Physik – Grundwissen: Mechanik

3.3.2009 - EK
Physik: Grundwissen Mechanik
Kinematik
Gleichförmig geradlinige Bewegung: v = const, x = vt + x0 (x0 ,v0 ... Anfangsbedingungen)
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: a = const, v = at + v0, x = ½at2 + v0 t + x0
v v d v
v v v d ⎛ d v⎞
Geschwindigkeit und Beschleunigung (in 3d): v = r& ≡ r , a = v& = &r& ≡ ⎜ r ⎟ ,
dt
dt ⎝ dt ⎠
v
wobei r = (x(t ), y(t ), z (t ) ) eine Parametrisierung der Bahnkurve ist.
Kreisbewegung (Radius r, Geschwindigkeit v): Zentripetalbeschleunigung a ⊥ = v 2 / r
Dynamik
v
v
v
v d v
2. Newton’sches Gesetz (Bewegungsgl.): ma = ∑ F
(oder allg.: p& = mv = ∑ F )
dt
v
v
m
v
p
=
Impuls:
... In abgeschlossenen Systemen gilt Impulserhaltung.
v
v
Kräfte:
Gravitationskraft: FG = GMm / r 2 (anziehend, G = 6.67 ⋅ 10 −11 m 3 kg −1 s −2 )
v
v
v
Schwerkraft: FG = mg mit g = (0,0,− g ) und daher g = GM E / rE2
v
v
Federkraft: F = − kΔx („rücktreibende Kraft”)
v v
Energie, Arbeit: E = ∫ F ⋅ ds ... In abgeschlossenen Systemen gilt Energieerhaltung.
v
v
Kinetische Energie: E = 12 mv 2
Federenergie: E = 12 kΔx 2
Potentielle Energie im Schwerefeld der Masse M: E = −GMm / r
Näherung auf der Erdoberfläche (“homogenes Schwerefeld“): E = mgh
v v
Leistung (momentan): P = dW / dt = F ⋅ v
Durchschnittsleistung: P = W / t
hier wird meist W für ‘work’ (Arbeit) verwendet
__________
Elastischer Stoß (1-dimensional) zweier Massen m1 und m2, wobei m2 anfangs ruht:
2m1
m − m2
v1 , und von m1: v1′ = 1
Geschwindigkeit von m2 nach dem Stoß: v 2′ =
v1
m1 + m2
m1 + m2
Schwerpunkt (rS): bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, falls keine äußeren Kräfte
n
v
v
auf das System einwirken. Für ein System von n Punktmassen: m ges rS = ∑i =1 mi ri
Reibungskräfte bei Festkörpern: FHaft ,max = μ H FN , FGleit = μ G FN , FRoll = μ R FN
Reibungskräfte in Flüssigkeiten und Gasen: FR = bv n
(wirken entgegen der Bewegungsrichtung)
(n = 1 für laminare Strömung,
n = 2 für turbulente Strömung)
Scheinkräfte (Corioliskraft, …): treten ‘scheinbar’ in Nicht-Inertialsystemen auf.
Unterscheide: Volumskräfte (z.B. Gravitation) und Kontaktkräfte bzw. Druck (Kraft/Fläche)
Drehbewegungen
Ersetzungsregeln:
v
r →ϕ
v
v
v →ω
m→I
Winkel
Winkelgeschwindigkeit
Trägheitsmoment Σmr2
Die wichtigsten dynamischen Größen für Translation und Drehbewegung sind einander in
folgender Tabelle gegenübergestellt:
Ort
Translation
v
r
v
dr
Wegelement
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Masse
Impuls
Bewegungsgleichung:
Kraft =
Impulsänderung
(in Klammer: für
konstante Masse)
kinetische Energie
Arbeit
Leistung
v
r dr
v=
dt
r
v
r dv d 2 r
a=
= 2
dt
dt
m
r
r
p = mv
r dpr
F=
dt
r
r
( F = ma )
1
Ekin = mv 2
2r
v
dW = F ⋅ ds
r r
P = F ⋅v
Winkel
Winkelelement
Drehbewegung
ϕ
dϕ
Winkelgeschwindigkeit
r
v
dϕ = d ϕ e N
r
r dϕ
ω=
dt
*)
r
r
dω d 2ϕ
= 2
α=
Winkelbeschleunigung
dt
dt
I = ∑i mi ri 2
Massenträgheitsmoment
r
r
Drehimpuls
L = Iω
r
Bewegungsgleichung:
r dL
M =
Drehmoment =
dt
r
Drehimpulsänderung
r
(in Klammer: für konstantes ( M = Iα )
Massenträgheitsmoment)
1
E kin = Iω 2
kinetische Energie
2
r r
dW = M ⋅ dϕ
Arbeit
r r
Leistung
P = M ⋅ω
r
r
*) e N = Einheitsvektor in Richtung der Drehachse (d.h. ⊥ auf die Ebene der Drehbewegung)
r r r r
Skalarprodukt a ⋅ b = a ⋅ b cos α
Schwingungen (spezielle Dynamik: rücktreibende Kraft ∝ Auslenkung)
Harmonische Schwingung: x = A sin(ωt + ϕ ) , mit Amplitude A, Kreisfrequenz ω, Phase ϕ
ω = 2π f , Frequenz f , Periodendauer T = 1 / f (= Zeit für eine komplette Schwingung)
Feder: ω = k / m
T = 2π m / k
k = Federkonstante
Pendel: ω = g / l
T = 2π l / g
l = Länge des Pendels
Gedämpfte Schwingung: Amplitude nimmt exponentiell ab: A(t ) = A0 e − βt
Erzwungene Schwingung: Resonanzkurve, Phasenbeziehung zw. Auslenkung und Erreger
Resonanz: wenn die Anregung ungefähr mit der Frequenz der freien Schwingung erfolgt
Schwebung = Überlagerung zweier Schwingungen mit ähnlichen Frequenzen: f1 ≈ f 2
Wellen (sind korrelierte Schwingungen an verschiedenen Raumpunkten)
Longitudinale + transversale Wellen, stehende + laufende Wellen, ebene W. + Kugelwellen
∂ 2 f ( x, t ) 1 ∂ 2 f ( x, t )
Wellengleichung in 1-er Dimension:
= 2
(analog zu „F = ma“)
c
∂x 2
∂t 2
x t
Lösung: y = A sin( kx − ωt ) , Wellenzahl k = 2π/λ, λ = Wellenlänge: y = A sin[ 2π ( − )]
λ T
(Phasen-)Geschwindigkeit: x/t = vϕ = λ f = ω/k, Gruppengeschwindigkeit vg = dω/dk
zwei oder mehrere Wellen: Superposition und Interferenz (konstruktiv, destruktiv)
Reflexion von Wellen: am festen bzw. am losen Ende
Brechung von Wellen: eindimensional und mehrdimensional