7 Üben X Wiederholung Klasse 6 101 7 Lösung X Wiederholung

Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung Klasse 6
101
Berechne jeweils den Termwert:
1
4
a) 0,7⋅2,56
b) 4 :
c) (- 6) : (- 0,25)
d)
9
14
e) 0,75 : 0,3
f)
24⋅0,0025
: (− 6 )
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung Klasse 6
101
a) 1,792
b) 16
c) 24
d)
3
− 28
e) 2,5
f)
0,06
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Wiederholung Klasse 6
102
Zeichne eine Zahlengerade mit Längeneinheit 2 cm und trage darauf die
Markierungen für die Zahlen − 2 35 , − 1 41 ,
2
3
, 2,5 und 0,6 ein. Wähle dann darunter
jeweils zwei Zahlen so aus, dass der Wert
a) ihrer Summe möglichst klein
b) ihrer Summe möglichst groß
b) ihrer Differenz möglichst klein
d) ihrer Differenz möglichst groß
e) ihres Produkts möglichst klein
f)
g) ihres Quotienten möglichst klein
h) ihres Quotienten möglichst groß
ihres Produkts möglichst groß
wird.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Wiederholung Klasse 6
102
-3
-2
-1
1
2
a)
(− 2 35 ) + (− 1 41 ) = −3 1720
b)
2,5 + 32 = 3 61
c)
− 2 35 − 2,5 = −5,1
d)
e)
(− 2 35 )⋅ 2,5 = −6 21
(− 2 35 ) : 0,6 = −4 31
f)
( )
(− 2 35 )⋅ (− 1 41 ) = 3 41
g)
2,5 − − 2 35 = 5,1
h) 2,5 : 0,6 = 4 61
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Wiederholung Klasse 6
103
Übertrage die Angaben in dein Heft und ergänze dort die fehlenden Zahlen für die
Leerstellen
a)
56 ⋅ ⋅ 57
⋅7 ⋅ 3
7
=
=
=
16 ⋅ 95 ⋅ 17
2 ⋅ ⋅1 10
10
b)
⋅65 ⋅
1⋅ 5 ⋅ 12
1 ⋅ 1⋅
=
=
=
85 ⋅ ⋅111 5 ⋅ 8 ⋅ 37 1⋅ ⋅37
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Wiederholung Klasse 6
103
a)
56 ⋅ 119 ⋅ 57 7 ⋅ 7 ⋅ 3 147
7
=
=
= 14
16 ⋅ 95 ⋅ 17
2 ⋅ 5 ⋅ 1 10
10
b)
17 ⋅ 65 ⋅ 36
1⋅ 5 ⋅ 12
1⋅ 1⋅ 3
3
=
=
=
85 ⋅ 104 ⋅ 111 5 ⋅ 8 ⋅ 37 1⋅ 2 ⋅ 37 74
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung Klasse 6
104
Wie viele Prozent der folgenden Figuren sind jeweils in einer Farbe bzw. weiß
dargestellt? (Schätze gegebenenfalls)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung Klasse 6
104
a)
rot: 25 %,
weiß: 10 %
blau: 65 %
b)
orange und violett: je 50 %
c)
grün: 37,5 %
weiß: 12,5 %
blau: 50 %
d)
violett: 25 %
grün: 12,5 %
gelb: 62,5 %
e)
blau: 75 %
weiß: 25 %
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung Klasse 6
105
Bei der Bürgermeisterwahl in Harberg wurden insgesamt 2150 gültige Stimmen
abgegeben. Das Diagramm zeigt, wie viele Stimmen auf die vier Kandidaten
Schrötter (S), Elfontaine (E), Murksel (M) und Frischer (F) entfielen.
a)
Wie viele Stimmen erhielt jeder der Kandidaten?
b)
Wie viele Prozent erhielten die beiden Kandidaten, die die meisten Stimmen
vereinigen konnten, zusammen?
E
M
S
F
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung Klasse 6
105
a)
Elfontaine. 10 % , 215 Stimmen
Schrötter: 30 % , 645 Stimmen
Murksel: 40 % , 860 Stimmen
Frischer: 20 %, 430 Stimmen
b)
Schrötter und Murksel erhielten zusammen 70 % der Stimmen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Wiederholung Klasse 6
106
In der Klasse 7 a war in der letzten Lateinschulaufgabe der Notendurchschnitt 3,3.
Dabei erhielten von 30 Schülern jeweils 10 % die Note 1 bzw. die Note 5. Ein Drittel
aller Schüler schaffte mindestens eine 2, während die Hälfte aller Schüler schlechter
als 3 war.
a) Finde durch Überlegen und Probieren heraus, wie die Notenverteilung war und
lege eine entsprechende Tabelle an.
b) Stelle die Notenverteilung in einem Säulen- und in einem Kreisdiagramm dar und
gib die Winkel im Kreisdiagramm an.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Wiederholung Klasse 6
106
3
5
60°
6
2
24°
a)
Note
Anzahl
Winkel
b)
1
3
36°
2
7
84°
4
10
48°
5
3
36°
12
10
6
1
5
8
6
2
4
4
2
3
0
1
2
3
4
5
6
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Wiederholung Klasse 6
109
Bestimme jeweils den Grundwert, den Prozentwert und den Prozentsatz des farbig
markierten Anteils:
2l
1,4 m
24 %
95 €
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Wiederholung Klasse 6
109
∧
∧
a) 76 % = 95 €
b) 1 = 2 dm
∧
1 % = 1,25 €
∧
100 % = 125 €
a) Grundwert: 125 €
b) Grundwert: 2 dm
c) Grundwert: 8 m
3
∧
3
c) 63 ° = 140 cm
∧
1
8
= 250 cm3
3
8
= 750 cm3
∧
1° =
∧
Prozentwert: 1,4 m
cm
∧
360° = 8 m
Prozentwert: 30 €
Prozentwert: 750 cm
20
9
Prozentsatz: 24 %
3
Prozentsatz: 37,5 %
Prozentsatz: 17,5 %
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung Klasse 6
110
In Mittelstadt beträgt der Preis für einen 5,55 a großen Bauplatz 149850 €.
2
a) Wie viel kostet ein 465 m großer Bauplatz bei gleichem Quadratmeterpreis?
b) In Vorstadt beträgt der Quadratmeterpreis nur 66 32 % des Preises von
Mittelstadt. Welche Fläche erhält man für 120960 €?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung Klasse 6
110
a) Quadratmeterpreis: 149850 € : 555 = 270 €
2
Preis für 465 m : 125550 €
2
b) Preis pro m in Vorstadt:
2
3
von 270 € = 180 €
Für 120960 € erhält man 120960 : 180 = 672 m
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Wiederholung Klasse 6
111
a) Gib die Abmessungen zweier verschiedener Parallelogramme an, die einen
Flächeninhalt von 80 a besitzen!
b) Beschreibe auch zwei verschiedene Trapeze, deren Flächeninhalt 42 cm
2
beträgt.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Wiederholung Klasse 6
111
a) Die Parallelogramme könnten die Grundlinie 160 m und die Höhe 50 m
besitzen oder die Grundlinie 80 m und die Höhe 100 m.
2
(Beachte: 80 a = 8000 m )
b) Die Trapeze könnten die Parallelseiten a = 8 m und c = 6 m sowie die Höhe
h = 6 m besitzen oder auch a = 12 m, b = 9 m und h = 4 m.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Achsensymmetrie
202
Hans sieht im Spiegel eine Uhr, die nur Markierungen, aber keine Ziffern auf ihrem
Zifferblatt hat . Wie spät ist es in Wirklichkeit, wenn die Uhr im Spiegel
a)
7:00 Uhr
b)
13:45 Uhr
c)
15:30 Uhr
anzeigt?
Berechne in den drei Fällen auch den kleineren der beiden Winkel, den großer und
kleiner Zeiger miteinander einschließen
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Achsensymmetrie
202
a) Es ist 5:00 Uhr oder 17:00 Uhr; der Winkel ist (360° : 12) ⋅ 5 = 150°
b) Es ist 10:15 Uhr oder 22:15 Uhr; der Winkel ist
30°⋅ 4 34 = 142,5°
c) Es ist 8:30 Uhr oder 20:30 Uhr; der Winkel ist 30°⋅2,5 = 75°
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Achsensymmetrie
204
Fragen zur Achsenspiegelung:
1) Die Achse einer Achsenspiegelung heißt Fixpunktgerade, Lote zur Achse heißen
dagegen Fixgeraden. Erkläre den Unterschied.
2) Die folgenden Aussagen sind falsch. Zeichne zu jeder Aussage ein
Gegenbeispiel.
a) Wenn sich zwei Geraden auf der Symmetrieachse schneiden, sind sie
symmetrisch.
b) Zwei Geraden, die zur Symmetrieachse parallel sind, sind symmetrisch.
c) Zwei Kreise mit gleichem Radius, deren Mittelpunkte von der Symmetrieachse
gleichen Abstand haben, sind symmetrisch.
3) Zwei Kreise k1(P;r1) und k2(Q/r2) sind zueinander symmetrisch bezüglich einer
Symmetrieachse a. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a) P = Q
b) Q ist symmetrisch zu P.
c) Die Kreise schneiden sich auf der Achse.
1)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Achsensymmetrie
204
Jeder Punkt der Achse wird auf sich selbst abgebildet und ist daher Fixpunkt. Bei den
Lotgeraden wird nicht jeder Punkt auf sich selbst abgebildet, aber die Geraden
insgesamt auf sich selbst.
2)
a) Zwei Geraden, bei denen die Achse nicht Winkelhalbierende ist, sind nicht
symmetrisch, auch wenn sie sich auf der Achse schneiden.
b) Parallelen zur Achse, die unterschiedlichen Abstand zu ihr haben, sind nicht
symmetrisch.
c) Die Mittelpunkte können so liegen, dass sie nicht zueinander symmetrisch sind.
3)
a) und c) sind falsch, b) ist richtig.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Achsensymmetrie
205
Gegeben sind die Punkte A(5/3), B(- 1/2) und C(3/- 2) sowie K(2/1).
a) Zeichne das Dreieck ABC und spiegle es an der Parallelen a zur y-Achse
durch den Punkt K. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte A’, B’ und C’ an
und ermittle die Koordinaten der Fixpunkte der Strecken [AB] und [BC].
b) Die Punkte O(0/0), P(5/-1), Q(- 6/2), R(2/5) und S(- 1/- 4) sollen nun an der
Achse aus a) gespiegelt werden. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte O’,
P’, Q’, R’ und S’ an ohne die Zeichnung durchzuführen.
c) Nun soll das Dreieck ABC an der Parallelen b zur x-Achse durch den Punkt K
gespiegelt werden. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte A“, B“ und C“ an
und ermittle die Koordinaten der Fixpunkte der Strecken [AC] und [BC].
d) Gib wieder ohne Zeichnung die Koordinaten der Spiegelpunkte O“, P“, Q“, R“
und S“ zu den Punkten aus b) an.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Achsensymmetrie
205
4
A'
B
A
3
B'
B
1
2
2
3
4
5
-1
6
-1
B"
a
C
K
1
2
3
4
5
-1
-2
C'
b
1
K
1
-2
A
3
2
-1
C"
4
6
A"
C
-3
a) A’(--31/3), B’(5/2), C’(1/- 2)
Fixpunkte (2/2,5) bzw. (2/1)
c) A“(5/- 1), B“(- 1/0), C“
Fixpunkte: (4,2/1) bzw. (0/1)
b) O’(4/0), P’(- 1/- 1), Q’(10/2),
R’(2/5), S’(5/- 4)
d) O“(0/2), P“(5/3), Q”(- 6/0)
R”(2/- 3), S“(- 1/6)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Achsensymmetrie
207
Nach dem Reflexionsgesetz für
P
Lichtstrahlen scheint ein Lichtstrahl, der
von einer Lichtquelle L kommt und an
A
einem Spiegel reflektiert wird, geradlinig
vom Spiegelpunkt L’ der Lichtquelle zu
verlaufen.
Du befindest dich in einem
Wand
Spiegelkabinett am Punkt A, dein Freund
am Punkt B. Über den Spiegel [PQ]
könnt ihr euch direkt in die Augen sehen;
d.h. dass ein Lichtstrahl von A über [PQ]
nach B verläuft und umgekehrt.
a) Ermittle mit Hilfe einer Zeichnung,
Q
auf welchen Punkt des Spiegels [PQ]
B
du schauen musst, damit du deinen
Freund siehst. Auf welchen Punkt
muss er schauen, damit er dich
S
sieht.
b) Auf welchen Punkt des Spiegels
[PQ] musst du schauen, damit du das Spiegelbild B’ deines Freundes im Spiegel [SQ]
sehen kannst?
Übertrage dazu die Zeichnung in dein Heft und konstruiere den Verlauf der Lichtstrahlen!
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Achsensymmetrie
207
P
A
A'
Wand
a
B
S
b
Q
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
301
Gegeben sind die Punkte A(2/4), B(5/4), C(5/9), D(2/6) und D’(10/2).
a) Zeichne diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.
b) Welche Art von Viereck bilden die Punkte ABCD?
c) Konstruiere das Bildviereck A’B’C’D’ zum Viereck ABCD, so dass D auf D’
abgebildet wird.
d) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD und gib den Flächeninhalt
des Vierecks A’B’C’D’ an.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
301
b) Das Viereck ist ein Trapez.
C
c) In der Zeichnung wurden die
Konstruktionslinien der
Punkte nicht mit eingezeichnet.
D
C'
d) A =
1
2
⋅(2+5)⋅3 = 10,5 (FE)
Das Viereck A’B’C’D’ hat
den gleichen Flächeninhalt,
B
A
da es deckungsgleich ist.
B'
D'
A'
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Konstrukt. zur Symmetrie
302
Gegeben sind die Punkte P(2/3) , Q(9/6) und P’(8/2) .
Konstruiere (mit Zirkel und Lineal) die Strecke, die zur Strecke [PQ] achsensymmetrisch ist, wenn P und P’ zueinander symmetrisch sind.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Konstrukt. zur Symmetrie
302
Zur Lösung musst Du mit der 1. Grundkonstruktion die Symmetrieachse zu P und P’
konstruieren und dann mit der 2. Grundkonstruktion den Bildpunkt von Q.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Konstrukt. zur Symmetrie
303
Die Punkte P(1/8) und Q(9/3) bestimmen die Symmetrieachse a.
Konstruiere das Spiegelbild des Kreises k um M(5/3) mit Radius 3 cm und markiere
in Deiner Zeichnung das Spiegelbild des Kreissegmentes, das von der Achse a vom
Kreis abgeschnitten wird.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Konstrukt. zur Symmetrie
303
P
M'
M
a
Q
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
304
Gegeben sind die Punkte P(2/1) , Q(8/8) , R(3/7) , S(7/6) , T(5/1) und U(1/6).
Es gelte: a = PQ , h = RS .
a) Konstruiere die zu h symmetrische Gerade h’ , wobei a die Symmetrieachse ist.
b) Konstruiere den zu T symmetrischen Punkt T’ bezüglich der Achse a.
c) Konstruiere den zum Winkel ∠URS symmetrischen Winkel bezüglich der
Achse a.
d) Konstruiere den zum Winkel ∠URS symmetrischen Winkel bezüglich der
Achse h.
e) Konstruiere die zur Geraden a symmetrische Gerade a’ bezüglich der Achse h.
f) Konstruiere den zum Kreis k(T/r = 2,5 cm) symmetrischen Kreis k’.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
304
a'
h'
Q
R
S'
S
U
h
T'
R'
a
P
T
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Konstrukt. zur Symmetrie
305
Zeichne die Punkte P(4/0) , Q(6/4) und S(1/4).
a) Konstruiere den zu P symmetrischen Punkt R bezüglich der Achse a = QS und gib
seine Koordinaten an.
b) Zeichne das Viereck PQRS. Es enthält die beiden Dreiecke PQR und PRS. Welche Eigenschaft haben diese beiden Dreiecke? Berechne den Flächeninhalt des
Vierecks PQRS.
c) Die Strecken [PS] und [QS] sind gleich lang. Begründe mit einer Eigenschaft der
Achsenspiegelung, dass die Symmetrieachse zu P und Q durch S gehen muss
und bestätige dies durch eine Konstruktion.
d) Warum muss die Symmetrieachse zu R und Q ebenfalls durch S gehen?
e) Welche besondere Eigenschaft hat der Punkt S folglich?
f) Zeichne einen Kreis k, auf dem die Punkte P , Q und R liegen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Konstrukt. zur Symmetrie
305
R
a) R(4/8)
b) PQ = QR und PS = RS . Man
nennt diese Dreiecke daher gleichschenklig. Außerdem ist Dreieck
PQS symmetrisch zum Dreieck
PRS.
Der Flächeninhalt der Dreiecke ist
10 FE, der des Vierecks ist 20 FE.
a Q
c) Achsenpunkte sind von zueinander
symmetrischen Punkten gleich weit
entfernt. Daher muss S auf der
Achse liegen.
S
P
d) SR = SP = SQ , daher gleiche
Begründung wie bei c).
e) S ist von P, Q und R gleich weit
entfernt und daher
f) Mittelpunkt des Kreises ist S.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Konstrukt. zur Symmetrie
306
Das Apachenmädchen „Schöne Augen“ wohnt im Dorf A(4/- 3), der Apachenjunge
Winnetou im Dorf B(1/3). Sie haben sich am Fluss (y-Achse) zum Angeln verabredet.
Wo müssen sie sich treffen, damit für beide der Weg gleich lang ist?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Konstrukt. zur Symmetrie
306
4
Der Treffpunkt ist der
Schnittpunkt der Symmetrieachse zu A und
B mit der y-Achse.
3
B
2
1
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
Treffpunkt
-2
-3
-4
A
6
7
8
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
307
Zeichne eine Gerade g und einen Punkt P außerhalb von g. Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal eine Parallele zu g durch P. Beschreibe deine Konstruktion.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
307
6
p
5
P
4
g
3
P'
2
1
Zuerst konstruiert
man das Lot von P
auf g.
Danach wird auf dem
Lot in P ein Lot errichtet. Dieses ist
dann die gesuchte
Parallele zu g.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
308
Gegeben sind die Punkte A(11/0) und B(0/8).
a) Spiegle den Punkt P(6/7) an der Achse a = AB.
b) Konstruiere das Lot l von Q(8/1) auf die Gerade PP’ .
c) Begründe, dass die Achse a und das Lot l parallel sind.
d) Konstruiere einen Kreis, der durch die Punkte P, P’ und Q verläuft.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
308
B
Die Zeichnung zeigt
zur Kontrolle die
P
Lage der Punkte.
Du musst die entsprechenden
Grundkonstruktionen verwenden. l ist
M
parallel zu a, da
a
P'
beide auf der Geraden PP’ senkrecht
l
Q
stehen.
A
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
309
Die Punkte A(5/1) , B(8/5) und C(2/7) bestimmen das Dreieck ABC.
a) Konstruiere die Parallele p zu AB durch C und die Parallele q zu CB durch A und
lies zur Kontrolle die Koordinaten des Schnittpunkts von p und q ab.
b) Konstruiere die Mittelparallele zu CB und q. Ermittle die Schnittpunkte dieser Mittelparallelen mit den Seiten des Dreiecks. Welche Bedeutung haben diese Punkte
für das Dreieck?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
309
9
8
7
C
6
5
B
4
p
S
P1
3
m
2
1
-3
-2
-1
A
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
q
6
7
8
9
10
11
P2
12
13
14
15
Die Konstruktion
der Parallelen
erfolgt wie in 307.
Zur Konstruktion
der Mittelparallelen wird in P1 das
Lot von A auf CB
gefällt und die
Symmetrieachse
zu P1 und dem
Schnittpunkt P2
des Lotes mit CB
konstruiert. Die
Mittelparallele
schneidet die
Dreiecksseiten in
ihren Mittelpunkten
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Konstrukt. zur Symmetrie
310
Zeichne einen Winkel ε = 103° und konstruiere dann nur mit Zirkel und Lineal folgende Winkel:
a)
α=
3
4
b) ß =
ε
3
2
ε
c)
γ=
5
8
ε
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Konstrukt. zur Symmetrie
310
Da die Durchführung mit
Dynageo sehr kompliziert aussieht, wird
hier nur die Zeichnung für ß = 1,5ε gezeigt.
Kontrolliere deine Ergebnisse durch Berechnen und Nachmessen der konstruierten Winkel.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Konstrukt. zur Symmetrie
311
Konstruiere folgende Winkel:
a)
157,5
b)
67,5
0
0
Kontrolliere Deine Ergebnisse durch Nachmessen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Konstrukt. zur Symmetrie
311
Lösungsmöglichkeiten:
0
0
a) 157,5 = 180 - 22,5
0
0
Den Winkel von 22,5 erhält man, indem man einen rechten Winkel zweimal halbiert.
0
0
0
0
0
b) 67,5 = 45 + 22,5 oder 67,5 = 90 - 22,5
0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
312
Konstruiere ein Quadrat, bei dem bekannt ist, dass die Diagonale [BD] eine Länge
von 7 cm hat. Beschreibe deine Konstruktion.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
312
C
D
B
A
Da die Diagonalen im
Quadrat auch Symmetrieachsen sind, konstruieren wir zuerst die
Symmetrieachse zu B
und D. Auf dieser liegen
die Ecken A und C.
Die Diagonalen eines
Quadrats sind gleich
lang und halbieren sich,
daher liegen die Ecken A
und C auch auf einem
Kreis um den Mittelpunkt
von [BD] durch B und D.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
313
Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von 30°.
Von einem Rechteck ABCD sind die Ecken B(10/3) und D(1/9) bekannt sowie der
Winkel ∠DBA = 30°.
Konstruiere das Rechteck nur mit Zirkel und Lineal. Der 30° - Winkel soll mit Zirkel
und Lineal übertragen werden.
Beschreibe deine Konstruktionsschritte.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
313
10
Der Punkt A liegt auf dem
freien Schenkel von ∠DBA
= 30° und dem Lot von D
auf diesen freien Schenkel.
Zur Konstruktion von C
muss man z.B. das Lot auf
DA in D und das Lot auf AB
in B errichten. (Die Konstruktionslinien dazu wurden in der Zeichnung nicht
eingetragen.)
C
D
9
8
7
6
5
4
3 A
B
2
1
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
314
Gegeben sind die Punkte M(3/2) , A(8/1) , B(5/7) und C(3/5) und der Kreis
k(M;r = 3 cm).
a) Konstruiere eine Gerade a derart, dass der Kreis und die Gerade AB bezüglich
der Achse a zu sich selbst symmetrisch sind.
b) Die Gerade h = BC schneidet den Kreis in einem weiteren Punkt D. Konstruiere
zunächst möglichst einfach die zur Geraden h bezüglich der Achse a symmetrische Gerade h’ und markiere dann die zu C und D symmetrischen Punkte
C’ und D’.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
314
B
C
D
M
A
B'
C'
D'
a) Die Achse a ist
die Lotgerade von
M auf h (rot; die
Konstruktionslinien
fehlen in der Zeichnung).
b) Die Gerade h’
verläuft durch den
Spiegelpunkt B’ von
B und den Schnittpunkt von h mit a.
Die Punkte C’ und
D’ sind die Schnittpunkte von h’ mit
dem Kreis.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Konstrukt. zur Symmetrie
315
Gegeben sind die Punkte P(1/1) , Q(3/5) , sowie die Gerade h = AB mit A(0/0) und
B(8/3). Die Strecke PQ soll mit einer Achsenspiegelung so abgebildet werden, dass
die Bildstrecke auf der Geraden h liegt. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten.
a) Konstruiere die beiden möglichen Symmetrieachsen und die Bildstrecken.
b) An der Zeichnung erkennst Du eine Möglichkeit, die Bildstrecken auch ohne
Konstruktion der Achsen zu finden. Beschreibe diese Möglichkeit.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Konstrukt. zur Symmetrie
315
Q
w2
w1
B
h
Q'
P
P"
Q"
P'
A
Die Endpunkte
der Bildstrecken liegen
auf Kreisen
um den
Schnittpunkt
der Geraden
h und der
Geraden PQ
durch P
bzw. Q.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
316
a) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt O(0/0) durch P(4/3).
b) Konstruiere die Tangente durch p an die Kreislinie.
c) Spiegle die Tangente an der y-Achse und begründe, dass auch die Bildgerade Tangente an die Kreislinie ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Konstrukt. zur Symmetrie
316
7
6
5
4
3
P'
P
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
6
7
Da der Kreis auch symmetrisch zur y-Achse
ist, sind alle Schnittpunkte des Kreises mit
der Tangente t symmetrisch zu den
Schnittpunkten des
Kreises mit der gespiegelten Tangente t’.
Daher hat t’ nur einen
gemeinsamen Punkt
mit dem Kreis und ist
folglich ebenfalls eine
Kreistangente im
Spiegelpunkt P’ von P.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Konstrukt. zur Symmetrie
317
Gegeben sind drei Geraden r, s und t, von denen keine zwei parallel sind.
Konstruiere ein Dreieck ABC, das drei Symmetrieachsen besitzt, von denen eine die
Gerade t ist, so dass die Punkte A auf r, B auf s und C auf t liegen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Konstrukt. zur Symmetrie
317
A und B liegen
symmetrisch bezüglich der Achse
t. Daher liegt B
auch auf der Bildgeraden r’ zu r
und A liegt auch
auf der Bildgeraden s’ zu s. Da
die Seiten des
Dreiecks gleich
lang sind, ist C
der Schnittpunkt
des Kreises um B
durch A mit t.
C
r
A
r'
s
B
t
s'
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Konstrukt. zur Symmetrie
318
Zeichne die Punkt P(6/2), Q(1/7) und M(5/- 2,5) in ein Koordinatensystem ein.
Konstruiere ein Quadrat ABCD so, dass A und C auf OP, D auf OQ und B auf dem
Kreis um M mit Radius 2,5 cm liegen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Konstrukt. zur Symmetrie
318
8
7
D1
Q
6
5
D
4
3
C1
2
-4
-3
A1
-2
A
-1
P
C
1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
B
M
-4
-5
B1
7
8
9
10
Wegen der Symmetrie
des Quadrats zur Diagonalen AC = OP liegt
D auf dem zum Kreis
um M symmetrischen
Kreis. Daher ist D der
Schnittpunkt von OQ
mit dem Bildkreis.
A und C findet man dann,
indem man einen
Kreis um den Schnittpunkt der
Diagonalen BD mit der
Geraden OP durch B
und D zeichnet.
Es gibt zwei Lösungen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Punktspiegelung
401
Gegeben sind die Punkte P(2/3) , Q(6/4) und R(4/7) . Bilde das Dreieck durch eine
Punktspiegelung ab, wenn
a) das Zentrum Z = A ist;
b) das Zentrum Z der Mittelpunkt von [BC] ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Punktspiegelung
401
C
M=Z
B
B'
A=Z
C'
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Punktspiegelung
402
Gegeben ist das Dreieck A(1/1) , B(6/0) und C(3,5/4) . Konstruiere das Bilddreieck
bei einer Punktspiegelung am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Punktspiegelung
402
C
B'
A'
Z
A
B
C'
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Punktspiegelung
403
Fragen zur Punktspiegelung:
a) Hat eine Punktspiegelung Fixpunkte, Fixgeraden bzw. Fixpunktgeraden. Falls ja,
welche sind das?
b) Entscheide, ob folgende Aussagen über die Punktspiegelung wahr oder falsch
sind:
1) Gerade und Bildgerade sind bei einer Punktspiegelung parallel.
2) Zu je zwei parallelen Geraden gibt es eine Punktspiegelung, die sie aufeinander abbildet.
3) Bei einer Punktspiegelung an einem festen Zentrum Z gilt für je zwei parallele
Geraden, dass sie aufeinander abgebildet werden.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Punktspiegelung
403
a) Einziger Fixpunkt ist das Zentrum, es gibt keine Fixpunktgerade, aber alle Geraden durch Z sind Fixgeraden.
b) 1) wahr;
2) wahr; das Zentrum liegt auf der Mittelparallelen;
3) falsch.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Punktspiegelung
404
Entscheide bei folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind:
a) Zwei parallele Geraden sind immer punktsymmetrisch.
b) Zwei parallele Geraden besitzen immer genau eine Symmetrieachse.
c) Zwei sich schneidende Geraden sind immer achsensymmetrisch.
d) Zwei sich schneidende Geraden sind immer punktsymmetrisch.
e) Zwei Kreise mit gleichem Radius bilden immer eine achsensymmetrische Figur.
f) Zwei Kreise mit gleichem Radius bilden immer eine punktsymmetrische Figur.
Überlege dir bei den richtigen Aussagen auch, wie die Achse verläuft bzw. wo das
Symmetriezentrum liegt.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Punktspiegelung
404
Alle Aussagen mit Ausnahme von b sind richtig.
a) Jeder beliebige Punkt auf der Mittelparallelen ist Zentrum.
c) Die Winkelhalbierenden sind die Symmetrieachsen.
d) Der Schnittpunkt der Geraden ist Symmetriezentrum.
e) Die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte ist Achse.
f) Der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Kreismittelpunkte ist Zentrum.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Punktspiegelung
405
Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(4/- 3), B(2/2) und C(-3/0). Konstruiere das dazu
punktsymmetrische Dreieck A’B’C’, wenn der Punkt A’ die Koordinaten (-2/2) hat.
Gib die Koordinaten der zu konstruierenden Punkte an.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Punktspiegelung
405
3
A'
B
2
1
-3
C
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
Z
C'
-2
-3
B'
-4
6
A
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Punktspiegelung
406
Zeichne die Punkte R(3/1), A(5/2), P(3/3), I(2/5), D(1/3) und P’(1/1) in ein Koordinatensystem ein. Dabei ist P’ der Spiegelpunkt von P bei einer Punktspiegelung am
Zentrum Z.
a)
Konstruiere Z und die Spiegelpunkte R’, A’, I’ und D’.
b)
Zeichne das Achteck RAPIDA’P’I’ und markiere darin mit Farbe zwei zueinander punktsymmetrische Strecken und zwei zueinander punktsymmetrische überstumpfe Winkel.
c)
Ermittle den Flächeninhalt des Achtecks RAPIDA’P’I’ .
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Punktspiegelung
406
b) Die Winkel ARI’ und A’R’I sind z.B.
punktsymmetrisch und überstumpf.
6
I
5
4
D R'
3
A'
P
2
1
-1
Z
A
R
P'
1
-1
c) Das Viereck lässt sich aus dem Quadrat
P’RPR’ und vier Dreiecken, die so groß
sind wie das Dreieck PRA zusammensetzen. Also hat es den Flächeninhalt
A = 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 21 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 FE
2
3
I'
4
5
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Punktspiegelung
407
1) Wo liegen die Zentren einer Punktspiegelung, die einen Kreis so abbildet, dass
der Bildkreis den ursprünglichen Kreis berührt?
2) Gegeben ist nun der Kreis k um M(4/3) mit Radius r = 2 cm. Konstruiere die beiden Zentren Z1 und Z2 so, dass der Bildkreis bei einer Punktspiegelung an Z1
bzw. Z2 sowohl den Kreis k wie auch die RW-Achse berührt. Zeichne auch die
Bildkreise ein.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Punktspiegelung
407
1) Mögliche Zentren
sind alle Punkte der
Kreislinie.
M
Z2
M2
Z1
M1
2) Zuerst sind die
Mittelpunkte der
beiden Kreise zu
konstruieren. Sie
liegen auf einem
Kreis um M mit Radius 4 cm und auf
einer Parallelen zur
RW-Achse im Abstand 2 cm. Die
Zentren sind die
Schnittpunkte der
Verbindungen der
Mittelpunkte mit der
Kreislinie k.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Punktspiegelung
408
Zeichne die Strecken [AB] und [A’B’] mit A(-4/3), B(- 4/- 1), A’(4/- 3) und B’(4/1) in ein
Koordinatensystem ein. Sie sind punktsymmetrisch bezüglich des Zentrums Z(0/0).
a) Wie ändert sich die Lage der Strecke [A’B’], wenn man die Strecke [AB] fest
lässt und das Zentrum Z um 1 LE, 2 LE, … in x-Richtung verschiebt?
b) Wie ändert sich die Lage der Strecke [A’B’], wenn man die Strecke [AB] fest
lässt und das Zentrum Z um 1 LE, 2 LE, … in y-Richtung verschiebt?
Begründe deine Überlegungen!
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Punktspiegelung
408
a) Mit jeder Längeneinheit, um die das Zentrum nach rechts verschoben wird,
verschiebt sich die Strecke [A’B’] um 2 LE nach rechts, denn das Zentrum
liegt immer in der Mitte der Strecke [AA’], und wenn sich die Mitte um eine LE
verschiebt, muss sich das Ende der Strecke um 2 LE verschieben.
b) Dabei verschiebt sich die Strecke [A’B’] um doppelt so viele Längeneinheiten
nach oben wie das Zentrum nach oben verschoben wird.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Punktspiegelung)
409
1. Teilbarkeit:
Welche der Zahlen 325, 954, 1005, 452, 546762 bzw. 10100019 sind durch 3
bzw. durch 6 bzw. durch 9 teilbar?
