Lösungen Blatt1

1
Übungsaufgaben und Lösungen
zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitslehre und Statistik
Blatt1
1
In einer Urne befinden sich 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Wir ziehen 5 mal nacheinander
mit Zurücklegen.
a
Welche Verteilungsfunktion beschreibt das Zufallsexperiment? Welche Parameter
beschreiben diese Verteilung und welche Werte besitzen sie in diesem Beispiel? Welche
2
Werte µ bzw. s besitzen Erwartungswert bzw. Varianz?
b
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 schwarze Kugeln zu ziehen?
Wie lauten die entsprechenden Werte für weiße Kugeln?
c
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 weiße Kugeln zu erhalten. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit mindestens 1, aber höchstens 2 schwarze Kugeln zu ziehen.
Lösung
a
Es handelt sich um eine Bernoulliverteilung mit den Parametern p =
5
(für das Ziehen einer
8
3
(für das Ziehen einer schwarzen Kugel) und n = 5. Der
8
25
15
Erwartungswert ist definiert durch µ = n p =
(für weiße Kugeln) bzw. durch µ = n p =
8
8
(für schwarze Kugeln). Die entsprechenden Werte der Varianz sind in beiden Fällen:
5 3 75
s2 = n ◊ p ◊ q = 5 ◊ ◊ = .
8 8 64
weißen Kugel) bzw. p =
b
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit x schwarze Kugeln bei n Versuchen zu ziehen mit der
Formel:
Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 0 Ê 5 ˆ 5 Ê 5 ˆ 5
Ê 5ˆ Ê 3 ˆ1 Ê 5 ˆ 4
Ê n ˆ x n-x
f(x) = P(X = x) = Á ˜ ◊ p ◊ q
zu f(0) = Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ = Á ˜ , f(1) = Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ ,
Ë 0¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯
Ë 1¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯
Ë x¯
f(2)
=
Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 2 Ê 5 ˆ 3
Á ˜◊Á ˜ ◊Á ˜ ,
Ë 2¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯
f(3)=
Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 3 Ê 5 ˆ 2
Á ˜◊Á ˜ ◊Á ˜ ,
Ë 3¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯
f(4)
=
Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 4 Ê 5 ˆ1
Á ˜◊Á ˜ ◊Á ˜
Ë 4¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯
und
Ê 5ˆ Ê 3 ˆ 5 Ê 5 ˆ 0 Ê 3 ˆ 5
f(5) = Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ = Á ˜ .
Ë8¯
Ë 5¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯
Die entsprechenden Werte g(x) für die weißen Kugeln sind g(x) = 1 - f(x).
c
Die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 weiße Kugeln zu erhalten ist:
Ê 5ˆ Ê 5 ˆ 3 Ê 3 ˆ 2 Ê 5ˆ Ê 5 ˆ 4 Ê 3 ˆ1 Ê 5ˆ Ê 5 ˆ 5 Ê 5 ˆ 0
g( 3) + g( 4 ) + g( 5) = Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ + Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ + Á ˜ ◊ Á ˜ ◊ Á ˜ ,
Ë 3¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ Ë 4 ¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯ Ë 5¯ Ë 8 ¯ Ë 8 ¯
die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 schwarze Kugel zu ziehen ist 1 - f(0) und die
Wahrscheinlichkeit höchstens 2 schwarze Kugeln zu erhalten ist 1 - f(3) - f(4) - f(5). Die
Wahrscheinlichkeit mindestens 1, aber höchstens 2 ist 1 - f(0) - f(3) - f(4) - f(5).
2
2
In einer Fabrik werden serienmäßig Schrauben mit einem Ausschußanteil von 2% hergestellt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit finden wir in einer Zufallsstichprobe von 5 Schrauben genau
0, 1, 2, 3, 4 bzw. 5 unbrauchbare? Welches Ergebnis leiten wir daraus für brauchbare
2
Schrauben her? Welche Werte µ bzw. s besitzen Erwartungswert bzw. Varianz?
Lösung
Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment mit p = 0.02 für unbrauchbare Produkte, d.h.
q = 0.98 für brauchbare, und n = 5 für den Stichprobenumfang.
Die Lösungsformel für die Anzahl unbrauchbarer Schrauben heißt:
Ê 5ˆ
f ( x ) = Á ˜ ◊ 0.02 x ◊ 0.985- x ergibt folgende Lösungen:
Ë x¯
Ê 5ˆ
Ê 5ˆ
f (1) = Á ˜ ◊ 0.021 ◊ 0.98 4 = 0.092 , f ( 2 ) = Á ˜ ◊ 0.022 ◊ 0.983 = 0.0038 ,
Ë 1¯
Ë 2¯
Ê 5ˆ
Ê 5ˆ
Ê 5ˆ
f ( 3) = Á ˜ ◊ 0.023 ◊ 0.982 = 0.00007 , f ( 4 ) = Á ˜ ◊ 0.02 4 ◊ 0.981 = 0 und f ( x ) = Á ˜ ◊ 0.025 ◊ 1= 0.
Ë 4¯
Ë 3¯
Ë 5¯
f ( 0 ) = 0.985 = 0.904 ,
2
Der Erwartungswert ist µ = n · p = 0.02 · 5 = 0.1 und s = n · p · q = 0.098.
