Frank Morherr: Uebungen zum Workshop Gravitationswellen
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Aufgaben und Verständnisfragen zu „Der Quelle auf der Spur“ 1. Welche Abstandsänderungen spielen bei der Detektion von Gravitationswellen eine Rolle. Veranschaulichen Sie sich das, indem Sie annehmen, das Atom hätte die Größe eines Fußballstadions. 2. Wozu ist analytische (numerische) Modellierung wichtig. 3. Was bedeuten die Bezeichnungen GW150914 und GW151226. 4. Informieren Sie sich im Internet oder in Büchern, was das Virialtheorem ist und was es aussagt. 5. Formulieren Sie den Inhalt des Kastens „Kompakt“ auf Seite 35 mit eigenen Worten. 6. Versuchen Sie, die Aussage von Abbildung 1 auf Seite 37 zu verstehen. googlen und informieren sie sich, so gut wie es geht über die Aussagen des Abschnittes Kreisbahnen um Schwarze Löcher. Fassen sie das Gesagte zusammen. 7. Was ist die Bildladungsmethode (Spiegelladungsmethode der Elektrostatik? 8. Was ist eine Taylorentwicklung einer (unendlich oft) differenzierbaren Funktion? Versuchen Sie damit die Entwicklungsformel im Kasten auf Seite 37 herzuleiten. 9. Was ist das EOBNR-Modell? Was ist das IMR-Phenom-Modell? 10.Was ist eine Multipolentwicklung? Was ist Dipolstrahlung und was Quadrupolstrahlung. 11. Wie ergänzen sich numerische Rechnungen und analytische Rechnungen? Antworten: Aufgaben und Verständnisfragen zu „Gravitationswellen gefasst“ 1. Um welches Ereignis geht es in dem Text und was bedeutet die Bezeichnung GW150914? 2. LIGO ist die Abkürzung für „Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory. Informiere Dich im Internet über die Funktionsweise eines Laserinterferometers und die Gestalt der beiden in Livingston und Harford. 3. Als was kann man sich Gravitationswellen anschaulich vorstellen? 4. Informiere dich über die Begriffe „Dipolmoment“ und „Quagrupolmoment“. 5. Warum interessiert man sich hauptsächlich für Binärsysteme aus zwei Schwarzen Löchern oder zwei Neutronensternen. Kläre die Begriffe „Binärsystem (astronomisch)“, „Neutronenstern“ und „Schwarzes Loch“. 6. Wie „erklärt“ sich die Form des Gravitationswellensignals? 7. Erläutern Sie die Probleme bei der Messung von Gravitationswellen. 8. Wieso benötigt man auch Detektoren im Weltraum → LISA. Antworten: Gravitationswellen: Modelle und Experimente zu Signalformen, Wirkungen und Detektion Ute Kraus und Corvin Zahn, Universität Hildesheim 5.8.2016 Wir stellen in diesem Beitrag Modelle und Experimente vor, mit denen Schülerinnen und Schüler eine Vorstellung vom Wesen der Gravitationswellen entwickeln sowie einige wichtige Größenordnungen kennenlernen können. Die Materialien wurden für das Schülerlabor Raumzeitwerkstatt der Universität Hildesheim entwickelt und werden dort mit Schulklassen der Stufen 9 bis 13 eingesetzt. Einleitung Nachdem Albert Einstein im Jahr 1915 die vollständige Allgemeine Relativitätstheorie vorgestellt hatte, beschrieb er bereits 1916 eine Wellenlösung. Nach ersten Nachweisversuchen mit Resonanzdetektoren ab 1958 wird seit 2002 mit Laserinterferometern nach Gravitationswellen gesucht. Ein indirekter Nachweis gelang durch die Beobachtung des 1974 entdeckten Hulse-Taylor Pulsars. Der Pulsar bildet mit einem weiteren Neutronenstern ein Binärsystem, das im Lauf der Zeit enger wird. Aus den enger werdenden Umlaufbahnen lässt sich auf den Energieverlust des Systems schließen; dieser entspricht genau dem von der Allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagten Energieverlust durch die Abstrahlung von Gravitationswellen. Der erste direkte Nachweis gelang im September 2015, als die beiden LIGO-Detektoren (USA) ein Signal vom Verschmelzen zweier Schwarzer Löcher detektierten (Abbott et al. 2016). Gravitationswellen breiten sich wie elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit aus. Ihre Quellen sind beschleunigt bewegte Massen, wobei die beschleunigte Bewegung eine gewisse Asymmetrie aufweisen muss, damit Gravitationswellen entstehen. Ein typisches Beispiel sind kreisende Sternbewegungen in Doppelsternsystemen, dagegen würde weder eine hin und her oszillierende Masse noch eine kugelsymmetrisch kollabierende Masse Gravitationswellen erzeugen. Die Wechselwirkung von Gravitationswellen mit Materie ist sehr schwach und sie sind deshalb außerordentlich schwierig nachzuweisen. In diesem Beitrag stellen wir Modelle und Experimente vor, die für das Schülerlabor Raumzeitwerkstatt der Universität Hildesheim entwickelt wurden. Das Schülerlabor bietet Schulklassen der Stufen 9 bis 13 einen Einblick in verschiedene Aspekte der Speziellen und der Allgemeinen Relativitätstheorie; Gravitationswellen sind eines der dort behandelten Themen. Wie bei allen Themen aus dem Bereich der Allgemeinen Relativitätstheorie besteht die Herausforderung eine fachlich befriedigende Beschreibung zu geben ohne den mathematischen Apparat der Relativitätstheorie zu verwenden. Beim Thema Gravitationswellen erweist sich das als vergleichsweise schwierig. Einfache Zugänge, die sich in anderen Fällen bewährt haben, sind hier nicht anwendbar: Möglich ist weder eine Folgerung aus dem Äquivalenzprinzip anhand von Gedankenexperimenten wie sie für Lichtablenkung 1 U. Kraus, C. Zahn 1 1 0.5 0.5 Signal Signal Gravitationswellen: Modelle und Experimente 0 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 0.5 1 Zeit [s] 1.5 2 2.09 2.095 1 1 0.5 0.5 0 -0.5 -1 -1 0.045 0.05 0.055 Zeit [s] 2.11 0 -0.5 0.04 2.105 (b) Signal Signal (a) 2.1 Zeit [s] 0.06 0.065 0.07 0 (c) 0.02 0.04 0.06 Zeit [s] 0.08 0.1 (d) Abbildung 1: Typische erwartete Signalformen von verschmelzenden Neutronensternen (a, Detailausschnitt: b), Supernovae (c) und Pulsaren (d). Die Daten in Teilbild (c) sind aus Dimmelmeier et al. 2002 entnommen. und Gravitationsrotverschiebung eingesetzt wird noch eine Beschreibung mit klassischen Begriffen wie verschiedentlich bei Schwarzen Löchern verwendet. Dass Gravitationswellen kein klassisches Gegenstück haben können, wird klar, wenn man bedenkt, dass die Newtonsche Beschreibung der Gravitation statisch ist: Die Kraft zwischen zwei Massen hängt von ihrem Abstand ab; ändert sich der Abstand, so ändert sich im selben Augenblick die Kraft. Mit den im Folgenden vorgestellten Modellen und Experimenten sollen Schülerinnen und Schüler eine Vorstellung von Wesen der Gravitationswellen entwickeln sowie einige wichtige Größenordnungen kennenlernen. Das Phänomen wird dazu von drei Seiten beleuchtet: Was für Signale erwartet man und von welchen Quellen? Wie wirkt sich eine Gravitationswelle aus? Mit welcher Methode werden Gravitationswellen gemessen? 