ϕ ϕ ϕ π

Kreis
Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte einer gegebenen Ebene Ε,
die von einem gegebenen Mittelpunkt M einen vorgegebenen
Abstand r (Radius) haben.
y
Gleichung:
k
P∈k
r
y=r·sinϕ
ϕ
M=O
x=r·cosϕ
x
( x − xM ) 2 ( y − y M ) 2
+
=1
2
2
r
r
Parameterdarstellung:
⎛ x ⎞ ⎛ xM ⎞ ⎛ r ⋅ cos ϕ ⎞
⎜ y ⎟ = ⎜ y ⎟ + ⎜ r ⋅ sin ϕ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ M⎠ ⎝
⎠
mit 0 ≤ ϕ ≤ 2π
Zylinderschnitte
Eine Ebene schneidet einen senkrechten Kreiszylinder in einem
Kreis (a), einer Ellipse (b) oder in ein oder zwei Mantelgeraden (c)
(a)
(b)
(c)
Kegelschnitte
Kegelschnitte sind ebene Schnittkurven k eines Kegels κ
mit Ebenen Ε, die nicht die Kegelspitze S enthalten.
κ
κ
κ
Ε
S
S
Ε
ϕ
k
k
α
α
α > ϕ: Ellipse
(Sonderfall Kreis: ϕ =0° )
Ε
S
ϕ
α = ϕ : Parabel
k
α
ϕ
α < ϕ : Hyperbel
Ellipse
Eine Ellipse k ist die Menge aller Punkte einer gegebenen Ebene Ε,
für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten (den
Brennpunkten F1 und F ) einen konstanten Wert (=2a) hat.
2
y
2a = r1 + r2
F1, F2
S1, S2
N1, N2
M
N1
P∈k
r1
…
…
…
…
Brennpunkte
Hauptscheitel
Nebenscheitel
Mittelpunkt
r2
S1
M=O
F1
e
F2
x
a
b
e2 = a2 - b2
S2
N2
k
2a … Hauptachsenlänge
2b … Nebenachsenlänge
e … lineare Exzentrizität
Gleichung und Parameterdarstellung einer Ellipse
Scheitelkreise
y
Parameterdarstellung:
⎛ x ⎞ ⎛ xM ⎞ ⎛ a ⋅ cos ϕ ⎞
⎜ y ⎟ = ⎜ y ⎟ + ⎜ b ⋅ sin ϕ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ M⎠ ⎝
⎠
mit 0 ≤ ϕ ≤ 2π
P∈k
y=b·sinϕ
M=O
Achtung:ϕ≠∠(MP,x)
ϕ
x=a·cosϕ
k
x
( x − xM ) 2 ( y − y M ) 2
+
=1
2
2
a
b
Faden- oder Gärtnerkonstruktion
Die Enden eines Fadens der Länge 2a werden in den Brennpunkten
F1 und F2 befestigt. Wenn man den Faden, wie in der Skizze
dargestellt, straff zieht, ist der Punkt, an dem sich die Spitze des
Stifts befindet, ein Ellipsenpunkt.
r1
F1
2a = r1 + r2
r2
F2
a
Scheitelkreiskonstruktion
Scheitelkreis ka
mit Radius a
N1
g
Geg.: Haupt- und Nebenscheitel S1, S2, N1, N2
Æ auch geg.: M (Mittelpunkt der Ellipse), a, b
Xa
Æ Ablauf:
ka := kr(M,a)
kb := kr(M,b)
g: beliebiger Strahl aus M
Xa := g ∩ ka
Xb := g ∩ kb
X := (Xa ⊥ S1S2) ∩ (Xb ⊥ N1N2)
Xb XE
Scheitelkreis kb
mit Radius b
y=b·sinϕ
S2
M
S1
xE=a·cosϕ
In den Scheitelpunkten
haben der jeweilige
Scheitelkreis und die
Ellipse eine gemeinsame
Tangente, d.h. sie
berühren einander.
N2
ellipse_In_Um_Kreis.ggb
Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse
a2
rN =
b
S1
N1
M
N2
b2
rS =
a
S2
Papierstreifenkonstruktion
Q
a = QX
a
Auf einem Streifen werden drei Punkte
P, Q und X markiert , wobei gilt:
b = PX
X b
y=b·sinϕ
ϕ
P
M
x=a·cosϕ
Liegen Q und P auf den Achsen, bestimmt X einen Ellipsenpunkt.
