Über eine metrische Eigenschaft der S

MATHEMATISCHE
ZEITSCHRIFT
UNTER
STÄNDIGER M I T W I R K U N G VON
E. K A M K E
R. N E V A N L I N N A
TÜBINGEN
E. SCHMIDT
HELSINKI
BERLIN
F. K. S C H M I D T
HEIDELBERG
H E R A U S
G E G E B E N
V O N
H. W I E L A N D T
TÜBINGEN
WISSENSCHAFTLICHER
W.BLASCHKE
L . F E J E R
W.MAGNUS
BEIRAT
A. E . I N G H A M
O.PERRON
H.
70. B A N D
B E R L I N . GÖTTINGEN • H E I D E L B E R G
S P R I N G E R - V E R L A G
1958/59
K N E S E R
G.PICKERT
I n h a l t des 70. Bandes
Seite
B A C H M A N , G.,
Geometry
in Certain Finite
B A R T H E L , W., Z u m Busemannschen
B E N Z , W.,
Groups
466
u n d B r u n n - M i n k o w s k i s c h e n Satz
(8 , 6 ) - K o n f i g u r a t i o n e n i n Laguerre-, Möbius3
4
407
u n d weiteren Geometrien
283
B U T Z E R , P . L . , Z u r F r a g e der S a t u r a t i o n s k l a s s e n singulärer I n t e g r a l o p e r a t o r e n . . .
93
D E K K E R , J . C. E . , C o n g r u e n c e s i n I s o l s w i t h a F i n i t e M o d u l u s
113
D E K K E R , J . C . E., T h e F a c t o r i a l F u n c t i o n for Isols
D I N G H A S , A.,
Zur Existenz von
F i x p u n k t e n bei
250
Abbildungen vom Abel-Liouville-
schen T y p u s
174
F A N , K . , O n t h e E q u i l i b r i u m V a l u e of a S y s t e m of C o n v e x a n d C o n c a v e F u n c t i o n s
271
FARAHAT, H . K., and L . M I R S K Y ,
231
G r o u p M e m b e r s h i p i n R i n g s of V a r i o u s T y p e s
F U L T O N , C. M . , a n d D . A . N O R T O N ,
.
.
N o n - E x i s t e n c e of F i x e d Subspaces under A f f i n e
Transformations
52
G O E S , G., B i C - R ä u m e u n d M a t r i x f o r m a t i o n e n f ü r F o u r i e r k o e f f i z i e n t e n
345
GREEN,
430
J . A., O n t h e indecomposable representations of a f i n i t e g r o u p
HOEHNKE, H.-J.,
Über
komponierbare
Formen
und
konkordante
hyperkomplexc
Gröfien
1
H O F M A N N , K . H . , Topologische Loops
13
H O F M A N N , K . H . , Topologische Loops m i t schwachen
Assoziativitätsforderungen
.
H O F M A N N , K . H . , Topologische Doppelloops
Ire,
213
N . , Normalteiler mehrfach transitiver Permutationsgruppen
165
K A S C H , F., Ü b e r eine m e t r i s c h e E i g e n s c h a f t der S-Zahlen
K L E I N - B A R M E N , F . , V e r a l l g e m e i n e r u n g des
263
Verbandsbegriffs
durch
Abschwächung
des A x i o m s d e r I d e m p o t e n z
83
K L I N G E N B E R G , W . , Eine K e n n z e i c h n u n g der Riemannschen
Mannigfaltigkeiten
.125
sowie der
Hermiteschen
,
300
K R A B B E , G. L . , C o n v o l u t i o n Operators t h a t satisfy t h e s p e c t r a l t h e o r e m
446
L A U G W I T Z , D . , E i n e B e m e r k u n g über k o n v e x e
463
Kurven
M Ü L L E R , P. H . , E i n e n e u e M e t h o d e z u r B e h a n d l u n g n i c h t l i n e a r e r E i g e n w e r t a u f g a b e n
381
Seite
N A R A I N , R., A F o u r i e r K e r n e l
NASTOLD, H.-J.,
Über
297
meromorphe
Schnitte
bündel u n d A n w e n d u n g e n auf Riemannsche
komplex-analytischer
Vektorraum-
Klassen. I I
55
N E U M E R , W., Kritische Zahlen u n d bestimmt divergente transfinite Funktionen
PERRON,
O., Ü b e r z w e i a u s g e a r t e t e
Heinesche
Reihen
u n d einen K e t t e n b r u c h
.