2 Gravitationswellen: Modelle und Experimente U. Kraus, C. Zahn Signalformen und Quellen Drei Typen von Quellen sollen hier mit den von ihnen erwarteten Signalformen vorgestellt werden: Verschmelzende Neutronensterne, Supernovae und Pulsare. Ein Doppelsternsystem aus zwei Neutronensternen ist aufgrund der Bewegung der Neutronensterne umeinander eine Quelle von Gravitationswellen. Als Folge der Energieabstrahlung nähern sich die Sterne einander an und die Umlauffrequenz steigt. Um die Umlauffrequenz kurz vor dem Verschmelzen abzuschätzen, kann man die mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnete Umlauffrequenz zweier gleicher Punktmassen M mit Abstand D heranziehen: r 1 2GM . f= 2π D3 Für den Fall, dass D zwei Neutronensternradien beträgt, erhält man mit M = 1,4 Sonnenmassen und D = 20 km eine Umlauffrequenz von f = 1100 Hz. Die abgestrahlten Gravitationswellen haben die doppelte Frequenz, wie das folgende Argument zeigt: Nach einem halben Umlauf haben die beiden Neutronensterne ihre Positionen gerade getauscht. Die zweite Hälfte des Umlaufs wiederholt also das Bewegungsmuster der ersten Hälfte, entsprechend wiederholt sich das Gravitationswellensignal der ersten Hälfte. Zu einer Umlaufperiode gehören deshalb zwei Perioden des Gravitationswellensignals. Kurz vor der Verschmelzung sind damit Wellenfrequenzen bis ca. 2200 Hz zu erwarten. Die Amplitude der abgestrahlten Gravitationswelle steigt während der Annäherung der Sterne allmählich an und hat bei der Verschmelzung ein scharfes Maximum. Nach der Verschmelzung zu einem Schwarzen Loch folgen einige wenige Schwingungen geringerer Amplitude, der sogenannte ringdown“ (Abb. 1a, b). Die in Abb. 1a, b gezeigte ” Wellenform ist zusammengesetzt aus zwei Näherungslösungen für Zeiten vor und nach der Verschmelzung der Neutronensterne zu einem Schwarzen Loch. Das Signal in der Verschmelzungsphase kann nur durch numerische Simulationen erhalten werden. Dieser vergleichsweise kurze Abschnitt des Signals ist in Abb. 1 nicht realistisch wiedergegeben. In einer Supernova entstehen Gravitationswellen beim Kollaps des Kerns zu einem Neutronenstern oder einem Schwarzen Loch. Voraussetzung ist, dass der Kollaps nicht kugelsymmetrisch verläuft. Es entsteht ein Signal mit einem abrupten Beginn und einem kurzen, hohen Maximum. Das in Abb. 1c dargestellte Signal ist das Resultat numerischer Simulationen (Dimmelmeier et al. 2002). Pulsare sind rotierende Neutronensterne und haben beobachtete Frequenzen im Bereich Hertz bis Kilohertz. Damit ein rotierender Neutronenstern Gravitationswellen erzeugt, muss bezüglich der Rotationsachse eine Asymmetrie vorhanden sein. Ein möglicher Grund ist eine Deformation der Kruste. Durch die Gravitationswellenabstrahlung wird der rotierende Neutronenstern ganz allmählich gebremst. Es entsteht ein Gravitationswellensignal, das über lange Zeiten stabil ist (Abb. 1d, dargestellt ist ein Signal mit einer Frequenz von 200 Hz). Die Frequenz einer Gravitationswelle ist generell von der Größenordnung der Frequenz der periodischen Bewegungen in der Quelle. Für die Bewegung astronomischer Objekte kann diese nicht beliebig hoch werden; erwartet werden Frequenzen bis etwa 10 kHz. Damit liegen die Frequenzen der erwarteten Gravitationswellen in vielen Fällen in dem 3 Gravitationswellen: Modelle und Experimente U. Kraus, C. Zahn Abbildung 2: Schüler ordnen Informationen zu den Quellen und ihren Signalen einander zu. Bereich zwischen 20 Hz und 20 000 Hz, in dem das menschliche Ohr Schallwellen wahrnehmen kann. Indem man eine Schallwelle mit der gegebenen Signalform generiert, kann man sich das Gravitationswellensignal anhören. Die Audiodateien zu den Signalformen in Abb. 1 stehen als Begleitmaterial zu diesem Beitrag auf www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de zur Verfügung. Zur Erstellung der Audiodateien wurde das frei verfügbare Programm scilab eingesetzt. Im Schülerlabor Raumzeitwerkstatt setzen sich Schülerinnen und Schüler mit Quellen und Signalformen auseinander, indem sie verschiedenartige Informationen zu den Quellen und ihren Signalen jeweils einzeln erhalten mit der Aufgabe diese einander zuzuordnen. Vorgestellt wird jede Quelle durch eine Kurzbeschreibung, eine Abbildung aus einer Beobachtung oder einer Simulation, ein Diagramm einer typischen Signalform sowie eine Audiodatei, welche das Signal als Ton wiedergibt (Abb. 2). Auswirkung einer Gravitationswelle Gravitationswellen werden von beschleunigt bewegten Massen erzeugt, breiten sich aus und wirken sich weit entfernt von ihrer Quelle gravitativ aus. Es stellt sich die Frage, welche Auswirkung eine Gravitationswelle hat, woran also ihre Anwesenheit erkannt werden kann. Eine elektromagnetische Welle macht sich dadurch bemerkbar, dass ein geladenes Teilchen eine Beschleunigung erfährt. Die Beschleunigung hängt vom Verhältnis von Ladung und Masse ab, ist also für unterschiedliche Teilchen verschieden. Kann analog eine Gravitationswelle daran erkannt werden, dass ein massebehaftetes Teilchen eine Beschleunigung erfährt? Dies ist nicht der Fall und an dieser Stelle versagt die 4 Gravitationswellen: Modelle und Experimente U. Kraus, C. Zahn Analogie zu elektromagnetischen Wellen. Die gravitative Kraft F auf ein Teilchen mit Masse m bewirkt eine Beschleunigung a = F/m. Da die gravitative Kraft F proportional zu m ist, ist die Beschleunigung unabhängig von der Masse des Teilchens. Anders als im elektromagnetischen Fall erfahren in einem Gravitationsfeld alle am selben Ort befindlichen Teilchen dieselbe Beschleunigung. Unterschiede in der Gravitationsbeschleunigung treten erst auf, wenn Teilchen an verschiedenen Orten mit unterschiedlichem Gravitationsfeld verglichen werden. Diese Teilchen sind relativ zueinander beschleunigt. Man spricht auch von Gezeitenkräften, da die Gezeiten auf der Erde auf diese Weise durch das inhomogene Gravitationsfeld des Mondes zustandekommen. Eine sich zeitlich verändernde Gezeitenkraft ist das Merkmal einer Gravitationswelle. Eine Gravitationswelle nachzuweisen heißt also Gezeitenkräfte nachzuweisen. Die obige Überlegung zu Beschleunigungen im Gravitationsfeld bewegt sich im Rahmen der Newtonschen Gravitationstheorie. Die Aussage, dass die Beschleunigung im Schwerefeld unabhängig von der Masse eines Teilchens ist sowie die Folgerung, dass Relativbeschleunigungen erst durch Gezeitenkräfte zustandekommen, gelten ebenso in der Allgemeinen Relativitätstheorie, so dass die Überlegung auch in diesem Rahmen gültig ist. Im Folgenden stellen wir zwei Modelle vor, welche die mit einer Gravitationswelle verbundene Gezeitenwirkung illustrieren. Wir stellen uns ein System aus 16 Teilchen vor, die sich im freien Fall befinden (d. h. keine nichtgravitativen Kräfte erfahren), etwa frei schwebend im All. Die Teilchen sind in einem quadratischen Gitter angeordnet (Abb. 3a). Nun soll sich eine Gravitationswelle über die Teilchen hinweg ausbreiten. Die Ausbreitungsrichtung steht in diesem Beispiel senkrecht auf der Ebene des Teilchengitters. Weit entfernt von der Quelle ist ein Ausschnitt einer Wellenfront praktisch eben, wir betrachten deshalb eine ebene Welle. Die Welle soll außerdem monochromatisch sein. Wenn sich die Gravitationswelle über das Gitter aus Teilchen hinweg ausbreitet, ändern sich die Abstände der Teilchen relativ zueinander (Abb. 3b-d). Dabei verbleiben die Teilchen aber stets in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung: Gravitationswellen sind Transversalwellen. Das Acrylmodell (Abb. 3e) illustriert die Wirkung der Gravitationswelle. Es besteht aus 13 transparenten Acrylglasplatten, die in einem Holzständer aufgereiht sind. Auf jeder Acrylglasplatte ist die Anordnung der Teilchen zu einem Zeitpunkt markiert, Mit einem Abstand von 1/12 Periode von Platte zu Platte überdeckt das Modell eine komplette Periode der Gravitationswelle. Man erkennt, wie sich in der Gravitationswelle die Abstände der Teilchen relativ zueinander periodisch ändern: Die Änderungen sind in horizontaler und vertikaler Richtung gegenläufig. Wenn die Abstände zwischen den Teilchen in einer Raumrichtung größer werden, dann nehmen sie in der dazu senkrechten Raumrichtung ab. Im Modell haben die Punkte in der symmetrischen Anordnung vertikal und horizontal jeweils d0 = 2 cm Abstand. Im Laufe einer Periode variiert der Abstand zwischen 1,6 cm und 2,4 cm gemäß dy = d0 (1 − a sin(2πf t)) dx = d0 (1 + a sin(2πf t)), mit a = 0,2. Das resultierende Muster ist beim Blick durch die aufgereihten Platten gut zu erkennen. Farbliche Markierungen verdeutlichen es zusätzlich. Dazu sind zwei nebeneinander liegende Punkte auf allen Platten grün markiert, zwei übereinander liegende 5 Gravitationswellen: Modelle und Experimente U. Kraus, C. Zahn (a) (c) (b) Abbildung 3: Modelle zur Illustration der Auswirkung einer ebenen monochromatischen Gravitationswelle auf freie Teilchen. Freie Teilchen sind in einem quadratischen Gitter angeordnet (a oben links); eine Gravitationswelle breitet sich senkrecht zur Gitterebene über die Teilchen hinweg aus und die Teilchenabstände ändern sich (a, von links nach rechts). Im Anschauungsmodell ist die Teilchenanordnung über eine Periode der Gravitationswelle hinweg in Abständen von 1/12 Periode auf transparenten Acrylglasplatten dargestellt (b). Der zeitliche Verlauf der Teilchenanordnung kann mit Hilfe eines elastischen Tuchs nachgestellt werden (c). 