2. Primzahlen und Quadratzahlen:
Welche der Zahlen 1, 53, 169, 101, 64, 27, 289 bzw. 79 sind Quadratzahlen,
welche sind Primzahlen?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Punktspiegelung)
409
1. Regeln für die Teilbarkeit:
Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar
ist. Sie ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade ist und durch 3 teilbar ist.
Durch 3 teilbar sind: 954, 1005, 546762, 10100019;
durch 9 teilbar ist: 954
durch 6 teilbar sind 954 und 546762
2. Primzahlen sind: 53, 101, 79
Quadratzahlen sind: 1, 169, 64 und 289
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Punktspiegelung)
410
1. Wie viele verschiedene sechsstellige ungerade natürliche Zahlen besitzen
den Quersummenwert 3?
2. Wie viele verschiedene sechsstellige natürliche Zahlen besitzen den Quersummenwert 53? Gib alle an!
3. Wie viele verschiedene vierstellige ganze Zahlen kannst du aus den Ziffern 0,
1, 2 und 3 bilden, wobei die Ziffern beliebig oft vorkommen dürfen?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Punktspiegelung)
410
1. In der Zahl dürfen entweder 3 Ziffern 1 oder eine Ziffer 1 und eine Ziffer 2 vorkommen. Alle anderen Ziffern müssen 0 sein, die weder vorne noch hinten
stehen dürfen. Die Zahlen haben entweder das Aussehen 1XXXX1 oder
200001, wobei eines der X durch 1 zu ersetzen ist. Es gibt also 5 Zahlen, die
die Bedingung erfüllen.
2. Um bei 6 Ziffern auf eine Quersumme von 53 zu kommen, müssen 5 Ziffern 9
sein und eine 8 vorkommen. Daher gibt es 6 verschiedene Zahlen, die die
Bedingung erfüllen.
3. Es gibt für die Tausenderstelle 3 Möglichkeiten (1 oder 2 oder 3), für jede andere Stelle 4 Möglichkeiten, also gibt es 3⋅4⋅4⋅4 = 192 verschiedene Zahlen.
(Zählprinzip)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Symmetrische Vierecke
501
Gib zu jeder Teilaufgabe alle Vierecke an, die die genannten Eigenschaften besitzen:
a) Alle Seiten sind gleich lang.
b) Je zwei Gegenseiten sind gleich lang.
c) Zwei Gegenseiten sind gleich lang.
d) Je zwei aneinander stoßende Seiten sind gleich lang.
e) Alle Winkel sind gleich groß.
f)
Je zwei Gegenwinkel sind gleich groß.
g) Zwei Gegenwinkel sind gleich groß.
h) Je zwei benachbarte Winkel sind gleich groß.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Symmetrische Vierecke
501
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Raute, Quadrat
Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck
Gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck
Drachenviereck, Quadrat
Quadrat, Rechteck
Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck
Drachenviereck, Parallelogramm, Raute
Gleichschenkliges Trapez, Quadrat, Rechteck
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Symmetrische Vierecke
502
Gib zu jeder Teilaufgabe alle Vierecke an, die die genannten Eigenschaften besitzen:
a) Das Viereck ist achsensymmetrisch.
b) Das Viereck ist punktsymmetrisch.
c) Das Viereck besitzt genau eine Symmetrieachse.
d) Das Viereck besitzt genau zwei Symmetrieachsen.
e) Genau eine Diagonale des Vierecks ist Symmetrieachse.
f)
Die Diagonalen halbieren sich.
g) Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Symmetrische Vierecke
502
a) Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, gleichschenkliges Trapez
b) Parallelogramm, Quadrat, Raute, Rechteck
c) Drachenviereck, gleichschenkliges Trapez
d) Rechteck, Raute
e) Drachenviereck
f)
Parallelogramm, Quadrat, Rechteck, Raute
g) Quadrat, Raute, Drachenviereck
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Symmetrische Vierecke
503
Steckbrief: Welches Viereck wird jeweils gesucht?
a) Ein Viereck, bei dem nur zwei Gegenseiten parallel und die beiden anderen
Seiten gleich lang sind.
b) Ein Viereck, das zugleich Rechteck und Raute ist.
c) Ein Viereck, das punktsymmetrisch bezüglich seines Diagonalenschnittpunkts
ist.
d) Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren und gleich lang
sind.
e) Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren und aufeinander
senkrecht stehen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Symmetrische Vierecke
503
a)
gleichschenkliges Trapez
b)
Quadrat
c)
Parallelogramm, Quadrat, Rechteck
d)
Quadrat, Rechteck
e)
Quadrat, Raute
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Symmetrische Vierecke
504
Gib zu jeder der Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist. Zeichne zu jeder falschen
Aussage ein Gegenbeispiel:
a) Ein Trapez, in dem sich die Diagonalen gegenseitig halbieren, ist ein Rechteck.
b) Ein Trapez, bei dem alle Seiten gleich lang sind, ist eine Raute.
c) Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch.
d) Jedes punktsymmetrische Viereck ist ein Parallelogramm.
e) Jedes Rechteck besitzt zwei gleich lange Diagonalen.
f) Jedes Viereck, das zwei gleich lange Diagonalen besitzt, ist ein Rechteck.
g) Bei einem Drachenviereck halbieren die Diagonalen die Winkel.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Symmetrische Vierecke
504
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Richtig
Richtig
Richtig
Richtig
Richtig
Falsch; Gegenbeispiel: gleichschenkliges Trapez
Falsch; Gegenbeispiel: ein Drachenviereck, bei dem die Diagonalen nicht
gleich lang sind.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Symmetrische Vierecke
505
Die Punkte A(1/- 1), B(4/0) und D(0/2) sind Eckpunkte einer Raute ABCD. Konstruiere die Ecke C und gib ihre Koordinaten sowie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts M an.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Symmetrische Vierecke
505
4
C
3
D
C(3/3), M(2/1)
2
1
-1
1
-1
A
2
3
4B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Symmetrische Vierecke
506
Die Punkte P(1/1) und Q(3/- 1) sind die Mittelpunkte der Seiten [AB] und [BC] des
Quadrates ABCD. Konstruiere die vier Eckpunkte und gib an, wie viel Prozent der
Fläche des Quadrats im IV. Quadranten liegen.
Fertige eine Planfigur und beschreibe deine Konstruktion!
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Symmetrische Vierecke
506
4
A
3
D
2
1
M
1
-1
-2
B
2
3
4
N
5
6
C
Man erhält B, indem man z.B. an
die Strecke [MN] in M und N
jeweils einen 45°-Winkel anträgt. Die freien Schenkel
schneiden sich im Punkt B. A
liegt auf der Halbgeraden [BM
und Kreis um M durch B; C
erhält man entsprechend. D
ist z.B. der Schnittpunkt der
Lote auf AB in A und BC in C.
25 % der Fläche des Quadrats
liegen im IV. Quadranten.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Symmetrische Vierecke
507
Konstruiere das Drachenviereck ABCD mit A(2/5), C(- 1,5/1,5) und D(?/- 1), wenn
gilt: BD = 8 cm. Die Symmetrieachse des Drachenvierecks ist BD.
Beschreibe deine Konstruktion.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Symmetrische Vierecke
507
D liegt auf der Symmetrieachse zu [AC] und auf
der Parallelen zur xAchse durch den Punkt
(0/-1).
B liegt auf der Symmetrieachse zu [AC] und dem
Kreis um D mit Radius
8.
6
B
5
A
4
3
2
C
-2
1
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
D
6
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Symmetrische Vierecke
508
Zeichne das Schrägbild eines Würfels ABCDEFGH der Kantenlänge a = 4 cm. Dabei
sollen die nach hinten verlaufenden Würfelkanten in halber Länge schräg unter einem Winkel von 45° angetragen werden.
Um welche Art von Viereck handelt es sich beim Viereck ABGH? Zeichne das Viereck in wahrer Größe.
Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt des Vierecks ABGH ungefähr größer als
der des Quadrates ABCD?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Symmetrische Vierecke
508
H
E
G
F
D
A
C
B
Das Viereck ABGH erscheint in der
Zeichnung verzerrt. In Wirklichkeit
ist es ein Recheck, wobei [BG]
bzw. [AH] ebenso lang sind wie die
Strecke [AF] in der Zeichnung, also ungefähr 5,6 cm. (Mit Hilfe des
Satzes von Pythagoras kann man
diese Streckenlänge auch berechnen.)
Die Flächeninhalte betragen:
AABCD = 16 cm2,
AABGH ≈ 22,4 cm2
Das Viereck ABGH ist damit um
ungefähr 40 % größer als das
Viereck ABCD.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Symmetrische Vierecke)
509
Bruchrechnen:
Berechne:
a)
3 25
⋅
5 18
b) 1,25 :
d)
4 21 ⋅ 0,2
e)
4
7
3
4
: 16
c) 1 52 : 0,3
f)
18 : 2 41
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Symmetrische Vierecke)
509
a)
5
6
b)
5
2
=1
3
3
c)
14
2
=4
3
3
d)
9
= 0,9
10
e)
1
28
f)
8
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Symmetrische Vierecke)
510
Bruchrechnen:
Berechne:
a)
− 4 52 + 6,1 − 7 34
b)
1 54 − 3, 3 + 1 56
c)
6 32 : 2 − 5 34 ⋅ 2
d)
5 41 : (− 1,5 ) + (− 4,5 ) ⋅ − 32
( )
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Symmetrische Vierecke)
510
a)
1
… = - 4,4 + 6,1 – 7,75 = 6,1 – 12,15 = - 6,05 = 6 20
b)
… = 1 24
+ 1 25
− 3 10
= 3 19
− 3 10
=
30
30
30
30
30
c)
… = 3 31 − 10 32 = 3 62 − 11 36 = −8 61
d)
…=
21 ⋅
4
9
30
=
(− 32 ) + (− 92 )⋅ (− 32 ) = − 72 + 3 = − 21
3
10
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Symmetrische Vierecke)
511
Bruchrechnen:
1. Welche Zahl muss für das Kästchen
eingesetzt werden, damit die Glei-
chung richtig ist?
(31 − 51 ) −
= − 61
{
}
3 1
2. Wähle aus der Menge der Zahlen − 6;−1,5;− 10
; 3 ;18 zwei Zahlen so aus,
dass ihr Quotient
a)
den kleinstmöglichen Wert
b)
den größtmöglichen Wert annimmt!
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Symmetrische Vierecke)
511
1. Der Hauptnenner aller Brüche ist 30:
10
5
− 6 − = − 30
30 30
(
)
4
30
=
5
− = − 30
9
30
=
3
10
2. a) Der kleinstmögliche Wert ist negativ. Dafür müssen Divisor und Dividend
verschiedene Vorzeichen haben, und der Betrag des Dividenden möglichst
groß und der des Divisors möglichst klein sein:
3
18 : − 10
= −60
( )
b) Der größtmögliche Wert ist positiv. Dafür müssen beide Zahlen gleiches
Vorzeichen besitzen, und der Betrag des Dividenden muss möglichst groß
und der des Divisors möglichst klein sein.
18 : 31 = 54
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung: Winkel
601
Ein Gemeindegebiet hat eine Fläche von
480 ha. In der Zeichnung ist dabei der
Anteil des Waldes dunkelgrün, der der
Wiesen hellgrün, der der Häuser rot, der
des Ackerlandes blau und sonstige
Flächen gelb dargestellt. Miss die Winkel
und gib die Größe der jeweiligen Fläche
an.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung: Winkel
601
135 3
= der Gesamtfläche = 180 ha
360 8
1
0
Wiese: 60 entspricht
der Gesamtfläche = 80 ha
6
1
0
Ackerland: 90 entspricht
der Gesamtfläche = 120 ha
4
1
0
Häuser: 45 entspricht
der Gesamtfläche = 60 ha
8
1
0
Sonstiges: 30 entspricht
der Gesamtfläche = 40 ha
12
1. Wald: 1350 entspricht
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung: Winkel
602
0
0
Zeichne die Winkel α = 48 und ß = 35 mit dem Winkelmesser. Konstruiere durch
Winkelübertragung mit Zirkel und Lineal folgende Winkel:
a)
b)
2α
3ß
c)
3ß - α
d)
3ß + 2α
Miss zur Kontrolle die von Dir konstruierten Winkel nach!
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung: Winkel
602
rechnerische Lösungen:
a)
96
0
b)
105
0
0
c)
57
0
d)
(Abweichungen um bis zu 3 in Deiner Zeichnung sind vertretbar.)
201
0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung: Winkel
603
0
0
Die Winkel α = 137 17“ und ß = 81 20’ 55“ sind gegeben. Berechne
a) α + ß
b) α - ß
0
0
c) 180 - α
d) 90 - ß
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung: Winkel
603
a)
α + ß = 2180 21’ 12“
c)
180 - α = 42 59’ 43“
0
b)
α - ß = 550 39’ 22“
d)
90 - ß = 8 39’ 5“
0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Wiederholung: Winkel
604
1. Rechne folgende Winkel um in eine Angabe aus Grad, Minuten und Sekunden:
a)
53,43
0
b)
78,78
0
2. Ermittle die dezimale Schreibweise folgender Winkel:
0
a)
72 51’
0
b)
24 16’ 12“
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Wiederholung: Winkel
604
0
1
⋅ 60' = 6'
10
0
0,01 =
1
⋅ 3600" = 36"
100
1.
0,1 =
a)
53,43 = 53 0 + 4 ⋅ 6' +3 ⋅ 36" = 53 0 + 24' +108" = 53 0 25' 48"
b)
78,78 = 78 0 + 7 ⋅ 6' +8 ⋅ 36" = 78 0 + 42' +288" = 78 0 46' 48"
2.
a)
72 51’ = 720 +
b)
16
12
4
1
81
24 16’ 12“ = 24 +
+
= 24 0 +
+
= 24 0 +
=
60
3600
15
300
300
0
0
0
0
0
51
17
= 720 +
= 72,850
60
20
0
0
0
0
27
= 24 +
= 24 ,270
100
0
0
0
0
0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung: Winkel
605
1. Gib in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden an (Beispiel: 75´ = 1°15´):
a) 90´
b) 120´
c) 400´´
d) 5° 140´
e) 3600“
2. Schreibe in der kleineren Einheit (Beispiel: 1° 12´ = 72´ ):
a) 3° 30´
b) 11°40´
c) 6´ 7´´
d) 2° 8´ 50´´
e) 15° 10´ 20´´
f) 90° 30“
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung: Winkel
605
1. a) 1° 30´
b) 2°
c) 6´ 40´´
d) 5° + 2° 20´ = 7° 20´
e) 60´ = 1°
2. a) 210´
b) 660´ + 40´ = 700´
c) 367´´
d) 120´ + 8´ 50´´ = 128´ 50´´ = 7730´´ oder 120´ + 530´´ = 7200´ + 530´´ = 7730´´
e) 900´ + 10´ 20´´ = 910´ 20´´ = 54600´´ + 20´´ = 54620´´
f) 5400´ + 30´´ = 324 000´´ + 30´´ = 324 030´´
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung: Winkel
606
1. Gib in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden an (Beispiel: 75´ = 1°15´):
a) 10 000´
b) 1 234´´
c) 58´ 243´´
d) 23° 57´ 180´´
e) 99° 111´ 22 222´´
2. Schreibe in der kleineren Einheit (Beispiel: 1° 12´ = 72´ ):
a) 3° 30´´
b) 110°40´
c) 60´ 7´´
d) 12° 98´ 50´´
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung: Winkel
606
1. a) 166° 40´
b) 20´ 34´´
c) 1° 2´ 3´´
d) 24°
e) 107° 1´ 22´´
2. a) 180´ 30´´ = 10 830´´
b) 6 640´
c) 3607´´
d) 49 130´´
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Wiederholung: Winkel
607
Berechne die Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger einer Uhr
einschließen, wenn es
a)
13.00 Uhr
b)
19.00 Uhr
c)
9.30 Uhr
d)
8.45 Uhr
e)
16.10 Uhr
f)
11.11 Uhr ist
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Wiederholung: Winkel
607
Hinweis: Wenn der Stundenzeiger um 1 Stunde weiterwandert, entspricht das 30°. Der Minutenzeiger wandert in
1 Minute um 6°.
a)
b)
c)
d)
Der Minutenzeiger zeigt auf 12, der Stundenzeiger steht auf 1. Der Winkel ist also 30°.
Der Minutenzeiger zeigt auf 12, der Stundenzeiger zeigt auf 7. Der Winkel ist also
5•30° = 150°.
Der Minutenzeiger zeigt auf 6, der Stundenzeiger steht in der Mitte zwischen 9 und 10.
Der Winkel ist also 3•30° + 15° = 105°.
Der Minutenzeiger steht 9, der Stundenzeiger ist um
Der Winkel ist also
e)
15 1
= von 30° von der 9 entfernt.
60 4
1
von 30° = 7,5°.
4
Der Minutenzeiger steht auf der 2. Der Stundenzeiger steht zwischen 4 und 5 und ist um
10 1
= von 30 ° von der 4 weitergerückt. Der Winkel ist also 2•30° + 5° = 65°.
60 6
f)
Der Minutenzeiger steht 1•6° nach der 2, der Stundenzeiger ist von der 11 um 11•0,5°
weitergerückt. Der Winkel ist also 3•30° + 6° - 11•0,5° = 90,5°.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Wiederholung: Winkel
608
Berechne die Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger einer Uhr
einschließen, wenn es
a)
14.30 Uhr
b)
23.15 Uhr
c)
16.40 Uhr
d)
7.23 Uhr ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Wiederholung: Winkel
608
a) Der Minutenzeiger zeigt auf 6, der Stundenzeiger steht in der Mitte zwischen 2
0
und 3. Der Winkel ist also 3 ⋅ 30 0 + 150 = 105 .
15 1
0
= von 30 von 11
60 4
0
0
0
weitergerückt. Der Winkel ist also 3 ⋅ 30 + 22,5 = 112,5 .
b) Der Minutenzeiger zeigt auf 3, der Stundenzeiger ist um
c) Der Minutenzeiger zeigt auf 8, der Stundenzeiger steht zwischen 4 und 5 und ist
40 2
0
0
um
= von 30 von 4 weitergerückt. Der Winkel ist also 4 ⋅ 30 0 − 20 0 = 100 .
60 3
d) Der Minutenzeiger steht 7 ⋅ 6 0 vor der 6, der Stundenzeiger ist von 7 um 23 ⋅ 0,5 0
0
0
0
0
weitergerückt. Der Winkel ist also 42 + 30 + 11,5 = 83,5
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung: Winkel
609
1. Übertrage die Figur in dein Heft und trage mit farbigen Kreisbögen
folgende Winkel ein:
< (g,h), < (h,k), < (k,l), < (l,h), < (h,g), < (k,h).
h
k
g
l
2. Übertrage die Figur in dein Heft und trage mit farbigen Kreisbögen
folgende Winkel ein:
< ABC, < BCD, < CDE,
F
< EDF, <EDC, <ABD
D
C
E
A
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung: Winkel
609
F
h
< (k,h)
< (h,g)
k
< BCD
D
C
< EDF
< (g,h)
g
< (h,k)
< CDE
< EDC
< (l,h)
E
< (k,l)
l
A
B
< ABC
< ABD
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Wiederholung: Winkel
610
1. Notiere die in der Abbildung eingezeichneten Winkel mit Hilfe der angegebenen
Punkte oder Schenkel:
D
E
C
B
A
2. Notiere die in der Abbildung eingezeichneten Winkel mit Hilfe der angegebenen
Punkte oder Schenkel:
m
A
k
l
g
h
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Wiederholung: Winkel
610
1.
rot:
< BEC
blau: < ECB
grün: < BAD
violett: < CBE
2.
rot:
< (m,k)
blau: < (l,k)
gelb: < (g,l)
grün: < (k,g)
violett: < (h,m)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Wiederholung: Winkel
611
1. Gegeben ist der Winkel a = 70° und eine Halbgerade [SX. Übertrage a so, dass
S der Scheitel und [SX
a) der erste Schenkel
b) der zweite Schenkel
ist.
A
X
a
S
2. Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von
a) 135°
b) 220°.
Übertrage die Winkel in ein Koordinatensystem so, dass der erste Schenkel mit
[ST zusammenfällt, wenn S (1|1) und T(5|2) ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Wiederholung: Winkel
611
A
a1
X
a
S
220.0 °
135.0 °
T
S
a2
P
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Wiederholung: Winkel
612
1. Zeichne ein beliebiges Dreieck mit 3 spitzen Winkeln („spitzwinkliges Dreieck“).
Addiere zeichnerisch die 3 Innenwinkel dieses Dreiecks und notiere die Größe
die entstandenen Winkels.
2. Zeichne ein beliebiges Dreieck mit 1 stumpfen Winkel („stumpfwinkliges
Dreieck“). Addiere zeichnerisch die 3 Innenwinkel dieses Dreiecks und notiere
die Größe die entstandenen Winkels. Was fällt auf, wenn du die Ergebnisse aus
1. und 2. vergleichst?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Wiederholung: Winkel
612
1. und 2.: Größe des neuen Winkels jeweils 180°. (Ungenauigkeiten bis 3° erlaubt!)
Hinweis: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt stets 180°!
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Winkel an Geradenkreuzungen
701
0
In nebenstehender Skizze ist α = 38 27’
a) Gib α in dezimaler Schreibweise an.
b) Berechne die Winkel ß , γ und δ .
δ
γ
α
ß
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Winkel an Geradenkreuzungen
701
0
a)
b)
0
27
9
= 38
= 38 ,45 0
60
20
ß = 1800 - 900 - 38,450 = 51,550
α = 38 o +
γ = α (Scheitelwinkel)
δ = 1800 - γ = 141,550
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Winkel an Geradenkreuzungen
702
In der Skizze (nicht maßstabsgetreu) sind die Winkel α1 + ß1 = 88° und
α2 + γ2 = 134°. Berechne alle Winkel!
γ1
α2
ß1
ß2
α1
γ2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Winkel an Geradenkreuzungen
702
Es ist: α1 + ß1 + γ1 = 180°.
Außerdem ist α1 + ß1 + α2 + γ2 = 88° + 134° = 222° und γ2 = γ1 .(Scheitelwinkel)
Daher muss α2 = 42° sein.
α1 = 42°, da Scheitelwinkel zu α2.
ß1 = 46° = ß2 und
γ1 = γ2 = 92°
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkel an Geradenkreuzungen
703
Gegeben ist die skizzierte Geradenkreuzung der vier Geraden g, h, s und t. Dabei
sind die Geraden g und h parallel.
a) Gib alle Winkel an, die so groß sind wie α1 . (Gib als Begründung das verwendete
Winkelgesetz in einem Stichwort an.)
0
b) Nun ist weiter bekannt, dass α2 dreimal so groß ist wie α1 . Außerdem ist γ3 = 72 .
Berechne die Winkel α1 , α2 , α6 und β3 .
ß4
ß1
ß3
γ4
ß2
γ3
α2
α1
α6
γ1
h
γ2
α3
α4
g
α5
s
t
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkel an Geradenkreuzungen
703
a)
α4 (Scheitelwinkel), ß2 (Wechselwinkel) und ß4 (Stufenwinkel)
b)
α1 + α2 = 1800 − 720 = 1080 (Nachbarwinkel zu γ3 )
α2 = 3α1 ⇒ α1 = 1080 : 4 = 270 ⇒ α2 = 810
α6 = γ3 = 720 (Stufenwinkel)
ß3 = 1800 - α1 = 1530 (Nachbarwinkel)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkel an Geradenkreuzungen
704
In der Figur gilt: g // h , α = 53,50 ,
h
ß
0
δ = 112,1 . Berechne ß .
δ
112.1 °
53.5 °
α
g
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkel an Geradenkreuzungen
704
ß = δ − α = 112,10 - 53,50 = 58,60
(ß ist Scheitelwinkel zu δ - α1 , α1 ist Stufenwinkel zu α)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkel an Geradenkreuzungen
705
In der Zeichnung sind die Halbgeraden g und h parallel. Berechne die Winkel α und
ß!
52 °
69 °
α
g
h
ß
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkel an Geradenkreuzungen
705
Man zeichnet als Hilfslinie in der „Mitte“ noch eine Parallele zu g und h.
α1 ist Z-Winkel zu 52°, α2 ist
Z-Winkel zu 69°. Daher ist
52 °
69 °
α1
g
α = 52° + 69° = 121° und
α2
ß = 360° - 121° = 239°
h
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Winkel an Geradenkreuzungen
706
Zeichne ein Trapez ABCD mit [AB] || [CD] und α = 50° und ß = 80°.
Berechne die anderen Innenwinkel γ und δ.
Formuliere einen Satz für die Innenwinkel eines Trapezes.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Winkel an Geradenkreuzungen
706
γ = 180° - ß = 100° (Nachbarwinkel zu ß)
δ = 180° - α = 130° (Nachbarwinkel zu α)
Aussage: Je zwei Winkel, die an einem Schenkel des Trapezes anliegen ergänzen
sich zu 180°.
Es gilt aber auch folgende Aussage:
Die Summe der Innenwinkel eines Trapezes ist 360°.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkel an Geradenkreuzungen
707
Berechne alle im Inneren des Buchstaben liegende Winkel und gib sie mit Hilfe der
gegebenen Punkte an!
(Vgl. Cornelsen: Fokus Mathematik 7 / S. 40/ Nr. 27)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkel an Geradenkreuzungen
707
∠CBA = 120° (Nachbarwinkel zu ∠BAH)
∠DCB = 360° - 120° = 240° (∠BCD = ∠CBA, da Wechselwinkel)
∠MKI = 360° - ∠IKM = 360° - 60° = 300° (∠IKM = ∠DCK = 180° - ∠BCD = 60°)
∠AHG = 180° - 60° = 120° (Nachbarwinkel zu ∠BAH)
∠LMK = 360° - ∠KML = 360° - (180° - ∠IKM) = 240°
Die Winkel der rechten Hälfte der Figur entsprechen den berechneten Winkeln, da
sie symmetrisch sind.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Winkel an Geradenkreuzungen
708
Begründe zunächst, dass die beiden
ß
36 °
Geraden g und h nicht parallel sind. Ändere
nun die Größe des Winkels
a) α
h
γ 81 °
b) ß
c) γ
so ab, dass g und h zueinander parallel sind.
Bei jeder Teilaufgabe sollen die beiden
g
α
anderen Winkel unverändert bleiben.
61 °
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Winkel an Geradenkreuzungen
708
Der Stufenwinkel zu α ist 180° - (ß’ + γ) = 180° - (36° + 81°) = 63° ≠ α
Daher sind g und h nicht parallel. (ß’ ist der Scheitelwinkel von ß.)
a) α = 63° (durch Drehung von g)
b) ß = 38° ( durch Drehung der aller Geraden außer g))
c) γ = 83° (durch Drehung von h)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Winkel an
709
1. Gib in der in Klammern angegebenen Einheit an:
a) 0,65 m
3
8
c)
l
3
3
2
( dm )
b) 0,05 ha ( m )
3
d)
4
50
f)
70 19
m ( km)
25
(mm )
e) 65 cm
( km )
km
2
(a)
2. Sortiere folgende Längenangaben nach ihrer Größe. Beginne mit der kleinsten!
69 cm; 0,7 dm; 688 mm; 0,067 m; 6,85 dm;
2
3
m
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Winkel an
709
1.a) 650 dm
3
b) 50000 m
3
c)
375 mm
e)
0,00065 km
2.
0,7 dm <
2
d) 800 a
2
3
f)
0,07076 km
m < 6,85 dm < 688 mm < 69 cm
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Winkel an
710
Die Spielerinnen einer Handballmannschaft haben folgende Körpergrößen:
1,62 m; 1,75 m; 1,78 m; 1,63 m; 1,88 m;1,69 m.
Berechne den arithmetischen Mittelwert ihrer Körpergrößen!
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Winkel an
710
Der Durchschnitt ihrer Körpergrößen ist:
1,62 + 1,75 + 1,78 + 1,63 + 1,88 + 1,69
10,35
m=
m = 1,725m
6
6
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Dreieck
801
0
0
1) In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 90 und γ = 27 . Wie groß ist ß ?
0
2) Wie groß sind die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn γ = 90 ist und
a) α dreimal so groß ist wie ß.
b) α um 240 größer als ß ist ?
3) In einem Dreieck ist α = ß. Der Winkel γ ist
a) um 330 kleiner als ß
b) viermal so groß wie ß.
Berechne die Winkel.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Dreieck
801
1) ß = 630
2) a) β = 22,50 , α = 67,50
b) α = 570 , β = 330
3) a) β + β + (β − 330) = 1800 ⇒ β = 710 = α , γ = 380
b) β + β + 4β = 1800 ⇒ β = 300 = α , γ = 1200
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Dreieck
802
1) In einem Dreieck ist γ halb so groß wie ß und α ist ein Drittel von γ . Berechne alle
drei Winkelgrößen.
2) In der Skizze gilt: AC ⊥ AB , AD ⊥ BC,
C
w ist Winkelhalbierende von γ .
D
γ
S
Berechne σ .
σ
w
A
320
B
E
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Dreieck
802
1) α + β + γ = 1800
γ =
1
1
1
ß ⇒ α= γ = ß ⇒
2
3
6
1
1
ß + ß + ß = 180 0 ⇒
6
2
5
ß = 180 0
3
⇒ β = 1080 , γ = 540 , α = 180
0
0
0
2) γ = 180 − 90 − 32 = 58
0
0
0
0
(Winkelsumme im ∆ABC) ⇒ ∠ACE = 29
0
∠DAC = 180 - 58 - 90 = 32 (Winkelsumme im ∆ADC)
0
0
0
α = 1800 − ∠DAC - ∠ACE = 180 - 32 - 29 = 119
0
(Winkelsumme im Dreieck ASC und Scheitelwinkel)
0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Dreieck
803
In der Skizze gilt: g // h .
Berechne aus den angegebenen
Winkelgrößen die Winkel α , ß, γ , δ
δ
ε
und ε mit Hilfe der Winkelgesetze.
110.0 °
γ
Gib zu jedem Winkel den
h
verwendeten Sachverhalt in
α
42.0 °
Stichworten an.
g
ß
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Dreieck
803
α = 1800 − 1100 = 700 (Nachbarwinkel zu 1100 bzw. Scheitelwinkel)
ε = 1100 (Scheitelwinkel zu 1100)
0
0
0
0
ß = 180 - 70 - 42 = 68 (Winkelsumme)
γ = 1800 − 420 = 1380 (Nebenwinkel zu 420)
δ = 1800 − γ = 1800 − 1380 = 420 (Nachbarwinkel zu γ und Scheitelwinkel)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Dreieck
804
In der Skizze gilt: g // h.
90.0 °
Berechne aus den
angegebenen
δ
Winkelgrößen die Winkel
h
140.0 °
α , ß, γ , δ und ε mit Hilfe
γ
ε
ß
90.0 °
α
g
der Winkelgesetze.
Gib zu jeder Berechnung
eine kurze Begründung an.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Dreieck
804
β = 1800 − 1400 = 400 (Nebenwinkel)
δ = β = 400 (Stufenwinkel zu ß)
0
0
0
0
γ‘ = 180 - 90 - 40 = 50 (Winkelsumme im Dreieck)
0
0
0
γ = 180 - 50 = 130 (Nebenwinkel zu γ‘)
α = 1800 − γ = 500 (Nachbarwinkel zu γ)
ε = 1800 − 900 − α = 400
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Dreieck
805
a) Welche Voraussetzung muss erfüllt
0
126,2
sein, dass man zur Berechnung von
Winkeln in der Figur die Gleichheit
g
h
von Stufenwinkeln verwenden kann?
0
93,5
b) Ermittle die Größe des Winkels α.
Begründe Deine Rechenschritte.
α
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Dreieck
805
a) g muss parallel zu h sein.
0
0
0
0
b) ß = 180 - 126,2 = 53,8 (Nebenwinkel zu 126,2 )
0
0
0
α = 53,8 + 93,5 = 147,3 (der Außenwinkel ist so groß wie die Summe der nicht
anliegenden Innenwinkel im Dreieck)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Dreieck
806
In der Skizze gilt:
74.9 °
CF // AB , AD // BF
D
F
46.1 °
a) Bestimme die Winkel α und φ.
φ
b) Welche Bedeutung hat der Winkel ß
für das Dreieck EFB?
E
ß
C
B
c) Berechne ß und gib an, wo er
α
nochmals in der Skizze auftritt.
A
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Dreieck
806
0
a) φ = 74,9 (Stufenwinkel)
0
0
0
0
α = 180 - 46,1 - 74,9 = 59 (Winkelsumme im ∆AED)
b) ß ist ein Außenwinkel des Dreiecks BEF
0
0
c) ß = 74,9 + 46,1 = 121
0
Er tritt nochmals als Stufenwinkel bei A bzw. bei C auf.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Winkelsumme im Dreieck
807
In der Zeichnung gilt: g // h und
E
D
C
h
p // q . Außerdem sind die
43.1 °
markierten Winkel gegeben.
Berechne die Größe von ∠DAE
119.9 °
86.3 °
und ∠CBD .
B
A
p
g
q
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Winkelsumme im Dreieck
807
0
0
0
∠CBA = 180 - 119,9 = 60,1 (Nebenwinkel)
0
0
0
∠DAE = 86,3 - 60,1 = 26,2 (Hinweis: Stufenwinkel zu ∠CBA)
0
0
0
0
0
∠BAD = 180 - 86,3 = 93,7 (Nebenwinkel)
0
0
∠DBA = 180 - 43,1 - 93,7 = 43,2 (Winkelsumme im ∆ABD)
0
0
0
∠CBD = 180 - 119,9 - 43,2 = 16,9
0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Dreieck
808
Berechne α , γ und δ in der Zeichnung. Die beiden mit α bzw. mit γ bezeichneten
Winkel sind gleich groß.
γ
α
46.0 °
α
γ
δ
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Dreieck
808
γ = (1800 − 460) : 2 = 670
α = (1800 − 670) : 2 = 56,50
δ = 1800 − (1800 − α) − 460 = 10,50
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Winkelsumme im Dreieck
809
In einem Dreieck ist der Winkel ß = 72°. Berechne die anderen Winkel, wenn
bekannt ist, dass:
a) α 60 % von ß ist;
b) α 60 % von γ ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Winkelsumme im Dreieck
809
a)
b)
6
6
α = 10
⋅ ß = 10
⋅ 720 = 43,20 ⇒ γ = 180° − (72° + 43,2°) = 64,8°
α + γ = 180° − 72° = 108°
α=
6
10
⋅γ
α = 40,5°
⇒
16
10
⋅ γ = 108° ⇒ γ = 67,5°
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Winkelsumme im Dreieck
812