.190
von
Ramanujan
ROSENBERG,
245
A., a n d D . Z E L I N S K Y , Finiteness of the i n j e c t i v e h u l l
372
S T E I N , S. K., A Continuous M a p p i n g Defined by a Convex Curve ( A d d e n d u m ) .
.
. 465
S T O L T , B . , Z u r A x i o m a t i k des B r a n d t s c h e n G r u p p o i d s
156
T H R O N , W . J . , Z w i l l i n g s k o n v e r g e n z g e b i e t e für K e t t e n b r ü c h e 1 -\-K(a J\),
n
d i e K r e i s s c h e i b e \a _ \^LQ
2n
1
2
ist
V O G E L , W . O., R e g e l f l ä c h e n i n R i e m a n n s c h e n
ZAREMBA,
d e r e n eines
310
Mannigfaltigkeiten
S. K . , O n Necessary Conditions for the Central L i m i t T h e o r e m
193
281
KASCH,
F.
M a t h . Z e i t s c h r . B d . 7<>. S. 2 6 . 3 - 2 7 0 (195«S)
Über eine metrische Eigenschaft der S - Z a h l e n
Von
FRIEDRICH
KASCH
1. Fragestellung, Voraussetzungen
E i n e Z a h l f heißt bei der Mahlerschen Klasseneinteilung der transzendenten
Z a h l e n ) eine S-Zahl, w e n n es positive Zahlen g, c
1
lt
für jedes ganzzahlige P o l y n o m F(x)
=
2 %
i
{\a \) die folgende U n g l e i c h u n g g i l t :
/*=Max
i
(1)
\F(S)\^c h-»\
a
v
x%
o
m
c , c , ...
2
z
Grad
so g i b t , daß
u n d der Höhe
{
H
A u f G r u n d des Schubfachschlusses ergibt sich b e k a n n t l i c h , daß bei einer
reellen bzw. k o m p l e x e n S - Z a h l f n o t w e n d i g o ^ l bzw. g^\
sein muß.
I n mehreren A r b e i t e n ist die Frage nach dem Maß der Menge der S-Zahlen
i n Abhängigkeit v o n g u n t e r s u c h t worden. H i e r z u besagt zunächst ein Ergebnis
v o n A . J . C H I N T S C H I N [ i ] , daß das Maß der Menge der reellen S - Z a h l e n m i t
£, = 1 gleich N u l l ist. Andererseits zeigte K . M A H L E R [6], daß fast alle reellen
oder k o m p l e x e n Zahlen S - Z a h l e n s i n d , u n d zwar bewies er dies für die reellen
Zahlen m i t g = 4 u n d für die k o m p l e x e n Zahlen m i t g — f . Richtungweisend
für die weitere E n t w i c k l u n g dieser Frage w a r die V e r m u t u n g v o n K . M A H L E R [ 6 ] , daß fast alle reellen Zahlen S - Z a h l e n m i t g = \+e
u n d fast alle
k o m p l e x e n Zahlen S - Z a h l e n m i t Q = -| + s zu beliebig vorgegebenem e > 0
seien.
Das R e s u l t a t v o n K . M A H L E R w u r d e zunächst v o n J . F . K O K S M A [3] verbessert, der zeigte, daß m a n die W e r t e g = 4 bzw. g — | d u r c h 3 bzw. f ersetzen
kann.
Schließlich k o n n t e W . J . L E V E Q U E [5] beweisen, daß es auch für die
W e r t e 2 b z w . f gültig i s t ) .
2
W i r bezeichnen m i t 9Jt (g) die Menge der reellen S - Z a h l e n zu vorgegebenem g i n (1) u n d m i t $l (g)
die entsprechende Menge der komplexen S Zahlen. Sei ferner Tl (g, n) die Menge der reellen Zahlen |, die für feste
W e r t e n u n d g [ u n d für geeignetes c = c ( f ) ] der U n g l e i c h u n g (1) genügen,
u n d sei Wl (g, n) die entsprechende Menge komplexer Lösungen v o n (1). D a n n
gilt offenbar
r
k
r
tt
M
k
m (Q)
r
CO
= n i ( , n),
f
?
n=l
CO
SN*( ) = n 3«,(&,«).
e
n=l
!) S i e h e d a z u z . B . [ 8 ] , K a p . I I I .