6 Gravitationswellen: Modelle und Experimente U. Kraus, C. Zahn rot. Beim Blick durch die Platten erkennt man deutlich, dass die Abstandsänderungen dieser Paare gegenläufig sind. Die Amplitude der Gravitationswelle ist über die Abstandsänderungen definiert, welche die Welle bewirkt: Wenn ein Abstand die Länge l hat und die Welle ihn um maximal δl verändert, ist die Amplitude h = 2(δl/l) Für das Acrylmodell ist die Amplitude 2δl/l = 2d0 a/d0 = 0,4. Dies dient der Veranschaulichung, doch tatsächlich erwartete Amplituden sind um viele Größenordnungen kleiner. Die Maximalamplitude des im September 2015 nachgewiesenen starken Signals beträgt 10−21 (Abbott et al. 2016). Eine weitere Veranschaulichung nutzt ein elastisches Tuch, auf dem ebenfalls 16 Punkte in einem quadratischen Gitter markiert sind. Schülerinnen und Schüler werden nach dem Betrachten des Acrylmodells aufgefordert, den erkannten zeitlichen Ablauf mit dem Tuch nachzubilden (Abb. 3f). Um die Abstände so zu variieren, wie es im Acrylmodell gezeigt wurde, müssen vier Personen das Tuch an je einer Seite packen und es abwechselnd in die eine und die andere Richtung dehnen. Beide Modelle lassen sich auf einfache Weise nachbauen. Für das Acrylmodell wurden 1,5 mm starke Acrylglasplatten mit 12 cm Kantenlänge zugeschnitten. Das elastische Tuch besteht aus einem Stoff, der üblicherweise für Badebekleidung verwendet wird und im Fachhandel erhältlich ist. Nachweis von Gravitationswellen In mehreren Ländern werden Gravitationswellendetektoren betrieben oder gebaut; zusammen bilden sie ein weltweites Netzwerk. Es handelt sich um Laserinterferometer nach Art eines Michelson-Interferometers, die die von Gravitationswellen verursachten sehr geringen Abstandsänderungen nachweisen sollen. In Deutschland befindet sich nahe Hannover der deutsch-britische Detektor GEO 600, ein Interferometer mit 600 Metern Armlänge. Zwei Interferometer mit jeweils 4 Kilometern Armlänge (LIGO) stehen in den USA in Livingston (Louisiana) und Hanford (Washington). In diesen beiden Detektoren wurde im September 2015 erstmals ein Gravitationswellensignal detektiert. Es entstand bei der Verschmelzung zweier Schwarzer Löcher und wurde in beiden LIGO-Detektoren nachgewiesen. Um das Nachweisprinzip zu erklären, setzen wir ein Michelson-Interferometer mit Ultraschall ein. Es arbeitet mit einer Frequenz von 25 kHz, was einer Wellenlänge von 1,4 cm entspricht. Einen Spiegel um eine halbe Wellenlänge zu verschieben, ist in diesem Fall manuell leicht möglich. Das Interferometer wird wie in Abb. 4 gezeigt aufgebaut: Ein Ultraschallsender wird an einen Frequenzgenerator angeschlossen. Ein halbdurchlässiger Spiegel“, hier durch ” eine Plastikfolie realisiert, spaltet den Strahl in zwei Teilstrahlen auf, die je einen Arm des Interferometers durchlaufen und am Ende an einem Spiegel“, hier einer Holzfläche, ” reflektiert werden. Die beiden Strahlen werden beim Empfänger zur Interferenz gebracht; das detektierte Signal wird auf dem Oszilloskop angezeigt. Schülerinnen und Schüler stellen das Messprinzip nach, indem sie zunächst die Armlängen so wählen, dass beim Empfänger möglichst weitgehende Auslöschung eintritt. Eine Änderung einer Armlänge bewirkt dann ein Signal. 7 Gravitationswellen: Modelle und Experimente U. Kraus, C. Zahn Abbildung 4: Ein Michelson-Interferometer mit Ultraschall. Die einzelnen Komponenten des Ultraschallexperiments wurden aus leicht verfügbaren Materialien gebaut. Die Ultraschallsender und -empfänger (Ultraschall-Transducer RD25K2, 25 kHz, erhältlich z.B. bei Pollin Electronic) sind auf Holzständern befestigt, die jeweils einen Magneten im Fuß haben und damit auf einer Magnettafel positioniert werden. Als Spiegel an den Enden der beiden Interferometerarme werden Holzbrettchen verwendet, die senkrecht an einer Stütze befestigt sind. Für den halbdurchlässigen Spiegel wurden verschiedene Materialien ausprobiert und letztlich ein Stück Plastikfolie aus einem gelben Sack“ verwendet, der die Ultraschallwellen recht gut jeweils zu 50% reflek” tiert und durchlässt. Damit die Plastikfolie bei kleinen Luftbewegungen nicht wackelt, ist sie in einem Stickrahmen straff eingespannt; dieser ist in einem Holzständer befestigt. Literaturhinweise B. Schutz, 2003, Gravity from the Ground up, Cambridge University Press M. Pössel, 2005, Das Einstein-Fenster, Hoffmann und Campe H. Dimmelmeier et al., 2002, Gravitational wave signal data (signal A1B3G3 N.dat) von http://wwwmpa.mpa-garching.mpg.de/rel hydro/axi core collapse/index.shtml B. Abbott et al., 2016, Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, Physical Review Letters 116, 061102 https://www.ligo.caltech.edu/page/detection-companion-papers 8 Gravitationswellen: Modelle und Experimente U. Kraus, C. Zahn Danksagung Andrea Bicker und Wendy Gerlach haben im Rahmen ihrer Bachelor- und Masterarbeiten an der Universität Hildesheim (Bicker 2009, 2010, Gerlach 2013, 2014) die vorgestellten Modelle sowie das Ultraschallexperiment erstellt und im Schülerlabor Raumzeitwerkstatt erprobt. 9 Aufgaben und Verständnisfragen zu „Im Rauschen lauschen“ 1. Was ist ein Laserinterferometer? Informieren Sie sich im Internet über den Aufbau von LIGO und VIRGO. 2. Wieso ist es relativ gesichert, dass das empfangene Signal echt ist. 3. Informieren Sie sich über die Einsteinschen Feldgleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Was bedeutet in diesem Zusammenhang „linearisiert“ und wo taucht dieser Begriff bzw. Vorgang in der Analysis der gymnasialen Oberstufe auf. 4. Wieso ist es so schwierig, Gravitationswellen nachzuweisen? Erläutern Sie, z.B. mittels Recherche im Internet, den Nachweis in den 1970er Jahren von Hulse und Taylor. 5. Durch welche Methoden kann man am Gravitationswellensignal ablesen, welche Masse die verschmelzenden Objekte besitzen. 6. Berechnen Sie die bei GW150914 abgestrahlte Energie mittels . 7. Erklären Sie den Sinn und den Aufbau eines Superdämpfers. 8. Was ist entscheidend, um die Quellen am Himmel zu lokalisieren. Rechnen Sie die angegebenen Werte nach, unter der Voraussetzung, dass sich Gravitationswellen mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen. 9. Was ist der Vorteil von Gravitationswellen bzgl. der „dunklen“ Seite des Universums. Antworten: därteilchen ihre maximale laterale Ausdehnung erreicht. Für Teilchen gleicher Energie, aber unterschiedlicher Masse sollte sich dieser Wert signifikant unterscheiden. Das Ergebnis ihrer Auswertungen lautet: Etwa 80 Prozent der Teilchen im betrachteten Energiebereich bestehen aus leichten Teilchen. Sofern also nicht die extragalaktische Komponente der kosmischen Teilchenstrahlung einen signifikanten Beitrag bei Energien unterhalb von 3,2 ? 