Umgekehrte Papierstreifenkonstruktion
Die umgekehrte Papierstreifenkonstruktion
bestimmt Nebenachse b bei gegebener
Hauptachse a (bzw. Hauptachse a bei
gegebener Nebenachse b) und einem
Ellipsenpunkt X.
Q
ka
a
Gegeben: ein Punkt X und ein Paar Scheitelpunkte
Æ Konstruktion des anderen Paars
X
S1
b
S2
b := papk(S1, S2; X)
Æ Ablauf:
n := misenk(S1,S2)
ka := kr(X,a)
Q := n ∩ ka (einen Schnittpunkt auswählen)
P := QX ∩ S1S2
b := PX
P
Gegeben: ein Punkt X und ein Paar Scheitelpunkte
Æ Konstruktion des anderen Paars
Analog ist die Konstruktion der
Hauptachse a aus der Nebenachse
möglich.
a := papk(N1, N2; X)
Æ Ablauf:
n := misenk(N1,N2)
kb := kr(X,b)
P := n ∩ kb (einen Schnittpunkt auswählen)
Q := PX ∩ N1N2
a := QX
Parallelprojektion zwischen zwei Ebenen
Eine Parallelprojektion ΣÆΠ
ist eine perspektive Affinität
zwischen den beiden Ebenen
Σ =Σ1 und Π = Σ2.
Σ=Σ1
g1
Die Schnittgerade s der
beiden Ebenen wird
Affinitätsachse
genannt.
X1
h1
Z1
Projektionsrichtung p≠π
p
s
Y1
g2
h2
Z2
Y2
Π=Σ2
X2
Perspektive Affinität
Es seien ϕp:E³→Π die Parallelprojektion des E³ auf die Bildebene Π mit der Projektionsrichtung p≠π
und Σ⊂E³ eine beliebige Ebene Gp und der Spur s=Σ' Π.
Eine Abbildung ϕp: X1∈Σ1 Æ X2∈Σ2 zwischen zwei Ebenen Σ1 und Σ2 mit den folgenden fünf
Eigenschaften wird perspektive Affinität genannt:
1.
Es existiert genau eine Gerade s mit X1∈s ⇔ X1=X2
(s ist eine Fixpunktgerade).
2.
Die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte sind parallel: X1X2 || Y1Y2.
3.
Für einander zugeordnete Geraden g2 = ϕ(g1) gilt: g1 ∩ g2 ∈ s oder g1 || g2 || s.
4.
Parallelität von Geraden bleibt erhalten: g1 || h1 ⇔ g2 || h2
5.
Das Teilverhältnis dreier Punkte einer Geraden ist bezüglich ϕ invariant:
TV(X1Y1Z1)= TV(X2Y2Z2)
Die Fixpunktgerade s heißt Affinitätsachse, die Verbindungsgeraden X1X2 heißen
Affinitätsgeraden und die Richtung p || X1X2 heißt Affinitätsrichtung.
Falls p ⊥ s gilt, heißt ϕ orthogonale perspektive Affinität.
Falls Σ1=Σ2gilt, heißt ϕ ebene perspekive Affinität,
mit den Sonderfällen Spiegelung an s: X1X2 ⊥ s und Scherung entlang s: X1X2 || s.
Affine
Eigenschaften
der Projektion
eines Kreises
Perspektive Affinität zwischen Kreis und Ellipse
Die durch die Affinitätsachse s und die Verbindungsgerade der
Mittelpunkte M und M0 gegebene perspektive Affinität ϕ bildet den
Kreis k0 auf die Ellipse k ab.
Durchmesser von
k0 gehen in
Durchmesser von
k über.
P0
R0
t0P
t0R
M0
k0
t0Q
t0S
Q0
s
tQ
S0
Q
S
tR
tP
tS
k
M
R
Tangenten von
k0 gehen in
Tangenten von
k über.
P
Durch die Verbindungsgerade
M0M ist die Affinitätsrichtung
definiert.