2
) E i n z w e i t e r B e w e i s für dieses R e s u l t a t f i n d e t s i c h i n [ 8 ] , K a p . I I I .
18*
264
FRIEDRICH
KASCH
Sei fi(dJl)
das Maß v o n W, dann ist aus maßtheoretischen Gründer
^(aK (ß)) = l äquivalent m i t JLI(d)l(g
» ) ) = 1 für n = 1, 2, 3, . . . . D i e Mahler
sche V e r m u t u n g besagt d a n n
r)
y
p(m,(i+e,n))
(2)
=i
bzw.
(3)
^(3R* (* + * « ) )
für jedes £ > 0
u n d w = 1, 2, 3,...
=*
.
Bei dieser F o r m u l i e r u n g erhebt sich sofort die Frage, ob m a n (2) u n d (3
wenigstens für spezielle W e r t e v o n n beweisen könne. Für n — 1 ist d u
Gültigkeit v o n (2) w o h l b e k a n n t u n d für (3) läßt sie sich sofort verifizieren
sogar für den W e r t 0 an Stelle -| + e. V o n J . K U B I L Y U S [4] w u r d t
(2) auch für n — 2 bewiesen. E r benutzte dabei wesentlich einen Hilfssat/
v o n J . M . V I N O G R A D O V über trigonometrische Summen, also ein verhältnismäßig tiefliegendes H i l f s m i t t e l . T H . S C H N E I D E R schreibt i n seinem B u c l .
„Einführung i n die transzendenten Z a h l e n " ) über das Resultat v o n J . K U B I L Y U S E i n e n A n f a n g z u m Beweis dieser (Mahlerschen) V e r m u t u n g h a t vielleicht J . K U B I L Y U S gemacht
3
Es dürfte daher v o n Interesse sein, für das R e s u l t a t v o n J . K U B I L Y U S
einen ganz einfachen Beweis zu besitzen. E i n solcher Beweis w i r d i m folgender,
m i t g e t e i l t . Wesentlich scheint m i r dabei zu sein, daß sich dieser Beweis auch
auf den k o m p l e x e n F a l l ausdehnen läßt*). E r liefert d o r t das R e s u l t a t :
fi{^R (\ + e 2))=\
für jedes £ > 0 , also ein besseres Ergebnis, als es die
Mahlersche V e r m u t u n g für beliebiges n besagt.
k
}
2. Hilfssätze
H I L F S S A T Z 1. Sei F(x) = a -\-a x-\~a x
ein Polynom
mit
ganzrationalen
Koeffizienten
und verschiedenen Nullstellen a , oc . Mit D = D(F) werde die
Diskriminante
von F(x) bezeichnet.
Dann gilt für jede komplexe Zahl £;
0
1
2
2
x
Min(|!BEWEIS.
a i
2
H - o . D S - ^ — | F ( * ) | .
|,
Sei etwa Min(|£ — a |, |£ — <x|) = | £ — a |, d a n n g i l t
x
] / 1 D (F)\ = \a (
2
Ä1
-
x
2
a )| < \ a | (|
2
2
Ä 1
-
£ | + 1£ -
oc 1) <; 2 | a ( f 2
2
a )|.
2
Daraus folgt
|f - 0 ^| ^
) ;
, ,:
| a (f -
2
2
a,) (£ -
a )| =
2
y\D{F)\
H I L F S S A T Z 2. Die folgende Summation
\F(£)\.
erstrecke sich über alle Polynome
vom Grad 2, der festen Höhe h und mit verschiedenen
V
^
,
Nullslellen.
F(x)
Dann gilt mit
y :
einer von h unabhängigen Konstanten
(4)
4,,,.
}/\D(F)\
0
1
<*y h.
0
y\D(F)\
) [ 8 ] , S. 8 3 .
*) Zusatz bei der Korr.:
D e r B e w e i s läßt sich a u c h a u f d e n / j - a d i s c h e n F a l l übertragen
u n d l i e f e r t a u c h d o r t das b e s t m ö g l i c h e R e s u l t a t .