Zeichne die Drachenfliegerfigur mit den gegebenen Abmessungen in dein Heft.
Berechne zuerst die Winkel, die du
für eine Konstruktion brauchst.
(Vgl. Cornelsen Fokus Mathematik 7 S. 45/ Nr. 23)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Winkelsumme im Dreieck
812
Du musst die Winkel der beiden Dreiecke jeder Seite berechnen. Das Dreieck, das
direkt an der Achse anliegt, besitzt die Winkel 110°, 45° und 25°, das außen
gelegene Dreieck besitzt die Winkel 135°, 15° und 30°. Nun kannst du zuerst das
außen liegende Dreieck, dann das an die Achse grenzende Dreieck und dann durch
Achsenspiegelung den gesamten Drachen konstruieren.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Winkelsumme im Dreieck
813
Der rechteckige Grundriss eines
8m
Raumes hat die angegebenen Maße. In
E
D
der Ecke E steht ein Scheinwerfer, der
3m
den gelb markierten Teil des Raumes
mit seinem Lichtkegel beleuchtet.
C
Ermittle den Flächeninhalt der
10m
beleuchteten Bodenfläche. Wie viel
Prozent der gesamten Bodenfläche sind
beleuchtet?
A
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Winkelsumme im Dreieck
813
ARechteck = 80 m
Agelbes Dreiieck =
2
1 ⋅7 m⋅8 m
2
2
= 28 m .
Anteil der beleuchteten Fläche =
28
80
=
7
20
=
35
100
= 35 %
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Winkelsumme im Dreieck
814
Ein Walmdach fällt nach allen Seiten
schräg ab. Das abgebildete Walmdach
soll neu eingedeckt werden.
Gegenüberliegende Dachflächen haben
die gleichen Abmessungen. Berechne
die einzudeckende Dachfläche.
(Vgl. Cornelsen Fokus Mathematik 7 S. 38/ Nr. 3)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Winkelsumme im Dreieck
814
Vorne: A Trapez =
Seitlich: A ∆ =
1⋅
2
(12 + 9 ) ⋅ 6,4 = 67,2
1 ⋅ 8 ⋅ 5,2
2
2
2
(in m )
= 20,8
2
2
2
Insgesamt: 67,2 m ⋅2 + 20,8 m ⋅2 = 134,4 m + 41,6 m = 176 m
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Winkelsumme im Dreieck
815
DAGOBERT besteht aus zwei gleichseitigen Dreiecken DRT und GOB und zwei
Quadraten DAER und AGBE.
Berechne die Winkel ∠TEO und ∠ATE.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Winkelsumme im Dreieck
815
∠TRE = 60° + 90° = 150°
Das Dreieck TER ist gleichschenklig mit Basis [TE]. ∠ETR = (180° - 150°):2 = 15°
Genauso findet man den Winkel ∠DTA = 15°.
Daher ist ∠ATE = 60° - 2⋅15° = 30°.
∠RET = ∠ETR = 15°
⇒
∠TEO = 180° - 2⋅15° = 150°.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Winkelsumme im Dreieck
816
Drei Strecken schneiden sich in einem Punkt und
sind paarweise miteinander verbunden wie es in
der Zeichnung dargestellt ist. Wie groß ist die
Summe der markierten Winkel?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Winkelsumme im Dreieck
816
Die Summe der Innenwinkel in den drei Dreiecken beträgt 3⋅180° = 540°. Von den
sechs Winkeln, die im Schnittpunkt der Geraden in der Mitte der Figur entstehen,
sind jeweils zwei gleich groß, da es Scheitelwinkel sind. Daher ist die Summe der
drei in den Dreiecken gelegenen Winkel 360° : 2 = 180°. Somit ergibt sich als
Summe der markierten Winkel 540° - 180° = 360°
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Viereck
901
1) Berechne die Größe des vierten Innenwinkels eines Vierecks, wenn die drei
anderen gegeben sind:
0
0
a) α = 77 , ß = 58 , γ = 80
0
0
b) α = γ = 25 , δ = 100
0
2) Ein Viereck, in dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt Trapez.
a) Berechne im Trapez ABCD, in dem AB // CD ist und α = 430 , γ = 780 sind, die
Winkel ß und δ . (Fertige eine Skizze!)
0
b) In einem weiteren Trapez ABCD ist AB // CD , AD ⊥ BC und α = 33 . Berechne ß,
γ und δ . (Fertige eine Skizze!)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Viereck
901
0
b)
a) δ = 145
2)
a) δ = 1800 - α = 1370 (Nachbarwinkel zu α)
ß = 1800 - γ = 1020
ß = 210
0
1)
(Nachbarwinkel zu γ)
E
0
0
0
b) β = 180 − α − 90 = 57 (Winkelsumme im ∆ABE)
0
δ = 180 − α = 147
900
0
C
D
γ = 1800 − β = 1230
330
A
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Viereck
902
In der gezeichneten Figur ist δ = 79,60 , ε = 54,70 , σ = 110,20.
Berechne α , ß , γ und τ .
90.0 °
α
τ
γ
ß
δ
ε
79.6 °
54.7 °
110.2 °
σ
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Viereck
902
β = 1800 − δ = 100,40 (Nebenwinkel)
γ = ε = 54,70 (Scheitelwinkel)
α = 1800 − β − γ = 24,90 (Winkelsumme im Dreieck)
τ = 3600 − 900 − σ − ε = 105,10 (Winkelsumme im Viereck)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Winkelsumme im Viereck
903
Berechne σ , τ und γ , wenn gegeben ist:
α = 45,60 , β = 25,60 , ε = 36,60 , δ = 124,60 .
ß
25.6 °
σ
124.6 °
δ
45.6 °
ε
α
τ
γ
36.6 °
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Winkelsumme im Viereck
903
β1 = 1800 − δ − ε = 18,80 (Winkelsumme im Dreieck) ⇒ σ = β + β1 = 44,40
γ = 1800 − α − σ = 900 (Winkelsumme im Dreieck)
τ = 3600 − σ − δ − γ = 360° - 259° = 101° (Winkelsumme im Viereck)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Winkelsumme im Viereck
904
In Vierecken sind die Winkel entsprechend der zugehörigen Ecken benannt; d.h. zu
A gehört α, zu B ß usw.
Berechne alle anderen Winkel des jeweiligen Vierecks ABCD, wenn folgendes
bekannt ist:
a) Das Viereck ist ein Parallelogramm und α = 65°.
b) Das Viereck ist ein Drachenviereck mit α = 70 ° und ß = 80° und
Symmetrieachse BC.
c) Das Viereck ist ein Trapez mit BC || AD und ß = 72° und γ = 67°.
d) Das Viereck ist eine Raute mit δ = 73°
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Winkelsumme im Viereck
904
a) γ = α = 65°, ß = δ = (360° - 130°) : 2 = 115°
b) γ = α = 40°; δ = 360° - (70° + 70° + 80°) = 140°
c) α = 180° - ß = 108°; δ = 180° - γ = 113°
d) ß = δ = 73°; α = γ = (360° - 2⋅73°) : 2 = 214° : 2 = 107°
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Winkelsumme im Viereck)
905
Berechne:
a)
0,91 m – 38 cm – 2,5 dm
b)
2
5,9 a – 53 m + 0,16 ha
c)
3 32 t – 750 kg
d)
4,2 h – 1 h 45 min
e)
17 min 25 s + 3,8 min
f)
4,5 m ⋅ 80 cm
g)
3,2 km : 800 m
h)
15 ha : 75 a
i)
45 l : 50 cm
j)
1,5 m ⋅ 8 dm
2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Winkelsumme im Viereck)
905
a) … = 91 cm – (38 cm + 25 cm) = 28 cm
2
2
2
2
b) … = 590 m + 1600 m – 53 m = 2137 m 0 21,37 a
8
9
11 t
c) … = 3 32 t − 34 t = 3 12
t − 12
t = 2 12
d) … = 4 h 12 min – 1 h 45 min = 2 h 27 min
e) … = 17 min 25 s + 3 min 48 s = 21 min 13 s
2
f) … = 45 dm ⋅ 8 dm = 360 dm = 3,6 m
2
2
g) … = 3,2 km : 0,8 km = 4 km
h) … = 1500 a : 75 a = 20
3
2
i) … = 45000 cm : 50 cm = 900 cm = 9 m
2
3
j) … = 15 dm ⋅ 8 dm = 120 dm = 120 l = 0,12 m
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Winkelsumme im Viereck)
906
Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne die fehlenden Größen der
Rechtecke:
Länge
Breite
Flächeninhalt
5,2 cm
2,7 cm
3,9 m
Umfang
19,1 m
0,75 km
17,1 ha
36 a
300 m
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Winkelsumme im Viereck)
906
Länge
Breite
Flächeninhalt
5,2 cm
2,7 cm
14,04 cm
5,65 m
3,9 m
22,035 m
0,75 km
228 m
17,1 ha
1956 m
120 m
30 m
36 a
300 m
(letzte Zeile durch Probieren!)
Umfang
2
15,8 cm
2
19,1 m
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
(Winkelsumme im Viereck)
907
2
a) Der Oberflächeninhalt eines Würfels beträgt 13,5 m . Wie lang sind seine
Kanten und wie groß ist sein Volumen?
b) Ein Würfel hat einen Rauminhalt von 729 l. Wie groß ist sein
Oberflächeninhalt?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
(Winkelsumme im Viereck)
907
2
a) Der Oberflächeninhalt eines Würfels der Kantenlänge a ist 6⋅a .
2
2
2
a = 1350 dm : 6 = 225 dm . Also ist a = 15 dm.
3
Das Volumen des Würfels ist a . Also ist es 3375 l.
3
b) V = 729 dm . Durch Probieren findet man a = 9 dm.
2
Der Oberflächeninhalt ist dann 6⋅ 9 dm = 486 dm
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Winkelsumme im Vieleck
908
Die Zeichnung zeigt ein
gleichseitiges Dreieck und ein
regelmäßiges Fünfeck. Wie groß ist
der Winkel x?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Winkelsumme im Vieleck
908
Die Innenwinkel des Dreiecks betragen 60°, die des Fünfecks 540° : 5 = 108°.
Dann sind die Innenwinkel des unten links gelegenen Dreiecks 60°, 72° und 48°.
Der Winkel x ist Nebenwinkel zum 48°-Winkel, also x = 180° - 48° = 132°.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Berechnen von Termen
1001
Lasse bei folgenden Termen zur Vereinfachung der Schreibweise überflüssige
Klammern und Malpunkte weg:
a)
5 + (2 ⋅ x ⋅ y )
d) 10 ⋅ x ⋅ (x + 1)
g)
10 − 5 ⋅ x
: 3 ⋅ 21
2
( )
b)
6 : (k ⋅ n)
c) 10 ⋅ 5 ⋅ (x + y )
e)
(x − 3) ⋅ (x + 3)
f)
3 ⋅ [x + (2 : x ⋅ y
h)
[x : (y : z )]⋅ x
i)
x : (x + 3 ⋅ 7 ⋅ x )
)]
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Berechnen von Termen
1001
a) 5 + 2xy
b)
d) 10x(x + 1)
e) (x – 3)(x + 1)
g)
10 − 5 x
: 3 ⋅ 21
2
( )
h)
6 : kn
[x : (y : z )]x
c)
10 ⋅ 5(x + y )
f)
3[x + 2 : xy ]
i)
x : (x + 3 ⋅ 7 x )
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1002
Schreibe zu folgenden Beschreibungen die jeweiligen Terme auf:
a) Bilde die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und 17.
b) Addiere 17 zu einer Zahl und multipliziere das Ergebnis mit 2.
c) Dividiere eine Zahl durch die um 2 verkleinerte Zahl.
d) Multipliziere eine Zahl mit ihrem Vorgänger.
e) Addiere die Hälfte einer Zahl zum Dreifachen der um 5 vergrößerten Zahl.
f) Addiere zum Quadrat einer Zahl die 3. Potenz dieser Zahl und dividiere das
Ergebnis durch 10.
g) Der Term ist das Produkt aus der Summe zweier Zahlen und der Differenz
dieser Zahlen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1002
a)
2x + 17
b)
2(x + 17)
c)
x : ( x - 2)
d)
x(x – 1)
e)
3(x + 5 ) + 21 x
f)
(x + x ) : 10
g)
(x + y)(x – y)
2
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1003
Gib zu jedem der Terme eine Rechenanweisung an:
a)
T(x ) = x +
c)
a+3
a−3
b)
T(a ) =
T(a; b ) = 4a2 − b2
d)
T(x; y ) =
e)
T(a; b; c ) = abc (a + b + c )
f)
T(k ) =
g)
T(n) =
1
x
xy
x+y
1 1
−
k k2
n(n − 1)(n − 2)
, wobei n eine natürliche Zahl größer 2 ist.
6
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1003
a) Addiere zu einer Zahl ihren Kehrwert.
b) Dividiere die Summe von a und 3 durch die Differenz von a und 3.
c) Subtrahiere vom vierfachen Quadrat der ersten Zahl das Quadrat der zweiten
Zahl.
d) Dividiere das Produkt zweier Zahlen durch die Summe der beiden Zahlen.
e) Multipliziere das Produkt dreier Zahlen mit der Summe der drei Zahlen.
f) Subtrahiere vom Kehrwert der Zahl den Kehrwert des Quadrats der Zahl.
g) Bilde das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen und dividiere es durch
die Zahl 6.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1004
Ermittle die Definitionsmenge der folgenden Terme in der Grundmenge G = Q:
a)
T(x ) =
1
x
b)
T(a ) = 3 − 2+a a
c)
T(v ) =
v
v −4
d)
T(s ) =
2
3
−
3−s 2+s
e)
T(n) =
n(n − 1)
2
f)
T(z ) =
3
z(z − 1)
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1004
a) D = Q \ {0}
b) D = Q \ {0}
c) D = Q \ {- 2; 2}
d) D = Q \ {- 2; 3}
e) D = Q
f)
D = Q \ {0 ; 1}
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1005
Schreibe die Tabelle ab und ergänze sie für die jeweiligen Terme:
x
- 3,5
-2
- 0,4
0
1
3
5
T(x)
2
a)
T(x) = 2x – 4x + 5
b)
T(x) = (x + 1) + 1
c)
T(x ) =
3
2
−x
x +1
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1005
a)
b)
c)
x
- 3,5
-2
- 0,4
0
1
3
5
T(x)
43,5
21
6,92
5
3
11
35
x
- 3,5
-2
- 0,4
0
1
3
5
T(x)
16 58
0
1,216
2
9
65
217
x
- 3,5
-2
- 0,4
0
1
3
5
T(x)
2,7
0
11
3 15
2
1
-2,5
-4 32
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1006
Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie:
x
-3
1
1
0,5
- 0,9
y
2
-2
0
0,5
0,9
T(x;y)
2
2
a)
T(x;y) = 2x – 3xy + y
b)
T(x; y ) =
x+y
x−y
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1006
a)
b)
x
-3
1
1
0,5
- 0,9
y
2
-2
0
0,5
0,9
T(x;y)
40
12
2
0
4,86
x
-3
1
1
0,5
- 0,9
y
2
-2
0
0,5
0,9
T(x;y)
0,2
− 31
1
Geht
0
nicht
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1007
Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie. Was fällt dir dabei auf?
z
T1(z) = (z+1)(z-3)
2
T2(z) = z – 2z - 1
2
T3(z) = (z + 1)
- 1,5
0,4
2,5
4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1007
z
T1(z) = (z+1)(z-3)
T2(z) = z – 2z - 1
2
T3(z) = (z - 1)
2
- 1,5
2,25
4,25
6,25
0,4
- 3,64
- 1,64
0,36
2,5
- 1,75
0,25
2,25
4
5
7
9
Die Werte der Terme sind jeweils um 2 größer als die der vorherigen Terme.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1008
Finde die Zahl(en), für die der jeweilige Term den Wert 0 annimmt:
a)
T(x) = 4x – 8
b)
T(x) = 3x – 1
b)
T(x) = x(2x + 3)
c)
T(x) = x – 9
d)
T(x) = (5x + 2)(4x – 3)
e)
T(x) =
2
2x + 4
3x − 6
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1008
1
3
a)
x=2
b)
x=
c)
x = 0 bzw. x = - 1,5
d)
x = 3 bzw. x = - 3
e)
x = - 0,4 bzw. x = 0,75
f)
x = - 0,5
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1009
2
Finde heraus, für welche Werte der Variablen y der Term T(y) = y + 4 den jeweils
angegebenen Termwert annimmt:
a)
T(y) = 13
b)
T(y) = 4
c)
T(y) = 125
d)
T(y) = 365
e)
T(y) = 4 91
f)
T(y) = 0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1009
a)
y = 3 bzw. Y = - 3
b)
y=0
c)
y = 11 bzw. y = - 11
d)
y = 19 bzw. y = - 19
e)
y=
f)
geht nicht
1
3
bzw. y = − 31
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Berechnen von Termen
1010
Gib zu jedem der folgenden Terme die Art des Terms an:
2
a)
T(a) = 3(a – 1) + 2 : a
b)
T(b) = (b + 3)(2b – 3)
c)
T(c) = 2c – c:2
d)
T(d) = 2(d –d : 2)
e)
T(e) = (e + 3) : e – 5
f)
T(f) = f + 3 . (f – 5)
g)
T(g) = (g + 3) : (g – 5)
h)
T(h) = 2,5h +h(h + 1)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1010
a)
Summe
b)
Produkt
c)
Differenz
d)
Produkt
e)
Differenz
f)
Summe
g)
Quotient
h)
Summe
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1011
Mit folgenden Termen sollen Flächen berechnet werden. Die Variable x ist dabei die
Länge einer Strecke. Gib die Intervalle für x an, für die eine Einsetzung sinnvoll sein
kann.
a)
A(x) = (x + 4)(15 – x)
b)
A(x) = x(7 + x)
c)
A(x) = (x – 3)(11 – x)
d)
A(x) = (4 – x)
e)
Gib selbst einen Term A(x) an, bei dem nur Einsetzungen zwischen 5 und 9 für
2
x sinnvoll sind.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1011
+
a) D = ]0;15[
b) D = Q0
c) D = ]3;11[
d) D = ]0;4[
e) A(x) = (x – 5)(9 – x)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Aufstellen von Termen
1012
Ein Rechteck ABCD besitzt
die Länge 15 cm und
die Breite 10 cm.
a) Bestimme die Fläche
und den Umfang des
Rechtecks.
D
C
C'
D'
10cm
b) Nun wird die Breite um
x cm verkleinert und
dafür die Länge auf
beiden Seiten um x cm
vergrößert (siehe
15cm
x
A
B
A'
Skizze). Bestimme
zunächst Fläche und
Umfang des neuen Rechtecks für x = 2 bzw. x = 3.Gib nun Terme A(x) und u(x)
für die Berechnung des Umfangs des neuen Rechtecks A’B’C’D’ an.
c) Welche Einsetzungen für x sind sinnvoll?
d) Was passiert, wenn x immer näher an die obere Grenze des in c) angegebenen
Intervalls wächst?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Aufstellen von Termen
1012
a) A = 15 ⋅10 = 150
u = 2⋅(10 + 15) = 50
b) x = 2:
A = (15 + 2⋅2)⋅(10 – 2) = 152
u = 2⋅[(15 + 2⋅2) + (10 – 2)] = 54
x = 3:
A = (15 + 2⋅3)⋅(10 – 3) =147
u = 2⋅[(15 + 2⋅3) + (10 – 3)] = 56
allgemein: A(x) = (15 + 2⋅x)⋅(10 – x)
u(x) = 2⋅[(15 + 2⋅x) + (10 – x)]
c) D = ]0;10[
d) Der Flächeninhalt wird immer kleiner (wandert gegen 0) und der Umfang nähert
sich immer mehr 70 an.
B'
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Aufstellen von Termen
1013
a) Der Winkel γ ist viermal so
A
groß wie ß. Berechne die
Winkel α, ß und γ.
α
b) Gib einen Term an, der die
Größe der drei Winkel
beschreibt, wenn γ n-mal so
ß
B
groß wie ß ist. Dabei soll
g
90 °
n ∈ N \ {1} sein.
c) Für welche Werte von
n ∈ {2,3,…9} nehmen die
γ
90 °
h
C
Winkel ß und γ ganzzahlige
Werte an?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Aufstellen von Termen
1013
a) γ und ß ergänzen sich zu 180°, da der Nebenwinkel von γ Stufenwinkel zu ß ist.
Daher ist ß = 180° : 5 = 36° und γ = 144°; α = 180° - (90° + ß) = 54°
b) ß = 180° : ( n + 1) =
α = 90° − ß = 90° −
180 0
n +1
γ = n⋅ß =
n ⋅ 180 0
n +1
180°
n +1
c) ß und γ sind ganzzahlig, wenn n + 1 ein Teiler von 180° ist; d.h. wenn
n+1 ∈ {3,4,5,6,9,10} ist, also, wenn n ∈ {2,3,4,5,8,9} ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Aufstellen von Termen
1014
Gib einen Term für den
Flächeninhalt des rot gefärbten
Fünfecks an. Bestimme seinen Wert
für g = 6 cm, a = 4 cm und x = 2a
x
und y = 1,5a.
y
a
g
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Aufstellen von Termen
1014
A(a,g,x,y) =
1
2
g(x + a ) + 21 g(y + a ) − 21 ga
A(4;6;8;6) =
1
2
⋅ 6 ⋅ 12 + 21 ⋅ 6 ⋅ 10 − 21 ⋅ 6 ⋅ 4 = 36 + 30 − 12 = 54
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Aufstellen von Termen
1015
Die Internetprovider Surfnet und Websurfer bieten ihren Kunden folgende Tarife an:
Surfnet: monatliche Grundgebühr: 6,50 €; Preis pro Stunde: 0,80 €
Websurfer: keine Grundgebühr; Preis pro Stunde 1,20 €.
a) Lege für beide Tarife eine Wertetabelle an.
b) Gib zwei Terme an, mit denen sich die Kosten für das Surfen im Internet in
Abhängigkeit von der Stundenzahl berechnen lässt.
c) Zeichne die zu den Zuordnungen Stundenzahl → Kosten gehörenden
Graphen und entscheide, welcher Tarif für welche Stundenzahl günstiger ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Aufstellen von Termen
1015
Zahl der
Stunden
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
T1(x)
T2(x)
6,5
7,3
8,1
8,9
9,7
10,5
11,3
12,1
12,9
13,7
14,5
15,3
16,1
16,9
17,7
18,5
19,3
0
1,2
2,4
3,6
4,8
6
7,2
8,4
9,6
10,8
12
13,2
14,4
15,6
16,8
18
19,2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Berechnen von Termen
1016
Lege für den Term T(x) = x3 – x2 eine Wertetabelle an für
x ∈ {-1,5, -1, 0, 0,5, 1, 2} und fertige eine Skizze des zugehörigen
Graphen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Berechnen von Termen
1016
x
-1,5
-1
0
0,5
1
2
f(x)
-5,625
-2
0
-0,125
0
4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Berechnen von Termen
1017
Zu jedem der folgenden Graphen sind drei Terme zur Auswahl
angeboten. Stelle fest, welcher Term tatsächlich passt!
(a)
1. T1(x) = x + 2
2. T2(x) = 2x + 1
3. T3(x) = 2x −1
(b)
x
2
1.
T1(x) = 1 −
2.
3.
T2(x) = 1 − x
T3(x) = 1 −2x
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Berechnen von Termen
1017
(a) T2(x) ist richtig
(b)
T1(x) ist richtig
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Häufigkeiten und Prozente
1018
In der Klasse 7 b gab es in der ersten Mathematik-Extemporale 2 Einser, 4 Zweier, 7
Dreier, 6 Vierer, 3 Fünfer und 2 Sechser.
a)
Berechne die relative Häufigkeit für die Noten und gib sie als Bruch, als auf
3 Dezimalen gerundeten Dezimalbruch und in Prozentschreibweise an.
b)
Stelle die Notenverteilung in einem Kreisdiagramm dar.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Häufigkeiten und Prozente
1018
Note
Anzahl
Bruch
Dezimalb.
Prozent
1
2
1
12
0,083
8,3%
2
4
1
6
0,167
16,7%
3
7
7
24
0,292
29,2%
4
6
1
4
0,250
25,0%
5
3
1
8
0,125
12,5%
6
2
1
12
0,083
8,3%
Winkel
30°
60°
105°
90°
45°
30°
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Vierfeldertafel
1019
Eine Schule bietet ab der 8. Klasse die Wahl zwischen dem naturwissenschaftlichtechnologischen Zweig und dem neusprachlichen Zweig an. Die 150 Schüler der 7.
Klassen zeigen folgendes Wahlverhalten:
technologisch
neusprachlich
Mädchen
80
Jungen
30
70
a)
Ergänze die Vierfeldertafel.
b)
Wie groß ist die relative Häufigkeit der Mädchen im neusprachlichen Zweig?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler den neusprachlichen
Zweig gewählt hat?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Vierfeldertafel
1019
technologisch
neusprachlich
Mädchen
30
50
80
Jungen
40
30
70
70
80
150
b)
5
8
c)
8
15
= 67,5 %
= 53,3 %
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Prozentrechnen
1020
1. Ein Handwerker verlangt 180 € für eine Reparatur. Hinzu kommen noch 16 %
Mehrwertsteuer. Wie lautet der Rechnungsbetrag? Wie nennt man bei dieser
Rechnung die 180 €, die 16 % und das Ergebnis, das man für den Betrag der
Mehrwertsteuer erhält?
2. Nach einem Preisnachlass von 35 % auf ein auslaufendes Skimodell zahlt ein
Kunde nur noch 253,50 €. Wie viel kostete das Skimodell vor dem
Preisnachlass?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Prozentrechnen
1020
1.
16 % von 180 € = 0,16⋅180 € = 28,8 €
Der Rechnungsbetrag lautet auf 208,80 €.
180 € sind dabei der Grundwert, 16 % der Prozentsatz und 28,8 € der
Prozentwert.
2.
65 % entsprechen 253,50 €
253,5 ⋅ 100
100 % entsprechen
= 390
65
Das Skimodell kostete vor dem Nachlass 390 €.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Aufstellen von Termen
1021
Hans hat 17 Kugeln, 6 Würfel und eine Pyramide. Mit einer Balkenwaage
stellt er fest, dass
jede der 17 Kugeln die gleiche Masse hat,
jeder der sechs Würfel die gleiche Masse besitzt,
die Pyramide und fünf Würfel zusammen die gleiche Masse wie
14 Kugeln besitzen,
ein Würfel und acht Kugeln zusammen die gleiche Masse wie die
Pyramide besitzen.
Finde heraus, wie viele Kugeln zusammen die gleiche Masse wie die
Pyramide besitzen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Aufstellen von Termen
1021
Masse einer Kugeln: x
Masse eines Würfels: y
Masse der Pyramide: z
Dann gilt: z + 5y = 14x
und x + 8y = z
⇒ x + 8y + 5y = 14x
⇒
13x = 13y
x=y
Also ist z = x + 8x = 9x
Neun Kugeln haben die gleiche Masse wie die Pyramide.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Aufstellen von Termen
1022
Lina bastelt auf einem Holzbrett ein Spiel
aus quadratischen Spielfeldern. Diese
werden durch gleich lange Holzstäbchen
abgegrenzt. Sie beginnt in einer Ecke,
klebt die Stäbchen für das erste Feld auf
und erweitert es dann wie in der
Zeichnung.
a)
Wie viele Holzstäbchen braucht sie für die 7. Erweiterung,
nachdem sie die 6. Erweiterung abgeschlossen hat?
b)
Gib einen Term an, der beschreibt, wie viele Stäbchen man für
die n-te Erweiterung braucht.
(aus Känguru-Wettbewerb 2006/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Aufstellen von Termen
1022
a)
Erweiterung
1
2
3
4
5
6
7
Stäbchenzahl
8
12
16
20
24
28
32
b) Für die n-te Erweiterung braucht man T(n) = 4(n + 1) Stäbchen
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Aufstellen von Termen
1023
Bei wie vielen zweistelligen Zahlen ist die durch das Vertauschen der
beiden Ziffern entstehende Zahl größer als das Dreifache der
ursprünglichen Zahl?
(aus Känguru-Wettbewerb 2005/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Aufstellen von Termen
1023
Ist die Einerziffer der Zahl x und die Zehnerziffer y, so ist der Wert der Zahl x + 10y;
vertauscht man die beiden Ziffern, so ist der Wert der Zahl y + 10x. Es muss gelten:
y + 10x > 3⋅(x + 10y)
⇒ y + 10x > 3x + 30y
⇒
⇒ x > 29
y
7
Daher kann y nur 1 oder 2 sein.
Für y = 1 ist x > 4 71 , also ist x = 5, 6, 7, 8 oder 9 möglich;
Für y = 2 ist x > 8 72 , also kommt nur 9 in Frage.
Daher gibt es insgesamt 6 der gesuchten Zahlen.
7x > 29y
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Aufstellen von Termen
1024
Ein Käfer bewegt sich im 1. Quadranten des
Koordinatensystems (siehe Zeichnung) wie
folgt: Er startet im Punkt (0/0) und bewegt
sich in Pfeilrichtung vorwärts. Um dabei von
einem Gitterpunkt zum nächstfolgenden zu
gelangen, braucht er genau 1 Sekunde.
Beispielsweise erreicht er so den Punkt
(0/2) nach 4 Sekunden. Welche
Koordinaten hat der Punkt, den er nach
genau 2 Minuten erreicht?
(aus Känguru-Wettbewerb 2005/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Aufstellen von Termen
1024
Der Käfer erreicht die Punkte mit geradzahligen Koordinaten, die auf der x-Achse
liegen, also P(2k/0) in einer Schrittzahl nach folgender Tabelle:
Punkt
(2/0)
(4/0)
(6/0)
(8/0)
Schritte
8
24
48
80
Also kommt er zum Punkt P(2k/0) nach T(k) = (2k+1)2 – 1 Schritten.
Da 2 Minuten 120 Sekunden sind, muss (2k + 1)2 = 121 sein. Daher ist 2k + 1 = 11
und daher 2k = 10. Der erreichte Punkt ist also P(10/0)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Berechnen von Termen
1025
Sei a ≠ 0 eine fest vorgegebene Zahl. Welche der folgenden Aussagen
ist für T(k) = (a – k)(a + k) richtig, wobei k eine beliebige Zahl sein kann:
a)
T(k) kann beliebig groß, aber nicht beliebig klein sein.
b)
T(k) kann beliebig klein, aber nicht beliebig groß sein.
c)
T(k) ist immer negativ.
d)
T(k) kann jeden Wert annehmen.
e)
T(k) kann weder beliebig groß noch beliebig klein werden.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Berechnen von Termen
1025
T(k) = a2 – k2
Da k2 > 0 ist, ist T(k) ≤ a2 , also kann T(k) nicht beliebig groß werden, aber beliebig
klein. Für k = 0 ist T(k) = a2 > 0.
Daher trifft nur die Aussage b) zu.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Umformen von Termen 1
1101
In jeder Teilaufgabe sind zwei Terme angegeben, von denen nur einer zum
ursprünglichen Term äquivalent ist. Finde diesen heraus und begründe, dass der
andere nicht äquivalent ist:
2
a) T(a) = a + a + 2a
T1(a) = 3a + a
b) T(b) = 3b + b
T1(b) = 3b2
3
3
4
2
T2(a) = 3a
4
T2(b) = 4b
3
3
c) T(x) = x + x – 2x
T1(x) = x – 2x
T2(x) = x – x
d) T(d) = d2 – 2d⋅d
T1(d) = - 1
T2(d) = - d2
e) T(y) = (y + y)⋅(y + y)
T1(y) = 4y2
T2(y) = 4y
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Umformen von Termen 1
1101
a) T2(a) ist nicht äquivalent, da z.B. T(1) = 4 und T2(1) = 3 ist, also ist T1(a) der
zu T(a) äquivalente Term.
b) T1(b) ist nicht äquivalent, da z.B. T(1) = 4 und T1(1) = 3 ist, also ist T2(b) der
zu T(b) äquivalente Term.
c) T1(x) ist nicht äquivalent, da z.B. T(1) = 0 und T1(1) = - 1 ist, also ist T2(x) der
zu T(x) äquivalente Term.
d) T1(d) ist nicht äquivalent, da z.B. T(0) = 0 und T1(0) = - 1 ist, also ist T2(d) der
zu T(d) äquivalente Term.
e) T2(y) ist nicht äquivalent, da z.B. T(2) = 16 und T2(2) = 8 ist, also ist T1(y) der
zu T(y) äquivalente Term.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1102
Von den angegebenen vier Termen sind genau zwei äquivalent. Entscheide, welche
dies sind, indem du die anderen ausschließt. Begründe außerdem, nach welchem
Rechengesetz die beiden verbleibenden Terme äquivalent sind.
2
a) T1(a) = 4a + 4a
T2(a) = 8a
2
b) T1(x) = (4x2 + 6) :2 T2(x) = 2x + 3
2
T3(a) = 4a(a + 1)
T4(a) = 4(a +1)
4x2 + 6x
2x
T4(x) = 2(x + 3)
T3(x) =
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1102
a) Es gilt T1(2) = 24, T2(2) = 32, T3(2) = 24 und T4(2) = 20, daher scheiden die
Terme T2(a) und T4(a) aus. Durch Anwendung des Distributivgesetzes auf
T3(a) erhält man T1(a).
b) Es gilt T1(1) = 10, T2(1) = 5, T3(1) = 5 und T4(1) = 8, daher scheiden hier die
Terme T1(x) und T4(x) aus. Durch Anwendung des Distributivgesetzes auf
T3(x) erhält man T2(x).
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Umformen von Termen 1
1103
Vereinfache folgende Terme:
a)
4x + 8y + 2y + 3x
b)
4x - 8y + 2y + 3x
c)
-4x + 8y - 2y + 3x
d)
4x - 8y - 2y - 3x
e)
-4x - 8y - 2y - 3x
f)
-4x + 8y + 2y - 3x
g)
2
1
1
5
c+ e+3 c+ e
3
6
3
6
h)
2
1
1
5
x− y +3 x+ y
3
6
3
6
i)
2
1
1
5
− m+ n−3 m+ n
3
6
3
6
j)
2
1
1
5
k − m− 3 k − m
3
6
3
6
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Umformen von Termen 1
1103
a)
7x + 10y
b)
7x - 6y
c)
-x + 6y
d)
x - 10y
e)
- 7x - 10y
f)
- 7x + 10y
g)
4c + e
h)
4x +
i)
- 4m + n
j)
2
−2 k − m
3
2
y
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Umformen von Termen 1
1104
Vereinfache folgende Terme:
a)
2
1
1
5
− u+ v+3 u− v
3
6
3
6
b)
2
1
1
5
− p − q− 3 p − q
3
6
3
6
c)
8,5x - 8,3x - 8,6 + 2,7x + 0,6x - 7,4
d)
3uv - 0,3u -0,3uv + 3,7u + 2,3uv
e)
4x - (+ 7x) + (- 11x) - 3x
f)
8 - 9a + (- 13) - (- 7a)
g)
−
2
2
2
2
 1
z + 1 z − −  − 1
 5
3
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Umformen von Termen 1
1104
a)
2
2
2 u− v
3
3
b)
- 4p - q
c)
9,1x2 - 5,6x - 16
d)
5uv + 3,4u
e)
- 17x
f)
- 5 - 2a
g)
z−
4
5
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1105
Berechne:
1
1
+ 18
, − 2 − 3,5 + 4,2 + 7
4
3
1)
−3
2)
1 2 3 7 1
1
− − + + −2
2 3 4 8 6
2
3)
86,6 - 50,3 - 108,4 + 52,3 - 71,8 + 46,45
4)
-0,6x - 2,7y - 1,9z + 2,3x + 3y + 2,9z
5)
-2,1a + 3,2b + 4,3c + 5,4a - 2,8b - 3,9c
6)
4,625m - 2,12n - 3,75m + 2,25n
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1105
1
1
4
6
1
11
 3
+ 18
, − 2 − 3,5 + 4,2 + 7 = 13 -  3
+2
+ 3  = 13 − 9
=3
 12
12
12 
12
12
4
3
1)
−3
2)
1 2 3 7 1
1  12 21 4   8
9
6
13
11
3
− − + + −2 = 
+2  =1 −3
= −2
+
+  − +
 24 24 24   12 12
2 3 4 8 6
2
12 
24
12
8
3)
86,6 - 50,3 - 108,4 + 52,3 - 71,8 + 46,45 = 185,35 - 230,5 = - 45,15
4)
-0,6x - 2,7y - 1,9z + 2,3x + 3y + 2,9z = 1,7x + 0,3y + z
5)
-2,1a + 3,2b + 4,3c + 5,4a - 2,8b - 3,9c = 3,3a + 0,4b + 0,4c
6)
4,625m - 2,12n - 3,75m + 2,25n = 0,875m + 0,13n
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1106
Berechne:
a)
 4 3  9 
−4 −  −  ⋅ +  −  ⋅ 3
 5  2  10 
c)
5−
e)
3 ⋅ ( −7x) ⋅ −2,5x2
1  3  1  1  
⋅  −  − ⋅  −1 
4  8  2  4  
(
)