1017 Elektronvolt liefert, müsse es laut den Forschern eine zusätzliche galaktische Komponente geben. Das liege daran, dass die aus Supernova-Überresten stammenden Protonen und Heliumkerne bei dieser Energie keine große Rolle mehr spielen dürften, resümieren die Forscher in ihrer in der Zeitschrift »Nature« veröf- S. Ossokine, A. Buonanno, T. Dietrich, R. Haas (Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik), Simulating eXtreme Spacetime Projekt) fentlichten Arbeit. Allerdings ist die Unsicherheit der gemessenen atmosphärischen Tiefe des Schauermaximums ziemlich groß. Daher ist bei allzu weitreichenden Interpretationen dieses Resultats Vorsicht geboten. Die Bestimmung der chemischen Zusammensetzung der kosmischen Teilchenstrahlung bei hohen Energien gilt unter Fachleuten als notorisch schwierig, und es wird mehr als eine Einzelmessung erforderlich sein, um hier zu einem robusten Ergebnis zu kommen. Der Wert der Arbeit von Buitink und seinem Team liegt daher vor allem in der erfolgreichen Anwendung einer neuen Methode: Die einzigartigen Ei- Zweites Paar verschmelzender Schwarzer Löcher mit Gravitationswellen entdeckt In Deutschland war es der zweite Weihnachtsfeiertag 2015, als das Universum ein besonderes Geschenk auf der Erde ablieferte: Um 04:38:54 Uhr MEZ durchlief eine Gravitationswelle unseren Planeten und wurde von den Advanced-LIGO-Detektoren als zweites jemals gemessenes solches Ereignis registriert. genschaften von LOFAR machen dieses Radiointerferometer zu einem wichtigen Instrument für die Erforschung der kosmischen Strahlung, das der Suche nach ihren Quellen neue Impulse verleiht. V on Mitte September 2015 bis Mitte Ja- Sensation, welche die Forscher der Welt- nuar 2016 führten die zwei Advanced- öffentlichkeit am 11. Februar 2016 präsen- LIGO-Instrumente in den USA gemeinsam tierten (siehe SuW 4/2016, S. 24). Nun, so mit dem GEO600-Detektor bei Hannover ließ man damals verlautbaren, begänne JAN HATTENBACH ist Physiker und ihren ersten Beobachtungslauf (englisch: das Zeitalter der Gravitationswellenastro- Amateurastronom. In seinem Blog observation run) O1 durch. Das Hauptziel nomie, die einen vollkommen neuen Blick »Himmelslichter«, zu finden unter von LIGO (Laser Interferometer Gravitati- auf das Universum ermögliche. www.himmelslichter.net, schreibt er über on Wave Observatory) besteht darin, Gra- alles, was am Himmel passiert. vitationswellen kosmischen Ursprungs zu Weihnachtliche Gravitationswelle messen, die durch Einsteins allgemeiner Auch wenn dieses einzelne Ereignis eine Relativitätstheorie vorhergesagt wurden. neue Ära einleitete, so sind doch erst wei- Gleich zu Beginn von O1 ging der mehr tere Beobachtungen notwendig, um Gra- als 1000-köpfigen Forschergemeinschaft – vitationswellen und damit einhergehen- Cosmic Rays Reveal a Strong Light Mass Component at 1017 – 1017.5 eV. In: Na- darunter auch Wissenschaftler vom Max- de Phänomene detaillierter untersuchen Planck-Institut Gravitationsphysik zu können. Demzufolge war die Wissen- ture 531, S. 70 – 73, 2016 in Potsdam und Hannover und von der schaftsgemeinde erfreut, als die Vertreter Leibniz Universität Hannover – ein sehr der LIGO und Virgo Scientific Collabora- Didaktische Materialien: www.wissenschaft-schulen. starkes Gravitationswellen-Signal von der tion am 15. Juni 2016 auf einer Pressekon- Verschmelzung zweier Schwarzer Löcher ferenz auf dem 228. Treffen der American de/artikel/1051362 ins Netz. Das Signal mit der Bezeichnung Astronomical Society in San Diego ein wei- GW 150914 war eine wissenschaftliche teres Signal präsentierten: Um 4:38:54 Uhr Literaturhinweis Buitink, S. et al.: Radio Detections of 18 September 2016 für STERNE UND WELTRAUM Astroshop.de NEU chend endete das Signal auch bei einer höheren Gravitationswellenfrequenz. All diese Effekte ließen sich beim Signal GW151226 beobachten. Die LIGO-Detektoren verfolgten das Ereignis für eine volle Sekunde, bevor die beiden Schwarzen Löcher bei einer Gravitationswellenfrequenz von rund 430 Hertz verschmolzen. Ihr Smartphone und Ihr Teleskop werden jetzt beste Freunde... In dieser Zeit ließen sich insgesamt rund 27 gegenseitige Umrundungen der beiden Sternleichen beobachten. Das entspricht einem deutlich längeren Annäherungsprozess als bei GW150914. Und schließlich war das Weihnachtssignal um den Faktor Die numerische Simulation und Visuali- drei schwächer als die Erstmessung. sierung des Gravitationswellen-Ereignis- Mit einer maximalen Gravitationswel- ses GW151226 zeigt die Verschmelzung lenamplitude, der dimensionslosen relati- zweier Schwarzer Löcher. ven Längenänderung am Ort der Messung, von nur 3 ? 10 –22 ist das Signal im Rauschen der LIGO-Detektoren versteckt und lässt sich mit bloßem Auge in der Zeitrei- MEZ am 26. Dezember 2015 durchlief er- he der Messung nicht direkt erkennen (sie- neut eine Gravitationswelle zuerst das LI- he Grafik S. 20). Im Gegensatz zum dreimal GO-Instrument in Livingston, Louisiana, so starken Signal von GW150914 ist dies je- dann, 1,1 Millisekunden später, das zwei- doch der erwartete Regelfall, auf den sich te Instrument in Hanford, Washington. die LIGO-Forscher eingestellt und vorbe- Entsprechend dem Messdatum nann- reitet hatten. ten die Forscher das Ereignis GW151226. Auf Grund der registrierten Wellenform Fahndung nach Verstecktem schließen sie auch in diesem Fall auf die Um solche schwachen, im Rauschen ver- Verschmelzung zweier Schwarzer Löcher borgenen Signale aufzuspüren, setzten als Ursprung des empfangenen Signals. die Forscher eine Suchmethode namens Die Entfernung von uns zum verschmel- »matched filtering« ein. Dieses Verfahren zenden Paar schätzen die Forscher ähnlich vergleicht die aufgezeichneten Daten mit wie beim ersten beobachteten Ereignis auf vielen vorab berechneten bekannten Sig- rund 1,4 Milliarden Lichtjahre. GW151226 nalen, so genannten Vorlagen, im Engli- unterscheidet sich aber dennoch deutlich schen »Templates« genannt. Für jede Sig- von GW150914: Die Massen der beteilig- nalvorlage wird ein numerischer Wert be- ten Schwarzen Löcher sind mit rund 8 und rechnet, der die Übereinstimmung (eng- 14 Sonnenmassen wesentlich geringer als lisch: match) zwischen Signal und Daten diejenigen von GW150914 (29 und 36 Son- abbildet. nenmassen) und liegen damit im Bereich Die im Fall von GW151226 verwende- der Massen der Schwarzen Löcher, die uns ten Templates basieren auf hochpräzisen von Röntgenquellen wie Cygnus X-1 be- Wellenformmodellen, die Forscher am Al- kannt sind. bert-Einstein-Institut (AEI) in Potsdam Das hatte drei Konsequenzen: Da weni- entwarfen. Sie haben die Methode derart ger Masse die Raumzeit erschütterte, war weiterentwickelt, dass sich analytische die registrierte Gravitationswellen-Am- und numerische Näherungslösungen der plitude schwächer als bei GW150914. Des- Gleichungen der allgemeinen Relativi- wegen dauerte auch die Abstrahlung der tätstheorie kombinieren lassen. Auf diese Energie aus dem Doppelsystem länger, Weise lassen sich nun sehr effizient viele wodurch sich das Signal für einen größe- verschiedene Templates berechnen, und ren Zeitraum im Messfenster der LIGO- die Forscher sind nicht auf zeit- und re- Detektoren aufhielt. Und schließlich war chenaufwändige vollständige numerische wegen der geringeren Massen die Um- Lösungen der einsteinschen Gleichungen drehung der letzten Tanzrunde der sich angewiesen. umkreisenden Schwarzen Löcher schnel- Anhand dieser Vorlagen aus Potsdam ler. Genauer: Die finale Bahnfrequenz der wurden dann die Daten nahezu in Echt- beiden Objekte war größer, und entspre- zeit durchsucht und bestimmte Abschnit- www.sterne-und-weltraum.de 8" Dobson-Teleskop mit Push+ Objekt-Finder 203MM ÖFFNUNG - Lichtstark: Der Einstieg in die Welt von Sternhaufen, Nebeln und Galaxien 2" CRAYFORDAUSZUG - Für feinfühliges Scharfstellen GP-AUFNAHME - Montieren Sie jedes Teleskop mit einer GP-Schiene DIGITALE ENCODER - Ihr Teleskop weiß ab sofort wo es steht. Mit der Software verfolgen Sie jeden Schritt und finden Objekte im Handumdrehen. 