In einem Dreieck ABC teile die Ecktransversale CZ die

C
D.69 Satz von Stewart. (Bild) In einem Dreieck ABC teile
die Ecktransversale CZ die gegenüberliegende Seite c in
die Abschnitte AZ ≡ m bzw. ZB ≡ n. Man zeige, daß
für die Länge CZ ≡ t dann gilt:
c(t2 + mn) = ma2 + nb2 .
(D.12)
b
A
m
Z
a
t
n
B
D.69
Beweis: (Bild) Die bei Z auftretenden Winkel ]AZC = z und ]BZC = π − z sind
Supplementwinkel, so daß wir die Gleichung cos z = − cos(π − z) ausnutzen können. Nach dem
Kosinussatz gilt nun in den Dreiecken AZC und BZC:
cos z =
m2 + t 2 − b 2
,
2mt
cos(π − z) =
C
n2 + t 2 − a 2
.
2nt
Diese Ausdrücke in obige Gleichung eingesetzt, ergibt
t2 =
b
ma2 nb2
ma2 + nb2
+
− mn =
− mn. ¤
c
c
m+n
A
m
t
z π z
n
Z
a
B