und Organisationswissenschaften Prof. Dr. G. Uebe Herbst

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UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR HAMBURG
Fachbereich Wirtschafts- und Organisationswissenschaften
Prof. Dr. G. Uebe
Frau Dipl.-Wirtsch.math. S. Rosenow
Herbst-Trimester 2001
Übungen zu Statistik II
Blatt 3
Aufgabe 15:
Für die Ettikettierung von Apfelschorle-Flaschen ist der Gehalt an "reinem Fruchtsaft" von
Bedeutung. Die Mischung ist normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ2. Der
Abfüller zieht eine Stichprobe mit den Werten (in %):
55, 60, 56, 61, 54, 55, 57, 58, 56, 55.
Bestimmen Sie für diese Stichprobe die Maximum-Likelihood-Schätzer für µ und σ2.
Aufgabe 16:
Sei die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen gemäß
(1 – p)3 , x = 0
p (1 – p)
f(x) =
,
x=1
p)2
p (1 –
, x=2
p
, x=3
0
, sonst
definiert. Eine Stichprobe aus X ergab 3, 0, 1, 2, 1, 2, 1.
a) Ist die Größe von p von vorneherein beliebig?
b) Prüfen Sie, ob es sich um eine Zähldichte handelt.
c) Bestimmen Sie den ML-Schätzer für p.
Aufgabe 17:
Eine stetige Zufallsvariable X, die Werte im Intervall [0,1] annehmen kann, habe die Dichte
1 + b– 2bx fürx ∈ [0,1]
mit unbekanntem Parameter b.
0
sonst
a) Welche Werte kann b annehmen?
b) Sei die Stichprobe {0.1, 0.5, 0.9} aus X gegeben. Schätzen Sie unter Verwendung der
Maximum-Likelihood-Methode den Parameter b.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und bestimmen Sie eine ML-Schätzung für E(X)
aufgrund der obigen Stichprobe.
d) Bestimmen Sie den Momentenschätzer für p.1
f(x) =
1 Teil (d) wird je nach Stand der Vorlesung möglicherweise erst in der nächsten Übung behandelt.
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Aufgabe 18:
Die Zufallsvariable Y hat die Dichtefunktion
θ2 y e- θy , y ≥ 0
f(x) =
; θ >0
0
, sonst
Bestimmen Sie zu einer Stichprobe der Länge n aus Y den Maximum-Likelihood-Schätzer
für den Parameter θ.
Aufgabe 19:
Die Computerprobleme einer Firma nach ihrem Umzug in neue Räumlichkeiten häufen
sich, da u.a. die Klimaanlage im Serverraum versagt. Der zuständige EDV-Administrator
weiß, daß die Ausfälle pro Tag poissonverteilt sind. An 10 Tagen mit Tageshöchsttemperaturen von 23 - 25° C notiert er die folgenden Anzahlen von Computerabstürzen
8, 3, 8, 10, 10, 6, 7, 5, 9, 4 .
a) Bestimmen Sie den ML-Schätzer für den Erwartungswert der Poissonverteilung
aufgrund dieser Stichprobe.
b) Unser Experte weiß ebenfalls, daß jeder von den K RAM-Bausteinen des Servers mit
gleicher Wahrscheinlickeit ausfallen kann. Bei jedem Ausfall testet er, welcher Baustein
versagt hat. Nach 5 Tagen hat er die Stichprobe {1, 5, 7, 8, 9} gezogen. Geben Sie einen
ML-Schätzer für K an.
Aufgabe 20:
Die diskrete Zufallsvariable X hat die Zähldichte (Wahrscheinlichkeitsfunktion)
P (X =x) = f (x) = e- θ
x
3
θ
x
!
3
(x = 0, 3, 6, ...)
mit unbekanntem Parameter θ > 0. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für
θ zu einer Stichprobe (X1, ..., Xn).
Aufgabe 21:
Eine schöne Aufgabe zu einer zwei-dimensionalen Zufallsvariablen:
Buffons Nadel-Beispiel
3
Beispiel 1 (Buffons Nadel-Beispiel)
Quelle: J. A. Rosanow, Wahrscheinlichkeitstheorie, Akademie Verlag, Berlin 1970, 56-58
In einer Ebene sind zwei parallele Geraden mit Abstand B gezeichnet. Auf diese Ebene läßt
man Streichhölzer der Länge b, 0 ≤ b ≤ B, fallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
ein Streichholz eine der parallelen Geraden schneidet?
Lösung
Die Plazierung eines Streichholzes wird in Bezug auf eine Gerade durch zwei Größen
beschrieben (siehe Abbildung 1): den Schnitt-Winkel α und den senkrechten Abstand zu
einer Geraden a.
Streichholz der Länge b
α
A
α
a
Gerade 1
Abstand der Geraden B
Gerade 2
Dabei gilt
0≤α≤π
0≤b≤B
sowie aus Kongruenzüberlegungen
A
sin α = ⇔ b sin α = A ≥ a
b
d.h. das zulässige Gebiet für Position eines Wertepares (α, a) wird durch die Abbildung 2
beschrieben, wobei die Wahrscheinlichkeit für den Schnitt der Fläche unter der
Sinusfunktion entspricht.
bsinα
4
Bei Unabhängigkeit und Gleichverteilung für beide Koordinaten
1
1
α ~ U(0, π) und b ~ U(0, B) d.h. f(α) = und f(b) =
π
B
1
ist die Dichte eines Punktes f(α, a) =
und die Integration in Abb.2 liefert
B⋅π
π
0
b⋅sinαdα = 2 . b
also
P[ein Streichholz schneidet eine Gerade] =
2⋅b
B⋅π
Durch Ausprobieren mit zwei entsprechend gleichverteilten Zufallsgrößen läßt sich
hiermit sogar eine Abschätzung für die Universalkonstante π bestimmen, indem die
beobachtete Schnitthäufigkeit mit der theoretisch zu erwartenden gleichgesetzt wird.
Da auf fast allen PCs solche Zufallszahlen verfügbar sind, führe man diese Abschätzung
selbst durch. Eine Illustration folgt.
Buffon's Nadel; n= 1000 Würfe mit Länge b= 0.5 auf einen Streifen der Breite 3
1000 Würfe mit 114 Treffern Breite des Streifens: 3
Länge des Streichholzes: 0.5 Schätzwert für π: 2.92398 =?= 3.14159 = π