3
Über eine m e t r i s c h e Eigenschaft der S-Zahlen
B E W E I S . Wegen
gleich ±h sein muß, g i l t
(5)
£
-,
<j
1
265
=|a? — 4 a a 1 u n d da mindestens ein Koeffizient
0
2%
2
, +
1
4 Z
— -
;
1
die erste Summe besitzt den F a k t o r 2, da Ä = ± Ä sein k a n n u n d die zweite
den F a k t o r 4, da a = ±h u n d a = ±h sein können. D e r Strich a m S u m m e n zeichen soll hier wie i m folgenden h — 4 a a 4 = 0 bzw. a\ — 4ha^0
bedeuten.
B e t r a c h t e n w i r j e t z t die erste Summe auf der rechten Seite v o n (5) bei festem
a ^0.
D e r A u s d r u c k | h -— 4a a \ durchläuft für — h^a ^h
höchstens 2 h + 1
v o n N u l l verschiedene Zahlen, v o n denen je zwei aufeinanderfolgende bis auf
höchstens eine Ausnahme alle den A b s t a n d 4|« | voneinander haben. Die
eine Ausnahme k a n n auftreten, w e n n der A u s d r u c k h — 4a a das Vorzeichen
wechselt. Daher g i l t
X
0
2
2
2
0
0
0
2
2
2
0
2
(6)
-
X
-h^a ^h
r ^
2
0
2
2
1
r
a=o
\h — 4a a \*
2
2
0
2
^ 2 + _ i ^ £ j L < £ 4 J £ = - .
(1 + 4 | a \a)-
]/|a |
0
0
a
= i }'a
}l\ o\
a
D a m i t folgt
(7)
Z
-h£a gh
t
^4Vh
1
Z
K
2
+
-h£a.£h
|Ä ~4« «2r
0
}'\ o\
a
2 Ä
7
1
^ h .
k
A u s (6) e n t n i m m t m a n ferner für die zweite Summe i n (5) bei festem
y
a:
x
,<<.
1
Daher erhält m a n
Z'
(8)
Die Abschätzungen
T
;^4(2Ä+1)S12Ä.
2
(5), (7) u n d (8) zusammen liefern die B e h a u p t u n g (4).
Diese beiden Hilfssätze reichen aus, u m das Resultat v o n J . K U B I L Y U S
zu beweisen. D i e nächsten Hilfssätze werden für den komplexen F a l l gebraucht.
H I L F S S A T Z 3.
Sei A(q,m)
die Anzahl
der mod q inkongruenten
Lösungen
von
(9)
x == m (mod q),
2
und
mit
sei r der größte gemeinsame quadratische Teiler von q und m.
einer von q und m unabhängigen Konstanten y
2
2
2
A (q, m) ^y rq
2
4
) Für q — 1 i s t ( /
l o g I o g
^
l
Q
g «
4
) .
gleich 1 zu setzen; entsprechend i m folgenden.
Dann
gilt
266
FRIEDRICH
BEWEIS.
Setzt m a n ra' =
K ASCH :
^ u n d q' = -? --, d a n n erhält m a n aus
jeder
2
Lösung x v o n (9) eine Lösung x' — y v o n
(10)
x'
(mod <?').
== m'
2
U m g e k e h r t liefert jede Lösung x' v o n (10) eine Lösung x=rx'
aus 0^x<q
ferner 0 ^ J * ' <
v o n (9).
Da
=rq' folgt, h a t m a n die Beziehung A (q, m) =
V
rA(q', m'). I s t q' = \ also q—r
d a n n g i l t A(q, m) = r u n d die B e h a u p t u n g
ist erfüllt. I m folgenden k a n n daher q'> 1 vorausgesetzt werden. I s t q' =
Pi'-Pt
^
Primzahlpotenzzerlegung v o n q', dann g i l t b e k a n n t l i c h
q
2
t
y
e
1
A(q',tn')
i=i
=IJA(p?,m').
I s t (p m') = 1, dann h a t m a n i m Falle p^l'.
A(p\ m') = 2 u n d i m Falle
p =2:
A(pf, m')4.
Sei n u n (p m')^\
d a n n muß zunächst
(pf m )=p
gelten, da k e i n quadratischer F a k t o r a u f t r e t e n k a n n . I s t (10) überhaupt
lösbar, dann folgt ferner e = \. Daraus ergibt sich aber A(pf m') —A(p
m')
= 1. Insgesamt folgt A(q' m')
2
wobei also t die A n z a h l der verschiedenen P r i m t e i l e r v o n q' i s t . Sei d(q') die A n z a h l aller positiven Teiler v o n q'
d a n n g i l t 2 ^d(q').
