Schnittpunkt
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DO01742692_Umschlag.indd 30.06.2009 09:10:49 Seite: 11 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow 9 Mathematik Schnittpunkt Serviceband – der Service für die Vorbereitung und die Durchführung Ihres Unterrichts! Der Serviceband ist in drei Teile gegliedert: – Kommentare (K): Im ersten Teil finden Sie unterrichtspraktische Hinwei­ Schnittpunkt se, Kommentare und Anregungen für Ihre Unterrichtsvorbereitung. – Serviceblätter (S): Der zweite Teil bietet Ihnen über 60 passgenau auf das Schülerbuch abgestim­mte und direkt einsatzfähige Kopiervorlagen und die ent­sprechenden Lösungen. Sie finden hier Übungen zur Differen­ zierung, ansprechende Spiele und Arbeitsblätter, die die Inhalte des Schülerbuches kumulierend aufgreifen. – Lösungen (L): Im dritten Teil finden Sie alle Lösungen und Lösungs­ hinweise zu den Aufgaben des Schülerbuches. Schnittpunkt Mathematik Serviceband Serviceband ISBN 978-3-12- 742692 -2 Rheinland-Pfalz 9 DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 06.07.2009 14:24:24 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schnittpunkt 9 Mathematik Rheinland-Pfalz Serviceband Rainer Dedlmar Gerd Dermann Roland Eberle Bernd-Jürgen Frey Heidemarie Frey Nicolas Kümmerle bearbeitet von Ilona Bernhard Volker Müller Ernst Klett Verlag Stuttgart · Leipzig DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 11.12.2009 09:01:34 Seite: 2 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schnittpunkt 9, Mathematik Rheinland-Pfalz Begleitmaterial: Service-CD (ISBN 978-3-12-740394-7) Mathetrainer, Netzlizenz (ISBN 978-3-12-114835-6) Bildnachweis Umschlag Stock Photography, BrandXPictures Nicht in allen Fällen war es uns möglich, den Rechteinhaber der Abbildungen ausfindig zu machen. Berechtigte Ansprüche werden selbstverständlich im Rahmen der üblichen Vereinbarungen abgegolten. 1. Auflage 6 5 4 3 2 1 | 14 13 12 11 10 Alle Drucke dieser Auflage sind unverändert und können im Unterricht nebeneinander verwendet werden. Die letzte Zahl bezeichnet das Jahr des Druckes. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis § 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Fotomechanische oder andere Wiedergabeverfahren nur mit Genehmigung des Verlages. Auf verschiedenen Seiten dieses Heftes befinden sich Verweise (Links) auf Internet-Adressen. Haftungshinweis: Trotz sorgfältiger inhaltlicher Kontrolle wird die Haftung für die Inhalte der externen Seiten ausgeschlossen. Für den Inhalt dieser externen Seiten sind ausschließlich die Betreiber verantwortlich. Sollten Sie daher auf kostenpflichtige, illegale oder anstößige Inhalte treffen, so bedauern wir dies ausdrücklich und bitten Sie, uns umgehend per E-Mail davon in Kenntnis zu setzen, damit beim Nachdruck der Verweis gelöscht wird. © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2009. Alle Rechte vorbehalten. www.klett.de Autoren: Rainer Dedlmar, Nürtingen; Gerd Dermann, Ludwigsburg; Roland Eberle, Ostfildern; Bernd-Jürgen Frey, Altbach; Heidemarie Frey, Altbach; Nicolas Kümmerle, Leonberg bearbeitet von: Ilona Bernhard, Obermoschel; Volker Müller, Isenburg Redaktion: Annette Thomas, Elke Linzmaier Zeichnungen / Illustrationen: Imprint, Zusmarshausen; media office gmbh, Kornwestheim; Dorothee Wolters, Köln DTP / Satz: Imprint, Zusmarshausen; media office gmbh, Kornwestheim Reproduktion: Meyle + Müller, Medien-Management, Pforzheim Druck: Digitaldruck Tebben, Biessenhofen Printed in Germany ISBN 978-3-12-742692-2 DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 06.07.2009 14:24:25 Seite: 3 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Das Fachwerk des Schnittpunkt Mit dem neuen Lehrplan ist der Mathematikunterricht vielfältigen neuen Anforderungen ausgesetzt. Um Sie im Umgang mit den neuen Aspekten des Unterrichts zu unterstützen und Ihnen die Unterrichtsvorbereitung und -durchführung zu erleichtern, bieten wir Ihnen neben dem neu entwickelten Schülerbuch ein umfangreiches und differenziertes Begleitmaterial. Das neue Schülerbuch, das nach wie vor die solide Grundlage des Unterrichts darstellt, wird ergänzt durch den vorliegenden Service­ band, eine Service-CD und ein Lösungsheft. Alle vier Materialien sind passgenau aufeinander abgestimmt und bilden somit ein Gesamtgebäude, das Fachwerk, für den modernen Mathematikunterricht in den mittleren Schulformen. Das Schülerbuch In den letzten Jahren hat sich die Sicht auf den Erwerb von Wissen, Kenntnissen und Fähigkeiten verändert. Im Vordergrund stehen – die Kompetenzen, die die Lernenden im Umgang mit exemplarischen Inhalten erwerben, statt der Inhalte an sich. – die Vernetzung des Wissens und eine flexible Verfügbarkeit in unterschiedlichen Situationen, statt isolierter Kenntnisse im Detail. Der Mathematikunterricht soll sich verändern. Dazu trägt der neue Schnittpunkt bei, indem er folgende Aspekte berücksichtigt: – Die Grundlage der Vernetzung von Wissen ist eine klare Struktur und eine sichere Orientierung: Die Struktur des Bandes (Kapitel, Lerneinheiten, innermathematische Struktur) und der sorgfältig durchdachte Lehrgang sichern das Basiswissen und ermöglichen Querverbindungen. – Sinnstiftendes, verständnisorientiertes Mathematiklernen rückt in den Vordergrund: Dazu werden größere thematische Einheiten (in Lerneinheiten und Themenblöcken) geschaffen und – wo sinnvoll – Kleinschrittigkeit (von der Lerneinheit bis in einzelne Aufgaben) aufgelöst. – Der Erwerb von Kompetenzen und das Methodenlernen wird übergeordnetes Ziel: Die Schülerinnen und Schüler werden nicht mehr nur zum Algorithmen-Abarbeiten, sondern zur Einsicht, warum welcher Algorithmus und welche Methode sinnvoll eingesetzt werden kann, hingeführt (Methodenkästen und Aufgabenstellungen). – Die Eigenverantwortung der Lernenden wird gestärkt: Selbstständiges Lernen wird gefördert und unterstützt (schülergerechte Formulierung der Lernziele, Aufgaben mit Selbstkontrolle, Zusammenfassungsseiten, Rückspiegel in zwei Niveaus). – Das Basiswissen wird gesichert: Grundfertigkeiten und -kenntnisse behalten einen hohen Stellenwert (vielfältige Aufgaben, Zusammenfassungsseiten, Rückspiegel). – Das erworbene Wissen wird innermathematisch und außermathematisch vernetzt: Mathematische Inhalte knüpfen aneinander an und außermathematische Bezüge haben einen Platz im Standardlehrgang (Auftaktseiten, Üben • Anwenden • Nachdenken, Themenblöcke u. Ä., aber auch Standardaufgaben). Die Elemente des Schülerbuches Die Kapitel arbeiten ein mathematisches Thema auf und sind in einzelne Lerneinheiten untergliedert. Der doppelseitige Kapitelauftakt bietet vielfältige Anregungen und Angebote, die Schüler aktiv auf das neue Thema einzustimmen, das Vorwissen zu aktivieren und zu bündeln und einen Ausblick auf die Kapitelinhalte zu geben. Die Einstiege in die Lerneinheiten beginnen mit einer Einstiegsaufgabe, die anhand verschiedener Fragen und Anregungen auf ein Problem hinführt und Möglichkeiten zum Mathematisieren bietet. Lehrtext und Merkkasten sowie wichtige Beispiele folgen. Der Aufgabenteil ist entsprechend den Anforderungen der neuen Aufgabenkultur gestaltet und prinzipiell nach Schwierigkeitsgrad und Komplexität ansteigend geordnet. Schwierige Aufgaben sind durch eine blaue Aufgabennummer gekennzeichnet. In den Aufgabenteil der Lerneinheiten sind Kästen mit unterschiedlichen Angeboten integriert: Thema Ein Thema wird durch Texte, Bilder und Diagramme präsentiert, Aufgaben und Fragen zum Thema regen zum Modellieren an, insbesondere kumulative und komplexere Aufgaben finden hier Platz. Vorbemerkungen III DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 06.07.2009 14:24:27 Seite: 4 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schaufenster Hier sind folgende Fenster zu finden: Knobeln Basteln Spielen Staunen Information Gedankenexperimente Die Schaufenster können zur Differenzierung genutzt werden. Zeitfenster Sie bieten die Möglichkeit, historische Aspekte in den Mathematikunterricht zu integrieren. Methode Hier werden fachspezifische Methoden und Situationen, in denen sie sinnvoll genutzt werden können, vorgestellt. Die Methoden haben Werkzeugcharakter und vermitteln den Schülern Handlungskompetenz. Methodenkästen des Schülerbuches –Treffpunkte (Schülerbuchseite 19) –Grafische Lösungen mit dem Computer (Schülerbuchseite 38) –Kubikwurzeln immer genauer (Schülerbuchseite 53) –Zinseszinsrechnen mit dem Computer (Schülerbuchseite 66) –„p-thagoras“ (Schülerbuchseite 118) –Der Satz von Cavalieri (Schülerbuchseite 140) Anstoß Themen, die zum Entdecken, Weiterfragen und Weiterdenken anregen und sich besonders für eine ausführliche Behandlung im Rahmen eines Projektes eignen. Am Kapitelende greifen drei Elemente ineinander: – Die Zusammenfassung stellt im Lexikonstil (Begriff, Erklärung, Beispiel) die neuen Inhalte des Kapitels dar. Die Seite ist farbig hervorgehoben, um das Nachschlagen zu erleichtern. So können die Schülerinnen und Schüler kleinere Wissenslücken jederzeit füllen. – Üben • Anwenden • Nachdenken bietet Aufgaben zur Sicherung von Basiswissen (Üben), zur Verknüpfung mit außermathematischen Inhalten IV Vorbemerkungen (Anwenden) und zur weiterführenden Lösung von Problemen (Nachdenken). – Der Rückspiegel fordert die Schülerinnen und Schüler zu eigenverantwortlichem Lernen auf. Differenziert in zwei Niveaus können sie individuell Wissen, Fertigkeiten und Kompetenzen testen sowie Lücken aufspüren und aufarbeiten. Die Lösungen finden sie zur Selbstkontrolle am Ende des Buches. Bewerbungstraining Bereits in Klasse 9 müssen sich die Schülerinnen und Schüler mit dem Gedanken an einen Ausbildungsplatz beschäftigen, da viele Firmen sehr frühzeitig Auswahlgespräche und Bewerbertests durchführen. In diesen Tests werden häufig mathematische Fähigkeiten und logisches Denken geprüft, die in dieser Form im Standardlehrgang nicht vorgesehen sind. Beispielsweise werden Zahlenreihen vorgelegt oder geometrische Figuren, deren Flächenzahl bestimmt werden soll. Auch Grundrechenarten und Überschlagsrechnen werden verlangt. Das Bewerbungstraining bietet solche Aufgaben in einem Format, das Schülerinnen und Schüler auf die spätere Bewerbungssituation vorbereitet und so helfen kann, Unsicherheit und Nervosität zu vermeiden. Zur Selbstkontrolle stehen die Lösungen am Ende des Buches. Der Serviceband Der Serviceband möchte Ihnen mit seinen Kommentaren und Hinweisen, den 81 Kopiervorlagen und den Lösungen des Schülerbuches einen zuverlässigen und weitreichenden Service für Ihren Unterricht bieten und Sie sowohl bei Ihrer Unterrichtsvorbereitung als auch in der Durchführung eines zielgerichteten und den Bildungsstandards entsprechenden Unterrichts entlasten. Entsprechend der unterschiedlichen Nutzen für die Unterrichtsvorbereitung und -durchführung haben wir den Serviceband in drei Teile gegliedert, die durch eine an der Seite sichtbare Griffmarke und eine differenzierte Seitennummerierung leicht zu finden sind. Im ersten Abschnitt finden Sie den Kommentar­ teil, der Ihnen wertvolle Hinweise für Ihre Unterrichtsvorbereitung bietet. Der zweite beinhaltet die 81 Serviceblätter mit Hinweisen und den zugehörigen Lösungen. Die Serviceblätter können im Unterricht als Kopiervorlage an die Lernenden verteilt werden. Im dritten Abschnitt finden Sie zur schnellen Kontrolle im Unterricht die Lösungen des Schülerbuches. DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 06.07.2009 14:24:27 Seite: 5 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Der Übersichtstabelle auf den Seiten VII bis IX können Sie jeweils die entsprechenden Kommentarseiten, Serviceblätter und Lösungsseiten zu der gerade im Unterricht behandelten Lerneinheit entnehmen. Der Kommentarteil (Seite K 1 bis K 78) Der Kommentarteil ist wie das Schülerbuch strukturiert. Sie finden zu jedem Kapitel Kommentare, die unterschiedlichen Rubriken zugeordnet sind und Antworten auf die folgenden Fragen geben können: Kommentare zum Kapitel – Intention und Schwerpunkt des Kapitels Welche Hauptintentionen verfolgt das Kapitel? – Bezug zum Lehrplan Welchen Leitideen und Kompetenzen können die Inhalte des Kapitels zugeordnet werden? – Weiterführende Hinweise (nicht zwingend vorhanden) Wo finde ich passende Literatur, was kann ich bei der Bearbeitung des Kapitels beachten? – Projekt- und Referatsthemen Welche Möglichkeiten ergeben sich in diesem Kapitel? (einige Vorschläge) Kommentare zur Auftaktseite – Was ist das Ziel der Auftaktseite? Wo wird an Vorwissen angeknüpft? Wie werden die Inhalte vorbereitet? Welches weiterführende Informationsmaterial kann ich mir anschauen? Auf welche Probleme könnten die Lernenden stoßen? Kommentar zu den Lerneinheiten – Intention der Lerneinheit Was sind die Hauptintentionen der Lerneinheit? – Einstiegsaufgabe Wie bereitet die Aufgabe die Inhalte der Lerneinheit vor? Was ist zu beachten, was zu fordern? – Alternativer Einstieg (nicht zwingend vorhanden) Bietet sich für meine Schülerinnen und Schüler in dieser Lerneinheit ein anderer Einstieg als der im Schülerbuch vorgeschlagene an? Warum? – Tipps und Anregungen für den Unterricht (nicht zwingend vorhanden) Gibt es weiterführende Literatur, Internetadressen? Welche < Serviceblätter finde ich wo mit welchem Inhalt? – Aufgabenkommentare Hier finden Sie Kommentare zu ausgewählten Aufgaben, unter anderem weiterführende Fragestellungen, mögliche Lösungsstrategien, Hinweise auf potenzielle Fehlerquellen, Anregungen für besondere Unterrichtsformen und Verweise auf entsprechende < Serviceblätter. Insbesondere finden Sie auch Hinweise auf die dem Lehrplan zugrundeliegenden Leitideen, die neue Aufgabenkultur (offene, kumulative Aufgaben etc.) und die Niveaudifferenzierung. Exemplarischer Kommentar In den Exemplarischen Kommentaren finden Sie detaillierte Beschreibungen und Erläuterungen zu verschiedenen Themen des Lehrplans und der Mathematikdidaktik. Auf die Inhalte dieser Exem­ plarischen Kommentare wird im weiteren Verlauf des Kommentarteils bei unterschiedlichen Aufgaben, die das Thema wieder aufgreifen oder ansprechen, häufiger verwiesen. Neben diesem Sonderelement finden Sie im Kommentarteil auch einige Exkurse: Exkurs Zu einigen Aufgaben bieten wir mathematische Lösungen, die über die schülergerechten Lösungen des Lösungsteils hinausgehen. Außerdem finden Sie in den Exkursen weiterführende Sachinformationen oder didaktische Hinweise zu den auf den Auftaktseiten oder in den Aufgaben angesprochenen außer- und innermathematischen Themen. Eine Aufstellung der Exemplarischen Kommentare und Exkurse findet sich in der Übersichtstabelle auf den Seiten VII bis IX. Im Kommentarteil wird auf Kommentare in den vorhergehenden Servicebänden verwiesen: Schnittpunkt Serviceband 5, ISBN 978-3-12-742652-6; Schnittpunkt Serviceband 6, ISBN 978-3-12-742662-5; Schnittpunkt Serviceband 7, ISBN 978-3-12-742672-4; Schnittpunkt Serviceband 8, ISBN 978-3-12-742682-3. Die im Kommentarteil aufgeführten Befehle und Screenshots zu MS-Excel® basieren auf MS-Excel® 2000; je nach Version können sie variieren. Der Serviceteil (Seite S 1 – S 81) Zu Beginn des Serviceteils befinden sich einige Vorbemerkungen zu den verschiedenen Arten der Serviceblätter und zu ihrem möglichem Einsatzgebiet (vgl. Seite S 1 – S 3). Im mittleren Teil befinden sich die Serviceblätter selbst (Seite S 4 – S 64) und am Ende haben wir die Lösungen der Serviceblätter zusammengestellt (Seite S 65 – S 81). Vorbemerkungen V DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 06.07.2009 14:24:27 Seite: 6 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Der Serviceteil beinhaltet 61 Serviceblätter, von denen 43 direkt den einzelnen Kapiteln des Schülerbuches zuzuordnen und auch in einer entsprechenden Abfolge zu finden sind. Die Serviceblätter wurden im Unterricht erprobt und sind als Erweiterung, Variation und Differenzierung der Inhalte des Schülerbuches zu verstehen. Sie finden hier weiterführende Übungen, Spiele, Knobeleien, Bastelanleitungen und viele Aufgaben zur Förderung der Kompetenzen Begründen und Argumentieren. Die meisten Serviceblätter sind selbsterklärend. Der Kommentarteil beinhaltet jeweils einen Verweis auf das Serviceblatt (durch das < Pfeil-Symbol leicht zu finden), der auch einen Hinweis auf den optimalen Einsatz der Kopiervorlage bietet. Neben diesen kapitelbezogenen Serviceblättern befinden sich am Ende des Serviceteils auch 18 Kopiervorlagen, die jeweils als Hausaufgaben über den Verlauf einer Woche gedacht sind. In den Vorbemerkungen des Serviceteils befindet sich eine genaue Aufstellung über den möglichen Einsatz dieser Serviceblätter (vgl. Seiten S 2/3). Am Ende finden Sie die Lösungen derjenigen Serviceblätter, die keine Selbstkontrolle (etwa durch ein Lösungswort oder eine Partnerkontrolle) enthalten. Der Lösungsteil (Seite L 1 – L 76) Der dritte und letzte Teil des Servicebandes beinhaltet alle Lösungen des Schülerbuches. Die Reihenfolge ist die des Schülerbuches: Aufgaben der Auftaktseite, Einstiegsaufgaben der Lerneinheiten, Aufgaben, Sonderelemente wie Schaufenster und Methodenkästen, Aufgaben der Randspalte. Bei offenen Aufgaben haben wir meist beispielhafte Fragen und/oder Lösungen angegeben, die keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben. Bei einigen Aufgaben, die individuelle Lösungen einfordern und ermöglichen, haben wir auf die Angabe einer Lösung verzichtet. Der Lösungsteil des Servicebandes ist identisch mit den Inhalten des Lösungsheftes. Die Service-CD Der Einzug des Computers in den Unterricht und die Entwicklung grundlegender Fähigkeiten im Umgang mit neuen Medien ist nicht mehr allein Aufgabe eines speziellen Lehrgangs. Die informa­ tionstechnische Grundbildung soll im Zusammenspiel der verschiedenen Fächer und Fächerverbünde erworben werden. Diesem Ansatz will die Service- VI Vorbemerkungen CD als ein weiterer passgenau abgestimmter Baustein des Fachwerks Rechnung tragen. Die CD bietet demzufolge eine Fülle von Materialien, die Sie in der Vorbereitung und Durchführung Ihres Unterrichts unterstützen können: – Die Serviceblätter: Weitgehend identisch mit den Serviceblättern, die auch im Serviceband zu finden sind. Auf der CD finden Sie diese jedoch im praktikablen Word-Format, so dass Sie die angebotenen Inhalte nach Ihren Bedürfnissen verändern oder aus vorhandenen Aufgaben neue Kopiervorlagen zusammenstellen können. – Interaktive Arbeitsblätter in den Datei-Formaten Word, Excel, html oder auf Basis der interaktiven Mathematiksoftware Geonext (im Lieferumfang enthalten). Die Arbeitsblätter sind für den Einsatz im Unterricht konzipiert und technisch so auf der CD abgelegt, dass sie schnell auch ins Schulnetz überspielt werden können. – Werkzeuge, die Ihnen beim Erstellen von Vorla­ gen behilflich sind. So können Sie beispielsweise einen Zahlenstrahl, verschiedene Koordinatensysteme oder Netzdarstellungen von Körpern erstellen und als Kopiervorlagen aus­drucken. – Simulationen, Animationen und Fotos, die Gesprächsanlass bieten, um komplexe Fragestellungen anschaulich aufzugreifen. Bewusst wurde beim Erstellen der Medien auf Modularität einerseits und die Nutzung von Standardprogrammen andererseits geachtet, da dies den Einzug von IT-Bestandteilen in den Mathematikunterricht unterstützen soll. Die Service-CD ist so aufgebaut, dass Sie die Medien, die zu der momentanen Unterrichtssituation passen, problemlos und schnell finden können. Eine komfortable Suchfunktion, Vorschaugrafiken auf die Medien und die Nutzung der freigeschalteten Medien im Schulnetz runden das Konzept ab. Das Lösungsheft Im Sinne des eigenverantwortlichen und selbstständigen Lernens bieten wir für die Schülerinnen und Schüler und die Eltern ein Lösungsheft an, das ohne den Schulstempel im freien Verkauf erhältlich ist. Es ist identisch mit dem Lösungsteil des Servicebandes. DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 06.07.2009 14:24:27 Seite: 7 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Lerneinheit Kommen- Exemplarische Serviceblatt tarteil Kommentare und Exkurse Lösungen des Serviceblattes Lösungen Aufgaben Die mit K bezeichneten Seiten beziehen sich auf den Kommentarteil, die mit L bezeichneten Seiten verweisen auf den Lösungsteil am Ende des Servicebandes. Alle mit S bezeichneten Seiten definieren den Serviceteil in der Mitte des Buches. 1 Lineare Gleichungssysteme K 1 1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen K 3 2 Lineare Gleichungssysteme K 4 – Gleichungssysteme, K 1 – Einstiege, K 3 – Aufgaben, die das Verständnis fördern, K 5 L 1 < Lineare Gleichung mit zwei Variablen, S 4 S 65 L 1 < Grafische Lösung linearer Gleichungssysteme, S 5 < Das Problem mit den Preisen…, S 6 < Kärtchen wechsle dich, S 7 S 65 L 3 S 65 3 Lösen durch Gleichsetzen K 6 L 6 4 Lösen durch Addieren K 7 L 7 5 Modellieren mit linearen Gleichungssystemen K 8 6 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen* < Mit dem Taxi unterwegs, S 8 S 65 L 8 K 9 < Ungleichungen lösen, S 9 S 66 L 10 7 Systeme linearer Ungleichungen* K 10 < Zettelwirtschaft, S 10 S 66 L 11 8 Lineares Optimieren* K 11 Üben • Anwenden • Nachdenken K 12 L 14 2 Wurzeln K 14 L 18 1 Quadratwurzeln K 16 – Modellieren, K 8 – Grafische Lösungen mit dem Computer, K 13 – Quadratwurzeln, K 17 L 13 < Quadratwurzel-Puzzle: Radixt noch mal! (1), S 11 < Quadratwurzel-Puzzle: Radixt noch mal! (2), S 12 L 19 S 66 2 Bestimmen von Quadrat­ wurzeln K 18 – Sinnvoll runden, K 19 < Die Quadratur des Rechtecks, S 13 < Sinnvolles Runden, S 14 S 66 S 67 L 21 3 Multiplikation und Division K 22 – Typische Fehler beim Rechnen mit Wurzeln, K 22 < Rechenregeln für Wurzeln – Multiplikation und Division, S 15 < Tandembogen: Rechnen mit Wurzeln, S 16 S 67 L 22 4 Addition und Subtraktion* K 23 < Rechenregeln für Wurzeln – Addition und Subtraktion, S 17 S 67 L 23 5 n-te Wurzel K 24 < Wurzelrechnen – Partnerarbeitsblatt (1), S 18 < Wurzelrechnen – Partnerarbeitsblatt (2), S 19 S 67 L 24 S 67 Üben • Anwenden • Nachdenken K 26 L 25 3 Zinsen K 28 L 28 1 Zinsrechnung K 29 L 28 2 Zinseszins K 30 – Faustregel zur Kapitalverdopplungszeit, K 31 < Zinseszins – Schritt für Schritt: rechne und verstehe, S 20 < Zinseszins – mit dem Computer: einfach genial, S 21 S 68 < Zuwachssparen – Schritt für Schritt: rechne und verstehe, S 22 S 68 L 29 S 68 3 Zuwachssparen K 32 L 30 4 Kleinkredit K 33 L 31 Üben • Anwenden • Nachdenken K 34 L 33 Vorbemerkungen VII DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 06.07.2009 14:24:27 Seite: 8 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Lerneinheit Kommen- Exemplarische Serviceblatt tarteil Kommentare und Exkurse Lösungen des Serviceblattes Lösungen Aufgaben 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze K 35 1 Zentrische Streckung K 36 < Eigenschaften zentrischer Streckung, S 68 S 23 < 1-, 2-, 3-dimensional (1), S 24 S 68 < 1-, 2-, 3-dimensional (2), S 25 S 68 L 36 2 Ähnliche Figuren K 38 < Ähnlichkeitspuzzle, S 26 < Tandembogen: Ähnlichkeit, S 27 < Ähnlich?, S 28 < Selbstähnlich, S 29 L 39 L 36 S 69 S 69 < Tandembogen: Strahlensätze, S 30 L 41 < Geometrie im Gelände (1) – das Försterdreieck, S 31 < Geometrie im Gelände (2) – das Visierquadrat, S 32 < Geometrie im Gelände (3) – Bearbeitungsbogen, S 33 L 43 3 Strahlensätze K 40 4 Lesen und Lösen K 41 Üben • Anwenden • Nachdenken K 43 L 45 5 Satzgruppe des Pythagoras K 45 L 49 1 Kathetensatz K 47 – Den Kathetensatz beweisen, K 47 2 Höhensatz K 48 – Den Höhensatz beweisen, K 48 3 Satz des Pythagoras K 49 – Den Satz des Pythagoras beweisen, K 49 – Pythagoreische Zahlen, K 52 4 Satz des Pythagoras in geometrischen Figuren K 55 5 Anwendungen K 57 Üben • Anwenden • Nachdenken K 59 6 Pyramide. Kegel. Kugel K 62 – Stereometrie – Geschichte und Bedeutung, K 63 L 59 1 Prisma und Zylinder K 64 – Volumenberechnung zusammengesetzter Körper, K 65 L 59 2 Pyramide. Oberfläche K 66 – Pyramide, K 66 < Pyramidenmodell, S 41 S 73 L 60 3 Pyramide. Volumen K 67 –V olumenberechnung Pyramide, K 67 – Komponenten der Raumvorstellung, K 68 < Maximales Volumen, S 42 S 73 L 61 4 Kreisteile K 70 L 62 5 Kegel. Oberfläche K 70 L 63 6 Kegel. Volumen K 71 7 Kugel. Volumen K 72 8 Kugel. Oberfläche K 73 VIII Vorbemerkungen – Geometrie im Gelände, K 41 S 69 < Arithmetische Beweise, S 37 S 71 L 49 L 50 < Zerlegungsbeweise, S 34 < Ergänzungsbeweis, S 35 < Flächenumwandlung, S 36 < Pythagoreische Zahlentripel, S 38 < Pythagoreische Zahlentripel mit MS-Excel, S 39 S 70 S 70 S 71 S 71 S 71 L 51 L 52 < Knotenschnüre, S 40 S 72 L 53 L 55 < Streckenzüge auf Körpern, S 43 – Volumenberechnung der Kugel: Herleitung einer Formel, K 72 S 74 L 64 L 65 L 66 DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 06.07.2009 14:24:28 Seite: 9 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Lerneinheit Kommen- Exemplarische Serviceblatt tarteil Kommentare und Exkurse 9 Zusammengesetzte Körper K 74 Üben • Anwenden • Nachdenken K 75 Bewerbungstraining K 78 < Zusammengesetzte Körper, S 44 < Alles dreht sich, S 45 < Körper und Flächen, S 46 Lösungen des Serviceblattes Lösungen Aufgaben S 74 S 74 S 75 L 67 L 68 Treffpunkte L 72 Treffpunkt Beruf L 72 Treffpunkt Umwelt L 74 Kapitelübergreifendes < Wochenaufgaben 1–18, S 47–S 64 ab S 75 Vorbemerkungen IX DO01742692_KT_K00_Titelei_I_X.indd 06.07.2009 14:24:28 Seite: 10 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:57 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 12 – 39 1 Lineare Gleichungssysteme Kommentare zum Kapitel In Kapitel 7 Lineare Funktionen des Schülerbandes 8 wurde ein expliziter Funktionsbegriff erarbeitet. Dabei wurden entsprechend dem Lehrplan lineare Gleichungen durch grafische Lösungsverfahren und Äquivalenzumformungen gelöst. Die dort erlernten Verfahren werden nun auf lineare Gleichungssys­ teme mit zwei Gleichungen und zwei Lösungsva­ riablen übertragen. Dabei werden die Vorteile der rechnerischen Lösungsverfahren gegenüber dem grafischen Lösen verdeutlicht sowie die Effizienz verschiedener Verfahren untersucht. An geeigneten Stellen können elektronische Hilfsmittel wie z. B. Tabellenkalkulation und Funktionsplotter eingesetzt werden. Eingangs sollten die Lernenden über drei Grundvorstellungen verfügen (nach mathematik lehren, Heft 118: Grundvorstellungen entwickeln, ­Erhard Friedrich Verlag, Velber 2003, Seite 6): –Zuordnungsvorstellung – Abhängigkeit von verschiedenen Größenbereichen (Warenmenge – Preis), –Kovariationsvorstellung – Dynamik durch Verän­ derung (veränderte Warenmenge führt zu einem veränderten Preis), –Objektvorstellung – gemeinsame Veränderungen der beteiligten Größen (Zusammenhang zwi­ schen Warenmenge und Preis). Zur Behandlung des Kapitels sollten die Schülerin­ nen und Schüler außerdem folgende Fähigkeiten besitzen: –verbale Beschreibung einer mathematischen ­Situation, –symbolische Repräsentation der Situation durch eine Funktionsgleichung, –arithmetische Umsetzung in eine Wertetabelle, –grafische Darstellung in einem Koordinaten­ system. Intention und Schwerpunkt des Kapitels In Lerneinheit 1 Lineare Gleichungen mit zwei Vari­ ablen werden Zahlenpaare als Lösung einer Glei­ chung mit zwei Variablen betrachtet. Die zeichnerische Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden steht in der Lerneinheit 2 Lineare Gleichungssysteme im Vordergrund. Algebraische ­Lösungsverfahren werden in den Lerneinheiten 3 Lösen durch Gleichsetzen und 4 Lösen durch Addie­ ren vermittelt. Lerneinheit 5 Modellieren mit linearen Gleichungs­ sys­temen macht mit der Darstellung des Kreislaufes beim mathematischen Modellieren und durch ge­ eignete Aufgaben deutlich, dass Gleichungssysteme für die Lösung vieler Alltagsprobleme gebraucht werden. Die Inhalte der Lerneinheiten 6 – 8 sind im Lehrplan nicht verbindlich vorgesehen. In den Hinweisen zur Vernetzung findet sich jedoch der Verweis zum linearen Optimieren als eine Möglichkeit, situiertes Lernen zu verwirklichen. Gemäß verbindlicher Vor­ gabe des Lehrplans ist in jedem Schuljahr mindes­ tens eine Unterrichtssequenz zum situierten Lernen durchzuführen. Vorgeordnete Inhalte zur Behand­ lung des linearen Optimierens sind lineare Unglei­ chungen und Ungleichungssysteme, diese werden in den Lerneinheiten 6 und 7 behandelt und berei­ ten somit das lineare Optimieren vor. Exkurs Gleichungssysteme In Mesopotamien wurde folgende ca. 4000 Jahre alte Aufgabe gefunden: „Ein Viertel der Breite zur Länge addiert ergibt 7 Handbreiten, Länge und Breite addiert macht 10 Handbreiten.“ Erst wesentlich später nutzte der Mathematiker und Philosoph René Descartes (1596 – 1650) als Erster die Variablen x und y für die Darstellung von unbekannten Größen. Somit ist es möglich, die oben genannte Aussagen mit x und y darzu­ stellen: _41 x + y = 7 x + y = 10 Ähnliche Aufgaben zum Themenbereich Glei­ chungssystem sind uns von unterschiedlichsten Orten und aus verschiedenen Zeiten überliefert, z. B. aus Ägypten, Griechenland und China. Es handelt sich also um ein sehr berühmtes Problem der Mathematik, zumal Varianten die­ ses Aufgabentyps auch bei den Indern, bei den Arabern in Byzanz und schließlich bei fast allen Mathematikern in Europa zu finden sind. Die Thematik linearer Gleichungssysteme ist glei­ chermaßen innerhalb der Geometrie und in der Algebra anzusiedeln. Geometrische Anschauung erfordert algebraische Argumentation. Umge­ kehrt impliziert algebraisches Vorgehen eine geometrische Anschauung. Für Schülerinnen und Schüler bietet die Thematik gute Möglichkeiten, Zusammenhänge zwischen den angesprochenen mathematischen Bereichen zu erkennen und da­ mit umzugehen. 1 Lineare Gleichungssysteme K 1 DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:57 Seite: 2 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 12 – 39 Zum Beispiel: –geometrischen Objekten (Punkt, Gerade) wer­ den arithmetische Objekte (Zahlen, Zahlen­ paare) zugeordnet, –den geometrischen Beziehungen (Inzidenz, Kongruenz, Anordnung von Punkten auf einer Geraden) werden arithmetische Beziehungen (Gleichheit, Größerbeziehungen von Zahlen) zugeordnet. Bezug zu den Bildungsstandards Leitidee funktionaler Zusammenhang: Die Schülerin­ nen und Schüler können –Funktionen als Mittel zur Beschreibung von Zu­ sammenhängen verstehen und nutzen. –die Veränderung von Größen und deren Abhän­ gigkeiten durch Funktionen beschreiben und darstellen. –grafische Darstellungen und Tabellen lesen und auswerten. –verschiedene Darstellungsformen von Funktio­ nen situationsbezogen einsetzen und verglei­ chen. –zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen benennen. Leitidee Zahl: Die Schülerinnen und Schüler können –mit Variablen als typisch mathematischen Ele­ menten umgehen. –symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt. Leitidee Modellieren: Die Schülerinnen und Schüler können –Situationen angemessen modellieren. –Modelle verschiedenen Situationen zuordnen. –Darstellungen erfassen und interpretieren, Infor­ mationen entnehmen und verarbeiten. –mit dem Gleichheitszeichen korrekt umgehen. Präsentations- und Referatsthemen 1. Was kostet der Führerschein? Recherche bei diversen Fahrschulen anstellen lassen; Preisvergleich bei unterschiedlich vielen Fahrstunden (vgl. Schülerbuchseite 13). 2. Break-even-Point Kosten-Nutzen-Frage bei einem ausgewählten Produkt mit eigener Recherche (vgl. Schülerbuch­ seite 27). K 2 1 Lineare Gleichungssysteme Auftaktseite: Größer, kleiner, gleich Alle Aufgabenstellungen der Auftaktseite beziehen sich auf Situationen, die aus dem unmittelbaren Alltag zumindest einiger Schülerinnen und Schüler stammen. Gerade Mädchen in diesem Alter stellen häufig gerne Schmuck selbst her und dürften daher schon ähnliche Überlegungen wie Cora angestellt haben. Häufig versuchen die Lernenden bei Aufgaben wie auf der linken Auftaktseite, mit den gegebenen Einschränkungen genau die maximal verfügbare Meterzahl (bzw. Zentimeterzahl) zu erreichen. Die­ se Aufgabenstellung entspricht dem Lösen einer Gleichung mit zwei Unbekannten. Im Sinne der Lern­ einheit 6 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen* kann jedoch darauf hingewiesen werden, dass sich die Zahl der Lösungen erhöht, wenn man auch Reste (an Bandenstücken bzw. Draht) zulässt. Diese Überlegung kann – auch an anderen Stellen in der Mathematik und bei der Modellbildung – zu einer größeren Beweglichkeit des Denkens führen und verbessert so die Problemlösefähigkeit. Was kostet der Führerschein? Die Schülerinnen und Schüler nutzen zur Beantwor­ tung der Frage aus dem eigenen Alltag die bereits bekannten heuristischen Strategien Wertetabelle und Schaubild. Bei der Präsentation einer Lösung sollte von den Lernenden eine ausführliche Begrün­ dung angegeben werden (Argumentieren und Be­ gründen als zentrale Kompetenzen eines modernen Mathematikunterrichts). DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:57 Seite: 3 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 12 – 14 Exkurs Einstiege “You never get a second chance to make the first impression.” Die Unterrichtseinheit zum Thema lineare Glei­ chungen mit zwei Variablen kann auf einer abstrakten Ebene angelegt werden. Für das ei­ gentliche Verstehen sind jedoch Begegnungen, Anschauungen, Handlungen und Ähnliches not­ wendig. Die Einstiegsaufgaben der beiden ersten Lern­ einheiten regen einen solchen Unterrichtsein­ stieg an. Ein passender und gekonnt initiierter Unterrichts­einstieg ist für einen erfolgreichen Mathematikunterricht mitentscheidend. Das gilt sowohl für ein neues Thema als auch für eine einzelne Unterrichtsstunde. Dazu einige Anregungen nach Bärbel Barzel in: mathematik lehren 109: Einstiege, Erhard Fried­ rich Verlag, Velber 2001, Seite 4 f.: Schaffung eines kognitiven Konflikts: Durch provozieren, aufzeigen von Widersprüchen, etwas in Zweifel ziehen, Verwirrung stiften usw. lassen sich Schülerinnen und Schüler motivieren, sie stellen ihrerseits Vermutungen, Hypothesen und Aussagen in den Raum. Hat sich eine Schülerin bzw. ein Schüler erst einmal mit einer Aussage festgelegt, ist er sehr daran interessiert, wie gut er getippt hat. Zeigen eines Bildes, einer Grafik, eines ­Modells: Schon das nonverbale Zeigen geeig­ neter Materialien – stummer Impuls – erzeugt beim Lernenden Interesse und fordert ihn zur persönlichen Disposition heraus. Einspielen einer Filmsequenz oder eines ­Programmausschnitts: Die dynamischen Geo­ metriesysteme bieten zahlreiche Möglichkeiten der Veranschaulichung. Experiment oder Handlung: Physikalische Ex­ perimente nehmen den fächerübergreifenden Aspekt auf und geben Impulse für mathemati­ sche Überlegungen. Das mit Flüssigkeit gefüllte Becherglas lässt bei Rotation eine Parabel „er­ scheinen“, die ihre Form in Abhängigkeit von der Drehzahl verändert. Finde eine Ordnung: Gegenstände, Bilder, Modelle usw. werden vorgezeigt und Fragestellun­ gen nach dem Vorliegen einer gemeinsamen Ordnung bzw. dem Nichtvorliegen einer solchen Ordnung stoßen beim Lernenden strukturierende Denkprozesse an. 1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Intention der Lerneinheit –lineare Gleichungen als Gleichungen mit zwei Variablen kennen –Lösungen linearer Gleichungen als Zahlenpaare erfassen Einstiegsaufgabe Die offene Aufgabenstellung greift das zweite The­ ma der Auftaktseite auf und regt zum enaktiven Probieren an. Durch das Anlegen einer Tabelle kön­ nen das Probieren systematisiert und der mathe­ matische Zusammenhang stärker herausgearbeitet werden. Alternativer Einstieg Folgende Aufgabenstellung bietet einen stärker all­ tagsbezogenen Zugang zum Thema: Aufgabenstellung: „Tobias will für sein Kaninchen einen rechteckigen Auslauf an eine Hauswand bauen. Ihm stehen sie­ ben Meter Zaun zur Verfügung.“ Die Beantwortung der Frage sollte zunächst offen angegangen werden: Die Schülerinnen und Schüler erkennen durch Ausprobieren, dass es mehrere sinnvolle Lösungen gibt. Anschließend wird erar­ beitet, dass man alle denkbaren Lösungen mithilfe einer linearen Gleichung und dem entsprechenden Schaubild darstellen kann. Tipps und Anregungen für den Unterricht Das < Serviceblatt „Lineare Gleichungen mit zwei Variablen“, Seite S 4, bietet passende Übungen zur Lerneinheit und vertieft das Wissen über die Exis­ tenz von Lösungspaaren bei Gleichungen mit zwei Variablen. 1 Lineare Gleichungssysteme K 3 DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:57 Seite: 4 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 15 – 17 Aufgabenkommentare auftreten und eine Vielzahl von Lösungspaaren möglich ist. Die Teilaufgaben b) und c) greifen auf weitere Körper zurück und eignen sich zur Ver­ tiefung. Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3 Operative Übungen: A 4; 5; 6; 7; 10 Kumulative Aufgaben: A 8 Komplexe Aufgaben: A 9 Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: A 11 2 Lineare Gleichungssysteme 1 bis 5 Die Aufgaben greifen unterschiedliche Ein­ zelaspekte einer vollständigen Lösungsdarstellung auf: Aufgabe 1 geht von einer realen Situation aus und zielt auf das Finden mehrerer Lösungspaare ab. Das Aufstellen einer Gleichung ist nicht notwendig. Aufgabe 2 setzt dem Finden von Lösungspaaren die Erstellung einer einfachen Gleichung voraus. Ausgehend von einer Gleichung sollen in Aufgabe 3 Lösungspaare gefunden werden. Die Existenz einer Vielzahl von Lösungen bei einer Grundmenge, die nicht beschränkt ist, sollte im Unterricht bei dieser Aufgabe angesprochen werden. Die Hinweise in Aufgabe 4 ermöglichen dem Lernenden eine zeich­ nerische Darstellung, die wiederum interpretiert werden sollte, und zwar in dem Sinne, dass jeder Punkt der Geraden ein Lösungspaar darstellt. Die Umformungen in Aufgabe 5 stellen die Verbindung zur linearen Funktion und deren grafischer Darstel­ lung her. Einstiegsaufgabe Die Schülerinnen und Schüler stellen die Lösungen eines Alltagsproblems in einem Schaubild (Vorsicht: Punkte nicht verbinden!) dar und erkennen, dass es ein Zahlenpaar gibt, das beide Bedingungen erfüllt. Dadurch entdecken die Lernenden den Schnitt­ punkt zweier linearer Funktionen, ohne explizit de­ ren Funktionsgleichungen aufzustellen und formal ein Gleichungssystem zu lösen. 