Aufgaben zur Zahlentheorie (Teil 2) Aufgabe 1: Wie lautet die

Prof. Dr. Timm Sigg
Zahlentheorie Teil 2
Aufgaben zur Zahlentheorie (Teil 2)
Aufgabe 1:
Wie lautet die kleinste positive Zahl 𝑥, für die gilt
𝑥 ≡ 8 𝑚𝑜𝑑 9 und
𝑥 ≡ 4 𝑚𝑜𝑑 10
?
Aufgabe 2:
Wie lautet die kleinste positive Zahl 𝑥, für die gilt
𝑥 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3
𝑥 ≡ 4 𝑚𝑜𝑑 5
𝑥 ≡ 4 𝑚𝑜𝑑 7
und
und
?
Aufgabe 3:
Geben Sie eine beliebige natürliche Zahl an, die die beiden Kongruenzen
𝑥 ≡ 17 𝑚𝑜𝑑 52
𝑥 ≡ 23 𝑚𝑜𝑑 45
und
erfüllt.
Hinweis: Es genügt die Produktdarstellung der gesuchten Zahl. Das Produkt muss nicht
ausgerechnet werden.
Aufgabe 4:
Berechnen Sie unter Verwendung des kleinen Satzes von Fermat!
a) 4037 𝑚𝑜𝑑 37
b) 4076 𝑚𝑜𝑑 37
c) 13223 𝑚𝑜𝑑 11
d) 7400 𝑚𝑜𝑑 13
Aufgabe 5:
Auf wie viele Nullen endet die Zahl 42! (42 Fakultät)?
Aufgabe 6:
Zeigen Sie, dass die Zahl 𝑧 = 𝑛40 + 204 für alle natürlichen Zahlen 𝑛 durch 41 teilbar ist!