Perspektive Affinität zwischen Ellipse und Scheitelkreis
Zwischen der Ellipse k und ihrem Hauptscheitelkreis ka bzw. ihrem
Nebenscheitelkreis kb besteht je eine orthogonale perspektive
Affinität mit der Affinitätsachse sa = S1S2 bzw. sb = N1N2
ka
k
sa
N1a
Xa
N1
N1=N1b
p⊥s
k
X
p⊥s
S1=S1a
M
S1
X
kb
S1b
S2=S2a
Xb
p⊥s
M
N2
N2=N2b
N2a
sb
S2b
S2
Tangentenkonstruktion für eine Ellipse
ta
t
Pa
N1
P
S1
M
Die orthogonale perspektive
Affinität zwischen Ellipse und
ihrem Scheitelkreis lässt sich
für die Konstruktion der
Tangente t in einem Punkt P
ausnutzen, denn es gilt:
PPa ⊥ sa und
t ∩ ta ∈ sa
S2
sa
N2
Analog ist die Konstruktion auch mit Hilfe
des Nebenscheitelkreises möglich.
Konjugierte Durchmesser einer Ellipse
P0
R0
k0
Konjugierte Durchmesser
bestimmen eine Ellipse eindeutig.
M0
Q0
S0
s
S
Q
k
M
R
P
Die affinen Bilder orthogonaler
Kreisdurchmesser heißen
konjugierte
Ellipsendurchmesser.
Wichtig – es muss gelten: R0S0 ⊥ P0Q0
Achtung: Aber konjugierte Durchmesser sind i.A. nicht orthogonal!
Spezielle konjugierte Durchmesser:
Ellipsenachsen S1S2 und N1N 2
Æ das einzige Paar zueinander orthogonaler konjugierter Durchmesser
Æ damit möglich: Konstruktion der Ellipse
Durch die vier Punkte P und Q,
R und S ist ein Paar konjugierter
Ellipsendurchmesser gegeben.
Orthogonale Geradenpaare
k ist Thaleskreis über Sa und Sb
s
k
b1
m
X1
b2
M
m
a2
X1
X2
(a1, b1; a2, b2) := ortpaar(X1, X2; s)
Ablauf:
MX 2 )) Thales-Kreis!
a1
Sa
Gegeben: Affinität α durch s und zwei Punkte X1, X2
Gesucht: Geraden a1, b1 und a2, b2 mit a1 ∩ b1 = X1 a2 ∩ b2 = X1 und a1 ⊥ b1 sowie a2 ⊥ b2
{Sa, Sb} := k ∩ s
a1 := X1Sa
b1 := X1Sb
a2 := X2Sa
b2 := X2Sb
b2
b1
a1
M := m ∩ s
k := kr(M, MX1 ( =
Sb
s
a2
X2
Direkte Achsenkonstruktion
Thaleskreis kT zur
Konstruktion der
beiden
orthogonalen
kT
Durchmesser
S20
k0
Affinitätsgeraden
k(S1,S2;N1,N2) = achs(k; M0, r, M, s)
Ablauf:
k0 := kr(M0,r)
(h0, n0; h, n) := ortpaar(M0, M; s)
{S10,S20} = h0 ∩ k0
S1 := (S10 || M0M) ∩ h
S2 := (S20 || M0M) ∩ h
{N10,N20} = n0 ∩ k0
N1 := (N10 || M0M) ∩ n
N2 := (N20 || M0M) ∩ n
s
n0
k
h0
N10
MT
N1
S2
M0
N20
M
h
S10
S1
n
N2
RYTZsche Achsenkonstruktion - Konzept
•
•
Mit Hilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion ist es möglich, ausgehend von zwei
konjugierten Durchmessern einer Ellipse deren Haupt- und Nebenachse und die
zugehörigen Ellipsenscheitel zu finden.
Abb. 1 zeigt die gegebenen und gesuchten Größen.
Gegeben sind die beiden konjugierten Durchmesser d`1 und d`2 (blau),
gesucht sind die Achsen a und b der Ellipse (rot).
•
Zur Verdeutlichung ist die zugehörige Ellipse ebenfalls eingezeichnet,
sie ist allerdings weder gegeben, noch ist sie ein direktes Ergebnis
der Rytzschen Achsenkonstruktion
•
Eine Ellipse kann als affines Bild ihres Hauptkreises unter einer senkrechten
Achsenaffinität betrachtet werden. Abb. 1 zeigt neben der Ellipse e ihren
Hauptkreis kh.
