Klausur WS 2016/7 Modul P2.2 “Elektrodynamik” 3. März 2017

HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN
Klausur WS 2016/7
Modul P2.2 “Elektrodynamik”
3. März 2017
Prof. Dr. J. Plefka
Name :
Matrikel-Nr. :
Aufgabe
K.1-5
A.1
A.2
A.3
A.4
Total
maximale erreichte
Punktzahl Punktzahl
20
20
20
15
20
95
Note :
Erlaubte Hilfsmittel: Selbsterstellte Formelsammlung (2 DIN-A4 Blätter). Zum Bestehen der Klausur
sind 45 Punkte erforderlich. Sie haben 180 Minuten Bearbeitungszeit.
Klausur P2.2 Elektrodynamik
WS 2016/17
Kurzaufgabe K1:
(6 Punkte)
Formulieren Sie die Maxwell-Gleichungen (homogen und inhomogen) einmal in relativistisch kovarianter Form und einmal in nichtrelativistischer Schreibweise (di↵erentielle Form) für den Fall von
Ladungen und Strömen im Vakuum. Geben Sie das benutzte Einheitensystem an. Leiten Sie dann aus
den Maxwell-Gleichungen die Kontinuitätsgleichung her.
2
Klausur P2.2 Elektrodynamik
WS 2016/17
Kurzaufgabe K2:
(8 Punkte)
Zeigen Sie, dass im quellenfreien Fall (keine Ströme oder Ladungen) aus den Maxwell-Gleichungen die
1 ~2
~ 2 ) und des Poynting-Vektors S
~ = c (E
~ ⇥ B)
~
Kontinuitätsgleichungen der Energiedichte W = 8⇡
(E + B
4⇡
folgen, d.h. das
@
~ ·S
~=0
W +r
@t
gilt. (Alle Größen hier im CGS System)
4
Klausur P2.2 Elektrodynamik
WS 2016/17
Kurzaufgabe K3:
(6 Punkte)
~ ·A
~ + 1 @t = 0) nach einer Eichtransformation ( ,A)
~ !
Überprüfen Sie, dass die Lorenz-Eichung (r
c
~ 0 ) erreicht wird, wenn dabei die Eichfunktion ⇤ so gewählt wird, dass
( 0 ,A
~ ·A
~ + 1 @t
⇤⇤ = r
c
gilt.
6
Klausur P2.2 Elektrodynamik
WS 2016/17
Aufgabe A.1: – Potential einer homogen polarisierten Kugel
(7+10+3= 20 Punkte)
In einem Dielektrikum seine die freie Ladungsdichte ⇢frei (~x) und die Polarisation P~ (~x) gegeben. Die
~ = div(✏0 E
~ + P~ ) = ⇢frei .
makroskopische Maxwellgleichung im SI-System lautet divD
Die Aufgaben a sowie (b,c) können unabhängig voneinander gelöst werden.
a) Zeigen Sie, dass das elektrostatische Potential (~x) gegeben durch
(~x) =
x) +
frei (~
x) =
ind (~
Z
d3 x0 ⇢frei (~x0 )
+
4⇡✏0 |~x ~x0 |
Z
d3 x0 P~ (~x0 ) · (~x ~x0 )
4⇡✏0
|~x ~x0 |3
(1)
die makroskopische Maxwellgleichung löst.
~x 2 auf den oberen Ausdruck an und
Hinweis: Wenden Sie hierfür den Di↵erentialoperator 4x = r
~ = r
~ .
nutzen Sie aus, dass 4( |~x 1~x0 | ) = 4⇡ (3) (~x ~x0 ) ist. Weiterhin gilt natürlich E
b) Wir betrachten nun den Fall einer dielektrischen Kugel vom Radius R im Vakuum. Diese sei
homogen polarisiert
(
P~0 = P0 ~ez für r < R
P~ (~x) =
0
für r > R
Die Dichte der freien Ladungen sei Null. Berechnen Sie das skalare Potential (~x) mithilfe von
Glg. (1) innerhalb und außerhalb der Kugel!
(
Z
1 2
1 2
R
r (r < R)
1
3 0
2
Hinweis:
dx
= 4⇡ 1 3 6
mit r = |~x|.
0
|~x ~x |
R
(r > R)
|~
x0 <R
3r
c) Wie lautet die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb der Kugel?