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Die insgesamt drei Vorfälle erlauben Das am 26. Dezember 2015 von beiden LIGO- sen noch einmal genauer durchkämmt. es nun, die Rate besser abzuschätzen, mit Instrumenten in Livingston und Hanford ge- So bemerkten die Wissenschaftler bereits der sich solche Vorkommnisse im Univer- messene Signal GW151226 mit 55 Gravita- 70 Sekunden nach dem Eingang der Sig- sum abspielen: Zwischen 9- und 240-mal tionswellenzyklen (in schwarz) ist im Detek- nale von GW151226, dass es sich dabei um pro Kubikgigaparsec und Jahr müssten ge- torrauschen verborgen (rot und blau, obere eine Verschmelzung zweier Schwarzer Lö- mäß den bisherigen Entdeckungen durch Reihe). Mittels spezieller Filtertechniken lässt cher handeln muss. In genaueren Folgeun- LIGO solche Doppelsysteme Schwarzer Lö- es sich dennoch eindeutig lokalisieren, wie tersuchungen konnten sie mit den Tem- cher miteinander verschmelzen. Dies ist das Maximum im Signal-zu-Rausch-Verhält- plates zudem die astrophysikalischen Ei- zwar noch keine sehr präzise Angabe, doch nis zum Zeitpunkt der Verschmelzung zeigt genschaften der Quelle bestimmen. mögliche neue Funde in den nächsten Jah- (mittlere Reihe). Das Spektrogramm (untere ren könnten den Wertebereich deutlich Reihe) zeigt das charakteristische Gravita- einschränken. tionswellenzirpen bei der Verschmelzung Mit Hilfe dieser Methode ließ sich das Signal zum einen eindeutig mit einer statistischen Signifikanz von mehr als fünf Standardabweichungen Im Herbst dieses Jahres starten die zweier kompakter Objekte. Die farblich ko- identifizieren, LIGO-Detektoren zusammen mit GEO600 dierte Intensität der Welle ist dabei als Funk- zum anderen konnten die Forscher bei ei- in die zweite Beobachtungsrunde O2. Die- tion der Zeit und der Frequenz dargestellt. nem der Schwarzen Löcher eine Eigenro- se soll ein halbes Jahr andauern, und in Ein Zirpen ist dabei eine aufwärts gekrümm- tation von mindestens 20 Prozent des ma- der zweiten Hälfte des Zeitraums wird der te Linie, die dabei an Intensität zunimmt. ximal möglichen Werts feststellen. Letzte- italienisch-französische Detektor Virgo re Erkenntnis ist eine Premiere, denn bei die Messungen unterstützen. Geplant ist, GW150914 ließen sich über die Eigendre- dass das Projekt dann ein 1,5- bis 2-mal so hungen keine Aussagen treffen. Interes- großes Volumen des Universums erfasst sant ist diese, weil sie Aufschluss über die und somit bis Mitte 2017 voraussichtlich Entstehungsgeschichte eines Schwarzen rund ein halbes Dutzend weiterer ver- Lochs geben kann, denn sie hängt direkt schmelzender Schwarzer Löcher nachwei- von seiner Vergangenheit ab. sen kann. Erste Schritte zur Gravitationswellenastronomie BENJAMIN KNISPEL promovierte an der Leib- Literaturhinweise Abbott, B. P. et al.: GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence. In: Phys. Rev. Lett. 116, 241103, 2016 Abbott, B. P. et al.: Binary Black Hole niz Universität Hannover und am Max- Mergers in the first Advanced LIGO Observing Run. arXiv: 1606.04856v1 Neben dem Nachweis von GW150914 be- Planck-Institut für Gravitationsphysik unter richteten die Wissenschaftler bereits im anderem mit der Suche nach Radiopulsaren Februar 2016 von einer weiteren Beob- mit Einstein@Home. Inzwischen ist er für die Didaktische Materialien: www.wissenschaft-schulen. achtung, die ebenso auf eine Verschmel- Öffentlichkeitsarbeit des Albert-Einstein-In- de/artikel/1377457 zung zweier Schwarzer Löcher hindeu- stituts verantwortlich. 20 September 2016 STERNE UND WELTRAUM B. P. Abbott et al., LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration / SuW-Grafik Frequenz in Hertz Signal-zu-RauschVerhältnis -0,6 Workshop MNU Aachen Dr. Frank Morherr Übungen Ergänzungsaufgaben zu Gravitationswellen 0 Aufgabe 1 (Pulsar) Pulsare sind wie Neutronensterne Endstufen einer Supernova-Explosion. Man nimmt an, dass Pulsare wie feste Körper rotieren und leuchtturmartig Energie (vom optischen bis zum Radiobereich) abstrahlen. a) Bestimmen Sie allgemein die Rotationsenergie eines Pulsars der Periode P . Verwenden Sie dabei das Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel = 25 M R2 . b) Ermitteln Sie die Strahlungsleistung als die zeitliche Änderung der (Rotations-)Energie c) Schätzen Sie die mögliche Lebensdauer eines Pulsars mit Hilfe der zeitlichen Änderung der Strahlungsleistung ab! d) Berechnen Sie die angegebenen Größ en des Crab-Pulsars, wenn folgende Daten gegeben sind: M = = 4; 2 10 13 . 1; 0M , R = 10 km, P = 33 ms, dP dt e) Bestimmen Sie die Änderung der Winkelgeschwindigkeit d! dt . A! 3 mit einer Konstanten A . Schätzen Sie damit das Alter des Pulsars ab! Die f ) Es gilt d! dt = unbekannte Winkelgeschwindigkeit am Anfang sei ! 0 . Aufgabe 2 (Sagittarius A ) In jahrelangen Messungen wurde die Bewegung von Infrarot-Objekten um die Radioquelle Sagittarius A analysiert. Ein Objekt, S2 genannt, kreist in einer sehr exzentrischen Bahn (" = 0; 87) um das (vermutete) Zentrum der Milchstraß e mit der Periode T = 14; 9 y . Dabei näherte sich S2 im Periastron SgrA auf 17 Lichtstunden. a) Welche Masse M hat das im Zentrum gelegene Schwarze Loch. b) Berechnen Sie den Schwarzschild-Radius des Schwarzen Lochs! c) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit von S2 im Periastron! Aufgabe 3 (Schwarzes Loch) Betrachtet wird der Fall, dass ein sonnenähnlicher Stern in das Gravitationsfeld eines Schwarzen Lochs gerät. a) Skalieren Sie die Dichte des Schwarzen Lochs auf Sonnenmassen! b) Welche Masse hat das schwarze Loch, wenn die Sonne am Rand des Ereignishorizontes zerrissen wird? c) Bestimmen Sie die Gezeitenkräfte auf eine Astronautin (Länge 4l = 1; 0 m) am Rande eines Schwarzen Lochs mit Sonnenmasse! Es gilt FGezeiten = 2GM m r. d3 Aufgabe 4 Berechnen Sie den Radius RS des Ereignishorizonts für ein Schwarzes Loch vom SchwarzschildTyp mit a) der Masse der Erde b) der Masse der Sonne c) der 10-fachen Masse der Sonne. Aufgabe 5 Berechnen Sie den Schwarzschild-Radius und die Dichte von Sagittarius A . Vergleichen Sie mit der Dichte eines Schwarzen Lochs von 10 Sonnenmassen. Nehmen Sie an, dass die Materie innerhalb des Ereignishorizonts gleichmäß ig verteilt ist. 1 Aufgabe 6 a) Berechnen Sie für einen Stern mit der Masse des schwarzen Lochs im galaktischen Zentrum (4; 3 Millionen Sonnenmassen) den Schwarzschild-Radius. b) Bestimmen Sie den Winkel, unter dem der errechnete Schwarzschild-Radius aus der Entfernung Erde-Sonne (150 Mio. km) erscheint. Aufgabe 7 Bei einer Messung hat sich gezeigt, dass der Ereignishorizont eines Kandidaten für ein Schwarzes Loch einen Radius von R = 100 km hat. Berechnen Sie die Masse, die sich mindestens innerhalb dieses Radius be…nden muss, damit das Objekt als Schwarzes Loch eingestuft werden kann. Geben Sie die Masse in Sonnenmassen an. Aufgabe 8 Wie für den Impuls gilt auch für den sogenannten Drehimpuls ein Erhaltungssatz. Schrumpft eine rotierende Kugel, so muss sich ihre Winkelgeschwindigkeit erhöhen. Für eine rotierende Kugel mit der Winkelgeschwindigkeit ! , der Masse m und dem Radius r ist der Drehimpuls gegeben durch J= 2 2 mr ! . 