Andererseits besteht die Abschätzung )
i
if
)
{
it
t
}
i
t
f
i
it
t+1
}
1
}
5
t
2
d(q')
^^/iögToiy
^
m i t einer v o n q' unabhängigen K o n s t a n t e n y .
Daher erhält m a n schließlich
x
A(q,m)
wobei y
2
==rA(q',m')^i y rq' z z«'
i
lo
1
<^y rq
lo
«>
2
v o n q u n d m unabhängig i s t ) .
6
H I L F S S A T Z 4 ) . Voraussetzungen
unabhängigen Konstanten y und r:
2.
wie in Hilfssatz
7
Dann
gilt mit von h
3
2
(H)
BEWEIS.
|
D
1
( F )
| ^ y
3
h ^ " .
W i r haben die Lösungszahl der diophantischen
h —4a a
2
0
?
Gleichung
= m
bzw.
h
2
— m
^
5
6
0
2
) S i e h e z . B . [ 7 ] , S. 2 4 , S a t z 5-2.
2
) Die
Funktion
x
U n g l e i c h u n g für q'^.e .
e
Vergrößerung
7
— a a
) Auf
l
o
g
l
o
g
x
i s t für
x^e
ß
monoton
wachsend.
D a h e r gilt die letzte
Für die endlich vielen W e r t e 1 < q < e k a n n die U n g l e i c h u n g d u r c h
e
d e r K o n s t a n t e n erfüllt w e r d e n .
dem
hier
eingeschlagenen
Weg
T
k a n n auch
^
j7=="=" =
7 ^
log log//
wiesen werden, was an Stelle v o n Hilfssatz 2 ebenfalls z u m Beweis der endgültigen
h a u p t u n g i m reellen F a l l ausreicht.
| _
3e
Be-
267
Über eine metrische E i g e n s c h a f t der .S-Zahlen
zu vorgegebenen ganzen Zahlen
und m mit — 3 Ä ^ ? « ^ 5 Ä
2
2
i n ganzen
\
falls
~ - eine v o n 0 u n d ± 1 verschiedene ganze Z a h l i s t , d . h . falls m=J= A
w
^
\ h
2
bzw. w ^ A ± 4 . Setzt m a n noch j
2
—m|
— | =M,
d a n n g i l t zufolge der schon
oben b e n u t z t e n Abschätzung
2
2
d ( ^
i
=
)
m
(M) ^
n
4
M ^ ^
1
1
M
^ y
h
2
.
Daraus folgt
—Ag a
0
A
1
u
&1
w—1
w#A ±4
2
wobei y wie auch die noch folgenden K o n s t a n t e n y , y , . . . v o n Ä unabhängig
4
5
6
sind.
Sodann haben w i r die Lösungszahl der Gleichung
(13)
a\ — Aha = m
u n t e r entsprechenden Voraussetzungen wie oben zu b e s t i m m e n . A u s H i l f s satz 3 f o l g t : D i e A n z a h l der Lösungen v o n (13)
m i t — hf^a^h
ist kleiner
oder gleich
2
A(4h,m)
<:
Daraus f o l g t , w e n n noch r—r{m)
.
gesetzt w i r d
2
(u)
y
— Jt-^a^h
-A^a
_
1
<h
'
1
< ? v
5A
a
Ä logiogÄ
v
'>')
w 1
1
Es b l e i b t noch die rechts stehende Summe abzuschätzen.
t[m)
~k
Z u vorgegebenem
k o m m e n d a r i n höchstens die folgenden Glieder v o r :
5/1*
2 - * v ^ y . l o g ( * + l).
D a r a u s folgt
5A
3
2
2
^ ^ ( 4 A ) y « l o g ( Ä +1)
^y h.^rogh
7
u n d d a m i t erhält m a n aus (14)
(15)
V'
_
1
<yJi
W"«''
- Ä g « gA
Die Abschätzungen (12) u n d (15) zusammen liefern die B e h a u p t u n g (11).
2
268
FRIEDRICH
KASC
3. Beweise
3.1. W i r behandeln zuerst den reellen F a l l u n d zeigen:
e > 0 hat die Komplementärmenge
Zu beliebig vorgegebenem
das Maß
von 9)^(1-f-e, 2)
Null.