1  4  4  5 
 ⋅−  − −  ⋅
4   3   5  9 
b)
( −4) ⋅  −
d)
[ 8 − ( −3,5) ⋅ ( −2,4)] ⋅ [( −4,2) ⋅ 6 − 5]
f)
( −6ab) ⋅ ( −4,5a) ⋅ 8b

Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1106
1
2
b)
−3
15
16
d)
...= [ 8 − 8 ,4] ⋅ [ −25,2 − 5] = 12,08
52,5x3
f)
216a2b2
a)
−5
c)
4
e)
1
9
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1107
Berechne:
1)
( −4) ⋅ ( − x) ⋅ ( −3) ⋅ ( −9y)
2)
6x ⋅ 4y − ( − x) ⋅ ( −3y) + ( −8x) ⋅ y − 15xy
3)
6x ⋅ ( −4y ) + ( − x) ⋅ 3y + ( −8x) ⋅ ( − y ) − 15( − x)y
4)
3a ⋅ ( −7) ⋅ 5b − 6b ⋅ ( −5) + ( − a) ⋅ ( −b) ⋅ 18 − 25 ⋅ ( −b )
5)
6a ⋅ ( −8b) ⋅ ( −2b ) + 5a ⋅ −9b 2 − 6b ⋅ ( −b) ⋅ 12a − 43 ⋅ ( − a ) ⋅ b 2
(
)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1107
1)
108xy
2)
... = 24xy - 3xy - 8xy - 15xy = - 2xy
3)
... = - 24xy - 3xy + 8xy + 15xy = - 4xy
4)
... = - 105ab + 30b + 18ab + 25b = - 87ab + 55b
5)
... = 96ab - 45ab + 72ab + 43ab = 166ab
2
2
2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1108
Berechne:
4
1)
(-2)
5)

−

1

3
9)
0,2
3
4
2)
-2
6)
34
−
4
5
10) 0,3
5
5
3)
(-3)
7)
 5
− 
 8
11) -18
4)
-3
8)
−
2
2
5
52
8
3
12) (-5)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1108
1)
16
5)
−
9)
0,008
1
243
2)
- 16
3)
-243
4)
-243
6)
−
81
4
7)
25
64
8)
−
10)
0,00243
11)
- 324
12)
- 125
25
8
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1109
Berechne:
(Beachte dabei, dass Potenzieren noch vor der Punktrechnung kommt!)
 3
 −2 
 7
1)
5)
( −3)
2
2
2)
6)
⋅4
 7
1 
 9
2
( −5) ⋅ ( −2)
3
3
3)
 1
 −2 
 3
7)
 1
15 ⋅  −1 
 3
4
4)
 1
 −1 
 3
8)
2
3
, ) ⋅ ( −10)
( −19
12)
 5  2
−  ⋅ − 
 8  5 
2
2
3
2
10)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1109
[( −6) ⋅ 2]
9)
( −6)
2
11)
⋅2
−6 ⋅ 2
1)
289
44
=5
49
49
2)
256
13
=3
81
81
3)
−
5)
36
6)
40
7)
9)
144
10)
72
11)
2
343
19
= −12
27
27
4)
256
81
80
2
= 26
3
3
8)
-3610
-24
12)
-
1
40
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1110
Berechne:
(Beachte die Regel: Potenzrechnen vor Punktrechnen vor Strichrechnen!)
1)

1 
2 
− ( −9 ) ⋅  −2  
 3 

4)
5 -2
7)
13 - 5 - 12
2
2
5
2
2
2)
2
3
 2  5 
−  ⋅  − 
 5  4 
5)
3 -2
8)
3
3)
22  5 
−
⋅− 
5  4
4
6)
2 -8
6 ⋅ 82 − 4 ⋅ 9 2
9)
3 ⋅ 23 − 4 ⋅ 34
3
8
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1110
1)
189
2)
5
3)
25
16
4)
-7
5)
11
6)
256 - 64 = 192
7)
0
8)
60
9)
- 300
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1111
Schreibe die folgenden Produkte so kurz wie möglich:
1)
ab2a2ab2a3
2)
xy2z(-x)z
3)
a3b4(-a)4b3
4)
25( − d) ⋅ e3 ⋅ 17 d3 e
5)
( −18
, ) ⋅ x2 y ⋅ 12
, xy4
6)
1,6ab2c 2 ⋅ ( −3,5) ⋅ a2b3c 2
7)
(- 0,03x)3
8)
(-4uv)3
9)
[ (−2c) ⋅ (−4 ) ⋅ c]
2
3
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1111
1)
a7b4
2)
- x2y2z2
3)
a7b7
4)
425d5e4
5)
- 2,16x3y5
6)
- 5,6a3b5c4
7)
- 0,000027x3
8)
- 64u3v3
9)
16384c8
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Umformen von Termen 1
1112
Schreibe die folgenden Produkte so kurz wie möglich:
2
(
)
1)
15
, x2 ⋅ ( −4 x) ⋅ −5 x3
3)
2
3
5
⋅ ( −uv) ⋅ uw ⋅ ⋅ ( − v) ⋅ u
5
4
7
5)
5 3 w
 v ⋅ 5
7
x 
(
)
2)
−125
, a3 ⋅ −3,14b3 ⋅ 16b
4)
( −1) 9 ⋅ ( −m)4 ⋅ n ⋅ ( −m5 ) ⋅ ( −n) 6
6)
5
2
1
9
 5
b ⋅ ( − a) ⋅ ( −b) ⋅ ⋅ − c 2 ⋅ ( − a) ⋅  −  ⋅ c 2
 6
2
11
( )
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Umformen von Termen 1
1112
1)
- 120x7
2)
62,8a3b4
3)
3 3 2
uv w
14
4)
m 9 n7
5)
25 6 w 2
v ⋅ 10
49
x
6)
−
15 2 2 4
abc
4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Umformen von Termen 1
1113
Berechne und schreibe so kurz wie möglich:
1)
1
1
a ⋅ 15a2b2 − 6a 3b2 + 8a2 ⋅ 5ab2 − 3 a2b ⋅ 9ab
5
3
2)
1
1
4 x ⋅ 6xy 2 − 1 xy ⋅ 8xy + x ⋅ 14 xy 2 − x2 ⋅ 9y 2
2
7
3)
9m2 ⋅ ( −n) − ( −4m) ⋅ n 3 + 54m2 ⋅
3
2
1 3
2
n − ( −2m) ⋅ 3n ⋅ n2
9
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Umformen von Termen 1
1113
3 2
1)
7a b
2)
... = 24x y - 12x y + 2x y - 9x y = 5x y
3)
... = - 9m n - 16m n + 6m n - 12m n = - 13m n
2 2
2 3
2 2
2 3
2 2
2 2
2 3
2 2
2 3
2 3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1114
Berechne und schreibe so kurz wie möglich:
1)
 1 
8,5 ⋅ −4 ⋅ a2 ⋅ −15
, ⋅ a4 +  − a5  ⋅ ( −48) ⋅ ( −5 ⋅ a)
 8 
2)
3 2
2
4
2
x ⋅ 24 ⋅ y 4 − ( − x) ⋅ 7y 2 ⋅ 2y 2 + ( −2y) ⋅ 4 x2 − −5 x2 ⋅ y 2 ⋅ ( −3y)
4
3)
( −3c) 3 ⋅ 4 d2 + ( −c 3 ) ⋅ 22d2 − ( −2d)2 ⋅ 5c 3 + 6c 3 ⋅ 6d2
4)
2,5 v 3 ⋅ 1,6u2 − 3,5 v 3 ⋅ 14
, v2u 3 + 9v4 ⋅ 8u3 v − 17u2 v 3
(
)(
)
(
)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1114
6
6
6
1)
... = 51a - 30a = 21a
2)
... = 18x y -14x y +64x y + 45x y = 113x y
3)
... = - 108c d - 22c d - 20c d + 36c d = - 114c d
4)
... = 4u v - 4,9u v +72u v - 17u v = - 13u v + 67,1u v
2 4
2 4
3 2
2 3
2 4
3 2
3 5
2 4
3 2
3 5
2 4
3 2
2 3
3 2
2 3
3 5
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Umformen von Termen 1
1115
Berechne folgende Terme:
1) 8a : (- 4)
5)
 1 3 1
 −6 ⋅ x  :2
 4
 2
9) (-29ac) : (- a)
2) (- 10,8y) : 0,9 3) (- 15xy) : (- 2) 4) 102a : 12
6) 15t : (- 3)
7) (cd) : d
8) (- cd) : c
10) (- 8xy2) : y
11) (- 42w) : (- 8w) 12) z4 : z2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Umformen von Termen 1
1115
1) - 2a
2)
- 12y
3)
7,5xy
4)
8,5a
5) - 2,5x3
6)
- 5t
7)
c
8)
-d
9) 29c
10) - 8xy
11) 5,25
12) z2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Umformen von Termen 1
1116
Berechne folgende Termwerte:
1) 16y : (- 2y)
3
2
4) (-a) : (-a )
9
3
2) (- abc) : (ac)
(
)
5) −32 ⋅ v 8 : v 5
11
7) x : (- x)
8) r
4
: (-r )
2
2
7
2
3) (-xy ) : (- y)
6) (- s) : (- s)
9) {96 : [(- 72):12]} : [(- 36) : 9]
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Umformen von Termen 1
1116
1) - 8
2) - b
3) - x
4) a
5) - 32v
3
6
7) - x
7
8) - r
5
6) (- s) = - s
5
9) {96:[-6]}:[-4] = {-16}:[-4] = 4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Umformen von Termen 1
1117
Berechne folgende Quotienten:
1) (- 102x) : 17
2) 138x2 : (- 23x)
3) (-78c2) : (-13c2)
4) (- 216x2) : 36x
5) (- 32c2d) : (- 2)
6) 29ab2 : (- ab2)
7) (- 54xyz) : (- 9y)
8) (- 156mn2p) : (-12mn) 9) (- 117v2w) : (-9vw)
10) 19a ⋅ 80b: ( −95b)
11) ( −9 x) ⋅ (150 y): ( −135 xy)
12) (56ab2 c): ( −8) ⋅ ab
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Umformen von Termen 1
1117
1) - 6x
2) - 6x
3) 6
4) - 6x
5) 16c2d
6) - 29
7) 6xz
8) 13np
9) 13v
10) - 16a
11) 10
12) - 7a2b3c
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Umformen von Termen 1
1118
Vereinfache folgende Terme so weit wie möglich:
1)
36,1x4 y 2 z : 3,8 x2 y ⋅ 19
, z
2)
4 ,4m2n3 :0 ,8n2 − 171
, m2n3 :( 0 ,95mn ) − 6n ⋅ ( 0 ,8m ⋅ 0 ,5n) + 36m3n2 : 12
, mn2 :0 ,2n
3)
4
 2 
3 ,5 a3 :0 ,14 a − 7 ,8a5 :12a3 − 21a3 :  −1 a2  + ( −2) a ⋅ ( −0 ,25 a)
 3 
(
)
(
)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Umformen von Termen 1
1118
1)
36 ,1x4 y2 z
= 5 x2 y
2
7 ,22x yz
2)
5,5m n - 1,8mn - 2,4mn + 6m n = 11,5m n - 4,2mn
3)
25a - 0,65a + 12,6a - 4a = 20,35a + 12,6a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Umformen von Termen 1
1119
Vereinfache folgende Terme so weit wie möglich:
1)
 8 x5 y 2 z
 
k5 
27k 3 s: (3ks) −  2 2 − 25k 2 y 2 :5ky 2 ⋅ 6k  +  15 x3 − 7 ⋅ 3 
k 
 2x y z
 
2)
(- 45a2b5) : (- 9b2) - (63a4b4) : (- 7a2b) + (99a3b3) : (- 11b) - (13a2b) ⋅ (-4ab)
3)
(- 84x2y5) : (- 7y2) + (- 108x4y4) : (- 12x2y) - (96x3y2) : 16 - (7x2y) ⋅ (- 4xy)
(
)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Umformen von Termen 1
1119
1)
9k2 - [4x3 - 30k2] +15x3 - 7k2 = 32k2 + 11x3
2)
5a2b3 + 9a2b3 - 9a3b2 + 52a3b2 = 14a2b3 + 43a3b2
3)
12x2y3 + 9x2y3 - 6x3y2 + 28x3y2 = 21x2y3 + 22x3y2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Rationale Zahlen
1120
Berechne:
a)
(-9,46) + (-59,2)
b)
(-17,5) - (-9,3)
c)
(-14,7) - (-28,9)
d)
57,4 - (-11,6)
e)
82,9 - (+161,7)
f)
73,41 - (+76,11)
g)
(-18,7)+23,4
h)
105,7 - (-99,9)
i)
(- 77,6) - (-88,3)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Rationale Zahlen
1120
a)
- 68,66
b)
- 8,2
c)
+ 14,2
d)
+ 69
e)
-78,8
f)
- 2,7
g)
+ 4,7
h)
+ 205,6
i)
+ 10,7
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Rationale Zahlen
1121
Berechne:
a)
(-27,8) + 25,4
b)
-147,5 + 174,2
c)
-386,3 + (-181,4)
d)
 1  2
−  + − 
 6  3
e)
 3  4
 −1  +  −2 
 4  5
f)
 2   1
 −5  +  + 
 3   2
g)
 3   2
 +6  +  +4 
 5  3
h)
 3   2
 −4  +  +3 
 5  5
i)
3
 5 
 +6  +  −6 
 7   14 
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Rationale Zahlen
1121
a)
- 2,4
b)
+ 26,7
c)
- 567,7
d)
−
5
6
e)
−4
11
20
f)
−5
g)
11
4
15
h)
−1
1
5
i)
1
2
1
6
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Rationale Zahlen
1122
Berechne:
a)
 4  5
 −6  +  −5 
 7  6
d)
6
3  3
+  −9 
8  4
b)


5   10 

 −6  +  +7 
 13   26 
c)
1 
2

 −13  +  −12 

2 
3
1
7
f)
 4  6
 −3  +  −8 
 5  7
e)  −2  + 7
6
7
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Rationale Zahlen
1122
a)
−12
d)
−3
17
42
3
8
b)
+1
e)
+5
5
7
c)
−26
1
6
f)
−12
23
35
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Rationale Zahlen
1123
Berechne:
a)
4

( +27 ,2 ) +  −31 

5
b)
3

( −49 ,3 ) +  −17 

5
c)
3

 −38  + 24 ,625

8
d)
17 

 −19  + 24 ,74

20 
e)
17
2
+ ( −29 ,4 )
3
f)
1

 −16  + ( −17 ,6)

4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Rationale Zahlen
1123
a)
- 4,6
c)
−13
e)
17
f)
1

 −16  + ( −17 ,6) = −(16 ,25 + 17 ,6) = −33 ,85

4
3
4
b)
- 66,9
d)
+ 4,89
2 
2
10 
6
11
2
+ ( −29 ,4) = 17 +  −29  = 17
+  −29  = −11
3
3 
5
15 
15 
15
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Rationale Zahlen
1124
Berechne:
a)
 1   1
−  ⋅+ 
 3  7
b)
 2  6 
+  ⋅ − 
 3  7 
c)
 5  3
−  ⋅ − 
 12   20 
d)
 7  7 
−  ⋅ − 
 8   12 
e)
 5  5
 +2  ⋅  −1 
 8  7
f)
 2   1
 −4  ⋅  −4 
 3   2
g)
( −2,4) ⋅  +1
1

4
h)
 1
 −3  ⋅ 2,5
 4
i)
 5
 −1  ⋅ ( −5 ,5 )
 11
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Rationale Zahlen
1124
b)
−
c)
1
16
49
96
e)
1
 21  12 
f)
 +  ⋅  −  = −4
 8  7
2
21
-3
h)
−8
a)
−
d)
g)
1
21
4
7
1
8
i)
8
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Rationale Zahlen
1125
Berechne:
a)
1

8 ,4 ⋅  −4 
 6
b)
 1
 −3  ⋅ 48
 8
c)
( −4 ,9) ⋅  −
18 

35 
d)
( −38 ,5) ⋅
7
11
e)
25 
1
⋅  −6 
62  5 
f)
 23 
 −  ⋅ ( −37,5)
 75 
g)
( −2,8) ⋅ ( +4 ,4)
h)
( −0 ,28) ⋅ ( +0 ,44)
i)
( −28) ⋅ ( +0 ,0044)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Rationale Zahlen
1125
a)
- 35
d)
−24
g)
- 12,32
1
2
13
= 2,52
25
b)
- 150
c)
2
e)
−2
1
2
f)
11
h)
- 0,1232
i)
- 0,1232
1
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Rationale Zahlen
1126
Berechne:
a)
( −7) ⋅ ( +3) ⋅ ( −8)
b)
( +6)( −9) ⋅ ( −11)
c)
( −4) ⋅ ( −5) ⋅ ( −12)
d)
 3  2  4 
−  ⋅ +  ⋅ − 
 4   3  3 
e)
 3   1   1
 −1  ⋅  −2  ⋅  −3 
 5   4   3
f)
1  2 
1
2 ⋅  −1  ⋅  −6 
2  3  4 
g)
 1  4 
 −1  ⋅  +2 
 4  5
h)
 2
 −1 
 3
i)
 1  4 
 −1  ⋅  − 
 8  9
2
3
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Rationale Zahlen
1126
a)
168
b)
594
c)
- 240
d)
2
3
e)
12
f)
625
1
= 26
24
24
g)
35
3
=4
8
8
h)
−
i)
1
4
125
17
= −4
27
27
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
WH
Rationale Zahlen
1127
Berechne:
a)
( −2) ⋅ ( +6) ⋅ ( −5) − ( +3) ⋅ ( −8) ⋅ ( +4)
c)
( −15) ⋅  −2
e)
 8   3   2
 −  ⋅  −  +  −1  ⋅ ( +3)
 9   20   5 
1 
7
 −  +1  ⋅ ( −6)
5   12 
b)
( −8) ⋅ ( −7) ⋅ ( −3) + ( −9) ⋅ (+7) ⋅ ( +2)
d)