•
Die Affine Abbildung α , welche kh in e überführt ist durch gestrichelte Pfeile
und Ergebnisse
angedeutet.
Das Urbild eines Ellipsendurchmessers unter der Abbildung α ist ein
Kreisdurchmesser von kh.
Die definierende Eigenschaft konjugierter Durchmesser und einer Ellipse ist, dass ihre
Urbilder
d1 und d2 und aufeinander senkrecht stehen.
•
So gesehen sind die Achsen einer Ellipse spezielle konjugierte Durchmesser d`1 und d`2 ,
bei denen nicht nur ihre Urbilder d1 und d2 sondern die Durchmesser selbst aufeinander
senkrecht stehen.
•
Die Rytzsche Achsenkonstruktion findet zu zwei beliebigen konjugierten Durchmessern d`1
und d`2 diejenigen konjugierten Durchmesser der zugehörigen Ellipse, die aufeinander
senkrecht stehen. Diese speziellen konjugierten Durchmesser sind die Achsen der Ellipse.
Abb. 1: Gegebene Größen
RYTZsche Achsenkonstruktion - Konstruktion
•
1.
Abb. 2 zeigt die Schritte der Konstruktion.
Gegeben sind die beiden konjugierten Durchmesser d`1 und d`2,
die sich im Mittelpunkt M der Ellipse schneiden.
Von jedem konjugierten Durchmesser wird ein Endpunkt gewählt:
U' auf d'1 und V' auf d‘2.
2.
Der Winkel <(U‘MV') ist entweder stumpf (> 90°) wie in der
Abbildung, oder spitz (< 90°). Stünden die konjugierten
Durchmesser aufeinander senkrecht (= 90°), wären die Achsen
bereits gefunden: In diesem Fall wären sie identisch mit den
gegebenen konjugierten Durchmessern.
3.
Im ersten Schritt wird U' um den Mittelpunkt M um 90° in Richtung V'
gedreht. Das Ergebnis ist der Punkt U‘r.
Die Punkte U‘r und V' definieren die Gerade g. Der Mittelpunkt der Strecke [U‘rV‘‚] sei S.
4.
Im nächsten Schritt schlägt man einen Kreis t um S, so dass dieser durch den Mittelpunkt M
der Ellipse verläuft. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Geraden g definieren die
Punkte R und L.
R und L werden so gewählt, dass, vom Punkt S aus gesehen der Punkt R auf derselben Seite
wie U‘r liegt und L auf derselben Seite wie V'.
5.
Man zeichnet als Nächstes vom Punkt M aus zwei Geraden, eine durch R und die andere
durch L. Diese Geraden schneiden sich in M in einem rechten Winkel (da t ein zugehöriger
Thaleskreis ist).
Die Aussage der Rytzschen Achsenkonstruktion ist nun, dass die Ellipsenachsen auf den
Geraden durch M und R bzw. M und L liegen, und dass die Länge der Strecke [V'R] der Länge
a des Ellipsen-Hauptscheitels und [V'L] der Länge b des Ellipsen-Nebenscheitels entspricht.
6.
7.
Abb. 2: Konstruktion
Abb. 2: Konstruktion
Im letzten Schritt schlägt man daher zwei Kreise um M mit den Radien a und b. Man findet
die Hauptscheitelpunkte S1 und S2 im Abstand a von M auf der Geraden durch ML und
entsprechend die Nebenscheitelpunkte S3 und S4 im Abstand b von M auf der Geraden durch
MR.
RYTZsche Achsenkonstruktion - Begründung
•
Abb. 3 erläutert die Begründung der Konstruktion, mithilfe des
Hauptkreises kh und des Nebenkreises kn.
Gegeben sind die beiden konjugierten Durchmesser d`1 und d`2 (blau),
die sich im Mittelpunkt M der Ellipse schneiden.
1.
Die Punkte U' und V' seien Endpunkte von d`1 und d`2 , die sich im
Mittelpunkt M des Hauptkreises schneiden.
2.
Die Urbilder d1 und d2 (grün) von d`1 und d`2 bezüglich α sind damit
Kreisdurchmesser des Ellipsen-Hauptkreises kh.
3.
Aufgrund der Eigenschaft, dass d`1 und d`2 konjugierte Durchmesser sind,
stehen ihre Urbilder d1 und d2 aufeinander senkrecht.