3
Eine Lieferung enthält N = 100 Transistoren, die aus einer Massenproduktion mit 5%
Ausschuß stammen. Bei der Anlieferung der Ware wird vom Kunden eine Abnahmekontrolle
in Form einer Stichprobe vom Umfang n = 4 ohne Zurücklegen durchgeführt
(Hypergeometrische Verteilung). Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält die durchgeführte
Stichprobe nur einwandfreie Ware?
Lösung
Die Zufallsvariable X = Anzahl der in der Stichprobe vom Umfang 4 vorgefundenen defekten
Transistoren
ist hypergeometrisch verteilt. Mit N = 100, M = 5 (5% Ausschuss) und n = 4 lautet die Formel:
Ê 5 ˆ Ê100 - 5ˆ
Á ˜◊Á
˜
Ë x¯ Ë 4 - x ¯
f ( x ) = P( X = x ) =
. Errechnet man das folgende Ergebnis:
Ê100 ˆ
Á
˜
Ë 4 ¯
Ê 5ˆ Ê100 - 5ˆ Ê 95ˆ
Á ˜◊Á
˜ Á ˜
Ë 0¯ Ë 4 - 0 ¯ Ë 4 ¯
=
= 0.812 .
f(0) = f ( 0 ) =
Ê100 ˆ
Ê100 ˆ
Á
˜
Á
˜
Ë 4 ¯
Ë 4 ¯
3
4
Beim radioaktiven Zerfall ist die Zufallsvariable X = Anzahl der pro Sekunde zerfallenden
Atomkerne Poisson verteilt mit dem Parameter µ. Dieser gibt an, wie viele Atomkerne
durchschnittlich pro Sekunde zerfallen. Bei einem speziellen Präparat zerfallen im Mittel pro
Minute 120 Atomkerne.
a
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Zählgerät mehr als 2 Zerfälle pro
Sekunde zu beobachten?
b
Welchen Wert muß
•
2i
 i! besitzen?
i=0
Lösung
a
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung heißt:
m x -m
f ( x ) = P( X = x ) =
◊e .
x!
Mit µ =
120
= 2 ist die Wahrscheinlichkeit für den Zerfall von x = 0,1 und 2 Kernen gegeben
60
durch:
f (0) =
20 -2
21
22 -2
◊ e , f (1) = ◊ e -2 und f ( 2 ) =
◊e .
0!
1!
2!
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Zählgerät mehr als 2 Zerfälle pro Sekunde zu beobachten,
ist damit
1 - F( 2 ) = P( X > 2 ) = 1 - ( f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 )) = 1 - (1 + 2 + 2 ) ◊ e -2 = 1 - 5 ◊ e -2 .
•
b
Wegen
i =0
5
•
 f ( i) =
• i
• i
2i -2
2
2
-2
,
folgt
◊
e
=
e
◊
=
1
 i!
 i!
 i! = e2 .
i =0
i =0
i =0
Die Serienproduktion von Glühbirnen erfolgt mit einem Ausschussanteil von 1%. Aus der
laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang n = 100 entnommen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit enthält diese Stichprobe drei oder mehr defekte Glühbirnen?
Lösung
Wir rechnen mit der Formel für die Poissonverteilung mit µ = n · p = 100 · 0.01 =1 und
f ( x ) = P( X = x ) =
f(0)=f(1) =
m x -m 1x -1
1
.
◊e = ◊e =
x!
x!
x!◊e
Dies ergibt:
1
1
und f(2) =
,
e
2◊e
also ist die Wahrscheinlichkeit drei oder mehr defekte Glühbirnen zu erhalten gegeben durch:
1 - F( 2 ) = P( X ≥ 3) = 1 -
(1 + 1 + 0.5)
.
e
4
6
Eine Gartenfläche wird in 100 Quadrate gleicher Größe unterteilt. Anschließend werden die
Anzahl von Schnecken für jedes Quadrat gezählt. Dabei kam es zu folgendem Ergebnis:
Anzahl r der Schnecken
Häufigkeit von r
0
69
1
18
2
7
3
2
4
1
5
1
8
1
15
1
Berechne den Mittelwert und die Varianz der Verteilung und prüfe, ob die Verteilung als
Poisson-Verteilung angesetzt werden kann.
Lösung
Für den Mittelwert berechnen wir
x=
69 ◊ 0 + 18 ◊ 1 + 7 ◊ 2 + 2 ◊ 3 + 1 ◊ 4 + 1 ◊ 5 + 1 ◊ 8 + 1 ◊ 15 70
=
= 0.7 .
100
100
Für die Varianz berechnen wir:
2
2
2
2
2
99 ◊ s2 = 69 ◊ (0 - 0.7) + 18 ◊ (1 - 0.7) + 7 ◊ (2 - 0.7) + 2 ◊ (3 - 0.7) + 1 ◊ (4 - 0.7) + 1 ◊ (5 - 0.7)
2
+ 1 ◊ (8 - 0.7) + 1 ◊ (15 - 0.7)
2
2
Daraus folgt
s2 =
33.81 + 1.62 + 11.83 + 10.58 + 10.89 + 18.49 + 53.29 + 204.49
= 3.48 .
99
2
Für die Poissonverteilung soll gelten s = µ. Dies ist auch nicht näherungsweise gegeben.
Also kann die Poissonverteilung nicht angesetzt werden.