6 und 7 Beide Aufgaben setzen ein Verständnis für Zahlenpaare als Lösungen einer Gleichung mit zwei Variablen voraus. Randspalte Ein spielerischer Zugang zur Findung von Gleichun­ gen mit zwei Variablen ist hier beschrieben. Das Würfelergebnis ergibt jeweils die beiden Koeffi­ zienten von x bzw. y. Als Sozialform zur Bearbeitung dieser Aufgabe eignet sich die Partnerarbeit. 8 Diese Aufgabe ermöglicht durch den Bezug zu besonderen Vierecken kumulatives Lernen: Die Ler­ nenden müssen sich mit den Eigenschaften der in Klasse 7 behandelten Figuren erneut auseinander­ setzen. 9 Die Summe aller Kanten des regelmäßigen drei­ seitigen Prismas lässt sich als Formel so darstellen: k = 6 a + 3 c. Die Aufgabe vernetzt Kenntnisse aus der Stereo­ metrie mit algebraischen Inhalten und macht deut­ lich, dass auch hier Gleichungen mit zwei Variablen K 4 1 Lineare Gleichungssysteme Intention der Lerneinheit –lineare Gleichungssysteme kennen –Lösungen linearer Gleichungssysteme durch eine Wertetabelle oder den Schnittpunkt der beiden Geraden finden –Sonderfälle betrachten –Anwendungssituationen mit linearen Gleichungs­ systemen modellieren Tipps und Anregungen für den Unterricht –Die Auseinandersetzung mit der grafischen Lösung eines Gleichungssystems vermittelt an­ schaulich Einsichten und bildet die Grundlage für die algebraischen Lösungsverfahren. Das < Serviceblatt „Grafische Lösung linearer Gleichungssysteme“, Seite S 5, bietet entspre­ chende Aufgaben. –Bei der Bearbeitung des < Serviceblattes „ Das Problem mit den Preisen“, Seite S 6, werden beim Abwägen und Vergleichen von Preisen das Auf­ stellen von Funktionsgleichungen und die Inter­ pretation einer grafischen Darstellung geübt. –Das < Serviceblatt „Kärtchen wechsle dich“, Sei­ te S 7, bietet eine Folienvorlage für die Erstellung eines Quartetts. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln hier auf der Grundlage eines Bei­ spiels verschiedene Quartettkarten. –Unterschiedliche Geschwindigkeiten von Fahr­ zeugen lassen sich zeichnerisch anschaulich in einem Koordinatensystem darstellen. Ein Ein­ stieg in die Lerneinheit über diesen realen Bezug ist denkbar. Die Interpretation des Schaubildes, der Steigung, des Schnittpunktes usw. stellen ei­ nen Bezug zur Realität dar. Weitere Anregungen dazu finden sich in dem Methodenfenster Treff­ punkte (Schülerbuchseite 19). DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:57 Seite: 5 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 16 – 17 Exemplarischer Kommentar Aufgaben, die das Verständnis fördern Damit ein komplexer Sachverhalt tatsächlich ver­ standen werden kann, müssen bestimmte Aufga­ bentypen durchlaufen werden. Das Schülerbuch ermöglicht ein entsprechendes Vorgehen, das im Folgenden exemplarisch anhand der Übungs­ aufgaben zur Lerneinheit 2 Lineare Gleichungs­ systeme aufgezeigt wird. Grundaufgaben dienen zum Identifizieren oder Realisieren grundlegender Zusammenhänge und Verfahren. Zusätzlich ermöglichen sie im Sinne eines automatisierenden Übens das Erlernen von Fertigkeiten. Beispiel: Schülerbuchseite 18, Aufgabe 1. Das Ziel des automatisierenden Übens ist die immer schnellere und sicherere Beherrschung der entsprechenden Fertigkeit. Hierdurch wird das Gedächtnis nicht nur bei Routineaufgaben, sondern auch bei entsprechenden komplexeren Aufgaben entlastet und die Lernenden können sich auf die sichere Durchführung vom Rechen­ algorithmus konzentrieren. Eine zu große Anzahl gleichförmiger Übungsaufgaben führt jedoch zum Aufbau starrer Lösungsschemata und lang­ weilt die leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler. Operative Übungen dienen dem Erwerb von Wissensnetzen und Fähigkeiten. Sie sollen das bewegliche mathematische Denken schulen, das das Erkennen von Zusammenhängen und die Anwendung der Gesetzmäßigkeit ermöglicht. Bei operativen Aufgaben unterscheidet man ver­ schiedene Typen: 1. Umkehraufgaben: Beispiel: Schülerbuchseite 19, Aufgabe 13. 2. Transversale Aufgaben: Bei ihrer Lösung sol­len strukturelle Unterschiede oder Gemeinsam­ keiten erkannt werden. Beispiel: Schülerbuch­ seite 19, Aufgabe 12. 3. Kompositorische Aufgaben sind Aufgaben, bei denen zur Lösung mehrere Regeln oder Verfahren angewendet werden müssen. ­Beispiel: Schülerbuchseite 18, Auf­gabe 3. 4.Variierenden Aufgaben: Variation der Daten, um Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. Beispiel: Schülerbuchseite 18, Aufgabe 5. 5.Aufgaben zur Abgrenzung der Regel. Beispiel: Schülerbuchseite 19, Aufgabe 11. Kumulative Aufgaben verbinden den neuen mit dem alten Stoff. Beispiel: Schülerbuchseite 18, Aufgabe 7. Komplexen Aufgaben fehlt die anschauliche Grundlage. Beispiel: Schülerbuchseite 19, Auf­ gabe 14. Anwendungsaufgaben: Beispiel: Schülerbuch­ seite 18, Aufgabe 8. Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: Beispiel: Schülerbuch­seite 19, Aufgabe 12. Hinweis: Die Aufgabenzuordnungen sind nicht eindeutig, da die Aufgaben auch mehrere Kriterien erfüllen können. Es ist für die Praxis aber wichtig zu wissen, dass das Weglassen von einzelnen Aufgabentypen nur kurzfristig eine Zeitersparnis bringt. Die mathe­ matischen Inhalte werden dann nicht sicher und anwendbar verankert. Als Folge treten Regel­ verwechslungen und Anwendungsfehler auf, die mit hohem Zeitaufwand aufgearbeitet werden müssen. Im Sinne eines verständnisorientierten Mathema­tikunterrichts sollten die Aufgaben im Schülerbuch nicht stur nach Reihenfolge abgear­ beitet werden. Die gleichartigen Aufgabentypen innerhalb einer Aufgabe würden zu einem rein mechanischen Anwenden des jeweils geltenden Lösungskalküls führen. Im Unterricht und auch in den Hausaufgaben sollten möglichst unter­ schiedliche und dem aktuellen Lernstand ange­ messene Aufgabentypen gestellt werden. 1 Lineare Gleichungssysteme K 5 DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:58 Seite: 6 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 18 – 21 Aufgabenkommentare 3 Lösen durch Gleichsetzen Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 6 Operative Übungen: A 3; 5; 11; 12; 13 Kumulative Aufgaben: A 4; 7 Anwendungsaufgaben: A 8; 9; 10; Methoden­ fenster Treffpunkte Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: A 14 Intention der Lerneinheit – lineare Gleichungssysteme mithilfe des Gleich­ setzungsverfahrens lösen 1 bis 5 Aufgaben, die mit unterschiedlichen As­ pekten und steigendem Schwierigkeitsgrad die grafische Lösung eines Gleichungssystems üben und vertiefen. Das Erstellen einer Tabelle sollte punktuell dennoch immer wieder erfolgen, um die Existenz von vielen Zahlenpaaren zu verdeutlichen, von denen nur ein Zahlenpaar übereinstimmt. Tipps und Anregungen für den Unterricht Trotz des algebraischen Schwerpunkts dieser Lern­ einheit, sollte der grafische Bezug nicht ganz aus dem Blick geraten, das heißt, es sollte darauf hin­ gewiesen werden, dass beide Koordinaten eines Schnittpunktes berechnet werden müssen. So lässt sich verhindern, dass Schülerinnen und Schüler beim algebraischen Bestimmen der Lösung die Be­ rechnung des zweiten Wertes vergessen. 6 Die Aufgabe bietet einen Anlass, um im Unter­ richt über die Genauigkeit einer grafischen Darstel­ lung zu sprechen und könnte somit auch bereits eine Überleitung zu einem algebraischen Lösungs­ verfahren sein, wie es in der nächsten Lerneinheit angesprochen wird. 7 bis 10 Mit der Mathematik lassen sich viele Fra­ gen des Alltags beantworten: In den Aufgaben wird eine reale Situation vorgestellt. Die Übersetzung dieser Realsituationen in die Sprache der Mathema­ tik bereitet den Schülerinnen und Schülern häufig Probleme: Das Entkleiden der Aufgabe, das Heraus­ finden der mathematisch relevanten Informationen und das Entdecken des mathematischen Modells muss thematisiert, erarbeitet und geübt werden. 8 In der offen gestellten Aufgabe fehlen Informa­ tionen, z. B. die Anzahl der Urlaubstage. Die Schülerinnen und Schüler sollten dies bei einer vollständigen Lösung berücksichtigen und wenn möglich sogar den „Break-even-Point“ bestimmen (vgl. Schülerbuch Seite 27). 11 bis 14 Die Bearbeitung der Aufgaben setzt die Behandlung der Sonderfälle voraus. Die sehr ausführliche und verständliche Darstellung dieser Thematik (Schülerbuchseite 17) könnte von Schüle­ rinnen und Schülern auch eigenständig erarbeitet (Lernende präsentieren die Sonderfälle vor der Klasse) und bei diesen Aufgaben angewandt werden. K 6 1 Lineare Gleichungssysteme Einstiegsaufgabe Ungeeignete Zahlenwerte in einem Gleichungssys­ tem und Ungenauigkeiten beim Ablesen der Lösung aus einem Schaubild sind Gründe für algebraische Lösungsverfahren, die mittels der Einstiegsaufgabe vermittelt werden können. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 5 Operative Übungen: A 8; 9; 10; 11 Kumulative Aufgaben: A 6; 7; 12; 13; 15 Komplexe Aufgaben: A 14 Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: Info-Kasten Lösen durch Einsetzen 1 Die Balkenwaage als ein bekanntes Modell zur Veranschaulichung von Äquivalenzumformungen wird aufgegriffen und zur Veranschaulichung des Gleichsetzungsverfahrens genutzt. 2 bis 6 Ziel dieser Aufgaben ist es, beim Lernen­ den ein routiniertes Arbeiten mit dem Gleichset­ zungsverfahren zu erreichen. Die Aufgaben 4 bis 6 fordern weitere Überlegungen, sie verhindern rein automatisiertes Arbeiten und fördern dadurch das Verständnis. 7 Etwas ungewohnt ist bei dieser Aufgabe der Umgang mit Variablen, die nicht x und y heißen. Dies fordert vom Lernenden eine Neuorientierung und sorgfältige Prüfung, nach welcher Variablen zunächst aufgelöst werden soll. DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:58 Seite: 7 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 21 – 24 10 Die angesprochene Rechnung erfordert zunächst das Aufstellen der beiden Funktions­ gleichungen über Achsenabschnitte und Stei­ gungswerte. Die nachfolgende Berechnung durch Gleichsetzen liefert dann den exakten Schnittpunkt. Mit dieser Aufgabe kann die Qualität einer zeich­ nerischen bzw. rechnerischen Lösung thematisiert werden. Lösen durch Einsetzen Das Einsetzungsverfahren stellt eine sinnvolle Ergänzung zu den bereits bekannten Lösungsver­ fahren dar. Es ist anspruchsvoller als das Gleich­ setzungsverfahren, da der Lernende hier jede Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere Gleichung einsetzen kann. Dadurch ergeben sich vier unterschiedliche Möglichkeiten, während das Gleichsetzungsverfahren nur zwei Möglichkeiten zulässt. 4 Lösen durch Addieren Intention der Lerneinheit – lineare Gleichungssysteme mithilfe des Additi­ onsverfahrens lösen Einstiegsaufgabe Das Additionsverfahren lässt sich in geeigneter Weise mit der Darstellung einer Balkenwaage einführen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren die Elimination einer Variablen auf anschauliche Art, das heißt, die Operation des Addierens wird durch das in der Aufgabenstellung beschriebene Zusammen­legen der jeweiligen Waagschalen enak­ tiv ausgeführt. Alternativer Einstieg Aufgabenstellung für die Lernenden anhand der ­folgenden Abbildung: a) x x y y y y y x x x y y b) 3x + 5y 7 5x – 5y 9 3x + 5y 7 5x – 5y 9 „Die linke und die mittlere Rolle sind jeweils im Gleichgewicht. Begründe: Auch die rechte Rolle ist im Gleichgewicht. Gib für die Situationen an den Rollen jeweils eine Gleichung an. Wie kann man sich die Gleichung, die der rechten Rolle entspricht, aus den Gleichungen, die der linken bzw. mittleren Rolle entsprechen, entstanden denken? Lassen sich mit den Gleichungen x und y berechnen?“ Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4 Operative Übungen: A 5; 6; 7 Anwendungsaufgaben: A 8 Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: Knobelfenster Gleichungsketten 1 Die Balkenwaage als ein bekanntes Modell zur Veranschaulichung von Äquivalenzumformungen wird aufgegriffen und zur Demonstration des Addi­ tionsverfahrens genutzt. 2 bis 4 und 6 Diese Aufgaben sind Übungen, die ein routiniertes Ausführen des Additionsverfahrens intendieren. 7 Die Sonderfälle können hier von den Schülerin­ nen und Schülern „entdeckt“ werden. x y y y 1 kg 1 kg 1 Lineare Gleichungssysteme K 7 DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:59 Seite: 8 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 25 5Modellieren mit linearen Gleichungssystemen Intention der Lerneinheit – Modellierung mittels Gleichungssystemen Exkurs Modellieren (Teilweise entnommen der Internetpräsentation des Realschulseminars Schwäbisch Gmünd; Autor: Karl Handschuh.) Das Modellieren wird als eine der zentralen Kom­ petenzen des Lehrplans durch eine eigene Leitidee hervorgehoben. Der Modellbildungsvorgang erhält damit eine große Bedeutung für den Mathematik­ unterricht. Dieser Modellbildungsvorgang erfolgt zyklisch und beinhaltet als zentrale Tätigkeiten das Übersetzen zwischen vier Bereichen: Zunächst gilt es zwischen der Welt der Mathema­ tik einerseits und der realen Welt andererseits zu unterscheiden. Häufig verläuft der Kreislauf im Ma­ thematikunterricht verkürzt, weil die realen Situationen derartig komplex und unüberschaubar sind, dass die Schülerinnen und Schüler den Prob­ lemlöseprozess nicht erfolgreich bewältigen könn­ ten. Deshalb beginnt der Kreislauf in vielen Schul­ büchern mit vereinfachten Aufgabenstellungen. Als Kernelement des Modellierungsprozesses gilt die Übersetzung in Terme, Gleichungen, Gleichungssys­ teme oder Folgen von Einzelverknüpfungen. Des­ halb wird dieser Übergang als Modellierungsphase im engeren Sinne bezeichnet. Eine andere Beschrei­ bung des Übersetzens vom realen Modell zur Ope­ ration lautet in der Mathematikdidaktik „mathema­ tisieren“. Hier gilt es, das mathematisch Relevante vom Unwichtigen zu trennen. Folgende Grafik veranschaulicht den Modell­ bildungsvorgang: Welt der Mathematik Reale Welt Eingekleidete Aufgabe Reales Modell modellieren in Schritten ver ifiz iere n ide abstrahieren idealisieren Reale Situation Operation ntif validieren verarbeiten izie ren interpretieren Lösung Modellierungskreislauf (nach Karl Handschuh) Mathematisches Modellieren auf den drei Niveaus lässt sich wie folgt darstellen: Niveau A –vertraute und direkt erkenn­ bare Modelle nutzen –einfachen Erscheinungen aus der Erfahrungswelt ­mathematische Objekte zu­ ordnen –Ergebnisse an der Realsitua­ tion überprüfen K 8 1 Lineare Gleichungssysteme Niveau B –Modellierungen in mehre­ ren Schritten vornehmen –Ergebnisse einer Modellie­ rung interpretieren und an der Ausgangssituation prü­ fen –einem mathematischen Mo­ dell passende Situationen zuordnen Niveau C –komplexe oder unvertraute Situationen modellieren –verwendete mathematische Modelle (wie Formeln, Glei­ chungen, Darstellungen von Zuordnungen, Zeichnungen, strukturierte Darstellungen, Ablaufpläne) reflektieren und kritisch beurteilen DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:59 Seite: 9 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 25 – 29 Einstiegsaufgabe Von einer überschaubaren Realsituation ausgehend werden die einzelnen Schritte des mathematischen Modellierens ausführlich vorgestellt. Die vier Stu­ fen: übersetzen, lösen, interpretieren und bewerten sollten ausführlich behandelt werden, um die Lö­ sekompetenz bei solchen Aufgaben zu entwickeln und zu verbessern. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Anwendungsaufgaben: A 1; 2; 3 Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: Info-Kasten „Break-even-Point“ Tipps und Anregungen für den Unterricht Das < Serviceblatt „Mit dem Taxi unterwegs“, Seite S 8, vertieft die Kenntnisse über Gleichungs­ systeme und fordert neben der mathematischen Berechnung der unterschiedlichen Preise auch die Überprüfung der Ergebnisse bezüglich der Wirklich­ keit. 1 bis 3 Aufgabenstellungen, die über Niveau A (vgl. Tabelle Seite K 8) hinausgehen und so erhöhte Anforderungen an den Lernenden stellen. „Break-even-Point“ Aufgabenstellungen dieser Art intendieren in hohem Maße eine Vernetzung von Mathematik und Realität. 6Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen* Intention der Lerneinheit –lineare Ungleichungen als Ungleichungen mit zwei Variablen kennen –Lösungen von linearen Ungleichungen als ­Halb­ebenen oder Teilmengen von Halbebenen erfassen –die Randgeraden als Lösungsmengen der zuge­ hörigen Gleichungen erfassen –grafische Darstellungsformen zu den Lösungs­ mengen der unterschiedlichen Relationen ­kennen Einstiegsaufgabe Die offen gehaltene Aufgabenstellung regt zu­ nächst zum Probieren an. Durch das Anlegen einer Tabelle kann das Vorgehen systematisiert werden und es können die mathematischen Zusammen­ hänge verdeutlicht werden. Neu ist gegenüber den linearen Gleichungen mit zwei Variablen, dass es zu jeder Einsetzung für die eine Variable mehrere mögliche Einsetzungen für die andere Variable gibt, je nach Grundmenge sind es unendlich viele. Tipps und Anregungen für den Unterricht Das < Serviceblatt „Ungleichungen lösen“, Seite S 9, bietet geeignte Übungen zur Lerneinheit. Hier werden zunächst die grafischen Darstellungs­ formen von Lösungen linearer Ungleichungen wiederholt, die erforderlichen Umformungen zum Lösen linearer Ungleichungen gesichert und einfa­ chere Sachaufgaben bearbeitet. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 3; 4 Operative Übungen: A 2; 5; 7 Kumulative Aufgaben: A 6; 8 1 und 2 Die Aufgaben festigen den Zusammen­ hang zwischen gegebenen Ungleichungen mit zwei Variablen bzw. den damit gegebenen Halbebenen und ausgewählten Lösungen der Ungleichungen. 1 Die Aufgabe zielt auf das Nennen von Lösungen und Lösungspaaren aus dem Kopf ab. Hier werden bewusst Ungleichungen mit einer Variablen und solche mit zwei Variablen vermischt. Es ist zu be­ achten, dass im ersten Fall Zahlen als Lösungen in Frage kommen, im zweiten Fall (geordnete) Zahlen­ paare. 3 bis 7 Die Aufgaben fördern das Verständnis der Zusammenhänge zwischen Ungleichungen, deren grafischer Darstellung, den zugehörigen Randgera­ den und den Lösungen. 3 Hier werden zunächst elementare Zeichentech­ niken trainiert. Es muss beachtet werden, dass Randgeraden zu Ungleichungen mit der Kleineroder Größerrelation gestrichelt gezeichnet werden, um zu zeigen, dass die Punkte der Randgeraden nicht zu den Lösungen gehören. Bei den Relationen kleiner gleich und größer gleich wird die Randge­ rade durchgehend gezeichnet. Durch zusätzliche Vorgaben zu den Grundmengen kann bereits der Aspekt eingebracht werden, dass nur Gitterkreuze (bei den Grundmengen N, Z) oder aber die mar­ kierten Halb­ebenen (bei den Grundmengen Q, R) gezeichnet werden müssen. 1 Lineare Gleichungssysteme K 9 DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:59 Seite: 10 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 29 – 31 4 Diese Aufgabe beleuchtet den Zusammenhang zwischen Halbebene (Repräsentant der Unglei­ chung) und Randgerade (Repräsentant der zugehö­ rigen Gleichung). 5 Hier müssen die Lösungsmengen eines Systems von Ungleichungen gezeichnet werden und damit die Schnittmenge der einzelnen Lösungsmengen. 7 Kenntnisse über lineare Gleichungen und die Bedeutung der Parameter m und b für Steigung und Ordinatenabschnitt werden aktiviert. 8 Diese Aufgabe trainiert den Umgang mit verba­ len Beschreibungen von Punkten, Geraden und Hal­ bebenen im Koordinatensystem bzw. in den Quad­ ranten. Die Übersetzung in Ungleichungen fordert und fördert das Verständnis des Zusammenhangs von geometrischer („obere Halbebene“) und algeb­ raischer („alle Zahlenpaare mit positivem y-Wert“) Sichtweise sowie die Interpretation „x – horizontal und y – vertikal“. 7Systeme linearer Ungleichungen. Planungsgebiete* Intentionen der Lerneinheit – die Lösungsmenge linearer Ungleichungssyste­ me als Schnittmenge der Lösungsmengen der einzelnen Ungleichungen erkennen – für die Darstellung der grafischen Lösung eines Ungleichungssystems den Begriff Planungs­ gebiet kennen – die Zugehörigkeit der Randgeraden und Eck­ punkte des Planungsgebietes zur Lösungsmenge deuten können Einstiegsaufgabe Die Aufgabenstellung regt zunächst wieder zum Probieren an. Ohne Einbezug der Nutzlasten und Laderäume ist die Aufgabe mit den in der voran­ gegangenen Lerneinheit gewonnenen Fertigkeiten ohne zusätzliche Hilfsmittel lösbar. Nun müssen jedoch zu den intuitiv gefundenen möglichen Lö­ sungen die einschränkenden Bedingungen heran­ gezogen werden. Damit wird die Gesamtsituation recht komplex und ein reines Lösen im Kopf damit wenig zielführend. Als erstes Hilfsmittel bietet sich die Anlage einer Tabelle an, in der zu den zunächst gefundenen Lösungen die weiteren Einschränkun­ gen mit ja oder nein kommentiert werden können. Im Hintergrund der Aufgabe steht bereits die Frage nach einer optimalen Beladung. Dieses Auffinden eines Optimums ist allerdings durch das Erstellen K 10 1 Lineare Gleichungssysteme einer Tabelle aufwendig und mühsam, sodass die weitere Betrachtung recht zwingend zum Einsatz grafischer Methoden führt. Letztlich wird mit dieser Aufgabenstellung auch eine Fragestellung vorberei­ tet, wie sie nur mit den Strategien der nachfolgen­ den Lerneinheit Lineares Optimieren ökonomisch gelöst werden kann. Alternative Einstiege Analog zur vorhandenen Einstiegsaufgabe eignen sich Sachaufgaben aus dem Erfahrungsbereich der Lernenden, z. B. bei Klassenfahrten, Festen usw., bei denen die einschränkenden Bedingungen durch Geldbeträge beschrieben werden. Beispiel: Bei der Kirmes kostet Attraktion A den Betrag a und ­Attraktion B den Betrag b. Eine Person möchte (min­destens bzw.) höchstens x Euro ausgeben. ­Welche Attraktionen können genutzt werden und wie oft? Tipps und Anregungen für den Unterricht Das < Serviceblatt „Zettelwirtschaft“, Seite S 10, übt die Zuordnung von Ungleichungssystemen und deren grafische Darstellung. Je nach Akzentset­ zung der vorangegangenen Lerneinheit und Com­ puterausstattung kann hier früh mit geeigneten Funktionenplottern gearbeitet werden. Hier sei auf die entsprechenden Ausführungen zum Einsatz von üblichen Dynamische-Geometrie-Software-Pro­ grammen wie GEONExT und GeoGebra verwiesen (Seite K 13). Inhaltlich muss beachtet werden, dass je nach einschränkenden Bedingungen nicht immer ein abgeschlossenes Polygon die Lösungsmenge darstellt, vielmehr treten ggf. auch offene Gebiete auf. Weitere einschränkende Bedingungen über die aus der Sachaufgabe direkt ablesbaren hinaus sind häufig die für die jeweiligen Variablen bestehenden Grundmengen (bei Anzahlen N, bei Größen häufig Q+ usw.). Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1 Operative Übungen: A 2; 3 1 bis 3 Die Aufgaben festigen mit unterschied­ lichem Anspruch und unterschiedlicher Problem­ ausrichtung die Grundtechniken zum Erstellen von grafischen Lösungen üblicher Ungleichungssysteme. Sie schaffen die Voraussetzung zum Nutzen die­ser Techniken in der nachfolgenden Lerneinheit 8 Lineares Optimieren*. DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:42:59 Seite: 11 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 31 – 33 1 Die Aufgaben trainieren das Erstellen von Pla­ nungsgebieten mit unterschiedlichen Konstellati­ onen von Vorgaben. Zum einen treten im Wechsel sämtliche vier Relationsformen auf, zum anderen ergeben sich entsprechend den Grundmengen für x und y (jeweils Z) unterschiedliche Arten von Lö­ sungen. In den Teilaufgaben b), d), i) und j) ergeben sich keine geschlossenen Polygone (siehe hierzu Tipps und Anregungen). Bei Teilaufgabe c) ist die Lö­ sungsmenge des Systems leer, da die Halbebenen keine Schnittmenge besitzen. 2 Hier wird die vorangegangene Aufgabenstel­ lung umgekehrt. Da vier verschiedene Relations­ formen zur Verfügung stehen, gibt es hier zu jeder Teilaufgabe mehrere Lösungen zur Nennung zutref­ fender Ungleichungssysteme. 3 Diese Aufgabe trainiert die Kenntnis der Be­ deutung der Parameter m und b bei linearen Funk­ tionsgleichungen. Zudem werden die Sonderfälle x ist konstant und y ist konstant bei den Parallelen zu den Koordinatenachsen aktiviert. 8Lineares Optimieren* Intentionen der Lerneinheit – die Randpunkte und Eckpunkte eines Planungs­ gebiets auf ihre besonderen Merkmale im Hin­ blick auf optimale (minimale oder maximale) Werte interpretieren – zu einer gegebenen Optimierungsproblematik die zugehörige Zielfunktion z aufstellen – zu einer Zielfunktion durch Einsetzen des Wer­ tes null für den Parameter b in die zugehörige Funktionsgleichung den Hilfsgraphen durch den Ursprung zeichnen – mittels Parallelverschiebung des Hilfsgraphen durch geeignete Eckpunkte oder Randpunkte des Planungsgebiets den Graphen der Zielfunk­ tion (Zielgerade) zeichnen – den Ordinatenabschnitt der Zielgeraden als zu­ gehörigen optimalen Funktionswert erkennen Einstiegsaufgabe Die Aufgabe kann zunächst mit Probieren ange­ gangen werden, die gegebene Komplexität der Problemstellung verhindert jedoch ein Finden von Lösungen mit den bekannten Hilfsmitteln (Tabelle, Grafik usw.). Durch systematische Untersuchung des Planungs­ gebiets auf besondere Lösungen (Randpunkte oder Eckpunkte) ergeben sich jedoch vielschichtige ­ iskussionsanlässe und erste Hinweise auf mögli­ D che Lösungen. Eine zielorientierte Vorgehensweise zum Auffinden des betreffenden Optimums gibt es bislang aber nicht. Somit führt die Einstiegsaufgabe zwingend auf Strategien zur Betrachtung des Op­ timums (hier: des Gewinnmaximums). Dies ermög­ licht den Zugang zur Betrachtung von Zielfunktio­ nen und deren Graphen. Alternative Einstiege Lineares Optimieren findet sich häufig in betriebs­ wirtschaftlichen Problemstellungen, die jedoch den Nachteil haben, nicht unbedingt aus dem Interessen- und Erfahrungsbereich der Lernenden zu ent­stammen. Analog lassen sich Problemstellun­ gen aus dem Schulalltag entwickeln, wie etwa die folgende: Für ein größeres Schulzentrum sollen eigene ­Busse angekauft werden. Die Prognosen sagen, dass in den kommenden Jahren jeweils 720 Schüler zu befördern sind. Es stehen zwei Bustypen zur Aus­ wahl: eine Ausführung mit 48 Plätzen und eine mit 32 Plätzen. Es stehen höchstens 20 Busfahrer zur Verfügung. Aus rabattbedingten Gründen sollen mindestens 5 kleine und 7 große Busse angeschafft werden. Einen weiteren Zugang zu Optimierungsproblemen bietet insbesondere auch die Aufgabe 22, auf Schü­ lerbuchseite 38, aus Üben • Anwenden • Nachden­ ken, bei der keinerlei unmittelbar wirtschaftliche Betrachtungen im Vordergrund zu stehen scheinen. Tipps und Anregungen für den Unterricht Das Lineare Optimieren ist eine unzweifelhaft komplexe Vorgehensweise zur Lösung von Optimie­ rungsaufgaben. Dennoch entfaltet die Thematik einen besonderen Reiz durch die enorme Anwen­ dungsbreite sowie die Nähe der betrieblichen Welt. Die Elemente der Lösungsstrategie sind im Einzelnen für sich keineswegs besonders schwierig, vielmehr laufen bei diesem Thema unterschiedliche Aspekte zusammen und demonstrieren gerade in dieser Konstellation das Potential der Schulmathe­ matik in anscheinend sehr komplexen Anwendun­ gen. Die Lernenden erfahren hier direkt betriebliche Vorgehensweisen, daher bietet es sich an, einen Unterrichtsgang zu einem örtlichen Unternehmen durchzuführen, bei dem Optimierungsprobleme vor Ort diskutiert werden können. Im Unterricht selbst sollte nach Möglichkeit Dynamische-GeometrieSoftware (DGS) zum Einsatz kommen. 1 Lineare Gleichungssysteme K 11 DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:43:00 Seite: 12 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 33 – 38 Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Komplexe Aufgaben: A 1; 2; 3 1 bis 3 Die Aufgaben sprechen typische Anwen­ dungsbereiche von Optimierungsproblemen an. Es sollten zumindest die Aufgaben 1 und 2 oder 2 und 3 behandelt werden, da sie jeweils eine Maximie­ rung (Gewinn) und eine Minimierung (Kosten) zum Ziel haben. Grundätzlich lassen sich alle Aufgaben zwar schein­ bar auch durch reines Betrachten der Planungsge­ biete und Untersuchen der jeweiligen Eckpunkte nebst Einsetzen der Koordinaten lösen. Jedoch erfasst dieses Vorgehen nicht den Fall, dass ein ganzer Geradenabschnitt die Lösungspunkte bein­ haltet, das heißt, dass eine der Randgeraden und die Zielgerade dieselbe Steigung haben. Insofern ist das Arbeiten mit der Zielgeraden als generelle Lösungsmethode vorzuziehen. Üben • Anwenden • Nachdenken Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 2; 3; 5; 16 Operative Übungen: A 1; 4; 13 a) bis d); 15; 17 Kumulative Aufgaben: A 6; 7; 8; 9; 11; 12; 13 e); 14; Info-Kasten Geradengleichung aus zwei Punkten Komplexe Aufgaben: A 21; 22 Anwendungsaufgaben: A 10; 18; 19; 20 Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: Info-Kasten Noch mehr Variablen 1 bis 3 Grundfertigkeiten in der Bearbeitung von Gleichungssystemen werden intensiv geübt. Hier bietet sich an, die Kriterien für die Wahl eines ge­ eigneten Lösungsverfahrens und entsprechende Entscheidungen begründen zu lassen. 4 und 13 Sonderfälle fordern bei algebraischem Vorgehen eine geometrische Erklärung und tragen so zu einem breiteren Verständnis bei. 5 und 6 Der Umgang mit Klammerregeln und Brü­ chen wird hier aktiviert und in die neuen Lösungs­ verfahren eingebunden. 7 bis 12 Einfachere Sachaufgaben führen auf Gleichungssysteme. Hier steht insbesondere das K 12 1 Lineare Gleichungssysteme Aufstellen der Gleichungen bzw. des Gleichungs­ systems im Vordergrund. 14 Die Anwendung und die Interpretation der Pa­ ra­meter m und b bei linearen Geradengleichungen werden in Aufgabe 14 aktiviert. Noch mehr Variablen Aufgaben, denen drei Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Variablen zugrun­ de ­liegen, gehen über die Anforderungen des ­Bildungsplanes hinaus. Im Sinne einer Differen­ zierung können leistungsstarke Schülerinnen und Schüler solche Aufgaben eigenständig bear­ beiten. 15 In dieser Aufgabe wird die Kenntnis vertieft, dass ein Gleichungssystem aus zwei linearen Glei­ chungen a) parallele Geraden, b) sich schneidende Geraden oder c) identische Geraden bestehen kann. Entsprechend müssen die Lernenden die gegebe­ nen Geradengleichungen auf ihre Parameter m und b prüfen. 16 Vor dem grafischen Lösen müssen die Funkti­ onsgleichungen begutachtet werden, um geeignete Skalierungen der Achsen vornehmen zu können. Geradengleichung aus zwei Punkten Dieser Sachverhalt zeigt eine sehr relevante An­ wendungsmöglichkeit von Gleichungssystemen. Der Hintergrund der Zwei-Punkte-Form y–y y –y 1 2 1 _ = _ x – x1 x2 – x1 ist den Schülerinnen und Schülern bei ihrem jet­ zigen Kenntnisstand nicht vermittelbar. Die Schü­ lerinnen und Schüler sollten jedoch lernen, dass man auch mit einer nicht hergeleiteten Formel arbeiten kann. 18 bis 22 Diese Aufgaben bieten eine Auswahl an Sachproblemen, anhand derer Planungsgebiete er­ stellt und diskutiert werden können bzw. optimierte Lösungen gefunden werden müssen. Die Auswahl reicht von einschlägigen betriebswirtschaftlichen Problemstellungen über Sachsituationen aus dem Erfahrungsbereich der Lernenden bis zur optimalen Steuerung einer Ampelanlage an einer Straßen­ kreuzung. DO01742692_KT_K01_001_013.indd 16.07.2009 14:43:01 Seite: 13 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 38 Grafische Lösung mit dem Computer Sobald die grundlegenden Kompetenzen im Umgang mit Gleichungssystemen gefestigt sind, bietet sich der Einsatz eines geeigneten Com­ puterprogramms an. Der Schwerpunkt üblicher Dynamische-Geome­ trie-Software (DGS) -Programme liegt in der Geo­metrie. Die Veranschaulichung algebraischer Inhalte ist in der Umsetzung teilweise recht müh­ sam und fordert vom Lehrenden eine intensive Auseinandersetzung mit der speziellen Syntax. Eine Alternative zu dem im Schülerbuch angebo­ tenen Programm GEONExT bietet das Programm GeoGebra, das speziell für die Thematik der Glei­ chungssysteme einige sehr anwenderfreundliche Funktionen bietet. Der Name GeoGebra setzt sich aus Geometrie und Algebra zusammen, da man zwischen geometri­ schen Handlungsweisen und algebraischen Dar­ stellungen nach Belieben wechseln kann. Geoge­ bra ist eine dynamische Mathematiksoftware, die die Möglichkeiten von DGS und Computer-Algeb­ ra-Systemen (CAS) und damit Geometrie, Algebra und Analysis verbindet. GeoGebra ist Freeware, steht also frei im Internet zur Verfügung, und ist unter nachfolgender Adresse herunterzuladen bzw. auch online nutzbar: [http://www.geogebra.at] Für das Lösen von Gleichungssystemen sind nur wenige Eingaben nötig. Der Bildschirm zeigt nicht nur Graphen, sondern in der linken Spal­ te sind die jeweiligen Objekte in algebraischer Form notiert. Die eingegebenen Objekte werden sofort grafisch dargestellt und dokumentiert: Der Schnittpunkt wird durch folgende Eingabe grafisch und rechnerisch bestimmt: S wird als Schnittpunkt der Geraden a und b berechnet und angezeigt: Die grafische Darstellung macht gleichzeitig den berechneten Schnittpunkt sichtbar: Graphen von Funktionen werden erzeugt durch die Eingabe der jeweiligen Funktionsgleichung: GeoGebra bietet die Möglichkeiten üblicher DGS-Programme. Das heißt, eine Dynamisierung durch die Nutzung des Zugmodus ist auch im Bereich der Funktionen möglich und bietet inter­ essante neue Aufgabenstellungen. 1 Lineare Gleichungssysteme K 13 DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:39 Seite: 14 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 40 – 59 2 Wurzeln Kommentare zum Kapitel Entsprechend den Lehrplanvorgaben wird das Wurzel­ziehen als Umkehroperation des Quadrierens betrachtet. Dabei wird der bisher bekannte Zahl­ bereich der rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen erweitert. Für die Lernenden ist es im Zu­ sammenhang mit den irrationalen Zahlen neu und ungewohnt, dass Aufgaben keine exakt anzugeben­ de Zahl als Lösung haben und deshalb bei jeder Aufgabe situationsadäquate Überlegungen zur sinn­ vollen Genauigkeit durchgeführt werden müssen. Wurzeln und somit irrationale Zahlen spielen in den Folgekapiteln beim Berechnen von Zinssätzen in der Zinsrechnung sowie bei Streckenberechnungen mit dem Satz des Pythagoras eine große Rolle. Intention und Schwerpunkt des Kapitels Das Kapitel stellt den Lernenden mit dem Wurzelbegriff und den entsprechenden Rechenregeln ein mächtiges Werkzeug für die Lösung vieler Sachpro­ bleme zur Verfügung. Die Auftaktseite führt mithilfe anschaulicher Über­ legungen an Quadraten und Rechtecken an die Be­ rechnung von Quadratwurzeln heran. Lerneinheit 1 Quadratwurzeln macht die Lernen­ den mit dem Begriff der Quadratwurzel vertraut. Dabei stehen die sichere Begriffsbildung sowie die Vermittlung von wichtigen Grundvorstellungen im Mittelpunkt. Auf die Thematik der Irrationalität wird deshalb an dieser Stelle noch verzichtet. Lerneinheit 2 Bestimmen von Quadratwurzeln ­behandelt die näherungsweise Bestimmung von Quadratwurzeln. Anschließend erfolgt anhand der __ Frage, ob √2 einer rationalen Zahl gleich sein kann, die Zahlbereichserweiterung durch die irratio­ nalen Zahlen. Die Lerneinheiten 3 Multiplikation und Division und 4 Addition und Subtraktion behandeln die vier Grundrechenarten beim Rechnen mit Wurzeln. Lerneinheit 5 n-te Wurzel erweitert den Wurzelbegriff auf den allgemeineren Begriff der n-ten Wurzel. Dabei steht die dritte Wurzel aufgrund ihrer Anwen­ dungsrelevanz im Vordergrund. Die Wurzelschreibweise mithilfe gebrochener Expo­ nenten stellt den Zusammenhang zum Potenzrech­ nen her. Sie rundet im Üben • Anwenden • Nachdenken die Betrachtungen ab. Bezug zu den Bildungsstandards Leitidee Zahl: Die Schülerinnen und Schüler können – die stetige Erweiterung rechnerischer Fähigkei­ ten und Fertigkeiten als Grundlage für eine be­ K 14 2 Wurzeln sondere Art des Denkens und Problemlösens von universeller Wirksamkeit erfahren. – Quadratwurzeln durch Umkehren des Quadrie­ rens bestimmen und abschätzen. – die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterun­ gen verstehen und begründen und die Schüle­ rinnen und Schüler wissen um Bedeutung und Eigenschaften nicht-rationaler Zahlen. – sinntragende Vorstellungen von Zahlen und ihren Darstellungen darlegen – und sie entspre­ chend der Verwendungsnotwendigkeit nutzen. – mit Wurzeln rechnen. – Sachaufgaben lösen, die auf Quadratwurzeln führen, und mit Näherungslösungen sinnvoll um­ gehen. – logisch schließen und begründen. Leitidee Messen: Die Schülerinnen und Schüler können Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit angeben. Präsentations- und Referatsthemen Im Schülerbuch werden in den Schaufenstern vie­ le interessante Themen vorgestellt. Diese können selbstständig erweitert und vorgestellt werden. Beispiele: 1. „Perfekte Rechtecke“: Im Internet finden sich ­viele weiterführende Informationen und Anre­ gungen. 2. Schaufenster „Zahlenzauber“ und „Altes ganz!“ zum Staunen auf den Schülerbuchseiten 43; 51; 55 und 56: Viele Zusammenhänge können von den Lernenden erklärt und bewiesen werden. 3. Informationen zu den irrationalen Zahlen und die Konstruktionen von Wurzelwerten. 4. Selbstständige Erarbeitung des Heron-Verfahrens und Recherchen zum historischen Hintergrund. 5. Referat zu den Fibonacci-Zahlen, Schülerbuch­ seite 57. 