4.
Das Urbild von U' bzw. V' bezüglich a sind die korrespondierenden Endpunkte U bzw. V
der Kreisdurchmesser d1 bzw. d2.
5.
Die Schnittpunkte der Kreisdurchmesser d1 bzw. d2 mit dem Nebenkreis kn der Ellipse
seien die Punkte Un bzw. Vn.
6.
Interessanterweise sind die Strecken [U U'] und [U' Un] parallel zu den Ellipsenachsen und
bilden daher einen rechten Winkel in U'. Gleiches gilt für die Strecken [V V'] und [V' Vn] im Punkt V'.
7.
Zu Beginn der Konstruktion sind nur die Punkte M, U' und V' gegeben. Weder die Urbilder d1 und d2
der konjugierten Durchmesser d`1 und d`2 , noch die Punkte U, Un, V und Vn sind bekannt, noch werden sie im Verlauf
der Konstruktion bestimmt. Sie sind lediglich für das Verständnis der Konstruktion wichtig. Wenn im weiteren Verlauf
der Beschreibung auf diese Punkte Bezug genommen wird, ist das zu verstehen als
„Wenn diese Punkte bekannt wären, dann würde man feststellen dass…“
Abb. 3: Begründung
der Konstruktion
RYTZsche Achsenkonstruktion - Begründungshintergrund
•
1.
Abb. 4 und 5 erläutern die Begründung der Konstruktion
Dreht man, wie in Abbildung 3 gezeigt, den Ellipsendurchmesser d`1 mitsamt
seinem Urbild d1 um 90° um den Mittelpunkt M in Richtung V', so kommen
die Urbilder d1 und d2 zur Deckung, und der gedrehte Punkt U fällt mit V
und Un mit Vn zusammen. Der Punkt U' geht in U'r über.
Aufgrund der Parallelität von [U' Un] und [Vn V'] mit einer Ellipsenachse
und der Parallelität von [U U'] und [V V'] mit der anderen Ellipsenachse
bilden die Punkte U'r, V, V' und Vn ein Rechteck, wie man in Abb. 4 sieht.
Von diesem Rechteck sind allerdings nur die Punkte V' und U'r bekannt.
Dies reicht aber aus, um seinen Diagonalenschnittpunkt zu finden.
2.
Der Diagonalenschnittpunkt S ergibt sich durch Halbierung der Diagonalen
[U'r V‚]. Die andere Diagonale liegt auf der Geraden durch M und S
(weil S der Diagonalenschnittpunkt ist und die Diagonale auf einem Durchmesser
des Hauptkreises liegen muss), allerdings sind ihre Endpunkte V und V' durch
die Konstruktion noch nicht identifiziert.
3.
Wichtig zum Finden der Ellipsenachsen ist aber lediglich, dass die Ellipsen-Hauptachse
eine Parallele zu [V' Vn] durch M ist und entsprechend die Ellipsen-Nebenachse eine
Parallele zu [U'r Vn] durch M ist.
4.
Verlängert man die bereits bekannte Diagonale [U'r V'] wie in Abb. 5, so schneidet
sie die Ellipsen-Hauptachse in einem Punkt L und die Ellipsen-Nebenachse
in R, und es entstehen gleichschenklige Dreiecke [SVn V'] und [SML]
in S (die Diagonalen teilen ein Rechteck in vier gleichschenklige Dreiecke,
plus Strahlensatz).
5.
Selbiges gilt für die Dreiecke [SVnU'r] und [SMR]. Diese Eigenschaft wird
für die Konstruktion der Punkte L und R ausgenutzt: Da die Länge der
Strecke [SM] gleich der Länge der Strecken [SL] bzw. [SR] sein muss,
findet man L bzw. R als Schnittpunkte eines Kreises um S mit Radius [SM].
Mit den Punkten L und R ist jetzt auch die Lage der Ellipsenachsen
bekannt (auf den Geraden durch M und L bzw. R). Es fehlen lediglich die
Scheitelpunkte.
Abb. 4:
Abb. 5:
RYTZsche Achsenkonstruktion - Scheitelpunkte
•
Abb. 6 erläutert die Identifikation der Scheitelpunkte
1.
Die Länge der Hauptachse a entspricht der Länge des Radius des Hauptkreises.
