¨Ubungen Vektoranalysis – PHY.E20

Übungen Vektoranalysis – PHY.E20
SS 2017 – 2.5.2017 – 6. Blatt: Differenzialoperatoren
Aufgabe 30: Es seien φ(r), A(r) und B(r) stetig differenzierbare Skalare- bzw.
Vektorfelder. Zeigen Sie folgende Identitäten:
a) ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
b) ∇ × (A × B) = A · (∇ · B) − B · (∇ · A) + (B · ∇) · A − (A · ∇) · B
c) ∇ · (A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (B · ∇) · A + (A · ∇) · B
Aufgabe 31: Berechne für A = (x2 z, yz 3 , −3xy), B = (y 2 , −yz, 2x) und
φ = 2x2 + yz:
a) A · (∇ · φ)
b) (A · ∇) · φ
c) (∇ · A) · B
d) ∇ · (A × B)
Aufgabe
a)
b)
c)
32: Gegeben sei das Kraftfeld F = (6xy + z 3 , 3x2 − z, 3xz 2 − y) :
Zeigen Sie, dass es sich um ein konservatives Kraftfeld handelt.
Bestimmen Sie die Potentialfunktion φ(x, y, z).
Welchen allgemeinen Zusammenhang gibt es zwischen F und φ(x, y, z)?
Aufgabe 33: Ein Vektorfeld sei gegeben durch


x + αy
F(x, y, z) = y + βx .
z
Bestimmen Sie die Konstanten α und β derart, dass der Rotor dieses Vektorfeldes verschwindet und berechnen Sie sodann das zugehörige Potential
φ(x, y, z).
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Aufgabe 34: Die Ausbreitung von Licht im Vakuum lässt sich im Rahmen der
Wellenoptik durch die berühmten Maxwell-Gleichungen beschreiben. Diese
setzen das elektrische Feld E mit dem magnetischen Feld H unter folgenden
Regeln in Zusammenhang:
∇·D=0
∇·B=0
∂B
∂t
∂D
∇×H=
∂t
∇×E=−
Hier bezeichnet D = 0 · E die dielektrische Verschiebung im Vakuum und
B = µ0 · H die magnetische Flussdichte im Vakuum. Zeige, dass E und H
die Wellengleichungen
c2 · ∆E =
∂ 2E
∂t2
bzw. c2 · ∆H =
∂ 2H
∂t2
erfüllen, wobei c die Vakuumlichtgeschwingkeit bezeichnet und ∆ ≡ ∇2 .
Es gilt 0 µ0 = c12 . Was ist die physikalische Aussage der vier MaxwellGleichungen?
Tipp: Verwende die Beziehung: ∇ × (∇ × A) = ∇ · (∇ · A) − (∇ · ∇) · A
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Aufgabe 35: Gegeben ist das elektrische Potential eines Dipols φ(r) = 4π
· p·r
,
r3
0
mit dem elektrischen Dipolmoment p 6= f (r) und das Vektorpotential eines
µ0
· µr×r
mit dem magnetischen Dipolmoment
magnetischen Dipols A = 4π
3
µ 6= f (r). 0 und µ0 sind universelle Konstanten.
a) Berechne das elektrische E = −∇φ(r) eines elektrischen Dipols.
b) Berechne die magnetische Flussdichte B = ∇ × A eines magnetischen Dipols.
Verwende die Koordinatenschreibweise.
Aufgabe 36: Gegeben ist ein Vektorfeld Fi = (4x1 x3 , −x22 , x2 x3 ). Verifiziere
den Satz von Gauß
I
Z
#» #»
#»
F · dA =
div F dV
∂V
V
für einen Quader mit den Begrenzungsflächen x1 = 0, x1 = 1, x2 = 0,
x2 = 2, x3 = 0, x3 = 3.
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