6. Ausarbeitung zu Wurzeln mit negativen Expo­ nenten Weiterführende Hinweise – Der Kapitelaufbau ist streng hierarchisch ge­ prägt, sodass keine andere Bearbeitungsfolge der Lerneinheiten möglich ist. – Wichtiger Lernstoff aus vorangegangenen Klas­ sen sollte an passender Stelle integriert werden. Beispiele: „Binomische Formeln“ in Lerneinheit 3 Multiplikation und Division, das „Distributiv­ gesetz“ in Lerneinheit 4 Addition und Subtraktion, „Rechnen mit Variablen“ in komplexen Aufgaben. – Der Taschenrechner wird unentbehrliches Hilfs­ mittel, macht die Beherrschung der Wurzel­ DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:40 Seite: 15 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 40 – 41 rechenregeln aber nicht überflüssig. Diese sind für spätere Umformungen bei genauen Berech­ nungen unentbehrlich. – Der Taschenrechner kann auch eingesetzt wer­ den, um die Lernenden durch eigenes Experi­ mentieren und Beobachten Gesetzmäßigkeiten entdecken zu lassen. – Im Zusammenhang mit den irrationalen Zahlen wird das im Lehrplan geforderte sinnvolle Run­ den besonders wichtig. Hier gibt der Exempla­ rische Kommentar: Sinnvoll runden, Seite K 19, interessante Hinweise. Eine mögliche systematische Begründung durch die Lernenden könnte wie folgt lauten: Auftaktseite: Who’s perfect? Diese zum Einstieg in das Thema Wurzeln angebo­ tene Auftaktseite schafft einen handlungsorientier­ ten Zugang zu den streng algebraischen und häufig sehr trocken vermittelten Sachverhalten. Die perfekten Quadrate bzw. Rechtecke regen dazu an, den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Quad­ ratseite, also zwischen einer Zahl und ihrer Wurzel, anzubahnen. Das 7 × 7-Quadrat Für das Quadrat mit der Seitenlänge 7 ergibt sich folgende Einteilung: Das 6 × 6-Quadrat ist das größte Quadrat, welches eingepasst werden kann. Dies hat allerdings zur Folge, dass 13 1 × 1-Quadrate ergänzt werden müs­ sen. In Summe erhält man also 14 Teilquadrate. Über folgende Stufung gelangen die Schülerinnen und Schüler zur obigen Aufteilung: Die Überdeckung dieses Quadrates durch die neun aufgezeichneten Quadrate schafft Handlungsori­ entierung. Meist entwickeln die Schülerinnen und Schüler schnell einen Weg, um die Minimalzahl der neun Teilquadrate zu erfassen. Mit einer systemati­ schen Herangehensweise gelingt den leistungsstär­ keren Schülerinnen und Schülern relativ leicht der Ansatz für eine stichhaltige Begründung. Å-mal 5 × 5-Quadrat 5-mal 2 × 2-Quadrate 4-mal 1 × 1-Quadrate Summe: 10 Teilquadrate 2 Wurzeln K 15 DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:41 Seite: 16 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 41 – 42 1-mal 4 × 4-Quadrat 3-mal 3 × 3-Quadrate 6-mal 1 × 1-Quadrate Summe: 10 Teilquadrate 1-mal 4 × 4-Quadrat 2-mal 3 × 3-Quadrate 3-mal 2 × 2-Quadrate 3-mal 1 × 1-Quadrate Summe: 9 Teilquadrate Alle anderen Unterteilungen erfordern mehr Teil­ quadrate. Das 11 × 11-Quadrat Bei einem 11 × 11-Quadrat sind ähnliche Beobach­ tungen möglich. Hier ist die geringste Zahl von überdeckenden Teil­ quadraten 11. Die Lernenden erkennen meist sehr schnell, dass sie mit einem 6 × 6-Quadrat beginnen müssen. Fol­ gende Aufteilung wird entdeckt: 1-mal 6 × 6-Quadrat 2-mal 5 × 5-Quadrate 1-mal 4 × 4-Quadrat 4-mal 2 × 2-Quadrate 3-mal 1 × 1-Quadrate Summe: 11 Teilquadrate Alternativ, ebenfalls 11 Teilquadrate: 1-mal 6 × 6-Quadrat 2-mal 5 × 5-Quadrate 3-mal 3 × 3-Quadrate 1-mal 2 × 2-Quadrat 4-mal 1 × 1-Quadrate Summe: 11 Teilquadrate 13 × 13-Quadrat 1-mal 7 × 7-Quadrat 2-mal 6 × 6-Quadrate 1-mal 4 × 4-Quadrat 3-mal 3 × 3-Quadrate 5-mal 1 × 1-Quadrate Summe: 12 Teilquadrate Eine Fortsetzung regt zum eigenständigen ent­ deckenden Lernen an. Weitere zahlreiche und interessante Informationen finden sich im Internet unter dem Suchbegriff perfekte Quadrate. Das perfekte 18 × 16-Rechteck (Schülerbuchseite 40 unten) Diese Aufgabe soll zum Entdecken des Zusammen­ hangs zwischen Zahl und Quadratzahl sowie die Anbahnung des Wurzelbegriffs anregen. K 16 2 Wurzeln Perfektes Rechteck und perfektes Quadrat (Schülerbuchseite 41) Die beiden hier angebotenen perfekten Figuren ermöglichen einen propädeutischen Zugang zum Begriff der Quadratwurzel. 1 Quadratwurzeln Intention der Lerneinheit Die Lerneinheit soll eine Grundvorstellung vom Begriff der Quadratwurzel vermitteln. Diese wird aus einem einfachen Sachverhalt, am Beispiel eines Quadrates, gewonnen. Im Vordergrund steht dabei, dass man Quadratwurzeln nur aus nicht negati­ ven Zahlen ziehen kann und dass Quadratwurzeln selbst nicht negativ sind. Um dieses Grundwissen anschau­lich und sorgfältig aufzubauen, wird in dieser Lern­einheit noch auf die für die Lernenden meist sehr schwierige Thematik verzichtet, dass eine natürliche Zahl nur selten eine rationale Zahl als Quadratwurzel hat. Schwerpunkte: – wissen, dass man unter der Quadratwurzel einer Zahl x die Zahl y versteht, die mit sich selbst multipliziert x ergibt (y · y = x). – die Begriffe Wurzelziehen, Radikand und Quadrat­ wurzel kennen – Quadratwurzeln aus Quadratzahlen bzw. quadra­ tischen Termen ziehen – wissen, dass Quadrieren und Wurzelziehen Um­ kehroperationen sind Einstiegsaufgabe Die Einstiegsaufgabe vermittelt anhand der inhalt­ lichen Vorstellung „Quadratfläche – zugehörige Seitenlänge“ den Begriff der Quadratwurzel. Dieser Zugang schließt eine negative Lösung aus. Die Frage nach der Existenz von Quadraten mit zwei Kästchen Flächeninhalt werden die Lernenden auf dieser Lernstufe verneinen. Man sollte dies bis zur Lerneinheit 2 Bestimmen von Quadratwurzeln so ­akzeptieren. __ Dort kann im Rahmen der Konstruk­ tion von √2 die Korrektur erfolgen. Tipps und Anregungen für den Unterricht – Die Lernenden sollten einige Quadratzahlen auch im Hinblick auf das teilweise Wurzelziehen aus­ wendig wissen. – Anfangs sollte die Wurzeltaste des Taschenrech­ ners noch nicht verwendet werden, da zunächst eine inhaltliche Vorstellung vom Wurzelbegriff entwickelt werden sollte. – Ein Legespiel zur Quadratwurzel bieten die < Serviceblätter „Quadratwurzel-Puzzle: Radixt noch mal! (1) und (2)“, Seiten S 11 und S 12. DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:41 Seite: 17 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 42 – 43 – Im Schülerbuch werden Quadrieren und Wurzel­ ziehen als Funktionen aufgefasst, die im Bereich der nicht negativen Zahlen Umkehroperationen sind. Aus dem Funktionscharakter (Funktion als eindeutige Zuordnung) folgt die eindeutige Bestimmtheit der Quadratwurzel (Wurzelwerte sind immer positiv.). Dabei wird der Funktions­ charakter im Schülerbuch nicht thematisiert, er (und die Beschränkung auf positive Wurzelwerte) ergibt sich für die Lernenden anhand der Sach­ situation im Einstiegsbeispiel. Den Lernenden__sollte jedoch Folgendes deut­ __ lich werden: √2 und – √ zwei __ 2 bezeichnen ver­schiedene Zahlen, √2 hat aber nicht zwei verschiede­ne Werte. Dies wird im Kapitel quad­ ratische ­Gleichun­gen bedeutsam: Dort hat die Gleichung x 2 = a für a > 0 zwei unterschied­ lichen Lösungen. Exkurs Quadratwurzeln Definition Die Wurzelfunktion ist eine Umkehrfunktion des __ Potenzierens: x 2 = 4x = √4 . Obwohl die Gleichung x 2 = 4 __die zwei Lösungen 2 und – 2 hat, hat der Term √4 nur die positive Lösung 2. Die Wurzel ist eine Potenzfunktion. Es ist __ mn . Die Rechenregeln für Wurzeln ent­ √ am = a_ n sprechen deshalb den Potenzrechenregeln. Die Quadratwurzel hat nur für positive Radikan­ den eine reelle Lösung. Negative Radikanden führen auf komplexe Zahlen. Geschichte Das moderne Wurzelzeichen taucht erstmals in leicht abgewandelter Form bei Adam Ries (1492 – 1559) und in einem Buch von Christoff Rudolff (1525) auf. Seine damalige Bedeutung ist umstritten. Ein Erklärungsansatz führt die Schreibweise des Wurzelzeichens auf ein stilisier­ tes r (von radizieren) zurück. Die heutige Form wurde erstmals in dem Buch Arithmetica integra von Michael Stifel (1544) verwendet. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 15; 16 Operative Übungen: A 5; 6; 7; 9; 18 Kumulative Aufgaben: A 11; 12; 13; 14 Komplexe Aufgaben: Infofenster Wurzeln und ­Variablen Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: A 8; 10; Schaufenster Zahlenzauber; 17 Zahlenzauber ___________ Die Folge geht zwar mit √123 456 543 21 = 111 111 weiter, es ergeben sich aber je nach Ta­ schenrechner schon Probleme mit den 11 Stellen. Weitere Rechnungen sind nicht ausführbar. Au­ ßerdem endet die Reihe bei 1 111 111 1112 = 1,234 567 901 · 1018, weil die mittlere Ziffer durch Übertrag nicht mehr passt. Als Radikand ergeben sich stets Quadratzah­ len, wie man leicht zeigen kann: Erste Spalte, 16er-Folge: Allgemein: Der Radikand hat 2n Ziffern, näm- lich n-mal die 1; (n – 1)-mal die 5 sowie die ­Endziffer 6. Man ersetzt die 6 durch eine weitere 5 und gleicht das durch den Summanden 1 aus. Damit bekommt die Zahl die Form 11 … 155 … 5 + 1 = 2 n – 1 n–1 i=0 ; 10 i + 5 · ; 10 i + 1 i=n n–1 n–1 ; 10 i + 5 · ; 10 i + 1 = 10 n · j=0 i=0 n n 10 – 1 10 – 1 _ 5 · + 1 + = 10n · _ 9 9 = _91 · 2 102n + 4 · 10 n + 4 3 2 n 32 +2 _ = 10 3 Die Zahl ist also eine Quadratzahl. Aus den Bei­ spielen ergibt sich also die Vermutung, dass sie n Ziffern hat, und zwar (n – 1)-mal die 3 und die Endziffer 4. Es ist bequemer, von dieser Zahl aus­ 10 n + 2 zugehen als die Zifferndarstellung von _ zu 3 ermitteln. Wie oben spaltet man den Summanden 1 ab und erhält n–1 ; 10 i i=0 333 … 3 + 1 = 3 · 10 n – 1 + = 3 · _ 9 n + 2 10 = _ 3 +1 1 Zweite Spalte, 81er-Folge: Der allgemeine Radikand hat 2n Stellen, nämlich (n – 1)-mal die 9; dann mit Stellenwert 10 n die 8; dann (n – 1)-mal die 0; dann Endziffer 1. Damit ergibt sich die folgende Umformung: 2 Wurzeln K 17 DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:42 Seite: 18 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 43 – 45 2 n – 1 99 … 9800 … 02 = 9 · ; 10 i + 8 · 10 n +1 i=n+1 n–2 = 9 · 10 n + 1 · ; 10 j j=0 + 8 · 10 n + 1 Wurzeln und Variablen n–1 –1 __ = 9 · 10 n + 1 · 10 8 · 10 n + 1 + 9 = 102n – 10 n + 1 + 8 · 10 n + 1 = 102n – 2 · 10 n + 1 = (10 n – 1) 2 = 99 … 92 (99 … 9) steht für n Neunen. Dritte Spalte, 49er-Folge: Der allgemeine Radikand hat 2 n Stellen, nämlich (n – 1)-mal die 4; (n – 1)-mal die 8; dann End­ ziffer 9. 2 n – 1 44 … 488 … 89 = 4 · n Das Volumen eines Würfels ist somit 23 cm3 = 8 cm3. Für die ganze Reihe gilt 100 · 8 cm3 = 800 cm3. Diese Lösung entspricht Niveau B. n–1 ; 10 i + 8 · ; 10 i + 1 i=n i=0 n –1 –1 _ _ = 4 · 10 n · 10 + 8 · 10 1 + 9 9 1. Abschnitt: Dies sind grundlegende Aufgaben, die den Wurzelbegriff auf algebraische Terme ausdehnen. Sie sind für die folgenden Lernein­ heiten wie beispielsweise für das teilweise Wur­ zelziehen notwendig. 2. und 3. Abschnitt: Erweiterte Aufgabenstellun­ gen zur Vertiefung und Abgrenzung der Regel. 4. und 5. Abschnitt: Die komplexen Aufgaben­ stellungen dienen nicht nur der Wiederholung von binomischen Formeln und quadratischer Er­ gänzung. Sie sind auch im Hinblick auf das Lösen von gemischt quadratischen Gleichungen (vor der Behandlung der Lösungsformel) zu sehen. = _91 · (4 · 10 2 n + 4 · 10 n + 1) 2 n 32 +1 __ = 2 · 10 3 Die Beispiele führen zur Vermutung, dass die Wurzel eine Zahl aus (n – 1)-mal der 6 und der Endziffer 7 ist. 66 … 67 = 66 … 66 + 1 n –1 _ 1 + = 6 · 10 9 n +1 __ = 2 · 10 3 Die angegebenen Zahlen sind Palindrome, deren Wurzel wieder ein Palindrom ist. Eine Ge­ setzmäßigkeit ist nicht zu erkennen. Palindrome (aus dem griechischen = rückwärtslaufend) sind Zeichenketten, die vorwärts und rückwärts gele­ sen gleich bleiben. Hier sind nur die Quadrate Palindrome. ­Hier ist kein Gesetz bekannt. 13 und 14 Die Aufgaben sind unter den folgenden Aspekten zu sehen: – Training des Vorstellungsvermögens, – Strategien zum Problemlösen anwenden, – Lösungswege verständlich und mithilfe der Fach­ sprache darstellen, – Inhalte aus verschiedenen mathematischen The­ menbereichen verknüpfen. Beispiel für Teilaufgabe 13 d): Die Aufgabe lässt sich ohne Taschenrechner lösen: 98 Würfel tragen jeweils vier Quadrate zur Oberfläche bei. Die beiden Würfel am Ende der Schlange tragen je eine zusätz­ liche Quadratflächen bei. Als Term: 100 · 4 + 2 = 402 Quadratflächen. Eine Quadratfläche hat somit 1608 cm2: 402 = 4 cm2. Daraus ergibt sich die Seitenlänge von 2 cm. K 18 2 Wurzeln 2 Bestimmen von Quadratwurzeln Intention der Lerneinheit In dieser Lerneinheit wird der bisher bekannte Zahl­ bereich der rationalen Zahlen im Zusammenhang mit der Berechnung von Quadratwurzeln um die irrationalen Zahlen erweitert. Dabei steht nicht der Begriff der Irrationalität im Vordergrund, sondern die Vorstellung, dass die Quadratwurzel einer positi­ ven Zahl, die keine Quadratzahl ist, ein nicht enden­ der und nicht periodischer Dezimalbruch ist. Schwerpunkte: – wissen, dass die meisten Quadratwurzeln irratio­ nale Zahlen sind – Quadratwurzeln näherungsweise bestimmen – Quadratwurzeln mithilfe des Taschenrechners (näherungsweise) berechnen Einstiegsaufgabe Die Einstiegsaufgabe führt anhand einer aus Lern­ einheit 1 Quadratwurzeln vertrauten Sachaufgabe zur Frage nach der Berechnung von Quadratwur­ zeln. Das Vorgehen – zwei Quadrate mit gegebener Fläche, deren Seitenlängen sich problemlos be­ rechnen lassen, werden zu einem Quadrat zusam­ mengesetzt, bei dem die Seitenlänge nicht mehr genau zu bestimmen ist – führt zu einem von den Lernenden nicht erwarteten Ergebnis und wirkt so besonders nachhaltig (Inkongruenzprinzip). Tipps und Anregungen für den Unterricht – Für die Lernenden liegt eine der Hauptschwierig­ keiten im Umgang mit irrationalen Zahlen darin, dass in der Regel die Berechnungen „nicht mehr DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:42 Seite: 19 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 45 – – – – – aufgehen“. Das macht Überlegungen zur sinn­ vollen Genauigkeit von Ergebnissen notwendig (vgl. dazu die Leitidee Messen: Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit angeben und den Exemplarischer Kommentar: Sinnvoll runden, Seite K 19). Die irrationalen Zahlen sowie die Rundungsthe­ matik spielen in den Folgekapiteln bei Strecken­ berechnungen mithilfe des Satzes des Pythago­ ras und quadratischen Gleichungen eine zentrale Rolle. Als weitere irrationale Zahl lernen die Schülerin­ nen und Schüler im neunten Schuljahr die Zahl p kennen. __ 2 Die __beiden Umkehroperationen (√ x ) = x und √x 2 = x lassen sich am Taschenrechner verdeut­ lichen. Das Nacheinander-Ausführen der Tasten __ √ x und x 2 führt immer zur eingegeben Zahl zu­ rück. Interessant sind in diesem Zusammenhang Run­ dungsfehler. Ein Beispiel__für die Wurzel aus 2: Die Taste √x ergibt 1,414 213 6. Behält man den Wert im Speicher, führt die Taste x 2 wieder zum Ausgangswert 2. Dies widerspricht dem bisher Gelernten (die Endstelle müsse bei 62 auch 6 lauten). Wird der Speicher gelöscht und anschlie­ ßend 1,414 213 6 eingetippt ergibt sich mit der x 2–Taste der Wert 2,000 000 1. __ Versucht man dasselbe mit __√ 3 , tritt dieser ­Effekt nicht auf. (Begründung: √3 ≈ 1,732 050 8 – die nach dem Quadrieren erste nicht mehr angezeig­ te Ziffer ist kleiner als 5, d. h. der Rechner rundet ab.) Solche Betrachtungen verdeutlichen den Lernen­ den, dass die Taschenrechner runden und sich je nach Rechenweg unterschiedliche Ergebnisse ergeben. Es erfolgt eine Sensibilisierung für die Thematik des sinnvollen Rundens (siehe unten). Das < Serviceblatt „Die Quadratur des Recht­ ecks“, Seite S 13, unterstützt die Einführung des im Kasten auf Schülerbuchseite 47 angebotenen Heron-Verfahrens. Das < Serviceblatt „Sinnvolles Runden“, Seite S 14, dient zur Einführung in das Thema der sinnvollen Genauigkeit. Die unterschiedliche Aus­ wirkung der Messgenauigkeit in Aufgabe 4 des Serviceblattes kann man am besten mithilfe ­ der „Fragezeichenrechnung“ erklären. Dabei ste­ hen die Fragezeichen für nicht genau bekannte Ziffern: Å49,å4? · 9,6? 149,7? · 9,58? Å34å66 ? Å34å3? 8984 4? å485 ? ? ? ? ? ? ? ÅÅ9å 6? Å4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 143 ? ? ? ? ? ? Aufgrund des unbekannten Übertrags steht an der dritten (vierten) Stelle auch ein Fragezeichen. Die Rechnung zeigt, dass im ersten Fall nur zwei Ziffern „genau“ sind, während im zweiten Fall (ent­ sprechend der Regel im folgenden Exemplarischen Kommentar) drei Ziffern „genau“ sind. Exemplarischer Kommentar Sinnvoll runden Dem Kommentar liegen die Artikel Herget, Wil­ fried: „Ganz genau – genau das ist Mathe!“ in: mathematik lehren, Heft 93, Erhard Friedrich Ver­ lag, Seelze 1999, Seite 4 ff, und Voß, Erhard: „Un­ gefähr richtig oder haargenau daneben“, S 47 ff, zugrunde. „In Mathematik wird immer ganz genau gerech­ net, hier gibt es keine Unsicherheiten.“ – So lau­ tet die gängige Vorstellung der Lernenden. „In ,Mathe‘, das wissen alle ganz genau, sind alle Zahlen ganz genau – hier gibt es vollkommene Genauigkeit und Sicherheit. Diese gehen aber unwiederbringlich verloren, wenn sich ,Mathe‘ mit dem Rest der Welt einlässt: Dann sind die meisten der vorkommenden Zahlen zwangsläu­ fig und unvermeidbar nur begrenzt genau, und entsprechend ungenau. ,Gib die Antwort mit sinnvoller Genauigkeit!‘ muss daher die Richt­ schnur für alle Rechenaufgaben sein, bei denen realistische Daten verwendet werden. Tatsächlich liefert der Rechner in solchen Fällen meist viele überflüssige, unsichere und damit falsche Zif­ fern.“ Herget (Seite 4). Solche „übergenauen“ Lösungen gibt es in Lösungsheften von Schulbüchern sehr häufig. Selbst Prüfungsaufgabenlösungen genügen (bis­ her) nicht den Anforderungen. Herget erläutert dies an der folgenden Aufgabe des Landesinstituts für Schule und Weiterbildung Nordrhein-Westfalen: „Wie 1994 machte die Mitgliederzahl des DSB (21 836 099) 26,7 % der Gesamtbevölkerung aus. Wie viele Einwohner hatte Deutschland 1994?“ Als Lösung wurde 81 783 142 angegeben. Der Wert 26,7 % ist offensichtlich gerundet (auch die Genauigkeit der Datenangabe 21 836 099 kann hinterfragt werden). Herget analysiert dies folgendermaßen: 2 Wurzeln K 19 DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:42 Seite: 20 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 45 – 46 „Mein Taschenrechner liefert 81 783 142,3221 Einwohner – aha! Wenn es aber vielleicht nur 26,65 % oder sogar 26,75 % (26,749 99… %) wa­ ren? Wir verfolgen durch ,Doppelt-Rechnen‘ die Auswirkung dieser beiden Schrankenwerte: Das Rechnerergebnis wäre dann 81 936 581,6135 bzw. 81 630 276,6335 – nur die ersten beiden Ziffern des Zahlenergebnisses sind also ,zuverlässig‘, eine sinnvolle Antwort wäre: ,Deutschland hatte knapp 82 000 000 Einwohner‘.“ Die Schülerinnen und Schüler sollten deshalb lernen, mit solchen realistischen Daten so genau wie möglich umzugehen. Die Ungenauigkeit der Eingangsgrößen lässt eben auch nur ein unge­ fähres Wissen über die Ergebnisgrößen zu. Voß gibt die folgenden beiden Faustregeln an: 1. Bei der Punktrechnung rundet man das Er­ gebnis auf höchstens so viele geltende Ziffern ohne Anfangsnullen und ohne „Platzhalterend­ nullen“, wie die ungenaueste der beiden Zahlen hat. Der Sinn dieser Regel können mithilfe von „Fragezeichenrechnungen“ bzw. Rechnungen mit den Schrankenwerten aufgezeigt werden. Ein Beispiel: 9,7531 : 2,3?? = 4,2??? 9 2?? 0 5??1 46?? ???? Weil bei der Ausgangszahl 2,3 nur die ersten zwei Ziffern genau bekannt sind, können auch im Ergebnis höchstens die zwei ersten Ziffern genau sein. 2. Bei Strichrechnungen rundet man das Ergeb­ nis höchstens auf so viele Stellen (vor oder nach dem Komma), wie die ungenaueste der beiden Zahlen hat. Ein Beispiel: Die Messwerte 12,78 m (vier Stellen) und 40 m (zwei Stellen) sollen addiert werden. Der Rechner liefert 52,78 m. Dies muss auf (höchstens) zwei geltende Ziffern gerundet werden: 53 m. Der Sinn kann den Lernenden durch die folgende Rechnung mit „Schrankenwerten“ aufgezeigt werden: 12,775 12,78 12,785 + 39,5 + 40,0 + 40,5 52,275 52,78 53,285 Es zeigt sich, dass schon die zweite Ziffer „unsi­ cher“ ist. Da in der Praxis selten Zahlen sehr unterschied­ licher Genauigkeit nur addiert werden müssen, dominiert die Regel für die Punktrechnungen. In K 20 2 Wurzeln der Schulpraxis haben sich deshalb die folgen­ den Vereinbarungen bewährt: 1. Das Ergebnis ist ungefähr so genau wie die ungenaueste der Ausgangszahlen. Entscheidend ist dabei die Anzahl der bekannten genauen ­Ziffern. 2. Werden bei einer Rechnung die Zwischener­ gebnisse nicht angegeben, sollte grundsätzlich nur das Endergebnis gerundet werden. Sind jedoch Zwischenergebnisse verlangt, müs­ sen diese auch nach der vereinbarten Regel gerundet werden. Das < Serviceblatt „Sinnvolles Runden“, Seite S 14, kann als Einführung in die Thematik dienen. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 4 Operative Übungen: A 3; 6 Komplexe Aufgaben: Infofenster Nicht vorstellbare Zahlen Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: A 5; 7 5 Quadrieren führt auf die Endziffern 9 (Zähler) und 4 (Nenner). Eine schülergemäße erste Begründung wäre bei­ spielsweise, dass der Quotient aus einer (größeren) ungeraden und einer (kleineren) geraden Zahl nie 2 ergeben kann, weil dann die kleinere Zahl mit 2 multipliziert die größere Zahl ergeben müsste. Jede Multiplikation mit zwei führt jedoch auf eine gera­ de Zahl und man erhält somit einen Widerspruch. Nicht vorstellbare Zahlen Nach der näherungsweisen Bestimmung von Quadratwurzeln wird jetzt die Frage thematisiert, __ ob eine rationale Zahl genau gleich √2 sein kann. Die negative Antwort lässt sich in einer für die Lernenden einsichtigen Weise begründen. Da irrationale Zahlen in Realsituationen nie offen­ sichtlich auftreten, ist diese Frage vor allem von theoretischem Interesse. Die Behandlung der irrationalen Zahlen wird jedoch dadurch gerechtfertigt, dass anschaulich vorhandene Lö­ sungen vieler geometrischer (z. B. die genaue Be­ stimmung der Seitenlänge eines Quadrates mit 50 cm2 Flächeninhalt oder die Berechnung der Diagonalenlänge) und algebraischer Probleme auch rechnerisch genau möglich werden. DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:43 Seite: 21 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 46 – 47 __ Die Konstruktion von √2 und der anschließende Eintrag in die Zahlengerade kann Anlass für die folgende interessante Betrachtungen sein: Aus den Klassen 6 und 7 ist den Schülerinnen und Schülern bekannt, dass die rationalen Zah­ len auf der Zahlengeraden „dicht“ liegen. Dies hatte unter anderem zur Folge, dass es zu einer beliebigen rationalen Zahl (im Gegensatz zu den ganzen Zahlen) keine nächst größere (oder klei­ nere) rationale Zahl gibt. Durch den Eintrag der nicht zur Menge der rationalen Zahlen gehören­ den Wurzeln in die Zahlengerade wird den Ler­ nenden bewusst, dass die rationalen Zahlen die Zahlengerade nicht vollständig ausfüllen, obwohl sie dicht liegen. Das Mengenbild (Venn-Diagramm) verdeutlicht die Einbettung der rationalen Zahlen sowie der ir­rationalen Zahlen in die neu erschlossene Men­ ge der reellen Zahlen. Die Darstellung erfolgt analog der bei der Einführung der rationalen Zahlen und der damit verbundenen Einbet­ tung der natürlichen Zahlen im Schülerband 7, ­Seite 20. Ein Lösungshinweis: Möchte man die Konstruk­ __ tion von √2 analog zur Einstiegsaufgabe vorneh­ men, geht man wie folgt vor: Man zeichnet zwei Quadrate der Seitenlänge 1 aneinander, also ein Rechteck mit a = 1 cm und b = 2 cm (A = 2 cm2). Dieses lässt sich (ana­ log zum Einstieg) durch Zerlegung in ein flächen­ gleiches Quadrat umformen. Die Seitenlänge __ √ 2 (cm) ergibt__sich __dann aus dem Flächeninhalt 2 cm2,__denn √2 · √2 cm2 = 2 cm2. Für √8 zeichnet man entsprechend ein Rechteck mit den Seitenlängen 2 cm und 4 cm: __ √8 ___ Für √50 werden zwei Quadrate mit je 5 cm Sei­ tenlänge (also ein Rechteck mit a = 5 cm und b = 10 cm) gezeichnet. Dadurch ergibt sich dann das Beispiel der Einstiegsaufgabe im Schüler­ buch. Heron-Verfahren Das Verfahren geht auf babylonische Mathe­ matiker zurück und wurde schon vor über 2000 Jahren von Heron von Alexandrien beschrieben. Seine genauen Lebensdaten sind unklar, aber sie lagen wohl im Zeitraum 150 v. Chr. bis 250 n. Chr. Das Heron-Verfahren (auch: babylonisches Wurzelziehen) ist ein iterativer Algorithmus 2 xn + 1 = _21 · 2 xn + _xan 3 3 zur näherungsweise Bestim­ mung der Quadratwurzel einer Zahl a. Es lässt sich – wie im Schülerbuch dargestellt – geomet­ risch veranschaulichen. Die Bedeutung des Verfahrens liegt u. a. in der schnellen Annäherung an die Wurzelwerte. Im Gegensatz zu dem zu Beginn der Lerneinheit vorgestelltem Probierverfahren erfolgt die An­ näherung an die Wurzelwerte nun systematisch und wesentlich schneller. Zusätzlich dient das Verfahren als Beispiel eines Iterationsverfahrens. Anhand der im Schülerbuch __ anschaulich dargestellten Berechnung von √a lässt sich ein Term zur Berechnung des jeweils nächsten Wertes aufstellen: Aus einem ersten Näherungswert x0 wird durch Bildung des arith­ a metischen Mittels x1 = _21 · 2 x 0 + _ x0 3 ein besserer Näherungswert gewonnen. Die Unempfindlich­ keit des Verfahrens gegenüber ungünstigen Aus­ gangswerten __ zeigt das folgende Beispiel: Wir bestimmen √18 : Erster Näherungswert ist eine beliebige Zahl x 0 zwischen 4 und 5, denn 42 < 18 < 52 x0 = 4,5 x0 = 4,2 x0 = 4,9 x1 = 4,25 x1 = 4,242 857 1 x1 = 4,286 734 7 x2 = 4,242 647 x2 = 4,242 640 7 x2 = 4,242 867 5 x3 = 4,242 640 7 x3 = 4,242 640 7 Die Wahl eines extrem günstigen Ausgangswer­ tes verkürzt die Rechnung bis zur Taschenrech­ nergenauigkeit des Wurzelwertes nur um einen Schritt. Das < Serviceblatt „Die Quadratur des Recht­ ecks“, Seite S 13, bietet Übungen zur eigenständi­ gen Erarbeitung des Heron-Verfahrens. 2 Wurzeln K 21 DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:43 Seite: 22 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 48 3 Multiplikation und Division Intention der Lerneinheit – die Regeln für die Multiplikation und Division von Wurzeln kennen, formulieren und anwenden – die Regeln begründen – Wurzelterme mithilfe der Multiplikationsregel durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen Einstiegsaufgabe Die Zahlenbeispiele der Einstiegsaufgabe wurden so gewählt (Quadratzahlen), dass die vermuteten Gesetze exakt sind. __ __ überprüfbar √ √ Beispiel: 9 · 16 = 3 · 4 = 12 _____ ___ √9 · 16 = √ 144 = 12 Die selbstständige Prüfung von Gesetzen durch das Einsetzen von konkreten Zahlen stellt den Ler­ nenden eine heuristische Strategie zur Prüfung von Formeln zur Verfügung. Dies kann in Zweifelsfällen zur Regelüberprüfung bzw. zum erneuten Auffinden bereits in Vergessenheit geratener Regeln verwen­ det werden. Das < Serviceblatt „Rechenregeln für Wurzeln – Multiplikation und Division“, Seite S 15, kann für die­ sen erweiterten Einstieg verwendet werden. Tipps und Anregungen für den Unterricht – Die Behandlung von beiden Regeln in einer Stunde ist möglich. – Erste Übungen in Partnerarbeit bietet das < Ser­ viceblatt „Tandembogen: Rechnen mit Wurzeln“, Seite S 16. – Zur Vermeidung einer Übergeneralisierung der Multiplikationsregel (vgl. den folgenden Exkurs: Typische Fehler beim Rechnen mit Wurzeln) sollte die Abgrenzung zur Addition vor dem Einschlei­ fen des Algorithmus erfolgen. Empfehlenswert ist das folgende Vorgehen: 1. Stunde: Einführung der Multiplikations- und ­Divisionsregel sowie erste Übungen. 2. Stunde: Abgrenzung zur Addition wie in Lern­ einheit 4 Addition und Subtraktion vorgeschla­ gen. 3. Stunde: Behandlung von gemischten Übungs­ aufgaben aus beiden Lerneinheiten. Exkurs Typische Fehler beim Rechnen mit Wurzeln Dem Exkurs liegt teilweise das Kapitel 7 „Schü­ lerfehler beim Umformen“ in Malle, Günther: Didaktische Probleme der elementaren Algebra, Viehweg Verlag, Wiesbaden 1993, Seite 160 ff, zugrunde. K 22 2 Wurzeln Vergleiche auch die Exemplarischen Kommentare –Schülerfehler beim Umformen Schnittpunkt, Serviceband 7, Seite K 26. –Erkennen von Termstrukturen Schnittpunkt, Serviceband 8, Seite K 1. 1. Falsche Informationsaufnahme –Zahlen werden fälschlicherweise für Quadrat­ zahlen gehalten. Abhilfe: Quadratzahlen aus­ wendig lernen. –Die „Reichweite“ des Wurzelzeichens wird nicht Beispiel: __ beachtet. _______ 2 · √2 + 3 = √ 4 · 2 + 3 Abhilfe: Den Radikanden in einer Klammer den­ ken oder diese Klammer setzen und das Ende des Wurzelzeichens mit einem kleinen Haken versehen. 2. Aufruf eines falschen Schemas Nach Malle (Seite 172) entstehen Schemata häu­ fig – bewusst oder unbewusst – durch einen Ver­ allgemeinerungsprozess. Aus Musterbeispielen ____ __ __ wie √a · b = √ a · √ b und (a · b) 2 = a 2 · b 2 wird ein allgemein gültiges Schema der Form º (a ¹ b) = (º a) ¹ (º b) generiert. „Dies kann unabhängig davon erfolgen, ob der Lehrer je­ weils ein solches Schema erwähnt oder erläutert. Die Bildung solcher Schemata ist durchaus er­ wünscht, damit die Algebra kein Sammelsurium von Einzelregeln bleibt. Der kritische Punkt bei einem solchen Verallgemeinerungsprozess ist je­ doch der, dass gleichzeitig mit der Bildung des allgemeinen Schemas ein Metawissen mitent­ wickelt werden muss, welches besagt, wann das neue Schema angewendet werden darf und wann nicht. Im Falle des obigen Schemas muss beispielsweise gelernt werden, dass die Anwen­ dung in folgenden ____ __ Fällen unzulässig ist: __ √ a + b = √ a + √ b ; (a + b) 2 = a 2 + b 2.“ Malle (Seite 172) Um solche Übergeneralisierungen zu vermeiden, erfolgt im Schülerbuch zu Beginn von Lernein­ heit 4 Addition und Subtraktion eine deutliche Abgrenzung dieses Schemas. Weiterhin kann es zu Überschneidungen mit ­früher gelernten Regeln kommen: –falsches Kürzen (Wurzelzeichen werden __ √6 √12 __ __ Schema __ __ √ a · √ a = 6 1 _ __ = _ ­ gekürzt): _ 12 = 2 a wird falsch auf den –das Fall √2 · √5 = 10 übertragen. Abhilfe: Kontrollmechanismen entwickeln (bei­ spielsweise die Regeln anhand von Wurzeln aus Quadratzahlen überprüfen). DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:43 Seite: 23 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 48 – 50 3. Kognitive Verarbeitung __ __ –Mangelnde Kenntnis, dass √a · √a = a gilt. Abhilfe: Genügend__Beispiele rechnen. Den __ __ Zwischenschritt √a · √a = (√ a ) 2 notieren. Bei­ spiele behandeln, die das Quadrieren und Wur­ zelziehen als Umkehroperationen darstellen. –Verwechslung von Quadrieren und Wurzel­ ziehen mit Verdoppeln und Halbieren. Abhilfe: Unterschied zwischen zwei gleichen Summanden und zwei gleichen Faktoren ­klären. 4. Handlung –Fehlerhafte Berechnung von Wurzeln mit ei­ nem längeren Term als Radikanden. Abhilfe: Bedeutung der Gleichheitstaste the­ matisieren. –Reihenfolgeprobleme bei der Eingabe in den Taschenrechner. Abhilfe: Kontrollmechanismen: z. B. Wurzeln, die im Kopf berechnet werden können, ein­ tippen. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 7; 8 Operative Übungen: A 4; 5; 6; 8; 10; 11; 13 Komplexe Aufgaben: A 9; 12; 14 Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: A 15 15 Die Gesetzmäßigkeit lässt sich schülergemäß begründen. Im Zähler des Radikanden steht diesel­ be Zahl wie der Koeffizient. Der Nenner ist das Qua­ drat dieser Zahl vermindert um 1. Es gilt: ____ _____ a a “ a · _ = a _ a2 – 1 „ a2 – 1 a Anmerkung: „ a _ “ steht für eine gemischte a2 – 1 Zahl und bedeutet deshalb ausnahmsweise nicht √ √ 4 Addition und Subtraktion Intention der Lerneinheit – gleiche Wurzeln mithilfe des Distributivgesetzes addieren bzw. subtrahieren – wissen, dass sich nur Wurzeln mit gleichen Radi­ kanden mithilfe des Verteilungsgesetzes zusam­ menfassen lassen Einstiegsaufgabe Die Beispiele zeigen, dass die von der Multiplika­ tion her bekannte Regel hier nicht gilt. Als Erweiterung dieses Einstieges könnte man – wie auch schon in Lerneinheit 3 Multiplikation und Division vorgeschlagen – einen Zugang über die Potenzgesetze ermöglichen. Die Regeln für das Addieren (Subtrahieren) werden wiederholt. Da Quadrieren und Wurzelziehen Umkehroperationen sind, ergibt sich automatisch die Frage nach der Übertragbarkeit: a 2__+ b 2 __ = ? 3 a 2__+ 4 a 2 __ = 7 a 2 √a + √ b = ? 3 √ a + 4 √ a = ? Das < Serviceblatt „Rechenregeln für Wurzeln – ­Addition und Subtraktion“, Seite S 17, ermöglicht das selbstständige Erarbeiten der Regeln. Tipps und Anregungen für den Unterricht Die Vorerfahrungen aus dem Bereich Potenzrech­ nen ermöglichen eine parallele Behandlung von Addition und Subtraktion. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3 Operative Übungen: A 6 Kumulative Aufgaben: A 4; 5; 7 Komplexe Aufgaben: A 8; 9; 10 Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: Schaufenster Zahlenzauber a a – 1 a – 1 a ___________ _______ _______ a (a2 – 1) _ a a a3 – a + a _ a + 2 = _ + = __ 2 2 a – 1 a – 1 a – 1 a2 – 1 ____ ____ ____ a3 a2 · a a _ 2 = _ 2 = a _ 2 a – 1 a – 1 a – 1 a · _ , sondern a + _ . 2 2 √ √ √ √ √ √ 2 Wurzeln K 23 DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:43 Seite: 24 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 51 – 52 Zahlenzauber 5 n-te Wurzel Dieses Schaufenster bietet nicht nur Staunens­ wertes aus der Mathematik, sondern es schult zahlreiche Kompetenzen (vor allem aus dem Bereich der Leitidee Zahl). Die Erklärungen der Phänomene sind schülergemäß möglich: Der Nachweis ist für gute Rechner nach Be­ handlung der letzten Aufgabe ohne Hilfestellung möglich: ___________________ x (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1 =? x (x + 3) + 1 √ ___________________ 5 x + 6) + 1 =? x 2 + 3 x + 1 (x 2 + x) (x 2 + √ ___________________________ 2 + x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1 ? x 2 + 3 x – 1 √ x 4 + 5 x 3 + 6 x = ___________________ ? 2 + 6 x + 1 x 2 + 3 x + 1 √ x 4 + 6 x 3 + 11 x = Intention der Lerneinheit – die Begriffe Radikand, Kubikzahl, Kubikwurzel, Wurzelexponent sowie die Schreibweise für n-te Wurzeln kennen – wissen, dass das Potenzieren mit n die Umkehr­ operation zum Ziehen der n-ten Wurzel ist __ n – wissen, dass b nur für b ≥ 0 definiert ist __√ n – den Wert √ b für geeignete Radikanden im Kopf bestimmen __ n – den Wert √ b mithilfe des Taschenrechners (nä­ herungsweise) berechnen gilt, denn (x 2 + 3 x + 1) 2 = x 4 + 3 x 3 + x 2 + 3 x 3 + 9 x 2 + 3 x + x 2 + 3 x + 1 = x 4 + 6 x 3 + 11 x 2 + 6 x + 1 Der Zusammenhang gilt damit für beliebige vier aufeinander folgende natürliche Zahlen, deren Produkt um 1 vermehrt wird. Der Quadratzahlnachweis ist bei der ersten Folge noch relativ einfach (für n * N): n · (n + 2) + 1 = n 2 + 2 n + 1 = (n + 1) 2 Der zweite Nachweis (Aufgabe in der Höhe des auf der Randspalte abgebildeten Zauberhutes) kann von den Lernenden – vor allem nach Be­ handlung der Vorgängeraufgabe – relativ leicht eingenständig gefunden werden: linke Spalte, unten_________ (für a * N): ______ __________ a 2 + 4 (a + 1) = √a 2 + 4 a + 4 = √(a + 2) 2 = a + 2 √ rechte Spalte (für a *_________ N): ____________ ______ + 1) = √a 2 + 2 a + 1 = √(a + 1) 2 = a + 1 a 2 + a + (a √ Die Wurzelwerte der ersten Zeile (26; 51; 76) sind von der Form 25 n + 1. Der nächste _____ Wurzel­ wert ist also 25 · 4 + 1 = 101 = √10 201 . Die Wurzelwerte der zweiten Zeile (24; 49; 74) sind von der Form 25 n – 1. Der____ nächste Wurzel­ wert ist also 25 · 4 – 1 = 99 = √9801 . Die Diffe­ renz ist immer 100 n: (25 n + 1) 2 – (25 n – 1) 2 = 625 n 2 + 50 n + 1 – 625 n 2 + 50 n – 1 = 100 n. Der Nachweis erfolgt analog der ersten Auf­ gabe. Einstiegsaufgabe Der problemorientierte Zugang führt auf die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert das gesuch­ te Volumen ergibt. Dabei aktivieren die Lernenden wichtige Grundvorstellungen: Anzahl der Würfel­ chen in einer Reihe (Länge) · Anzahl der Reihen (Breite) ergibt die unterste Schicht. Diese ergibt nach Multiplikation mit der Anzahl an Schichten (Höhe) das Gesamtvolumen. Tipps und Anregungen für den Unterricht – Das Schülerbuch lässt auch bei den Kubikwur­ zeln nur positive Radikanden zu. Hier muss mit dem Einwand gerechnet werden, dass im Gegen­ satz zur Quadratwurzel die Definition der 3. Wur­ zel auch auf negative Zahlen ausgedehnt werden darf. Dies wird folgendermaßen begründet: 3 __ √ – 8 = – 2, weil (– 2) 3 = – 8 gilt. Das Zulassen der negativen Zahlen wäre jedoch ungünstig, weil dann einige Wurzelgesetze nicht 1 m n · m mehr gelten würden. Beispiel: a _ n = a _ Aus der Gleichheit ergibt sich das entsprechende n _ n · m __ √ a m Wurzelgesetz: √ a = Werden negative Zahlen als Radikanden zuge­ lassen ergibt sich beispielsweise der folgende Widerspruch: ___ _____ ___ 2 √ – 3 = √ – 27 = √ (– 27) = 729 = + 3! 3 ___ 6 _____ 6 6 __ 3 2 √ 6 + a! – a = √ – a 3 = √ (– a ) = a = Für Anwendungen ist vor allem die 3. Wurzel von Bedeutung. Sie steht deshalb im Schüler­buch im Mittelpunkt der Betrachtungen. Die höheren Wur­ zeln sind jedoch auch keine rein theoretischen Ge­ bilde. Sie finden auch im ­Realschulbereich ihre An­ wendung, so etwa bei der Zinseszinsrechnung. Dort spielen sie bei Fragestellungen nach dem Zinssatz __ 3 2 6 √ 3 n K K n0 eine Rolle. K n = K 0 · q n ¥ q = _ – Die < Serviceblätter „Wurzelrechnen – Partnerarbeitsblatt (1) und (2)“, Seiten S 18 und S 19, können zur Selbstkontrolle der bisher behandelten Regeln eingesetzt werden. K 24 2 Wurzeln DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:44 Seite: 25 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 52 – 53 Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 8 Operative Übungen: A 4; 9 Kumulative Aufgaben: A 5; 6; 10 Komplexe Aufgaben: Wurzeln und Variablen Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: A 3; 7; Randspalte Nun muss zunächst die Anzahl der Würfel bestimmt werden. Auch hier gibt es Lösungen auf unter­ schiedlichem Niveau: Niveau A: Einfaches Aufsummieren 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55 Niveau B: Eine vollständige Mauer würde aus 100 Würfeln bestehen. Die Treppe entspricht der halben Mauer + zehn halben Würfeln = 50 + 5 = 55 Würfel. 3 Teilaufgabe a): Der nächste Wurzelwert ist im­ mer das etwa 2,15-Fache des vorherigen. Für das Tausendfache (8; 8000) des Radikanden ist der Wurzelwert das 10-Fache. Der Sachverhalt sollte erklärt werden: Das nächste Glied der Kette ergibt sich durch Mul­ tiplikation mit__ 10. Für die__dritte Wurzel gilt somit: 3 _ 3 __ 3 3 √ 8 · √ 10 = √ 80 und √ 10 ≈ 2,15. 