5 Wie lange würde ein Erdentag dauern, wenn die Erde bei der Kompression auf die Dichte eines Neutronensterns keinen Drehimpuls verlieren würde? (Antwort: ca. 0; 1 ms) Aufgabe 9 Welchen Wert muss die Dichte einer Kugel übersteigen, die mit der Periode T = 33 ms rotiert, damit die Gravitationskraft sie noch zusammenhalten kann? (Antwort: 1; 3 105 t cm 3 ) Aufgabe 10 Die Rotationsenergie einer rotierenden Kugel kann aus der Formel Erot = 12 2 2 1 1 !2 = mr ! = mr2 ! 2 2 25 5 berechnet werden. a) Bestimmen Sie die Rotationsenergie eines (als kugelförmig angenommenen) Neutronensterns mit r = 15 km , T = 30 ms und m = 1 . (Antwort: 1036 kW h) b) Um welche Zeitspanne würde sich seine Rotationsperiode pro Tag verlängern, wenn er mit einer Leistung P 2 1031 W strahlt? (Antwort: ca. 7 ns pro Tag) c) Wie lange könnte er diese Leistung durch seine Rotationsenergie decken? (Antwort: etwa 6 103 y) Aufgabe 11 Über welche Zeitspanne wird für einen Erdbeobachter ein kurzer elektromagnetischer Impuls verschmiert, der von einem weit entfernten kugelförmigen astronomischen Objekt mit dem Radius R = 30 km von dessen gesamter Ober‡äche ausgesendet wird (siehe Bild) (Antwort: 0; 1 ms) 2 Workshop MNU Aachen Dr. Frank Morherr Übungen Gravitationswellen Aufgabe 1 (Gravitationswellen 0) Ein Binärpulsar ist ein Doppelsternsystem, das genau einen Pulsar enthält. Der Binärpulsar PSR 1913+16 wurde 1974 von den amerikanischen Astronomen R. Hulse und J. Taylor mithilfe des Arecibo-Radioteleskop (Puerto Rico) entdeckt und über ein Jahrzehnt systematisch beobachtet. Das System besteht aus 2 Neutronensternen mit je einer Chandrasekhar-Masse M = 1; 44M , einer der Sterne ist ein Pulsar mit einer Periode von 59,0 ms. Die Umlaufzeit des Systems beträgt T = 2; 79 104 s . Es soll, stark vereinfachend, angenommen werden, dass die beiden Sterne sich auf einer Kreisbahn (Radius r) um Ihren Schwerpunkt bewegen. a) Zeigen Sie, dass für die Gesamtenergie E des Systems gilt E= M 2 3 GM 2 T . Hinweis: Eliminieren Sie den Bahnradius mittels Kepler-Formel! b) Ermitteln Sie den Bahnradius r . c) Zeigen Sie, dass für die zeitliche Änderung der Umlaufzeit gilt dT = dt 3 T dE . 2 E dt d) Für die Strahlungsleistung der Gravitationswellen eines Binärsystems gilt dE = dt 128 GM 2 r4 ! 6 . 5c5 Bestimmen Sie damit die zeitliche Änderung der Umlaufzeit dT dt . e) Welche maximale Lebensdauer des Systems ergibt sich? f ) Die Strahlungsleistung lässt sich ermitteln durch die skalierte Gleichung RS r dE = 1; 42 1058 W dt 5 . Aufgabe 2 (Gravitationswellen 1) Die Strahlungsleistung, die zwei Massen bei Rotation um ihren Schwerpunkt in Form von Gravitationswellen abgeben, ist nach der ART gegeben durch P = 32G 5c5 M1 M2 M1 + M2 2 r4 ! 6 . a) Eliminieren Sie die Kreisfrequenz mit Hilfe des Keplerschen Gesetzes! b) Vereinfachen Sie den Term für den Fall M2 M1 durch Einführen der Schwarzschild-Radien! c) Ermitteln Sie die Strahlungsleistung des Systems Sonne-Erde! d) Bestimmen Sie die Strahlungsleistung eines Systems, bestehend aus einem Roten Riesen bzw. Weiß en Zwerg, wenn folgende Schwarzschildradien gegeben sind RS;RR = 30 km und RS;W Z = 4:0 km . Aufgabe 3 (Gravitationswellen 2) Das LIGO (Laser Interferometric Gravity-Wave Observatory) wurde gebaut, um Gravitationswellen von Doppelsystemen von Schwarzen Löchern zu registrieren. Betrachtet wird ein Doppelsystem von zwei Schwarzen Löchern der Massen 6M im Abstand von 10 SchwarzschildRadien. 1 a) Bestimmen Sie den Schwarzschild-Radius eines Schwarzen Lochs der Masse 6M . b) Wegen der enormen Strahlungsleistung kollabiert das Doppelsystem sehr schnell. Ermitteln Sie die Kollapszeit nach Kepler. c) Welche Frequenz bzw. Länge der Gravitationswellen ist zu erwarten? 2 Workshop MNU Aachen Dr. Frank Morherr Übungen Gravitationswellen 2 Der Nachweis von Gravitationswellen aus der Endphase eines Systems zweier Schwarzer Löcher kurz vor deren Verschmelzung zu einem einzigen Schwarzen Loch am 14. September 2015 ist eine Sensation ersten Ranges. Der Vorgang in einer Entfernung von 1,3 Milliarden Lichtjahren verursachte bei uns auf der Erde relative Längenänderungen von h = 10 21 . Aufgabe 1 (Gravitationswellen) Die beiden als Interferometer arbeitenden Detektoren LIGO H1 bei Hanford, Washington, und LIGO L1 bei Livingston, Louisiana, lieferten geradezu bilderbuchhaft genau jene Signalform, die aus der Theorie folgt –einen so genannten Chirp (siehe Gra…k unten). Das Signal zeigt die von der durchlaufenden Gravitationswelle verursachten Schwingungen der Länge der Detektorarme. Um welchen Betrag 4L , senkrechte Einfallsrichtung angenommen, änderte sich die Länge der L = 4 km groß en Detektorarme von LIGO? Man vergleiche mit der Größ e eines Protons dP = 1; 7 10 15 m . Aufgabe 2 (Gravitationswellen) Aus der Gra…k lässt sich für die erste vollständige Periode eine mittlere Frequenz f1 = 33; 3 Hz ablesen. Misst man weitere Perioden aus, so ergibt sich auch die zeitliche Hz Änderung der Frequenz f1 = 100; 4 Hz s . Für die zweite Periode gilt f2 = 36; 35 Hz und f2 = 147; 0 s . Man berechne für beide Fälle die so genannte Chirp-Masse, die so etwas wie ein gewichtetes Mittel der beiden Einzelmassen darstellt M = c3 G 5 96 1 8 3 f 11 3 3 5 f und vergleiche mit dem von den Entdeckern verö¤entlichten Wert M = 30M G = 6; 6743 10 11 m3 kg 1 s 2 , M = 1; 989 1030 kg . 1 . c = 2; 998 108 m s , Workshop MNU Aachen Dr. Frank Morherr Übungen Gravitationswellen 3 Aus dem Chirp-Signal der beiden Schwarzen Löcher, das am 14. September 2015 die Erde erreichte und in den beiden LIGO-Detektoren registriert wurde, lassen sich gleich mehrere Parameter des Systems und der Verschmelzung zu einem einzigen Schwarzen Loch ablesen. Wie das geht, hat Bernard F. Schutz, ehemaliger Direktor am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik in Potsdam-Golm im Jahr 1986 herausgefunden. Aus der beobachteten Frequenz und Frequenzänderung ergibt sich eine für die Gesamtmasse des Systems charakteristische Kenngröß e, die Chirp-Masse M , sowie die so genannte Leuchtkraft-Distanz D des Systems. Aufgabe 3 (Gravitationswellen) Die Leuchtkraft-Distanz der Quelle des Gravitationswellensignals ergibt sich aus der Gleichung: D= 5 96 2 c f1 . h0 f13 Man verwende wieder die in Teil 1 angegebene Frequenz f1 = 33; 3 Hz und die zeitliche Änderung der Frequenz f1 = 100; 4 Hz s der ersten vollständigen vollständigen Schwingung im abgebildeten Diagramm Die dimensionslose Signalamplitude dieser Schwingung beträgt h0 = 0; 5 10 21 , die Lichtgeschwindigkeit ist c = 2; 998 108 ms . Wieviele Lichtjahre ist die Quelle von GW150914 von uns entfernt? 1 Lj= 365; 25 d 86400 ds c . Aufgabe 4 (Gravitationswellen) Aus der Frequenz f1 bestimme man die Umlaufperiode POrbit = fO 1r b i t der Schwarzen Löcher umeinander zu diesem Zeitpunkt –nur sieben oder acht Rotationen später verschmolzen die beiden. Man beachte dabei, dass pro Umlauf der Objekte umeinander zwei vollständige Gravitationswellen-Schwingungen abgestrahlt werden: fGW = f1 = 2 fOrbit . Aufgabe 5 (Gravitationswellen) Die Masse der Schwarzen Löcher wurde zu m1 = 29M 36M bestimmt. und m2 = 1 a) Mit M = m1 + m2 und mit Hilfe des dritten keplerschen Gesetzes P 2 = 4 2 (GM ) a3 ermittle man den Abstand der Massezentren a zu dieser Zeit (G = 6; 6743 10 11 m3 kg 1 s 2 , M = 1; 989 1030 kg ). b) Welche Bahngeschwindigkeit v hatten die beiden Schwarzen Löcher in Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit? 1 Aufgabe 6 (Gravitationswellen) Welche Wellenlängen 1 und …nal besaß en die Gravitationswellen bei f1 und bei der letzten Rotation vor der Verschmelzung f…nal = 150 Hz ? 