, ) ⋅  +2
( −15

f)
 3   1  3 
 +  ⋅  −9  +  −2  ⋅ ( −4)
 7   3  4 
2  1
 −  −2  ⋅ 12
3  4 
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
WH
Rationale Zahlen
1127
a)
60 - (- 96) = 156
b)
- 168 - 126 = - 294
c)
33 + 9,5 = 42,5
d)
-4 + 27 = 23
e)
2 21
61
1
−
=−
= −4
15 5
15
15
f)
- 4 + 11 = 7
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Auflösen von Klammern
1201
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1)
2
3
4
1
5
 1
 
 −1 a + 2 b − 2 −  −1 a + 2 b − 2  − 3 a
 2
  10
3
5
2
6
2)
5   1
3  
10 
1
y
 x − 3 − y −  − x − y −  4 −
3
11   3
11  
11 
3)
1
4
1
4
  7
v+ u−5 
 v − 2 u − 3 −  −
5
  10
2
5
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Auflösen von Klammern
1201
1)
2
3
4
1
5
 1
 
 −1 a + 2 b − 2 −  −1 a + 2 b − 2  − 3 a =
 2
  10
3
5
2
6
= −1
15
10
9
12
1
25
1
2
1
a+2
b− 2+1
a−2
b+2 −3
a = −4
a−
b+
30
15
30
15
2
30
30
15
2
2)
1
5   1
3  
10  2
1
y −  − x −
y −  4 −
y = x − 7 + 1 y
 x−3−
3
11
11   3
11  
11  3
3)
...=
4
1
7
4
1
1
3
1
v−2 u−3+
v− u+5 = 1 v−3
u+2
5
2
10
5
2
2
10
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Auflösen von Klammern
1202
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1)
−[ −( −4,6u + 8,5 v − 9,2w )] − ( 4,6u − 8,5 v − 6,2w )
2)
1

  1

− −5 x + 2 y − 35 z + 9,55 +  2 y − 9,05

  3

3
3)
-4,8a - [-6,5y - (8,2z - 3,5a)+(6,3z - 7,6a) - 8,1y]
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Auflösen von Klammern
1202
1)
... = −[4,6u − 8,5 v + 9,2w ] − 4,6u + 8,5 v + 6,2w =
= −4,6u + 8,5 v − 9,2w − 4,6u + 8,5 v + 6,2w = −9,2u + 17 v − 3 w
1
1
y + 35 z − 9,55 + 2 y − 9,05 = 5 x + 35 z − 18,6
3
3
2)
.. . = 5 x − 2
3)
... = -4,8a - [-6,5y - 8,2z + 3,5a + 6,3z - 7,6a - 8,1y] =
= - 4,8a - [- 14,6y - 1,9z - 4,1a] = - 4,8a + 14,6y + 1,9z + 4,1a =
= - 0,7a + 14,6y + 1,9z
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Auflösen von Klammern
1203
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1)
5 2
2 2  
7 2 
3
  1
 xy − x y + z −  − xy + x y +  − z + x y
4
  4
 

3
3
3
2)
3
 1 2
  2 1
  1 2

 2 u + 1 u − 8 −  u + u − 9 −  1 u + 2u − 6
 2
 
  2

4
4
3)
−20 a − ( 25b − 26c) − [ −(35 a + 57c) + ( −24b + 74 a)] + 42b + 17 a
{
}
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Auflösen von Klammern
1203
3
5
1
2
7
xy − x2 y + z + xy − x2 y − z + x2 y = xy
4
3
4
3
3
1)
... =
2)
.. . = 2
3)
...= −20 a − { 25b − 26c − [ −35 a − 57c − 24b + 74 a] + 42b} + 17 a =
1 2
3
1
1
1
u + 1 u − 8 − u2 − u + 9 − 1 u2 − 2u + 6 = − u + 7
2
4
4
2
2
= −20a − {25b − 26c + 35a + 57 c + 24b − 74a + 42b} + 17a =
= −20a − {91b + 31c − 39a} + 17a =
= −20 a − 91b − 31c + 39 a + 17 a = 36 a − 91b − 31c
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Auflösen von Klammern
1204
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1)
[( 5 a
2)
8,5 x + 3
2
] {(
)
) [(
) (
− 3 a + 5 a − −7 − 3 a2 + 8 − a2 − 8 a2 − 6 + a3
5
2
7
3
 2
y −  z +  y − 1 x −
 3
3
4
12
9
8
  1
z  −  x + 1
  6
9
)]}

y 

Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Auflösen von Klammern
1204
1)
] {
[
[
. . . = 5 a 2 − 3 a + 5 a − −7 − 3 a 2 + 8 − a 2 − 8 a 2 + 6 − a 3
{
]} =
}
= 5a2 + 2a − −7 − 3a2 + 14 − 9a2 − a3 =
= 5a2 + 2a + 7 + 3a2 − 14 + 9a2 + a3 = 17a2 + 2a − 7 + a3
2)
.. . = 8,5 x + 3
2
2
3
5
7
y −  z+  y −1 x+
3
3
4
12
9
8
 1
z − x − 1
9
 6

y =

= 8,5 x + 3
2
11
5 
 11
y − 1
z−1
y − 1 x =
3
36
6 
 36
= 8,5 x + 3
2
11
11
5
1
35
11
y −1
z+1
y + 1 x == 10 x + 4
y −1
z
3
36
36
6
3
36
36
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Auflösen von Klammern
1205
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1
1
1



u −  5u2 + 4,5u + 7  − u − 0,8u2 +  7 v + 4 u2 + 4 − 6 v



2
2
5
(
)
1)
10,5 + 6
2)
2
3 2 3 2 
1 
2
1 2


− 4,1a2 − b2 +
c −
b −  0,7c 2 − 2 a2  + 2a − a2 +  8 −
b  + 3a



5
10  10
2 
5
10 
3)
(2a − b) − {(2b + 3 a) − [(4c − 6b) − (6b + 2c)]}
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Auflösen von Klammern
1205
1)
.. . = 10,5 + 6
1
1
1
u − 5u2 − 4,5u − 7 − u + 0,8u2 + 7 v + 4 u2 + 4 − 6 v =
2
2
5
= 7 + u +v
2)
.. . = −4,1a2 +
2 2 3 2 3 2
1
2
1 2
b −
c −
b − 0,7c 2 + 2 a2 + 2a − a2 + 8 −
b + 3a =
5
10
10
2
5
10
= −2a2 − c 2 + 5 a + 8
3)
(2a − b) − {2b + 3 a − [4c − 6b − 6b − 2c]} = (2a − b) − {2b + 3 a − [2c − 12b]} =
= 2a − b − {2b + 3 a − 2c + 12b} = 2a − b − 14b − 3 a + 2c = − a − 15b + 2c
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Auflösen von Klammern
1206
Stelle folgende Terme auf und fasse zusammen:
1)
Von der Differenz von 23x und 14y ist die Summe der Terme 16x - 15y und
11y - 54x zu subtrahieren
2)
Von der Differenz der Terme 71c - 35d und 18d - 14c ist der Term 89d - 31c zu
subtrahieren.
3)
Subtrahiere von 135x die Summe von 56y + 81z und 45x - 69y und vermindere
das Ergebnis um die Differenz aus 63z + 47y und 58z - 95x.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Auflösen von Klammern
1206
1)
( 23x − 14y) − [(16x − 15y) + (11y − 54x)] = 23x − 14y − [16x − 15y + 11y − 54x] =
= 23x − 14y + 38x + 4y = 61x − 10y
2)
[(71c − 35d) − (18d − 14c)] − ( 89d − 31c) = [71c − 35d − 18d + 14c] − 89d + 31c =
= 85c − 53d − 89d + 31c = 116c − 142d
3)
{135x − [( 56y + 81z) + ( 45x − 69y)]} − [( 63z + 47y) − ( 58z − 95x)] =
= {135x − [ −13y + 81z + 45x]} − [ 63z + 47y − 58z + 95x] =
= 135x + 13y − 81z − 45x − 5z − 47y − 95x = −5x − 34y − 86z
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Auflösen von Klammern
1207
Stelle folgende Terme auf und fasse zusammen:
3
Von 19,6x - 47,6y ist die um 41 x vergrößerte Differenz der Terme
5
1)
69,8y - 46,7x und 14x + 89y zu subtrahieren.
2)
Subtrahiere die Differenz der Terme 385a und 254b von der Differenz der
Terme 658b - 846a und 759a + 904b .
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Auflösen von Klammern
1207
1)
(19,6x - 47,6y) -{[(69,8y - 46,7x) - (14x + 89y)] +41,6x} =
= 19,6x - 47,6y - {69,8y - 46,7x -14x - 89y +41,6x} =
= 19,6x - 47,6y - 69,8y + 46,7x + 14x + 89y -41,6x = 38,7x - 28,4y
2)
[(658b - 846a) - (759a + 904b)] - (385a - 254b) =
= 658b - 846a - 759a - 904b - 385a +254b = 8b - 1990a
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Distributivgesetz
1301
Berechne:
1)
8(5a + 7b - 6c) + 11(5a - 4b + 9c) - 12(3a - 6b + 7c)
2)
25(2a + 3b - 5) - 16(4a - 6b) + 12(9 - 7b) - 14(5 - 3a)
3)
x(x - 3y) - y(3x - y)
4)
u(3u + 4w) - 2w(4u + 6w)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Distributivgesetz
1301
1)
40a + 56b - 48c + 55a - 44b + 99c - 36a + 72b - 84c = 59a + 84b - 33c
2)
50a + 75b - 125 - 64a + 96b + 108 - 84b - 70 + 42a = 28a + 87b - 87
3)
x2 - 3xy - 3xy + y2 = x2 - 6xy + y2
4)
3u2 + 4uw - 8uw - 12w2 = 3u2 - 4uw - 12w2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Distributivgesetz
1302
Vereinfache:
2
1)
a(a - 5) - 6a + 9a(8a + 7) - 4a(3 + 5a)
2)
14c(8x - 3y + 7c) + 13x(9c - 8y + 2x) - 11y(7x - 6c + 11y)
3)
(4m - 5nm)2n - 4n(3mn + 7m ) - 8mn(4n - 3m)
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Distributivgesetz
1302
2
2
2
2
2
1)
a - 5a - 6a + 72a + 63a - 12a - 20a = 47a + 46a
2)
112cx - 42cy + 98c2 + 117cx - 104xy + 26x2 - 77xy + 66cy - 121y2 =
= 229cx + 24cy +98c2 - 181xy + 26x2 - 121y2
3)
8m2n - 10mn2 - 12mn2 - 28m2n - 32mn2 + 24m2n = 4m2n - 54mn2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Distributivgesetz
1303
Berechne:
1)
8b - 11(2a - 3b) + 15(3a + 4b)
2)
- v(6 - 7w) + 6v(8 - 5w)
3)
6(16 + 4,8y) - 15(2y + 6)
4)
8(3c + 12d) + 6c(11 + 13d) + 2c(-6 + 5d)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Distributivgesetz
1303
1)
8b - 22a + 33b + 45a + 60b = 23a + 101b
2)
- 6v + 7vw + 48v - 30vw = 42v - 23vw
3)
96 + 28,8y - 30y - 90 = 6 - 1,2y
4)
24c + 96d + 66c + 78cd - 12c + 10cd = 78c + 96d + 88cd
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Distributivgesetz
1304
„Distributivgesetz rückwärts“
Forme die Terme so um, dass Produkte entstehen:
1)
17x + 17y
2)
14a - 14b
3)
20x - 25y
4)
- 77a + 56b
5)
144x - 108y
6)
- 289p - 187q
7)
5ax + 5ay
8)
2x y - zx
9)
- m qt + m
2
2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Distributivgesetz
1304
1)
17(x + y)
2)
14(a - b)
3)
5(4x - 5y)
4)
7(- 11a + 8b)
5)
36(4x - 3y)
6)
- 17(17p + 11q)
7)
5a(x + y)
8)
x2(2y - z)
9)
m2(- qt + 1)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Distributivgesetz
1305
Multipliziere die Klammern aus und vereinfache:
5
y)
9
1)
x(x + 2y - 4) - y(2x + 2y - 5) - 6(x - 3y) - 9(x -
2)
8(a - 2b + 15) - 14(a + 3b) + 19(2b - 4a - 7)
3)
187p - 17(p + 3q - 2r) - 16(5p - 6q + 8r) + 18(3q + 4r - 5p)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Distributivgesetz
1305
2
2
2
2
1)
x + 2xy - 4x - 2xy - 2y + 5y - 6x + 18y - 9x + 5y = x - 2y - 19x + 28y
2)
8a - 16b + 120 - 14a - 42b + 38b - 76a - 133 = - 82a - 20b - 13
3)
187p - 17p - 51q + 34r - 80p + 96q - 128r + 54q + 72r - 90p = 99q - 22r
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Distributivgesetz
1306
Vereinfache folgende Terme:
1)
54(x + y + z) - 33(x - y + z) + 42(x + y - z) - 53(y - z - x)
2)
(2a + 3b + 4 c) ⋅ 13 − (3a − 5 − 6 c) ⋅ 16 − ( 5b − 12 − 2a) ⋅ 14 − 8(7a + 21)
3)
4(u + 2v − 3) + 6u − ( 3u − 5v − 7) ⋅ 7 − 9v − 14( 2u − 3 v)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Distributivgesetz
1306
1)
54x + 54y + 54z - 33x + 33y - 33z + 42x + 42y - 42z - 53y + 53z + 53x =
= 116x + 76y + 32z
2)
26a + 39b + 52c - 48a + 80 + 96c - 70b + 168 + 28a - 56a - 168 =
- 50a - 31b + 148c + 80
3)
4u + 8v - 12 + 6u - 21u + 35v + 49 - 9v - 28u + 42v = - 39u + 76v + 37
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Distributivgesetz
1307
Vereinfache folgende Terme:
1)
0,4x(0,6x - 0,9y) - 0,7y(1,3y - 2,2x)
2)
3
1  2
1 
3  5
1 
a 3 a − 5 b − 1 b 2 a + 6 b
2  7
3 
4  7
3 
3)
2
6  4
1 
4  3
5 
x 2 x − 16 y − 4 y 3 x − 5 y
7  5
3 
9  5
8 
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Distributivgesetz
1307
2
2
2
2
1)
0,24x - 0,36xy -0,91y +1,54xy = 0,24x + 1,18xy - 0,91y
2)
7  23
16  7  19
19 
a
a−
b − b
a+
b =
2  7
3  4  7
3 
=
3)
23 2 56
19
133 2
1
5
1
a −
ab −
ab −
b = 11 a2 − 23
ab − 11 b2
2
3
4
12
2
12
12
20  14
49  40  18
45 
x
x−
y −
y
x−
y =
7  5
3  9  5
8 
= 8 x2 −
140
2
xy − 16 xy + 25 y2 = 8 x2 − 62 xy + 25 y2
3
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Distributivgesetz
1308
Wende das Distributivgesetz an:
1) (68x - 85) : 17
2
3
2) (144a + 72b) : 12
4) (39x - 117x ) : 13
7)
( 5y
2
)
+ 7z :
1
3
2
3
3) (3x - 9y) : 4
5) (65x - 104x ) : 13x
8)
( −a + 6b):
1
4
2
3
2
6) (26x - 91x ) : 13x
9)
( −8u − 7v):0,1
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Distributivgesetz
1308
1) 4x - 5
2
2) 12a + 6b
3
4) 3x - 9x
2
7) 15y + 21z
2
3)
3
9
x− y
4
4
5) 5x - 8x
6) 2 - 7x
8) - 4a + 24b
9) - 80u - 70v
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Distributivgesetz
1309
Wende das Distributivgesetz an:
1)
( 6a b
− 12a3b + 48a 5b3 : 6a3b
2)
(25x y
4
3)
(35k m
4)
(16u v
4 2
2
)
4
5 4
)
− 40 xy3 + 85x3 y 5 : 5xy 3
5
)
− 21k 3m2 − 77k 4m3 :7k 3m2
)
− 72u2 v3 − 28u3 v4 : 8u2 v3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Distributivgesetz
1309
2 2
1)
ab - 2 + 8a b
2)
5xy - 8 + 17x y
3)
5km - 3 - 11km
4)
2u v - 9 - 3,5uv
2 2
3
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Distributivgesetz
1310
Divisionen lassen sich auch mit Bruchstrichen schreiben. Bearbeite die Aufgaben
nach folgendem Muster:
4a2 − 12ab
= 4a2 − 12ab :4a = a − 3b
4a
(
)
1)
12x + 28
4
2)
−12x − 28
4
3)
12x − 27
−3
4)
−12x − 27
−3
5)
4a2 + 8a
a
6)
4a3 − 9a2
−a
7)
15a ⋅ 25
5
8)
15a ⋅ 25
a
9)
8 x3 − x 2
x2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Distributivgesetz
1310
1) 3x + 7
2) - 3x - 7
3) - 4x + 9
4) 4x + 9
5) 4a + 8
6) - 4a + 9a
7) 75a
8) 375
9) 8x - 1
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Distributivgesetz
1311
Vereinfache folgende Terme:
65 − 39x
+ 6x + 9( 8 − x) − ( −6) ⋅ ( −4)
13
1)
−
2)
64a − 96
− 4a + 12(a + 9) − 18
−8
3)
−
4)
(176u − 66v): ( −11) + 14u + (117v − 72u): ( −9) + 11v
78a − 48b
143b − 78a
− 19b
+ 15a −
6
−13
Hinweis:
6a + 2b
= ( 6a + 2b):2 = 3a + b
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Distributivgesetz
1311
1)
... = - 5 + 3x + 6x + 72 - 9x - 24 = 43
2)
... = - 8a + 12 - 4a + 12a + 108 - 18 = 102
3)
... = - 13a + 8b + 15a + 11b - 6a - 19b = - 4a
4)
... = - 16u + 6v + 14u - 13v + 8u + 11v = 6u + 4v
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Distributivgesetz
1312
Vereinfache folgende Terme:
Achte besonders auf die Reihenfolge der Berechnung!
(
)
1)
50a4 : 5a + 3a3b2 : b2a2
2)
5v − ( 6u − 7v) ⋅ v − 2uv − 3 v2 ⋅ 3 : v
3)
( −4 x) ⋅ [( 8 − 6y)4 x − ( 51x2 + 69yx2 ): ( −3 x) − ( −4 y + 2)9x] + 140 x2 y
[
(
) ]
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Distributivgesetz
1312
1)
.. . = 50a4 : ( 5a + 3a) = 50a4 : 8a = 6,25a3
2)
.. . = 5v − 6uv − 7v2 − 6uv + 9v2 : v = 5v − 2v2 : v = 5v − 2v = 3 v
3)
.. .= ( −4 x) ⋅ [32x − 24 xy − ( −17x − 23 xy) + 36xy − 18x] + 140 x2 y =
[
]
[ ]
= ( −4 x) ⋅ [32x − 24 xy + 17x + 23 xy + 36xy − 18x] + 140 x2 y =
( −4 x) ⋅ [31x + 35xy] + 140 x2 y = −124 x2 − 140 x2 y + 140 x2 y = −124 x2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Distributivgesetz
1313
Vereinfache folgende Terme:
1)
4(6x - 5y) - 8(3x + 2y)
2)
(u − 6v) ⋅ u − 6(u2 − uv)
3)
(4a − 2b + 3ab) ⋅ ( −3) − (a + 5) ⋅ ( −5b)
4)
2y 1 + 2y − 3 y2 ⋅ 5 + 1 − y 2 ⋅ ( −30 y)
5)
m2 (4 − m) ⋅ m3 − m7 − 3m6 : m
6)
(18u
(
)
(
)
(
2
)
)
(
)
(
)
⋅ 27 : 9 − 18u2 − 27 : 9 + 18u2 − 27 : ( −9)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Distributivgesetz
1313
1)
... = 24x - 20y - 24x - 16y = - 36y
2)
... = u - 6vu - 6u + 6uv = - 5u
3)
... = - 12a + 6b - 9ab + 5ab + 25b = - 12a + 31b - 4ab
4)
... = 10y + 20y -30y - 30y + 30y = - 20y + 20y
5)
... = 4m - m - m + 3m = 7m - 2m
6)
... = 54u - 2u + 3 - 2u + 3 = 50u + 6
2
2
2
5
2
6
2
2
3
3
6
5
2
2
5
2
6
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Distributivgesetz
1314
Vereinfache folgende Terme:
(
)
(
)
1)
11x 4xy + 3 y2 − 12y 9 xy − 6 x2 + 18 xy( 2x − 3 y)
2)
3 2 2
3
p q 14p2 − 35 + pq 16pq − 88qp3 − 21p2q2
7
8
3)
7  10
3  35
55
13
5  5

  8
3 a 1 a − 6b + 45 − 3 b b −
a − 30 −  15 b2 −
ab + 10 a2  ⋅ 1

  9
9  17
5  12
54
2
6  13
(
)
(
)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Distributivgesetz
1314
2
2
2
2 2
2 2
2
2
4 2
2 2
2
2
2
1)
... = 44x y + 33xy -108xy + 72x y + 36x y - 54xy = 152x y - 129xy
2)
... = 6p q - 15p q + 6p q - 33p q - 21p q = - 27p q - 30p q
3)
... =
4 2
4 2
2 2
34  27
55
65 2  18
 18  35
  143 2 13
a
a − 6b + 45 −
b b −
a − 30 − 
b −
ab +
a ⋅
=
 5  12
  9
 13
9  17
54
2
6
= 6 a2 −
68
21
11
ab + 170 − b2 + ab + 108 − 22b2 + 9ab − 15a2 =
3
2
3
1
= −9a2 − 10ab + 278 − 32 b2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Distributivgesetz
1315
Vereinfache folgende Terme:
1)
19a(2a + 3b + 4c) - 11b(5a - 6b + 7c) - 15c(8a + 9b -c)
2)
16(13p + 14q) - 18(15p - 12q) + 17(8p + 9q)
3)
6(29x - 27y + 33z) - 7(23z - 24y + 43x) + 26(6y - 9z - 8x)
4)
7(12a - 18b + 89c) - 9(37c - 99a - 35b) - 25(22b + 44c - 32a)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Distributivgesetz
1315
1)
2
2
2
... = 38a + 57ab +76ac - 55ab + 66b - 77bc - 120ac - 135bc + 15c =
= 38a2 + 66b2 + 15c2 + 2ab - 44ac - 212bc
2)
... = 208p + 224q - 270p + 216q + 136p + 153q = 74p + 593q
3)
... = 174x - 162y + 198z - 161z + 168y - 301x + 156y - 234z - 208x =
= - 335x + 162y - 197z
4)
... = 84a - 126b + 623c - 333c + 891a + 315b - 550b - 1100c + 800a =
= 1775a - 361b - 810c
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Distributivgesetz
1316
Vereinfache folgende Terme:
2
2
1)
5xy(x - z) - 2yz(3y - 4x) - y (5x - 6z) + 5xy
2)
4(3a + 6b − 2c) ⋅ a − 7( 2a − 4b − 3 c) ⋅ b − 3 c(2a + 7b)
3)
(195p + 90q - 225r) : 15 - 7(2p - 3q + 5r) + (324p + 126q + 270r) : 18
4)
1
1
1
1
( 40 x − 56y) − ( −42y − 54x) + ( 45 y − 108x) − ( 98y − 56x)
8
6
9
7
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Distributivgesetz
1316
2
2
2
2
2
2
1)
... = 5x y - 5xyz - 6y z + 8xyz - 5xy + 6y z + 5xy = 5x y + 3xyz
2)
... = 12a + 24ab - 8ac - 14ab + 28b + 21bc - 6ac - 21bc =
2
2
= 12a + 10ab - 14ac + 28b
2
2
3)
... = 13p + 6q - 15r - 14p + 21q - 35r + 18p + 7q + 15r = 17p + 34q - 35r
4)
... = 5x - 7y + 7y + 9x + 5y - 12x - 14y + 8x = 10x - 9y
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Distributivgesetz
1317
Vereinfache folgende Terme:
1)
6 ⋅ [( − x + 4y) ⋅ 7 − 3( 2x + 5 y)] − 8[ 9 − 5( −8y − 3 x + 2) − 5 x]
2)
3 y[ 4a − 9 ⋅ ( 2a − 8b + 5) − 17b] − 4y[(3a + 2b) ⋅ 8 − 7( −3a + 4b)]
3)
8u − 6v − (154v + 196u):14 − (171u − 228v) ⋅
4)
19
2 
11
 7
 1
y −  z − (7,5 y − 2,5 z) −  y + 6 z − y 
 18
3
3 
2
 3
1
19
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Distributivgesetz
1317
1)
... = 6 ⋅ [ −7 x + 28 y − 6 x − 15 y] − 8 ⋅ [9 + 40 y + 15 x − 10 − 5 x] =
= 6 ⋅ [ −13 x + 13 y] − 8 ⋅ [40 y + 10 x − 1] = −78 x + 78 y − 320 y − 80 x + 8 =
= −158 x − 242y + 8
2)
3 y[ 4a − 18a + 72b − 45 − 17b] − 4y[24a + 16b + 21a − 28b] =
= 3 y[ −14a + 55b − 45] − 4y[ 45a − 12b] = −42ay + 165by − 135 y − 180ay + 48by =
= -222ay + 213by - 135y
3)
4)
... = 8u - 6v - 11v - 14u - 9u + 12v = - 15u - 5v
19
1
11
 7

y −  z − 7,5 y + 2,5 z −  y + z − 4y  =
3
3
2
 3

19
5
1
1
=
y − 8z + 7,5 y + y − z = 15,5 y − 8 z
3
3
3
3
.. . =
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Distributivgesetz
1318
Vereinfache folgende Terme:
1)
8x3 y 2 − 11x3 y
− 5 x 3,4xy 2 − 2,2x
xy
2)
11( 4x − 6y) − 9[( 42x − 98y) :14 + (7x − 4y) ⋅ 2]
3)
(22,1c d
(
6
Hinweis:
4
)
)(
− 28,9c 5 d3 + 18,7c3 d2 − 20,4c 3 d4 : −0,17c3 d2
)
6a + 2b
= ( 6a + 2b):2 = 3a + b
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Distributivgesetz
1318
2
2
2 2
2
2
2 2
1)
... = 8x y - 11x - 17x y + 11x = 8x y - 17x y
2)
... = 44x - 66y - 9[3x - 7y + 14x - 8y] = 44x - 66y -153x + 135y = - 109x + 69y
3)
... = - 130 c d + 170c d - 110 + 120d
3 2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Distributivgesetz
1319
Vereinfache folgende Terme:
[
(
)
1)
15[( 2x − 4y) ⋅ 6 − 2( −6x + 3 y)] − 13 16x − 69x2 − 36xy :3 x − 14y
2)
13a( 4a − 6b) − 55a2 − 2 (11b + 8a)( −5a) − 7 −5ab + 9a2
3)
72c3
−8 d 

