Elektromagnetische Felder ¨Ubungen SS 2010 Blatt 6, 2.6.2010

Elektromagnetische Felder Übungen
SS 2010
Blatt 6, 2.6.2010
Aufgabe 17:
Eine transversale elektromagnetische Welle im Vakuum sei
a) linear polarisiert,
E = f ex sin(kz − ωt),
b) elliptisch polarisiert,
E = α cos(kz − ωt)ex + β sin(kz − ωt)ey ,
(α, β, f sind reelle Konstanten) und breite sich in z-Richtung aus.
Schreiben Sie die Felder in die komplexe Notation um.
Berechnen Sie
1. das B-Feld B(r, t),
2. den zeitlichen Mittelwert des Poynting-Vektors S(r).
3. den Energiefluß durch eine Fläche F, die mit der z-Achse den Winkel θ einschließt und parallel zur y-Achse steht.
ex
ez
θ
F
Hinweise: µ0 ǫ0 c2 = 1. Benutzen Sie die Formel zur Berechnung von Mittelwerten
aus dem Skriptum.
Aufgabe 18:
Um sich klarzumachen, daß die Vakuumgleichungen auch Wellenlösungen zulassen, bei
denen E und B parallel stehen, betrachten Sie die Überlagerung zweier entgegengesetzt
zirkularpolarisierter ebener Wellen (E0 reel):
E = (E+ + E− ) ,
E± = E0 (ex cos(kz ∓ ckt) − ey sin(kz ∓ ckt)).
Schreiben Sie E+ , E− und E in komplexer Notation.
a) Bestimmen Sie E in reeller Notation.
b) Bestimmen Sie die zugehörigen Felder B+ und B− aus den Maxwellgleichungen
(komplexe Notation!), sowie das Gesamt- B-Feld.
c) Zeigen Sie, dass E und B parallel zueinander stehen.
d) Berechnen Sie den Poyntingvektor. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Summe der
Poyntingvektoren der einzelnen Wellen E+ und E− .
... weiter auf der Rückseite.
Extraaufgabe:
1) Wie lautet die Bewegungsgleichung eines (punktförmigen) Teilchens der Ladung q
und der Masse m im elektromagnetischen Feld (E, B)? (Die Emission von Strahlung durch die bewegte Ladung werde vernachlässigt). Bestimmen Sie die zeitliche
Änderung der Teilchenenergie W im äußeren Feld.
2) Das E(r, t) Feld aus Aufgabe 17(b) mit α=β stellt eine zirkular polarisierte monochromatische elektromagnetische Welle dar. Berechnen Sie die zuhörige magnetische
Induktion B(r, t) (Das tragende Medium sei linear, homogen, ungeladen und isoliert,
z.B. Vakuum).
3) Das Teilchen aus 1) bewege sich in dem Feld aus 2). Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf.
4) Das Teilchen befinde sich zur Zeit t = 0 im Koordinatenursprung. Wie müssen die
Anfangsbedingungen für die Geschwindigkeit gewählt werden, damit die Energie W
des Teilchens konstant bleibt?
5) Geben Sie den Impuls p des Teilchens an und verifizieren Sie, daß die Richtung von
p⊥ = (px , py , 0) zu jedem Zeitpunkt mit der Richtung von B übereinstimmt.
6) Lösen Sie die Bewegungsgleichung mit den Anfangsbedingungen aus 4).
7) Welche Bahn beschreibt das Teilchen in der xy-Ebene?