Das Invarianzprinzip

Mathecamp
März 2017
Florian Schweizer
[email protected]
Das Invarianzprinzip
Aufgabe 1: Der Ritter und der kleine Drache
Ritter Siegfried wurde ausgesandt, einen kleinen Drachen mit 15 Köpfen zu erlegen,
weil dieser Algebraland terrorisiert. Er kann mit einem Hieb seines Schwerts genau
vier Köpfe des Drachen abschlagen. Hat der Drache nur einen, zwei oder drei Köpfe,
wachsen der Bestie sechs Köpfe nach. Zeige, dass der Ritter den Drachen nicht
besiegen kann.
Aufgabe 2: Invertierende Schachbretter
Auf einem 8 × 8-Schachbrett ist nur ein Feld schwarz gefärbt. Man darf immer in
einer Spalte oder einer Zeile die Farben umkehren, also aus schwarzen Feldern weiße
machen und umgekehrt. Ist es möglich, alle Felder schwarz zu färben?
Aufgabe 3: Schachbretter überdecken 1
Bei einem 8×8-Schachbrett wurden die Ecken rechts oben und links unten abgesägt.
Kann man dieses Schachbrett mit gewöhnlichen Dominosteinen überdecken?
Aufgabe 4: Der Ritter und der große Drache
Nach seiner Niederlage in Aufgabe 1 rüstet sich Siegfried mit magischen Waffen
aus: Mit seinem Schwert kann er genau 15 Köpfe der Bestie abschlagen, mit seiner
Axt sogar exakt 32 Köpfe, allerdings wachsen nach dem Axthieb sofort 1337 Köpfe
nach – sogar, wenn in diesem Moment kein Kopf mehr vorhanden ist. Als er beim
Lager des Ungeheuers ankommt, ist er überrascht: Statt des kleinen Drachens ist
hier nun ein größeres Exemplar mit 777 Köpfen. Allerdings wachsen ihm (außer bei
Axthieben) keine Köpfe nach. Kann der Ritter die Bestie bezwingen?
Aufgabe 5: Kreissegmente
Ein Kreis ist in sechs Segmente eingeteilt, in denen Zahlen stehen.
Man darf die Zahl in je zwei benachbarten Feldern des Kreises um
jeweils 1 erhöhen. Ist es auf diese Weise möglich, dass irgendwann in
allen Feldern dieselbe Zahl steht?
0
0
1
0
0
1
Aufgabe 6: Schachbretter überdecken 2
Lässt sich ein 8 × 8-Schachbrett mit 15 Rechtecken der Form 1 × 4 und einem 2 × 2Quadrat überdecken?
Aufgabe 7: Chamäleons
Kaiserslauterer Chamäleons können die Farben gelb, rot oder blau annehmen. Treffen zwei Chamäleons verschiedener Farbe aufeinander, so nehmen beide die dritte
Farbe an. Beispielsweise entstehen aus einem roten und einem blauen Chamäleon
zwei gelbe. Ist es möglich, aus 14 gelben, 16 roten und 18 blauen Chamäleons 48
Chamäleons einer Farbe zu erzeugen?
Mathecamp
März 2017
Florian Schweizer
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Aufgabe 8: Das Spatzenproblem
Es stehen sechs Häuser im Kreis. Auf jedem Haus sitzt ein Spatz. Jede Minute
fliegt ein zufälliger Spatz im Uhrzeigersinn zum nächsten Haus. Ein anderer zufälliger Spatz fliegt gleichzeitig gegen den Uhrzeigersinn zum nächsten Haus. Können
irgendwann alle Spatzen auf einem Dach sitzen?
Aufgabe 9: Infizierte Zellen
Auf einem 10 × 10-Schachbrett sind 9 zufällige Felder infiziert. Die Infektion verbreitet sich zu benachbarten Feldern – also Feldern, die eine gemeinsame Kante haben.
Ein Feld wird infiziert, wenn mindestens zwei benachbarte Felder krank sind. Bei
welchen Startkonstellationen sind am Ende alle Felder infiziert?
Aufgabe 10: ±1
Es sei S := a1 a2 a3 a4 + a2 a3 a4 a5 + . . . + an−1 an a1 a2 + an a1 a2 a3 = 0, wobei jedes
ai ∈ {−1, 1}. Zeige, dass n durch 4 teilbar ist.
Aufgabe 11: Freund oder Feind
2n Botschafter treffen sich, um einen wichtigen Friedensvertrag auszuhandeln. Allerdings hat jeder Botschafter unter den anderen Teilnehmern bis zu n − 1 Feinde.
Feindschaft ist eine gegenseitige Beziehung. Gibt es eine Sitzordnung für einen runden Tisch, sodass keiner der Botschafter neben einem seiner Feinde sitzt?