09 Dielektrika im E
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Materie in einem Kondensator In einen geladen Kondensator (Q = konst.) wird a) eine Metallplatte b) isolierende Materialien (Dielektrika) eingebracht Metallplatte in einem Kondensator Die Metallplatte hat den gleichen Effekt wie eine Verringerung des Plattenkondensatorabstandes (von d0 auf d0-dm). Es gilt dabei: C0 = ε 0 A A Cm = ε 0 d0 − dm d0 Die Spannung (U = Q/C) sinkt daher beim Einführen der Metallplatte (Cm > C0), da sich die Ladung nicht ändert. 1 Dielektrikum im Kondensator Die Spannung (U = Q/C) sinkt beim Einführen des Dielektrikums, da sich die Ladung nicht ändert. Durch das Einbringen des Dielektrikum wird die Kapazität des Kondensators auch größer. Von was hängt die Erhöhung der Kapazität ab? Dielektrizitätskonstante Erhöhung der Kapazität von C0 auf Cdiel hängt bei gleicher Materialdicke vom Material (Isolator) ab: Cdiel = εr C0 εr relative Dielektrizitätskonstante, Materialparameter Beispiele für εr Vakuum Luft Trafoöl Alkohol Methanol Wasser 1 1.0006 2,24 24 36 81 Was sind die (mikroskopischen) Ursachen der Materialabhängigkeit? 2 Leiter/Isolator Leiter-Metalle : frei bewegliche Elektronen (negativ) fixe Atomkerne Isolator - Dielektrika: Elektronen sind an Atom/Molekül gebunden nicht frei beweglich Dielektrika: Materialien durch die das elektrische Feld hindurchgeht (di = durch griechisch) Unpolare Atome/Moleküle d Elektrisches Feld verschiebt Ladungsschwerpunkte: Im elektrischen Feld E wird ein Dipolmoment induziert r r p = qd r v p = aE Meist erlaubte Näherung: Induziertes Dipolmoment parallel und direkt proportional zu E; a Polarisierbarkeit, ist groß für unförmige Moleküle Diese Art der Polarisation wird als Verschiebungspolarisation bezeichnet Na Molekül: E = 100V/cm ⇒ Verschiebung d ≈10-11m Atomdurchmesser > 10-10m 3 Verschiebungspolarisation Viel Atome/Moleküle werden polarisiert Makroskopische Beschreibung: Polarisation v 1 P= V r p ∑ i Alle Dipole parallel zum Feld ausgerichtet: P = Np = Nqd N Anzahl der Dipole pro Volumseinheit Polare Moleküle Polare Moleküle haben auch ohne E-Feld ein Dipolmoment Polare Moleküle: Meisten Moleküle die nicht aus gleichen Atomen bestehen Beispiele CsCl 10.4 (Rel Dipolmoment) NaCl 9 H20 1.85 NH3 1.47 CO 0.11 4 Orientierungspolarisation Moleküle mit einem permanenten Dipolmoment richten sich im elektrischen Feld aus: Orientierungspolarisation Orientierungspolarisation nur in Gasen und Flüssigkeiten, Festkörper: Moleküle fix, daher keine Drehung möglich Verhalten vieler Dipole Mit Feld: Dipolmomente ausgerichtet Temperaturbewegung stört Ordnung: Polarisierbarkeit temperaturabhängig Beispiel: Wasser bei Zimmertemperatur und E = 1kV/cm 0.03% aller Moleküle klappen unter Feld in Feldrichtung Ohne Feld: Dipolemomente verteilt 5 Polarisationsladungen Wie groß ist die Feldstärke Ediel im Dielektrikum? +Qfrei -Qpol + + + + + + − − − − r E frei + + + + +Qpol -Qfrei −r − Ediel − r − E pol + + + + − − − − - + + + + Plattenkondensator mit