Diese Komplementärmenge ist enthalten i n der
Zahlen f , für die die U n g l e i c h u n g
(16)
\F($)\<h-^ ^)
reellen
'
1
u n e n d l i c h viele Lösungen i n Polynomen F(x)
daher juffi) =0
Menge 91 der
v o m Grad 2 h a t , u n d es genügt
zu zeigen. H a t (16) unendlich viele Lösungen, so gibt es auch
entweder u n e n d l i c h viele Lösungen F(x)
unendlich viele Lösungen F(x)
m i t verschiedenen Nullstellen oder
m i t gleichen N u l l s t e l l e n . D i e Menge der |, für
die (16) unendlich viele Lösungen m i t verschiedenen N u l l s t e l l e n besitzt, nennen
w i r U , die Menge der £, für die (16) unendlich viele Lösungen m i t gleichen
Nullstellen besitzt, sei SB. D a n n g i l t 9 J = U w * B .
BEHAUPTUNG.
^(U)=0.
N a c h der Bezeichnung v o n Hilfssatz 1 sei M i n (| | —
d a n n folgt aus Hilfssatz 1 u n d (16):
(17)
|f-« |<y
1
|
i -A-«
2
|
1
|, j f — a |) =-1 f — a |,
2
A
".
+
Bezeichnet m a n zu festem h m i t ]X die Menge der reellen Zahlen £, zu denen
k
es ein
OL^CL^
m i t (17) g i b t , so g i l t wegen Hilfssatz 2
,«(11,) < Sh
(18)
2
"
V
^
<
D e r F a k t o r 8 ergibt sich, weil jedes P o l y n o m
y
>
/
„
j
zwei N u l l s t e l l e n h a t und die
Intervallänge aus (17) z w e i m a l genommen werden muß.
Für jedes natürliche r
g i l t offenbar
CO
IK u
U/,.
// = /CO
D a die Reihe 2 h~
h=l
(1
1 2 i )
k o n v e r g i e r t , folgt / . « ( l l j = 0 .
B E H A U P T U N G . /X(4S)=O.
Es mögen j e t z t u n e n d l i c h viele Lösungen F(x)
stieren. D a n n k a n n F(x)
für die Höhen h v o n F(x)
i n der F o r m F(x)
von (16) m i t ocj — a
exi-
2
u n d h von bx — c g i l t h^h\.
Daher folgt aus (16)
x
\!>$-c\ < K ; (i
(19)
Die Menge der reellen Zahlen £, die bei festem h
x
u n d c diese Gleichung lösen, sei 4> .
s
(20)
2
= a (bx — c) geschrieben werden u n d
/r(* „) g 4(2/»! f 1) / / f
;
Dann gilt
Ai
2
"
1
u n d (sonst) beliebigem
offenbar
« ^ y Af "
1 0
a
'>.
b
269
Über eine metrische Eigenschaft d e r S-Zahlen
besitzt (16) unendlich viele Lösungen F(x) = a(bx — c) , so besitzt auch (19)
unendlich viele Lösungen bx — c. W i e i m ersten F a l l folgt j e t z t ^ ( i 8 ) = o .
D a m i t haben w i r ^ ( ä R ( l + e, 2)) = 1 für jedes e>0 vollständig bewiesen.
2
r
3.2. Der Beweis für fi(d)l
+ e, 2)) = 1 für jedes £ > 0 w i r d analog geführt,
k
i l u n d S mögen die analoge B e d e u t u n g wie i m reellen F a l l besitzen. A n Stelle
von (17) t r i t t j e t z t
2
, _
„ ^
9
Zufolge v o n H i l f s s a t z 4 erhält m a n daraus
Sn A - * <* + «>
,«(U„) ^
2 ™
F l F
^ y *"
u
( 1+ 3
"-
wobei j e t z t an Stelle der I n t e r v a l l e b e i der Abschätzung
v o n jn(l\ )
h
i n (18)
2
y=
Kreise m i t d e m Radius
j ~~z(\
+
t
getreten sind. Daraus folgt wieder
e)
^ ( U ) = 0 . A n a l o g zu ( 1 9 ) g i l t j e t z t
\b£-c\<Af
+
2
Diese U n g l e i c h u n g h a t aber bei n i c h t r e e l l e m f = f + fcf wegen
—
|6f |^|£ | n u r endlich viele Lösungen i n linearen P o l y n o m e n bx — c, woraus
sofort f.i(ty=0
folgt.
