Woche 6 Woche 7

Zusätzliche Übungen zu Logik 1
Hier finden sich Aufgaben aus dem Tutorium zu Logik 1, PD Berger, LMU im WiSe
2016/2017. Bei Fragen: [email protected].
Woche 6
Übung 1. Sei L = ∅. Finden Sie eine Formelmenge Σ, so dass für jedes Modell A gilt:
(a) A |= Σ ⇐⇒ der Träger von A hat genau drei Elemente.
(b) A |= Σ ⇐⇒ der Träger von A ist nicht endlich.
Übung 2. (a) Geben Sie eine erfüllbare Formel ohne endliche Modelle an (L wählbar).
(b) Geben Sie eine Formel an, deren Modelle genau die Gruppen sind (L wählbar).
Übung 3. Sei L = {f, R}, f zweistelliges Funktionszeichen, R einstelliges Relationszeichen.
(a) ϕ := ∃x ∀y f(x, y) = y. Finden Sie Modelle A1 , A2 , mit A1 |= ϕ und A2 6|= ϕ
(b) ψ := ∃x (R(x) ∧ ∀y R(f(x, y))). Finden Sie Modelle A1 , A2 , mit A1 |= ψ und A2 6|= ψ
Übung 4. Sei Σ Formelmenge und ϕ Formel. Dann gilt:
Σ |= ϕ ⇐⇒ Σ ∪ {¬ϕ} nicht erfüllbar
Woche 7
Übung 5 (Meanings of |=). Sei A ein Modell, Σ eine Formelmenge und ϕ eine Formel.
Man zeige oder widerlege:
(a) A |= ¬ϕ ⇐⇒ nicht A |= ϕ.
(b) Σ |= ¬ϕ ⇐⇒ nicht Σ |= ϕ.
(c) A |= ϕ oder A |= ¬ϕ.
(d) Sei ϕ eine Aussage, d.h. es gelte FV(ϕ) = ∅. Dann A |= ϕ oder A |= ¬ϕ.
(e) Sei ϕ eine Aussage. Dann |= ϕ oder |= ¬ϕ.
(f) Wenn für jedes Modell B gilt B |= ϕ ⇒ B |= ψ, dann gilt auch |= ϕ ⇒|= ψ.
(g) Wenn |= ϕ ⇒|= ψ, dann gilt auch B |= ϕ ⇒ B |= ψ für jedes Modell B.
Übung 6 (Consequence). Man zeige oder widerlege:
(a) Falls v 6∈ FV(ϕ), so gilt |= ∀x ϕ[x/v] ↔ ϕ
(b) Falls v 6∈ FV(ϕ), so gilt |= ∃x ϕ[x/v] ↔ ϕ
(c) Es gilt |= ∀x (ϕ ∨ ψ)[x/v] → ∀x ϕ[x/v] ∨ ∀x ψ[x/v]
(d) Sei F ein zweistelliges Relationszeichen. Dann gilt
|= ¬∃y ∀x (F(x, y) ↔ ¬E(x, x))
Tipp: Man lese F(y, x) als “y ist Friseur von x”, vgl. Barbier-Paradoxon.
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Zusätzliche Übungen zu Logik 1
Übung 7 (Countermodels, not discussed). Eine Formelmenge Σ heißt unabhängig, falls
für kein ϕ ∈ Σ gilt Σ \ {ϕ} |= ϕ. Man zeige, dass die Axiome für eine abelsche Gruppe
unabhängig sind. (LG := (·, e), ΣG := {∀x,y,z x · (y · z) = (x · y) · z, ∀x (c · x = x ∧ x · c = x),
∀x ∃y x · y = c, ∀x,y x · y = y · x})
Übung 8 (Validity). Sei A = (N, <) und B = (N, 4), wobei n4m ⇐⇒ (i) n < m und
n, m sind beide gerade oder beide ungerade oder (ii) n ist gerade und m ist ungerade.
Man finde eine Formel ϕ mit A |= ϕ und B |= ¬ϕ.
Woche 8
Übung 9 (Compactness). Sei L = {cn | n ∈ N} (cn paarw. verschieden). Setze Σ :=
{ci ¬cj | i, j ∈ N, i 6= j}. Sei ϕ Aussage (d.h. FV(ϕ) = ∅) mit Σ |= ϕ. Zeigen Sie, dass ϕ ein
endliches Modell besitzt.
