Ubungsblatt 2

Formale Sprachen und Automaten
Übungsblatt 2
22.4.2011
1 Grammatiken
Von welchem Typ der Chomsky-Hierarchie (Typ 0, 1, 2 oder 3) sind folgende Grammatiken?
a) G1 = h{S, T, a, b}, {a, b}, P1 , Si mit
P1 = { S → a T,
T
→ S b,
S → ε}
G1 ist eine Typ-2-Grammatik (und damit auch Typ-1 und Typ-0). Sie ist nicht von
Typ-3, weil sie sowohl links- als auch rechtslineare Regeln enthält.
b) G2 = h{S, T, a, b}, {a, b}, P2 , Si mit
P2 = { S → a T,
T
→ bS ,
S → a
S → b}
G2 ist eine Typ-3-Grammatik (und damit auch Typ-2, Typ-1 und Typ-0). Sie
enthält ausschließlich rechtslineare Regeln.
2 Sprachen
Wahr oder falsch? Begründe kurz.
a) Das leere Wort ist in jeder Sprache enthalten.
Falsch. Es gibt Sprachen, in denen das leere Wort nicht enthalten ist (z. B. die leere
Sprache ∅ und L(G2 ) aus Aufgabe 1).
b) Das leere Wort ist das neutrale Element von Σ∗ .
Wahr. Σ∗ steht hier für das freie Monoid hΣ∗ , ·, ε i. Darin ist ε das neutrale Element
der Stringkonkatenation.
c) Es gilt: (Σ∗ )∗ = Σ∗ .
Wahr. Intuitiv: Σ∗ enthält schon alle möglichen Wörter über Σ. Durch erneute
Sternhüllenbildung kommen keine Wörter hinzu. Formaler:
[
(Σ∗ )∗ =
(Σ∗ )i
0≥i
∗ 0
= (Σ ) ∪ (Σ∗ )1 ∪ (Σ∗ )2 ∪ (Σ∗ )3 ∪ (Σ∗ )4 ∪ . . .
=
{ε} ∪ Σ∗ ∪ Σ∗
=
Σ∗
∪ Σ∗ ∪ Σ∗ ∪ . . .
d) Es gilt: {} · Σ∗ = Σ∗
Wahr. {ε} ist das neutrale Element der Mengenkonkatenation. Wir beziehen uns
hier also auf das Monoid hP(Σ∗ ), ·, {ε} i, das unbedingt vom Monoid aus Teil b)
zu unterscheiden ist.
e) Es gilt: L∗ = Σ∗ für jede beliebige Sprache L.
Falsch. Sei z. B. Σ = {a, b} und L = {w | w = ai , i ≥ 1} ⊆ Σ∗ . Dann gilt
L∗ = {w | w = ai , i ≥ 0} =
6 Σ∗ .
3 Abzählbarkeit
Sind folgende Mengen abzählbar?
a) die Menge aller Prolog-Programme
Abzählbar. Ein Prolog-Programm ist ein Wort über einem Alphabet Σ. Wir können
alle solchen Wörter aufzählen: erst ε, dann Wörter der Länge 1, dann der Länge 2. . .
Für eine gegebene Länge l gibt es immer nur endlich viele Wörter über Σ mit
Länge l.
b) die komplexen Zahlen
Überabzählbar. Die Menge der reellen Zahlen (von der wir wissen, dass sie überabzählbar unendlich ist) ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Die komplexen
Zahlen sind also ebenfalls überabzählbar unendlich.
c) die ganzen Zahlen
Abzählbar. Wir können alle ganzen Zahlen aufzählen: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .
d) Σ∗ für ein beliebiges (endliches) Alphabet Σ
Abzählbar. Begründung wie bei a): Wir können alle Wörter aus Σ∗ aufzählen:
erst ε, dann Wörter der Länge 1, dann der Länge 2. . . Für eine gegebene Länge l
gibt es immer nur endlich viele Wörter über Σ mit Länge l.
e) die Menge aller Sprachen über Σ
Überabzählbar. Die Menge aller Sprachen über Σ∗ ist die Potenzmenge von Σ∗ .
Die Potenzmenge einer abzählbar unendlichen Menge ist überabzählbar unendlich.
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