Fläche A • Feld Efrei der freien Ladungen Qfrei verschiebt Ladungen im Dielektrikum • Im Inneren des Dielektrikums heben sich die Ladungen auf • An Stirnflächen treten Polarisationsladungen Qpol = P A auf (P Polarisation) die Feld Epol = P/ε0 (ohne Beweis) erzeugen • Dielektrikum Überlagerung des äußern Feldes Efrei mit dem durch die Polarisation hervorgerufenen Epol v r r r r P Ediel = E frei + E pol = E frei − ε0 Feldstärke im Dielektrikum kleiner Feldstärke im Dielektrikum r r r 5 p = α ⋅ E α ≈ const. bis typisch E ≤ 10 V cm r v r r r Evak ⇒ E P = N ⋅ α ⋅ Ediel ≡ χ ⋅ ε0 Ediel diel = 1+ χ Lineare Näherung: ⇒ ( ) dielektrische Suszeptibiliät relative Dielektrizitätskonstante: ⇒ isotropes Medium anisotropes Medium v E diel = ε ≡1 + χ r r Evak εr ⇒ ε = Zahl (Skalar) ⇒ ε = Tensor (2. Stufe) Faustregel: Für homogene isotrope Medien ersetze in allen Formeln für das Vakuum einfach ε0 durch ε⋅ε0. 6 Potenzial-und Feldverlauf Vakuum - + + + + + Isolator Metall + + + + + E= konst - + + + + + + + + + + - E(x) + - + - + - Ediel = E/εr Emet = 0 U0 - UI UM Leiter: Ladungen bis an die Oberfläche frei verschiebbar, bis Feld im Inneren des Leiters 0 wird (= Influenz) Dielektrika: Ladungen nur innerhalb von Atomen verschoben, das Feld im Inneren des Isolators wird nur teilweise kompensiert (=Polarisation) Dielektrische Verschiebung r ε0 div E = ρ Satz von Gauss: Isolator: Feld E bestimmt durch freie Ladungen (auf Platten) ρfrei und Ladungen durch Polarisation ρpol r ε 0 div E = ρ frei − ρ pol mit divP = ρ pol v ⎛r P⎞ ε 0 div ⎜⎜ E + ⎟⎟ = ρ frei ε0 ⎠ ⎝ r εr nicht immer vor div gezogen werden ε 0 div ε rE = ρ frei ( ) Historisch: Mechanismen der Polarisation unbekannt, daher Einführung einer neuen Größe: Dielektrische Verschiebung(-sdichte) D r def r r r r D ≡ ε 0 E diel + P = ε r ε 0 E diel = ε 0 E vak Damit Satz von Gauß: [D] = As/m2 r div D = ρ frei Keine Vereinfachung, da zusätzliche Relation zwischen E und D für Feldberechnungen benötigt wird, elegantere Formulierung manchmal möglich Linearer isotroper Fall D = εr ε0 E 7 Elektrisch Felder an Grenzflächen r E0 r Ediel Ediel = r E0 ? α εr εr Betrag des elektrischen Feldes ändert sich an der Grenzfläche! εr Vakuum E0 r Ediel Wie schaut das Feld im Inneren des Dielektrikums aus, wenn Feld und Winkel α einfällt? Elektrisch Felder an Grenzflächen Elektrisches Feld an Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlicher relativer Dielektrizitätskonstante und keinen freien Ladungen in der Grenzfläche: Zerlegen des Feldes in Parallel- und Normalkomponente ε (1) r ε r(2) ε (1) r ε (2) r r ∆s r − ∆s r ∆A r − ∆A r r E ∫ ds = 0 (E( ) − E( ) )⋅ ∆s = 0 ⇒ E( ) = E( ) 1 || 2 || 1 || 2 || Parallelkomponente des elektrischen Feldes ist stetig r r r div D dV = D ∫ ∫ dA = qfrei ≡ 0 ( ) ⇒ D(⊥2 ) − D(⊥1) ⋅ ∆A ≡ 0 ⇒ D(⊥2 ) = D(⊥1) Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung ist stetig 8 r E ||(1) r E (1) Brechung α1 ε r(1) r E ⊥(1) r E (2) r α2 E ⊥( 2 ) ε r(2) tan α = r E ||( 2 ) E|| E⊥ E||(1) = E||( 2 ) D⊥(1) = D⊥( 2 ) bzw. ε r(1)E ⊥(1) = ε r( 2 )E ⊥( 2 ) tan α 2 ε r( 2 ) = tan α1 ε r(1) Energie in einem Kondensator mit Dielektrikum Gespeicherte Energie in einem Plattenkondensator mit Dielektrikum Wdiel = 1 1 A 1 2 CU 2 = ε r ε0 (E d ) = V E D 2 2 d 2 V Volumen Energiedichte w r r w = E ⋅D 1 2 Gilt allgemein, auch im Vakuum Einbringen eines Dielektrikums in einen Plattenkondensator mit konstanter Ladung: Wdiel= 1/εr Wvak Energieerhaltung: Dielektrikum wird in Kondensator gezogen 9 Flüssiges Dielektrikum im Kondensator Spannung konstant: Dielektrikum wird hineingezogen h= ε 0 (ε r − 1) 2 ⋅E 2ρ fl g Aus Steighöhe h kann εr berechnet werden, wenn Feld E und Dichte ρ der Flüssigkeit bekannt Polarisation und nichtelektrische Energie Piezoelektrizität (auch piezoelektrische Polarisation) beschreibt das Zusammenspiel von mechanischem Druck und elektrischer Spannung in Festkörpern, tritt nur in bestimmten Materialen auf Elektrostriktion beschreibt die Deformation eines dielektrischen Mediums in Abhängigkeit eines angelegten elektrischen Feldes. Elektrostriktion nur Anteil des Effekts, bei der die Deformation unabhängig von der Richtung des angelegten Feldes und proportional zum Quadrat des Feldes ist; Pyroelektrizität (auch: pyroelekrischer Effekt, pyroelektrische Polarisation) ist die Eigenschaft einiger piezoelektrischer Kristalle, auf eine zeitliche Temperaturänderung ∆T, die Temperaturunterschiede im Material bewirkt, mit Ladungstrennung zu reagieren. Die resultierende Spannungsdifferenz kann an den Oberflächen abgegriffen werden 10 Piezoeffekt Druck erzeugt Spannung Spannung erzeugt Deformation Piezo-Effekt Materialien mit permanentem elektrischen Dipolmoment entlang einer polaren Achse in einem Kristall auftritt. Beispiele Quarz (SiO2), Bariumtitanat (BaTiO3) piezoelektrische Keramiken, sog. PZT-Keramiken (Blei-Zirconat-Titanat nur polykristallin, vorher polarisieren) Zusammenfassung • Influenz: Ladungstrennung durch ein äußeres elektrisches Feld, das bewirkt, dass das Innere eines Leiters feldfrei wird • Ladungen sind immer auf der Oberfläche von leitenden Körpern, an Spitzen kann es zu Überhöhungen kommen (Spitzenentladung), da die Oberfläche eine Äquipotenzialfläche ist • Das Innere eines leitenden Körpers ist feldfrei (Faradykäfig) • Elektrische Ladungen können in einem Kondensator (zwei Leiteroberflächen voneinander isoliert) gespeichert werden. Kapazität hängt nur von Bauform ab und Potenzial und Ladung sind direkt prop. • Bei Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kapazität bei der Serienschaltung addieren sich die Kehrwerte der Einzelkapazitäten • Durch Polarisation wird das elektrische Feld in Isolatoren abgeschwächt Verschiebungspolarisation: Feld erzeugt durch Influenz molekulare Dipole Orientierungspolarisation: Feld richtet polare Moleküle aus • In einem elektrischen Feld ist Feldenergie gespeichert, die prop. zu Produkt aus Ladung und Potenzialdifferenz ist. Die Energiedichte ist prop. zu Produkt aus Feldstärke und dielektrischer Verschiebung 11
