
Gruppen mit weniger Faktoren vor denen mit mehr Faktoren.
Beispiele 2.3.9 (1) Die vollständige Liste der (Isomorphieklassen von) abelschen Gruppen der Ordnung 64 enthält 11 Gruppen und lautet
Z[64]
Z[2, 32], Z[4, 16], Z[8, 8],
Z[2, 2, 16], Z[2, 4, 8], Z[4, 4, 4],
Z[2, 2, 2, 8], Z[2, 2, 4, 4],
Z[2, 2, 2, 2, 4],
Z[2, 2, 2, 2, 2, 2].
(2) Die vollständige Liste der (Isomorphieklassen von) abelschen Gruppen der
Ordnung 128 enthält 15 Gruppen und lautet
Z[128],
Z[2, 64], Z[4, 32], Z[8, 16],
Z[2, 2, 32], Z[2, 4, 16], Z[2, 8, 8], Z[4, 4, 8],
Z[2, 2, 2, 16], Z[2, 2, 4, 8], Z[2, 4, 4, 4],
Z[2, 2, 2, 2, 8], Z[2, 2, 2, 4, 4],
Z[2, 2, 2, 2, 2, 4],
Z[2, 2, 2, 2, 2, 2, 2].
Ein Spezialfall des Struktursatzes 2.3.8 ist, dass eine zyklische Gruppe von Primzahlpotenzordnung niemals isomorph ist zu einem Produkt (zyklischer Gruppen)
mit mehr als einem Faktor ist. Wir halten diesen wichtigen Spezialfall als eigenen
Satz fest und geben einen unabhängigen Beweis (der allerdings auf der gleichen
Grundidee beruht wie der später folgende Beweis zu 2.3.8).
Proposition 2.3.10 Eine zyklische Gruppe Z = Zpν , deren Ordnung eine Primzahlpotenz pν ist, ist unzerlegbar, d.h. sie kann nicht als direktes Produkt von zwei
(Unter-)Gruppen echt kleinerer Ordnung dargestellt werden.
Beweis: Wir nehmen an, dass Z isomorph zu einem direkten Produkt U × V
ist, wobei U und V nicht-trivial seien und notwendig selbst p-Gruppen sind. Nun
benutzen wir die p-Torsion aus Lemma 2.3.4, um einen Widerspruch zu erhalten.
Aus der Isomorphie Z = Zpν ∼
= Z/pν Z erhält man leicht |Zpν (p)| = p (denn es
ν
ν−1 ν ∼
ist offenbar (Z/p Z)(p) = �[p ]p � = Zp ). Ein Isomorphismus ϕ : Z → U × V
induziert einen Isomorphismus ϕ : Z(p) → (U × V )(p). Auf der anderen Seite
ergibt sich unmittelbar aus der Definition (U × V )(p) = U (p) × V (p). Die beiden
Faktoren sind nach dem Lemma von Cauchy 2.3.5 jeweils nicht-trivial, also nach
Lagrange |U (p)| ≥ p, |V (p)| ≥ p und somit |(U × V )(p)| ≥ p2 > p = |Z(p).
Widerspruch.
�
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Beweis der Eindeutigkeitsaussage in Theorem 2.3.8: Es reicht, eine p-Gruppe
der Gestalt
G = Z p µ 1 × Z p 2 µ2 × · · · × Z p l µl
bzw. in der oben eingeführten Notation
G = Z[ p, . . . , p, p2 , . . . , p2 , . . . , pl , . . . , pl ]
� �� � � �� �
� �� �
µ1 Mal
µ2 Mal
µl Mal
zu betrachten und zu zeigen, dass für eine isomorphe Gruppe der gleichen Bauart alle Exponenten µ1 , µ2 , . . . , µl (also die Vielfachheiten von zyklischen Faktoren
derselben Ordnung) übereinstimmen. (Für nicht vorhandene Faktoren sind Exponenten µj = 0 zu setzen.) Dieses geschieht mit Hilfe der pi -Torsions-Untergruppen
G(p), G(p2 ), . . . , G(pl−1 ), G(pl ) = G. Für zwei isomorphe Gruppen G und H haben auch diese Untergruppen jeweils die gleiche Ordnung, etwa |G(pi )| = pλi , i =
1, . . . , l. Ferner ergeben sich wie im Beweis von 2.3.10 die G(pi ) in der Produktzerlegung komponentenweise:
G(pi ) = Zp (pi )
µ1
× Zp2 (pi )
µ2
µ
× · · · × Zpl (pi ) l .
Für eine zyklische Gruppe Z überlegt man sich wie im Beweis von 2.3.10, was
Z(pi ) ist: |Zpj (p)| = p für alle j ≥ 1, |Zpj (p2 )| = p2 für alle j ≥ 2, |Zpj (p3 )| = p3
für alle j ≥ 3 usw. Die zu bestimmenden Zahlen µi , i = 1, . . . , l ergeben sich aus
den bekannten Zahlen λi also durch die folgenden Gleichungen:
λi − λi−1 =
l
�
µj für i = 1, . . . , l,
(2.3.3)
j=i
wobei noch λ0 = 0 zu setzen ist.
�
Schauen wir uns den gerade geführten Beweis noch für das obige Beispiel der
Gruppe G = Z[2, 4, 4, 8] der Ordnung 28 an. Da der größte Faktor die Ordnung
23 hat, gilt λi = λ3 = 8 für i ≥ 4, es sind also µ1 , µ2 , µ3 zu bestimmen. Betrachten
von G(4) und G(2) liefert die Werte λ2 = 7, λ1 = 4, mittels (2.3.3) also µ3 =
1, µ2 = (7 − 4) − 1 = 2, µ1 = 4 − 3 = 1, wie gewünscht.
Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer anderen Produktdarstellung von abelschen Gruppen, die mit weniger Faktoren auskommt:
Theorem 2.3.11 (Struktursatz für abelsche Gruppen, Version 2)
Jede endliche abelsche Gruppe G ist isomorph zu einem Produkt
Z/m1 Z × Z/m2 Z × · · · × Z/mt Z, m1 | m2 | · · · | mt , m1 > 1.
Die Anzahl t und die auftauchenden Ordnungen mi mit ihren Vielfachheiten sind
durch diese Teilbarkeitsbedingungen eindeutig bestimmt.
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Der Beweis dieses Theorems erfordert keinen neuen Aufwand mehr. Sowohl die
Existenz als auch die Eindeutigkeit führt man mit 2.1.17 auf den früheren Satz
2.3.8 zurück. Wir verzichten auf den förmlichen Beweis, geben aber noch ein
Beispiel für den Übergang von der ersten Darstellung zur zweiten Darstellung:
Z[2, 4, 4, 8, 3, 3, 9, 27, 27, 5, 5, 25]
∼
= Z[2, 4, 4, 3, 3, 9, 27, 5, 5, 8 · 27 · 25]
∼
= Z[2, 4, 3, 3, 9, 5, 4 · 27 · 5, 8 · 27 · 25]
∼
= Z[2, 3, 3, 4 · 9 · 5, 4 · 27 · 5, 8 · 27 · 25]
∼
= Z[3, 2 · 3, 4 · 9 · 5, 4 · 27 · 5, 8 · 27 · 25]
∼
= Z[3, 6, 180, 540, 5400].
Die Potenzen von verschiedenen Primzahlen werden sukzessiv von rechts nach
”
links” zusammengefasst.