4. Schlußbemerkung
Es soll hier auf zwei Fragen a u f m e r k s a m gemacht werden, die sich i m
Anschluß a n unsere Überlegungen stellen. Zunächst w i r d m a n fragen, ob sich
die hier m i t g e t e i l t e n Überlegungen auch auf den F a l l n>2 ausdehnen lassen.
Für Hilfssatz 1 i s t das möglich, u n d m a n erhält das folgende Resultat, welches
eine Verbesserung der entsprechenden Hilfssätze bei I . N . F E L D M A N N ) u n d
1
2
2
2
8
T H . SCHNEIDER )
darstellt:
9
Sei F(x) ein ganzzahliges P o l y n o m v o n einem Grade n^z2 ohne mehrfache
Nullstellen a . . . , a . D a n n g i l t für jede Z a h l f
n
l f
Min ( I f - a . D ^ y ^ j - F K « ! ,
mit
n
y =
(n + l ) » - ~ 2
2
"
(3n - 5)
2
#
Die Möglichkeit, d a m i t zu einer Verbesserung des i m allgemeinen Falle
bisher besten Resultates v o n W . J . L E V E Q U E Z U gelangen, hängt d a v o n ab,
die
Summe
nichttrivial
V ,
^
1
\\D(F)\
bzw. V . ! , ^ ,
^
M
\ (^)\
für festen G r a d n u n d feste Höhe h
D
abzuschätzen ).
10
Die zweite Frage, die sich hier erhebt, besteht d a r i n , ob ein zu dem anfangs
erwähnten R e s u l t a t v o n A . C H I N T S C H I N [1] analoges R e s u l t a t auch i m komplexen
)
8
)
9
[2], L e m m a 5.
[H], S. 7 8 , H i l f s s a t z 1 8 .
Zusatz
bei der Korr.:
Arbeit von B . V O L K M A N N
Stehe d a z u d i e d e m n ä c h s t
und d e m Verf.:
i n d e n M a t h . A n n . erscheinende
Z u r Mahlerschen V e r m u t u n g über S-Zahlen.
270
FRIEDRICH KASCH:
Falle g i l t .
Über eine
metrische
Eigenschaft
der
5-Zahlen
I n dieser H i n s i c h t ist
n
n = 2,3,...
zu v e r m u t e n .
Literatur
[1]
C H I N T S C H I N , A. J . : Z w e i B e m e r k u n g e n zu einer A r b e i t v o n H e r r n P E R R O N .
Z. 22, 274 — 284
Zahlen
[3]
und
I
(russ.).
KOKSMA,
—
(1925).
[2] F E L D M A N N , N . I . : A p p r o x i m a t i o n e i n i g e r
Izvestija Akad.
J . F . : Über
Nauk
die Mahlersche
die A p p r o x i m a t i o n komplexer
t h e o r i e (russ.).
W.
Methode
—
matm.
M
15,
53—74
J . : Note on S-Numbers.
(1951).
transzendenten
Zahlen.
—
Zahlen
Monatshefte
für
K U B I L Y U S , J . : Über die A n w e n d u n g einer
a u f die L ö s u n g eines P r o b l e m s
aus der m e t r i s c h e n
D o k l a d y A k a d . N a u k S S S R . ( N . S . ) 67, 7 8 3 - 7 8 6 ( 1 9 4 9 ) . -
Zahlen -
[5] L E V E Q U E ,
P r o c . A m e r . M a t h . Soc. 4, 1 8 9 — 1 9 0 ( 1 9 5 3 ) - — [6] M A H L E R , K . :
Über das Maß der Menge aller S-Zahlen.
M a t h . A n n . 106, 131 — 1 3 9
C H A R , K . : P r i m z a h l v e r t e i l u n g . B e r l i n : S p r i n g e r 1957.
in
Ser.
Z a h l e n d u r c h algebraische
M a t h , u n d P h y s i k 48, 176 — 189 ( 1 9 3 9 ) .
Vinogradowschen
SSSR.,
Klasseneinteilung der
Math.
transzendenter
die transzendenten Zahlen.
Heidelberg,
Berlin:
Math.
(Eingegangen
Springer
Institut
1957-
der
am 13. Mai
(1932).
— [8] S C H N E I D E R ,
Universität
1958)
TH.:
—
[7] P R A -
Einführung