8
A1
Klausur P2.2 Elektrodynamik
WS 2016/17
Aufgabe A.2: – Feld eines gleichförmig bewegten magnetischen Dipols
Punkte)
(5+7+8=20
x2
vt
a
0
x1
m
x3
Ein Teilchen, das in seinem Ruhesystem das magnetische Dipolmoment m
~ = m ~e1 besitzt, fliegt mit
konstanter, relativistischer Geschwindigkeit v entlang der x1 -Achse. In der x2 -x3 Ebene befindet sich
eine kreisförmige Leiterschleife (Radius a, Mittelpunkt im Ursprung O) aus dünnem Draht. Die Schleife
besitzt den Widerstand R.
a) Im Ruhesystem ⌃0 des magnetischen Dipols lauten die Potentiale (in SI-Einheiten)
~ ⇥ ~x0
~ 0 (~x0 ,t0 ) = µ0 m
A
,
4⇡ |~x0 |3
0
(~x0 ,t0 ) = 0 .
~ 0 (~x0 ) und das elektrische Feld E
~ 0 (~x0 ) in ⌃0 her.
Leiten Sie die magnetische Induktion B
b) Transformieren Sie das elektrische Feld in das Laborsystem ⌃ und zeigen Sie, dass es sich auf die
Form
m
~ ⇥ ~x
~ x,t) = 3µ0 v 2 (x1 vt) p
E(~
5
4⇡ c
2 (x
vt)2 + x22 + x23
1
bringen lässt.
c) Bestimmen Sie den Strom I(t), der in der Leiterschleife induziert wird!
Hinweis:
Für einen Boost mit ~v lauten die Lorentztransformationen der Felder
⇣
⌘
⇣
⌘
2
1
0 0
~
~
~
~
E (x ) =
E(x) + c (~v ⇥ B(x)
~v · E(x) ~v
2
1
)
⌘ c (1+
⇣
⌘
⇣
mit = q
2
1
~ 0 (x0 ) =
~
~
~
B
B(x)
(~v ⇥ E(x)
~v · B(x)
~v
1
c
c2 (1+ )
12
v2
c2
.
(2)
Klausur P2.2 Elektrodynamik
WS 2016/17
Aufgabe A.3: – Elektromagnetische Welle
(3+3+3+6=15 Punkte)
Betrachten Sie eine elektromagnetische Welle im Vakuum, gegeben durch
~ x,t) = Re(E
~ 0 ei(~k·~x
E(~
! t)
~ x,t) = Re(B
~ 0 ei(~k·~x
B(~
),
! t)
),
~ 0 und B
~ 0 komplexe Größen sind.
wobei E
a) Leiten Sie zunächst allgemein aus den Maxwell-Gleichungen im Vakuum (keine Ladungen und
~ x,t) und B(~
~ x,t) her.
keine Ströme) die homogene (oder freie) Wellengleichung für die Felder E(~
~ x,t) und B(~
~ x,t) die homogene Wellengleichung
b) Zeigen Sie, dass die oben angegebene Form für E(~
löst. Welche Bedingungen müssen ~k und ! erfüllen?
~ ? ~k, B
~ ? ~k, E
~ ? B.
~ Drücken Sie B
~ 0 durch E
~0
c) Zeigen Sie, dass die Welle transversal ist, d.h. E
aus!
d) Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Energiedichte W (~x,t) und den zeitlich gemittelten Poynting~ der elektromagnetischen Welle. Schreiben Sie das Ergebnis als Funktion von E
~ 0.
Vektor S
16
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Klausur P2.2 Elektrodynamik
WS 2016/17
Aufgabe A.4: – Geladener Draht vor kugelförmigen Leiter
(4+6+8+2=20 Punkte)
In der Ebene z = 0 befindet sich ein kreisförmiger Draht mit dem Radius a. Der Draht ist homogen
mit der Gesamtladung Q geladen.
z
a
y
0
Q
x
~ = 0,y = 0,z)!
a) Bestimmen Sie das auf der z-Achse herrschende elektrische Feld E(x
z
r0
a
y
0
Q
x
b) Im Mittelpunkt des Drahtkreises werde nun ein kugelförmiger, geerdeter Leiter vom Radius r0 mit
r0 < a platziert. Zeigen Sie zunächst, dass die Green’sche Funktion für dieses Problem (Dirichlet
Randbedingung auf der Kugeloberfläche) durch
1
GD (~x,~x ) =
4⇡|~x ~x0 |
r0
|~
x0 |
0
4⇡ ~x
r02
~x0
|~
x0 |2
gegeben ist. D.h. überprüfen Sie, dass die definierende partielle Di↵erentialgleichung und die Randbedingung erfüllt sind.
c) Nutzen Sie nun diese Green’sche Funktion, um das Potential (~x) im Außenraum der Kugel in
Form eines eindimensionalen Integrals anzugeben. Berechnen Sie (x = 0,y = 0,z) entlang der
z-Achse.
~ = 0,y = 0,z) entlang der z-Achse außerhalb der
d) Bestimmen Sie sodann das elektrische Feld E(x
Leiterkugel.
20
2