Blatt 10 - userpages

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
1
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans∗
2
Dipl.-Inform. Markus Bender∗
26.06.2015
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 10
Abgabe bis 03.07.2015, 17:00 s.t.
Aufgabe 10.1
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {0/0, s/1, +/2}, und
• Π = {p/1, ≈/2}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und x, y ∈ X.
Gegeben sind die Struktur A und die Belegung β:
• Hinweis: {a, b, c}∗ ist die Menge aller Worte über dem Alphabet {a, b, c} (inklusive des
leeren Wortes ). Worte werden durch Verknüpfung von Buchstaben des Alphabetes
gebildet. Beispiele für Worte über dem gegebene Alphabet sind: a, b, c, aa, cb, ac, cb,
aaaaaaaacaa.
A = ({a, b, c}∗ ,
{0A , sA : {a, b, c}∗ → {a, b, c}∗ ,
+A : {a, b, c}∗ × {a, b, c}∗ → {a, b, c}∗ },
{pA , ≈A }) mit
–
–
–
–
–
0A = ∈ {a, b, c}∗
sA (w) = baw ∈ {a, b, c}∗
+A (w1 , w2 ) = w1 w2 ∈ {a, b, c}∗ (Konkatenation)
pA ⊆ {a, b, c}∗ , w ∈ pA genau dann, wenn w mit a beginnt
≈A ist die Gleichheit, d.h. ≈A = {(w, w) | w ∈ {a, b, c}∗ }
• β : X → {a, b, c}∗ , definiert durch β(x) = ba, β(y) = Evaluieren Sie
I) A(β)( s(s(x) + y) + y
),
II) A(β)( s(x + y) ≈ s(x) + y
),
III) A(β)( ∀x∀y (s(x + y) ≈ s(x) + y) ),
IV) A(β)( ∃y p(x + y) ),
V) A(β)( ∀x∃y
x ≈ s(y) ∧ ¬p(x) → p(y)
).
Gehen Sie dabei in klaren und leicht nachvollziehbaren Schritten vor.
Aufgabe 10.2
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {0/0, s/1, +/2}, und
• Π = {p/1, ≈/2}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und x, y ∈ X.
Gegeben sind die Struktur A und die Belegung β:
• A = (Z, {0A , sA : Z → Z,
–
–
–
–
–
+A : Z × Z → Z}, {pA , ≈A }) mit
0A = 0 ∈ Z
sA (n1 ) = n1 − 1 ∈ Z
+A (n1 , n2 ) = n1 − n2 ∈ Z
pA ⊆ Z, n ∈ pA genau dann, wenn n gerade ist
≈A ist die Gleichheit, d.h. ≈A = {(n, n) | n ∈ Z}
• β : X → Z, definiert durch β(x) = 12, β(y) = 4
Evaluieren Sie
I) A(β)( s(s(x) + y) + y
),
II) A(β)( s(x + y) ≈ s(x) + y
),
III) A(β)( ∀x∀y (s(x + y) ≈ s(x) + y) ),
IV) A(β)( ∃y p(x + y) ),
V) A(β)( ∀x∃y
x ≈ s(y) ∧ ¬p(x) → p(y)
).
Gehen Sie dabei in klaren und leicht nachvollziehbaren Schritten vor.
Aufgabe 10.3
Seien F, G beliebige Formeln der Prädikatenlogik in denen die Variable x vorkommt. Sei
H eine beliebige Formel der Prädikatenlogik in der x nicht vorkommt.
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen, ohne die Theoreme zur den Äquivalenzen
auf den Folien zur Vorlesung zu nutzen:
a) ∃x(F ∨ G) ≡ (∃x F ) ∨ (∃x G)
b) ∃x(F ∧ G) |= (∃x F ) ∧ (∃x G)
c) ∀x(F ∧ G) |= (∃x F ) ∨ (∀x G)
d) ∀x(F ∨ H) ≡ (∀x F ) ∨ H
Aufgabe 10.4
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {a/0, b/0, f /1, g/2}, und
• Π = {p/2, ≈/2}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen.
Für jeden Term t ∈ TΣ (X):


1



1
Tiefe(t) :=

1 + Tiefe(t1 )



1 + max(Tiefe(t ), Tiefe(t ))
1
2


1



1
Länge(t) :=

1 + Länge(t1 )



1 + Länge(t ) + Länge(t )
1
2
wenn
wenn
wenn
wenn
wenn
wenn
wenn
wenn
t∈X
t ∈ {a, b}
t = f (t1 )
t = g(t1 , t2 )
t∈X
t ∈ {a, b}
t = f (t1 )
t = g(t1 , t2 )
Zeigen sie mit Hilfe der Strukturellen Induktion über den Aufbau von TΣ (X), dass für
jeden Term t ∈ TΣ (X) gilt:
Länge(t) ≤ 2Tiefe(t) − 1.
∗1
∗2
B 225
B 224
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