− ( 8c − 12d) : ( −2) − 2( −3 c + 4d) −
:2
2
−12c
−2d 

[
(
]
)]
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Distributivgesetz
1319
1)
...= 15[12x - 24y + 12x - 6y] - 13[16x - 23x + 12y - 14y] =
= 15[24x - 30y] - 13[- 7x - 2y] = 360x - 450y + 91x + 26y = 451x - 424y
2)
2
2
2
2
... = 52a - 78ab - 55a - 2[- 55ab - 40a + 35ab - 63a ] =
2
2
2
= 52a - 78ab - 55a - 2[- 20ab - 103a ] =
2
2
2
2
= 52a - 78ab - 55a + 40ab + 206a = 203a - 38ab
3)
... = - 6c + 4c - 6d - [- 6c + 8d - 4] : 2 = - 2c - 6d + 3c - 4d + 2 = c - 10d + 2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Distributivgesetz
1320
Verwandle folgende Summen in Produkte:
2
2) cy + c
3
5) 36abc - 8ac
1) 2a - 16a
3) ab - b
2
4) 3x + 6x
2 2
7) 3xy - 21x y
2
8) 5z + 5z
2
2
2
6) 14x y + 7xy
3 2
2 3
9) 40p q - 32p q
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Distributivgesetz
1320
1) 2a(a - 8)
2) c(y + 1)
3) b(a - b)
4) 3x(x + 2)
5) 4ac(9bc - 2)
6) 7xy(2x + y)
7) 3xy(1 - 7xy)
8) 5z(z + 1)
9) 8p q (5p - 4q)
2
2 2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Distributivgesetz
1321
Klammere soviel wie möglich aus:
3
2
3
1) 6ax - 9ax + 12ax
3
2
2) 75a - 25a + 65a
4
2 3
3) 9,1y + 5,2y + 7,8y
3
2 2
4) 12a b - 18a b - 36a b
9 2 3
15 3
v +
v+
v
8
20
4
5)
2
6)
5
25 2 2 15 3
st −
s t +
s t
2
6
4
2 2
7) 4ab + 8ac + 12 ad
3 2
2 3
8) 196a b - 112a b + 42a b
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Distributivgesetz
1321
2
2
1) 3ax(2x - 3x + 4)
2
2) 5a(15a - 5 + 13a)
2
3) 1,3y (7y + 4 + 6y )
5)
3 3
1

v v + + 5 v 2 

4 2
5
7) 4a(b + 2c + 3d)
2
2
4) 6a b(2b - 3a - 6b)
6)
5 
5
3 
st 1 − st + s 2 
2 
3
2 
2 2
8) 14a b (14 - 8a + 3b)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Distributivgesetz
1322
Schreibe folgende Terme als Produkte:
1)
( a + b) ⋅ x + ( a + b) ⋅ y
2)
(m − n) ⋅ a − (m − n) ⋅ c
3) 3k(c - d) + c - d
4) m(2x + y) - 2x - y
5) 4ax + 6ay + 6bx + 9by
6) 12mu - 8mv - 30nu + 20nv
7) 2ns - nt - 2ps + pt
8) 4c x - 12c y - 3d x + 9d y
2
2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Distributivgesetz
1322
1) (a + b)(x + y)
2) (m - n)(a - c)
3) (c - d)(3k + 1)
4) (2x + y)(m - 1)
5) 2a(2x + 3y) + 3b(2x + 3y) = (2x + 3y)(2a + 3b)
6) 4m(3u - 2v) - 10n(3u - 2v) = (3u - 2v)(4m - 10n)
7) n(2s - t) - p(2s - t) = (2s - t)(n - p)
2
2
2
2
8) 4c (x - 3y) - 3d (x - 3y) = (x - 3y)(4c - 3d )
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Distributivgesetz
1323
Verwandle folgende Terme in Produkte:
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
1) a x + b x - a y - b y
2) a c - a d + bd - bc
3) xy + z - yz - x
4) 3x - 4 - 20y + 15xy
5) 4m + 2n + 5pn + 10pm
6) 3a - 2ab + 8b - 12ba
4
2
3
7) y + y - 3y - 3
2
8) 3,3cd + 8,8ce - 3,6bd - 9,6be
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Distributivgesetz
1323
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1) x(a + b ) - y(a + b ) = (x - y)(a + b )
2
2
2
2
2
2) a (c - d ) - b(c - d ) = (a - b)(c - d )
3) y(x - z) -(x - z) = (x - z)(y - 1)
(Umsortieren!)
4) (3x - 4) + 5y(3x - 4) = (3x - 4)(1 + 5y)
5) 2(2m + n) + 5p(2m + n) = (2m + n)(2 + 5p)
6) a(3a - 2b) - 4b(3a- 2b) =(3a - 2b)(a - 4b)
3
3
7) y (y + 1) - 3(y + 1) = (y + 1)(y - 3)
8) 1,1c(3d + 8e) - 1,2b(3d + 8e) = (3d + 8e)(1,1c - 1,2b)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Multiplikation von Summen
1401
Multipliziere folgende Klammern aus:
1) (x + 3)(x + 2)
2) (k - 5)(k + 2)
3) (y - 6)(y - 7)
4) (- z + 2)(z + 3)
5) (- 2x + 3)(5- 4x)
6) (-2k - 3)(- 3k - 2)
7) (0,4a - 0,5b)(0,5a + 0,4b)
8) (0,7x + 1,3y)(0,7x - 1,3y)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Multiplikation von Summen
1401
1) x2 + 5x + 6
2) k2 - 3k - 10
3) y2 - 13y + 42
4) - z2 - z + 6
5) 8x2 - 22x + 15
6) 6k2 + 13k + 6
7) 0,2a2 - 0,09ab - 0,2b2
8) 0,49x2 - 1,69y2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Multiplikation von Summen
1402
Multipliziere folgende Klammern aus:
1) - (4x + 3y)(2x - 5y)
2) - (- 6a + 4b)(- 2a + 5b)
3) - (3p - 8q)(- 2p - 7q)
4) - (15r - 12s)(- 8s - 11r)
2
2
2
2
5) (2a - 4c )(9c - 8a )
7)
1 
1
1 
 1
 1 a − 2 b  −2 a + 1 b
 3
2  4
5 
6)
2  1
5 
3
 u + v  v − u
5
3  4
6 
8)
(1,8x
2
)(
− 16
, y 3 18
, y 3 + 1,6x2
)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Multiplikation von Summen
1402
2
2
2
1) - 8x + 14xy + 15y
2
2) - 12a + 38ab - 20b
2
2
3) 6p + 5pq- 56q
4
2 2
5) - 16a + 50a c - 36c
7)
−3 a 2 + 7
9
ab − 3b2
40
4) 165r - 12rs - 96s
4
6)
−
2
2
1 2 73
1
u −
uv + v 2
2
180
6
4
2 3
6
8) 2,88x +0,68x y - 2,88y
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Multiplikation von Summen
1403
Vereinfache folgende Terme.
1)
( 2x − 5) ⋅ ( 3x + 6) + ( 2x + 4) ⋅ ( 4x − 1)
2)
( 8a − 7b) ⋅ ( 9a + 5b) − (11a − 13b) ⋅ (12b − 14a)
3)
50cd − ( 5c + 2d) ⋅ ( 9c − 8d) − (15c − 4d) ⋅ ( 4d − 3c)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Multiplikation von Summen
1403
2
2
1) ... = 6x + 12x - 15x - 30 + 8x - 2x + 16x - 4 =
2
= 14x + 11x - 34
2
2
2
2
2) ... = 72a + 40ab - 63ab - 35b - 132ab + 154a + 156b - 182ab =
2
= 226a - 337ab + 121b
2
2
2
2
2
3) ... = 50cd - 45c + 40cd - 18cd + 16d - 60cd + 45c + 16d - 12cd =
= 32 d
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Multiplikation von Summen
1404
Vereinfache folgende Terme:
1)
4 ⋅ ( 6k + 2) ⋅ ( 2 + 5k ) − 3 ⋅ (7k − 3) ⋅ ( 8k + 5)
2)
3 ⋅ (15
, a − 0,8) ⋅ ( 0,4a + 2,5) − 6 ⋅ (12
, a + 2,4) ⋅ ( 2,5a − 1,5)
3) - v(v - 1) - [(v - 2)(v + 3) - 6(v + 5)(v - 3)]
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Multiplikation von Summen
1404
2
2
1) ... = 4(12k + 30k + 4 + 10k) - 3(56k + 35k - 24k - 15) =
2
2
= 4(30k + 22k + 4) - 3(56k + 11k - 15) =
2
2
2
= 120k + 88k + 16 - 168k - 33k + 45 = - 48k + 55k + 61
(
)
(
)
2) ... = 3 ⋅ 0,6a2 + 3,75a − 0,32a − 2 − 6 ⋅ 3a2 − 1,8a + 6a − 3,6 =
(
)
(
)
= 3 ⋅ 0,6a2 + 3,43a − 2 − 6 ⋅ 3a2 + 4,2a − 3,6 =
2
2
2
= 1,8a + 10,29a - 6 - 18a - 25,2a + 21,6 = - 16,2a - 14,91a + 15,6
2
2
2
3) ... = - v + v - [v + 3v - 2v - 6 - 6(v - 3v + 5v - 15)] =
2
2
2
= - v + v - [v + v - 6 - 6v - 12v + 90] =
2
2
2
2
= - v + v - v - v + 6 + 6v + 12v - 90 = 4v + 12v - 84
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Multiplikation von Summen
1405
Multipliziere die Klammern aus und fasse zusammen:
1)
( 4 x − 5 y) ⋅ ( x − y ) ⋅ ( 3 x + 2 y )
2)
( 2e + 1) ⋅ ( 4e + 3) ⋅ ( 3e − 2)
3)
( 9a
4)
, q + 4,8p) ⋅ (p + q)
( 2,5p − 3,2q) ⋅ (15
2
)
+ 4b 2 ⋅ ( 3a − 2b) ⋅ ( 3a + 2b)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Multiplikation von Summen
1405
1)
(
)
. . . = 4x2 − 9xy + 5y 2 ⋅ ( 3x + 2y) = 12x3 + 8x2 y − 27x2 y − 18xy 2 + 15xy 2 + 10y 3 =
3
= 12x − 19x y − 3xy + 10y 3
2)
2
(
2
)
.. .= 8e 2 + 10e + 3 ⋅ ( 3e − 2) = 24e3 − 16e2 + 30e 2 − 20e + 9e − 6 =
= 24e 3 + 14e 2 − 11e − 6
(
)(
)
4) .. . = ( 3,75pq + 12p − 4,8q − 15,36pq) ⋅ (p + q) =
= (12p − 4,8q − 11,61pq) ⋅ (p + q) =
3)
. . .= 9a2 + 4b 2 ⋅ 9a2 − 4b2 = 81a 4 − 16b4
2
2
2
2
= 12p 3 − 4,8pq2 − 11,61p2 q + 12p2 q − 4,8q3 − 11,61pq2 =
= 12p 3 − 16,41pq2 + 0,39p 2 q − 4,8q3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Multiplikation von Summen
1406
Multipliziere die Klammern aus und vereinfache:
1)
( x + y + z) ⋅ ( x − y − z)
2)
(a
3)
( 2c + 3d − 4e) ⋅ ( 5e − 6d + 7c)
4)
, k − 0,8m + 1,4n)
( 2,5k + 4m + 3n) ⋅ (12
2
)(
)
− 2a + 3 ⋅ a 2 + 2a + 3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Multiplikation von Summen
1406
2
2
2
2
2
2
1) ... = x - xy - xz +xy - y - yz + xz - yz - z = x - y - 2yz - z
2)
. . .= a 4 + 2a 3 + 3a2 − 2a3 − 4a2 − 6a + 3a 2 + 6a + 9 = a 4 + 2a2 + 9
2
2
2
3) ... = 10ce - 12cd + 14c + 15de - 18d + 21cd - 20e + 24de - 28ce =
2
2
2
= 14c - 18d - 20e + 39de - 18ce + 9cd
2
2
2
4) ... = 3k - 2km + 3,5kn + 4,8km - 3,2m + 5,6mn + 3,6kn - 2,4mn + 4,2n =
2
2
2
= 3k - 3,2m + 4,2n + 2,8km + 3,2mn + 7,1kn
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Multiplikation von Summen
1407
Vereinfache folgende Terme:
(
)
1)
4 ⋅ 3a3 − 2a2 + a − ( 5a − 7) ⋅ ( 2a + 5) + ( a + 1) ⋅ ( a + 2) ⋅ ( a + 3)
2)
( x + 5y) ⋅ ( x − 4y) − y ⋅ (7x + 10y − 3) + ( 2x + 5y − 1)( x − 3y + 5)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Multiplikation von Summen
1407
1)
(
)
.. .= 12a3 − 8a2 + 4a − 10a2 − 25a + 14a + 35 + a 2 + 3a + 2 ⋅ ( a + 3) =
= 12a3 − 18a2 − 7a + 35 + a 3 + 3a2 + 2a + 3a 2 + 9a + 6 =
= 13a 3 − 12a 2 + 4a + 41
2)
.. .= x2 + xy − 20y 2 − 7xy − 10y 2 + 3y + 2x2 − 6xy + 10x + 5xy − 15y 2 + 25y −
− x + 3y − 5 = 3x2 − 7xy − 45y 2 + 31y + 9x − 5
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichungen bei Textaufgaben
1527
Die vier auf der linken Seite der Tafelwaage stehenden Dosen haben gleiche Masse.
500g
100g
Berechne diese.
2 kg
(siehe auch Focus7; S.116 / 17)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
en
X
Gleichungen bei Textaufgaben
1527
x sei das Gewicht einer Dose.
3 x + 100 g + x + 500 g = 2kg
4 x + 600 g = 2000 g
4 x = 1400 g
x = 350 g
Antwort: Jede Dose wiegt 350g.
| −600 g
|: 4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen und Textaufgaben
1528
Ein einem Dreieck ist α dreimal so groß wie β . Außerdem ergeben β und γ
zusammen 60°. Wie groß sind die Winkel α , β und γ ?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
XX
Gleichungen und Textaufgaben
1528
Lösung
en
α + β + γ = 180°
7
α = 3β
und β + γ =60° einsetzen in die Gleichung zur Winkelsumme:
α
+γ =1800
{ +β
1
2
3
3β
60°
3 β +60°=180° |-60°
3 β =120°
|:3
β =40°
Und damit folgt:
α = 120° und γ =20°
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichungen und Textaufgaben
1529
Anton ist dreimal so alt wie Bastian und 5 Jahre älter als Christian. Alle zusammen
sind 30 Jahre alt. Bestimme das Alter von Anton, Bastian und Christian!
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
en
X
Gleichungen und Textaufgaben
1529
Alter von Bastian:
x
Alter von Anton:
3x
Alter von Christian:
3x – 5
Gleichung: Gesamtalter
x + 3 x + (3 x − 5) = 30
7 x − 5 = 30 | +5
7 x = 35 | : 7
x =5
Bastian ist 5, Anton 15 und Christian 10 Jahre alt.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen und Textaufgaben
1530
Peter hatte im Dezember 2006 auf seinem Sparkonto 58€. Petra hat so viele SMS
geschrieben, dass sie ihr Konto um 40€ überziehen musste. Ab Januar zahlen beide
monatlich einen festen Betrag auf ihr Konto ein. Und zwar Peter jeweils 25€ und
Petra 39€. Finde heraus, wann Peter und Petra gleich viel Geld auf ihrem Konto
haben. (Zinsen sollen nicht berücksichtigt werden.)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
en
XX
Gleichungen und Textaufgaben
1530
Geg: Peter: 58€ und monatlich 25€
Petra: -40 € und monatlich 39€
Ges: Anzahl der Monate: x
Lsg: Angaben in €:
58 + 25 ⋅ x = −40 + 39 ⋅ x;
+ 40 − 25 ⋅ x
98 = 14 ⋅ x;
: 14
7 = x.
Ant: Im Juli haben beide gleich viel Geld auf dem Konto, wenn Zinsen
unberücksichtigt werden.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen und Textaufgaben
1531
Tom hatte im Dezember 2006 auf seinem Sparkonto 56 €. Tina hatte ihr Konto um
28€ überzogen. Ab Januar 2007 zahlen Tom und Tina monatlich jeweils den gleichen
Betrag auf ihr Konto ein, und zwar Tom 25 € und Tina 39 €.
Finde heraus, wann Tom und Tina gleich viel Geld auf ihren Konten haben.
a) Löse die Aufgabe mit Hilfe einer Tabelle der monatlichen Kontostände und
veranschauliche deine Ergebnisse in einem Diagramm.
b) Löse die Aufgabe mit Hilfe einer Gleichung.
€
Monate
(siehe auch delta7; S. 119 / IX)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
en
XXX
Gleichungen und Textaufgaben
1531
a)
b)
Dez
Jan
Feb
März
April
Mai
Juni
Juli
Tom
56€
81€
106€
131€
156€
181€
206€
231€
Tina
-28€
11€
50€
89€
128€
167€
206€
245€
x sei die Anzahl der Monate
56 + 25 x = −28 + 39 x
84 = 14 x
x=6
Antwort:
Im Juni 2007 haben Tina und Tom
den gleichen Kontostand.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen und Textaufgaben
1532
Der Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kantenlänge 2 dm ist um 84 cm² größer
als der eines Quaders der Länge 50 cm und der Breite 12 cm. Wie hoch ist der
Quader?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
en
XX
Gleichungen und Textaufgaben
1532
Oberflächeninhalt des Würfels:
(2 dm ) = ⋅6 = 24 dm ² = 2400 cm ²
Oberflächeninhalt des Quaders:
2 ⋅ 50 cm ⋅ 12 cm + 2 ⋅ 50 cm ⋅ h + 2 ⋅ 12 cm ⋅ h
2400 cm ² = 2 ⋅ 50 cm ⋅ 12 cm + 2 ⋅ 50 cm ⋅ h + 2 ⋅ 12 cm ⋅ h + 84 cm ² | − 84 cm ²
2316 cm ² = 1200 cm ² + 124 cm ⋅ h
1116 cm ² = 124 cm ⋅ h
h = 9 cm
| : 124 cm
| −1200 cm ²
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen und Textaufgaben
1533
Herr Blume besitzt einen rechteckförmigen Garten. Das Rechteck ist 2,5 mal so lang
wie breit. Die Fläche ist zehnmal so groß wie die eines Quadrats mit Seitenlänge 13.
a) Wie lang ist der Garten? Löse mit einer Gleichung!
b) Der Garten soll mit einem Zaun eingefasst werden. Wie viele Meter Zaun
braucht man dazu?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
en
XXX
Gleichungen und Textaufgaben
1533
a) 2,5 x 2 = 10 ⋅ 13 2
x 2 = 676
x = 26
Der Garten ist also 26 m lang.
b) Der Garten ist 26 m lang und 26 : 2,5 , also 10,4 m breit.
Damit besitzt das Rechteck einen Umfang von 2 ⋅ 26 + 2 ⋅ 10,4 = 72,8 m.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Gleichungen und Textaufgaben
1534
Der Strompreis beim Anbieter Kurzschluss setzt sich zusammen aus einer
Grundgebühr und dem Preis für die bezogenen Kilowattstunden (kurz kWh). Familie
Meier bezahlt für ihren Jahresbedarf von 1500 kWh an elektrischer Energie 372 €.
Familie Huber bezahlt für ihren Jahresbedarf von 2200 kWh an elektrischer Energie
512€. Was kostet 1 kWh Strom? Wie hoch ist die monatliche Grundgebühr beim
Anbieter Kurzschluss? (Hinweis: Es sind zwei Größen gesucht! Wie viele
Unbekannte brauchst du?)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
en
EXP
Gleichungen und Textaufgaben
1534
Du brauchst für diese Aufgabe zwei Variablen.
x:
Grundgebühr in €
y:
Kosten für 1 kWh Strom in €
Du erhältst zwei Gleichungen:
372 = 12 x + 1500 y
512 = 12 x + 2200 y
Löse beide Gleichungen nach 12 x auf:
12 x = 372 – 1500 y
12 x = 512 – 2200 y
Dann kannst du gleichsetzen:
372 – 1500 y = 512 – 2200 y | +2200 y – 372
700 y = 140
| : 700
y = 0,20 [€]
Eine kWh kostet also 20 Cent.
x = (372 − 0,2 ⋅ 1500 ) : 12 = 72 : 12 = 6 [€]
Die monatliche Grundgebühr beträgt also 6 €.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Gleichungen und Textaufgaben
1535
Finde heraus, wie viele verschiedene Lösungen die Gleichung x 2 ⋅ y − 3 = 597 hat,
wenn x und y natürliche Zahlen sind.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
en
EXP
Gleichungen und Textaufgaben
1535
Geg: x 2 ⋅ y − 3 = 597; x, y ∈ ℵ
Ges: x,y
Lsg:
x 2 ⋅ y − 3 = 597;
+3
x 2 ⋅ y = 600;
Zerlege 600 in Primfaktoren: 600 = 23 ⋅ 3 ⋅ 52
Also sind 4 und 25 die einzigen vorkommenden Quadratzahlen. Außerdem
kann noch die Zahl 1 als x verwendet werden.
L = {(1 / 600 ); (2 / 150 ); (5 / 24 )}
Ant: Es gibt drei Lösungen, wenn x und y natürliche Zahlen sind.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichungen
1501
Löse folgende Gleichungen:
1)
16 + 12x = 40
2)
- 26 + 15x = 34
3)
3 = 39 - 18x
4)
20 = 48 - 14x
5)
16x - 48 = 176
6)
- 18x - 288 = - 72
7)
38 - 2x = 200 - 20x
8)
9x + 3 = 15x - 9
9)
57 - 6x = 24x - 48
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Gleichungen
1501
1)
x=2
2)
x=4
3)
x =2
4)
x=2
5)
x = 14
6)
x = - 12
7)
x=9
8)
x=2
9)
x = 3,5
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichungen
1502
Löse folgende Gleichungen:
2)
1
x + 28 = 19
2
17
20
4)
2
5)
- 38,2 = 6,4 + x
6)
14
7)
3
2
1
1 x − 1 = 1 + 2,75 x
4
3
3
8)
7
9
x=−
x
18
16
1)
75 + 3x = 126
3)
3,85 + x = 3
1
1
+ 3x = 2
7
4
5
43
=
+x
16
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Gleichungen
1502
1)
x = 17
2)
x = - 18
3)
x=0
4)
x=
5)
x = - 44,6
6)
x= −
7)
x=-3
8)
x=0
1
28
1
48
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichungen
1503
Löse folgende Gleichungen:
1)
6x + 25 - 3x = 64
2)
4x + 20 + 2x = 44
3)
- 3x + 24 - 9x = 0
4)
73 = 73 - 16x + 3x
5)
82 + 3x = 162 - 5x
6)
42 + 16x = 51 + 13x
7)
17x - 65 = 16x - 55
8)
25x - 25 = 75 + 15x
9)
8x - 32 = 38 - 6x
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Gleichungen
1503
1)
x = 13
2)
x=4
3)
x=2
4)
x=0
5)
x = 10
6)
x=3
7)
x = 10
8)
x = 10
9)
x=5
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichungen
1504
Löse folgende Gleichungen:
1)
12x + 33 - 5x = 117 - 11x - 48
2)
9x = 17x + 6 + 15x + 17 - 30x
3)
49 + 13x - 53 = 14 + 12x - 38
4)
58x + 55 - 63x = 77 - 20x - 22
5)
12x + 8 - 15x = - 17x + 6 + 14x - 4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Gleichungen
1504
1)
x=2
2)
x=3
3)
x = - 20
4)
x=0
5)
L={}
2
7
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichungen
1505
Löse folgende Gleichungen:
1)
4x - 27 + 7x = 11x - 22 - 5
2)
13x - 26 = 14x - 19 - 4x + 5
3)
0 = 42 - 24x + 5x - 9x + x + 12
4)
17x + 76 - 8x - 73 + 6x = 23
5)
23x = 17x + 5 + 12x + 16 - 13x
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Gleichungen
1505
1)
L=Q
2)
x=4
3)
x=2
4)
x=1
5)
x=3
1
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichungen
1506
Löse folgende Gleichungen:
1)
39x - 19 - 27x + 20 = 55 + 7x - 14
2)
9x - 8 + 6x - 5 + 4x - 3 + 2x - 1 = 4
3)
28 - 6x = 98 - 8x - 16 - 6x - 5 - 4x + 11
4)
22x - 25 + 14x - 14 + 12x - 9 = 0
5)
16x - 23 + 7x - 11 + 11x - 15 - 25x + 22 = 0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Gleichungen
1506
1)
x=8
2)
x=1
3)
x=5
4)
x=1
5)
x=3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen
1507
Löse folgende Gleichungen:
23
3
5
+ 6 = 2x −
36
4
27
1)
−12
2)
28,4 x − 1
3)
17
x + 7 = 3 + 2,125 x
8
4)
- 4,6x - 1,376 = - 2,907 - 5,6x
5)
6
2
1
1
x − 2 x − 15 = −2 x +
x
11
3
3
22
1
1
= 29,4 x + 1
8
4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichungen
1507
1)
x = −2
23
27
2)
x = −2
3
8
3)
L={}
4)
x = - 1,531
5)
x = 90
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen
1508
Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen, die Formvariable enthalten:
1)
3c + x = 5c
2)
6x - 8k = 10k
3)
4x - 12 = 8a
4)
x - 3m = n - 3m
5)
y + 6d = 6d
6)
3x - 6a = 12a
7)
3
2
k−x= p
4
3
8)
x+c =c
2
9)
0 = x - 6u + 5v
2
3
2
2
10) m - 6n = m + 5x - 11n
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichungen
1508
1)
x = 2c
2)
x = 3k
3)
x = 2a + 3
4)
x=n
5)
y=0
6)
x = 2a + 4a
7)
x=
8)
x=c -c
9)
x = 6u - 5v
3
2
k− p
4
3
10) x = n
3
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen
1509
Löse folgende Gleichungen, die Formvariable enthalten:
1)
12ax - 9a = 27a
2)
k - 4x = 2m
4)
3ax = a
2
5)
5k x = 10k
7)
1
x = 7k
3
8)
1
s + 2x = 5 s
3
2
10) - 7x - 4a - b = 3b + 2a - 9x
3
3)
- 15d = 10x
6)
14x + 16a = 6x - 24b
9)
x
= 5+a
a
11) 5x - (7c - 2d) = 5d - 4x
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichungen
1509
1)
x=3
4)
x=
7)
1
1
k− m
4
2
2)
x=
1
a
3
5)
x = 2k
x = 21k
8)
x=2
10) x = 3a + 2b
1
s
3
11)
x=
3)
x = - 1,5d
6)
x = - 2a - 3b
9)
x = 5a + a
7
1
c+ d
9
3
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen
1510
Löse folgende Gleichungen:
1)
4x - (8 + 6x) = 18 - 28x
2)
14x - 12(2,5 - x) = 2(2x + 2) + 10
3)
(12x + 8) - (10 + 7x) = 5x + 8
4)
3(5x + 7x) + 64 : 8 = 17 - (9 - 9x)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichungen
1510
1)
x=1
2)
x=2
3)
L={}
4)
x=0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen
1511
Löse folgende Gleichungen:
1)
7 - 6x = 15 + [11 + 4x - (12x + 9)]
2)
- 17 + [9x - 12 - (7 - 11x)] = 24 - [- 3x - (16 + 7x)]
3)
26 + 8x - [(x - 4) - (2x - 17)] = 5x - (- 3x + 5)
4)
7x - 11 - {7 - 6x - [12 - 4x - (2x + 5)]} = 4x - 8
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichungen
1511
1)
x=5
2)
x = 7,6
3)
x = - 18
4)
x=1
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen
1512
Löse folgende Gleichungen:
1)
12( 2x − 3) = 2( 9x − 12)
2)
(18 + 2x) ⋅ 8 = ( 8 + 18x) ⋅ 4
3)
24 − 6(4 − 2x) = 9( x + 4) − 24
4)
4( 3 x − 400) − (350 − 2x) ⋅ 3 = 3 x + 350
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichungen
1512
1)
x=2
2)
x=2
3)
x=4
4)
x = 200
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen
1513
Löse folgende Gleichungen:
1)
6 − [ 6 − ( x − 6)] = 15 − (29 − 3 x)
2)
x

33 + 9x =  − 11 ⋅ 56
7

3)
114
, − 3,6x = ( 5,9x − 8,2) ⋅ 3 − 12,3 x
4)
x x
x 5
−
= 9+ − x
3 12
2 8
5)
17
x
x

x + 27 = − 0,15 x + 2 5 − 

20
8
16 
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichungen
1513
1)
x=2
2)
x = - 649
3)
x=4
4)
x = 24
5)
x = - 17
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen
1514
Löse folgende Gleichungen:
1)
17x - 4(x - 3) = 8(3x - 6) - 3(2 + 4x)
2)
15x + 3[2x + 3(8 - x)] = 29 + 11x
3)
5 - 8(2,5x + 11) = 5[13x - 8(3x - 6)] + 9(4x - 14)
4)
3,5(2 - 3x) - [6(1,9 + 0,7x) - 12] + 16x = 1,3x + 2
5)
3x 3
 1 1 3 3  4 7
 x ⋅ 3 + 6  ⋅ 4 + 8  ⋅ 5 + 10 = 5 − 10 x


Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichungen
1514
1)
x = - 66
2)
x = - 43
3)
x = - 197
4)
L={}
5)
x = 11
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen
1515
Löse folgende Gleichungen:
1)
6(5,4 - 9x) - 30 = 9 - 15(3x - 4)
2)
0,75(11x - 24) - 0,25(13x - 120) + 13 = 0
3)
x

x
 x
7 − 17 − 5 + 6 = − 104
4

3
 6
4)
3
1  5 4
 1
 2 − x −  x + 2 = (7 − 2x)
 7
5
6  87
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Gleichungen
1515
1) 32,4 - 54x - 30
2,4 - 54x
- 66,6
x
3)
= 9 - 45x +60
= 69 - 45 x
= 9x
= -7,4
7
5
1
x − 119 − x − 30 = x − 104
4
3
6
21
20
2
x−
x − 149 =
x − 104
12
12
12
1
2
x − 149 =
x − 104
12
12
1
−45 =
x
12
x = - 540
2) 8,25x - 18 - 3,25x + 30 + 13 = 0
5x + 25 = 0
5x = - 25
x =-5
4)
6 1
5
5
2
−
x−
x − = 1− x
5 10
14
4
7
24 7
25
25
20
−
x−
x−
= 1−
x
20 70
70
20
70
32
1
20
−
x−
= 1−
x
70
20
70
21
6
−
=
x
20 35
x = −6
1
8
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen
1516
Löse folgende Gleichungen:
1)
4 x + 10
= 2x + 8
3
2)
22 + 8x 10x − 11
=
18
6
3)
7x − 9 2 − 14 x
−
=7
4
3
4)
11x + 9 1 2 7 − 13 x
− = −
4
8 3
12
Anleitung:
Beispiel:
2x + 5
2
5
= ( 2x + 5):3 = x +
3
3
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Gleichungen
1516
1)
4
10
x+
= 2x + 8
3
3
14 2
−
= x
3
3
2)
x = -7
3)
7
9 2 14
x− − +
x=7
4
4 3 3
21
27 8 56
x−
−
+
x=7
12
12 12 12
77
35
x−
=7
12
12
77
119
x=
12
12
17
x=
11
4)
11 4
+ x=
9 9
55
=
18
5
11
x−
3
6
11
x
9
5
x=
2
11
9 1 2 7 13
x+ − = −
+
x
4
4 8 3 12 12
33
17
1 13
x+
=
+
x
12
8
12 12
5
49
x=−
3
24
49
x=−
40
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen
1517
Löse folgende Gleichungen:
1)
1 9 − (11x + 7) + (12 + 13 x) − ( 5 x − 17) = −2( x + 10)
2)
57 + 7x − 2( 9x − 13) = 111 − 7x − [17x − 4(5 + 2x)]
3)
(49 + 15 x) − 3(6 x − 11) = 5( 9 + 2x) − [(12x + 23) − (10x − 17)]
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Gleichungen
1517
1)
19 - 11x - 7 + 12 + 13x - 5x + 17 = - 2x - 20
41 - 3x = - 2x - 20
x = 61
2)
57 + 7x - 18x + 26 = 111- 7x - [17x - 20 - 8x]
83 - 11x = 111 - 7x - 9x + 20
5x = 48
3
x=9
5
3)
49 + 15x - 18x + 33 = 45 + 10x - [12x + 23 - 10x + 17]
82 - 3x = 45 + 10x - 2x - 40
82 - 3x = 5 + 8x
11x = 77
x=7
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen
1518
Löse folgende Gleichungen:
1)
−7x − [ 8 + 3( 4 x − 9)] = ( 50 − 18x) − 6[3 x − ( 5 x − 3)]
2)
( 4x − 3) + 3( 9 − 18x) = 10(1 − 3x)
3)
7( 3x − 7) + 5( x − 3) + 4(17 − x) = 103 − 11x
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Gleichungen
1518
1)
- 7x - [8 + 12x - 27]
- 7x + 19 - 12x
- 19x + 19
13x
x
= 50 - 18x - 6[- 2x + 3]
= 50 - 18x + 12x - 18
= 32 - 6x
= - 13
=-1
2)
4x - 3 + 27 - 54x = 10 - 30x
- 50x + 24 = 10 - 30x
14 = 20x
x = 0,7
3)
21x - 49 + 5x - 15 + 68 - 4x
22x + 4
33 x
x
= 103 - 11x
= 103 - 11x
= 99
=3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen
1519
Löse folgende Gleichungen:
1)
4
2
x( x − 5) − 4 x = 6 − x(11 − 2x)
3
3
2)
1
 3  1
x( 9x − 12) = 2x − 3 x 1 − x + (7 − 8x)
 4  3
4
3)
5x(6x + 7) - 3x(10x + 8) + 99 = 0
4)
8x(6 - 5x) + 20x(2x - 3) = 45
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Gleichungen
1519
1)
3)
4 2 20
22
4
x −
x − 4x = 6 −
x + x2
3
3
3
3
32
22
−
x= 6−
x
3
3
10
18
−
x=
3
3
9
x=−
5
2
2
30x + 35x - 30x - 24x + 99 = 0
11x = - 99
x
=-9
2)
9 2
9
7 8
x − 3 x = 2 x − 3 x + x2 + − x
4
4
3 3
11
7
−3 x = − x +
3
3
2
7
x=
3
3
7
x=
2
2
2
4) 48x - 40x + 40x - 60x = 45
- 12x = 45
15
x=−
4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichungen
1520
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen:
1)
( x − 4) ⋅ ( x + 8) = ( x + 6) ⋅ ( x − 2)
2)
(7 − x)( x + 5) = ( x − 2)( 3 − x)
3)
( 2x − 4)( 6x + 1) = ( 4x − 2)( 3x − 1)
4)
1 
1


 x − 1 ( 4x + 6) =  3 − x ( 9 − 6x)
2


3 
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichungen
1520
2
2
2
1) x + 4x - 32 = x + 4x - 12
/ - x - 4x
- 32 = - 12 ⇒ L = { }
2
2
2
2) 7x + 35 - x - 5x = 3x - x - 6 + 2x / + x
2x + 35 = 5x - 6
/ + 6 - 2x
41 = 3x
/ :3
2
x = 13
3
2
2
2
3) 12x + 2x - 24x - 4 = 12x - 4x - 6x + 2 / - 12x
- 22x - 4 = - 10x + 2
/ + 22x - 2
- 6 = 12x / : 12
x = - 0,5
2
2
2
4) 2x + 3x - 4x - 6 = 27 - 18x - 3x + 2x / - 2x
- x - 6 = 27 - 21x / + 21x + 6
20x = 33
/ : 20
x = 1,65
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen
1521
Löse folgende Gleichungen:
1) 11x( 3x − 4) − ( 3 − x)( x − 2) = 10x2 + 7 − (7 − 6x)( 4x − 5)
2)
(2 − x)(3 − 2x) − (3 x + 1)(4 x + 6) = (5 − 2x)(5 x + 8) + 36
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Gleichungen
1521
2
2
2
2
1) 33x - 44x - 3x + 6 + x - 2x = 10x + 7 - 28x + 35 + 24x - 30x
2
2
34x - 49x + 6 = 34x - 58x + 42
9x = 36
2
/ - 34x + 58x - 6
/ :9
x=4
2
2
2
2) 6 - 4x - 3x + 2x - 12x - 18x - 4x - 6 = 25x + 40 - 10x - 16x + 36
2
2
- 10x - 29x = - 10x + 9x + 76
- 38x = 76
x=-2
/ : (- 38)
2
/ + 10x - 9x
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen
1522
Löse folgende Gleichungen:
4,5x + 3 = 34 (28x − 6) + 13 12 x
1.
(12x − 6)(x + 6) = (2x) 2 ⋅ 2
2.
2
3
3.
( 12 x − 2) 2 = (2 − 14 x) ⋅ ( 32 − x)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Gleichungen
1522
1.
4,5x + 3 = 34 (28x − 6) + 13 12 x
4,5x + 3 = 21x − 92 + 13, 5x
30x = 152
x=
2.
2
3
1
4
(12x − 6)(x + 6) = (2x) 2 ⋅ 2
2
2
8x + 44x – 24 = 8x
x =
3.
1
4
6
11
x 2 − 2x + 4 = 3 − 2x − 83 x + 14 x 2
3
8
x = −1
x = − 83
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichungen
1523
Löse folgende Gleichungen:
1.
(3x – 2)(5x + 3) = - x² + (4x)²
2.
(x – 3)(x² - 5x – 2) = -x(8x – x²) - 20
3.
- (2x + 2)² = (x – 4)(x + 2)(- 4)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Gleichungen
1523
1.
15x² + 9x – 10x – 6 =
- x² + 16x²
15x² - x – 6 =
-x–6
2.
3.
15x²
=
0
⇒ x = -6
x³ - 5x² - 2x – 3x² + 15x + 6
=
-8x² + x³ - 20
x³ - 8x² + 13x + 6
=
x³ - 8x² - 20
13x + 6
=
- 20
13x
=
- 26
- (4x² + 8x + 4) =
(x² - 4x + 2x – 8)(- 4)
-4x² - 8x – 4
=
-4x² + 8x + 32
-8x – 4
=
8x + 32
- 36
=
16x
⇒ x = -2
⇒ x = - 2¼
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Gleichungen bei Textaufgaben
1524
Finde fünf aufeinander folgende ganze Zahlen so, dass die Summe der Quadrate
der kleineren drei Zahlen gleich der Summe der Quadrate der beiden größeren
Zahlen ist.
Zeige, dass der Summenwert aller fünf Zahlen entweder 0 oder 60 ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Gleichungen bei Textaufgaben
1524
1. Zahl: x
2. Zahl: x+ 1
usw.
5. Zahl: x + 4
2
2
2
2
2
x + (x + 1) + (x + 2) = (x + 3) + (x + 4)
x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16
x2 – 8x – 20 = 0
Durch Raten findet man die Lösungen x = - 2 bzw. x = 10.
Die gesuchten Zahlen sind dann entweder – 2, - 1, 0, 1 und 2 (mit Summenwert 0)
oder 10, 11, 12, 13, 14 mit Summenwert 60.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Gleichungen bei Textaufgaben
1525
Die letzte Ziffer einer dreistelligen Zahl ist 2. Setzen wir die 2 von der letzten an die
erste Stelle und verschieben die anderen Ziffern nach hinten, so wird die Zahl dabei
um 36 kleiner. Wie groß ist die Summe der Ziffern der ursprünglichen Zahl?
(Vgl. Känguru-Wettbewerb 2006/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Gleichungen bei Textaufgaben
1525
Ursprüngliche Zahl: Hunderterziffer: x
Zehnerziffer: y
Einerziffer: 2
Zehnerziffer: x
Einerziffer: y
Wert der Zahl: 100x + 10y + 2
Neue Zahl:
Hunderterziffer: 2
Wert der Zahl: 200 + 10x + y
Gleichung:
100x + 10y + 2 – 36 = 200 + 10x + y
90x + 9y = 234 | : 9
10x + y = 26
⇒
Die neue Zahl ist dann also 226, die Summe der Ziffern 10.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Gleichungen bei Textaufgaben
1526
Der Osterhase hat viele hübsche Ostereier verteilt. Die Hälfte hat er in der linken
Gartenecke versteckt, die Hälfte des Restes und noch ein Ei auf der Wiese, die
Hälfte des nun verbliebenen Restes und noch 3 Eier im Beerenstrauch und das
letzte Ei kam unter den Kaffeewärmer. Wie viele Ostereier hat er insgesamt
versteckt?
(Vgl. Känguru-Wettbewerb 2004/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Gleichungen bei Textaufgaben
1526
Anzahl der Eier: x
x = 21 x + (21 ⋅ 21 x + 1) +
[21 ⋅ (21 ⋅ 21 x − 1) + 3] + 1
x = 21 x + 41 x + 1 + 81 x − 21 + 3 + 1
x = 78 x + 4 21
x = 36
Der Osterhase hat also 36 Eier verteilt.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Mittelwert
1610
Lukas erzählt von der Geburtstagsfeier seiner Großmutter: „Meine Oma
hat alle ihre vierzehn Enkelkinder zu ihrem Geburtstag eingeladen. Von
den jüngsten, den vierjährigen Zwillingen Lea und Ben, abgesehen,
waren wir alle verschieden alt und, wenn wir das Alter unserer Oma
mitrechnen, im Durchschnitt 14 Jahre alt.“ Wie alt kann die Oma von
Lukas höchstens sein?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Mittelwert
1610
Bei einem Durchschnittsalter von 14 für 15 Personen ist die Summe der Alter aller
Personen 210. Zieht man die beiden Zwillinge ab, so ergibt sich für die anderen 13
Personen noch 202. Da die anderen 12 Enkel alle verschieden alt sind und älter als
4 Jahre sein müssen, sind sie mindestens 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 und 16.
Die Summe ist also 126. Dann verbleibt für die Großmutter ein Alter von höchstens
76.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Mittelwert
1611
Das Durchschnittsalter von Großmutter, Großvater und ihren 7
Enkelkindern ist 28 Jahre. Das Durchschnittsalter der Enkel ist 15. Die
Großmutter ist 3 Jahre älter als der Großvater. Wie alt ist sie?
(Vgl. Känguru-Wettbewerb 2004/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Mittelwert
1611
Alter des Großvaters: x
Es gilt:
Alter der Großmutter: x + 3
x + x + 3 + 15 ⋅ 7
= 28
9
⇒ 2x + 108 = 252
⇒ x = 72
Der Großvater ist 72 Jahre alt, die Großmutter 75.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Mittelwert
1609
In einer Klasse mit 25 Schülern und Schülerinnen betrug der
Durchschnitt einer Schulaufgabe 2,92. Hätte jeder der Schüler bzw. jede
der Schülerinnen, die keine 1 hatten, um eine Notenstufe besser
abgeschnitten, so wäre der Notendurchschnitt 2,08 gewesen. Wie viele
Schüler und Schülerinnen hatten tatsächlich eine 1 erreicht?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Mittelwert
1609
Die Summe aller Noten der Schulaufgabe ist 2,92⋅25 = 73.
Wenn alle Schüler um eine Note besser gewesen wären, so wäre die Summe aller
Noten 2,08⋅25 = 52. Die Differenz ist 21; somit hätten sich 21 Schüler um eine Note
verbessern können. Also hatten vier Schüler bereits Note 1.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Mittelwert
1608
Der Mittelwert von 10 voneinander verschiedenen positiven ganzen
Zahlen ist 10. Wie groß ist die größte dieser Zahlen höchstens?
(Vgl. Känguru-Wettbewerb 2005/Klassenstufe 7 und 8)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Mittelwert
1608
Die ersten 9 Zahlen sind kleinstenfalls 1, 2, 3, … 9. Damit ergibt sich für die größte
Zahl x:
1 + 2 + ... + 9 + x
= 10
10
1 + 2 + … + 9 + x = 100
45 + x = 100
x = 55
Die größte Zahl ist höchstens 55
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Prozentrechnen
1710
Fanny, Vicky und Christina sparen für ein Zelt. Fanny hat schon 40 %
zusammen, Vicky immerhin 40 % dessen, was noch hinzukommen
muss. Christina hat die restlichen 45 € gespart. Wie viel kostet das Zelt?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Prozentrechnen
1710
Ist der Zeltpreis x, so hat Fanny 0,4x gespart, Vicky 0,4⋅0,6x = 0,24x und Christina
hat 45 €. Also gilt:
0,4x + 0,24x + 45 = x
0,36x = 45
x = 125
Das Zelt kostet 125 €.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Prozentrechnen
1711
Zwei Liter Kiwi-Erdbeer-Saft haben einen Zuckergehalt von 10,0 %; drei
Liter Ananas-Mango-Saft haben einen Zuckergehalt von 12,0 %. Die
beiden Säfte werden gemischt. Welchen Zuckergehalt hat das
Mischgetränk?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Prozentrechnen
1711
10 % von 2 Litern sind 0,2 l, 12 % von 3 Litern sind 0,36 l. Der Zuckeranteil des
Mischgetränks entspricht also 0,56 l. Die Gesamtmenge ist 5 l.
0,56
56
112
=
=
⇒ Der Zuckergehalt des Mischgetränks ist 11,2 %
5
500 1000
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
X
Zinsrechnung
1801
Berechne im Kopf:
Eine Bank zahlt 3 % Jahreszinsen. Wie hoch sind sie bei einem Kapital von
1) 200 €
2) 350 €
3) 2500 €
4) 8000 €
5) 15000 €
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
X
Zinsrechnung
1801
Lösungsweg:
1) 6 €
3) 3 % von 2500 € =
2) 10,50 €
3) 75 €
3
⋅ 2500 € = 75 €
100
4) 240 €
5) 450 €
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
X
Zinsrechnung
1802
Verschiedene Banken zahlen für unterschiedliche Anlageformen des Geldes
verschieden hohe Zinssätze.
Beispielsweise beträgt bei einer Bank der Zinssatz fürs Girokonto 0,5 % , für ein
Sparbuch mit gesetzlicher Kündigung von drei Monaten 2 % , für ein Sparkonto mit
einjähriger Kündigung 3,25 % und für einen Sparbrief mit einer Laufzeit von 4 Jahren
4,5 %.
Berechne für einen Geldbetrag von 4000 € die jährlich ausbezahlten Zinsen für die
verschiedenen Anlageformen und überlege Dir, warum die Bank so unterschiedliche
Zinssätze bezahlt.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
X
Zinsrechnung
1802
Girokonto:
0,5 % von 4000 € =
Sparbuch mit ges. Kündigung:
2 % von 4000 € =
2
⋅ 4000 € = 80 €
100
Sparbuch mit 1jähriger Kündigung: 3,25 % von 4000 € =
Sparbrief:
0 ,5
⋅ 4000 € = 20 €
100
4,5 % von 4000 € =
3,25
⋅ 4000 € = 130 €
100
4 ,5
⋅ 4000 € = 180 €
100
Je länger das Geld angelegt wird, umso besser kann die Bank damit arbeiten und
selbst damit Geld verdienen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XX
Zinsrechnung
1803
3600 €
6600 €
Berechne die in der Tabelle fehlenden Größen:
Kapital
850 €
7000 €
Zinssatz
3,5 %
6,25 %
Jahreszinsen
5,5 %
2453 €
4,75 %
226,8 €
399 €
181,50
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XX
Zinsrechnung
1803
Kapital
850 €
7000 €
44600€
3600 €
8400 €
6600 €
Zinssatz
3,5 %
6,25 %
5,5 %
6,3 %
4,75 %
2,75 %
Jahreszinsen
29,75 €
437,5 €
2453 €
226,8 €
399 €
181,50
Beispiele:
a) 3,5 % von 850 € =
3 ,5
⋅ 850 € = 29,75 €
100
2453 €
= 44600 €
5,5
100
c)
Kapital =
d)
Zinssatz =
226,80 €
= 0,063 = 6,3 %
3600 €
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XX
Zinsrechnung
1804
Herr Großfuß will zur Anschaffung eines neuen Autos einen Kredit von 15000 €
aufnehmen. Diesen möchte er nach einem Jahr zurückzahlen. Er kann dabei
zwischen zwei Angeboten wählen:
a)
Zinssatz 8,75 % ohne Bearbeitungsgebühr
b)
Zinssatz 8,25 % plus eine Bearbeitungsgebühr von 100 €
Welches Angebot ist für ihn günstiger?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XX
Zinsrechnung
1804
a)
8,75 % von 15000 € =
8,75
⋅ 15000 € = 1312,5 €
100
b)
8,25 % von 15000 € =
8,25
⋅ 15000 € = 1237,5 €
100
Hinzu kommt die Bearbeitungsgebühr:
Das Angebot a) ist für ihn günstiger.
Gesamtbetrag: 1337,50 €
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XX
Zinsrechnung
1805
Berechne die Zinsen für:
1) 500 € bei 3 % für
1
Jahr
2
2) 800 € bei 3,5 % für 9 Monate
3) 600 € bei 2,5 % für 5 Monate
4) 1500 € bei 4 % für 11 Monate
5) 2500 € bei 5,5 % für 2
1
Jahre
2
6) 8000 € bei 6 % für 80 Tage
7) 1400 € bei 4 % für 150 Tage
8) 900 € bei 5 % für 140 Tage
(Beachte: Ein Bankjahr hat 360 Tage)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XX
Zinsrechnung
1805
1)
3 1
⋅ ⋅ 500 € = 7,50 €
100 2
2)
3 ,5 9
⋅
⋅ 800 € = 21 €
100 12
3)
2,5 5
⋅
⋅ 600 € = 6,25 €
100 12
4)
4 11
⋅
⋅ 1500 € = 55 €
100 12
5)
5 ,5
1
⋅ 2 ⋅ 2500 € = 343,75 €
100 2
6)
6
80
⋅
⋅ 8000 € = 106,67 €
100 360
7)
4 150
⋅
⋅ 1400 € = 23,33 €
100 360
8)
5 140
⋅
⋅ 900 € = 17,5 €
100 360
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XX
Zinsrechnung
1806
Wie viel Zinsen erhält man für 6150,40 € vom 31. Mai bis 12.Oktober bei einem
Zinssatz von 4,5 %
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XX
Zinsrechnung
1806
Zinszeit: 4 Monate 12 Tage = 132 Tage
Zins = Kapital ⋅
Zinssatz Zinszeit
⋅
100
360
Zins = 6150,4 ⋅
4,5 132
⋅
= 101,48 €
100 360
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XXX
Zinsrechnung
1807
Bei welchem Kapital erhält man einen Zins von
a) 96 € bei 3,75 % in 8 Monaten
b) 1530 € bei 4,25 % in 81 Tagen
c) 1001 € bei 6,5 % vom 20.6. bis 14.9. ?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XXX
Zinsrechnung
1807
Zins = Kapital ⋅
Zinssatz Zinszeit
⋅
100
360
Kapital = x €
a) 96 = x ⋅
96 = x ⋅
3,75 8
⋅
100 12
1
40
x = 3840
b) 1530 = x ⋅
1530 = x ⋅
x=160000
4,25 81
⋅
100 360
153
16000
c) 1001 = x ⋅
6,5 84
⋅
100 360
1001 = x ⋅
x = 66000
91
6000
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XXX
Zinsrechnung
1808
a) Berechne den Rückzahlungstag:
1350 € wurden am 31.5. zu 3,75 % ausgeliehen und mit Zinsen zu insgesamt
1377 € zurückgezahlt.
b) Bei welchem Zinssatz werden 12700 €, die vom 11.3. bis 23.8. ausgeliehen
waren, mit 13004,80 € zurückgezahlt?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XXX
Zinsrechnung
1808
a) Zinszeit: x
27 = 1350 ⋅
b) Zinssatz = x
3,75 x
⋅
100 360
304,8 = 12700 ⋅
27 =
15 ⋅ 3,75
⋅x
400
304,8 =
27 =
225
⋅x
1600
x= 5
27 =
9
⋅x
64
x = 192
Rückzahltag: 12.12.
x 162
⋅
100 360
1143
⋅x
20
1
3
Der Zinssatz war 5 31 % .
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XXX
Zinsrechnung
1809
Herr Häuslebauer will sich für 225500 € ein Haus kaufen. Wie viel Eigenkapital muss
er mindestens haben, wenn er für ein Darlehen zu 5,4 % eine monatliche
Zinsbelastung von 640 € nicht überschreiten will?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XXX
Zinsrechnung
1809
Jahreszinsen: 640 € • 12 = 7680 €.
∧
5,4 % = 7680 €
∧
100 % = 142222 €
Er muss also 83278 € Eigenkapital besitzen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XX
Zinsrechnung
1810
Frau Bleifuß kauft sich ein Auto zum Preis von 14950 €. 5000 € zahlt sie sofort, der
Rest wäre in 20 Tagen fällig. Sie kommt jedoch in Zahlungsverzug und kann erst
nach 56 Tagen zahlen. Wie viel muss sie jetzt inklusive Zinsen überweisen, wenn die
Verzugszinsen 10,2 % betragen?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XX
Zinsrechnung
1810
Zins = 9950 ⋅
10,2 36
⋅
= 101,49
100 360
Sie muss also 10051,49 € bezahlen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XX
Zinsrechnung
1811
Frau Meier steht vor einer schwierigen Entscheidung: Soll sie sich eine
Eigentumswohnung für 160000 € kaufen oder soll sie ihre Ersparnisse auf der Bank
lassen und weiterhin zur Miete wohnen? Kauft sie die Eigentumswohnung, wo muss
sie einen Kredit über 100000 € bei der Bank aufnehmen und 5,6 % Zinsen zahlen.
Wohnt sie zur Miete, so muss sie monatlich 450 € Miete bezahlen, bekommt aber für
ihre Ersparnisse auf der Bank 4 % Zinsen. Was ist für Frau Meier günstiger?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XX
Zinsrechnung
1811
Kauf der Eigentumswohnung: Jahreszinsen 5600 €
Wohnung zur Miete: Ausgaben: 5400 € Miete
Zinseinnahmen 4 % von 60000 € = 2400 €
Es bleiben also 3000 € Ausgaben.
Nach dieser Rechnung wäre also die Mietwohnung die günstigere Alternative. Es ist
jedoch auch zu bedenken, dass das Darlehen auch getilgt wird (abbezahlt), so dass
mit der Zeit die Zinsen immer weniger werden und die Wohnung irgendwann Frau
Meier selbst gehört, so dass sie keine Miete mehr zahlen muss.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XXX
Zinsrechnung
1812
Auf einem Sparkonto werden alle drei Monate 250 € einbezahlt und mit 4,5 %
verzinst. Nach 2,5 Jahren ab der ersten Einzahlung wird das Konto wieder aufgelöst.
Wie hoch ist der Kontostand, wenn auch die Zinsen jährlich bzw. am Ende der
Laufzeit auf dem Konto gutgeschrieben werden?
(Hinweis: Berechne die Zinsen für 250 € für ein Vierteljahr und addiere sie passend.)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XXX
Zinsrechnung
1812
Datum
Einzahlung
Zinsen
Kontostand
1.1.01
250
0
250
1.4.01
250
0
500
1.7.01
250
0
750
1.10.01
250
0
1000
1.1.02
250
28,13
1278,13
Datum
1.7.02
1.10.02 1.1.03
1.4.03
1.7.03
Einzahlung 250
250
250
250
0
Zinsen
0
0
74,39
0
55,74
Kontostand 1778,13 2028,13 2352,52 2602,52 2658,26
(Anmerkung: Die vierteljährlichen Zinsen für 250 € sind 2,8125 €.)
1.4.02
250
0
1528,13
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Üben
XXX
Zinsrechnung
1813
Welchen Betrag muss man einzahlen, damit er bei einem Zinssatz von 6 % nach
3 Jahren mit Zinseszins auf 3000 € anwächst? (Runde Zwischenergebnisse auf €!)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
6
Lösung
XXX
Zinsrechnung
1813
Rechnung fürs 3. Jahr:
∧
106 % = 3000 €
∧
Rechnung fürs 2. Jahr:
∧
106 % = 2830 €
∧
Rechnung fürs 1. Jahr:
∧
106 % = 2670 €
∧
100 % = 2830 €
100 % = 2670 €
100 % = 2519 €
Kontostand nach 2 Jahren
Kontostand nach 1 Jahr
Anfangskontostand
Man muss also 2519 € anlegen.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Kongruenz von Dreiecken
1901
Entscheide, ob zwei Dreiecke ABC und A’B’C’ kongruent sind, wenn sie folgende
Bedingungen erfüllen:
1) c = a’ , α = α’ , β = γ’
2) b = b’ , a = a’ , ß = ß’
3) a = b’ , b = c’ , γ = α’
4) c = a’ , α = β’ , ß = γ’
(Hinweis: Markiere in einer Skizze die übereinstimmenden Teile jeweils farbig.)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Kongruenz von Dreiecken
1901
b
γ
A
a
c
b'
gleicher Lage zur Seite übereinstimmen.
a'
2) nur dann kongruent, wenn b die län-
ß
α
1) nicht kongruent, da nicht Winkel in
C'
C
B
A'
c'
3) kongruent nach dem SWS-Satz;
4) kongrunet nach dem WSW-Satz.
B'
gere Seite ist (SsW-Satz);
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Kongruenz von Dreiecken
1902
Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit a = b und die Höhen ha und hb und
begründe, dass die beiden unteren Teildreiecke, die durch diese Höhen vom Dreieck
ABC abgeschnitten werden, kongruent sind. Was folgt daraus für die Höhen?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Kongruenz von Dreiecken
1902
Behauptung: ∆ABD ≅ ∆ ABE
C
Begründung:
∠BAE = ∠DBA (Basiswinkel von Dreieck ABC)
∠AEB = ∠ADB = 900 (Höhen von Dreieck ABC)
[AB] kommt in beiden Dreiecken vor
E
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem
D
SWW-Satz
Da die Höhen entsprechende Seiten in kongru-
A
B
enten Dreiecken sind, sind sie gleich lang.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Kongruenz von Dreiecken
1903
Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Basis [AB]. Von A und B aus werden
auf der Basis gleich lange Strecken x mit x <
1
AB angetragen. So entstehen die
2
Punkte D und E (D näher bei A). Beweise, dass die Dreiecke ADC und EBC kongruent sind. Was folgt daraus für das entstehende Dreieck DEC?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Kongruenz von Dreiecken
1903
Behauptung: ∆ADC ≅ ∆ EBC
C
Begründung:
∠DAC = ∠CBE (Basiswinkel von Dreieck ABC)
AD = EB ( = x)
AC = CB (gleiche Schenkel des Dreiecks ABC)
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem
SWS-Satz
⇒ DC = EC (entsprechende Seiten in kongruenten
x
x
A
D
Dreiecken) ⇒ Das Dreieck DEC ist ebenfalls gleichschenklig.
E
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Kongruenz von Dreiecken
1904
Zeichne von der Mitte M der Basis [AB] eines gleichschenkligen Dreiecks die Lote
auf die Schenkel. Sie schneiden die Schenkel in den Punkten D auf [BC] und E auf
[AC]. Beweise, dass die Dreiecke AME und MBD kongruent sind. Was folgt daraus
für die gezeichneten Lotstrecken?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Kongruenz von Dreiecken
1904
Behauptung: ∆AME ≅ ∆ MBD
C
Begründung:
∠MAE = ∠DBM (Basiswinkel von Dreieck ABC)
AM = MB (Hälfte der Basis [AB] )
0
∠AEM = ∠MDB ( = 90 )
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem
SWW-Satz
⇒ EM = MD (entsprechende Seiten in kongruenten Dreiecken)
E
A
D
M
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Kongruenz von Dreiecken
1905
Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC und die Seitenhalbierende einer der Seiten. Fälle von den Endpunkten dieser Seite die Lote auf die Seitenhalbierende und beweise
durch Betrachtung zweier kongruenter Dreiecke, dass diese Lote gleich lang sind.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Kongruenz von Dreiecken
1905
Behauptung: ∆AME ≅ ∆ MBD
C
Begründung:
∠AME = ∠BMD (Scheitelwinkel)
D
AM = MB (Hälfte der Seite [AB])
0
∠MEA = ∠MDB ( = 90 )
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem
A
SWW-Satz
⇒ EA = DB (entsprechende Seiten in kongruenten Dreiecken) ⇒ Die Lotstrecken sind gleich lang.
M
E
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Kongruenz von Dreiecken
1906
Zeichne in ein Parallelogramm eine Diagonale ein und begründe, dass dadurch das
Parallelogramm in zwei kongruente Teildreiecke zerlegt wird.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Kongruenz von Dreiecken
1906
Behauptung: ∆ABD ≅ ∆BCD
C
D
Begründung:
∠DBA = ∠BDC (Wechselwinkel)
BD = BD (gleiche Strecke in beiden
Dreiecken)
A
B
∠ADB = ∠CBD (Z-Winkel)
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach
dem WSW-Satz
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Kongruenz von Dreiecken
1907
Zeichne in einem Dreieck ABC die Seitenhalbierende sc . Sie schneidet die Seite
[AB] im Punkt M. Zeichne durch M die Parallele zu BC. Sie schneidet [AC] in P.
Zeichne außerdem die Parallele zu AC durch M. Sie schneidet [BC] in Q.
a) Begründe, dass die Dreiecke MQC und PMC kongruent sind.
b) Begründe, dass auch die Dreiecke AMP und MBQ kongruent sind.
c) Warum folgt daraus, dass P und Q die Seitenmittelpunkte sind?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Kongruenz von Dreiecken
1907
C
P
Q
a) Behauptung: ∆MQC ≅ ∆PMC
Begründung:
∠QMC = ∠PCM (Wechselwinkel)
CM = CM (gleiche Strecke)
∠MCQ = ∠CMP (Z-Winkel)
⇒ Kongruent nach dem WSW-Satz
b) Behauptung: ∆AMP ≅ ∆MQB
Begründung:
∠MAP = ∠BMQ (Stufenwinkel)
A
B
M
AM = MB (Hälfte der Strecke [AB] )
∠PMA = ∠QBM (Stufenwinkel)
⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem WSW-Satz
c) ∆AMP ≅ ∆MQB ⇒ AP = MQ (entsprechende Strecken in kongruenten Dreiecken)
∆PMC ≅ ∆CQM ⇒ PC = MQ (entsprechende Strecken in kongruenten Dreiecken)
⇒ PC = MQ = AP ⇒ P ist Mittelpunkt von [AC] (ebenso mit Q und [BC] )
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Dreieckskonstruktionen
1908
Konstruktion aus 3 Seiten:
1. Konstruiere ein Dreieck ABC nach folgenden Angaben:
a = 3,5 cm , b = 4,5 cm, c = 5,5 cm
Schreibe auch einen kurzen Konstruktionsplan.
2. Was kannst Du über die Zahl der Lösungen für folgende Konstruktion sagen?
a = 9 cm , b = 4 cm, c = 3,5 cm
(kurze Begründung!)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Dreieckskonstruktionen
1908
1.
Konstruktionsplan:
C
1) c = 5,5 cm legt A und B fest.
2) C liegt auf
a) k(A; r = 4,5 cm) und
b) k(B ; r = 3,5 cm) .
A
B
2. Das Dreieck ABC existiert nicht, da b + c < a ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Dreieckskonstruktionen
1909
Konstruktion aus 2 Seiten und dem Zwischenwinkel:
1. Konstruiere ein Dreieck ABC nach folgenden Angaben:
a = 4,5 cm , c = 3 cm, ß = 70
0
Schreibe auch einen kurzen Konstruktionsplan.
2. Ist die Konstruktion aus zwei Seiten und dem Zwischenwinkel immer eindeutig
lösbar?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Dreieckskonstruktionen
1909
1.
Konstruktionsplan:
C
1) c = 3 cm legt A und B fest.
2) C liegt auf
0
a) dem freien Schenkel von ß = 70 und
b) k(B ; r = 4,5 cm)
2. Konstruktionen dieser Art sind immer eindeutig
lösbar.
A
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Dreieckskonstruktionen
1910
Konstruktion aus zwei Winkeln und einer Seite:
1. Konstruiere ein Dreieck ABC nach folgenden Angaben:
0
a = 5 cm , ß = 60 , γ = 45
0
(Konstruiere auch die Winkel!)
Schreibe auch einen kurzen Konstruktionsplan.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Dreieckskonstruktionen
1910
Konstruktionsplan:
C
1) a = 5 cm legt die Punkte B und C fest.
2) A liegt auf
a) dem freien Schenkel von ß = 60
b) dem freien Schenkel von γ = 45
0
0
0
(Auf die Konstruktion des 45 -Winkels wurde in der
Zeichnung verzichtet.)
A
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Dreieckskonstruktionen
1911
Konstruktion aus zwei Winkeln und einer Seite:
c
Konstruiere ohne Abmessen der Winkel und der
Strecke in nebenstehender Skizze nur mit Zirkel und
Lineal das Dreieck ABC aus den Angaben
α
α , γ und c .
γ
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Dreieckskonstruktionen
1911
C
γ
ß
α
Hilfskonstruktion für ß
Konstruktionsplan:
1) c legt A und B fest.
2) C liegt auf dem freien Schenkel von α
und von ß. (Die Winkel sind mit dem
Zirkel zu übertragen!)
A
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Dreieckskonstruktionen
1912
Konstruktion aus zwei Seiten und einem Gegenwinkel:
Konstruiere Dreiecke aus folgenden Angaben und entscheide vor der Durchführung
der Konstruktion, wie viele Lösungen es gibt:
1. a = 4 cm, b = 3 cm, α = 50
0
2. a = 4 cm, b = 3,5 cm, ß = 50
3. a = 3 cm, b = 4 cm, α = 100
0
0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Dreieckskonstruktionen
1912
Die Konstruktion 1) ist eindeutig lösbar (da der gegebene Winkel der größeren Seite
gegenüberliegt), bei 2. gibt es aus zwei Lösungen, da der gegebene Winkel der klei0
neren Seite gegenüberliegt, und bei 3. gibt es keine Lösung, da der 100 -Winkel der
größte Winkel im Dreieck ist und daher auch der größten Seite gegenüberliegen
muss.
C
C
B
A
A1
A2
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichschenklige Dreiecke
2001
Berechne die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn
0
a) ein Basiswinkel 46 51’ beträgt;
b) der Winkel an der Spitze 780 19’ ist
c) der Winkel an der Spitze doppelt so groß wie ein Basiswinkel ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Gleichschenklige Dreiecke
2001
α und ß sind Basiswinkel, γ ist der Winkel an der Spitze.
a) ß = α = 460 51’ , γ = 1800 - 2 ⋅ 460 51’ = 1800 - 930 42’ = 860 18’
b) α = ß = (1800 - 780 19’) : 2 = 1010 41’ : 2 = 500 50’ 30“
c) α = ß = 450 , γ = 900
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichschenklige Dreiecke
2002
Berechne den Winkel α.
D
C
90.0 °
47.0 °
α
B
A
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Gleichschenklige Dreiecke
2002
α‘ = 1800 - 900 - 470 = 430
α + α‘ = δ = (1800 - 470) : 2 = 66,50
α = 23,50
(Das Dreieck ABD ist gleichschenklig mit Basis [AD].)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2003
A
α
D
δ
C
ß1
ß2
35.0 °
B
Berechne die Winkel α, ß1 , ß2 und δ.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2003
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit Basis [AC], das Dreieck BCD ist ebenfalls
gleichschenklig mit Basis [BD].
α = γ = 350 , β = 1800 − α − γ = 1100
β2 = δ = (1800 − 350) : 2 = 1450 : 2 = 72,50
β1 = β − β2 = 37,50
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2004
38.5 °
c
D
C
86.0 °
γ
c
c
A
B
Im gezeichneten Viereck ABCD sind die Strecken [AD] , [DC] und [BC] gleich lang.
Berechne den Winkel γ
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2004
Die Dreiecke ACD und BCD sind gleichschenklig. Die Diagonalen des Vierecks sind
die Basen dieser Dreiecke.
∠CAD = α1 = ∠DCA = γ1 = (1800 − (860 +38,50)) : 2 = 27,750
∠CBD = β1 = 38,50
γ + γ1 = 1800 − 2 ⋅ 38,50 = 1030 ⇒ γ = 75,250
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Gleichschenklige Dreiecke
2005
Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ABC, bei dem die Schenkel a und b je
0
5 cm lang und der Winkel γ = 45 ist.
(Anmerkung: Auch der Winkel ist zu konstruieren!)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Gleichschenklige Dreiecke
2005
C
Zuerst [AC] = 5 cm antragen, dann
0
γ = 45 mit 1. Schenkel [CA antragen.
B ist der Schnittpunkt von k(C;r=5 cm)
mit dem freien Schenkel von γ.
A
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2006
C
Konstruiere in einem beliebigen
gleichschenkligen Dreieck ABC die
Halbierenden der Innenwinkel.
124.0 °
Sie schneiden sich in einem Punkt. Wie
groß sind die Innenwinkel des Dreiecks,
wenn die Winkelhalbierende von ß und die
Winkelhalbierende von γ einen Winkel von
0
124 miteinander einschließen (siehe
A
B
Skizze)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2006
Ist W der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und M der Mittelpunkt von [AB] , so
gilt im rechtwinkligen Dreieck MBW:
⇒ ß = 680
⇒ γ = 1800 - 2ß = 440
1
ß = 1800 − 900 − ( 1800 − 124 0 ) = 340
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Gleichschenklige Dreiecke
2007
Zeichne einen beliebigen Winkel α und seine Winkelhalbierende w. Wähle einen
beliebigen Punkt A auf dem 1. Schenkel des Winkels α und konstruiere das Lot zu
diesem 1. Schenkel durch A. Dieses Lot schneidet den 2. Schenkel in B und die
Winkelhalbierende in P. Konstruiere nun das Lot zum 2. Schenkel durch B. Dieses
Lot schneidet die Winkelhalbierende in Q. Untersuche rechnerisch, ob das Dreieck
PQB gleichschenklig ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Gleichschenklige Dreiecke
2007
∠SPA = 180 0 − 90 0 −
B
90.0 °
= 900 −
w
Q
S
1
α = ∠QPB
2
0
∠SBA = 90 - α
0
0
∠PBQ = 90 - (90 - α) = α
P
α
1
α=
2
90.0 °
A
1 