7 Der geometrische Sachverhalt erlaubt unter­ schiedliche Berechnungen. Wenn die Lernenden sich diese gegenseitig begründen, werden unter­ schiedliche Sichtweisen deutlich. Dabei wird die Gleichwertigkeit von Termen nicht mittels formaler Termumformungen, sondern inhaltlich anhand von konkretem Anschauungsmaterial und sprachge­ stützt aufgezeigt. Teilaufgabe a) erlaubt die Erarbeitung von Lösun­ gen auf überschaubarer Komplexität, die die Bear­ beitung von Teilaufgabe b) erleichtern. Die Lernenden werden zunächst die Würfelanzahl wie folgt berechnen: 3 Stufen bedeutet: 3 Würfel + 2 Würfel + 1 Würfel = 6 Würfel; es folgt also VW = 93,75 m3 : 6 = 15,625 m3. Seitenlänge eines Würfels: 2,5 m. Hier können jedoch auch schon andere Überlegun­ gen (wie in Teilaufgabe b)) auftauchen. Für die Oberflächenberechnung werden wohl unter­ schiedliche Zugänge gewählt, wie z. B. – jede Begrenzungsfläche wird einzeln mithilfe ­einer Strichliste erfasst. – Vorderseite + Rückseite: 6 · 2 Quadrate; rechts: 3 Quadrate; unten: 3 Qua­drate; oben: 2 · 3 Quadrate. Insgesamt: 24 Quadrate. Für den Aufbau eines sinntragenden Termverständ­ nisses sollten die Überlegungen in einen algebra­ ischen Term übersetzt werden: 6 a 2 · 2 + 3a2 + 3a2 + 2 · 3 a2 = 24 a 2 Für eine algebraische Lösung der Teilaufgabe b) muss der Term interpretiert werden: Vorderseite + Rückseite = 2 · Anzahl der Würfel · a 2 Stufenseite: 2 · Stufenanzahl · a 2 unten + rechts: 2 · Stufenanzahl · a 2 10 · 11 Niveau C: 5 · 11 = 55 bzw. _ 55 = 2 Dahinter steckt der Ansatz 10 · 11 (10 + 1) + (9 + 2) + (8 + 3) … bzw. _ 2 Dies kann mit folgender Zeichnung veranschaulicht werden: 10 11 Mithilfe der bisherigen Überlegungen kann auch ein Term zur Oberflächenberechnung bei beliebiger Stufenanzahl (x) aufgestellt werden: Term für die Würfelanzahl: Aus dem Ansatz (x + 1) + (x – 1 + 2 ) + (x – 2 + 3) usw. folgt: Würfelanzahl = (x + 1) · _21 x 2 Wurzeln K 25 DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:45 Seite: 26 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 53 – 57 3 Die gefundenen Terme sollten vorgestellt und Für die Flächenanzahl gilt: Vorderseite + Rückseite: 2 · (x + 1) · _21 x = x (x + 1) Stufenseite: 2 · x unten + rechts: 2 · x gesamt: x (x + 1) + 2 x + 2 x = x 2 + 5 x. bei 10 Stufen: 102 + 5 · 10 = 150 Flächen analysiert werden. Die entstehenden Diskussionen vertiefen das Termverständnis. __ __ __ 2 √18 · √27 3 : √6 ist gleichwer­ Beispiel: __ Der Term __ __ tig zu √18 : √ 6 · √ 27 , da die Klammer unnötig ist und für die Division ein eingeschränktes Vertau­ schungsgesetz gilt. Der zweite Term lässt sich we­ sentlich einfacher zusammenfassen. Randspalte Die Gesetzmäßigkeit sollte auch durch einen Term beschrieben werden: 5 Für eine schnelle Lösung muss der Trick des _____ ____ 3 a a _ a _ = a · a 3 – 1 a 3 – 1 √ 3 √ teilweisen Wurzelziehen angewendet werden. Mithilfe des Terms lässt sich die Allgemeingültigkeit leicht zeigen: ______ ____ _____ ____ 3 3 a 4 – a + a 3 a 3 · a 3 a a __ _ _ a _ = = = a · a 3 – 1 a 3 – 1 a 3 – 1 a 3 – 1 √ √ √ √ Kubikwurzeln immer genauer Die Formel ergibt sich aus dem Newton’schen Iterationsverfahren. Um die Nullstelle einer ­Funktion zu finden, nutzt man die allgemeine Iterationsvorschrift: f (x ) n x n + 1 = x n – _ f ’ (x ) n Für die dritte Wurzel ist f (x) = x 3 – a und f’ (x) = 3 x 2. Setzt man diese Werte ein, ergibt sich die im Schülerbuch angegebene Iterationsvorschrift: x 3 – a 3 x 3 x 3 a 2 a 3 n n n 1 _ = – _ + _ = _ 2 x n + _ 2 x n + 1 = x n – _ 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3 x n n n n n Das in Lerneinheit 2 Bestimmen von Quadratwurzeln vorgestellte Heron-Verfahren ist ein Spezial­ fall des Newton-Verfahrens. Wendet man die ­Iterationsformel auf die Funktion f (x) = x 2 – a an, so erhält man mit f’ (x) = 2 x wie folgt den Term für das Heron-Verfahren: x 2 – a 2 x 2 x 2 n n n n n 1 _ _ _ _ x n + 1 = x n – _ = – _ 2 x 2 x 2 x + 2 x = 2 2 x n + x n 3 n a a Eine schülergemäße Beschreibung könnte folgendermaßen aussehen: Der Radikand gibt den Flächeninhalt der Quadratfläche an. Der Wurzelterm beschreibt somit die Seitenlänge des farbigen Quadrates. Hier sollte die Reihe nicht nur fortgesetzt, ­sondern auch begründet werden. Hierzu können + 3 + 5 die Quadratzahlen 1 4 9 + 7 + 9 16 25 dienen. Die Treppe erinnert an Aufgabe 7 aus Lernein­ heit 5 n-te Wurzel. Zur vorteilhaften Bearbeitung können dieselben Überlegungen dienen (vgl. den dortigen ausführlichen Kommentar zu Aufgabe 7, Seite K 25): Bausteinanzahl bei 6 Stufen: 3 · 12 = 36, denn (11 + 1) + (9 + 3) + (7 + 5) = 3 · 12 Der geforderte Schnitt ergibt sich durch Probie­ ren aus den Quadratzahlen: 9 + 27 = 36 Der Nachweis erfolgt analog dem bei den Quadratwurzeln: ________________ n · (n + 1) (n + 2) + n + 1 √ 3 3 _________________ = √ n 3 + 2 n 2 + n 2 + 2 n + n + 1 3 ____________ = √ n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 = (n + 1) 3. n Üben • Anwenden • Nachdenken Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­ sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1 Operative Übungen: A 3; 4; 5; 8; 9 Kumulative Aufgaben: A 6; 12; 18; 20 Komplexe Aufgaben: A 2; 7; 11; 16 Anwendungsaufgaben: A 10; 13; 14; 15; 19 Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: Schaufenster Zahlenzauber; A 17; 21 K 26 2 Wurzeln Zahlenzauber Fibonacci-Zahlen Der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci (1180–1250) erkannte als Erster den gesetzmäßigen Ablauf vieler biologischer Wachs­ tumsprozesse. Sie können durch eine Zahlenfol­ ge beschrieben werden, die mit 0 und 1 beginnt. Danach ist jede Fibonacci-Zahl gleich der Sum­ me der beiden vorangegangenen FibonacciZahlen: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13 … Die Zahlenfolge ­gehorcht der Rekursionsgleichung F n = F n – 1 + F n – 2 mit F 1 = F 2 = 1. DO01742692_KT_K02_014_027.indd 16.07.2009 14:46:45 Seite: 27 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 57 –58 Das bekannteste Beispiel ist das „Kaninchen­ problem“. Annahme: Kaninchen gebären ab einem Alter von zwei Monaten einen männli­ chen und einen weiblichen Nachkommen. Sie sterben nie und pflanzen sich völlig regelmäßig fort. Wie groß ist der Gesamtbestand an Paaren nach n Monaten? Lösung: Nach n Monaten 1 2 3 4 5 6 7 8 Anzahl Paare 1 1 2 3 5 8 13 21 Teilt man die Fibonacci-Zahlen durch die jeweils vorangegangene, approximiert man v (v steht für die irrationale Zahl, die den golde­ nen Schnitt definiert): Der Term definiert das Längenverhältnis der harmonischen Teilung (goldener Schnitt). Der goldene Schnitt ist das Teilverhältnis, bei dem sich die Länge der ganzen Strecke zur längeren Teilstrecke so verhält, wie die längere zur kürzeren. __ v 1 + √5 = _ 2 Bezeichnet man die längere Strecke mit x und die kürzere mit y, so ergibt sich die Verhältnis­ gleichung x+y x _ y = _ x (x + y) · y= x 2 x 2 – x y – y 2= 0 _____ y 2 2 ± _ 4 + y ___ y = _2 ± _54 y 2 y y __ = _2 ± _2 √5 x1, 2 = _21 y √ √ Für eine Strecke kommt nur die positive Lösung in Frage: __ x = _21 y (1 + √5 ) Daraus ergibt sich das im Schülerbuch angege­ bene Längenverhältnis __ __ 1 + √5 v = _21 + _21 √5 = _ . 2 Zwei Strecken, die in diesem Verhältnis von 1 : 1,618 … zueinanderstehen, werden als beson­ ders harmonisch bzw. natürlich empfunden. __ ______ 19√4 ; √40 000 sind Quadratzahlen und können im Kopf berechnet werden. Welcher der anderen Werte zuerst mit dem Rechner bestimmt wird, ist wegen der geforderten Nach­ kommastellen nicht belanglos: Bestimmt man zuerst den Wert der Wurzel mit dem kleinsten Radikanden (0,004) mit dem Taschen­ rechner und berechnet die anderen mithilfe der folgenden Überlegung, können diese nicht auf die geforderte Genauigkeit bestimmt werden: _____ 0,004 ≈ 0,063 245 5 √ ___ _____ ___ √ 0,004 · √100 ≈ 0,063 245 5 · 10 = 0,632 455 0,4 = √ ______ _____ √ · 10 000 ≈ 632,455 400 000 = √0,004 Der Wurzelwert ist nicht auf sechs Nachkommastel­ len genau. Also muss zuerst die Wurzel mit dem größten Wert als Radikand berechnet werden. Für die anderen gilt dann: ___ ______ _____ ______ √ √ 10 000 = 40 = √ 400 000 : √ 400 000 : 100 usw. Aufgrund der Kommaverschiebung nach links kann immer problemlos auf sechs Nachkommastellen gerundet werden. 20 Das Verfahren über die Primfaktorzerlegung klappt bei allen Quadratzahlen, da dann jeder Prim­ faktor geradzahlig vorkommt. Die Primfaktorzerle­ gung gehört allerdings nicht mehr zum Pflichtstoff in Klasse 6 und wurde auch im Schnittpunkt nicht mehr behandelt. Die Lernenden verfügen also über kein einschlägiges Vorwissen. Das Verfahren lässt sich jedoch mithilfe der Teilbarkeitsregeln leicht aufzeigen. Beispiel: 7056 ist eine Quadratzahl. 7056 = 2 · 3528 (gerade Zahl) = 2 · 2 · 1764 (gerade Zahl) = 2 · 2 · 2 · 882 (gerade Zahl) = 2 · 2 · 2 · 2 · 441 (Quersumme 9) = 2 · 2 · 2 · 2 · 32 · 49 = 24 · 32 · 72 = (22 · 3 · 7) 2 21 Die Aufgabe zeigt, ob die Schülerinnen und Schüler ein Zahlverständnis entwickelt haben. Bei solchen Aufgaben ist die Verwendung von Überprüfungsstrategien wichtig. _ Beispiel für Teilaufgabe a): √1 = 1 Probe: 1 · 1 = 1 Überprüfung auf Vollständigkeit: __ __ Erste Möglichkeit: √2 ≈ 1,41; √ 4 = 2; der Unter­ schied nimmt zu und es ist keine Gleichheit mehr zu erwarten. __ In die andere Richtung: √0 = 0, da 0 · 0 = 0 Weitere sind nicht möglich, da der Radikand nicht negativ werden darf. Zweite Möglichkeit: Gesucht sind die nicht negati­ ven Zahlen, die mit sich selbst multipliziert gleich bleiben. (Echte) Bruchzahlen bleiben wegen der Re­ gel Zähler · Zähler und Nenner · Nenner nie gleich und scheiden deshalb aus. Probe für die ganzen Zahlen: 0 · 0 = 0 Å · Å = 1 2 · 2 = 4 2 Wurzeln K 27 DO01742692_KT_K03_028_034.indd 06.07.2009 14:33:33 Seite: 28 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 60– 77 3 Zinsen Kommentare zum Kapitel Die Prozentrechnung und die Grundlagen der einfachen Zinsrechnung werden bereits in den Klassenstufen 6 bis 8 bearbeitet. Im 6. Schuljahr lernen die Schülerinnen und Schüler Hundertstelbrüche in Prozenten auszudrücken sowie Prozentangaben als Hunderstelbrüche zu verstehen. Im 7. Schuljahr erweitern sie ihre Kenntnisse und Fähigkeiten: Sie berechnen Prozentwerte, Prozentsätze sowie Grundwerte mit der Formel der Prozentrechnung oder dem Dreisatz und erstellen und interpretieren verschiedene Diagrammtypen. Im 8. Schuljahr werden der vermehrte und der verminderte Grundwert mithilfe des veränderten Prozentsatzes berechnet. Der Schwerpunkt des Themas Prozente und Zinsen in diesem Schuljahr ist jedoch die Zinsrechnung. Die Schülerinnen und Schüler berechnen die Grundgrößen der Zinsrechnung sowie die Tageszinsen. Sie lösen dabei auch die Formeln nach den verschiedenen Variablen auf. Hier schließt nun unmittelbar das aktuelle Kapitel an. Intention und Schwerpunkt des Kapitels Laut „mathematik lehren“, Heft 134, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 2006, Seite 4 geben nur 18 % der Jugendlichen ihr ganzes Taschengeld aus. 17 % hingegen sparen ihr gesamtes Taschengeld. Sparziele sind dabei der Führerschein, das eigene Auto, Multimediageräte oder ein Urlaub. Welche Sparmöglichkeiten die Banken anbieten und welche Anlageformen passend sind, damit sich das Geld mit möglichst geringem Risiko vermehrt, sind Schwerpunkte dieser Unterrichtseinheit. Größere Anschaffungen werden oft nicht ausschließlich mit Erspartem, sondern über Kredite finanziert und in Raten abbezahlt. Um die Kosten dafür gering zu halten, ist es wichtig, gründlich nachzurechnen und Angebote zu vergleichen. Welche Möglichkeiten es gibt, einen Kredit aufzunehmen und diesen wiederum zu tilgen, ist deshalb ein weiterer Schwerpunkt dieses Kapitels. Bezug zu den Bildungsstandards Leitidee funktionaler Zusammenhang: Die Schülerinnen und Schüler können die Veränderung von Größen und deren Abhängigkeit beschreiben und analysieren. Als Inhalte werden genannt: Zinseszins – Geldanlage und Schuldentilgung an einfachen Beispielen. K 28 3 Zinsen Leitidee Modellieren: Die Schülerinnen und Schüler können – sinnvolle Modellierungen für außer- und innermathematische Situationen finden und sie mit mathematischen Mitteln beschreiben. – in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten. – Darstellungsformen je nach Situation auswählen und zwischen ihnen wechseln. – bei Problemstellungen kalkülmäßiges Bearbeiten sich ergebender Terme und Gleichungen mit dem Computer ausführen (Tabellenkalkulationsprogramm). Leitidee Zahl: Die Schülerinnen und Schüler können mit Variablen als typisch mathematischen Elementen umgehen und arbeiten. Präsentations- und Referatsthemen 1. Banken und Sparkassen Recherchen bei Sparkassen und Banken über aktuelle Zinskonditionen und Sparmöglichkeiten; ein Musteranschreiben an ein Bankinstitut zur Vorbereitung eines Erkundungsauftrags sowie ein Beispiel für einen Erkundungsleitfaden finden sich in „mathematik lehren“, Heft 134, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 2006, Mathe-Welt, Seite 13. 2. Computereinsatz Präsentationen von Rechenblättern mit Diagrammen zum Thema Effektiver Jahreszins. Auftaktseite: Sparen und Leihen Viele Jugendliche sparen – einige leben auch auf Pump. Beide Aspekte des Themas Zinsen werden mit den zwei Auftaktseiten angesprochen. Mit Internetrecherchen lassen sich viele Informationen zum Thema Jugendliche und Sparen gewinnen. Die Ergebnisse der Recherchen können von den Schülerinnen und Schülern präsentiert werden. Da authentische Daten besonders motivierend sind, können eigene Umfragen durchgeführt werden. Dabei ist der Einsatz einer geeigneten Software zu empfehlen. Mit dem Programm Grafstat [http:// www.grafstat.de] können Fragebogen erstellt, ­Daten erhoben und ausgewertet werden. Erkundungsaufträge bei verschiedenen Banken mit anschließenden Schülerpräsentationen fördern in besonderem Maße die allgemeinen mathematischen Kompetenzen wie mathematische Darstellungen verwenden, mathematisch argumentieren und kommunizieren. DO01742692_KT_K03_028_034.indd 06.07.2009 14:33:33 Seite: 29 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 60 – 63 Auch zum Thema Schulden – Schulden vermeiden finden sich viele interessante Informationen im Internet. Folgende Themen können von den Lernenden recherchiert werden: – überschuldete Haushalte in Deutschland – Wie beliebt sind Ratenkredite? – Warum wurden Schulden gemacht? – Wie komme ich aus der Schuldenfalle? In „mathematik lehren“, Heft 134, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 2006, Mathe-Welt finden sich wei­ tere Informationen und Unterrichtsideen zu diesem Thema. Stellungnahmen der Schülerinnen und Schüler zu Aussagen wie – „Kaufe jetzt – zahle später!“ – „Born to shop“ – „Ich will alles – ich will es jetzt.“ oder eine Pro-und-Kontra-Diskussion zum Thema Schuluniform können den Mathematikunterricht bereichern und motivierend wirken. 1 Zinsrechnung Intention der Lerneinheit – Wiederholung der Begriffe Kapital, Zinssatz und Zinsen – Einübung und Festigung der Formel zur Zinsrechnung mit Zeitfaktor Einstiegsaufgabe Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe werden die Fachbegriffe Guthaben, Kapital, Zinsen und Zinssatz wieder aufgenommen und unterschieden. Die Berechnung der verschiedenen Größen ist einem Brainstorming (Was wisst ihr noch von der Zinsrechnung?) vorzuziehen, da die Wiederholung an einer anspruchsvollen, mehrschrittigen Aufgabe direkt zu den Standardaufgaben der Lerneinheit führt. Tipps und Anregungen für den Unterricht – Die Beispiele mit Lösungen auf Schülerbuch­ seite 62 zeigen als Wiederholung das Einsetzen in die Zinsformel sowie das Umstellen der Formel nach der Zeit. Die Fachbegriffe sind dabei sicherlich nicht mehr allen Schülerinnen und Schülern vertraut. Hier kann auch auf die Größenunterschiede von Haben- und Überziehungszinsen (Sollzinsen) hingewiesen werden. – Zur Wiederholung kann auch auf das < Serviceblatt „Einfache Zinsen“, Schnittpunkt Service- band 8, Seite S 32, zurückgegriffen werden. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 4 Operative Übungen: A 2; 3; 5 a) und b); 6; 8; 9 a) bis c); 10; 11 Kumulative Aufgaben: A 12 Komplexe Aufgaben: A 7; 12; 5 c) Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: A 9 d) 1 Die Aufgabe sollte im Kopf gerechnet werden. Dabei werden viele Schülerinnen und Schüler nicht die Formel, sondern den Dreisatz anwenden. Solche Kopfrechenaufgaben, auch Überschlags­ rechnungen, trainieren die notwendige tägliche (Kopf-) Rechenfertigkeit. 2 und 3 Verschiedene Lösungsmethoden vertiefen das Verständnis für die Zusammenhänge der Grundgrößen der Zinsrechnung. Deshalb sollte auch bei der Lösung dieser Aufgaben auf den Dreisatz hingewiesen werden. Über die Proportionalität von Zeit und Zinsen können die Zinsen für zwei oder drei Monate elegant berechnet werden. 4 bis 10 Die Modellierungen stehen hier im Vordergrund. Die Aufgaben können nicht durch einfaches Umstellen und Einsetzen in die Formel gelöst werden. Sie sind außerdem teilweise offen. Dies erhöht ihren Schwierigkeitsgrad, fördert aber auch das mathematische Verständnis für die Zusammenhänge in der Zinsrechnung. Die Schülerinnen und Schüler sollten sich die von ihnen gefundenen Fragen notieren und erst dann die entsprechenden Rechnungen durchführen. Auch der Zusammenhang „Guthaben nach einem Jahr = Anfangsguthaben + Jahreszinsen“ sollte hier nochmals thematisiert werden. 5 Teilaufgabe c) hat einen besonders hohen Schwierigkeitsgrad. Hier muss zum einen der vermehrte Grundwert und zum anderen der Zeitfaktor berücksichtigt werden. Soll diese Aufgabe von einem Großteil der Klasse selbstständig gelöst werden, ist es sinnvoll, zunächst Beispiele zum vermehrten und verminderten Grundwert zu wiederholen. Lösungsansatz: x + x · 0,02 · 0,25 = 1500, wobei x das Anfangskapital ist. 6 Teilaufgabe c) kann standardmäßig durch ­ insetzen in die Zinsformel gelöst werden. Stärkere E Schülerinnen und Schüler können aber auch 3 Zinsen K 29 DO01742692_KT_K03_028_034.indd 06.07.2009 14:33:34 Seite: 30 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 63 – 65 über die Proportionalität von Zeit und Zinsen ­rechnen. 10 Teilaufgabe b) kann mithilfe der Proportionalität von Zinssatz und Zinsen schnell und elegant gelöst werden. 12 Der Vergleich des Skontos mit der Höhe der Überziehungszinsen verbindet die Prozentrechnung mit der Zinsrechnung. Der Begriff Skonto ist dabei zunächst nochmals zu klären. Die Aufgabe unterstützt das kumulative Lernen. 2 Zinseszins Intention der Lerneinheit – die Berechnung des Kapitals in Abhängigkeit von der Zeit bei einer konstanten mehrjährigen Verzinsung verstehen – die Kalküle zur Berechnung der Grundgrößen Kapital, Zinsen, Zinssatz und Zinsfaktor anwenden – komplexe Fragen zur Zinseszinsrechnung mit geeigneten Modellen beschreiben und bearbeiten sowie die verwendeten Modelle reflektieren Einstiegsaufgabe Die Aufgabe thematisiert die Berechnung der Zinsen über mehrere Jahre. Sie zeigt, dass die Berechnung der Summe der einfachen Zinsen, die von den meisten Schülerinnen und Schüler bevorzugt wird, nicht zum richtigen Ergebnis führt. Einige Schülerinnen und Schüler erkennen am richtigen Ergebnis den Zinseszinseffekt. Es ist folgendes Vorgehen zu empfehlen: – Präsentation der Aufgabe (auf einer Folie) durch den Lehrer, – Gruppen- oder Partnerarbeit, – Präsentation der Schülerergebnisse. Tipps und Anregungen für den Unterricht Von großer Hilfe für den Umgang mit Zinseszinsen in das Operatormodell: Anfangskapital ·q Kapital nach einem Jahr Dieses Verfahren sollte sicher beherrscht werden, denn der Zinsfaktor ist der Schlüssel zum Verständnis der Zinseszinsrechnung und ihrer Formel. Wird die Multiplikation mehrfach ausgeführt, kann damit das Geldwachstum über mehrere Jahre beschrieben werden. Die Erweiterung der oberen Visualisierung unterstützt das Verständnis für die Berechnungen der K 30 3 Zinsen Zinseszinsrechnung. (Zur Bedeutung von Visualisierungen vgl. Exemplarischer Kommentar: Visualisierung, Seite K 38 in Schnittpunkt, Serviceband 8.) Anfangskapital Kapital nach einem Jahr ·q ·q Kapital nach einem Jahr Kapital nach zwei Jahren Die obigen Ausführungen sind auch Grundlage für das Verständnis und die Erarbeitung der Formeln für das Zuwachs- und das Ratensparen. Das < Serviceblatt „Zinseszins – Schritt für Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 20, bietet solche Aufgaben. Das < Serviceblatt „Zinseszins mit dem Computer: einfach genial“, Seite S 21, zeigt die Vorteile eines Rechenblattes bei der Zinseszinsrechnung. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2 Operative Übungen: A 3; 4; 5; 6 a); 7 Kumulative Aufgaben: A 6 b) und c); 9 a) und b) Komplexe Aufgaben: A 7 c); 10; 9 c) Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: A 8 1 bis 7 Durch Umformen und Einsetzen in die Zinseszinsformel werden die Standardalgorithmen an einfachen Modellierungen geübt und teilweise automatisiert. Ihre Beherrschung ist Voraussetzung für komplexere Modellierungen. 8 Die händische Lösung mithilfe einer Tabelle ist sehr rechenaufwändig. Die vielen Rechenoperationen bergen die Gefahr von Fehlern, die sich dann fortpflanzen. Mit einem Tabellenkalkulationssystem ist die Aufgabe wesentlich eleganter und sicherer zu lösen. Hinweise dazu gibt es im Methodenkasten Zinseszinsrechnen mit dem Computer auf Schülerbuchseite 66. Bei der Gegenüberstellung der beiden Vorgehensweisen werden die Vorteile einer Tabellenkalkulation besonders deutlich. Faustregel Die Schülerinnen und Schüler sollten erkennen, dass die Verdopplungszeit nicht vom Anfangskapital abhängig ist. Das Werkzeug Tabellenkalkulation bietet hierzu neue methodische Möglichkeiten (vgl. Exkurs: Faustregel zur Kapitalverdopplungszeit, Seite K 31). DO01742692_KT_K03_028_034.indd 06.07.2009 14:33:35 Seite: 31 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 65 – 66 Aufgabenidee: – Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 4 %? – Nimm verschiedene Beträge als Anfangskapital. Was fällt dir auf? – Nimm einen anderen Zinssatz und verschiedene Anfangskapitale und bestimme jeweils die Verdopplungszeit. Exkurs Faustregel zur Kapitalverdopplungszeit Ist der Zinssatz p % < 5 %, dann gilt für die Verdopplungszeit eines Kapitals näherungsweise die Formel p · n = 70 . Dies kann mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms plausibel gemacht werden. 2 p 3 n Aus der Gleichung 2 · K0 = K0 · 1 + _ 100 folgt: lg 2 n = __ . p _ 2 3 lg 1 + 100 Setzt man diese Formel für verschieden Zinssätze in ein Rechenblatt (Tabellenkalkulationsprogramm) ein, ergeben sich folgende Werte: Zinseszinsrechnen mit dem Computer Das Methodenfenster zeigt die Vorteile des Einsatzes eines Tabellenkalkulationsprogramms bei Fragestellungen zur Zinseszinsrechnung, wie beispielsweise: – schnelle und bequeme Variation der Daten, – experimentelle Mathematik oder – einfache Möglichkeit der Visualisierung. Mithilfe des < Serviceblatts „Zinseszins mit dem Computer: einfach genial“, Seite S 21, können die Schülerinnen und Schüler die Tabelle selbstständig erstellen. Auch bei der Aufstellung von Spar- und Tilgungsplänen ist ein Tabellenkalkulationssystem ein wichtiges Werkzeug. 9 Die Kontokorrentrechnung verbindet die einfache Zinsrechnung mit der Zinseszinsrechnung. Bei der Bearbeitung der Aufgabe werden nochmals die Unterschiede der beiden Berechnungsarten deutlich. Die Aufgabe unterstützt das kumulative Lernen. Teilaufgabe c) stellt höchste Ansprüche an die Modellierungsfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. 10 Diese sehr komplexe Aufgabe sollte nur mit Der Tabelle kann man entnehmen, dass für einen Zinssatz p % > 5 % mit der Zahl 72 bessere Näherungswerte erzielt werden als mit der Zahl 70. Aus diesem Grund wurde auf der Schülerbuch­ seite 65 die Faustregel mit 72 gewählt. Ist die Verdopplungszeit n vorgegeben, so lässt 2 p n 3 sich p aus 2 · K0 = K0 · 1 + _ 100 berechnen: _ n p = 2 √ 2 – 1 3 · 100 . sehr leistungsstarken Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden. Zunächst ist die folgende Frage zu klären: Wieso verringert sich der tatsächliche Wert eines Kapitals von 100 € bei einer Inflations­ rate von 2,5 % in einem Jahr auf 97,56 €? Folgende Aufgabe könnte dies verdeutlichen: Im Jahr 2000 kosten 100 Tafeln Schokolade 100 €. Im Jahr 2001 kosten 100 Tafeln Schokolade dann 102,50 €. Also erhält man im Jahr 2001 für 100 € nur noch: 100 _ 102,5 · 100 = 97,56 Tafeln Schokolade. Die 100 € aus dem Jahre 2000 sind also im Jahre 2001 nur noch 97,56 € „wert“. Es gilt also: Wert (im Jahr 2000) Wert (im Jahr 2001) = __ · 100 . 102,5 Für Teilaufgabe a) ergibt sich folgende Fragestellung: Wie groß ist der Wertzuwachs eines Kapitals von 2000 €, das mit 4,5 % verzinst wird bei einer Inflationsrate von 2,5 %? Ohne die Berücksichtigung der Inflationsrate hat das Kapital nach einem Jahr einen Wert 2000 € · 1,045 = 2090 €. 3 Zinsen K 31 DO01742692_KT_K03_028_034.indd 06.07.2009 14:33:35 Seite: 32 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 66 – 68 Mit Berücksichtigung der Inflationsrate haben die 2090 € ein Jahr später den Wert 2000 € · 1,045 __ 102,5 · 100 = 2039,02 €. In einem Jahr erhält man also einen tatsächlichen Wertzuwachs von 39,02 €. Folgender Fragestellung tritt im Unterricht immer wieder auf: Wieso beträgt der Wertzuwachs in einem Jahr nicht 2000 € · 1,045 – 2000 € · 1,025 = 40 €? Erklärung: Diese errechneten 40 € erhält man im Jahr 2001. Bezogen auf das Jahr 2000 sind dies ­unter ­Berücksichtigung der Inflationsrate dann 40 € _ 102,5 · 100 = 39,02 €. Mit diesen Überlegungen ist der in der Aufgabe gefragte tatsächliche Wertzuwachs in vier Jahren einfach zu berechnen: 2 1,045 3 4 tums. Die Einstiegsaufgabe thematisiert diesen häufigen Schülerfehler. Es ist folgendes Vorgehen zu empfehlen: – Präsentation der Aufgabe (auf einer Folie) durch den Lehrer, – Gruppen- oder Partnerarbeit, – Präsentation der Schülerergebnisse. Tipps und Anregungen für den Unterricht Die Visualisierungen auf dem < Serviceblatt „Zuwachssparen – Schritt für Schritt: rechne und ver­ stehe“, Seite S 22, unterstützen den Lernprozess beim Thema Zuwachssparen. Das Schema entspricht den Darstellungen auf dem <Serviceblatt „Zinseszins – Schritt für Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 20, zum Zinseszinsrechnen. 2000 € · _ 102,5 · 100 – 2000 € = 160,73 € Aufgabenkommentare Hinweise zu Teilaufgabe b): Der „tatsächliche Jahreszins“ ist ein fiktiver, über die Laufzeit konstant bleibender inflationsbereinigter Zinssatz. Für ihn 39,02 = 1,95 % gilt: _ 2000 Es lässt sich auch der inflationsbereinigte Zinsfaktor Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 3 a) Operative Übungen: A 2 a) und b); 3 b); 4; 6 Kumulative Aufgaben: A 2 b); 6 b); 3 d); 8 Komplexe Aufgaben: A 5; 7 Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: A 3 d) und e) 2000 3 berechnen: 2 _ 2160,73 0,25 = 1,0195 3 Zuwachssparen Intention der Lerneinheit – das Zuwachssparen als Zinseszinssparen mit steigenden Zinssätzen beschreiben – die Kalküle zur Berechnung der Grundgrößen Kapital, Zinsen, Zinssatz und Zinsfaktor anwenden – den Unterschied zwischen einem gleich bleibenden Zinssatz (geometrischer Mittelwert) und dem durchschnittlichen Zinssatz (arithmetischer Mittelwert) erklären – komplexe Fragen zum Zuwachssparen mit geeigneten Modellen beschreiben und bearbeiten sowie die verwendeten Modelle reflektieren Einstiegsaufgabe Auch nach Erarbeitung der Gesetzmäßigkeiten der Zinseszinsrechnung zeigen sich bei den Aufgaben zum Zuwachssparen zwei typische Schülerfehler: – Bei der Frage nach dem Endkapital wird oft mit der einfachen Summe der Jahreszinsen gerechnet. Das bedeutet, dass die Zinsen nicht mitverzinst werden. – Ist nach einem gleich bleibenden Zinssatz gefragt, der zu dem gleichen Endkapital führen soll, wird oft das den Lernenden sehr vertraute arithmetische Mittel gewählt. In beiden Fällen übernehmen die Schülerinnen und Schüler intuitiv die Gesetze des linearen Wachs- K 32 3 Zinsen 1 bis 4 Hier wird das sichere Umgehen mit der Formel an einfachen Modellierungen geübt. Bei den Teilaufgaben 1 c) und 2 c) wird nochmals der Unterschied zwischen dem gleich bleibenden Zinssatz (dem geometrischen Mittel) und dem durchschnittlichen Zinssatz (dem arithmetischen Mittel) thematisiert. 3 In den Teilaufgaben a) und b) werden nochmals die Standardalgorithmen geübt. Die Frage nach dem gleich bleibenden Zinssatz in Teilaufgabe c) wurde bereits in den Aufgaben 1 c) und 2 c) thematisiert. 5 Mit dem Hinweis auf die Kommutativität der Multiplikation lässt sich eine allgemeine Begründung für die Lösung angeben: K0 · 1,02 · 1,03 · 1,04 = K0 · 1,04 · 1,03 · 1,02 6 Diese Aufgabe lässt sich mit dem < Serviceblatt „Zuwachssparen – Schritt für Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 22, bearbeiten. Die Visualisierung hilft, die vergleichsweise komplexe Fragestellung zu verstehen. 7 Die Aufgabe lässt sich mithilfe eines Operatorschemas (vgl. < Serviceblatt „Zuwachssparen – Schritt für Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 22) oder mit einer Gleichung lösen. DO01742692_KT_K03_028_034.indd 06.07.2009 14:33:35 Seite: 33 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 69 – 70 4 Kleinkredit Intention der Lerneinheit – die einen Kleinkredit kennzeichnenden Größen sowohl für Zinssätze pro Monat als auch für Zinssätze pro Jahr bestimmen – Möglichkeiten und Gefahren bei einer Kreditaufnahme aufzeigen Einstiegsaufgabe Die sehr ausführlichen Erklärungen in der Grafik erlauben eine selbstständige Bearbeitung durch die Schülerinnen und Schüler. Die Ergebnisse sollten dann präsentiert werden. Es sollte auf die psychologische Wirkung des geringen monatlichen Zinssatzes hingewiesen werden. Tipps und Anregungen für den Unterricht – Eine bei Kleinkrediten häufig praktizierte Methode ist die Angabe von Monatszinssätzen und ihre Anwendung auf den gesamten Kreditbetrag während der gesamten Laufzeit. Da viele junge Erwachsene einen Kleinkredit in Anspruch nehmen, sollte darauf hingewiesen und diese ­Methode auch hinterfragt werden. – Durch unterschiedliche Angaben zu Laufzeit, Bearbeitungsgebühr und Rückzahlungsmodalitäten sind Kreditangebote oft nur schwer vergleichbar. Dies führt zur Angabe des effektiven Jahreszinses (vgl. Infokasten Effektiver Jahreszins, Schülerbuchseiten 74 und 75). – Mit folgendem Tabellenaufbau können die Berechnungen zum Kleinkredit mit festem Zinssatz pro Monat aus dem vollen Kreditbetrag übersichtlich dargestellt und das Verständnis gefördert werden. Unterrichtsmaterialen dazu finden sich in „mathematik lehren“, Heft 134, Erhard-Friedrich-Verlag, ­Seelze 2006, Mathe-Welt, Seite 16. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3 Operative Übungen: A 4; 5; 6 Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: A 1 1 Hier sind die monatlichen Raten sowie die gesamten Kreditkosten zu berechnen. Ein einfacher Tilgungsplan (36 Zeilen!) sollte mit einer Tabellenkalkulation erstellt werden. 1 bis 3 Für die Lösungen kann die unter Tipps und Anregungen, Seite K 33 aufgeführte Tabelle genutzt werden. Eine weitere Zeile für „einmalige Gebühr“ ist dann einzufügen. 4 Die Umkehraufgabe lässt sich mithilfe einer Gleichung berechnen: Mit K = Kreditbetrag gilt: 4800 = K + K · 0,02 + K · 24 · 0,04 Mit einer (wie unter Tipps und Anregungen aufgeführten) Tabelle lässt sich die Aufgabe strukturieren und schrittweise berechnen: 1. Höhe der monatlichen Rate: 200 € 2. Zinssatz pro Monat: 0,4 % 3. Laufzeit in Monaten: 24 4. Bearbeitungsgebühr: K · 2 % 5. Zinsen = 0,004 · 24 · K 6. Mit einem Rückzahlungsbetrag von 4800 € kann man den Kreditbetrag in Zeile 8 berechnen. 5 Auch hier kann eine Tabelle den Lösungsweg unterstützen: Beispiel: 1. Kreditbetrag: 15 400 € 2. Laufzeit in Monaten: 36 3. Rückzahlungsbetrag: 477,80 € + 480 € · 35 = 17 277,80 € 4. Zinsen: 17 277,80 € – 15 400 € = 1877,80 € 5. Berechnung des Zinssatzes in Zeile 7: Zinssatz = Zinsen/Laufzeit/Kreditbetrag Die Lernenden können aufgefordert werden, mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms ein entsprechendes Rechenblatt zu gestalten. – Im Rahmen dieser Lerneinheit sollte die Frage Dispo oder Ratenkredit? thematisiert werden, da Dispositionskredite sehr häufig in Anspruch genommen werden. 6 Bei dieser Aufgabe gelten für die Berechnung der Zinsen dieselben Bedingungen wie beim Darlehen. Bei Laufzeiten von mehr als 20 Monaten sollte der Tilgungsplan mit einem Tabellenkalkulationsprogramm erstellt werden. Damit ist auch der Gesamtbetrag der insgesamt zu bezahlenden Zinsen einfach zu berechnen. 3 Zinsen K 33 DO01742692_KT_K03_028_034.indd 06.07.2009 14:33:35 Seite: 34 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 73 – 75 Üben • Anwenden • Nachdenken Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 3; 6 a) Operative Übungen: A 5; 6 b) und c); 8; 11; 12; 13 Kumulative Aufgaben: A 2; 4; 6 a); 7 Komplexe Aufgaben: A 2; 4; 5; 9; 10 Problemstellungen – offene Aufgaben­ situationen: A 4 Effektiver Jahreszins Es ist nicht einfach, Kreditangebote miteinander zu vergleichen. Ursachen dafür sind – verschiedene Laufzeiten, –Darlehen mit prozentualer, einmaliger und ohne Bearbeitungsgebühr, – die Angabe von Monatszinssätzen, –Zinsberechnungen aus dem vollen Kredit­ betrag während der gesamten Laufzeit trotz Tilgung. Kreditinstitute sind daher verpflichtet, einen vergleichbaren Zinssatz anzugeben. Diesen bezeichnet man als effektiven Jahreszins. Er wird von Banken nach einem komplizierten Verfahren berechnet. In der im Kasten angegebenen Tabelle sind ­effektive Jahreszinsen für verschiedene Laufzeiten und monatliche Zinssätze angegeben. Hier ist auch eine Bearbeitungsgebühr von 2 % zugrunde gelegt. Die Annahme, dass die Anfangsschuld gleichmäßig auf null sinkt, ist nicht richtig. Zum einen steigen mit wachsender Laufzeit die Tilgungs­ beträge und zum anderen ist zu berücksichtigen, dass die Rate immer erst zum jeweiligen Monatsende bezahlt wird. Deshalb kann mit der hergeleiteten Formel der effektive Jahreszins nur näherungsweise berechnet werden. K 34 3 Zinsen DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:41:57 Seite: 35 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 78 – 99 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze Kommentare zum Kapitel Mathematisch gesehen handelt es sich bei der Ähnlichkeit um eine Abbildung von Kongruenzklassen. Im Kompetenzbereich Raum und Form ist neben dem Erkennen von Ähnlichkeit auch die Konstruktion ähnlicher Figuren durch zentrische Streckung vorgesehen. Durch Analyse dieser Abbildung wird der funktionale Aspekt deutlich. Die ­Strahlensätze werden dabei als Eigenschaft der zentrischen ­Streckung abgeleitet. Bisher konnten die Schülerinnen und Schüler Streckenlängen nur aus maßstabsgerechten Zeichnungen oder Abbildungen entnehmen. Mithilfe der Strahlensätze steht ihnen nun eine Technik zur Verfügung, Streckenlängen zu berechnen. Die Lernenden kennen Vergrößerungen und Verkleinerungen aus ihrem täglichen Leben (Kopierer, Computerprogramme, Landkarten, …) und verfügen damit bereits über die Vorstellung, dass eine derartige Abbildung geraden-, winkel- und längenverhältnistreu ist – ohne dies allerdings mathematisch hinterfragt zu haben. Intention und Schwerpunkt des Kapitels Ist bei der zentrischen Streckung die Lage der Bildfigur unerheblich geworden, entdecken die Lernenden die Zusammenhänge zwischen dem Vergrößern bzw. Verkleinern einer Figur und den Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktoren. Die Beziehung zwischen linearem, flächigem und räumlichem Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor wird aufgezeigt. Ausgehend von der zentrischen Streckung werden ähnliche Figuren und ihre Eigenschaften beschrieben. Das konstruktive und rechnerische Ermitteln ähnlicher Figuren steht dabei im Mittelpunkt. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Strahlensätze kennen und üben das Formulieren und Anwenden dieser Sätze ein. Bezug zu den Bildungsstandards Leitidee Messen: Die Schülerinnen und Schüler können – Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit angeben. – gezielt Messungen vornehmen, Maßangaben entnehmen und damit Berechnungen durchführen. – Ergebnisse in Bezug auf die Situation prüfen. – Streckenlängen und Winkelgrößen in der Ebene und im Raum mit Ähnlichkeitsbeziehungen berechnen. Leitidee Raum und Form: Die Schülerinnen und Schüler – erkennen Ähnlichkeiten und begründen sie mit ihren Eigenschaften. – konstruieren ähnliche Figuren durch zentrische Streckung (Maßstab). – lösen geometrische Probleme konstruktiv (Strahlensätze). Leitidee Modellieren: Die Schülerinnen und Schüler können – sinnvolle Modellierungen für außer- und innermathematische Situationen finden und sie mit mathematischen Mitteln beschreiben. – im jeweiligen mathematischen Modell arbeiten. – das verwendete mathematische Modell kritisch beurteilen, einschätzen und es gegebenenfalls anpassen beziehungsweise verwerfen. – Äußerungen von anderen zu mathematischen Modellen verstehen und überprüfen. Weiterführende Hinweise – Die Lerneinheiten sollten in der vorgegebenen Reihenfolge behandelt werden, da das Kapitel hierarchisch aufgebaut ist: Von der zentrischen Streckung führt der Weg zu ähnlichen Figuren, welche wiederum die Grundlage für das Verständnis der Strahlensätze bilden. – Die Anwendung der Strahlensätze bietet die Möglichkeit, Mathematik für Lernende im wahrsten Sinne des Wortes (be-)greifbar zu machen, indem einfache Messgeräte bei der Ermittlung von unzugänglichen Strecken (insbesondere Höhen) eingesetzt werden. Dadurch erhöht sich die Motivation der Schülerinnen und Schüler, sich auch algebraisch mit diesem Thema aus­ einanderzusetzen. Präsentations- und Referatsthemen Geometrie im Gelände Eigene Messgeräte bzw. dazu notwendige Hilfsmittel herstellen (z. B. Försterdreieck, Visierquadrat, Messlatten, …), ihre Funktionen, Einsatzmöglichkeiten und mathematische Zusammenhänge beschreiben. Messungen durchführen, protokollieren und interpretieren. Messgeräte bzw. Messmethoden der Klasse vorstellen (vgl. Hinweise im Exemplarischen Kommentar: Geometrie im Gelände, Seite K 41). 