Übung 10 (Compactness). Wenn für alle A mit |A| = k > N gilt A |= ϕ, dann gilt |= ϕ.
Übung 11 (Cardinality of Language). Sei D eine Menge. Geben Sie eine erfüllbare Formelmenge Σ und eine zugehörige Sprache L an, mit: Ist A Modell von Σ, so gibt es eine
injektive Abbildung von D in den Träger von A.
Übung 12 (Extending/Reducing Models). Sei Σ eine L-Formelmenge und ϕ eine L-Formel
mit höchstens einer freien Variable v. Sei P ein neues einstelliges Relationszeichen, L∗ :=
L ∪ {P} und setze
Σ∗ := Σ ∪ {∀x (ϕ[v/x] ↔ P(x))
Für alle L-Formeln ψ (d.h. Formeln die P nicht enthalten) gilt:
Wenn Σ∗ |= ψ, dann auch Σ |= ψ.
Übung 13 (not discussed). Man zeige, dass ϕ und ψ in allen endlichen Modellen gültig
sind.
ϕ := ∃x,y,z (P(x, f(x)) → P(x, x) ∨ P(x, y) ∧ P(y, z) ∧ P(x, z))
ψ := ∃x ∀y ∃z ((Q(z, x) → Q(z, y)) → (Q(x, y) → Q(x, x)))
Woche 9
Übung 14 (p.r. functions). Man zeige, dass die folgenden Funktionen bzw. Relationen
rekursiv sind.
(a) n!, nm , |n − m|, max{n, m}, min{n, m}, ggT (n, m), kgV(n, m),
(b) n|m =“n teilt m”,
(c) F := {fib(k) | k ∈ N}
(fib(k) := 1 falls k ∈ {0, 1} und fib(k + 2) := fib(k) + fib(k + 1))
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Zusätzliche Übungen zu Logik 1
Woche 10
Übung 15 (Gödel coding). (a) Man zeige, dass die folgenden Funktionen bzw. Relationen rekursiv sind.
(i) P(n) :=“n ist Primzahl”
(ii) p(n) :=“die n-te Primzahl” (z.B. p(0) = 2, p(4) = 11)
(iii) f(n, m) :=“wie häufig n den Faktor m enthält”
(b) In der Vorlesung wurde eine β-Funktion (sowie die Notation h·i, (·)i , | · |, fol(·))
definiert, die erlaubt Tupel von natürlichen Zahlen durch eine natürliche Zahl zu
kodieren. Betrachte folgendes alternative Kodierungsschema auf Basis der eindeutigen Primzahlzerlegung einer Zahl:
Für (k1 , . . . , kn ) ∈ Nn setze
hk1 , . . . , kn i := 2n · 3k1 · 5k2 · 7k3 · . . . · p(n)kn
|
{z
}
k
Man definiere eine passende, rekursive Dekodierungsfunktion β0 (k, i), mit der sich
die Werte ki aus einem kodierten Tupel k extrahieren lassen. Definiere auch (·)i , | · |,
fol(·) entsprechend.
Übung 16 (Recursive functions can be expressed in the language of arithmetic). Betrachte
Sprache L := (+, ·, <, 0, 1). Sei N := (N, +, ·, <, 0, 1) das Standardmodell der natürlichen
Zahlen und F : Nn → N eine rekursive Funktion. Man zeige, dass eine Formel ϕ mit
(nur) den freien Variablen v1 , . . . , vn , w existiert, so dass für alle k1 , . . . , kn , m ∈ N und für
Belegungen b mit b(vi ) = ki , b(w) = m, gilt:
F(~k) = m ⇒ N |= ϕ[b]
F(~k) 6= m ⇒ N 6|= ϕ[b]
Woche 11
Übung 17 (r.e. sets). Sei R(n, ~k) eine rekursiv aufzählbare Relation. Man zeige, dass die
folgenden Relationen rekursiv aufzählbar sind:
Q(~k)
: ⇐⇒ ∃n R(n, ~k)
P(~k, m) : ⇐⇒ ∀n<m R(n, ~k)
Übung 18 (r.e. sets). Sei R rekursive Relation, Q ⊆ R. Man zeige: Q ist rekursiv genau
dann wenn Q und R \ Q rekursiv aufzählbar sind.
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