Die Länge der Nebenachse b ist gleich dem Radius des Nebenkreises.
Der Radius des Hauptkreises ist aber gleich der Länge der Strecke [MV]
und der Radius des Nebenkreises ist gleich der Länge der Strecke [MVn].
Zur Bestimmung von a und b muss die Lage der Punkte V und Vn nicht
konstruiert werden, da folgende Identitäten gelten:
2.
In der Konstruktion lässt sich also die Länge der Ellipsenachsen bereits ablesen: a =[R V']
und b = [V' L].
Mit dieser Information lassen sich der Haupt- und Nebenkreis der Ellipse einzeichnen.
Die Hauptscheitelpunkte S1 und S2 findet man als Schnittpunkte des Hauptkreises mit der
Ellipsen-Hauptachse.
Die Entscheidung, bei welcher der beiden gefundenen Achsen es sich um die Haupt- bzw. die
Nebenachse handelt, begründet sich wie folgt:
V' ist das Bild von V bezüglich der affinen Abbildung α, die den Ellipsen-Hauptkreis auf die
Ellipse abbildet.
Da es sich bei α um eine Kontraktion in Richtung der Hauptachse handelt, muss sich die
Hauptachse auf der V gegenüberliegenden Seite von d`2 befinden und daher durch den Punkt
L verlaufen, der auf der Seite des nicht gedrehten Ellipsendurchmessers d`2 liegt.
Dies ist unabhängig von der initialen Wahl der Punkte U' und V' . Entscheidend ist allein, dass
U' bei der Drehung um 90° auf V' zugedreht wird, da nur dann der Punkt S auf dem Urbild d2
des konjugierten Durchmessers d`2 liegt. Die Ellipsen-Hauptachse liegt dann von V' aus
betrachtet immer auf der S gegenüberliegenden Seite von d2.
3.
4.
5.
Abb. 6:
Zusammenfassung:RYTZsche Achsenkonstruktion
Im ersten Schritt wird U’ um den Mittelpunkt
M um 90° in Richtung V’ gedreht. Das
Ergebnis ist der Punkt Ur’. Die Punkte Ur’
und V’ definieren die Gerade g. Der
Mittelpunkt der Strecke Ur’V’ sei S.
Im nächsten Schritt schlägt man einen Kreis
t um S, so dass dieser durch den Mittelpunkt
M der Ellipse verläuft. Die Schnittpunkte
dieses Kreises mit der Geraden g definieren
die Punkte R und L.
R und L werden so gewählt, dass, vom Punkt
S aus gesehen der Punkt R auf derselben
Seite wie U'r liegt und L auf derselben Seite
wie V'.
Man zeichnet als nächstes vom Punkt M aus
zwei Geraden, eine durch R und die andere
durch L. Diese Geraden schneiden sich in M
in einem rechten Winkel (da t ein zugehöriger
Thaleskreis ist).
Die Aussage der Rytzschen
Achsenkonstruktion ist nun, dass die
Ellipsenachsen auf den Geraden durch M und
R bzw. M und L liegen, und dass die Länge
der Strecke V'R der Länge a des EllipsenHauptscheitels und V'L der Länge b des
Ellipsen-Nebenscheitels entspricht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Rytzsche_Achsenkonstruktion
Im letzten Schritt schlägt man daher zwei
Kreise um M mit den Radien a und b. Man
findet die Hauptscheitelpunkte S1 und S2 im
Abstand a von M auf der Geraden durch L
und entsprechend die Nebenscheitelpunkte
S3 und S4 im Abstand b von M auf der
geraden durch R.
RYTZsche Achsenkonstruktion
Ist k, also die Ellipse, nicht durch eine geg.perspektive Affinität aus einem Kreis k0 festgelegt, kann man die Konstruktion der Achsen
S1,S2;N1,N2 durch punktweise Konstruktion eines Paares konjugierter Durchmesser erzeugen
geg.: konjugierte Durchmesser PQ und
RS
k(S1,S2;N1,N2) = rytz(P, Q, R, S)
Ablauf:
km := kr(M, MQ)
Q*
N1
:= (M ⊥ PQ) ∩ km (d.h. MQ
um M mit 90° drehen)
v := R Q*
N := mpkt(R, Q*) (Mittelpunkt)
kn := kr(N, MN )
S
h
n
kn
P
M
V1
Q
m
S1
N2
R
km
v
N
h := V1M (die Hauptachse liegt im spitzen Winkel von PQ und RS)
n := V2M
S1,S2 ∈ h mit S1M = S 2 M = a = V1Q = V2 R
*
N1,N2 ∈ n mit N1M = N 2 M = b = V2Q = V1R
*
Q*
V2
S2
Darstellung von Kreisen / Normalrisse, d.h.