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze K 35 DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:41:57 Seite: 36 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 78 – 80 Auftaktseite: Auf die Größe kommt es an Da die abgebildete Visus-Tafel manchen Lernenden in dieser oder ähnlicher Form bereits bekannt ist und zudem zur Überprüfung der eigenen Sehschärfe herausfordert, ist dieser Einstieg überaus motivierend. Es ergeben sich jedoch erst bei größeren Unterschieden der Sehschärfe sinnvolle Vergleichsmöglichkeiten: Wer sieht am besten, wer am schlechtesten? Wievielmal besser? Welchen Unterschied gibt es mit bzw. ohne Brille? Bäume messen Durch die anschauliche Zeichnung wird den Schülerinnen und Schülern deutlich, wie sie bei dieser Messmethode verfahren müssen. Genaue Messungen sind jedoch dadurch nicht zu erwarten. Durch das Messen der Klassenzimmerhöhe, bei dem die wahre Höhe mittels eines Zollstocks leicht bestimmt werden kann, werden den Lernenden die Grenzen dieser Messmethode aufgezeigt. Gleichzeitig macht dies neugierig auf genauere Messverfahren. Die verschiedenen Messmethoden und -geräte werden im weiteren Verlauf des Kapitels immer wieder thematisiert. Es stehen diesbezüglich die < Serviceblätter „Geometrie im Gelände (1) – das Försterdreieck“, Seite S 31, „Geometrie im Gelände (2) – das Visierquadrat“, Seite S 32, und „Geometrie im Gelände (3) – Bearbeitungsbogen“, Seite S 33, zur Verfügung. Vergrößern? Die Konstruktionsaufgaben führen durch das Vergrößern in den Themenbereich Ähnlichkeit ein. Sie bieten eine Reihe von Fragestellungen, die zur Diskussion anregen. So kann beispielsweise beim Vergrößern das Augenmerk der Lernenden auf die Seitenlängen der Dreiecke, den Umfang, den Flächeninhalt oder die Lagen bestimmter Punkte und Strecken gelenkt werden. Bei entsprechend exakter Konstruktion der Dreiecke können dadurch bereits zu diesem Zeitpunkt interessante Zusammenhänge aufgezeigt werden. Dabei ist auf eine eindeutige verbale Abgrenzung der mathematischen Begriffe Ähnlichkeit bzw. (maßstäbliches) Vergrößern zu den Begriffen der Alltagssprache zu achten. Eine differenzierte Partner- oder Gruppenarbeit mit anschließender Ergebnispräsentation ist hier denkbar. Schattenbilder Die Schattenbilder sind eine einfache Möglichkeit, den Zusammenhang von der Entfernung zum Streckzentrum (hier eine Lichtquelle) und der Größe K 36 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze des Schattens im Vergleich zu den Händen zu visualisieren. Die Schülerinnen und Schüler erhalten Impulse zur Diskussion über diesen Zusammenhang. Außerdem regen die Schattenbilder zu Überlegungen über die Möglichkeiten der mathematischen Darstellung des Zusammenhangs zwischen Größe und Entfernung an. 1 Zentrische Streckung Intention der Lerneinheit – zentrische Streckung als eine Möglichkeit zur Vergrößerung oder Verkleinerung mit Zirkel und Lineal kennen und selbst durchführen können – den Zusammenhang zwischen dem Vergrößern bzw. Verkleinern einer Figur und dem Streck­ faktor k kennen – erkennen, dass mehrmaliges Vergrößern bzw. Verkleinern einer Vergrößerung bzw. Verkleinerung dem Produkt der eingesetzten Faktoren entspricht – die gewonnenen Erkenntnisse auf Strecken, Flächen und Körper anwenden, d. h., den Zusammenhang zwischen linearem, flächigem und räumlichem Streckfaktor kennen Einstiegsaufgabe Die Einstiegsaufgabe veranschaulicht das maßstäbliche Vergrößern bzw. Verkleinern. Durch Abzählen können die Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktoren ermittelt werden. Als Hilfestellung kann der Tipp „Betrachtet (Messt) nur eine Seitenlänge.“ gegeben werden. Auf die im Vergleich zu den anderen Figuren gedrehte Lage der gelben Figur sollte eingegangen werden. Der Einsatz von Bruchzahlen ist anzustreben. Dies wird bei der Umkehrung – Verkleinerung der gelben zur roten Figur – besonders deutlich 2 · _21 ; · 2 3. Um die Ermittlung der Faktoren zunächst zu erleichtern, kann auch der Taschenrechner als Hilfsmittel zugelassen werden. Folgende Zusatzfragen können dann zu den Bruchzahlen führen: – Kann die Dezimalzahl, die der Taschenrechner liefert, auch als Bruch geschrieben werden? – Hätte man diese Bruchfaktoren auch ohne ­Taschenrechner bestimmen können? Es sollte zusätzlich die Frage thematisiert werden, welcher Zusammenhang zwischen den Faktoren der mehrmaligen Vergrößerung bzw. Verkleinerung und dem diese ersetzenden Faktor besteht. Vergrößerung mit dem Faktor k1 und anschließende Vergrößerung mit dem Faktor k2 kann durch die Vergrößerung mit k1 ∙ k2 = k3 ersetzt werden. DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:41:57 Seite: 37 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 80 – 83 Tipps und Anregungen für den Unterricht – Bei der zentrischen Streckung von geometri­ schen Figuren kann alternativ bzw. zur Differenzierung anstatt kariertem Papier auch unliniertes Papier eingesetzt werden. Die Lernenden werden damit zwangsläufig zu präzisem Messen bzw. zu einem genaueren Umgang mit dem Geodreieck angehalten. – Da Schülerinnen und Schüler in der Regel dazu neigen, eher Dezimalzahlen als Bruchzahlen zu verwenden, sollten mithilfe entsprechender Aufgaben (z. B. Aufgabe 6 auf Schülerbuchseite 82) auch die Vorteile der Bruchschreibweise für die zentrische Streckung verdeutlicht werden. – Der Zusammenhang zwischen linearem, flächi­ gem und räumlichem Streckfaktor (Bemerkung Schülerbuchseite 81) sollte nicht übergangen werden, da dies in späteren Aufgaben und im Rückspiegel nochmals thematisiert wird. Das < Serviceblatt „Eigenschaften ­zentrischer Streckung“, Seite S 23, bietet den Lernenden eine Möglichkeit, die Eigenschaften der zentrischen Streckung selbstständig zu finden und zu verbalisieren. Für die Bearbeitung dieses Themenbereichs ­stehen die < Serviceblätter „1-, 2-, 3-dimensional (1) und (2)“, Seiten S 24 und S 25, zur Verfügung. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 2 Operative Übungen: A 1; 3; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 15 Kumulative Aufgaben: A 4 Komplexe Aufgaben: A 5; Info-Kasten Zentrische Streckung mit DGS Anwendungsaufgaben: A 13; 14 Problemstellungen – Offene Aufgaben­ situationen: A 6 1 Zusätzlich zu der von den Lernenden verlangten und zur Abgrenzung der Regel notwendigen Begründung, die auch verbal erfolgen kann, können die Lernenden aufgefordert werden, Rechtecke, die keine Vergrößerungen oder Verkleinerungen darstellen, zu „korrigieren“ bzw. weitere Rechtecke zu konstruieren. 5 Teilaufgabe a) kann durch das Festlegen von „Fixpunkten“ (vgl. Teilaufgabe b)) variiert werden. 6 Steht x für eine bestimmte Streckenlänge der Ausgangsfigur, so kann durch das Aufstellen und anschließende Umformen der Gleichungen 1,5 3 1 _ _ x · k = x · _ 1 = 2 = x’ und x = kR = k hergeleitet werden. Um keinen ungenauen Streckfaktor zu erhalten, sollte man hier mit Brüchen arbeiten. Der Zusammenhang von Figur und Bildfigur bezogen auf den Streckfaktor k wird dadurch klarer. 12 Die praktische Bedeutung des Themas wird den Schülerinnen und Schülern bei dieser Aufgabe deutlich. Zur Kontrolle der Lösung kann die Vergrößerung bzw. Verkleinerung der Smileys am Computer (hier: MS-Word®) nachvollzogen werden (evtl. als Hausaufgabe). Der Faktor sollte hierbei über die Funktion „Autoform formatieren“, „Größe“ als Pro­ zentzahl eingegeben werden. Beim Zeichnen kann man durch gleichzeitiges Drücken der „Shift-Taste“ sofort kreisrunde Formen erzeugen. Anderenfalls muss die Kreisform durch die gleiche Eingabe bei „Höhe“ und „Breite“ erzeugt werden. 13 Der Zusammenhang zwischen Seitenlänge und Flächeninhalt wird bei dieser anwendungsorientierten Aufgabe nochmals deutlich. Zusätzlich kann gefragt werden, warum die Faktoren an einem Kopiergerät mit 71 % und 141 % angegeben sind und nicht mit 70 % oder 72 % bzw. 140 % oder 142 %. Da bei Teilaufgabe b) die Buchseite keine Verkleinerung eines DIN-Maßes darstellt, kann die Seite mit maximal 110 % vergrößert werden, sofern die ganze Seite auf das DIN-A4-Blatt passen soll. Wenn die Buchränder nicht auf der Kopie erscheinen müssen, kann unter Umständen auch ein größerer Faktor gewählt werden. Zur Differenzierung kann das Kopieren auf andere DIN-Formate oder das Kopieren bestimmter Buchseiten (z. B. Schülerbuch) thematisiert werden. 14 Die Antwort auf die zweite Frage ist nicht allgemeingültig zu geben, da es Karten unterschied­ lichen Formats gibt. 15 Ähnlich wie bei Aufgabe 1 sollte auch bei dieser Aufgabe eine rechnerische oder verbale Begründung eingefordert werden. 2 bis 4, 8 und 9 Zur Selbstkontrolle kann (von den Lernenden) eine Lösungsfolie hergestellt werden. 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze K 37 DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:41:58 Seite: 38 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 83 – 84 Zentrische Streckung mit DGS Mit einer DGS kann man die Veränderung der Streckfaktoren und ihre Auswirkung auf die Bildfigur beobachten. So ist es möglich, den Streckfaktor gegen 0 gehen zu lassen, um zu zeigen, was im Extremfall passiert, wenn k = 0 wird. Eine DGS kann aus diesem Figurpunkt natürlich die Figur rekonstruieren, die Lernenden nicht. Hinweise zur Erstellung der für die Bearbeitung des Kastens Zentrische Streckung mit DGS notwendigen Datei mithilfe des Programms GEONExT; Download unter [http://www.geonext.de]: 1.Zunächst wird ein Polygon, am besten ein Viereck, konstruiert. 2.Anschließend wird der Punkt Z festgelegt und auch in Z umbenannt. 3.Durch den Punkt Z und die jeweiligen Eckpunkte des Polygons werden Geraden kons­ truiert. 4.Auf die Gerade ZA wird ein Gleiter gelegt und in A’ umbenannt. 5.Durch A’ wird nun eine Parallele zur Strecke AB des Polygon konstruiert und der Schnittpunkt mit der Geraden ZB in B’ umbenannt. Anschließend wird die Parallele versteckt und die Strecke A’B’ konstruiert. Mit den anderen Punkten und Strecken des Polygons wird ebenso verfahren. 6.Zur Berechnung des Streckfaktors wird ­folgender Term eingegeben: (X(A’)+(-X(Z)))*1/(X(A)+(-X(Z))) 2 Ähnliche Figuren Intention der Lerneinheit – den Begriff der mathematischen Ähnlichkeit zum alltäglichen Sprachgebrauch abgrenzen – ähnliche Figuren erkennen und deren Ähnlichkeit begründen – ähnliche Figuren sowohl konstruktiv als auch rechnerisch ermitteln Einstiegsaufgabe Die Aufgabe führt auf anschauliche Art und Weise in die Thematik ein, wobei das mathematische Argumentieren und verbale Begründen im Mittelpunkt stehen sollten. Obwohl den meisten Schülerinnen und Schülern durch reine Anschauung relativ schnell klar sein dürfte, welche Figuren zueinander ähnlich sind, ist darauf zu achten, dass sie ihre Ver­mutungen unter Verwendung entsprechender Be­griffe (Seitenverhältnisse, schlank, breit, Winkel, …) möglichst genau begründen und damit ihre ­mathematische Argumentationsfähigkeit weiter trainieren. Die Rechtecke R3 und R4 erkennt man sofort als zu schlank, um zum roten Rechteck zu passen. R1 ist zwar etwas breiter als das rote Rechteck, aber mehr als doppelt so lang. Auch R5 ist zu schlank. Es bleibt somit nur R2 als Partner des roten Rechtecks. Bei der zweiten Frage ist schnell klar, dass R4 viel schlanker als die übrigen Rechtecke ist. Damit ist die isolierte Figur gefunden. Im Umkehrschluss gibt es jetzt keine isolierte Figur mehr. Damit müssen R1, R3 und R5 zusammengehören. Deshalb kann auch kein Dreieck isoliert sein. Es gehören die Dreiecke D1 und D2 (gleichschenklig), D5 und D6 (rechtwinklig) und D3, D4, D7 (allgemein) zusammen. Für die Rechtecke sind neben der logischen Argumentation zwei Arten der inhaltlichen Argumentation möglich: Den „Schlankheitsgrad“, also das Seitenverhältnis jedes einzelnen Rechtecks, oder die Verhältnisse einander möglicherweise entsprechender Seiten innerhalb eines Paares von Rechtecken einschätzen. Tipps und Anregungen für den Unterricht – Der umgangssprachliche Ähnlichkeitsbegriff ist wesentlich allgemeiner als der mathematische. Es ist notwendig, diesen Unterschied im Unterricht klar herauszuarbeiten. Umgangssprachliche Formulierungen wie „sie sehen sich ähnlich“ bergen sonst die Gefahr, dass sie unreflektiert in die mathematische Sprache der Lernenden übernommen werden. – Das < Serviceblatt „Ähnlichkeitspuzzle“, Seite S 26, ermöglicht einen spielerischen Zugang zu dieser Thematik. Mit dem < Serviceblatt K 38 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:42:00 Seite: 39 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 84 – 86 Für die Seitenlänge eines Papiers im DIN-Format __ √2 a gilt _b = _ 1 . Das heißt, das Verhältnis der Seitelängen entspricht dem Verhältnis der Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seitenlänge. __ b √2 Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 2 Operative Übungen: A 1; 3; 8; 10 Kumulative Aufgaben: A 4; 5; 6; 7 Komplexe Aufgaben: A 9 Anwendungsaufgaben: Schaufenster DIN-Formate DIN-Formate __ Aufgabenkommentare 10 Umgangssprachlich wird in vielen Bereichen der Begriff ähnlich gebraucht, wobei sich dieser Begriff wie oben erwähnt deutlich vom mathematischen Ähnlichkeitsbegriff unterscheidet. a = √2 b „­Tan­dembogen: Ähnlichkeit“, Seite S 27, lassen sich die wesentlichen Aspekte dieses Kapitels in Partner­arbeit trainieren. Das < Serviceblatt „Ähnlich?“, Seite S 28, legt besonderen Wert auf die verbale Begründung der Zusammenhänge im Bereich dieses Themas. Zur Vertiefung des Themas steht darüber hinaus das < Serviceblatt „Selbstähnlich“, Seite S 29, zur Verfügung. 2 Das Konstruieren geometrischer Figuren unter Zuhilfenahme bestimmter Eigenschaften (in diesem Fall der Ähnlichkeit) ist den Lernenden aus vorangegangenen Klassen bekannt. Um diese Eigenschaften herauszuarbeiten und sichtbar zu machen, sollte auf eine Konstruktion Wert gelegt werden, bei der die Eigenschaften ähnlicher Figuren genutzt werden. Das Verhältnis der Seitenlängen _ 1 kann aus 6 Die Aufgabe greift nochmals den in Lerneinheit b a _ = _ _a 1 Zentrische Streckung thematisierten Zusammenhang von Seitenlängen und Flächeninhalten beim Vergrößern von Rechtecken auf und überträgt diesen auf Dreiecke. Randspalte Bei einem schmalen Bilderrahmen liegt die ­Annahme nahe, die beiden Ränder seien ähnlich. Zur Verdeutlichung sollte man den Bilderrahmen verbreitern. 7 Durch das Ineinanderzeichnen der beiden Recht­ecke kann die Aufgabe schneller gelöst werden, wobei das Einzeichnen einer verlängerten Rechtecksdiagonale notwendig ist. b __ √2 den zwei Bedingungen hergeleitet werden, dass sich das nächstkleinere Format durch Halbierung des Blattes erzeugen lässt und dabei das Seitenlängenverhältnis beibehalten wird. Denn wenn a 2 vorgegeben ist, folgt _ = _ 2 und damit b 2 1 __ 2 2 3 a √2 1 . das Verhältnis _b = _ b Für das DIN-A0-Format wurde die zusätzliche Festlegung A = 1 m2 getroffen. Damit erhält man die zugehörigen Seitenlängen: a __ √ 2 1 und A = a b = 1 folgt Aus _b = _ __ √2 a _ _1 = _ 2 a 3 1 __ 2 a 2 = √ 4 _ a=√ 2 ≈ 1,189 b = _ a1 ≈ 0,841 Weitere DIN-Formate sind: Ausgangsformat Maße in cm 8 Hier ist es viel günstiger, für jedes Rechteck das Reihe A DIN-A0 84,1 × 118,9 Seitenverhältnis zu berechnen, als Seiten verschiedener Rechtecke in Beziehung zu setzen. Reihe B DIN-B0 100,0 × 141,4 Reihe C DIN-C0 91,7 × 129,7 Reihe D DIN-D0 77,1 × 109,0 Reihe E DIN-E0 80,0 × 112,0 9 Aufgabe mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad, bei der einerseits genaues Lesen und andererseits entsprechendes Vorstellungsvermögen notwendig sind. Das Anfertigen einer Skizze oder maßstäblichen Gleichung erleichtert das Lösen. 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze K 39 DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:42:01 Seite: 40 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 87 – 89 3 Strahlensätze Intention der Lerneinheit – die Strahlensätze kennen und Strahlensatz­ figuren erkennen – die Strahlensätze formulieren und anwenden Einstiegsaufgabe Die Aufgabe nimmt Bezug auf die Messmethode der Auftaktseite. Es müssen ähnliche Dreiecke ­gefunden und zueinander in Beziehung gesetzt werden. Auch hier ist das Einfordern einer Be­ gründung wichtig. Mögliche Zusatzfrage: Warum ist es wichtig, dass die Messlatte genau senkrecht steht? Durch die Zeichnung eines Hauses mit Giebeldach kann veranschaulicht werden, dass die Messmethode auch hier eingesetzt werden kann. Bei entsprechender Ausrichtung des Gebäudes liegt jedoch ein Messpunkt im bzw. neben dem Haus. Tipps und Anregungen für den Unterricht – Durch korrekte Beschriftungen der Strahlensatzfiguren können Fehler vermieden werden. Der Punkt S muss klar erkannt werden. Die Maße für die Teilstrecken stehen immer im Inneren der Figur. Der Einsatz von unterschiedlichen Farben zur Kennzeichnung der Streckenlängen ist ratsam und insbesondere für schwächere Schülerinnen und Schüler sehr hilfreich. – Um das Grundverständnis für die Strahlensätze zu festigen, sollte man die Lernenden immer wieder dazu auffordern, sich die ähnlichen Dreiecke zu vergegenwärtigen. Ein zu schnelles formalistisches Vorgehen bei diesem vermeintlich leichten Thema ist zu vermeiden. – Der Merksatz „Lang zu kurz gleich lang zu kurz“ ist zwar sehr einprägsam, wird aber immer wieder falsch angewendet. Es ist dringend er­ for­derlich, dies anhand geeigneter Beispiele zu ­thematisieren. – Lernende haben manchmal Probleme bei der rückwärtigen Verlängerung der Schenkel. Auch hier ist die Vergegenwärtigung der ähnlichen Dreiecke und des Scheitels hilfreich. – Nach Einführung der Strahlensätze kann das < Serviceblatt „Tandembogen: Strahlensätze“, K 40 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze Seite S 30, zur selbstständigen Übung in Partnerarbeit eingesetzt werden. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 3 Operative Übungen: A 2; 4; 7; 9 Kumulative Aufgaben: A 5 Problemstellungen – Offene Aufgaben­ situationen: A 6; 8 4 Die Lernenden müssen erkennen, dass sich bestimmte Strecken aus Teilstrecken zusammensetzen lassen. Der Merksatz „Lang zu kurz gleich lang zu kurz“ kann hier thematisiert werden. Dabei sollte man auch typische Fehler betrachten. 5 Aufgabe mit höherer Anforderung, da neben dem richtigen Aufstellen der Strahlensätze ein längerer Rechenweg notwendig ist, um alle unbekannten Strecken zu ermitteln. Teilaufgabe b) führt beim Lösen zudem auf eine rein-quadratische Gleichung. Das hierbei notwendige Wurzelziehen liefert neben dem positiven auch einen negativen Wert, der jedoch unbrauchbar ist und vernachlässigt werden kann. 6 Die richtige Teilung der Strecke kann sowohl mithilfe der Strahlensätze als auch mit dem Begriff Ähnlichkeit begründet werden. Die Parallelität der drei Verbindungsstrecken ist dabei natürlich ­Voraussetzung und kann als zusätzlicher Hinweis zur Lösung der Aufgabe beitragen. 7 Die drei wesentlichen Typen von Verhältnisgleichungen der Aufgabe sind: a+b (Å) _xc = _ a x+c a+b x+c b (2) _ = _ c a (3) _ = _ a x Beim Einsatz einer Formel zum Lösen von Aufgaben neigen die Schülerinnen und Schüler dazu, Werte unreflektiert in diese einzusetzen. Wichtige Zusatzfragen: – Kann diese Formel immer verwendet werden? – Wann gilt die Formel? – Sollte diese Formel in der Formelsammlung ­stehen? 8 Zum besseren Verständnis können die unterschiedlichen Lösungsmöglichkeiten am Tageslichtprojektor gegenübergestellt werden. DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:42:01 Seite: 41 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 89 – 90 9 Bei Teilaufgabe a) erhält man durch Umformung die folgende Gleichung: a c + b c = a c + a d | – a c b c = a d Teilaufgabe b) kann auf ähnliche Weise gelöst werden, wobei der Zusammenhang der Streckenlängen von einigen Schülerinnen und Schülern durch bloße Anschauung vermutet werden wird. Hier kann neben der rechnerischen Lösung auch eine sinnvolle verbale Begründung stehen. 4 Lesen und Lösen Intention der Lerneinheit – Strahlensatzfiguren in Anwendungsaufgaben erkennen und Strahlensätze in unterschiedlichsten Zusammenhängen anwenden – Messungen mithilfe der Strahlensätze beschreiben, durchführen und Messergebnisse hinterfragen und interpretieren Einstiegsaufgabe Die Aufgabe greift die Einstiegsaufgabe aus der Lerneinheit 3 Strahlensätze in leicht abgewandelter Form auf. Das Erkennen geeigneter Strahlensatzfiguren bzw. das methodische Vorgehen beim Lösen von Anwendungsaufgaben mithilfe der Strahlensätze stehen im Mittelpunkt. Die Notwendigkeit paralleler Strecken wird durch die Lage des Stabes bzw. seines Verhältnisses zur Mauer nochmals deutlich. Alle Skizzen führen mithilfe der Strahlensätze zu einer Berechnung der Mauerhöhe (5,70 m). Beim Ansatz von Torben muss der Strahlensatz mit zwei verschiedenen Scheitelpunkten angesetzt werden (einmal am Fuß der Mauer, einmal im Auge). Tipps und Anregungen für den Unterricht Das Thema bietet für die Lernenden vielfältige Möglichkeiten, das Messen unerreichbarer Strecken in der Realität zu erproben und führt ihnen somit die Anwendungsmöglichkeiten der Schulgeome­ trie exemplarisch vor Augen. Geeignete Hilfsmittel sind in den Schulen meist vorhanden oder können ohne größeren Aufwand selbst bzw. unter Einbeziehung eines anderen Faches hergestellt werden. In diesem Zusammenhang ist auch die Durchführung eines projektorientierten und fächerübergreifenden Unterrichtsvorhabens denkbar, bei dem selbst geeignete Messinstrumente entwickelt, miteinander verglichen und auf ihre Tauglichkeit überprüft werden. Allgemein sollten die Lernenden immer wieder überprüfen, ob die Voraussetzungen für die Anwendung der Strahlensätze gegeben sind bzw. welche Faktoren die (Mess-)Ergebnisse negativ beeinflussen. Anregungen für eigene Messversuche bieten folgende Aufgaben: Einstiegsaufgabe; 3; 6; 8; 9; 10; 12; Auftaktseite Bäume messen. Für die Erprobung einzelner Messversuche stehen mit den < Serviceblättern „Geometrie im Gelände“ (1) bis (3) – Bearbeitungsbogen, Seiten S 31 bis S 33, Bearbeitungsbögen zur Verfügung, die eine intensive und strukturierte Auseinandersetzung und Dokumentation mit dem jeweiligen Messverfahren ermöglichen. Damit die Schüler genügend Platz für ihre schriftliche Auswertung haben, ist es ratsam, das Serviceblatt S 33 auf DIN-A3 zu kopieren. Für die Messmethoden „Försterdreieck“ und „Visierquadrat“ stehen die < Serviceblätter Seite S 31 und Seite S 32 zur Verfügung. Exemplarischer Kommentar Geometrie im Gelände Dieser Exemplarische Kommentar basiert auf Vollath, Engelbert: Geometrie im Gelände, Auer, Donauwörth 1989. Folgende Grundsätze sind nach E. Vollath beim Peilen und Messen in freier Natur notwendig: Geometrie im Gelände sollte keine Vermessungskunde werden, das bedeutet, dass die Anwendungsmöglichkeiten geometrischer Zusammenhänge verdeutlicht werden und die Schülerinnen und Schüler durch das Messen Größenvorstellungen gewinnen. Das Arbeiten im Gelände sollte ein Ergebnis bringen. Dabei ist neben dem Produkt auch der Prozess als Lerngewinn zu sehen. Es ist wichtig, dass alle organisatorischen Lernvoraussetzungen geschaffen sind, dass der mathematische Hintergrund verstanden ist und dass die Schülerinnen und Schüler wissen, was sie vor Ort zu tun haben. Geometrie im Gelände sollte Größenvorstellungen schaffen. Durch Vermessen von Objekten, durch das eigenständige, selbsttätige Erarbeiten, wird die Vorstellung von Größen intensiver verankert als durch bloßes Anschauen. Schätzübungen, die vor jeder Messung durchgeführt werden können, festigen die gewonnenen Größenvorstellungen. Hat bei der Arbeit im Gelände jeder Schüler eine Aufgabe, wird die notwendige Arbeitsdisziplin gewährleistet. Geometrie im Gelände sollte die Möglichkeit zur Sozialerziehung nutzen. Durch Kooperation und Teamarbeit wird das soziale Verhalten gefördert. Geometrie im Gelände sollte mit einfachen Geräten möglich sein. Das Verständnis für geometrische Zusammenhänge sollte für die Schülerinnen und Schüler nachvollziehbar bleiben. Die Arbeitsmittel werden nach Möglichkeit selbst hergestellt. 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze K 41 DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:42:01 Seite: 42 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 91 – 93 Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Anwendungsaufgaben: alle 3 Teilaufgabe c) kann von den Lernenden selbst erprobt werden, beispielsweise bei der Messung der Klassenzimmerhöhe. Durch Vergleich der Messergebnisse werden die Ungenauigkeit des Messverfahrens und mögliche Fehlerquellen deutlich. Es ist darauf zu achten, dass die Lernenden dies jeweils begründen. Hypotenuse eines Skalendreiecks. Daher sind die zwei Dreiecke ähnlich. Die Skalenwerte geben die Steigung des Visierdreiecks an. Die Begriffe Kathete und Hypotenuse sind den Schülerinnen und Schülern nicht unbedingt geläufig. Dies ist bei einer Erklärung zu beachten. Um möglichst genaue Messergebnisse zu erhalten, muss die Körpergröße des Messenden bei der Ermittlung der Höhen berücksichtigt werden, indem man die Augenhöhe addiert. Ein professionelles Höhenmessgerät ist in der Abbildung zu sehen. Die unterschiedlichen Skalen beziehen sich auf bestimmte Zielentfernungen. Für diese kann man direkt die Höhe ablesen. 4 Sollten im Einzugsgebiet der Lernenden Schilder mit Steigungs- oder Gefälleangaben ­stehen, kann man diese gut in den Unterricht ­einbinden. 5 Da in der Abbildung kein Funkmast zu sehen ist, sollte von den Lernenden eine geeignete Zeichnung angefertigt werden. Das Ergebnis 15,17 m erhält man, wenn man die Körpergröße außer Acht lässt. Die Tatsache, dass Körpergröße und Augenhöhe nicht übereinstimmen, bleibt bei der Aufgabenstellung unberücksichtigt, kann aber gesondert thematisiert werden. Für die Lösung der Aufgabe ergibt (10,5 – 1,6) · 6,5 sich dann (in m): __ + 1,6 = 14,5 4,5 7 Bei dieser Aufgabe besteht der Anspruch darin, die mathematisch relevanten Informationen in eine Skizze umzusetzen. Als erster Schritt kann die Lösung auch geometrisch ermittelt werden, indem man eine maßstäbliche Zeichnung anfertigt und die entsprechende Strecke misst. Das Finden eines geeigneten Maßstabes kann zusätzlich thematisiert werden. Durch Rechnung können die Lernenden dann dieses Ergebnis verifizieren. 8 Die abzulesenden Skalenwerte sind die Kehrwerte der Steigungen der Dreiecke, die von der Skalenlinie „0“, der Skala und der dazugehörigen Hypotenuse (hier: Faden) gebildet werden. Die Visierkante steht auf der gemeinsamen Kante (Skalenlinie „0“) aller dieser Dreiecke senkrecht. Die Hypotenuse des Steigungsdreiecks der Visierkante steht auf dem Faden senkrecht, also auf der K 42 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze Für den Einsatz dieses Messverfahrens im Unter­ richt steht das < Serviceblatt „Geometrie im Gelände (2) – das Visierquadrat“, Seite S 32, zur ­Verfügung. 10 Um die Messung alleine durchführen zu können, ist die eigene Größe sowie eine gut sichtbare Markierung für die Bestimmung der Länge des eigenen Schattens notwendig. Praktikabler ist es die Messung mit einer Partnerin oder einem Partner durchzuführen. Ein großer Vorteil der Messung mithilfe des Schattens ist, dass außer einem Maßband keine weiteren Hilfsmittel benötigt werden. 11 Aufgabe mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad. Um die Höhe ermitteln zu können, muss ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden. 12 Detaillierte Informationen zur Dominanz eines Auges findet man im Internet unter dem Stichwort „Augendominanz“. DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:42:01 Seite: 43 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 93 – 97 Sonnenfinsternis und Strahlensatz Bildet man die r _ rMS = dES Quotienten _ dEM = 391 und 412 , so stellt man fest, dass die Ergebnisse einigermaßen nahe beieinander liegen. Angesichts der vergleichsweise stark gerundeten Maße kann man sagen, dass die Aussage d r ES S _ _ dEM = rM stimmt. Lässt man rS, rM und dEM bestehen und berechnet die Entfernung d zwischen dem Scheitel der Strahlensatzfigur und dem Sonnenmittelpunkt, ergibt sich d = 158 · 106 km, also d > dES. Daraus kann die Breite des Schattens mithilfe des Erdradius rE = 6370 km berechnet werden. Unter der (Modell-)Annahme, der Schatten sei r ein Kreis mit Radius r, erhält man _rrE = _ dS Es ergibt sich ein Radius von 29 km, also eine Schattenbreite von 58 km. Für die Sonnenfinsternis vom 11. 8. 1999 wird in der Literatur ein Wert von 116 km angegeben (Abweichung angesichts der ungenauen Daten). Wäre der Mond deutlich weiter von der Erde weg, läge die Spitze des Schattenkegels immer vor der der Sonne zugewandten Seite der Erde und es gäbe demzufolge keine Sonnenfinsternis. Dieser Fall tritt tatsächlich ein, wenn der Mond zwar zwischen Erde und Sonne steht, aber dabei seine maximale Entfernung von der Erde hat. Wäre der Mond viel größer, wäre auch der Schatten größer und es gäbe längere und auch mehr (partielle) Sonnenfinsternisse mit größerem Schatten. Läge die Mondbahn in der Erdbahnebene, gäbe es vereinfacht gesagt monatlich eine Sonnen­ finsternis. Zum Thema Sonnenfinsternis finden sich zahlreiche Informationen im Internet, u. a. auch Animationen zum Verlauf des Mondschattens auf der Erde. Üben • Anwenden • Nachdenken Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Operative Übungen: A 1; 4; 5; 7; 9; 11; 12; 13; 17 a) und b); 20; 21 Kumulative Aufgaben: A 3; 6; 8; 17 c); 18 Komplexe Aufgaben: A 10; 16; 22 Anwendungsaufgaben: A 14; 19; Anstoß Wie hoch ist der Baum? Problemstellungen – Offene Aufgaben­ situationen: A 2; 15 2 Längere Strecken erhöhen die Genauigkeit. Der Winkel spielt hierbei keine Rolle, sollte aber nicht größer als 90° sein. 7 Die Aufgabe greift nochmals den Zusammenhang zwischen linearem, flächigem und räumlichem Streckfaktor auf. 9 Die Teilaufgaben a), b) und d) erfordern einen längeren Rechenweg, da Streckenlängen zum Teil addiert werden müssen. Hier kann die richtige Anwendung des Merksatzes „Lang zu kurz gleich lang zu kurz“ nochmals vertieft werden. 10, 14 und 15 Die Schwierigkeit dieser Aufgaben bestehen darin, die mathematisch relevanten Informationen in eine Skizze umzusetzen. Zum Teil wird auch Vorwissen (z. B. Berechnung der Kreisfläche) verlangt. 17 Auch nach dem Finden und Einzeichnen der Hilfslinie kann es einigen Schülerinnen und Schülern Schwierigkeiten bereiten, die neu entstandenen Strecken als Subtraktion zweier Teilstrecken zu begreifen. Das Aufstellen einer Formel für die Strecke x – Zahlwerte sind durch Variablen zu ersetzen – kann zur Differenzierung für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler benutzt werden. 18 Kumulative Aufgabe, bei der Teilaufgabe a) mithilfe der Strahlensätze gelöst werden kann. Die Lösung für Teilaufgabe b) kann mithilfe ähnlicher Dreiecke (mittleres und großes Dreieck) gefunden werden. Das Quadrat kann mithilfe der Winkelhalbierenden konstruiert werden. 21 Die Lösung kann analog zur Lösung von Auf­ gabe 17 erfolgen. Durch das Einzeichnen einer Hilfslinie erhält man eine Strahlensatzfigur. 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze K 43 DO01742692_KT_K04_035_044.indd 06.07.2009 14:42:02 Seite: 44 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 98 Wie hoch ist der Baum? Diese Messmethode wird u. a. in einem Leitfaden für Förster beschrieben und wird nach ihrem Erfinder auch „Höhenmesser von Christen“ genannt. Um diese Messmethode in einem projektorientierten Unterrichtsvorhaben einsetzen zu können, wurde die Länge gegenüber der Originalstange reduziert. Die Stange ist in der Praxis 4 m lang und damit etwas unhandlich. Die Messgenauigkeit ist aber umso höher, je länger die Stange bzw. die Skala ist. Bei der Messung ist der Höhenmesser so zu halten, dass er parallel zum Baum steht. Die Skala ist automatisch senkrecht, wenn sie an einer Schnur aufgehängt wird. Vorteilhaft ist, dass bei diesem Messverfahren keine Entfernungsmessung notwendig ist. Da in Mitteleuropa Baumhöhen über 40 m sehr selten sind, ist die Skala diesbezüglich begrenzt. Neben den im Schülerbuch aufgeführten Daten können auch folgende verwendet werden: 0,96 h’ = 0,48 m; l = 2 m; h = _ l’ l’ in m 0,02 0,03 0,04 0,048 0,05 0,06 h in m 48 32 24 20 19,2 16 0,08 0,096 0,10 0,12 0,15 0,192 0,20 12 10 9,6 8 6,4 5 4,8 Im Vergleich zu den Schülerbuchwerten sind alle Einträge für h mit 48 : 30 = 1,6 zu multiplizieren. Die l’-Werte, die Baumhöhen über 6 m anzeigen, sind dieselben wie im Schülerbuch, sodass man von der zur Verfügung stehenden Skalenlänge 48 cm nur 20 cm benötigt. Skalenwerte mit Dezimalzahlen wie etwa 19,2 sind unzweckmäßig und deshalb in der Tabelle durch günstigere ersetzt. Bei der in der Praxis am häufigsten eingesetzten Version wird mit folgenden Werten gearbeitet: 1,20 h’ = 0,30 m; l = 4 m; h = _ l’ l’ in m 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,08 h in m 60 40 30 24 20 15 l’ in m 0,10 0,12 0,15 0,17 0,16 0,20 h in m 12 10 8 7 7,5 6 K 44 4 Ähnlichkeit. Strahlensätze DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:24 Seite: 45 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 100 – 123 5 Satzgruppe des Pythagoras Kommentar zum Kapitel Die Satzgruppe des Pythagoras kann mit Recht als Besonderheit unter den Unterrichtsinhalten genannt werden. Peter Baptist bezeichnet den Satz des ­Pythagoras in: modulbezogene Erläuterungen zu „Pythagoras und kein Ende?“ [Internet: blk.mat. uni-­bayreuth.de/links/material/BLKpyth.pdf] sogar als „erstes Beispiel substantieller Mathematik innerhalb des Schulstoffs“, weil der eigentliche Kern des Satzes sich auch beim genauen Betrachten der zugehörigen geometrischen Konfiguration nicht unmittelbar oder intuitiv erschließt (im Gegensatz beispielsweise zur Schnitteigenschaft der Mittelsenkrechten im Dreieck). Es besteht also ein echtes Beweisbedürfnis, um den Satz zu erkennen. Hinzu kommen die vielen Vernetzungen und Anwendungen, die sich innerhalb und auch außerhalb des Schulstoffes für die Satzgruppe des Pythagoras ergeben, und die Vielfalt kulturgeschichtlicher Aspekte. Der Satz des Pythagoras gehört zu den wenigen Sätzen der Geometrie, die noch viele Jahre nach dem Schulabschluss wiedergegeben werden können. Allerdings kann zwar meist die Gleichung a 2 + b2 = c 2 korrekt wiedergegeben werden, es steht dem aber oft der Verlust der inhaltlichen ­Vorstellung des entsprechenden Flächensatzes ­gegenüber. Obwohl in den Klassen 9 und 10 vermehrt arithmetische und algebraische Aspekte der Geometrie ins Zentrum des Unterrichts rücken, sollte das inhalt­liche Verständnis der Sätze aus der Satz­gruppe des Pythagoras als Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck gut verankert werden. Beim Beweisen der Sätze ergibt sich die Möglichkeit, einen spezifischen Beitrag zum Erwerb der allgemeinen Kompetenz mathematisch Argumentieren zu leisten. Dazu gehört insbesondere das Entwickeln und Beschreiben eines Beweises oder einer Beweisidee. Dabei können alle Niveaus erreicht werden: Die Wiedergabe eines bereits im Unterricht behandelten Beweistyps (Niveau A), das Entwickeln oder Erläutern eines mehrschrittigen Beweises (Niveau B) sowie der Umgang mit komplexeren Beweisen und die Bewertung verschiedener Beweistypen (Niveau C). Vergleiche hierzu auch den Exkurs: Den Satz des ­Pythagoras beweisen, Seite K 49. Intention und Schwerpunkt des Kapitels Schwerpunkte des Kapitels sind Kenntnis und Anwendung der Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras im Sinne einer mathematischen Regel. Eingeführt werden sie als Flächensätze. Es bietet sich an, sie aufgrund von verschiedenen Plausibilitätsbetrachtungen auf einem für die Schülerinnen und Schüler anschau­lichen Niveau zu beweisen (vgl. hierzu den Exkurs: Den Satz des Pythagoras beweisen, Seite K 52). Es folgt die Berechnung von Seitenlängen rechtwinkliger Dreiecke in unterschiedlichen ebenen und räumlichen Figuren. Geometrie und Algebra werden in besonderer Weise verknüpft, indem mit Formvariablen gerechnet wird und mithilfe der Satzgruppe Formeln aufgestellt werden. Den Abschluss des ­Kapitels bilden vielfältige Anwendungen der Sätze aus dem Alltag. Bezug zu den Bildungsstandards Leitidee Zahl: Die Schülerinnen und Schüler können – Begriffe, Regeln und Verfahren erläutern. – logisch schließen und begründen. Leitidee Messen: Die Schülerinnen und Schüler ­können – Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit angeben. – gezielt Messungen vornehmen, Maßangaben entnehmen und damit Berechnungen durch­ führen. – Streckenlängen in der Ebene und im Raum (…) berechnen. Leitidee Raum und Form: Die Schülerinnen und Schüler können – geometrische Zusammenhänge mit algebraischen Methoden untersuchen. – rechnerische Beziehungen zwischen Seitenlängen (…) im rechtwinkligen Dreieck herstellen. – Eigenschaften geometrischer Objekte und ihrer Beziehungen untereinander erkennen, begründen und sie zur Analyse von Sachzusammenhängen beim Problemlösen nutzen. – (…) ein dynamisches Geometriesystem beim ­explorativen Arbeiten einsetzen. Leitidee Modellieren: Die Schülerinnen und Schüler können – verschiedene Formen von Modellierungen anwenden, interpretieren und unterscheiden. – Inhalte aus verschiedenen Themenbereichen verknüpfen. 