Finanzmathematik II

Finanzmathematik II
S5
Seminar 5: Claim und Hedge
Wiederholung:
Claim: Zgr. X
Interpretation: X ist eine Zahlung von zufälliger Höhe, die dem Besitzer bei t = 1 zusteht.
Der Kauf des Claims erfolgt früher, also bei t = 0.
Beispiel: Der Erlös aus dem Verkauf einer Aktie bei t = 1 ist ein Claim.
X sei ein Claim.
Hedge (dt. replizierendes Portfolio) zu X: Handelsstrategie H, so dass für den zugehörigen
Wert bei t = 1 gilt:
V1 = X , d.h. V1 (ω ) = X (ω ) ∀ω ∈ Ω .
Î Ein Hedge zu X muss nicht immer existieren und wenn er existiert, so muss er nicht eindeutig
bestimmt sein!
absicherbarer Claim: Es existiert ein zugehöriger Hedge.
fairer Preis des absicherbaren Claims X (bei t = 0) = Wert eines zugehörigen Hedges (bei t = 0)
= EQ [ X B1 ]
1. Es ist nachzuweisen, dass nur der faire Preis s(X) eines absicherbaren Claims X die
Arbitragefreiheit gewährleistet. Dazu ist eine Arbitragemöglichkeit zu konstruieren im Fall
a) s ( X ) < V0Hedge
b) s ( X ) > V0Hedge
Hinweis: Der faire Preis eines absicherbaren Claims ist damit eindeutig bestimmt.
Denn wenn es zwei verschiedene Hedges zu diesem Claim gäbe, so müßten sie
denselben Wert bei t = 0 (und natürlich auch bei t = 1) haben. Ansonsten hätte man
durch Leerverkauf des wertvolleren Hedges, Kauf des billigeren Hedges und
risikoloser Anlage der Wertdifferenz eine Arbitragemöglichkeit.
2. (Beispiel 2.1 Fortsetzung)
Ein Finanzmarkt habe 1 Finanzgut und die risikolose Anlage. Sei Ω = {ω 1 , ω 2 }, also K = 2.
1
10
r = ⇔ B1 =
9
9
 609 falls ω1
S1 (0) = 5 , S1 (1) =  40
 9 falls ω 2
In der Vorlesung war ein Call mit Ausübungspreis e = 5 behandelt worden (Preis c = 34 ).
a) Bestimmen Sie einen Hedge zum Put auf das Finanzgut mit Ausübungspreis e = 5!
b) Welchen (fairen) Preis hat der Put in t = 0?
c) Wie kann man den Preis des Puts alternativ mit der Put-Call-Parität berechnen?
3. In einem 1-Perioden Modell mir r = 5% sei eine Aktie gegeben durch
2 falls ω1
S1 (0) = 1 , S1 (1) = 
0,5 falls ω2
3 falls ω1
Außerdem sei ei Claim X gegeben durch: X = 
0, 2 falls ω2
a) Ist X absicherbar? Bestimmen Sie dazu einen Hedge!
b) Ermitteln Sie den fairen Preis s(X)!
4. Ermitteln Sie alternativ den Preis des Puts aus Aufgabe 2 mit Hilfe des risikoneutralen
Wahrscheinlichkeitsmaßes !
5. In einem 1-Perioden Modell mir r = 6% sei eine Aktie gegeben durch
90 falls ω1

S1 (0) = 100 , S1 (1) = 100 falls ω2
120 falls ω
3

Angeboten werden soll ein Put auf diese Aktie.
a) Bestimmen Sie den Ausübungspreis e, 90 ≤ e ≤ 120 , so dass der Put absicherbar ist!
b) Ermitteln Sie alle Hedges zu diesem Put (e wie bei a) berechnet)! Welchen fairen Preis
besitzt demzufolge der Hedge?
c) Ermitteln Sie noch einmal den fairen Preis, diesmal durch Berechnung des risikoneutralen
Wahrscheinlichkeitsmaßes Q!