Parallelprojektion
Es sei k(Σ,M,r) ein Kreis mit der Trägerebene Σ, dem Mittelpunkt M ∈ Σ und dem Radius r. Die Senkrechte z =
M⊥ Σ ist die Kreisachse von k.
Zwei besondere Lagen ergeben sich, bei denen sich k kongruent als Kreis abbildet:
Σ 7 Π2
Σ 7 Π1
M‘‘
r
k‘‘
k‘‘
M‘‘
r
r
x12
M‘
k‘
r
x12
r
r
M‘
k‘
Bei allgemeiner Lage von Σ ergeben sich für die Darstellung von k‘ bzw. k‘‘ als Ellipsenpaar im Grund- und Aufriss:
Die Hauptachse A'B' von k‘ liegt auf der Höhengeraden h’ durch M’
Die Hauptachse P’’Q’’ von k‘‘ liegt auf der Frontgeraden v’’ durch M’’
Zweitafelprojektion eines Kreises
k = (k’, k’’) := kreis(Σ,M,r)
Ablauf:
h’’ := M’’ || x12
h’ := inz(h’’; h ⊂ Σ)
A’, B’ ∈ h’ mit M ' A ' = M ' B' = r
A’’ := ord(A’) ∩ h’’
(B’’ := ord(B’) ∩ h’’ nicht notwendig)
f1:=M'^h’
b1 := papk(A’,B’;Q’)
C’,D’e f1 mit C’D’=2b1
k’ := ell(A’,B’;C’,D’)
f2 =z''k''
R''
A''
h''
b2
s2
P''
s1
Ablauf alternativ:
v’ := M’ || x12
v’’ := inz(v’; v ⊂ Σ)
P’’, Q’’ ∈ v’’ mit M '' P '' = M '' Q '' = r
P’ = ord(P’’) ∩ v’
(oder Q’ = ord(Q’’) ∩ v’ )
f2:=M”^v”
b2 := papk(P’’,Q’’;A’’)
R’’,S’’e f2 mit R’’,S’’ =2b2
k’’ := ell(P’’,Q’’;R’’,S’’)
Q''
v''
S''
x12
f1=z'
k'
A'
B''
M''
M'
C'
Q'
P'
v'
b1
D'
B'
h'
Mit den Hauptscheiteln (A’,B’∈k’ bzw. P‘‘, Q‘‘∈k‘‘) und einem Ellipsenpunkt (P’∈k’ bzw. A‘‘∈k‘‘) ist eine Ellipse festgelegt,
die Nebenscheitel können mit der Papierstreifenkonstruktion daraus ermittelt werden.
Da die Achse z von k orthogonal zu Σ ist gilt jeweils z'^h’ und z’'^v’’, d.h. z’ fällt mit der Nebenachse von k’ und z’’ mit der von k’’ zusammen.
Perspektivische Darstellung eines Kreises
kc ist jeweils das perspektivische Bild eines Kreises k in der Ebene Σ.
Z ist das Projektionszentrum und Π die Bildebene.
Dann ist Πv = Z || Π die Verschwindungsebene. Die Punkte der Verschwindungsgeraden
v = Πv ∩ Σ gehen bei der Projektion aus Z in uneigentliche Punkte von Π über. In
Abhängigkeit von der Lage des Kreises k bezüglich v ist das Bild kc eine Ellipse, eine
Parabel oder eine Hyperbel.
Πv
Π
Π
Σ
Σ
Z
Z
k
v
Ellipse
k∩v=∅
kc
(k und v schneiden sich nicht,
Der Kreis liegt also voll im Blickwinkel)
v
kc
Z
k
T
Parabel
k∩v=T
(k berührt v in T )
kc
k
Σ
v U,V
Hyperbel
k ∩ v = {U,V}
Π
kc
(k schneidet v in U und V)