5 Satzgruppe des Pythagoras K 45 DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:24 Seite: 46 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 100 – 101 Weiterführende Hinweise – Die Reihenfolge der Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras ist nicht hierarchisch. Hier wird der Einstieg über die geometrische Herleitung des Kathetensatzes favorisiert. Denkbar wäre auch, zunächst den Satz des Pythagoras wie beschrieben einzuführen und die anderen beiden Sätze (Kathetensatz und Höhensatz) mit dessen Hilfe arithmetisch herzuleiten. Vergleiche hierzu die Exkurse Den Kathetensatz beweisen, Seite K 47 und Den Höhensatz beweisen, Seite K 48. – Grundsätzlich sollte ein vorschnelles Reduzieren der Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras auf ihren rein formalen Gehalt (a2 + b2 = c2 ; a2 = c · p; b2 = q · c und h2 = p · q) vermieden werden. Stattdessen sollte sowohl bei ihrer Einführung als auch bei ihrer Anwendung immer wieder auf das inhaltliche Verständnis der Sätze als Flächensätze Wert gelegt werden. – Für die Genauigkeit der Angabe von gerundeten Ergebnissen sei auf den Exemplarischen Kommentar: Sinnvoll Runden, Seite K 19, verwiesen. Präsentations- und Referatsthemen 1. Historisches zu Pythagoras und den ­Pythagoreern Auch wenn die Grenze zwischen historischen Fakten und Mythen bei dieser Thematik oftmals fließend ist, lassen sich doch viele interessante Aspekte zur Person und zum Umfeld des Pythagoras von Samos und den Pythagoreern zusammentragen. Das Internet bietet dazu ausreichend Informationsmaterial. 2. Pythagoreische Zahlentripel Einige Anregungen zu diesem interessanten Teil­ thema liefern der Exkurs: Pythagoreische Zahlen, Seite K 52, und die < Serviceblätter: „Pythago­ reische Zahlentripel“, Seite S 38, und „Pythagoreische Zahlentripel mit MS-Excel®“, Seite S 39. 3. Gegenüberstellung und Vergleich verschiedener Beweise des Satzes. Etliche Beweise zum Satz des Pythagoras lassen sich auch in der Sekundarstufe I fruchtbar nutzen. Im Rahmen einer Präsentation können von stärkeren Schülerinnen und Schülern verschiedene Arten von Beweisen vorgestellt und miteinander verglichen werden (Niveau C). Vergleiche den Exkurs: Den Satz des Pythagoras beweisen, Seite K 49, sowie die ­< Serviceblätter: „Zerlegungsbeweise“, Seite S 34, und „Ergänzungs­beweis“, Seite S 35. K 46 5 Satzgruppe des Pythagoras Auftaktseite: Ein guter Tausch? Die gewählte Thematik der Auftaktseite eignet sich, um den Satz des Pythagoras als Flächensatz einzuführen, da er das dazugehörige Phänomen der Flächenumwandlung thematisiert. Die anwendungsorientierte Rahmenthematik der Flächeninhalte von jeweils zwei quadratischen Grundstücken, die gegen ein einziges Grundstück getauscht werden sollen, kann problemorientiert angegangen und von den Lernenden selbstständig bearbeitet werden. Die Aufforderung, die voraussichtliche Entscheidung von Bauer Albrecht bzw. des Bürgermeisters in den beiden weiteren Fällen zu begründen, schult zudem die prozessorientierten Kompetenzen mathematisch Argumentieren und Kommunizieren. Nachdem die Flächeninhalte berechnet und verglichen wurden, stellt sich die Frage nach der Ursache der Unterschiede. Hier ist der Blick auf die unterschiedliche Form der jeweils eingeschlossenen Dreiecke zu richten. Die folgende Gesetzmäßigkeit kann entweder durch weitere Konstruktionen sowie Messungen und Berechnungen oder durch den gezielten Einsatz einer DGS (vgl. Experiment Dreiecke und DGS, Schülerbuchseite 108) vermittelt werden: – Bei rechtwinkligen Dreiecken ist das größere Quadrat flächengleich zu den beiden kleineren Quadraten. – Bei spitzwinkligen Dreiecken ist der Flächeninhalt des größten Quadrats kleiner als die Summe der Flächeninhalte der beiden anderen Quadrate. – Bei stumpfwinkligen Dreiecken ist der Flächeninhalt des größten Quadrats größer als die Summe der Flächeninhalte der beiden anderen Quadrate. Hinweis: Durch ungenaue Messergebnisse und Rundungseinflüsse kann die Gesetzmäßigkeit zunächst nur erahnt werden – dadurch kann aber gleichzeitig ein Beweisbedürfnis seitens der Lernenden erwachsen. An dieser Stelle kann zur Vertiefung der Thematik der Flurbereinigung oder mathematisch gesprochen der Flächenumwandlung das < Serviceblatt „Flächenumwandlung“, Seite S 36, eingesetzt werden. DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:25 Seite: 47 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 102 – 103 1 Kathetensatz Intention der Lerneinheit – den Kathetensatz als Flächensatz kennen lernen – enaktive, ikonische und symbolische Darstellungen miteinander verknüpfen – die arithmetische Herleitung mithilfe der Ähnlichkeit verstehen – den Kathetensatz zur Berechnung fehlender ­Stücke in rechtwinkligen Dreiecken verwenden Einstiegsaufgabe Die Einstiegsaufgabe bietet die Möglichkeit, enaktiv eine Vermutung zum Kathetensatz aufzustellen, die durch weitere Beispiele bestätigt wird. Sie eignet sich besonders, das mathematische Argumentieren zu schulen, wie auch den Kathetensatz als Flächensatz zu verstehen. Exkurs Den Kathetensatz beweisen Für den Fall, dass der Satz des Pythagoras bereits vor dem Kathetensatz eingeführt wurde, bietet der folgende arithmetische Beweis die Möglichkeit, den Kathetensatz mithilfe des Satzes des Pythagoras zu beweisen. Ein Vorteil liegt darin, dass stärkere Schülerinnen und Schüler den Beweis mithilfe der Anweisungen selbst durchführen können bzw. in Gruppenarbeit kann die Beweisführung ebenfalls selbstständig herausgefunden und anschließend präsentiert werden (< Serviceblatt „Arithmetische Beweise“, S 37). Dieser Beweis kann dann auch mit dem geometrischen Beweis verglichen werden, um einen weiteren Beitrag zur prozessorientierten Kompetenz des mathematischen Argumentierens zu leisten. Arithmetischer Beweis C b q A a h Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A1; 4 Operative Übungen: A2; 3; 5 Anwendungsaufgaben: A6 1 Durch die Variation der Seitenbezeichnungen und der Lage des Dreiecks sowie des rechten Winkels im Dreieck wird eine zunehmende Geläufigkeit des Kathetensatzes erreicht. 2 und 4 Hier rücken der arithmetische und algebraische Aspekt des Kathetensatzes in den Vordergrund. Die Fertigkeit, unbekannte Streckenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, wird eingeübt und vertieft. Da in rechtwinkligen Dreiecken auch häufig Strecken mit irrationalem Längenmaß vorkommen, sollte die Notwendigkeit des Rundens (vgl. den Exemplarischen Kommentar: Sinnvoll Runden, Seite K 19) thematisiert werden. 3 Durch die Flächenumwandlung wird die geometrische Bedeutung des Kathetensatzes vertieft, aber auch ein Zusammenhang zur algebraischen Bedeutung hergestellt. Kumulierend wird in Teilaufgabe b) der Satz des Thales benötigt. 5 Mithilfe von rechtwinkligen Dreiecken lassen p c –Nach dem Auflösen der binomischen Formel wird noch c2 durch a2 + b2 ersetzt und vereinfacht: b2 – c2 + 2 c p – p2 = a2 – p2 ‚ b2 – a2 – b2 + 2 c p = a2 c · p = a2 Ersetzt man p durch c – q, so erhält man b2 = c · q . Auch Schülerinnen und Schüler, die die Beweisführung zunächst nur nachvollziehen können, erhalten hier die Möglichkeit, den ­Beweis für die Kathete b selbst zu erstellen. B –Zunächst wird in beiden Teildreiecken der Satz des Pythagoras erstellt und nach h2 aufgelöst: h2 = b2 – q2 und h2 = a2 – p2 –Danach setzt man die Terme für h2 gleich und ersetzt im Anschluss q durch c – p oder p durch c – q: b2 – q2 = a2 – p2 b2 – (c – p) 2 = a2 – p2 sich auch Strecken mit irrationalen Längenmaßen zeichnen. Diese Aufgabe dient dem geometrischen Verständnis des Kathetensatzes als Flächensatz, wie auch der Vertiefung des Satzes. Außerdem können die Zeichen- und Messungenauigkeit sowie das Runden thematisiert werden. 6 Diese Modellierungsaufgabe bietet eine ein­ fache praktische Anwendung des Kathetensatzes. Aus Gründen der Anschaulichkeit und zur Reduktion des Sachverhaltes sollte eine Skizze ins Heft gezeichnet werden. 5 Satzgruppe des Pythagoras K 47 DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:25 Seite: 48 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 104 – 105 2 Höhensatz Intention der Lerneinheit – den Höhensatz als Flächensatz kennen lernen – enaktive, ikonische und symbolische Darstellungen miteinander verknüpfen – die arithmetische Herleitung mithilfe der Ähnlichkeit verstehen – den Höhensatz zur Berechnung fehlender Stücke in rechtwinkligen Dreiecken verwenden Einstiegsaufgabe Die Einstiegsaufgabe setzt voraus, dass jedes Dreieck im Halbkreis rechtwinklig ist (Satz des Thales). Es wird die Möglichkeit geboten, enaktiv den Zusammenhang zwischen dem Quadrat über der Höhe und dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten zu verbalisieren. Zeichen- und Messungenauigkeiten könnten eine Vermutung erschweren und sollten thematisiert werden. Durch die große Anzahl der Beispiele dürfte der Höhensatz jedoch leicht abzuleiten sein. Es sollte sich unbedingt eine Abgrenzung zu nicht-rechtwinkligen Dreiecken anschließen, um zu verdeutlichen, dass der Höhensatz nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt. Exkurs Den Höhensatz beweisen Für den Fall, dass zunächst der Satz des Pythagoras und dann der Kathetensatz eingeführt wurde, bietet der folgende arithmetische Beweis die Möglichkeit, den Höhensatz mithilfe dieser Sätze zu beweisen. Sollte außerdem der arithmetische Beweis des Kathetensatzes bereits bekannt sein, fällt es den Schülerinnen und Schülern erfahrungsgemäß nicht mehr sehr schwer, den nachfolgenden Beweis mithilfe der Anweisungen selbst zu erstellen (< Serviceblatt „Arithmetische Beweise“, Seite S 37). Auch hier kann abschließend ein Vergleich zum geometrischen Beweis stattfinden. Arithmetischer Beweis C b q A K 48 5 a h p c Satzgruppe des Pythagoras B –Zunächst wird in einem der beiden Teildreiecke der Satz des Pythagoras und für dieselbe Seite auch der Kathetensatz erstellt: b2 = h2 + q2 und b2 = q · c –Danach setzt man die Terme für b2 (bzw. a2 ) gleich, ersetzt c durch q + p und vereinfacht: h2 + q2 = q · c h2 + q2 = q · (q + p) h2 + q2 = q2 + q · p | – q2 2 h = q · p Die Beweisführung für das andere Teildreieck bietet auch für schwächere Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, einen Beweis selbst zu erstellen. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 6; Randspalte Operative Übungen: A2; 3; 4; 5; 7 Anwendungsaufgaben: A 8; 9 1 Durch die Variation der Seitenbezeichnungen sowie die unterschiedliche Lage der Dreiecke und der enthaltenen rechten Winkel wird der Höhensatz gefestigt. 2, 3 und 6 Der algebraische Aspekt des Höhensatzes tritt hier in den Vordergrund, indem er genutzt wird, um unbekannte Streckenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen. 4, 5 und 7 Die geometrische Bedeutung des Höhensatzes wird analysiert, vertieft und für Konstruktionen herangezogen. 8 und 9 Diese Modellierungsaufgaben bieten einen Realitätsbezug, bei dem unzugängliche Streckenlängen durch einfache Längenmessungen entsprechender Strecken berechnet werden können. Zur Veranschaulichung und zur Reduktion des Sachverhaltes sollte zumindest in Aufgabe 9 eine Skizze im Heft angefertigt werden. DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:26 Seite: 49 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 106 3 Satz des Pythagoras Intention der Lerneinheit – den Satz des Pythagoras als Flächensatz kennen lernen – enaktive, ikonische und symbolische Darstellungen miteinander verknüpfen – mindestens einen Beweis des Satzes kennen ­lernen – den Satz des Pythagoras zur Berechnung fehlender Seiten in rechtwinkligen Dreiecken ver­ wenden – zwischen dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung unterscheiden – den Satz des Pythagoras mithilfe einer DGS überprüfen – den Satz des Pythagoras von Fällen, in denen er nicht angewendet werden kann, weil das Dreieck nicht rechtwinklig ist, abgrenzen Einstiegsaufgabe Die Einstiegsaufgabe geht zunächst vom Spezialfall zweier flächeninhaltsgleicher Quadrate aus, die durch Zerlegung entlang ihrer Diagonalen zu einem einzigen inhaltsgleichen Quadrat zusammengelegt werden. Die Länge der neuen Quadratseite sollte vor der Einführung des Satzes ausgemessen oder anschaulich über den Flächeninhalt des neuen Quad­rates, der mit 50 cm2 gerade doppelt so groß sein muss wie der eines Ausgangsquadrates, bestimmt werden. Die Kombination der beiden Ausgangsquadrate mit dem neuen Quadrat mündet in der Entdeckung des (gleichschenklig-)rechtwinkligen Dreiecks zwischen den Quadraten. b c a Tipps und Anregungen für den Unterricht – Bei dieser Lerneinheit sollte darauf geachtet werden, dass der Satz des Pythagoras möglichst anschaulich als Flächensatz kennen gelernt wird, da eine rein formale Einführung eine mechanische Anwendung der Formel zur Folge haben könnte. Daher sollte gerade bei den Übungsaufgaben immer wieder der eigentliche Gehalt des Satzes anhand der Flächeninhalte der Quadrate über den Dreiecksseiten thematisiert und nicht nur die richtige Formel abgefragt werden. – Anregungen zum unterrichtlichen Einsatz verschiedener Beweistypen bieten die < Serviceblätter „Zerlegungsbeweise“, Seite S 34, „Ergänzungsbeweis“, Seite S 35, und „Flächenumwandlung“, Seite S 36. Zur Erarbeitung der Beweis­typen bietet sich der Einsatz der Serviceblätter in Gruppenarbeit mit anschließender Präsentation der Ergebnisse an. Die Vergrößerung der entsprechenden Serviceblätter auf DIN-A3 wird empfohlen. – Pythagoreische Zahlen werden von den < Serviceblättern „Pythagoreische Zahlentripel“, Seite S 38, und „Pythagoreische Zahlentripel mit MS-Excel®“, Seite S 39, thematisiert. Durch das < Serviceblatt „Knotenschnüre“, Seite S 40, ist ein handlungsorientierter Zugang zu den pythago­ reischen Zahlentripeln möglich. Exkurs Den Satz des Pythagoras beweisen Diesem Exkurs liegt teilweise das Kapitel B des Buches Fraedrich, Anna Maria: Die Satzgruppe des Pythagoras, BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1994 zugrunde. Für den Satz des Pythagoras sind derzeit etwa vierhundert unterschiedliche Beweise bekannt, die aufgrund der im Beweis verwendeten mathematischen Hilfsmittel in acht verschiedene Beweistypen unterteilt werden können. Neben den drei für die Realschule relevanten Beweistypen (Zerlegungs-, Ergänzungs- und arithmetische Beweise) gibt es noch euklidische und abbildungsgeometrische Beweise, Beweise über Ähnlichkeitsbeziehungen, Beweise mithilfe vektorieller Methoden und mit Methoden der analytischen Geometrie. 5 Satzgruppe des Pythagoras K 49 DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:27 Seite: 50 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 106 Zu den drei erstgenannten Beweistypen wird hier eine für den Unterricht geeignete anschau­ liche Auswahl vorgestellt, die auch teilweise durch die entsprechenden < Serviceblätter „Zerlegungsbeweise, Ergänzungsbeweis, Flächenumwandlung“, Seiten S 34 bis S 36, aufgegriffen wird. Streng genommen sind die Beweise Begründungen im Sinne der Kompetenz mathematisch ­argumentieren und keine vollständigen Beweise. Zerlegungsbeweise Zerlegungsbeweise beruhen auf dem Prinzip der Zerlegungsgleichheit – wenn sich zwei Figuren in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegen lassen, dann sind sie flächeninhaltsgleich. Der „Stuhl der Braut“ 3 4 2 1 5 5 2 1 4 3 Dieser Zerlegungsbeweis stimmt im Wesentlichen mit der Zerlegung nach Göpel überein, geht aber von einer anderen Lage der Kathetenquadrate aus und ist damit der zum < Serviceblatt „Flächenumwandlung“, Seite S 36, passende Beweistyp. Das rechtwinklige Dreieck, dessen Kathetenlängen mit den Seitenlängen der Ausgangsquadrate übereinstimmen, findet sich sowohl in Teilstück 2 als auch in den Teilstücken 3 und 4 wieder. Der Schaufelradbeweis nach PERIGAL C 5 A 1 4 2 M 3 B 2 3 Ergänzungsbeweise Ergänzungsbeweise beruhen auf dem Prinzip der Ergänzungsgleichheit. Wenn zwei ebene Flächen durch paarweise kongruente Figuren so ergänzt werden können, dass die dabei entstehenden neuen Flächen zerlegungsgleich sind, dann sind beide Ausgangsfiguren flächeninhaltsgleich. 5 Altindischer Ergänzungsbeweis 1 4 B Das große Kathetenquadrat wird durch eine Parallele zur Hypotenuse und eine Lotgerade durch den Quadratmittelpunkt M zerlegt. Die Anordnung der Teilstücke 1 bis 5 erinnert an ein Schaufelrad, nach dem der Beweistyp seinen ­Namen trägt. Der Zerlegungsbeweis nach GÖPEL 5 C 1 2 3 4 A 3 4 2 B 1 5 Dieser Zerlegungsbeweis, der ebenfalls mit lediglich fünf Teilflächen auskommt, verwendet Zerlegungsgeraden, die senkrecht oder waagerecht zur Hypotenuse verlaufen. K 50 5 Satzgruppe des Pythagoras a C a2 4 3 c b A 4 1 1 c2 b2 2 3 2 Der altindische Ergänzungsbeweis gehört zu den bekanntesten Ergänzungsbeweisen. Bei diesem Beweis wird das Hypotenusenquadrat bzw. werden die beiden Kathetenquadrate jeweils durch vier rechtwinklige Dreiecke (die zum Ausgangsdreieck kongruent sind) zu einem Quadrat der Seitenlänge a + b ergänzt. Arithmetische Beweise Ein Beweis gilt als arithmetischer Beweis, wenn an einer vorliegenden Figur die entsprechende Flächengleichheit der Quadrate allein durch algebraische Umformungen und Berechnungen gewonnen wird. So kann beispielsweise der altindische Ergänzungsbeweis als Vorlage für den folgenden arithmetischen Beweis dienen: Der Flächeninhalt des Gesamtquadrates lässt sich in beiden Figuren durch Betrachtung der DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:27 Seite: 51 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 106 – 107 aus den Katheten zusammengesetzten Quadrat­ seiten mithilfe der 1. binomischen Formel als (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 berechnen. Der Summand 2 a b kann als der Flächeninhalt der beiden Rechtecke bzw. der vier Dreiecke identifiziert werden. Zieht man den entsprechenden Flächeninhalt jeweils vom Flächeninhalt des Gesamt­ quad­rates ab, ergibt sich der Zusammenhang a 2 + b 2 = c 2. Ein weiterer Beweis basiert auf der abgebildeten Figur und damit auf der 2. binomischen Formel. c c (a – b)2 C a–b b A c Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 6 Operative Übungen: A 4; 5; 7; 8 Kumulative Aufgabe: A 9 Problemaufgaben – offene Aufgaben­ stellungen: A 10 1 Die Tatsache, dass sich bei rechtwinkligen Drei- a c –Ein Beweispuzzle kann in der richtigen Reihenfolge geordnet werden. –Retrospektive Beweisanalyse: Ein Beweis wird, nachdem er geführt wurde, im Hinblick auf die eigene Vorgehensweise und die verwendeten mathematischen Hilfsmittel betrachtet. B Der Flächeninhalt des großen Quadrates beträgt c 2. Er kann alternativ mit der Summe des Flächeninhalts des kleinen Quadrates (a – b) 2 und der vier zum Ausgangsdreieck kongruenten a b eingepassten Dreiecke 4 _ 2 angegeben werden. Setzt man beide Terme gleich, ergibt sich: a b 2 2 c 2 = (a – b) 2 + 4 _ 2 = a + b . Anmerkung: Bei den arithmetischen Beweisen empfiehlt sich die vollständige Beschriftung der Dreiecksseiten. Zur Methodik des Beweisens können folgende Anregungen genannt werden, die einem Aufsatz von Henning Heske entnommen sind (Heske, Henning: Metho­dische Überlegungen zum Umgang mit Beweisen, Mathematik lehren, Heft 110, Friedrich Verlag, Seelze, 2002): –Die grundlegende Beweisidee kann im Unterricht gemeinsam herausgearbeitet werden, bevor die Lernenden den Beweis mit entsprechendem Material führen. –Beweisstrategien bereits gefundener oder gegebener Beweise können durch Skizzen, Hilfslinien, Spezialfälle etc. überprüft werden. –Zu einem gegebenen Beweis kann ein weiterer bzw. analoger Beweis gefunden werden. –Verschiedene Beweise lassen sich mit einer DGS visualisieren. –Verschiedene Beweise können miteinander verglichen werden. –Einzelne Schritte eines Beweises können begründet werden. –Die Lernenden können lückenhafte Beweise ergänzen und fehlerhafte Beweise verbessern. ecken auch Strecken mit irrationalem Längenmaß zeichnen lassen, führt zur Notwendigkeit des Rundens (vgl. den Exemplarischen Kommentar: Sinnvoll Runden, Seite K 19). Auch die Zeichen- und Messungenauigkeit kann bei dieser Aufgabe thematisiert werden. 2, 3 und 6 d) Die Variation der Seitenbezeichnungen sowie die Lage des Dreiecks und auch des rechten Winkels im Dreieck sorgt für eine zunehmende Geläufigkeit des Satzes. Gerade bei Aufgaben, die eine Verkürzung des Satzes des Pythagoras auf einen Streckensatz nahe legen, sollte immer wieder da­rauf geachtet werden, dass der Sinnzusammenhang des pythagoreischen Lehrsatzes als Flächensatz nicht verloren geht. Aufgaben wie diese sollten als Anlass genommen werden, Lernende diesen Zusammenhang verbalisieren zu lassen. Bei Aufgabe 3 (und Teilaufgabe 6 d)) wird, wie bereits vom Katheten- und Höhensatz bekannt, die Zerlegung eines Dreiecks in zwei rechtwinklige ­Dreiecke durch Einzeichnen der Höhe thematisiert. Dies wird in Lerneinheit 4 Satz des Pythagoras in geo­metrischen Figuren zur Strategie ausgebaut. 4 bis 6 Die Aufgaben thematisieren den pythagoreischen Lehrsatz als Flächensatz mit dem Ziel, unbekannte Streckenlängen im rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Der Rechenvorteil, der sich durch die Angabe des Flächeninhaltes in den Aufgaben 4 und 5 ergibt, sollte erkannt werden. Teilaufgabe 5 c) bietet die Möglichkeit, die Irrationalität der ­Hypotenusenlänge bei gleichschenklig-rechtwink­ ligen Dreiecken mit ganzzahligen Kathetenlängen zu thematisieren und begründen zu lassen. 5 Satzgruppe des Pythagoras K 51 DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:27 Seite: 52 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 107 – 108 x 2 y 2 = 2 x __ y = x√2 y x 8 Durch die Variation der Bezeichnung des rechten Winkels empfiehlt sich aus Gründen der Anschaulichkeit eine Skizze. Bei den Teilaufgaben c) und d) kommt bei der Nutzung der Flächeninhaltsformel für Dreiecke die Deutung der zweiten Kathete als Dreieckshöhe zur Anwendung. 9 Diese kumulative Aufgabe verbindet in besonderer Weise geometrische mit algebraischen Inhalten (vgl. Bezug zu den Bildungsstandards, Seite K 45). Teilaufgabe a) kann nach der Einführung der ­pythagoreischen Zahlen in Aufgabe 10 wiederholt aufgegriffen werden und unter Verwendung des pythagoreischen Zahlentripels (3; 4; 5) schnell gelöst werden, indem die Hypotenuse (12 cm) mit 5 x identifiziert wird. 10 Diese Aufgabe thematisiert pythagoreische Z­ ahlentripel (vgl. den nachfolgenden Exkurs: Pythagoreische Zahlen). Die Teilaufgabe b) beschäftigt sich mit der Gewinnung nicht-primitiver (vgl. Hinweise im folgenden Exkurs) pythagoreischer Zahlentripel durch Multiplikation des Ausgangstripels (3; 4; 5) mit einem Faktor k. Beim Einsetzen von 3 k, 4 k und 5 k in die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 erhält man eine allgemeingültige Gleichung, womit gezeigt ist, dass für alle k *N weitere pythagoreische Zahlentripel ent­ stehen. Die Teilaufgaben c) und d) erfordern die Berechnung der fehlenden Zahl. Da bei Teilaufgabe d) die Angabe fehlt, ob es sich bei der fehlenden Zahl um die Länge der Hypotenuse oder der Kathete handelt, muss sie durch Probieren gelöst werden. In den gestellten Aufgaben ist jeweils die größere der beiden gegebenen Zahlen die Länge der Hypo­ tenuse. Exkurs Pythagoreische Zahlen Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras lautet: Gilt für ein Dreieck a 2 + b 2 = c 2, so ist der Winkel, der der Seite c gegenüber liegt, ein rechter Winkel. Drei natürliche Zahlen, die die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 lösen, werden als pythagoreisches Zahlentripel bezeichnet. Man unterscheidet zwischen primitiven und nicht-primitiven pythagoreischen Zahlentripeln. Bei primitiven pythagore­ ischen Zahlentripeln enthalten die einzelnen K 52 5 Satzgruppe des Pythagoras Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren, sie sind also teilerfremd. Aus diesem Grund kann auch nur eine der drei Zahlen gerade sein. Nichtprimitive pythagoreische Zahlentripel entstehen durch Multiplikation der Zahlen eines primitiven pythagoreischen Zahlentripels mit einem Faktor k * N. Denn wenn a 2 + b 2 = c 2 gilt, gilt auch (k a) 2 + (k b) 2 = (k c) 2. Beispiele für nicht-primitive Tripel sind die aus (3; 4; 5) entstehenden Tripel: (6; 8; 10), (9; 12; 15), (30; 40; 50). Für Lernende sind folgende Fragen in diesem Zusammenhang interessant: –Wie viele (primitive) pythagoreische Zahlentripel gibt es? –Ist es möglich, alle (primitiven) pythagore­ ischen Zahlentripel anzugeben? Unter den vielen Möglichkeiten, pythagoreische Tripel zu erzeugen, sollten stellvertretend zwei beschrieben werden, die auch für die Lernenden verständlich sind (vgl. hierzu auch das < Service­ blatt „Pythagoreische Zahlentripel“, Seite S 38). 1.Schon Pythagoras selbst konnte unendlich viele dieser Tripel angeben. Er nutzte zur Berech­nung von a, b und c folgende Terme (n * N und n ≥ 1): a = 2 n + 1 b = 2 n 2 + 2 n c = 2 n 2 + 2 n + 1 Durch Einsetzen der Terme für a, b und c in die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 lässt sich zeigen, dass tatsächlich pythagoreische Zahlen entstehen. Für fortlaufende n entstehen die Zahlentripel (3; 4; 5), (5; 12; 13), (7; 24; 25), … . Mit dieser Methode lassen sich unendlich viele, aber nicht alle pythagoreischen Zahlentripel angeben, beispielsweise ist (8; 15; 17) auf diese Art nicht darstellbar. 2.Mit der Methode des indischen Astronomen Brahmagupta (andere Quellen schreiben sie dem Griechen Diophant zu) sind hingegen alle primitiven pythagoreischen Zahlentripel darstellbar. Es werden dafür zwei beliebige natürliche Zahlen m und n mit m > n gewählt. a, b und c berechnen sich wie folgt: a = m 2 – n 2 b = 2 m n c = m 2 + n 2 Den Nachweis, dass hier ebenfalls pythagoreische Zahlen entstehen, führt man wieder durch Einsetzen in die Gleichung a 2 + b 2 = c 2: (m 2 – n 2) 2 + (2 m n) 2 = (m 2 + n 2) 2 m 4 – 2 m 2 n 2 + n 4 + 4 m 2 n 2 = m 4 + 2 m 2 n 2 + n 4 0 = 0 d. h., alle Zahlen, die für m und n eingesetzt werden, erfüllen die Gleichung. DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:28 Seite: 53 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 108 Die systematische Anwendung der an anderer Stelle als „indische Formeln“ bezeichneten Aus­drücke liefert folgende Ergebnisse: m n a = m 2 – n 2 b = 2 mn c = m 2 + n 2 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 17 4 2 12 16 20 4 3 7 24 25 5 1 24 10 26 5 2 21 20 29 5 3 16 30 34 5 4 9 40 41 Beide Methoden ermöglichen eine Erzeugung der Tripel mithilfe einer Tabellenkalkulation (vgl. < Serviceblatt „Pythagoreische Zahlentripel mit MS-Excel®, Seite S 39). Dass die Gleichung a n + b n = c n für alle n * N, n ≥ 3 keine Lösung hat, ist als der große Satz oder die Vermutung von Pierre de Fermat (1607–1665) bekannt. Fermat wird mit den 1637 geschriebenen Worten: „Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen“, zitiert. Der Beweis dieses Satzes gelang nach sehr vielen Fehlversuchen 1993 – also mehr als dreihundert Jahre später – dem britischen Mathematiker Andrew Wiles (* 11. April 1953). Sein unter Verwendung eines umfangreichen Theoriegebäudes entworfener Beweis wurde 1995 auf über einhundert Seiten in der Zeitschrift „Annals of Mathematics“ veröffentlicht. (vgl. hierzu: Scheid, Harald: Zahlentheorie, Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim, 1994, S. 225 – 234) 1.Zunächst werden zwei konzentrische Kreise konstruiert, auf denen zwei Eckpunkte des Dreiecks gleiten. Diese Eckpunkte bilden zusammen mit dem Mittelpunkt der beiden Kreise das Dreieck. 2.Im Anschluss an die Konstruktion sollten die Punkte entsprechend der Abbildung umbe­ nannt werden. 3.Nach der Konstruktion der Strecken a, b und c kann die Bezeichnung der Strecken im Menü „Objekte“ und dort im Untermenü „Spezielle Eigenschaften“ eingeblendet und ggf. umbe­ nannt werden. 4.Die Konstruktion der Quadrate über den Dreiecksseiten wird am Beispiel der Dreiecksseite a wie folgt durchgeführt: Zunächst werden die Senkrechten zur Strecke a durch die Punkte B und C konstruiert. Anschließend wird der Schnittpunkt der Senkrechten durch C und der zur Dreiecksseite a gehörenden Kreislinie markiert und die Parallele zu a durch den Schnittpunkt konstruiert. Die Parallele schneidet die zweite Senkrechte im vierten Eckpunkt des Quadrates. Die vier Eckpunkte können nun mittels der Polygonfunktion als farbiges Qua­ d­rat dargestellt werden. Für die Konstruktion des Hypotenusenquadrates ist zusätzlich die Konstruktion des Kreises durch B mit Mittelpunkt A nötig. Im Anschluss an die Konstruktion der Quadrate können alle Hilfslinien und Hilfspunkte versteckt werden. 5.Die Bezeichnung des Winkels ACB, der zunächst automatisch als Winkel a bezeichnet wird, erfolgt über „Winkel markieren“. Der Winkel kann über den Menüpunkt „Objekte“ – „Objekteigenschaften“ aus der Liste der Objekte ausgewählt und umbenannt und in der Darstellung angepasst werden. Dreiecke und DGS Die Verwendung eines dynamischen Geometriesystems ermöglicht Erkenntnisse über die Abhängigkeit der Differenz der Flächen über den Dreiecksseiten vom Winkel c anhand lediglich einer einzigen dynamischen Figur, für die andernfalls eine Vielzahl gezeichneter Figuren nötig wäre. Hinweise zur Erstellung der für die Bearbeitung des Kastens Dreiecke und DGS notwendigen Datei mithilfe des Programms GEONExT; Download ­unter [http://www.geonext.de]: 5 Satzgruppe des Pythagoras K 53 DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:29 Seite: 54 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 108 6.Die Textbausteine für den Winkel c und die Differenz der Quadratflächen werden über die Auswahl „Text“ in der linken Menüseite folgendermaßen realisiert: Winkel Gamma: Über das Pull-down-Menü wird der Winkel c ausgewählt und anschließend die Größe des Winkels über den Schalter „Term“ und den Eintrag Deg(A,C,B) berechnet. Mithilfe der dynamischen Figur lassen sich nun folgende Erkenntnisse für die jeweiligen Dreiecksarten erzielen: –Bei stumpfwinkligen Dreiecken (c > 90°) ergibt sich ein positiver Wert, demnach gilt c 2 > (a 2 + b 2). –Bei spitzwinkligen Dreiecken (c < 90°) ergibt sich ein negativer Wert, also gilt c 2 < (a 2 + b 2). –Die Gleichheit von c 2 und (a 2 + b 2) für rechtwinklige Dreiecke lässt sich nur mit viel Aufwand, d. h. Vergrößerung der Zeichenfläche und viel Fingerspitzengefühl, zeigen. Die ­dynamische Annäherung an den Spezialfall legt die Gleichheit aber sofort nahe. c = 90,0 c 2 – (a 2 + b 2) = 0,0 Q P Differenz der Quadratflächen: Für den Ausdruck „c 2 – (a 2 + b 2) =“ drückt man nach Eingabe der Buchstaben c bzw. a und b den Schalter C b A In die Klammer wird die Hochzahl 2 eingetragen. Für die Berechnung der Flächen wird zunächst der Schalter „Term“ gedrückt und anschließend der Ausdruck „Dist(A,B)*Dist(A,B)-(Dist(A,C)*Dist(A ,C)+Dist(B,C)*Dist(B,C))“ eingegeben. Hinweis: Werden die Quadrate der Streckenlängen über die Quadrierfunktion berechnet, sollte über den Menüpunkt „Objekte“ – „Objekteigenschaften“ noch die Anzahl der Nachkommastellen reduziert werden. K 54 5 Satzgruppe des Pythagoras c a c B Aufbauend auf diese Erfahrungen und Erkenntnisse lassen sich nun die weiteren Aufgaben durch Berechnungen lösen: Die Zuordnung eines Dreiecks zu den oben aufgeführten Dreiecksarten erfolgt über einen Vergleich der Ergebnisse für c 2 und (a 2 + b 2) anhand der erarbeiteten Kriterien. Das Auffinden einer Streckenlänge für die Hypotenuse stellt die Umkehraufgabe dazu dar. DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:29 Seite: 55 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 109 – 111 4 S atz des Pythagoras in geometrischen ­Figuren Intention der Lerneinheit – den Satz des Pythagoras zur Berechnung feh­ lender Seiten in rechtwinkligen Dreiecken und räumlichen Figuren ­anwenden – fehlende Seitenlängen in geometrischen Figuren durch deren Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke berechnen – rechtwinklige Dreiecke in räumlichen Figuren erkennen und zur Berechnung von Strecken ­verwenden – Training der räumlichen Vorstellung Einstiegsaufgabe Die Einstiegsaufgabe thematisiert das typische Prob­lem der Übergeneralisierung: Der Satz des Pythagoras wird fälschlicherweise auf nicht rechtwinklige Dreiecke übertragen. Die Problematisierung dieser falschen Regelanwendung im Unterricht und das Entdecken oder Demonstrieren des Flächenzusammenhanges bei unterschiedlichen Dreiecksarten kann dieser Übergeneralisierung entgegenwirken. Dies kann beispielsweise durch die Erarbeitung der Fragestellung der Auftaktseite oder die Verwendung einer DGS, vgl. K 53, erfolgen. Damit wird die Einsicht der Beschränkung des pythagoreischen Lehrsatzes auf rechtwinklige Dreiecke gefördert. Tipps und Anregungen für den Unterricht – Eine wichtige Kompetenz in dieser Lerneinheit ist die Fähigkeit, geometrische Figuren in rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen. Dazu müssen zunächst (auch unvollständige) rechtwinklige Dreiecke erkannt und ggf. durch einen Streckenzug ergänzt werden. Vor allem bei komplexeren und mehrschrittigen Aufgabenlösungen sind eine Skizze und die farbliche Markierung der gegebenen und gesuchten Teilstrecken hilfreich. – Die Reflexion des gewählten Lösungsweges bzw. der angewandten Strategie auch nach erfolgter Bearbeitung der Aufgabe kann zur Weiterentwicklung der heuristischen Fähigkeiten bei den Schülerinnen und Schülern beitragen. – Schwierigkeiten können auftreten, wenn die Höhe nicht senkrecht zur Horizontalen verläuft. In diesem Fall sollte die Orthogonalität der Höhe als wesentliches Merkmal herausgearbeitet und von dem unwesentlichen Merkmal der Lage ­abgegrenzt werden. – Für die Berechnung in räumlichen Figuren ist die Identifikation von rechten Winkeln, die in Schrägbildskizzen durch die Verzerrung nicht direkt als solche erkennbar sind, von grund­ legender Bedeutung. Die Entwicklung der hierfür nötigen Raumvorstellung (vgl. Exemplarischer Kommentar: Komponenten der Raumvorstellung, Seite K 68) sollte an geeigneten Stellen immer wieder unterstützt werden, indem auf enaktiver Ebene mit Real­modellen gearbeitet wird. Diese Phasen sollten allerdings nicht ausschließlich der Berechnung von Strecken, sondern vor allem der Veranschaulichung der räumlichen Situation dienen. Des Weiteren ist es häufig hilfreich, zur Veranschaulichung rechtwinklige Dreiecke als Skizzen aus Körpern herauszuarbeiten. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 7; 9 Operative Übungen: A 5; 8; 10; 12; 16; 17; 18; Randspalte Kumulative Aufgaben: A 3; 4; 6; 11; 13; 14; 15 Komplexe Aufgaben: A 19 1 und 2 Zwei bis drei Berechnungsschritte sind zur Lösung der Aufgaben nötig. Die Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke ist jeweils vorgegeben. 3 Die drei Dreiecke unterscheiden sich nur in ihren Katheten, da die Hyotenuse ___ jeweils die Raumdiagonale mit einer Länge von √50 cm ≈ 7,1 cm darstellt. Somit sind durch die Unterschiede bei den Katheten auch die beim Umfang und beim Flächeninhalt der Dreiecke festgelegt. 5 Die Quadratseiten können einzeln durch Berechnung bestimmt werden, oder indem das zugrunde liegende Muster erkannt wird (durch Multiplikation der Seitenlänge bzw. __ des Umfangs eines Quadrates mit dem Faktor _ 21 √2 erhält man die Seitenlänge bzw. den Umfang des nächsten Quadrates usw.) – dann können die restlichen Werte schnell angegeben werden. 6 und 11 Zur Berechnung dieser Aufgaben müssen die besonderen Eigenschaften der entsprechenden Vierecke – wie gleiche Seitenlängen, Symmetrie, senkrecht aufeinanderstehende Diagonalen – berücksichtigt und genutzt werden. 8 Umkehraufgabe: Um aus der Länge der Raumdiagonalen die Kantenlänge des Würfels zu berechnen, ist die Betrachtung mit Formvariablen nötig. Die__Erkenntnis, dass die Flächendiagonale e mit a √2 angegeben werden kann, führt zum für die ­Berechnung ______ benötigten _______Ausdruck: __ d = √e 2 + a 2 =√ 2 a 2 + a 2 = a √3 5 Satzgruppe des Pythagoras K 55 DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:30 Seite: 56 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 111 – 112 9 Durch die Berechnung aller Flächendiagonalen kann die in vier verschiedenen Lagen auftretende Raumdiagonale auf drei unterschiedlichen Wegen berechnet werden. Die verschiedenen Ansätze ­können im Anschluss an die Lösung der Aufgabe thematisiert werden. 10 Der Streckenzug ist abschnittsweise zu berechnen, da beim Betrachten des Netzes keine durchgehende Strecke (wie im Beispiel b) auf Schülerbuchseite 110) gegeben ist. – den halben Parallelschnitt S h hs a 2 H _ Ma – die halbe Seitenfläche S 12 Iterative Aufgabe: Die in einem Rechenschritt berechnete Zahl wird im folgenden Schritt verwendet. Durch das Quadrieren der Zahl, aus der im vorangegangenen Berechnungsschritt die Wurzel gezogen wurde, kann auch ohne Speicherwerte bis zum letzten Schritt mit genauen Werten gerechnet werden. 13 Die Figur wird mit den folgenden Teilschritten gelöst: _ – Einzeichnen und Berechnen der Strecke AC, _ _ _ – Berechnung der Strecke CE = DE = CD , – Berechnung des Umfangs der Figur, – Berechnung der Flächeninhalte der Teildreiecke ABC und ACE unter Verwendung der Katheten, – Einzeichnen und Berechnen der Höhe im gleichseitigen Dreieck, – Berechnung des Flächeninhalts des gleichseitigen Dreiecks und des Fünfecks. 14 und 15 Die zur Berechnung notwendige Zerlegung muss durch Parallelverschiebung von Seiten bzw. Höhen selbst vorgenommen werden. Bei den meisten Aufgaben werden Dreiecksseiten durch eine Zerlegung der Grundseite der Figur berechnet. 