Blatt 3 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Jochen Brüning
ÜBUNGSBLATT 3
Vorlesung Analysis I*, WS 2007/08
Abgabe am 14.11.2007 vor der Vorlesung (um 13 Uhr)
Für weitere Hinweise zur Bearbeitung der Übungsblätter siehe
http://www.math.hu-berlin.de/∼geomanal/analysis1.html
Aufgabe 1. Zeigen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe des Beweisverfahrens
der vollständigen Induktion.
(a) n! ≥ 2n−1 für alle n ∈ N.
Pn
(b)
j=1 2j = n(n + 1) für alle n ∈ N.
(c) Das Produkt von drei aufeinander folgenden, natürlichen Zahlen ist immer durch 6 teilbar.
(d) Eine Menge mit n Elementen hat 2n Teilmengen.
(4 Punkte)
Aufgabe 2. Man schreibe die Wahrheitstafeln für folgende Aussagen auf.
Welche davon sind Tautologien?
(a) (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C).
(b) (A ∧ B) ⇒ (A ∨ B).
(c) (A ∧ ¬B) ⇒ (¬A ⇒ B).
(d) (A ⇒ B) ⇒ (B ⇒ A).
(4 Punkte)
Aufgabe 3. Einen zusammenhängenden Graphen ohne Zyklen nennt man
Baum. (Einen zyklenfreien Graphen nennt man Wald. Ein Baum ist also ein
zusammenhängender Wald.)
Einen Knoten v eines Graphen nennt man hängend, wenn es im Graphen nur
eine zu v inzidente Kante gibt.
Sei G ein endlicher Baum mit n Knoten, n ≥ 2. Zeigen Sie, dass es in G
mindestens zwei hängende Knoten gibt.
(3 Punkte)
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Aufgabe 4. Sei G ein Graph mit n Knoten, n ≥ 2. Zeigen Sie die Äquivalenz
der folgenden vier Aussagen:
(a) G ist zusammenhängend und hat n − 1 Kanten.
(b) G ist zusammenhängend, aber nimmt man eine beliebeige Kante heraus,
so wird der Graph nicht zusammenhängend.
(c) Für beliebige Knoten u, v von G, u 6= v, gibt es einen einzigen Weg von
u nach v.
(d) G ist ein Baum.
Hinweis: Um zu zeigen dass (d) ⇒ (a) benutzen Sie Aufgabe 3 und Induktion
über die Anzahl der Knoten.
(6 Punkte)
Aufgabe 5. Sei G = (V, E) ein Graph, V die Menge der Knoten, E die Menge
der Kanten. Ein Graph G′ = (V ′ , E ′ ) heisst Teilgraph von G, wenn V ′ ⊂ V
und E ′ ⊂ E. Sind G1 = (V1 , E1 ) und G2 = (V2 , E2 ) Teilgraphen von G, so
nennt man den Graphen G1 ∩ G2 := (V1 ∩ V2 , E1 ∩ E2 ) Durchschnitt von G1
und G2 .
Sei nun G ein endlicher Baum, G1 und G2 zwei zusammenhängende Teilgraphen von G (also Unterbäume). Zeigen Sie, dass der Durchschnitt G1 ∩ G2 ein
Baum ist.
Hinweis: Nutzen Sie die Äquivalenz (c) ⇔ (d) aus der Aufgabe 4.
(3 Punkte)
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