Mai 2011 Aufgaben

Mai 2011
Aufgabe 1: Abbildungen an Vierecken (1) – Experimente mit dem DGS
Das Außenviereck: Ein Parallelogramm und ein Punkt P sind gegeben. Durch
Punktspiegelungen an den Eckpunkten A, B, C und D des Vierecks wird mit
dem Punkt P ein neues Viereck konstruiert, das Außenviereck.
Eine Punktspiegelung
mit dem Symmetriezentrum A bildet den
C
D
Punkt P
auf
den
Punkt Q ab. Nun wird P
der Punkt Q durch
eine Punktspiegelung
mit dem Symmetriezentrum B abgebildet,
A
B
der Bildpunkt heißt R.
Dann wird R an C
gespiegelt, der BildQ
punkt heißt S. Zuletzt
wird S an D gespiegelt.
a) Führe die Punktspiegelungen aus und zeige, dass ein geschlossenes Viereck
entsteht.
Bei den folgenden Teilaufgaben ist es sinnvoll, zum Zeichnen ein dynamisches Geometriesystem (DGS) wie z.B. Geogebra oder Euklid zu verwenden.
b) Lege den Punkt P so, dass als Außenviereck ein Parallelogramm entsteht.
c) Lege den Punkt P so, dass als Außenviereck ein Trapez entsteht. Begründe,
warum dabei kein gleichschenkliges Trapez möglich ist.
d) Untersuche die Auswirkungen, wenn man das Parallelogramm durch folgende
besondere Vierecke ersetzt: Rechteck, Raute, Quadrat, Drachen, gleichschenkliges Trapez. Untersuche auch, welche besonderen Vierecke ggf. dann als
Außenviereck möglich sind.
MA-THEMA Mai 2011
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Aufgabe 2: interessante Quadratzahl-Differenzen
a) Berechne die folgenden Differenzen. Was fällt dir auf? Formuliere deine
Vermutung.
32 − 12 =
6 2 − 32 =
10 2 − 6 2 =
152 − 10 2 =
M
b) Gib die nächsten Differenzen an und prüfe, ob deine Vermutung sich bestätigt.
c) Beweise den Zusammenhang allgemein.
Aufgabe 3: Produkt und Summe von Zahlen
Die Zahlen 12 und 60 haben eine interessante Eigenschaft. Ihr Produkt ist
10 mal so groß wie ihre Summe.
a) Finde weitere Paare natürlicher Zahlen mit dieser Eigenschaft.
b) Gib alle Paare natürlicher Zahlen mit dieser Eigenschaft an.
MA-THEMA Mai 2011
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Aufgabe 4: Pentomino-Probleme (1)
Pentominos sind Figuren, die aus fünf kongruenten Quadraten bestehen. Dabei
müssen immer zwei Quadrate eine gemeinsame Seite haben. Die Abbildung
zeigt drei Beispiele. Wegen ihrer Form werden sie als T, X und als P bezeichnet.
a) Zeichne weitere Pentominos. Gib an, wie viele Pentominos insgesamt möglich
sind.
b) Das X-Pentomino wird auf
das Hunderterfeld gelegt.
Die Summe der vom X
abgedeckten Zahlen ist 235.
Gib an, welche Zahl unter
dem
kräftig
gefärbten
Quadrat liegt.
c) Das P-Pentomino wird auf
alle mögliche Plätze des
Hunderterfeldes gelegt, so
dass es nie über den Rand
ragt.
1
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96
97
98
99 100
Gib an, welche Werte für die Summe der abgedeckten Zahlen möglich sind.
d) Gesucht sind die kleinste Summe und die größte Summe, die mit einem der
vorgegebenen Pentominos X, T oder P auf dem Hunderterfeld möglich sind. Gib
an, welches Pentomino in welcher Position dazu eingesetzt werden muss.