17 Die Behandlung der Aufgabe liefert bereits die für Körperberechnungen in Kapitel 6 benötigten rechtwinkligen Dreiecke bei quadratischen Pyra­ miden: – den halben Diagonalschnitt S h s A __ d 2 _ a√ 2 =_ 2 K 56 5 H Satzgruppe des Pythagoras a B hs a 2 _ Ma 19 Das gedankliche Zusammenfalten des Netzes zu einem Körper und das Identifizieren von Kanten, die dabei aufeinandertreffen, dienen wieder der Entwicklung der Raumvorstellung. Das Netz des Körpers kann bei geschickter Anordnung auf einem DIN-A3-Blatt untergebracht werden. Randspalte Betrachtet man die Aufgabe unter der Leitidee Funktionaler Zusammenhang, so kann man feststellen, dass beim Radikanden im Ausdruck für die Raumdiagonale für große n der Summand 2 vernachlässigbar wird. Somit strebt die Länge der Raumdiagonale dn für große n gegen n · a, also der Körperhöhe. DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:30 Seite: 57 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 113 – 114 5 Anwendungen Aufgabenkommentare Intention der Lerneinheit – Anwendung des Satzes des Pythagoras in alltäglichen und alltagsnahen Aufgabenstellungen – geometrische Zusammenhänge mit algebra­ ischen Methoden untersuchen – Modellieren – Problemlösen Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 2, 3, 4 Operative Übungen: A 17 Kumulative Aufgaben: A 1; 5; 8; 9; 11; 18; 19 Komplexe Aufgaben: A 20 Anwendungsaufgaben: A 7; 14 Problemaufgaben – offene Aufgaben­ stellungen: A 6; 10; 12; 13; 15; 16 Einstiegsaufgabe Die Einstiegsaufgabe führt die Problematik der ­vorangehenden Einstiegsaufgaben anwendungsnah weiter. Die Angabe des Schallplattendurchmessers von 31,5 cm ist missverständlich: Eine handelsübliche LP oder Maxisingle hat einen Durchmesser von ca. 30 cm (12”). Die Abmessung der in Näherung quadratischen Hülle beträgt ca. 31,5 cm. Die Aufgabe wird mit den gegebenen Daten also für eine Schallplatte mit Hülle berechnet. Für eine erste näherungsweise Berechnung kann die Päckchenbreite als Innenmaß verstanden oder die Dicke der Päckchenhülle und der Schallplattenhülle vernachlässigt werden. Die Seitenansicht des Päckchens hilft, die Größen zuzuordnen: 31,5 cm x 30 cm Als Mindesthöhe des Päckchens im Rahmen der Näherungen ergibt sich ein Wert von 9,6 cm. Dieser Wert kann nun im Sinne des Modellierens (vgl. Ex­ emplarischer Kommentar: Modellieren, Schnittpunkt Serviceband 5, Seite K 32) überprüft und damit auch die Voraussetzungen des Modells hinterfragt werden. Unter Berücksichtigung geänderter Werte (Dicke der Paketpappe: ca. 2 mm; Dicke der Schallplattenhülle: ca. 3 mm) kann eine erneute ­Berechnung erfolgen. Tipps und Anregungen für den Unterricht – Etliche der Aufgaben sind als offene Aufgaben, Problemlöseaufgaben und Modellierungsaufgaben geeignet, die allgemeinen Kompetenzen im Fach Mathematik zu fördern. Praktisch alle Aufgaben machen die Anwendungsorientierung der Mathematik und den praktischen Nutzen in bestimmten Situationen deutlich. – Für einige Modellierungsaufgaben (insbesondere Aufgabe 6 und 16) kann es hilfreich sein, wenn zusätzliche Informationen zur Klärung des Sachverhalts herangezogen werden. Entsprechende Anregungen werden in den Aufgabenkommentaren gegeben. 1 Für die Bearbeitung dieser kumulativen Auf­ gabe empfiehlt sich folgende Reihenfolge: – Berechnung der einzelnen Hypotenusen bzw. der roten Gesamtstrecke (73,3 km), – Auswahl eines geeigneten Maßstabs, beispielsweise 1 : 500 000, _ – Zeichnen der Strecke AB bzw. der einzelnen ­Hypotenusenabschnitte, – Konstruktion der Katheten, – Berechnung der prozentualen Ersparnis im Vergleich zur längeren Strecke (97 km). 6 Bei dieser Modellierungsaufgabe werden in T­ eil­aufgabe a) zunächst im Rahmen eines Modells die Ergebnisse mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Das anschließende Nachdenken über den errechneten Wert (Teilaufgabe b)) macht die unbewusst getroffenen und vereinfachenden Annahmen des Modells ­deutlich: – Der Ball wird als punktförmiges Objekt angenommen, d. h., seine Abmessungen fließen nicht in die Rechnung ein; ebenso wird der Pfosten als Strecke angenommen, da der Ort des Aufpralls (Innenpfosten, Außenpfosten, …) nicht genauer beschrieben wird. – Der Elfmeterpunkt wird ebenfalls als punktförmig oder der Ball wird als exakt in der Mitte des Elfmeterpunktes platziert angenommen. – Die Flugbahn wird als geradlinig angenommen – Abweichungen von dieser Ideallinie durch ein etwaiges Anschneiden des Balles beim Schuss, durch den Einfluss der Erdanziehungskraft („Wurfparabel“) sowie durch den Einfluss von Wind werden vernachlässigt. 8 Teilaufgabe a) kann neben dem algebraischen mit einem weiteren Ansatz gelöst werden. Dieser identifiziert die Diagonale im Bildschirm mit dem 4 : 3-Format im Sinne des Pythagoreischen Zahlentripels (3; 4; 5) unmittelbar als 5 x. Man erhält damit direkt die Gleichungen 5 x = 69 und 5 x = 89. Dieser alternative Zugang sollte angesprochen wer- 5 Satzgruppe des Pythagoras K 57 DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:31 Seite: 58 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 114 – 115 den, da er ein in etlichen Fällen anwendbares alternatives Schema bietet. Bei Teilaufgabe b) handelt es sich um eine kumulative Aufgabe, die mit einem algebraischen Ansatz gelöst wird. Die kumulative Teilaufgabe c) kann auch als Pro­ blemlöseaufgabe gestellt werden, da sie die Anwendung von heuristischen Strategien zur Lösung vo­r­ aussetzt. Der Lösungsansatz kann algebraisch (auf der symbolischen Ebene) oder mithilfe einer Grafik (auf der ikonischen Ebene) bestimmt werden. Der experimentelle (oder enaktive) Zugang, bei dem der Sachverhalt mittels einer Messung überprüft wird, liefert in der Regel nur unzureichende Ergebnisse, da bei Computermonitoren und auch den meisten Fernsehgeräten die Pixel bei abweichenden Seitenverhältnissen gestaucht oder gestreckt werden. Dies kann aber auch – im Sinne einer Modellierung – als Anlass genommen werden, um die Grenzen theoretisch berechneter Werte aufzuzeigen. Algebraische Lösung: Die Seiten des 4 : 3-formatigen Bildschirms werden als Vielfache einer Strecke x aufgefasst und somit als 4 x : 3 x notiert. Die Seiten des 16 : 9-formatigen Films entsprechend als 16 y : 9 y. Das Gleichsetzen der beiden Längsseiten (16 y = 4 x) liefert für y den Wert _ 4x . Wird dieser Wert nun in den Term 9 y eingesetzt, so ergibt sich als 9 Höhe des 16 : 9-formatigen Films _ 4 x, also 2 _41 x. Es 3 fehlen _ 4 x zur vollständigen Höhe von 3 x und damit 25 % der gesamten Fläche. Ikonische Lösung: Für die ikonische Lösung beginnt man mit einer geeigneten, d. h. später zerlegbaren Darstellung des 4 : 3-Formats. Um das 16 : 9-Format einzuzeichnen, wird die Grundseite in sechzehn gleich lange Abschnitte zerlegt. Durch die Viertelung der ursprünglichen Seiten­längen wird jedes Quadrat in sechzehn kleine ­Quadrate unterteilt. K 58 5 Satzgruppe des Pythagoras Nun kann der 16 : 9-formatige Film – vereinfachend an der Grundseite beginnend – eingezeichnet werden. Als Bruchteil der eingenommenen Bildschirmfläche erkennt man _ 34 bzw. 75 %. Der Bildschirmausschnitt ist nun noch in die Mitte des Bildschirms zu verschieben, was aber die Flächenverhältnisse nicht beeinflusst. Alles im rechten Winkel Es ist nicht überliefert, wie die Methode genau angewandt wurde, die die ägyptischen Seilspanner (Harpedonapten) zur Erzeugung von rechten Winkeln mit Zwölfknotenschnüren beim Vermessen des Landes oder beim Bau von Pyramiden verwendet haben. Eine Inschrift auf dem durch König SETHOS I gegründeten Tempel in Abydos (Oberägypten) weist zumindest auf die Ver­ wendung von Pflöcken hin, mit denen die Seile gespannt wurden. Auf jeden Fall nutzten sie die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Ein Dreieck, dessen Seiten sich zueinander im Verhältnis 3 : 4 : 5 verhalten, ist rechtwinklig. Hält man die Zwölfknotenschnur am ersten, vierten und achten Knoten fest, so entsteht am vierten Knoten der rechte Winkel. Diese Tatsache war in Ägypten bereits zur Zeit des Königs ­AMENEMAT I. (um 2300 v. Chr.) bekannt. Auch andere pythagore­ ische Zahlentripel kommen zur Abmessung in Frage und wurden auch angewandt, beispielsweise das Tripel (39; 15; 36) durch indische Priester zum Bau von Altären. Die auf dem Tripel (3; 4; 5) basierende Zwölfknotenschnur stellt jedoch die einfachste Art zur Erzeugung rechtwinkliger Dreiecke dar (vgl. hierzu das < Serviceblatt „Knotenschnüre“, Seite S 40). Das auf dem Foto abgebildete rechtwinklige Dreieck basiert auf dem gleichen Tripel, das mit 20 multipliziert wurde. Die fehlende Seite ist also 100 cm lang. Für die Herstellung des Winkels empfiehlt sich die Verwendung von Pappstreifen, die nach dem Verkleben abgeschnitten werden können: DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:32 Seite: 59 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 115 – 120 Üben • Anwenden • Nachdenken Pappstreifen: 10 cm 6 cm 8 cm Bei Lasermessgeräten wird die fehlende Strecke (in der Abbildung die Höhe) vom Gerät berechnet – der rechte Winkel zwischen Strecke b und der Wand ist hierbei notwendige Voraussetzung, andernfalls ist der berechnete Wert ungenau. 16 Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Modellierungsaufgabe, bei der insbesondere bei Teilaufgabe b) die zum Teil unbewusst getroffenen Annahmen des Modells nach der Berechnung thematisiert werden sollten. Die Berechnung der Mindesthöhe ergibt mit ca. 40 m einen durchaus realistischen Wert. Dieser kann nun unter folgenden Aspekten hinterfragt werden: – Entscheidend ist nicht die Höhe des Leuchtturms sondern die des Leuchtfeuers über dem Meeresspiegel. – Analog dazu ist nicht die Sichtweite auf Meereshöhe, sondern die Augenhöhe des Schiffsnavigators bzw. die Schiffshöhe relevant. – Die Nutzung von Hügeln, Dünen oder Felsen kann die Bauhöhe des Turmes bei fester Reichweite reduzieren. – Die Sichtweite wird beeinflusst durch die Leuchtkraft der Lichtquelle und die Qualität der Optik, das Wetter und die Sichtbedingungen sowie den Leuchtsektor und die Farbe der Lichtquelle. 20 Entscheidend für den Lösungsansatz der Aufgabe ist die Reduktion auf eine Variable bzw. die Zurückführung der Schilfrohrlänge ø auf die Tiefe des Teichs x, (ø = x + 1). Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 4; 5 Operative Übungen: A 1; 2; 9; Randspalte Seite 2 20; 28 Kumulative Aufgaben: A 3; 6; 7; 8; 10; 11; 16; 17; 18; 19; 21; 22; 23; 25; 30; 31 Anwendungsaufgaben: A 12; 13; 14; 15; 24; 26; 27; 29 3 In Teilaufgabe c) und d) handelt es sich um mehrschrittige Aufgaben zur Berechnung einzelner Strecken. Teilaufgabe d) ist eine kumulative Aufgabe, die neben der Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung der fehlenden Kathete des kleineren Dreiecks auch die Anwendung des zweiten Strahlensatzes erfordert. Der ­Ansatz _ 20x = _ 68 48 liefert für x den Wert 28,3 mm. 10, 17 und 18 Diese Aufgaben wiederholen die Verwendung von Formvariablen im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras. Zentrale Fähigkeiten sind das Erkennen von (halben) gleichseitigen Dreiecken und halben Quadraten und die Anwendung der entsprechenden Zusammenhänge sowie das Erkennen symmetrischer Figuren. 18 Das Trapez in Teilaufgabe a) lässt sich aufgrund seiner Symmetrie und der entsprechenden Winkelmaße in zwei halbe gleichseitige Dreiecke und ein Quadrat zerlegen. Aufgrund dieser Erkenntnis können alle Teilstrecken ohne Berechnung angegeben werden: __ 2 e √3 45° 4e 60° 2e __ 2 e √3 __ 4e 2 e √3 __ 2 e √3 60° 2e Der Umfang lässt sich nun direkt ablesen und der Flächeninhalt kann mit der entsprechenden Formel für das Trapez berechnet werden. Das Fünfeck in Teilaufgabe b) muss zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhaltes folgender­ maßen zerlegt werden: 5 Satzgruppe des Pythagoras K 59 DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:33 Seite: 60 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 120 – 122 120° e e e 2 _ __ e √ 2 3 __ e √ 2 3 _ _ e 2 e 2 _ e _ __ e √ 2 3 __ e √ 2 3 _ _ e e Durch diese Zerlegung entstehen vier kongruente halbe gleichseitige Dreiecke, deren Seitenlängen unmittelbar angegeben werden können. Die zur Berechnung des Umfangs fehlende Seite des Fünfecks wird an der horizontalen Diagonalen mithilfe __ __ e e des Ausdrucks 2 · _2 √3 – 2 · _2 = e√3 – e bestimmt. Zur Berechnung des Flächeninhalts werden die vier Dreiecke als zwei gleichseitige Dreiecke aufgefasst. Der Flächeninhalt kann dann als Summe der beiden gleichseitigen Dreiecke und dem innen liegenden Rechteck __ berechnet __ __werden: e 2 e 2 · _4 √3 + _ 2 √3 · 2 e√ 3 – e 3 = _ 32 e 2 Pythagoras im Koordinatensystem Im kartesischen Koordinatensystem gilt für die Berechnung des Abstandes zweier Punkte P1 (x1 | y1) und P2 (x2 | y2) die folgende Beziehung, die auf der Rechtwinkligkeit der Achsen und dem Satz________________ des Pythagoras basiert: _ 1 P2 P = √ 2 x2 – x1 3 2 + 2 y2 – y1 3 2 Durch die Bildung der Differenz der Koordinaten und das anschließende Quadrieren spielen negative Vorzeichen der Koordinaten bei der Berechnung des Abstandes keine Rolle. Verständnisschwierigkeiten, die durch eine rein formale Vorgehensweise entstehen können, lassen sich durch das Skizzieren der Katheten und die Verwendung von Längeneinheiten vermeiden. Die Berechnung der Dreiecksumfänge wird mit dem Satz des Pythagoras für die einzelnen Dreiecksseiten durchgeführt. Die Untersuchung der Dreiecksseiten auf Gleich­heit und Parallelität kann zunächst mittels Augenmaß oder mit den berechneten Werten der vorangehenden Aufgabe erfolgen. Die Begründung wird mit dem Vergleich der jeweils zugrunde liegenden Katheten im Koordinatensystem geführt. – Durch den Übergang zur Steigung der Dreiecksseiten wird die folgende Aufgabe kumulativ, da Aspekte der Leitidee funktionaler Zusammenhang eingebunden werden. K 60 5 Satzgruppe des Pythagoras Zur Bestimmung der Steigung kann in das Schaubild ein geeignetes Steigungsdreieck eingezeichnet oder die 2-Punkte-Form der Steigung y2 – y1 verwendet werden: m = _ . x2 – x1 Die Berechnung der Abstände kann mit der Abstandsformel oder etwas anschaulicher durch schrittweises Vorgehen, bei dem zunächst die Länge der Katheten bestimmt wird, erfolgen. Insbesondere bei den Punkten G und H, die in verschiedenen Quadranten liegen, sollte bei Verständnisschwierigkeiten eine Zeichnung der Strecke im Koordinatensystem mit den entsprechenden Katheten angefertigt werden. Bei dieser ebenfalls kumulativen Aufgabe muss zur vollständigen Darstellung der Funktion mit der Gleichung y = m x + b zunächst die Steigung bestimmt werden. Der y-Achsenabschnitt b wird jeweils unterschiedlich bestimmt: Bei den ersten beiden Dreiecken können die Punkte B (0 | 2) und C (0 | 9) je zweimal zur Bestimmung von b herangezogen werden. In den restlichen Fällen muss jeweils der Schnittpunkt mit der y-Achse abgelesen werden. Dafür muss _ die Strecke AC beim ersten und beim dritten Dreieck entsprechend verlängert werden. Beim dritten Dreieck wird der Verlauf der Strecke zur _ Bestimmung des Schnittpunkts von BC mit der y-Achse genau analysiert. Die für die Berechnung des Flächeninhalts benötigte Höhe wird (außer beim ersten rechtwinkligen Dreieck) jeweils durch Einzeichnen und Abmessen bestimmt. 20 Durch Betrachtung der Steigungen der roten Teilstücke kann man zu _ dem Schluss gelangen, dass _ _ _ jeweils die Teilstrecken AB und CD sowie BC und DE die gleiche Steigung haben und somit auch gleich lang sind. Das Zeichnen des Netzes mit dem Streckenzug zeigt dies anschaulich. Eine Vertauschung der Teilaufgaben kann daher hilfreich sein. 24 In dieser Aufgabe empfiehlt es sich, zunächst eine Skizze zu zeichnen. Bei der Beschriftung stellt man fest, dass zwei Längen voneinander abhängen: 25 – x x 10 Bei der Berechnung der gesuchten Strecke erhält man eine Gleichung mit einer binomischen Formel, bei der die Quadrate entfallen. DO01742692_KT_K05_045_061.indd 06.07.2009 14:48:33 Seite: 61 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 122 30 Bei der Zerlegung des Würfels in zwei Prismen ändern sich die Flächeninhalte von Grund- und Deckfläche, unabhängig von der Art der Zerlegung, nicht. Sie entsprechen aufgrund der symmetrischen Zerlegung immer genau der Hälfte des Deckflächeninhalts des Würfels (50 cm2). Die sich gegen­ überliegenden parallelen Flächen des Prismas ergänzen sich immer genau zu einer Würfelseitenfläche (100 cm2). Beim Oberflächeninhalt ändert sich also nur der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche. Die Aufgabe lässt sich durch die Fragestellung nach den Extremwerten minimale und maximale Oberfläche erweitern. Die Aufgabe kann mittels einer dynamischen Vorstellung der verschiedenen Zerlegungen anschaulich gelöst werden. Da die farbige Fläche die einzige ist, deren Flächeninhalt den Oberflächeninhalt verändert, sind die Extremwerte schnell nachzuvollziehen. Somit ergibt sich die maximale Prismenoberfläche für ein Teilprisma bei der Zerlegung entlang der Diagonalen (O = 441,4 cm2) und die minimale Oberfläche beim Parallelschnitt (O = 400 cm2). Soll die erweiterte Aufgabe im Hinblick auf den funktionalen Zusammenhang betrachtet werden, empfiehlt sich die ­Bearbeitung mithilfe einer Tabellenkalkulation. Hierbei kann die Abhängigkeit der Oberfläche von der Länge eines Kantenteils durch Markieren der beiden entsprechenden Spalten und der Verwendung eines Punktdiagramms mit interpolierten Linien veranschaulicht werden. 5 Satzgruppe des Pythagoras K 61 DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:14 Seite: 62 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 124 – 151 6 Pyramide. Kegel. Kugel Kommentare zum Kapitel Die Stereometrie spielt in der Sekundarstufe I eine wichtige Rolle. Die Leitidee Messen und die Leitidee Raum und Form finden sich in allen Klassenstufen der Realschule und beinhalten jeweils sowohl die ebene als auch die räumliche Geometrie (vgl. den Exkurs: Stereometrie – Geschichte und Bedeutung, Seite K 63). Bereits in der Grundschule werden verschiedene Formen und Körper betrachtet, näher beschrieben und miteinander verglichen. Der Lehrplan für die Grundschule benennt nachfolgende Formen und Körper: Formen: Viereck, Rechteck, Quadrat, Kreis und Dreieck Körper: Würfel, Quader, Kugel, Kegel, Zylinder und Pyramide In Klassenstufe 5 und 6 werden die aufgeführten Formen und Körper bezüglich ihrer Eigenschaften mathematisch näher untersucht. Die Herstellung von Körpermodellen und die Darstellung durch ­Netze und Schrägbilder sind wichtige Elemente zur Erfassung der Körpereigenschaften und Entwicklung räumlicher Fähigkeiten. Durch eine intensive Auseinandersetzung mit Netzen und Schrägbildern werden wichtige Grundbegriffe eingeführt, z. B. Grundfläche, Deckfläche, Mantel, Mantelkanten usw. Gleichzeitig findet in propädeutischer Weise eine anschauliche Annäherung an Flächen-, Oberflächen- und Volumenberechnung statt, wie sie aber erst explizit in den Klassenstufen 7 und 8 vermittelt werden. Die Kompetenz des Lösens von Gleichungen ist Voraussetzung für den qualifizierten Umgang mit Formeln. In Klassenstufe 7 und 8 findet die wichtige Erarbeitung der mathematischen Berechnung des Flächeninhalts von Formen sowie die Oberflächenund Volumenberechnung von einfachen Körpern statt. Inhalte von Klasse 7 bzw. 8: Formen: Dreieck, Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Trapez, Vieleck und Kreis Körper: Prisma mit den besonderen Prismen Würfel und Quader, Zylinder (vgl. den Exkurs: Das Prisma, ein besonderer Poly­ eder, Schnittpunkt, Serviceband 8). Der Lehrplan für Klassenstufe 9 und 10 erweitert die geometrischen Kompetenzen auf Pyramide, Kegel und Kugel. Kreis und Zylinder sind bereits in Band 8, Kapitel 3 und 6, betrachtet worden. ­Daher steht im vorliegenden Kapitel die eingehende Betrachtung von Pyramide, Kegel und Kugel im K 62 6 Pyramide. Kegel. Kugel Mittelpunkt. Es geht um die Erarbeitung von Grundkenntnissen sowie Berechnungen zu Oberfläche, Volumen, Streckenzügen auf dem Körper, innen liegenden Verbindungsstrecken, Betrachtung von Schnittebenen, usw. Dabei sollte aber nicht ausschließlich die Anwendung einer passenden Formel geübt werden. Denn die Stereometrie eignet sich wegen ihrer Anschaulichkeit dazu, zahlreiche andere mathematische Fähigkeiten zu vermitteln und bereits bekannte Zusammenhänge zu wiederholen. Die Einführungen zu Beginn der einzelnen Lerneinheiten geben Anregungen, um Vorkenntnisse, heuristische Fähigkeiten, Anschauungsmöglichkeiten und Kreativität zu aktivieren. Dadurch kann teil­weise erreicht werden, dass Lernende selbst Berechnungsmöglichkeiten entwickeln und vorschlagen. Intention und Schwerpunkt des Kapitels Die Lerneinheit 1 Prisma und Zylinder verknüpft Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler zu Prismen und Zylindern mit weiteren Aspekten der Stereometrie. Neben den Standard-Berechnungen sei im Besonderen auf zwei immer wiederkehrende Aufgabenstellungen hingewiesen: – Auf einem Körper wird (z. B. Schülerbuch Seite 127, Aufgabe 7) ein Streckenzug berechnet. – In einem Körper werden Ebenen definiert und entsprechende Berechnungen angestellt (z. B. ­Schülerbuch Seite 127, Aufgabe 9). Bei vielen Aufgabenstellungen der nachfolgenden Lerneinheiten werden ­Diagonal- und Parallelschnitt als Möglichkeiten des Achsenschnitts verwendet. Eine grundlegende und ausführliche Betrachtung im Unterricht ist daher erforderlich. Lerneinheit 2 Pyramide. Oberfläche beschäftigt sich mit der Berechnung des Oberflächeninhalts von Pyramiden. Besonderer Schwerpunkt ist dabei die Durchdringung des Körpers, d. h. unterschiedliche Ebenen im Körper müssen erkannt werden, denn sie sind die Grundlage für die nachfolgenden Berechnungen. Die Bestimmung des Volumens von Pyramiden ist Thema von Lerneinheit 3 Pyramide. Volumen. Analog werden die Themen Oberflächeninhalt und Volumen des Kegels in den Lerneinheiten 5 Kegel. Oberfläche und 6 Kegel. Volumen vermittelt. Die für die Kegelberechnung notwendigen Kenntnisse über Kreisausschnitte werden in Lerneinheit 4 Kreisteile vermittelt. Gerade die Behandlung der Kugel sollte dazu genutzt werden, Lernende herauszufordern, eigene DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:14 Seite: 63 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 124 – 151 Ideen für die Berechnung von Oberflächeninhalt und Volumen zu entwickeln. Die Lerneinheiten 7 Kugel. Volumen und 8 Kugel. Oberfläche bieten in diesem Sinne zahlreiche Anstöße. Der Lerneinheit 9 Zusammengesetzte Körper kommt besondere Bedeutung zu, da hier in sehr konzentrierter Form vielfältiges Vorwissen über Formen und Körper aktiviert werden muss. Für die Volumen- und Oberflächenberechnung von zusammengesetzten Körpern ist zudem eine ausgeprägte räumliche Vorstellungskraft notwendig. Exkurs Stereometrie – Geschichte und Bedeutung „Indem wir auf die Betrachtung der Fläche gleich die in Bewegung befindlichen Körper folgen ließen, ehe wir noch die Körper bloß für sich betrachteten, während es sich doch eigentlich gehörte, nach der zweiten Ausdehnung erst die dritte folgen zu lassen; es bezieht sich diese aber auf die Würfel und alles was Tiefe hat.“ Plato (ca. 375 v. Chr.) lässt in seinem Stück „Der Staat“ seinen Lehrmeister Sokrates den Zustand der Raumgeometrie beklagen. Aus dem obigen Zitat lässt sich schließen, dass die Raumgeometrie im Gegensatz zur ebenen Geometrie zu Zeiten Platos noch wenig entwickelt war. Im Lehrbuch „Elemente der Geometrie“ von ­Euklid (ca. 340–260 v. Chr.) finden sich aber bereits Hinweise auf die Beschäftigung mit dem „Raum“, indem dort der wichtige Begriff der „Ebene“ definiert wird. Auch Euklid greift eher auf Beschreibungen in Verbindung mit Bewegung zurück. Dazu ein Beispiel: Die Kugel wird durch das „Herumführen“ eines Halbkreises um einen festgehaltenen Durchmesser erzeugt. In der Mathematik der Antike wurden oft allgemeine Aussagen auf geometrischem Weg __ bewiesen. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist √2 als Länge der Diagonalen in einem Quadrat über einer gegebenen Einheitslinie. Im Laufe der Jahrhunderte rückte die Geometrie etwas ins Abseits. Erst durch die Veröffentlichung der Schrift „Neue Stereometrie der Weinfässer“ durch Johannes Kepler (1571–1630) bekam die räumliche Geometrie neue Impulse. In Folge sind die Arbeiten des Italieners Cavalieri (1598–1647) und des Franzosen Gille Personne de Roberval (1602–1675) zu nennen, vor allem aber die Arbeit von Pierre de Fermat (1601–1665). Die heutige Integralrechnung fand in dieser Epoche Eingang in die Mathematik. Die historischen Gegebenheiten zeigen, dass die Stereometrie eine wechselvolle Geschichte hatte. Die heutige Bedeutung der Stereometrie für den Mathematikunterricht folgt u. a. aus der Vielzahl von Fertigkeiten und Fähigkeiten, die geschult werden. Nachfolgend sind einige Aspekte ­genannt: –elaboriertes Wissen über Figuren und Körper, –Training und Weiterentwicklung des räumlichen Denkens, insbesondere auch mit Computerunterstützung, –Erkennen der Vernetzung geometrischer und algebraischer Strukturen bei der Lösung von Problemen, –Erwerb von Techniken: konstruieren, zeichnen, messen, berechnen usw., –Aneignung von alltagsrelevantem Wissen, –Erziehung zu konzentriertem, sauberem und folgerichtigem Arbeiten, – Förderung von heuristischen Fähigkeiten, –Entwicklung der Kommunikationsfähigkeiten (argumentieren, begründen usw.), – Förderung der Kreativität, – Freude am Entdecken. Bezug zu den Bildungsstandards Leitidee Messen: Die Schülerinnen und Schüler ­können – Formeln zur Berechnung des Oberflächeninhalts und des Volumens von Pyramide, Kegel und ­Kugel verstehen und einsetzen. – Ergebnisse in Bezug auf die Situation prüfen. – Streckenlängen und Winkelgrößen in der ­Ebene und im Raum mit Ähnlichkeitsbeziehungen ­berechnen. – zusammengesetzte Körper berechnen. Leitidee Raum und Form: Die Schülerinnen und Schüler können – geometrische Zusammenhänge mit algebraischen Methoden untersuchen. – rechnerische Beziehungen zwischen Kantenlängen, Oberfläche und Volumen herstellen. – Eigenschaften geometrischer Objekte und ihrer Beziehungen untereinander erkennen, begründen und sie zur Analyse von Sachzusammenhängen beim Problemlösen nutzen. Weiterführende Hinweise Die ikonische Repräsentation von Körpern ist gegenüber der Darstellung der ebenen Figur besonders problematisch, da Längen und Winkel verzerrt dargestellt werden und dies allerdings auch nur teilweise. Aus diesem Grunde ist bei Körpern die enaktive Repräsentation unerlässlich und sollte nicht nur zur Einführung eines Körpers, sondern 6 Pyramide. Kegel. Kugel K 63 DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:14 Seite: 64 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 124 – 126 ­ enerell zum Repertoire des Unterrichtenden geg hören. Unterschiedliche Körpermodelle können je nach Lernziel benutzt werden: – Kantenmodelle für die Betrachtung der Achsenschnitte, wobei die Achsenschnittflächen als Pappfiguren vorhanden sein sollten. – Flächenmodelle für die Betrachtung von Formen und Netzen. – Voll- bzw. Füllkörpermodell für den Volumen-, Dichte- bzw. Gewichtsaspekt. Damit der Lernende ein mentales Modell eines Körpers aufbauen kann, gilt es, Folgendes zu berücksichtigen: – Verschiedene Modelle müssen von den Lernenden selbst hergestellt werden. Sauberes Arbeiten kann hier ins Blickfeld gerückt werden. – Wichtige Repräsentanten des Körpers, wie Kanten, Flächen, Winkel usw. sollten angesprochen und farblich hervorgehoben werden. – Körper sollten immer wieder von den Schülerinnen und Schülern als Schrägbild sauber gezeichnet oder zumindest skizziert werden. – Schrägbilder sollten für die Lösung genutzt werden, indem die Elemente mentaler Operationen wie Schnittfiguren, Strecken, Winkel usw. eingezeichnet werden. Die Aufgabenstellung ist nicht einfach, fordert aber gerade bei unterschiedlichen Meinungen innerhalb einer Klasse zum Argumentieren und Diskutieren heraus. Dabei sollten die beiden Aspekte: Größe der Grundfläche und übrige Form des Körpers in das Blickfeld gerückt werden. Die Rangfolge ist wie folgt: VWürfel > VZylinder > VKugel > VPrisma > VPyramide > VKegel Der prozentuale Vergleich sieht so aus: VWürfel = 100 %; VZylinder ≈ 78,5 %; VKugel ≈ 52,3 % VPrisma = 50 %; VPyramide ≈ 33,3 %; VKegel ≈ 26,2 % Die Betrachtung der Volumina der grundflächengleichen Körper, also Pyramide und Würfel, sowie Zylinder und Kegel, kann verdeutlichen, dass die Volumina in einem Verhältnis von 1 : 3 stehen. Der Vergleich der Oberflächeninhalte ist natürlich schwieriger. Aber eine grobe Rangordnung müsste für den Lernenden erkennbar sein. Auch hier bietet es sich bei unterschiedlichen Meinungen an, in eine mathematische Diskussion zu treten und Argumente auszutauschen. Die Rangordnung für die Größe der Oberfläche sieht so aus: OWürfel > OZylinder > OPrisma > OPyramide> OKugel > OKegel Die Darstellung zu der Frage: „Halb voll oder halb leer?“, soll die Erkenntnis initiieren, dass halbe Füllhöhe nicht zwingend halbes Volumen impliziert. Auftaktseite: Würfelbauten Die Aufgabenstellung geht von einfachen Würfelbauten aus, die vom Lernenden problemlos erfasst werden können. Mithilfe der tabellarischen Darstellung können dann leicht Hypothesen zur Volumenbestimmung von Pyramiden formuliert werden. Die vorkommenden Begriffe wie Grundfläche, Volumen und Umwürfel sollten dabei geklärt werden. Die Erstellung bzw. Weiterführung der begonnenen Tabelle erfordert Gesetzmäßigkeiten der einzelnen Folgenbildungen zu erkennen und mathematisch umzusetzen. Nicht zwingend, jedoch sinnvoll, ist die Nutzung einer Tabellenkalkulation, zumal die Effi­ zienz dieses Werkzeuges dabei deutlich wird. Verschiedene Fragestellungen lassen sich anschließen: – Warum beträgt der Quotient in Spalte E anfangs 1 und verkleinert sich dann? – Was kann als Grund dafür angegeben werden, dass der Wert nicht unter ein Drittel sinkt? Auf der rechten Seite findet sich ein Zugang zur Volumenbestimmung der Pyramide mittels eines Vergleichs der verschiedenen Volumina unterschiedlicher Körper. Folgende Aufgabenstellungen sind denkbar: 1. Bringe die Körper in eine Rangfolge bzgl. ihres Volumens. Beginne mit dem Körper mit dem größten Volumen. K 64 6 Pyramide. Kegel. Kugel 1 Prisma und Zylinder Intention der Lerneinheit Berechnungen in der Stereometrie erfordern die ­sichere Verwendung von Grundbegriffen. Anhand der beiden bekannten Körperformen Prisma und Zylinder werden in dieser Lerneinheit Oberflächenund Volumenberechnungen vertieft und dabei gleichzeitig Grundbegriffe wie Schrägbild, Netz, Mantel, Oberfläche und Volumen wiederholt. Es empfiehlt sich, eine Gegenüberstellung der Schrägbilder, Netze und Formeln der beiden Körper zu nutzen, um gleiche bzw. abweichende Strukturen herauszuarbeiten. Zum Beispiel kann deutlich gemacht werden, dass zur Berechnung der unterschiedlichen Körper gleiche Formeln, wie M = u · h oder V = G · h eine Rolle spielen. Einstiegsaufgabe Die Berechnung des umbauten Raumes des Jagdschlosses Granitz ist im Sinne einer offenen Aufgabenstellung zur selbstständigen Bearbeitung durch die Lernenden in vorzüglicher Weise geeignet. Interessant ist dabei die Betrachtung unterschiedlicher Vorgehensweisen und die Diskussion über aufwändige, aber „sichere“ Lösungswege oder elegante, DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:14 Seite: 65 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 126 – 127 ökonomische Lösungswege, die jedoch ein Mehr an Raumvorstellung benötigen (vgl. dazu den folgenden exemplarischen Kommentar: Volumenberech­ nung zusammengesetzter Körper). Exemplarischer Kommentar Volumenberechnung zusammengesetzter Körper Grundsätzlich lassen sich drei Möglichkeiten aufzeigen, die Volumina von zusammengesetzten Körpern zu berechnen. Unterrichtliche Erfahrungen zeigen, dass bei einer offenen Aufgabenstellung in einer Lerngruppe alle drei Möglichkeiten vorkommen können. Im Unterrichtsgespräch sollten die unterschiedlichen Lösungsansätze ausführlich dargestellt und deren Vor- und Nachteile besprochen werden. Analytische Methode Berechnung der Volumina der einzelnen vorkommenden Körper bzw. Teilkörper. Anschließend erfolgt dann die Addition, bzw. bei vorkommenden Überschneidungen die Subtraktion der jeweiligen Volumina. Diese Methode ist als heuristische Grundfertigkeit anzusehen und sollte eingeübt und von allen Lernenden beherrscht werden. Synthetische Methode Diese Methode fordert vermehrte Fähigkeiten in der Raumvorstellung. Es geht darum, Überschneidungen und damit „Mehrfachberechnungen“ zu vermeiden und stattdessen Körper bzw. Teilkörper zu entsprechenden Körpereinheiten virtuell zusammenzusetzen und dann erst mit der ­Berechnung zu beginnen. Sonderfälle Je nach Beschaffenheit von zusammengesetzten Körpern lässt sich das Volumen nach entsprechenden Vorüberlegungen auf sehr elegante Weise berechnen, indem alle Möglichkeiten des virtuellen Zusammensetzens zu Grundkörpern genutzt werden. Tipps und Anregungen für den Unterricht Diverse CAD-Programme erlauben es, aus einer Fläche einen Körper zu erzeugen. Die Vorgehensweise ist meist so, dass eine Grundfläche gezeichnet wird, aus der dann, im Sinne einer Parallelverschiebung, eine kongruente Fläche nach oben gezogen wird und so eine 3-D-Darstellung eines Körpers entsteht. Dieser dynamische Vorgang verdeutlicht in hohem Maße geometrische Zusammenhänge. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, ­zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4 Operative Übungen: A 7 Kumulative Aufgaben: A 5 Anwendungsaufgaben: A 6 Komplexe Aufgaben: A 8 Problemstellungen – offene Aufgabensituationen:­ A 9 1 bis 4 Es werden Grundaufgaben zur Oberflächenund Volumenberechnung gestellt. Teilaufgabe 4 d) erfordert zur Lösung die Nutzung eines Gleichungssystems. 5 Die Aufgabenstellung mit einem prozentualen Vergleich lässt offen, welcher der beiden Körper als Grundwert angesehen werden soll. Im Unterrichtsgespräch sollten beide Möglichkeiten als sinnvolle Lösungen angesprochen werden. 6 Realitätsbezogene Aufgabe, die dem Lernenden eine Reihe von zusätzlichen Überlegungen abverlangt: Auswahl der relevanten Werte, Umrechnung und Erkennen der reduzierten Oberfläche. 7 Die Berechnung von Streckenzügen auf Körpern ist eine Grundfertigkeit innerhalb der Stereometrie. Die Erstellung eines Schrägbildes mit dem Streckenzug fördert im besonderen Maße die räumliche Vorstellungskraft. 8 Ein sinnvoller Umgang mit Formvariablen erfordert die Entwicklung von Vorstellungen zum Variablenbegriff: – Gegenstandsaspekt: Variable als unbekannte, nicht näher bestimmte Zahl. – Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter für Zahlen. – Kalkülaspekt: Variable als bedeutungsloses Zeichen, mit dem man nach bestimmten Regeln operieren kann. (nach: Malle, Mathematik lehren 15, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 1986) Die Anwendung in dieser Aufgabenstellung zielt vor allem auf den Kalkülaspekt. Der Schwerpunkt sollte daher vor allem auf die exakte Anwendung der ­Rechengesetze gelegt werden. 9 Die Definition einer Ebene in einem Körper ist eine besondere Herausforderung an die Lernenden. Im Besonderen ist Raumvorstellung gefordert. Teilaufgabe a) lässt sich sinnvoll erweitern, indem 6 Pyramide. Kegel. Kugel K 65 DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:15 Seite: 66 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 127 – 128 als Zusatzaufgabe der Oberflächeninhalt mit einer Formvariablen x bestimmt wird, also: __ OPrisma = x 2 + 10 x√2 + 20 x . Bei der Bearbeitung von Teilaufgabe b) ist einerseits ein Probieren im Sinne einer Annäherung an den gesuchten Zielwert möglich, andererseits bietet sich der Einsatz einer Tabellenkalkulation an, um die Optimierungsaufgabe zu lösen. Dabei ist die oben angesprochene Entwicklung einer Formel von Nutzen. Einstiegsaufgabe Die Herstellung einer Pyramide aus einer vorgegebenen netzähnlichen Darstellung ist für die Entwicklung der räumlichen Vorstellungskraft, besonders bei schwächeren Schülerinnen und Schülern, hilfreich. Wichtige Begriffe wie Grundkante, Seitenkante, Seitenhöhe, Grundfläche und Mantelfläche lassen sich an dem entstandenen Modell aufzeigen und markieren. Die zu entwickelnde Mantelformel M = 2 · a · hs kann auch am vorgegebenen Rechteck abgelesen bzw. verifiziert werden. 2 Pyramide. Oberfläche Tipps und Anregungen für den Unterricht Eine gängige Darstellung eines Pyramidennetzes ist die sternförmige: Intention der Lerneinheit Die Bestimmung des Oberflächeninhalts einer ­Pyramide verlangt von den Lernenden, dass sie sich dreidimensionale Objekte vorstellen, diese mental im Raum bewegen und in der Vorstellung mit diesen Objekten operieren können. Einen besonderen Schwerpunkt in dieser Lerneinheit bildet daher die Betrachtung von Ebenen innerhalb der Pyramide: Diagonal- und Parallelschnitt. Mit dem < Serviceblatt „Pyramidenmodell“, S 41, lässt sich eine „aufgeschnittene“ Pyramide herstellen, die Diagonal- und Parallelschnitt veranschaulicht und die Möglichkeit bietet, Flächen einzufärben und rechte Winkel zu markieren. Das Schülerbuch benutzt durchgängig für die Schnittdarstellungen zwei Farbtöne: – rötlicher Farbton für den Parallelschnitt, – blaugrauer Farbton für den Diagonalschnitt. Dies kann, wenn von den Lernenden übernommen, eine wichtige strukturierende Hilfe werden. Die Berechnung von n-seitigen Pyramiden setzt ­voraus, dass die Grundfläche einer solchen Pyra­ mide, ein regelmäßiges Vieleck, flächenmäßig ­erfasst und bestimmt werden kann. Schwerpunkte: – Oberflächenberechnung quadratischer und n-sei­ tiger Pyramiden – bei vorgegebenem Oberflächeninhalt (bzw. Mantelflächeninhalt) fehlende Größen berechnen Exkurs Pyramide Die exakte Definition einer Pyramide lautet: Verbindet man die n-Ecken eines ebenen n-Ecks G mit einem außerhalb von dessen Ebene gele­ genen Punkt S, so entsteht eine n-seitige Pyramide. G heißt die Grundfläche und S ihre Spitze. Das Lot von S auf die Vielecksebene wird Höhe der Pyramide genannt. Ist G regelmäßig und stimmt der Höhenfußpunkt mit dem Mittelpunkt von G überein, so heißt die Pyramide regel­ mäßig. K 66 6 Pyramide. Kegel. Kugel Diese Darstellung des Netzes ist als Einstieg sicherlich geeignet und sinnvoll, da die mentale Bildung des Körpers durch „einfaches“ Hochklappen der Dreiecke entsteht. Für die Entwicklung eines vertieften Raumverständnisses ist die Nutzung weiterer Varianten angebracht: DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:15 Seite: 67 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 129 – 130 Aufgabenkommentare 3 Pyramide. Volumen Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, ­zugrunde. Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 6; 8 Operative Übungen: A 4; 5 Anwendungsaufgaben: A 7 Komplexe Aufgaben: A 9 Intention der Lerneinheit – Volumenbestimmung quadratischer und n-seitiger Pyramiden – bei vorgegebenem Volumen (bzw. Oberfläche) fehlende Größen berechnen (vgl. auch den Exkurs: Die Rauminhaltsfunktion f (K), Schnittpunkt, Serviceband 8, Seite K 63) 1 Die Erstellung eines exakten Schrägbildes ist eine sinnvolle Vorbereitung für die Bearbeitung der Aufgaben zur Oberflächenberechnung von ­Pyramiden. 2 Das Erkennen der drei verschiedenen, rechtwinkligen Dreiecke in und auf dem Mantel einer Pyramide stellt eine Grundkompetenz zur Lösung entsprechender Aufgaben dar. Mit dem < Service­ blatt „Pyramidenmodell“, S 41, lässt sich eine solche aufgeschnittene Pyramide herstellen und als Anschauungsmaterial vielfach einsetzen. Exkurs Volumenberechnung Pyramide Im klassischen Sinne hat die Pyramide kein Volumen. Berechnet werden kann zunächst nur das Volumen von Näherungskörpern. Erst durch einen Grenzprozess wird eine zweckmäßige Definition und Bestimmung des Pyramidenvolumens ermöglicht. Methode von Demokrit (5. Jh. v. Chr.) 3 Aufgaben dieser Art können für Lernende die Schwierigkeit beinhalten, dass sie nicht erkennen, in welchem rechtwinkligen Dreieck der Rechenvorgang beginnt. Ein systematisches „Durchlaufen“ der drei rechtwinkligen Dreiecke und das Überprüfen einer Berechnungsmöglichkeit sollte daher als heuristische Fähigkeit entwickelt werden. Auf die Darstellung der Dreiecke in Aufgabe 2, Schüler­ buchseite 129 und auf die Nutzung in der oben angesprochenen Form sollten die Lernenden hingewiesen werden. 4 und 6 Aufgaben mit erhöhtem Anspruch in Bezug auf die Fähigkeiten Formelumstellung und Raumvorstellung. 5 Die Berechnung eines Streckzuges auf einem Körper ist eine wichtige Fähigkeit und kann mit dieser Aufgabe gefestigt werden. Besonders die Übertragung des Streckenzuges vom Netz auf ein gezeichnetes Schrägbild fordert und schult die räumliche Vorstellungskraft. 8 Die sechsseitige Pyramide sollte als besondere n-seitige Pyramide herausgestellt werden, da als „beliebter“ Fehler die Eigenschaften dieses Körpers als generelle Eigenschaften von n-seitigen Pyramiden wahrgenommen werden und unreflektiert auf andere Pyramiden übertragen werden. Die Pyramide wird durch zur Grundfläche parallele Schnitte in n gleichdicke Schichten zerlegt. Zu jeder Schicht existiert eindeutig ein größtes einbeschriebenes und ein kleinestes umbeschriebenes Prisma. Die Berechnung zeigt, dass der äußere Körper den inneren Körper um genau das Volumen des untersten Körpers übertrifft. Über eine Intervallschachtelung, bei der die Zahl n gegen unendlich strebt, ergibt sich die bekannte Volumenformel: G · h V = _ 3 Es sollten Bestrebungen unternommen werden, den Faktor _31 zu erarbeiten und nicht einfach vorzugeben. Auf der enaktiven Ebene besteht die Möglichkeit, durch Umfüllversuche den Faktor _31 ins Blickfeld zu führen. 9 Berechnungen mit Formvariablen erfordern vermehrte algebraische Fähigkeiten und sollten regelmäßig durchgeführt werden. 6 Pyramide. Kegel. Kugel K 67 DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:17 Seite: 68 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 130 Die nachfolgenden Gedankenexperimente veranschaulichen, dass das Pyramidenvolumen kleiner als die Hälfte eines Quadervolumens sein muss. Abb. 1: In einen Quader wird ein Körper mit halben Volumen einbeschrieben. Abb. 2: zeigt, dass das Volumen der zugehörigen Pyramide noch kleiner ist. Abb. 1 Abb. 2 Eine weitere Herleitung der Volumenformel der Pyramide besteht in der Zerlegung eines Würfels in sechs kongruente Teilpyramiden; vgl. Schülerbuch, Seite 130. (vgl. Schupp, Hans: Geometrie in der Sekundarstufe I, Verlag Julius Beltz, 1971, Seite 156 ff.) Einstiegsaufgabe Angestrebt werden sollte die Erkenntnis, dass das Volumen der Pyramide geringer als die Hälfte des Quaders sein muss. Dies sollte in einer offenen Form in einem Unterrichtsgespräch diskutiert werden. Entsprechende Vermutungen über den volumenmäßigen Anteil sollten festgehalten werden und können dann mit der Zerlegung des Würfels in sechs gleiche Pyramiden verifiziert werden (vgl. dazu Exkurs: Volumenberechnung Pyramide, Seite K 67). vgl. < Serviceblatt „Maximales Volumen“, Seite S 42. Exkurs Orientierung des eigenen Körpers, das Körperschema, eine große Bedeutung. Eine typische Aufgabe ist folgende: Bei welchem der vier Gefäße ist die Wasseroberfläche richtig eingezeichnet? 2. Veranschaulichung (auch räumliche Visualisierung) Diese Komponente umfasst die Fähigkeit, in Gedanken Operationen wie Verschiebung, Faltung oder Schnitte von räumlichen Objekten oder ­Objektteilen durchzuführen. Beispielaufgabe: Im Schrägbild eines Würfels ist eine Schnittebene eingezeichnet. Welche der vier Flächen gibt die wahre Form der Schnittfläche wieder? c a d b 3. Mentale Rotation Gemeint ist hier die Fähigkeit, sich die Rotation von zwei- bzw. dreidimensionalen Objekten vorzustellen. Beispielaufgabe: Welche der vier Figuren a) bis d) stimmen mit der Figur oben links überein? Komponenten der Raumvorstellung Für die Vermittlung der Stereometrie ist es notwendig, sich mit der Raumvorstellung näher zu befassen. Dabei lassen sich zunächst fünf Komponenten unterscheiden: räumliche Wahrnehmung, Veranschaulichung, mentale Rotation, räumliche Beziehung und räumliche Orientierung. Nicht immer sind diese Komponenten klar voneinander abzugrenzen, es kommt zu Überschneidungen. Die Komponenten Veranschaulichung und mentale Rotation sind für die Bearbeitung der Aufgaben der Stereometrie von besonderer Bedeutung. 1. Räumliche Wahrnehmung Gemeint ist hier die Fähigkeit, die Horizontale und Vertikale zu identifizieren. Dabei besitzt die K 68 6 Pyramide. Kegel. Kugel 4. Räumliche Beziehung Verschiedene Objekte und deren räumliche Konfiguration sollen hier erfasst werden. Beispielaufgabe: Eines der vier Schrägbilder zeigt nicht denselben Würfel wie die anderen. Welches? a b c d DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:18 Seite: 69 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 130 – 132 5. Räumliche Orientierung Hierbei werden Objekte oder Objektteile nicht bewegt. Stattdessen wird der Standpunkt bzw. der Blickwinkel des Betrachters variiert. Es geht um die richtige Einordnung der eigenen Person in eine räumliche Situation, z. B. Orientierung in einer fremden Stadt. Beispielaufgabe: Ein Urlauber ist mit dem Boot von Westen kommend die Küste entlanggefahren. In welcher Reihenfolge hat er die vier ­Fotografien aufgenommen? markiert werden. Die farbliche Unterscheidung der drei rechtwinkligen Dreiecke im Schülerbuch sollte auch für die Tafeldarstellung übernommen werden und so zum Wiedererkennen beitragen. Eine Betrachtung der Dreiecke und der gegebenen Größen erleichtert den Lernenden die Entscheidung für das richtige Dreieck. Die aufgeschnittene Pyramide, < Serviceblatt „Pyramidenmodell“, S 41, bietet zusätzliches Anschauungsmaterial. 5 Die drei Teilaufgaben greifen auf die wichtigen gleichschenkligen Dreiecke zurück, die beim Parallel- und Diagonalschnitt sowie bei der Seitenfläche auftreten. Das unmittelbare Aufeinanderfolgen dieser Aufgabenstellungen fordert eine klare Unterscheidung der drei unterschiedlichen Zugänge. 6 Ein durch drei Punkte aufgespanntes Dreieck innerhalb einer Pyramide soll berechnet werden. Eine gute Raumvorstellung ist notwendig, um die nötigen Hilfsdreiecke einzuzeichnen. Die Rechtwinkligkeit der Hilfsdreiecke ist im Schrägbild nicht explizit erkennbar und stellt somit eine zusätzliche Schwierigkeit dar. Für das Einzeichnen der Hilfsdreiecke bieten sich zwei Möglichkeiten an: 1. Möglichkeit (rechter Winkel wird verzerrt) Richtige Lösung: 1.c; 2.d; 3.b; 4.a; 5.d Den Ausführungen liegt nachfolgender Artikel zu Grunde: Maier, Peter Herbert: Raumgeometrie mit Raumvorstellung, Der Mathematikunterricht, 3/1999, Räumliches Vorstellungsvermögen, ­Erhard Friedrich Verlag, Seelze, Seite 10 ff. E A B 2. Möglichkeit (rechter Winkel gut erkennbar): Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, ­zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 8 Operative Übungen: A 5; 6; 7 Kumulative Aufgaben: A 3; 4; 12 Anwendungsaufgaben: A 11 Komplexe Aufgaben: A 9; 10; 13; 14; 15 1 Methodisch sinnvoll erscheint es, in exemplarischer Form den Lösungsgang zu entwickeln, indem alle vorkommenden rechtwinkligen Dreiecke (Parallelschnitt, Diagonalschnitt und Manteldreieck) aufgezeichnet und gegebene Stücke farblich E A B 8 Bei der Berechnung von n-seitigen Pyramiden ist es sinnvoll, explizit auf die Teildreiecke der Grundfläche einzugehen und auch den Mittelpunktswinkel bzw. dessen Berechnung anzu­ sprechen. 6 Pyramide. Kegel. Kugel K 69 DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:18 Seite: 70 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 132 – 136 11 Die Aufgabe fordert die Lernenden dazu auf, abzuwägen und abzuschätzen, und kann innerhalb einer Unterrichtssituation auch zu einer regen Diskussion führen. Unterschiedliche Meinungen sollten ausgetauscht und auch diskutiert werden. Der Lehrplan weist in seiner Leitidee Messen auf die Tätigkeit des Abschätzens mittels geeigneter Repräsentanten explizit hin. Die vorliegende Aufgabe verdeutlicht die Problematik des Abschätzens großer Größen. Flächen lassen sich mit geeigneten Repräsentanten in gewissen Grenzen abschätzen. Schätzungen im Volumenbereich in dieser Größenordnung sind aufgrund der fehlenden Repräsentanten und Erfahrungen besonders schwierig. 12 Das Schätzen einer Lösung als möglichen Einstieg in diese Aufgabe dient der Erfassung des Volumenbegriffs und des mentalen Volumenvergleichs. Eine Differenzierung, bei der mit allgemeinen bzw. mit angenommenen konkreten Werten gerechnet wird, ist eine interessante Möglichkeit in einer ­heterogenen Lerngruppe. 13 bis 15 Die Aufgaben bieten die Möglichkeit der Vernetzung algebraischer und geometrischer Fertigkeiten. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 3 Operative Übungen: A 2; 4; 5; 6; 7 Anwendungsaufgaben: A 8 1 und 2 Beide Aufgaben schulen das Vorstellungs­ vermögen und sollten im Kopf gelöst werden. 5 Operative Aufgabe, bei der sinnvollerweise eine Skizze erstellt werden sollte, in der die jeweils gegebenen Stücke markiert werden. Die unüblichen Maßeinheiten verlangen Konzentration. 5 Kegel. Oberfläche Intention der Lerneinheit – den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnen – aus einer vorgegebenen Fläche und einer weiteren Größe fehlende Stücke eines Kegels ­berechnen – mithilfe des Achsenschnitts Berechnungen am Kegel durchführen – die erworbenen Kenntnisse auf Sachprobleme übertragen 4 Kreisteile Intention der Lerneinheit – den Zusammenhang zwischen Mittelpunkts­ winkel und Kreisbogen bzw. Kreisausschnitt ­erkennen – die Formel für den Kreisbogen und den Kreis­ ausschnitt in unterschiedlichen Zusammenhängen und Aufgabentypen anwenden Die Lerneinheit dient hauptsächlich der Vorbereitung auf die nachfolgende Lerneinheit 5 Kegel. Oberfläche, die ohne ein Verständnis dieser Zusammenhänge nicht auskommt. Einstiegsaufgabe Die ersten beiden Aufgabenstellungen sind beim Betrachten der Zeichnung leicht zu bewältigen, da anschaulich klar ist, dass es sich um zwei Drittel des Umfangs und zwei Drittel der Fläche handelt. Die dritte Frage lässt sich dann durch Überlegung lösen, wobei die Proportionalität von Bogenlänge und Flächeninhalt zum Winkel bereits angedeutet wird. K 70 6 Pyramide. Kegel. Kugel Einstiegsaufgabe Der handelnde Einstieg vermittelt erste Erfahrungen mit dem Mantel eines Kegels. Die beschriebene Herstellung macht dabei die Entstehung eines Kegelmantels deutlich und zeigt den Zusammenhang zum Kreisausschnitt auf. Mantelfläche, Mantellinie, Spitze und Umfang der Grundfläche lassen sich an den hergestellten „Tüten“ erkennen und markieren. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, ­zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4 Kumulative Aufgaben: A 6; 7 Anwendungsaufgaben: A 10 Komplexe Aufgaben: A 5; 8; 9 1 Die Aufgabe bezieht sich unmittelbar auf die Einstiegsaufgabe dieser Lerneinheit. Konkrete Kreisausschnitte, die zu Kegelmänteln geformt werden, vermitteln anschaulich Zusammenhänge zwischen dem Kreisausschnitt und dem Mantel des Kegels. DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:18 Seite: 71 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 136 – 138 2 Die Kompetenz der Erstellung eines exakten Schrägbildes sollte immer wieder eingefordert und das Schrägbild als Visualisierungshilfe genutzt ­werden. 5 Zur Lösung dieser Aufgabe bzw. zum Verständnis der Lösung sind Erfahrungen der Lernenden aus Kapitel 4, Lerneinheit 1 Zentrische Streckung hilfreich. Kurz zusammengefasst: Längenverhältnis zwei ähnlicher Figuren: _ _ : AB = A’B’ k Flächenverhältnis dieser beiden Figuren: _ _ A = A’ : k 2 6 Das Schätzen des möglichen Ergebnisses als Einstieg fordert von den Schülerinnen und Schülern Überlegungen zum Oberflächenvergleich der beiden Körper. Der prozentuale Vergleich der Oberflächen zweier Körper lässt bei dieser Aufgabenstellung grundsätzlich zwei unterschiedliche Aussagen zu: – Der Oberflächeninhalt des Kegels beträgt 54 % des Oberflächeninhalts des Zylinders. – Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist im Vergleich zum Kegel um 185 % größer. 8 Aufgabenstellungen ohne konkrete Zahlenwerte stellen erhöhte Anforderung an die Lernenden. Das Umgehen mit Variablen und Lösen einer solchen Aufgabe in einer allgemeingültigen Form ist erstrebenswert, jedoch für viele Lernende nicht ohne weitere Hilfestellungen leistbar. Beherrschen sie jedoch bestimmte heuristische Fähigkeiten, können sie eine derartige Aufgabenstellung dennoch bearbeiten, wenngleich zunächst auf einem niederen Niveau. Zu solchen heuristischen Fähigkeiten gehören z. B.: das Skizzieren einer Situation, „Was ist gegeben?“, „Welche genannten Stücke kommen in meiner Skizze vor?“, „Kann ich eine Lösung durch Einsetzen von Zahlen erhalten?“ usw. Sicherlich hat die so erreichte Lösung keine Allgemeingültigkeit, aber der noch zu vollziehende Schritt, eine Berechnung mit Formvariablen, ist für den Lernenden dann gut vorbereitet. 10 Sachbezogene Aufgabe mit der Ausgangssituation einer „Volumenberechnung“ eines unbekannten Körpers. Das „Ausrollen“ der Mantellfläche, wie es in verschiedenen Aufgaben schon angewandt wurde, ergibt die Möglichkeit, die Volumenberechnung an einem Zylinderanteil durchzuführen. 6 Kegel. Volumen Intention der Lerneinheit – das Volumen eines Kegels berechnen – aus vorgegebenem Volumen oder vorgegebener Fläche und einer weiteren Größe fehlende Größen eines Kegels berechnen – mithilfe des Achsenschnitts Berechnungen am Kegel durchführen – die erworbenen Kenntnisse auf Sachprobleme übertragen Einstiegsaufgabe Erfahrungen mit dem Volumen der Pyramide sollten es den Lernenden ermöglichen, eine sachgerechte Vermutung zu äußern. Der Umschüttversuch ist eine Erfahrung, die sich einprägt und bei Überlegungen zu den entsprechenden Formeln hilfreich sein kann. Tipps und Anregungen für den Unterricht Die Einstiegsaufgabe der vorhergehenden Lerneinheit 4 Kegel. Oberfläche nutzt einen ausgeschnittenen Kreis zur Herstellung eines Kegels. Bei der Betrachtung der verschiedenen Möglichkeiten stellt sich die Frage nach dem maximalen Volumen. Diese Fragestellung kann mithilfe des < Serviceblattes „Maximales Volumen“, S 42, bearbeitet werden. Ziel ist die Lösung der Optimierungsaufgabe mit einer Tabellenkalkulation. Die Schülerinnen und Schüler sollten aber die Volumenformel des Kegels bereits kennen. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, ­zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2 Operative Übungen: A 3; 4 Anwendungsaufgaben: A 5; 6; 8 Komplexe Aufgaben: A 7, 9; 10 3 Der Vergleich der beiden Körper Zylinder und Kegel vertieft Grundkenntnisse über die beiden Körper und erfordert die Kompetenz, die jeweiligen Informationen herauszulesen und den entsprechenden Körpern zuzuordnen. Ein hilfreicher Tipp für die Lernenden ist: Ordne die genannten Eigenschaften und Stücke in einer Tabelle den jeweiligen Körpern zu. Vgl. nächste Seite. 6 Pyramide. Kegel. Kugel K 71 DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:18 Seite: 72 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 138 – 139 Zylinder 7 Kugel. Volumen Kegel Intention der Lerneinheit – das Volumen eines Kegels berechnen – bei gegebenem Volumen den Radius berechnen. – Vergleich der Volumenberechnung einer Kugel mit den bekannten Körpern Zylinder, Kegel und Würfel – die erworbenen Kenntnisse auf Sachprobleme übertragen gleiches Volumen r = 3,4 cm … h = 12,6 cm … … M=? 4 und 7 Die Beherrschung der grundlegenden Berechnungen bei einem Kegel ist Voraussetzung für die Bearbeitung der beiden Aufgaben. Teilkörper zu erkennen und von Achsenschnitten auszugehen, stellt erhöhte Anforderungen an die Lernenden. Lernfördernd ist die Gegenüberstellung der Volumen- und Oberflächenberechnung von Teilkörpern und der Hinweis, dass bei der Oberflächenberechnung von Teilkörpern „zusätzliche“ Flächen (Schnittflächen) zu berücksichtigen sind. 5 Die Aufgabenstellung ist ungewohnt, da die Höhe in Abhängigkeit vom Radius gegeben ist und zum anderen noch ein Zeitfaktor im Spiel ist. Eine Tabelle macht die Vorgaben übersichtlich und verdeutlicht den Lösungsweg: Zeit Höhe 5 Min. 1 m 10 Min. … Radius r h = _ 1,2 = 0,83 m … Volumen 0,72 m3 … Die Fortsetzung der Tabelle kann in unterschiedlicher Art und Weise geschehen. Schülernah wäre eine Fragestellung der Form: Wie hat sich die Situation nach 10, 15, … Minuten verändert? Denkbar ist die Berechnung des Volumens auch mit h der Höhe h = 2 m und r = _ 1,2 . Der Volumenvergleich ergibt dann die Zeitspanne. 6 Die Formulierung der Aufgabe legt nahe, dass man bei der mathematischen Modellierung der Form des Baumstammes von einem Kegel ausgehen kann. K 72 6 Pyramide. Kegel. Kugel Einstiegsaufgabe Die reale Durchführung des Eintauchversuchs vermittelt den Lernenden eine wertvolle Erfahrung. ­Voraussetzung ist ein Unterrichtsgespräch, in dem alle möglichen Ergebnisse diskutiert werden, die Hintergründe der einzelnen Meinungen dargelegt und die Ergebnisse der Überlegungen auch protokolliert werden. Die Protokollierung schafft die Möglichkeit der späteren Evaluierung. Tipps und Anregungen für den Unterricht Die exakte mathematische Beschreibung einer ­Kugel lautet: Die Menge aller Punkte im dreidimensionalen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist, bilden die Kugeloberfläche. Diese Fläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese konvexe Untermenge bildet zusammen mit der Kugeloberfläche den Kugelkörper. Umgangssprachlich wird zwischen Kugeloberfläche und Kugelkörper nicht sauber unterschieden. Beide Aspekte werden als Kugel angesprochen. Die Unterrichtssprache des Lehrers sollte hier mathematisch exakt sein und sorgfältig zwischen Kugeloberfläche und Kugelkörper unterscheiden. Exkurs Volumenberechnung der Kugel: Herleitung einer Formel Die mathematischen Vorkenntnisse der Lernenden sind für eine exakte Herleitung und somit für einen Beweis der Volumenformel nicht ausreichend. Für interessierte bzw. begabte Schülerinnen und Schüler ist die Vorstellung eines Beweises trotzdem durchaus angebracht. Geeignete Applets aus dem Internet können dabei wesentlich zur Veranschaulichung beitragen. Man verwendet einen Vergleichskörper, dessen Volumen einfacher zu berechnen ist. Es handelt sich dabei um einen Kreiszylinder mit Radius r und Höhe r, aus dem ein Kreiskegel, ebenfalls mit Radius r und Höhe h, herausgenommen wurde. Für die weitere Herleitung ist der Satz von Cavalieri (1598–1647) notwendig: DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:19 Seite: 73 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 139 – 141 „Zwei gleich hohe Körper sind volumengleich, wenn sie in jeweils gleicher Höhe flächengleiche Querschnitte haben.“ Die Querschnitte von Kugel und Vergleichskörper sind kreis- bzw. ringförmig. Wenn r und h bekannt sind, lassen sich die Schnittflächen einfach berechnen. Damit kann gezeigt werden, dass sie flächengleich und die Körper somit volumengleich sind: VHalbkugel = VVergleichskörper = VZylinder– VKegel = π r 2 · r = _23 π r 3 – _1 π r 2 · r 3 Für die Kugel gilt dann: V = _43 π r 3 Eine weitere Möglichkeit ist die Anwendung der Simpson-Formel auf die Kugel. Für viele Körper gilt die Simpson-Formel (Kepler’sche Fassregel) zur Volumenbestimmung: V = _h6 · (G + 4 · M + D) mit h = Körperhöhe, G = Grundfläche, D = Deckfläche und M = Querschnittsfläche auf halber Höhe. Angewandt auf die Kugel erhält man die angegebene Formel für das Volumen. V = _h6 · (0 + 4 · π r 2 + 0) V = _43 π r 2 Tipps und Anregungen für den Unterricht Die Rundungsproblematik bekommt beim Berechnen des Kugelvolumens durch das Auftreten der 3. Potenz beim Radius eine besondere Brisanz. ­„Ungenaue“ Messwerte liefern in diesem Fall in ­erhöhtem Maße ungenaue Rechenergebnisse. Mit dem „gemessenen“ Wert r = 9 cm bei Aufgabe 1 a) lässt sich beispielsweise mit Minimalwert (8,5 cm) bzw. Maximalwert (9,4 cm) nachfolgendes Intervall für mögliche Ergebnisse angeben: 2572 cm3 < VKugel < 3479 cm3. Der richtige Umgang mit angeblich „genauen“ Zahlenwerten sollte an geeigneten Stellen im Unterricht bewusst gemacht werden (vgl. dazu den Exemplarischen Kommentar: Sinnvoll runden, Seite K 19). Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, ­zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 4 Operative Übungen: A 8 Kumulative Aufgaben: A 3 Anwendungsaufgaben: A 3; 5; 6; 7 Problemstellungen – offene Aufgabensituationen:­ A 9; Methoden-Kasten Der Satz von Cavalieri 4 Wiederholung und Vertiefung der Volumen­ berechnung an unterschiedlichen Körpern. 8 Die Aufgabe mit Darstellung der drei verschiedenen Körper Halbkugel, Kegel und Zylinder soll zeigen, dass die Volumenbestimmung in nahezu gleicher Weise erfolgt. Eine tabellarische Übersicht macht dies besonders deutlich: Kegel V = _31 π · r 3 · h Halbkugel V = _23 π · r 3 · h Zylinder V = _33 π · r 3 · h 9 Zu den wichtigen heuristischen Fähigkeiten gehört es, einen Aufgabentext in eine mathematische Skizze zu überführen, um dann Ideen für einen ­Lösungsweg zu suchen und zu erarbeiten. Eine solche Skizze könnte zunächst so aussehen: 2r 2r x 8 Kugel. Oberfläche Intention der Lerneinheit – den Oberflächeninhalt einer Kugel berechnen – bei gegebenem Volumen oder Oberflächeninhalt den Radius einer Kugel berechnen – die erworbenen Kenntnisse auf Sachprobleme übertragen Einstiegsaufgabe Die bislang den Schülerinnen und Schülern bekannten Methoden, um den Oberflächeninhalt von Körpern zu bestimmen, reichen bei der Kugel nicht aus. Der didaktische Nutzen einer Methode auf der enaktiven Ebene liegt in der „visuellen Assoziation“. Diese ist hilfreich, um einen Zugang zur Berechnung der Kugeloberfläche zu erhalten. Es darf den Schülerinnen und Schülern bei diesem „Fadenexperiment“ nicht vorenthalten werden, dass es sich dabei um keinen Beweis handelt, sondern 6 Pyramide. Kegel. Kugel K 73 DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:19 Seite: 74 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 141 – 143 nur um eine Annäherung an eine Formel für den Oberflächeninhalt der Kugel. Tipps und Anregungen für den Unterricht Im Zusammenhang mit der Kugel lässt sich ein fächerübergreifender Aspekt aufgreifen. Bei den Überlegungen zur Berechnung der Oberfläche der Kugel kann die Frage gestellt werden: Wie gelingt es, die Oberfläche der Erdkugel als ebene Karte abzubilden? Das Ansprechen der verschiedenen Projektionsarten mit ihren jeweiligen Nachteilen zeigt das Problem der Darstellung der Kugeloberfläche in der Ebene. Die Kugel gehört zu den doppelt gekrümmten Körpern, deren Oberfläche nicht in der Ebene ausgebreitet werden kann. Bei der Erstellung von Landkarten geht es genau um eine solche Darstellung in der Ebene. Man behilft sich mit verschiedenen Projektionen auf entsprechenden Flächen. Die ideale Kartenprojektionsart gibt es nicht. Bei jeder Projektion finden Verzerrungen in mindestens einem der unten genannten Bereiche statt. Es lassen sich Karten mit bestimmten Projektionsarten herstellen, die aber auch mindestens eine der folgenden Eigenschaften besitzen: – Längentreue – Strecken sind für Längenmessungen korrekt abgebildet, geeignet für die exakte Messung von Entfernungen. – Flächentreue – Flächen sind dem Maßstab entsprechend korrekt abgebildet und stimmen so in ihrer Form mit der Wirklichkeit überein. – Winkeltreue – Winkel bleiben erhalten, dies ist besonders für Navigation z. B. bei der Schifffahrt von Bedeutung. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 3, ­zugrunde. Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4 Operative Übungen: A 7 Anwendungsaufgaben: A 5; 6; 8; 9; 10; 11; 12 1, 3 und 4 Mit diesen Aufgaben erfolgt das Einüben und Festigen der Grundformeln der Kugelberechnung. Unterschiedliche Maßeineinheiten, Wechsel zwischen Radius und Durchmesser sowie Vorgaben, die Äquivalenzumformungen erfordern, vermitteln ein Fundament an Übungen. 7 a) Bei Schwierigkeiten sollte der Hinweis gegeben werden, sich die Lösung mittels konkret angenommener Werte zu erarbeiten. Das allgemeine Vorgehen zeigt jedoch deutlich, wie es bei einer Veränderung des Radius zu einer dramati- K 74 6 Pyramide. Kegel. Kugel schen ­Volumenzunahme (8-fach, 27-fach) und bei der Oberfläche zu einer nominell weniger starken ­Zunahme (4-fach; 9-fach) kommt. Die Erarbeitung einer Verallgemeinerung und deren Darstellung in einer Tabelle liegt nahe: Radius 1 · r 2 · r 3 · r Volumen V = _43 π (1 · r) 3 V V 4 · r … … … n · r V = _43 π · 1 · r 3 = _43 π (2 · r) 3 = _43 π · 8 · r 3 = _43 π (3 · r) 3 = _43 π · 27 · r 3 Oberfläche O = 4 π (1 · r) 2 = 4 π · 1 · r 2 O = 4 π (2 · r) 2 = 4 π · 4 · r 2 O = 4 π (3 · r) 2 = 4 π · 9 · r 2 … … = _43 π (n · r) 3 = _43 π · n3 · r 3 O = 4 π (n · r) 2 = 4 π · n 2 · r 2 b) und c) Eine Erkenntnis über die Art der Veränderung von abhängigen Größen lässt sich hier ebenfalls in einem ersten Schritt mit konkret angenommenen Werten gewinnen und ermöglicht auf dieser Stufe den Schülerinnen und Schülern ein „entdeckendes“ Lernen von mathematischen Zusammenhängen. Eine Abstrahierung ist im Nachhinein möglich und sinnvoll. 9 Zusammengesetzte Körper Intention der Lerneinheit – Erfahrungen mit zusammengesetzten Körpern machen – Prinzipien der Volumenberechnung erkennen – Besonderheiten bei der Oberflächenberechnung kennen lernen Einstiegsaufgabe Die Bestimmung des Volumens ist zumeist nur auf eine Weise möglich; die Oberflächenberechnung beinhaltet zumeist mehrere Lösungsmöglichkeiten, die bereits bei der Bearbeitung der Einstiegsauf­ gabe ins Blickfeld gerückt werden können (vgl. dazu Exemplarischer Kommentar: Oberflächeninhalt zusammengesetzter Körper, Schnittpunkt, Serviceband 8, Seite K 63). Tipps und Anregungen für den Unterricht Im Unterricht sollte Wert darauf gelegt werden, dass klare heuristische Vorgehensweisen für die ­Berechnung der Oberfläche von zusammengesetzten Körpern entwickelt werden. Je nach Wahrnehmung der Lernenden werden verschiedene Vorgehensweisen angestrebt, die als solche auch ihren Platz im Unterricht haben sollten. Es gibt DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:19 Seite: 75 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 143 – 147 Schülerinnen und Schüler, die in starkem Maße den zusammengesetzten Körper ganzheitlich betrachten und die Einzelflächen analysieren und berechnen können. Andere Lernende empfinden ein Vorgehen, bei dem die Oberflächen der einzelnen Körper berechnet und anschließend „Berührflächen“ subtrahiert werden, als sinnvoller und für sich selbst überschaubarer. Beide Vorgehensweisen sollten im Unterricht Berücksichtigung finden. Vgl. < Serviceblatt „Streckenzüge auf Körpern“, Seite S 43; < Serviceblatt „Zusammengesetzte Körper“, Seite S 44; < Serviceblatt „Alles dreht sich“, Seite S 45; < Serviceblatt „Körper und Flächen“, Seite S 46. Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, ­zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 5 Operative Übungen: A 4; 6 Komplexe Aufgaben: A 3 1 Das Erkennen der Teilkörper ist Voraussetzung für die Bearbeitung der Aufgabe. Die Frage nach den vorkommenden Teilkörpern im Aufgabentext initiiert ein solches heuristisches Vorgehen. 4 Die Zeichnung stellt einen Oktaeder dar. Bei anderer Blickweise könnte man auch eine schiefe Pyramide sehen. Entsprechende Impulse lenken in die richtige Richtung. Pyramidenstumpf Die Betrachtung des Pyramidenstumpfes ist als sinnvolle Ergänzung anzusehen. Die operative Annäherung an den Körper durch den parallelen Schnitt zur Grundfläche erzeugt einen „neuen“ Körper, der aber mit den bekannten mathematischen Methoden erfasst und berechnet werden kann. Zahlreiche Grundelemente begegnen den ­Lernenden bzw. müssen von ihnen eingesetzt werden: –Prinzip der Volumenberechnung bei zusammengesetzten Körpern –Achsenschnitte in diagonaler und paralleler Ausprägung –Prinzip der Oberflächenberechnung bei zusammengesetzten Körpern –Nutzung des Strahlensatzes –Erkennen einer aufgespannten Fläche bzw. Ebene. Üben • Anwenden • Nachdenken Tipps und Anregungen für den Unterricht Die Einheit Üben · Anwenden · Nachdenken greift die wichtigen Inhalte der Lerneinheiten dieses Kapitals nochmals auf. Denkbar ist auch eine Vorgehensweise, in der die Aufgaben thematisch ausgewählt und bearbeitet werden. Auf diese Weise werden unterschiedliche Zugänge zu den Körpern genutzt und es sind Vergleiche und Vernetzungen möglich. Folgende Themen lassen sich mit entsprechenden Aufgaben schwerpunktmäßig bearbeiten: Zeichnen von Netzen und Schrägbildern: A 1; 2; 12 Schnittbetrachtungen: A 4; 5; 7; 9; 14; 29; 31 Vergleich von Körpern: A 16; 17; 21; 23; 24; 26 Drehkörper: A 29; 33 Sachbezogene Aspekte: A 10; 11; 17; 19; 22; 23; 26 Aufgabenkommentare Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, ­zugrunde: Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 6; 12; 13; 20 Operative Übungen: A 4; 5; 7; 8; 9; 14; 16; 18; 24; 25; 29; 31 Kumulative Aufgaben: A 21 Anwendungsaufgaben: A 10; 11; 15; 17; 19; 22; 23; 26; 30 Komplexe Aufgaben: A 27; 28; 32; 33 4 und 5 Die Schnittbetrachtungen von Parallel- und Diagonalschnitt bei der quadratischen Pyramide stellen bezüglich der Raumvorstellung besondere Anforderungen an die Lernenden. Die Verfügbarkeit von Modellen oder von selbst erstellten Anschauungsmaterialien sollte im Stereometrieunterricht eine Selbstverständlichkeit sein. Die benutzten Farben für die Achsenschnitte sollten in dieser Phase bereits einen Wiedererkennungswert haben und so den Zugang zu einer Lösung erleichtern. 8 Diese Aufgabe macht auf den Tetraeder, einen der fünf platonischen Körper, aufmerksam. Zahlreiche weitere ergänzende Aufgabenstellungen lassen sich zu diesem interessanten Körper formulieren: – Netze (verschiedenartige Netze) – Symmetrieebenen – Entwicklung von Formeln für Volumen, Ober­ flächeninhalt usw. 6 Pyramide. Kegel. Kugel K 75 DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:20 Seite: 76 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 147 – 150 9 Die Aufgabenstellung wird zunächst in einer 29 Die Erzeugung von Körpern durch die Rotation statischen Situation, Teilaufgabe a), entwickelt. Die Berechnung einer solchen aufgespannten Fläche in einem Körper ist recht anspruchsvoll und erfordert ein Durchdringen des Körpers und mentales Konzentrieren auf die unterschiedlichen Ebenen mit den dort vorkommenden Figuren. Zudem müssen Verzerrungen der Darstellung berücksichtigt werden. Für die Lernenden ist das Dreieck ESF nicht ohne weiteres als gleichschenkliges Dreieck zu erkennen. Die Fragestellung in Teilaufgabe b) bringt eine gewisse Dynamisierung ins Spiel. Das Dreieck EFS wird bewegt und verändert sich dabei. Es wird von den Schülerinnen und Schülern erwartet, dass diese Veränderungen mental vollzogen werden. Skizzen können helfen, sind jedoch immer noch statisch. Der Einsatz einer dynamischen Geometriesoftware DGS kann zur Verdeutlichung des Sachverhaltes erheblich beitragen. von Flächen ist ein interessanter Zugang für stereo­ metrische Betrachtungen, da Ausgangsfläche und virtueller Körper in Beziehung gebracht werden müssen. Die virtuelle Entstehung eines Körpers aus einer ebenen Figur mittels der eigenen Raumvorstellung ist für viele Lernenden nicht ohne weiteres leistbar. Sinnvoll ist es, in aufbauender Form, ausgehend von einfachen Flächen, die notwendigen Strukturen zu entwickeln, sodass die rotierenden Flächen als Körper mit den entsprechenden Besonderheiten gesehen werden. Siehe dazu auch < Serviceblatt „ Alles dreht sich“, Seite S 45. Ein solches Vorgehen könnte sich an den nachfolgenden Schritten orientieren: 1. Flächen, die mit einer Seite an der Achse anliegen, werden betrachtet: 15 Es ist davon auszugehen, dass der ausgehöhlte Teil des Futtertrogs an den Enden jeweils die Form von Viertelkugeln hat. 21 Der prozentuale Vergleich zweier Werte erfordert jeweils die Festlegung des Ausgangswertes, also der Vergleichsgröße. Die Aufgabenstellung lässt diese offen, demnach müssen zwei unterschiedliche Lösungen akzeptiert werden. Die Radien der größeren Kugeln sind um 22,5 % größer als die der kleineren Kugeln. Ausgehend von den größeren Kugeln sind die Radien der kleineren Kugeln um 18,4 % kleiner. 28 Das Dachgeschoss ist für die Schülerinnen und Schüler nicht ohne weiteres als zusammengesetzter Körper erkennbar. Exemplarisch kann an diesem Körper ein „Durchdringen“ aufgezeigt werden, indem die notwendigen Stützdreiecke und Teilkörper eingezeichnet werden: Für die Volumenberechnung ist der Hinweis auf das Zusammenfügen der beiden Pyramidenhälften zu einer Pyramide sicherlich hilfreich. K 76 6 Pyramide. Kegel. Kugel DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:20 Seite: 77 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 150 … auch zusammengesetzte Flächen: Damit ist zunächst eine klare Zuordnung zwischen einer Flächenform und dem daraus entstehenden Körper geschaffen. 2. In einem weiteren Schritt werden Flächen betrachtet die „Hohlräume“ oder „Durchbohrungen“ erzeugen können. Zum Beispiel: Ausgehend von diesen grundsätzlichen Betrachtungen, können heuristische Kompetenzen vermittelt werden, um Drehkörper planvoll zu bearbeiten. 6 Pyramide. Kegel. Kugel K 77 DO01742692_KT_K06_062_078.indd 06.07.2009 14:51:20 Seite: 78 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow Schülerbuchseite 152 – 169 Bewerbungstraining Vorschlag für die Punkteverteilung Kommentare zum Kapitel Neben Allgemeinwissen, sprachlichen Fähigkeiten und Konzentrationsfähigkeit werden in Einstellungstests häufig auch mathematische Fähigkeiten wie Rechenverfahren, Sachaufgaben, logisches Denken und räumliches Vorstellungsvermögen getestet. Dies sollte Anlass sein, den Lernenden eine Möglichkeit zu schaffen, sich auf solche Tests selbstständig vorzubereiten. Einstellungstest 1 (50 Punkte) Nr. 1 4 P. Nr. 2 Nr. 3 6 P. Nr. 4 Nr. 5 4 P. Nr. 6 Nr. 7 4 P. Nr. 8 Nr. 9 4 P. Nr. 10 9 P. 4 P. 6 P. 3 P. 6 P. Einstellungstest 2 (60 Punkte) Nr. 1 2 P. Nr. 2 Nr. 3 4 P. Nr. 4 Nr. 5 4 P. Nr. 6 Nr. 7 4 P. Nr. 8 Nr. 9 4 P. Nr. 10 Nr. 11 8 P. Nr. 12 6 P. 6 P. 8 P. 4 P. 6 P. 4 P. Auftaktseite Mit den Auftaktseiten werden den Jugendlichen Tipps zu ihrem Auftreten, zu ihrer Kleidung, zur Konzentration, aber auch zum Herangehen an Einstellungstests gegeben. Unterstützt von Bildern bietet sich ihnen also die Möglichkeit, Unsicherheiten einzudämmen und sich mit solchen Situationen zumindest in der Vorstellung auseinander zu setzen. Konzeption der Einheit Aufgrund der Themenfülle bleibt während der Unterrichtszeit häufig wenig Zeit, vorangegangene Themen grundlegend zu wiederholen. Da die Einheit zum Selbststudium geeignet ist, wird es den Jugendlichen ermöglicht, sich zeitnah auf ihre persönlichen Einstellungstests vorzubereiten. – Die Schülerbuchseiten 154 bis 160 bieten eine kompakte Nachschlagemöglichkeit zur Erinnerung und Wiederholung der benötigten Themen. – In den Tests 1 bis 6 (Schülerbuchseiten 161 bis 166) werden vermischte Aufgaben zu allen Themen angeboten. Diese können gut als Wiederholung oder Training eingesetzt werden. – Da in der Realität häufig der Zeitdruck ein großes Problem darstellt, bieten die drei Einstellungstests die Möglichkeit, eine Realsituation in der Klasse herzustellen. Dabei sollte die Zeitvorgabe von 30 Minuten exakt eingehalten werden. Fast alle Einstellungstests sind ergebnisorientiert. Deshalb können die Lösungen auch direkt auf den Tests eingetragen werden. Das vorgegebene Punktesystem (im Folgenden ausgeführt) ermöglicht die vergleichende Auswertung innerhalb der Lerngruppe. K 78 Bewerbungstraining Einstellungstest 3 (50 Punkte) Nr. 1 2 P. Nr. 2 Nr. 3 6 P. Nr. 4 Nr. 5 6 P. Nr. 6 Nr. 7 4 P. Nr. 8 Nr. 9 3 P. Nr. 10 Nr. 11 2 P. Nr. 12 Nr. 13 4 P. 6 P. 3 P. 4 P. 4 P. 3 P. 3 P. DO01742692_Umschlag.indd 30.06.2009 09:10:49 Seite: 11 [Farbbalken für Fogra39] BlacK Cyan Magenta Yellow 9 Mathematik Schnittpunkt Serviceband – der Service für die Vorbereitung und die Durchführung Ihres Unterrichts! Der Serviceband ist in drei Teile gegliedert: – Kommentare (K): Im ersten Teil finden Sie unterrichtspraktische Hinwei­ Schnittpunkt se, Kommentare und Anregungen für Ihre Unterrichtsvorbereitung. – Serviceblätter (S): Der zweite Teil bietet Ihnen über 60 passgenau auf das Schülerbuch abgestim­mte und direkt einsatzfähige Kopiervorlagen und die ent­sprechenden Lösungen. Sie finden hier Übungen zur Differen­ zierung, ansprechende Spiele und Arbeitsblätter, die die Inhalte des Schülerbuches kumulierend aufgreifen. – Lösungen (L): Im dritten Teil finden Sie alle Lösungen und Lösungs­ hinweise zu den Aufgaben des Schülerbuches. Schnittpunkt Mathematik Serviceband Serviceband ISBN 978-3-12- 742692 -2 Rheinland-Pfalz 9