∠BQP = 180 0 − α −  900 − α

2 
= 900 −
1
α = ∠QPB
2
⇒ Das Dreieck PQB ist gleichschenklig, da es gleich große Basiswinkel hat.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2008
In der Zeichnung sind die mit gleicher
Farbe und gleichem Buchstaben
C
bezeichneten Winkel gleich groß.
α
a) Welche Strecken sind gleich lang?
α
b) Zeige durch Rechnung, dass der Winkel
D
δ β
δ ebenso groß wie α ist.
α
A
β
E
B
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2008
a) AD = AC (gleiche Basiswinkel im ∆ADC) , AB = BC (gleiche Basiswinkel im
∆ABC) , BE = ED (gleiche Basiswinkel im ∆EBD)
b) δ = 1800 − α − β (gestreckter Winkel bei D) , und da im Dreieck ABC die
Winkelsumme α + α + β = 1800 ist, folgt: 1800 − α − β = α .
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2009
Gegeben sind die Punkte P(1/1) , R(9/6) und C(6/1) und die Gerade g = PR.
a) Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck ABC, das die Gerade g als Symmetrieachse
besitzt, so dass B auf g liegt.
b) Konstruiere die zweite Symmetrieachse h durch C. Sie schneidet g in S.
Begründe, dass das Dreieck ASC gleichschenklig ist.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2009
A ist der Spiegelpunkt von C
g
A
R
an der Achse g. B liegt auf
dem Kreis um C durch A und
der Symmetrieachse g.
Das Dreieck ASC hat zwei
S
B
P
gleich große Basiswinkel bei
0
C
A und C (30 )
h
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2010
0
In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit Spitze C ist γ = 76 .
Unter welchem Winkel schneiden sich.
a) wα und hc
b) wα und wß
c) ma und mc ?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Gleichschenklige Dreiecke
2010
C
a) α = β = 520
mc=hc
δ = 1800 − 900 − 260 = 640
b) ε = 1800 − 260 − 260 = 1280
ma
A
B
c) φ = 1800 − 380 − 900 = 520
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Rechtwinklige Dreiecke
2101
0
1. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit ß = 90 gilt: γ =
2
α
3
Wie groß sind die Winkel α und γ ?
2. In einem bei A rechtwinkligen Dreieck ABC unterscheiden sich die beiden spitzen
0
Winkel um 38 . Wie groß sind sie?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Rechtwinklige Dreiecke
2101
1. α + γ = 90 0
⇒
α+
2
α = 90 0
3
2. ß + γ = 900 und β = γ + 360
ß = 63
0
⇒
α = 54 0
⇒ γ = 36 0
⇒ γ + γ + 36 0 = 90 0
⇒ 2γ = 540 ⇒ γ = 27 0
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Rechtwinklige Dreiecke
2102
Begründe folgende Aussage:
0
In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem 30 -Winkel ist die kürzere Kathete halb so
lang wie die Hypotenuse.
0
Konstruiere dazu zunächst ein Dreieck ABC mit α = 30 und γ = 90
0
(Hinweis: Für die Begründung benötigst Du eine Hilfslinie!)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Rechtwinklige Dreiecke
2102
Die benötigte Hilfslinie ist [MC].
0
ß = 90 - α = 60
C
0
Das Dreieck MBC ist daher gleich-
(
)
schenklig MB = MC mit gleich großen Basiswinkeln bei M und C und
A
M
B
0
ß = 60 . ⇒ Das Dreieck MBC ist
sogar gleichseitig. ⇒ BC = MB
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Rechtwinklige Dreiecke
2103
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hypotenuse [BC] und BC = 5 cm
und AC = 3,5 cm.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Rechtwinklige Dreiecke
2103
BC = 5 cm legt die Punkte B und
A
C fest.
A liegt auf dem Thaleskreis über
[BC] und dem Kreis um C mit Radius 3,5 cm.
B
M
C
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Rechtwinklige Dreiecke
2104
Begründe folgende Aussage:
In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Höhe auf die Hypotenuse
das Dreieck in zwei gleich große, ebenfalls gleichschenklig-rechtwinklige Teildreiecke.
Zeichne dazu ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck und die Höhe auf die Hypotenuse.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Rechtwinklige Dreiecke
2104
Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck ist
C
achsensymmetrisch. Daher ist die Höhe
hc zugleich Winkelhalbierende von γ. Die
Basiswinkel α und ß des Dreiecks ABC
0
sind gleich groß und daher 45 . AußerA
H
B
dem ist γ 1 = γ 2 =
1
0
γ = 45 . Somit besit2
zen die beiden Teildreiecke AHC und HBC bei H einen rechten Winkel und gleich
große Basiswinkel. Sie sind also gleichschenklig-rechtwinklig. Gleich groß sind sie
auf Grund der Symmetrie der Figur zur Achse HC.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Rechtwinklige Dreiecke
2105
Das Dreieck ABC ist gleich-
C
schenklig mit Basis [AB] . Ein
Kreis um B mit Radius BC
γ
schneidet die Gerade AB in D.
a) Drücke den Winkel δ durch
den Winkel γ aus.
b) Für welchen Wert von γ ist
δ
A
das Dreieck ADC bei C
B
D
rechtwinklig?
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Rechtwinklige Dreiecke
2105
a) α = β = (1800 − γ) : 2 = 900 −
β∗ = 1800 − β = 900 +
1
γ
2
δ = (1800 − β∗) : 2 = (900 −
b) ∠ACD = γ + δ = γ + 450 −
1
γ
2
(gleichschenkliges Dreieck ABC)
(Nebenwinkel)
1
1
γ) : 2 = 450 − γ
2
4
(gleichsch. Dreieck BDC)
1
3
γ = γ + 450 = 900 wenn γ = 600 ist.
4
4
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Rechtwinklige Dreiecke
2106
In einem Dreieck ABC ist M
C
die Mitte von [AB], D und E
ha
sind die Fußpunkte der Hö-
D
hen ha und hb .
hb
a) Begründe, dass das Dreieck
E
MDE gleichschenklig ist.
b) Berechne die Winkel ∠CDE
und ∠DEC, wenn α = 64
0
A
M
B
0
und ß = 38 sind.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Rechtwinklige Dreiecke
2106
a) Die Punkte D und E liegen auf dem Thaleskreis über [AB], da die Dreiecke ABD
und ABE rechtwinklig sind. M ist der Mittelpunkt des Thaleskreises, also ist
MD = ME und das Dreieck MDE ist gleichschenklig.
0
0
b) ∠EMA = 180 - 2α = 52 (gleichschenkliges Dreieck AME)
0
0
∠BMD = 180 - 2ß = 104 (gleichschenkliges Dreieck BMD)
0
0
0
∠DME = 180 - 104 - 52 = 24
0
0
0
0
∠MED = ∠EDM = (180 -24 ):2 = 78 (gleichschenkliges Dreieck MDE)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
∠DEC = 180 - ∠AEM - ∠MED = 180 - 64 - 78 = 38
∠CDE = 180 - ∠EDM - ∠MDB = 180 - 78 - 38 = 64
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Rechtwinklige Dreiecke
2107
Zeichne zwei Punkte A und B mit der Entfernung 5 cm.
Konstruiere zwei parallele Geraden a durch A und b durch B, die einen Abstand von
3 cm haben.
(Hinweis: Fertige zunächst eine Planfigur.)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Rechtwinklige Dreiecke
2107
Man erhält einen zweiten
a1
Punkt der Geraden a,
wenn man den Thales-
3 cm
kreis über [AB] mit einem
b1
A
B
b2
3 cm
Kreis um B mit Radius
3 cm schneidet. Daher
gibt es auch zwei Geraden a1 und a2 und die
jeweiligen Parallelen b1
und b2 durch B.
a2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Rechtwinklige Dreiecke
2108
Zeichne zwei Punkte A und B mit der Entfernung 4 cm.
Konstruiere alle Geraden, von denen diese Punkte die Entfernung 1,5 cm haben, so
dass die Punkte auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen.
(Hinweis: Fertige zunächst eine Planfigur.)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Rechtwinklige Dreiecke
2108
Aus Symmetriegründen müssen
die gesuchten Geraden durch den
Mittelpunkt der Strecke [AB] ge-
A
1,5cm
1,5cm
B
hen. Zeichnet man die Abstände
ein, so entstehen rechtwinklige
Dreiecke über den Hypotenusen
[AM] und [MB] . Man erhält also
einen weiteren Punkt der gesuchten Geraden, indem man die Thaleskreise über [AM] und [BM] mit
den Kreisen um A und B mit Radius 1,5 cm schneidet.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Rechtwinklige Dreiecke
2109
In einem gleichschenkligen Dreieck ABC wird
C
die Winkelhalbierende w des Winkels α gezeichnet. Sie schneidet die Strecke [BC] in W.
Das Lot zu w im Punkt W schneidet die Gerade
w
AB im Punkt P.
Begründe, dass die Strecke [AP] doppelt so
90.0 °
W
lang ist wie die Strecke [BW].
(Hinweis: Zeichne die Figur zunächst selbst,
damit Du Hilfslinien einzeichnen kannst.)
A
B
P
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Rechtwinklige Dreiecke
2109
Das Dreieck APW ist rechtwinklig. Daher
C
liegt W auf dem Thaleskreis über [AP] . M ist
der Mittelpunkt von [AP] . Das Dreieck AMW
W
1
α . Der
2
w
ist gleichschenklig mit Basiswinkeln
90.0 °
Außenwinkel ∠BMW = α = ß (da das Dreieck ABC gleiche Basiswinkel α und ß besitzt.) Somit ist auch das Dreieck MBW
gleichschenklig und es folgt:
A
M
B
P
BW = MW = AM =
1
AP
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
EXP
Transversalen
2210
Im Rechteck ABCD sind die Punkte P, Q, R und S Seitenmittelpunkte. T
wiederum ist Mittelpunkt der Strecke [SR].
Finde heraus, welchen Bruchteil des Flächeninhalts des Rechtecks
ABCD das Dreieck PQT einnimmt.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
EXP
Transversalen
2210
Die Geraden SR und PQ sind parallel, denn die Dreiecke SDR, RQC, PBQ und APS
sind kongruent (nach dem SWS-Satz); die Winkel ∠SRQ und ∠RQP sind
Nachbarwinkel und mit α = ∠DRS gilt ß = ∠RSD = 90° - α. Also ist
∠SRQ + ∠RQP = 180° - 2α + 180° - 2ß = 180° - 2α + 180° - 2(90° - α) = 180°. Da
sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, sind die Geraden parallel.
Daher kann T auf der Geraden SR nach S verschoben werden, ohne dass sich die
Höhe des Dreiecks PQT verändert. Dabei bleibt dann auch der Flächeninhalt
erhalten. Das Dreieck SPQ nimmt
1
4
des Rechtecks ein, also auch das Dreieck PQT.
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Binomische Formeln
3001
Verwandle folgende Terme in Summen:
2
2
2
1) (8 + 2a)
2) (5x - 4y)
4) (9a - 4b)(9a + 4b)
5) (0,5u + 0,8v)
7)
1 
 1
 2 + 3 x
 4
3 
3) (7 - 3u)
2
2
8)
3

 p − 0,8q
4

6)
2 
3
 z − a
4
3 
2
2
9) (4,5c - 5,3d)(4,5c + 5,3d)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Binomische Formeln
3001
1) 64 + 32a + 4a
2
4) 81a - 16b
2
2
2
2
2) 25x - 40xy + 16y
3) 49 - 42u + 9u
2
2
2
5) 0,25u + 0,8uv + 0,64v
6)
9 2
4
z − az + a2
16
9
7)
81
100 2
1
1
+ 15x +
x =5
+ 15x + 11 x2
16
9
16
9
8)
9 2 6
16 2
p − pq +
q
16
5
25
9) 20,25c - 28,09d
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Binomische Formeln
3002
Verwandle folgende Terme in Summen und vereinfache:
2
2
2 2
1) (a + 4)
2
2) (5x - 2y )
2
3
4) (2ab + 3bc)
2 2
4
5) (2a - 3a )
2
2
2
2
3) (9c - 3d ) (9c + 3d )
2
3
4
3
6) (x - x )(x + x )
2
7) (2p + q) - (2p - q)
8) (3a + 4b)(3a - 4b) - (3a + 4b)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Binomische Formeln
3002
4
2
2
1) a + 8a + 16
2 2
2
2
2 2
5
5) 4a - 12a + 9a
6
2
6) x - x
2
4
3) 81c - 9d
6
4) 4a b + 12ab c + 9b c
8
4
2) 25x - 20xy + 4y
2
4
4
2
2
7) 4p + 4pq + q - 4p + 4pq - q = 8pq
2
2
2
2
8) 9a - 16b - 9a - 24ab - 16b = - 32b - 24ab
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Binomische Formeln
3003
Multipliziere folgende Terme möglichst geschickt:
2
2 3
2) (x - y )
1) (x - y)(x + y)(x - y)
2
2
3) (2a + 3b)(2a - 3b)
2
4) (4x + 1) (4x - 1)
4
5) (1 - 5y)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Binomische Formeln
3003
2
2
3
2
2
3
1) ... = [(x - y)(x + y)](x - y) = [x - y ](x - y) = x - x y - xy + y
4
2 2
4
2
2 4
6
2
6
4 2
4 2
2 4
2 4
6
2) ... = (x - 2x y + y )(x - y ) = x - x y - 2x y + 2x y + x y - y =
6
4 2
= x - 3x y + 3x y - y
3) ... = [(2a + 3b)(2a - 3b)](2a - 3b) =
2
2
3
2
2
= [4a - 9b ](2a - 3b) = 8a - 12a b - 18ab + 27b
2
3
2
4
2
4) ... = [(4x + 1)(4x - 1)][(4x + 1)(4x - 1)] = [16x - 1] = 256x - 32x + 1
2
2
2
2
5) ...= (1 - 5y) (1 - 5y) = (1 - 10y + 25y )(1 - 10y + 25y ) =
2
2
3
2
3
4
= 1 - 10y + 25y - 10y + 100y - 250y + 25y - 250y + 625y =
2
3
4
= 1 - 20y + 150y - 500y + 625y
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Binomische Formeln
3004
Verwandle folgende Terme in Summen:
2
2
2)
2

 p + 1,8q
3

5)
( −0,5k − 0,8m) 2
1)
6 

 9x − y

5 
4)
1 
 1
 3 u + 1 v
 3
5 
7)
( −0,16m − 0,18n)( 0,16m − 0,18n)
2
8)
3)
7 
4
 a − b
7
8 
6)
( 3yz − 5z )
2
3 2
1
2  1
2 

 −6 + 3 p  6 + 3 p
 3
5  3
5 
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Binomische Formeln
3004
108
36 2
xy +
y
5
25
1)
81x2 −
3)
16 2
49 2
a − ab +
b
49
64
2
5) 0,25k + 0,8km + 0,64m
2
7) - 0,0256m + 0,0324n
2
2
2)
4 2 12
81 2
p +
pq +
q
9
5
25
4)
100 2
36 2
u + 8uv +
v
9
25
2 2
4
6
6) 9y z - 30yz + 25z
8)
289 2 361
14 2
1
p −
= 11
p − 40
25
9
25
9
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Binomische Formeln
3005
Vereinfache folgende Terme:
2
2
1)
3(5y - 3x) + 4(3x - 4y)(2x + 7y) - 6(8x - 6y)
2)
(a
2
− b2
)
2
2
2
− b( a − b) ( a + b) − a( a + b) ( a − b) + ab( 5a − 3b)( 5a + 3b)
Hinweis: Multipliziere Produkte mit 4 Faktoren möglichst geschickt!
2
(
)(
)
z.B. x( x + y) ( x − y) = [ x( x + y)][( x + y)( x − y)] = x2 + xy x2 − y 2 = . ..
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Binomische Formeln
3005
1)
2
2
2
2
2
2
... = 3(25y - 30xy + 9x ) + 4(6x +21xy - 8xy - 28y ) - 6(64x - 96xy + 36y ) =
2
2
2
2
2
2
= 75y - 90xy + 27x + 24x + 84xy - 32xy - 112y -384x + 576xy - 216y =
2
2
= - 333x + 538xy - 253y
2)
4
2 2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
... = a - 2a b + b - (ab - b )(a - b ) - (a + ab)(a - b ) + ab(25a - 9b ) =
4
2 2
4
3
3
2 2
4
4
2 2
3
3
3
3
= a - 2a b + b - a b + ab + a b - b - a + a b - a b + ab + 25a b - 9ab =
3
23a b - 7ab
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Binomische Formeln
3006
Vereinfache folgende Terme:
1)
( 4x − 5) 2 − ( 6x + 7) 2 + 5( 2x + 4)( 2x − 4)
2)
2
2
, a − 1,5b) − (17
, a − 1,9b)(17
, a + 1,9b) + 5(1,4a + 1,3b)
(11
3)
1
1
1
2
, x − 3 y)
( 4x − 1,5y)2 − 0,75 x − 2y  2y − x − (15
2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Binomische Formeln
3006
2
2
2
1) ... = 16x - 40x + 25 - 36x - 84x - 49 +20x - 80 = - 124x - 104
2
2
2
2
2
2) ... = 1,21a - 3,3ab + 2,25b - 2,89a + 3,61b + 5(1,96a + 3,64ab + 1,69b =
2
2
2
2
= - 1,68a - 3,3ab + 5,86b + 9,8a + 18,2ab + 8,45b =
2
= 8,12a +14,9ab + 14,31b
3)
.. . =
1
3
1  9

16x2 − 12xy + 2,25y 2 − ( −1) 4y 2 − 2xy + x2  − x2 + 9xy − 9y 2 =

2
4
4  4
(
= 8x2 − 6xy +
=5
2
)
9 2
3
3 2 9 2
y + 3y 2 − xy +
x − x + 9xy − 9y 2 =
8
2
16
4
15 2 3
7
x + xy − 4 y 2
16
2
8
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Binomische Formeln
3007
Vereinfache folgende Terme:
2
1)
1  4
1 
4 
4 
 4
 1
 1
 1 x − 2 y  1 x + 2 y − 3 1 y + x − 2 1 y − x
 5
 2
 2
2  5
2 
5 
5 
2)
4( 0,2a − 0,3b) − 0,8( a + 4b) − 5( 0,6a − 1,2b)
2
2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Binomische Formeln
3007
2
1)
2
5  9
5 
4 
4 
9
3
3
.. .=  x − y  x + y − 3 y + x − 2 y − x =
5
2
2
2  5
2 
5 
5 
=
81 2 25 2
12
16 2 
12
16 2 
9
9
x −
y − 3 y 2 +
xy +
x  − 2 y 2 −
xy +
x =
4
4
25
4
5
25 
5
25 
=
81 2 25 2 27 2 36
48 2 18 2 24
32 2
x −
y −
y −
xy −
x −
y +
xy −
x =
25
4
4
5
25
4
5
25
=
1 2 12
35 2
x −
xy −
y
25
5
2
2
2
2
2
2
2
2) ... = 4(0,04a -0,12ab+0,09b ) - 0,8(a +8ab+16b ) - 5(0,36a -1,44ab+1,44b )=
2
2
2
2
2
2
= 0,16a - 0,48ab + 0,36b - 0,8a - 6,4ab - 12,8b - 1,8a + 7,2ab - 7,2b =
2
= - 2,44a + 0,32ab - 19,64b
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
X
Binomische Formeln
3008
Bestimme die Lösung folgender Gleichungen:
1)
( x + 5) 2 + ( x − 3) 2 = 2x( x + 4)
2)
( x − 8)( x + 8) + 1 = ( 2x + 3) 2 − 3x( x + 2)
3)
( x − 18) 2 = ( x − 12)( x + 12)
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
X
Binomische Formeln
3008
1) x2 + 10x + 25 + x2 - 6x + 9 = 2x2 + 8x
2x2 + 4x + 34 = 2x2 + 8x
/ - 2x2 - 4x
34 = 4x
/ :4
x = 8,5
2) x2 - 64 +1 = 4x2 + 12x + 9 - 3x2 - 6x
x2 - 63 = x2 + 6x + 9 / - x2 - 9
- 72 = 6x
/ :6
x = - 12
3) x2 - 36x + 324 = x2 - 144 / - x2 - 324
- 36x = - 468 / : (- 36)
x = - 13
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XX
Binomische Formeln
3009
Löse folgende Gleichungen:
1)
(1 − 3x) 2 − 5x( 6 + x) = ( 3 + 2x) 2
2)
( 6x − 3) 2 − ( 3x − 5)( 3x + 5) = ( 5x + 2)( 5x − 2) + 2( x − 9) 2
3)
( 2x + 1) 2 − ( 3x − 4) 2 = 11( x + 1) 2 − ( 4x − 3) 2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XX
Binomische Formeln
3009
1) 1 - 6x + 9x2 - 30x - 5x2 = 9 + 12x + 4x2
4x2 - 36x + 1 = 4x2 + 12x + 9
/ - 4x2 - 12x -1
- 48x = 8
/ : (- 48)
1
x=−
6
2
2
2
2
2) 36x - 36x + 9 - 9x + 25 = 25x - 4 + 2x - 36x + 162
2
2
2
27x - 36x + 34 = 27x - 36x + 158
/ - 27x + 36x
34 = 158
L={}
2
2
2
2
3) 4x + 4x + 1 - 9x + 24x - 16 = 11x + 22x + 11- 16x + 24x - 9
2
2
2
/ + 5x - 46x + 15
- 5x + 28x - 15 = - 5x + 46x + 2
- 18x = 17 / : (- 18)
17
x=−
18
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Binomische Formeln
3010
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen:
1)
( 2x + 11) 2 − (7x − 9) 2 = (14 − 3x)(14 + 3x) − ( 6x − 16) 2
2)
3( 8 − 6x) − 7( 4x − 5) = ( 3x − 1)(7x + 2) − ( 5x + 1)
2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Binomische Formeln
3010
2
2
2
2
1) 4x + 44x + 121 - 49x + 126x - 81 = 196 - 9x - 36x + 192x - 256
2
2
2
- 45x + 170x + 40 = - 45x + 192x - 60 / + 45x - 170x + 60
100 = 22x / : 22
6
x= 4
11
2)
2
2
2
2
3(64 - 96x + 36x ) - 7(16x - 40x + 25) = 21x + 6x - 7x - 2 - 25x - 10x - 1
2
2
2
192 - 288x + 108x - 112x + 280x - 175 = - 4x - 11x - 3
2
2
2
- 4x - 8x + 17 = - 4x - 11x - 3 / + 4x + 11x - 17
3x = - 20 / : 3
2
x = −6
3
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Üben
XXX
Binomische Formeln
3011
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen:
2
2
2
1)
3( 2x − 1) = 2( 4x − 2) − 5( 2x − 3)
2)
7( 2x + 9) − 3( 4 + 5x)( 5x − 4) − x2 = 31 − 4( 2x + 6) − 2( 4x − 7)
2
2
2
Klasse
Art
Schwierigkeit
math. Thema
Nr.
7
Lösung
XXX
Binomische Formeln
3011
1)
(
)
(
) (
)
3 4x2 − 4x + 1 = 2 16x2 − 16x + 4 − 5 4x2 − 12x + 9
2
2
2
12x − 12x + 3 = 32x − 32x + 8 − 20x + 60x − 45
2
12x2 − 12x + 3 = 12x2 + 28x − 37
/ - 12x - 28x - 3
- 40x = - 40 / : (- 40)
x=1
2)
(
) (
)
(
) (
)
7 4x2 + 36x + 81 − 3 25x2 − 16 − x2 = 31 − 4 4x2 + 24x + 36 − 2 16x2 − 56x + 49
28x2 + 252x + 567 − 75x2 + 48 − x2 = 31 − 16x2 − 96x − 144 − 32x2 + 112x − 98
2
−48x2 + 252x + 615 = −48x2 + 16x − 211 / + 48x - 16x - 615
236x = - 826
/ : 236
x = 3,5