4 2 G 3 Zusatzaufgabe (Gravitationswellen) Die Gravitationsleuchtkraft des Systems ist LGW = 32 5 c5 M a5 m1 m2 m1 m2 1 GM 2 2 mit = M und seine Gesamtenergie E = 2 a3 m1 a1 + m2 a2 G a mit a = a1 + a2 . Man zeige, dass E = a. 1G M 2 a gilt und berechne mit dE dt Tipp: Laut Schwerpunktsatz gilt: m1 a1 = m2 a2 . 2 = LGW die zeitliche Änderung da dt = a des Abstands Workshop MNU Aachen Dr. Frank Morherr Übungen Gravitationswellen 4 Während der letzten Zehntelsekunden besaß en die beiden verschmelzenden Schwarzen Löcher ungeheure Bewegungseigenschaften. Sie umkreisten einander mit ihren groß en Massen bei schrumpfendem Abstand und zunehmender Geschwindigkeit, die bei der letzten Umrundung fast 60 Prozent der Lichtgeschwindigkeit erreichte. Die Bahnänderungen kamen dadurch zustande, dass die beiden Massen die Raumzeit in Schwingungen versetzten, wobei Gravitationswellen entstehen. Deren Abstrahlung entzog dem System Energie. In einem Sekundenbruchteil wurden dabei ungeheure 4M = 3M in Gravitationsleuchtkraft umgesetzt. Die Gravitationswellen durchp‡ügen den Raum und verursachen selbst in 1,3 Milliarden Lichtjahren Entfernung – wenn auch winzige –Auslenkungen beispielsweise von Spiegeln in Gravitationswellendetektoren. Aufgabe 7 (Gravitationswellen) Man berechne die Schwarzschildradien R1 und R2 der beiden Schwarzen Löcher (m1 = 29M ,m2 = 36M vor der Verschmelzung sowie denjenigen des …nalen Schwarzen Lochs Rf , und vergleiche mit ihrem gegenseitigen Abstand von a(f1 ) = 923; 1 km aus Übung Gravitationswellen 3 (G = 6; 6743 10 11 m3 kg 1 s 2 , M = 1; 989 1030 kg ). Aufgabe 8 (Gravitationswellen) Unter der Voraussetzung, dass die Transformation von 4M innerhalb von 4t = 0; 2 s geschah, berechne man die Gravitationsleuchtkraft LG von GW150914. Hinweis: Der Masse 4M entspricht das Energieäquivalent E = 4M c2 (c = 2; 998 108 ms , L = 3; 846 1026 W) . Aufgabe 9 (Gravitationswellen) Wie großist die aus der Änderung der Bahn berechnete Gravitationsleuchtkraft LGB ? Man verwende hierfür die Gesamtenergie aus der Zusatzaufgabe von Gravitationswellen 2: E = 21 Gma1 m2 und bestimme die Di¤erenz 4E = E1 E2 für a1 = a (f1 ) und a2 = R1 + R2 . Aufgabe 10 (Gravitationswellen) Man vergleiche LG mit der Leuchtkraft aller Sterne im Universum (100 Milliarden Galaxien à 100 Milliarden Sternen mit L ). 1 Die neue Welle In Bezug zu „Eine neue Ära der Astrophysik – Das Zeitalter der Gravitationswellen-Astronomie hat begonnen“ in der Zeitschrift »Sterne und Weltraum« 4/2016, S. 24-35, Zielgruppe: Oberstufe, WIS-ID: 1377457 Axel Quetz, Olaf Fischer „Zum Nachdenken“ - so heißt eine Rubrik in der Zeitschrift „Sterne und Weltraum“, die den Leser jeden Monat aufs Neue herausfordert, seine astronomisch-physikalisch-mathematischen „Messer zu wetzen“, um ein astrophysikalisches Problem zu lösen, welches auf den aktuellen Zeitschrifteninhalt Bezug nimmt. In Heft 4/2016 ging es um das Nachvollziehen der Auswertung der ersten direkten Gravitationswellenmessung. Ziel war die Bestimmung der Chirp-Masse eines Doppelsystems Schwarzer Löcher, welches in der Endphase seiner Existenz messbare Gravitationswellen aussendet. Die ChirpMasse ist ein Maß für die Gesamtmasse des Systems von gleicher Größenordnung Die Bestätigung des durch die Forscher ermittelten Massenwertes verleiht dem Aufgabenlöser Bestätigung seiner Fertigkeiten und, für Schüler wichtig, die Motivation zur weiteren Beschäftigung mit physikalischen Fragestellungen. Im folgenden kurzen WIS-Beitrag geht es um die Bestimmung der Chirp-Masse auf Grundlage von Diagrammdaten. Dazu wird ein Arbeitsblatt angeboten. Für die Einführung der für den Schüler neuartigen Wellenart wird zunächst ein Vergleich mit schon bekannten Wellenarten vorgestellt. Übersicht der Bezüge im WIS-Beitrag Physik Schwingungen und Wellen Welle, Wellenarten im Vergleich, Periode und Frequenz, Wellen im Diagramm FächerAstro-Ma verknüpfung Diagrammablesung, Zeitableitung im Diagramm (Anstieg und Sekante), Vereinfachung von Gleichungen, Rechnen mit gebrochenzahligen Exponenten Lehre allgemein Wissenstransfer durch Vergleich, Diagrammauswertung, Arbeitsblatt, Animationen zu Wellenarten Kompetenzen (Erkenntnis), Unterrichtsmittel Abbildung 1: Der (periodische) enge Orbit zweier sehr großer Massen geschieht bei riesigen Beschleunigungen und führt damit zu einer messbaren periodischen Veränderung der Raumstruktur. (Bildquelle; S. Ossokine / A. Buonanno / R. Haas (Max-Planck-Institut)) Wellen im Vergleich Zunächst soll in Erinnerung gerufen werden, was man aus physikalischer Sicht unter einer Welle zu verstehen hat. Dazu muss zuerst der Begriff Schwingung beleuchtet werden. Ändert sich eine physikalische Größe (z. B. die Auslenkung eines Pendels oder die Luftdichte oder die elektrische Feldstärke) zeitlich periodisch, so bezeichnet man diesen Vorgang als Schwingung. Setzt sich dieser Vorgang durch Wechselwirkung der Schwinger in den Raum hinein fort, so spricht man von einer Welle. Bei dieser konventionellen Redeweise wird der Raum selbst nicht zu den veränderlichen physikalischen Größen gezählt. Bei den Gravitationswellen unterliegen Raum und Zeit der Veränderlichkeit; auch sie haben die Fähigkeit zu schwingen. Diese Schwingungen pflanzen sich mit Lichtgeschwindigkeit fort. Analogien und Vergleiche sind starke didaktische Instrumente, die Anknüpfungspunkte für das Einführen von neuem Stoff bieten und gut sind für das Memorieren. Im Folgenden sollen die Gravitationswellen im Vergleich mit anderen dem Schüler schon bekannten Wellenarten betrachtet werden. Wellenart Medienwellen nur in Medien Feldwellen in Feldern, auch im Vakuum Raumwellen im Ausbreitungsmedium selbst Beispiel Schallwellen (Dichtewellen) elektromagnetische Wellen Gravitationswellen Auslösung durch Auslenkung eines Medienelements (Teilchens) Beschleunigte Ladung Beschleunigte Masse Fortpflanzung im Raum durch (Ausbreitung) Kopplung zwischen Teilchen im Medium (Stöße, Bindungen, Schwerkraft) Wechselwirkung zwischen elektrischen und magnetischen Wechselfeldern (losgelöst von Ladungen): Ein veränderliches Magnetfeld induziert Spannung (ein elektrisches Feld), welches seinerseits zu einem Strom (einem magnetischen Feld) führt. Wechselwirkung vom RaumElementen (losgelöst von Massen): Durch die Kopplung zwischen Masse und Raum vermittelt letzterer die Gravitation („stellvertretend“ für die auslösende beschleunigte Masse). Schwingungsmuster in Ausbreitungsrichtung Longitudinal: Schallwellen Transversal: z. B. Scherungswellen (die Schwingungsrichtungen können dabei einem Muster folgen Polarisation) Longitudinal und transversal: z. B. Wasserwellen Transversal Transversal (Dipol) (Quadropol) VeranschauBei Schallwellen schwingen die Elektromagnetische Wellen lösen Durch einander umkreisende lichungen und Teilchen in Ausbreitungsrichtung. sich von einem Dipol ab. Massen ausgelöste GravitationsAnimationen (Autor: Chetvorno) welle im 2D-Bild. (Autor: NASA) http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/Lwave-v8.gif Bei Wasserwellen kreisen die Wasserteilchen im Uhrzeigersinn (Radius nimmt mit Tiefe ab). (Autor: Dan Russell, PennState University) https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Dipole_ xmting_antenna_animation_4_408x318x150ms.gif/310pxDipole_xmting_antenna_animation_4_408x318x150ms.gif Elektrische und magnetische Feldrichtungen stehen senkrecht zueinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. (User: Hfuchs) http://spaceplace.nasa.gov/review/lisa-g-waves/lisa_wavy.en.gif Raumelemente werden zugleich gestreckt und gestaucht. http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/Water-v8.gif http://wiki.awf.forst.uni-goettingen.de/wiki/images/f/ff/Radiation2.gif http://blog.schockwellenreiter.de/2016/02/images/gw-waves-wave.gif Die Gravitationswelle im Diagramm Gravitationswellen entstehen im Prinzip immer, wenn Massen sich beschleunigt bewegen (analog zur Entstehung elektromagnetischer Wellen durch beschleunigte Ladungen). Merklich (messbar) wird dies aber erst für Extremfälle, wie z. B. in der Endphase von Systemen sich umlaufender Schwarzer Löcher. So geht die erste Messung von Gravitationswellen auf ein Binärsystem aus stellaren Schwarzen Löchern zurück, welches sich in einer etwa 1,3 Mrd. Lichtjahre entfernten Galaxie vermutlich in Richtung zum südlichen Sternbild „Fluss Eridanus“ befindet. Dieses Gravitationswellenobjekt erhielt die Bezeichnung GW 150914 (die Welle passierte die beiden LIGODetektoren am 14.9.2015). Das folgende Diagramm (Abb. 2) zeigt die geglättete Kurve dieser ersten direkten Gravitationswellenmessung. Die Gravitationswellenstrahlung entstand aus der mechanischen Energie (Bewegung der beiden Schwarzen Löcher umeinander und der potenziellen Energie ihres gegenseitigen Abstands) wie auch aus etwas Masse (hier ca. 3 Sonnenmassen) des Binärsystems, indem die sich umlaufenden Schwarzen Löcher ihren Abstand bis hin zur Verschmelzung (Merger) verringerten (und abschließend zu einem schnell rotierenden und entsprechend verformten Schwarzen Loch (dem sogenannte Ringdown) wurden). Für geringere Frequenzen der Gravitationswellenstrahlung (Phase: „Inspiral“, siehe Grafik) besteht ein Zusammenhang zwischen der sogenannten Chirp-Masse Mch (welche auf die Einzelmassen der aufeinander zu spiralenden Schwarzen Löcher zu3 3 8 11 rückgeführt werden kann) und der Kombinati m1 m2 5 c 3 5 3 3 df 5 M ch π f on aus Frequenz f der Strahlung und ihrer 1 dt zeitlichen Zunahme df/dt. Es gilt: m1 m2 5 96 . m2 m1 m2 m1 m1+m2 Abbildung 2: Periodische Änderung der relativen Länge (strain (engl.): Dehnung) der 4-km-Strecke des LIGO-H1-Detektors infolge der Gravitationswellen, die beim „Aufeinanderzuspiralen“ zweier sich umlaufender Schwarzer Löcher in der Endphase entstehen. (Bild aus PHYSICAL REVIEW LETTERS 116, 061102 (2016), Seite 061102-3) Schüler sind in der Lage, aus obenstehendem Diagramm Frequenzen und dazugehörige Frequenzänderungen (-zunahmen) abzulesen. Die Schwierigkeit besteht darin, dass die Frequenz kontinuierlich zunimmt, so dass diese für bestimmte Zeitpunkte ermittelt werden muss. Im vorliegenden Diagramm soll die Frequenz f für die ersten Wellenzüge ermittelt werden. Der Zeitpunkt t für jede Frequenz f wird jeweils durch den nach dem halben Wellenzug vorliegenden angenähert. Die Ergebnisse werden in ein Diagramm f(t) eingetragen. Die zeitliche Änderung (Zeitableitung) der Frequenz df/dt kann im Diagramm aus dem Anstieg einer Sekante, die den gewünschten Kurvenpunkt einschließt, ermittelt werden. Arbeitsblatt „Auswertung eines Gravitationswellendiagramms“ Messbare Gravitationswellen entstehen, wenn sich sehr große Massen beschleunigt bewegen. Änderungen der Raumkrümmung vor Ort pflanzen sich fort und führen dazu, dass sich Abstände beim Empfänger periodisch ändern. Es handelt sich dabei um unvorstellbar kleine Änderungen, die nun erstmals mit dem Detektor LIGO-H1 nachgewiesen worden. Die erste Gravitationswellenmessung geht auf ein Binärsystem aus stellaren Schwarzen Löchern hervor, welches sich in einer etwa 1,3 Mrd. Lichtjahre entfernten Galaxie vermutlich in Richtung zum südlichen Sternbild „Fluss Eridanus“ befindet. Die von diesem Objekt ausgehenden Gravitationswellen mit der Bezeichnung GW150914 ließen die 4 km lange Detektorstrecke von LIGO um etwa das 10-21-Fache ihrer Länge, d. h. um ca. 10-21 ∙ 4 km = 4 ∙ 10-18 m kurzeitig in einer dafür typischen Weise „vibrieren“. Die dabei entstandene Raumgrößenschwankung entspricht nur dem 425-ten Teil des Protonendurchmessers!!! Die Kunst der Wissenschaftler besteht darin, diese winzige Längenänderung zu messen. Das folgende Diagramm zeigt die geglättete Kurve dieser ersten direkten Gravitationswellenmessung. Es gilt die Frequenz f und ihre zeitliche Zunahme df/dt (angenähert durch f/t) der entstehenden Gravitationswellen für die ersten Wellenzüge mit geringen Frequenzen zu bestimmen. Aus f und f/t sowie den Konstanten , c = 2,998∙108 m/s (Lichtgeschwindigkeit) und γ = 6,6743∙10-11 m3∙kg-1∙s-2 (Gravitationskonstante) ist dann die sogenannte 3 3 8 11 Chirp-Masse Mch wie folgt zu berechnen1, welc 3 5 3 3 df 5 m1 m2 5 π f . che auf die Einzelmassen m1 und m2 der M ch 1 dt 96 Schwarzen Löcher zurückgeht: m1 m2 5 Schritte der Auswertung und Tabelle für Messwerte und Ergebnisse 1.) Lies im Diagramm für die 7 durch Hilfslinien markierten Messpunkte die Zeiten tn ab und trage diese und alle folgenden Ergebnisse in die unten stehende Tabelle ein! 2.) Bestimme aus den Zeiten wie in der Tabelle angegeben fortlaufend die Periodendauern Tn+1 und daraus die Frequenzen fn+1 für n = 1…5. (Diese gelten für die Zeiten mit den Hilfslinien 2…6). 3.) Stelle den Frequenzverlauf über der Zeit in einem Diagramm dar. Nutze dazu z. B. das Programm EXCEL. 4.) Die Werte für die fortschreitende Frequenzänderung (-zunahme) (f/t)n+2 können nun jeweils zwischen zwei zuvor berechneten Frequenzen ermittelt werden (n = 1…3, d. h. für die Zeiten mit den Hilfslinien 3…5). 5.) Vereinfache obige Formel soweit, dass nur noch der Term [f -11/3∙f/t]3/5 als Variable vorkommt! 6.) Berechne abschließend jeweils die Chirp-Masse Mch für die Zeiten bei den Hilfslinien 3…5! Hilfs- Zeit linie n tn Periode Tn1 t n2 t n (n = 1 … 5) [s] [s] Frequenz f n 1 1 Tn 1 (n = 1 … 3) –1 [s = Hz] Frequenzänderung f f n 1 f n 3 t n 2 t n 3 t n 1 Chirp-Masse 3 11 5 f f 3 t , n 2 n2 (n = 1 … 3) [Hz / s] Mn+2 (n = 1 … 3) [s] [MSonne] 1 2 3 4 5 6 7 1 Abbott, B. P. und Mitarbeiter: Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, in: Physical Review Letters 116, 061102, 12. Februar 2016 7 6 5 4 3 2 1 Bildquelle: PHYSICAL REVIEW LETTERS 116, 061102 (2016), Seite 061102-3 Ergebnisse zum Arbeitsblatt „Auswertung eines Gravitationswellendiagramms“ Messwert Zeit Periode Tn1 t n2 t n tn n Frequenz 0,2564 2 0,2729 3 0,2883 4 0,3035 5 0,3178 6 0,3317 7 0,3445 f f n 1 f n 3 t n 3 t n 1 t n 2 1 Tn 1 (n = 1 … 13) (n = 1 … 13) [s] [s = Hz] [s] 1 f n 1 Frequenzänderung (n = 1 … 13) -1 0,0319 f 3 11 3 5 f , M t [Hz / s] [s] [MSonne] 2,6 / 0,0306 ≈ 85,0 0,0067 37,0 31,3 0,0306 32,7 33,9 2,8 / 0,0295 ≈ 94,9 0,0066 36,5 0,0282 35,5 3,6 / 0,0282 ≈ 128,1 0,0071 39,3 0,0267 37,5 0,0295 Zur Vereinfachung der Formel zur Berechnung der Chirp-Masse: m1 m2 5 M ch 1 m1 m2 5 3 3 8 11 5 c3 5 π 3 f 3 df dt 96 3 3 8 11 5 c3 5 5 2,998 108 m s -1 π 3 f 3 df dt 96 6,6743 10 -11 m 3 kg -1 s - 2 3 3 3 3 11 5 11 5 1,110 34 kg s -1 f 3 f 5530 M Sonne s -1 f 3 f . t t Frequenzverlauf der Gravitationswelle von GW150914 38 Frequenz f [Hz] 37 36 35 34 33 32 31 30 0,25 0,27 0,29 0,31 Zeit t [s] 0,33 0,35 3 5 8 5 11 5 π 3 f 3 df dt 96
