Mengen, Logik und Abbildungen

LINEARE ALGEBRA
für
Informatik und Lehramt Mathematik MS/GS/FS
Crashkurs Mengenlehre, Logik und Abbildungen
Mengen
Georg Cantor (1895)
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von
”
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt
werden) zu einem Ganzen.“
Notation
I
m ∈ M oder M 3 m, falls m ein Element der Menge M ist.
I
m 6∈ M oder M 63 m, falls m kein Element der Menge M ist.
Beispiel
I
M = {1, 2, 3, 5}; dann 5 ∈ M, 4 6∈ M;
beachte: {1, 2, 2} = {1, 2}
I
N (Menge der natürlichen Zahlen);
I
{m ∈ N : m gerade}
leere Menge
∅ oder {}
Menge, die kein Element enthält.
Teilmenge, Obermenge
Seien A und B Mengen.
A ⊆ B,
A
falls für alle x ∈ A auch x ∈ B gilt.
I
A ist eine Teilmenge von B bzw.
I
B ist eine Obermenge von A.
Beispiel
I
{1, 4} ⊆ {1, 2, 4, 5}
I
{2n : n ∈ N} ⊆ N
Bemerkung
I
Für jede Menge A gilt:
∅ ⊆ A, A ⊆ A.
I
A = B bedeutet A ⊆ B und B ⊆ A.
B
Durchschnitt
Seien A und B Mengen.
A
Durchschnitt von A und B:
A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B}
Beispiel
I
A = {1, 2, 5}, B = {1, 5, 12} ,
I
A = {1, 2, 5}, B = {3, 4}, A ∩ B =∅
I
A = ∅, B beliebige Menge:
I
Ist A ⊆ B, dann ist
I
A ∩ A =A
A ∩ B ={1, 5}
A ∩ B =∅
A ∩ B =A.
Bemerkung
I
A und B heißen disjunkt, falls A ∩ B = ∅.
B
Vereinigung
Seien A und B Mengen.
A
B
Vereinigung von A und B:
A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B}
Beispiel
I
A = {1, 2, 5}, B = {1, 5, 12},
I
A = ∅, B beliebige Menge:
I
A ∪ A =A
A ∪ B ={1, 2, 5, 12}
A ∪ B =B
Bemerkung
I
˙ bedeutet A ∪ B, wobei A ∩ B = ∅.
disjunkte Vereinigung: A∪B
Differenz
A
Seien A und B Mengen.
Differenz von A und B:
A \ B = {x : x ∈ A und x 6∈ B}
Beispiel
A \ B= {2}
I
A = {1, 2, 5}, B = {1, 5, 12},
I
A = {1, 2, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5},
I
A \ ∅ =A
I
∅ \ A =∅
I
A \ A =∅
A \ B =∅
B
Potenzmenge
Sei A eine Menge.
Potenzmenge von A:
P(A) = {M : M ⊆ A}
Menge aller Teilmengen von A“
”
Beispiel
P(A) = {∅, {2}, {5}, {2, 5}}
I
A = {2, 5},
I
P(∅)= {∅}
I
{1, 3, 7} ∈ P(N), {3n : n ∈ N} ∈ P(N)
kartesisches Produkt
Seien A und B Mengen.
Kartesisches1 Produkt von A und B:
A × B = {(x, y ) : x ∈ A, y ∈ B}
Beispiel
I
A = {2, 5},
B = {1, 2, 3},
A × B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
I
1
A = ∅ oder B = ∅:
A×B =∅
René Descartes (1596–1650); französischer Mathematiker
Bemerkung
I
∩ und ∪ für endlich viele Mengen A1 , . . . , An :
n
\
Ak = A1 ∩ · · · ∩ An = {x : x ∈ A1 und . . . und x ∈ An },
k=1
n
[
Ak = A1 ∪ · · · ∪ An = {x : x ∈ A1 oder . . . oder x ∈ An },
k=1
I
ebenso das kartesische Produkt:
A1 × · · · × An = {(x1 , . . . , xn ) : x1 ∈ A1 , . . . , xn ∈ An }.
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Eine mathematische Aussage A beschreibt einen mathematischen
Sachverhalt, dem ein Wahrheitswert wahr (w) oder falsch (f)
zugeordnet werden kann.
Beispiel
I
I
2 ist eine gerade Zahl.“
(w)
”
(f)
2 ist eine ungerade Zahl.“
”
Aus mathematischen Aussagen A und B kann man folgendermaßen
neue mathematische Aussagen bilden.
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Negation: ¬A
A gilt nicht.“
”
A ¬A
w f
f
w
Beispiel
A: 2 ist eine gerade Zahl.“ (w)
”
¬A: Es gilt nicht, dass 2 eine gerade Zahl ist.“
”
(f)
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Konjunktion (und): A ∧ B
Sowohl A gilt als auch B.“
”
A B
w w
w f
f w
f f
A∧B
w
f
f
f
Beispiel
(w)
A: 2 ist eine gerade Zahl.“
”
(f)
B: 3 ist eine gerade Zahl.“
”
A ∧ B: 2 ist eine gerade Zahl und 3 ist eine gerade Zahl.“
”
(f)
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Disjunktion (oder): A ∨ B
A gilt oder B gilt.“
”
Beachte: Dies ist kein ausschließendes oder“.
”
Auch beide dürfen gelten.
A B
w w
w f
f w
f f
A∨B
w
w
w
f
Beispiel
(w)
A: 2 ist eine gerade Zahl.“
”
(f)
B: 3 ist eine gerade Zahl.“
”
A ∨ B: 2 ist eine gerade Zahl oder 3 ist eine gerade Zahl.“
”
(w)
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Desweiteren
Implikation: A ⇒ B
Wenn A, dann B.“
”
Aus A folgt B.“
”
A ist hinreichend für B.“
”
B ist notwendig für A.“
”
A nur, wenn B.“
”
A B
w w
w f
f w
f f
A⇒B
w
f
w
w
A B
w w
w f
f w
f f
¬A ¬A ∨ B
f
w
f
f
w
w
w
w
Bemerkung
Negation von A ∧ B
A B A ∧ B ¬(A ∧ B) ¬A ∨ ¬B
w w
w
f
f
w f
f
w
w
f w
f
w
w
f f
f
w
w
Negation von A ∨ B
A B A ∨ B ¬(A ∨ B) ¬A ∧ ¬B
w w
w
f
f
w f
w
f
f
f w
w
f
f
f f
f
w
w
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Äquivalenz: A ⇔ B
A ⇔ B bedeutet (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
A genau dann, wenn B.“
”
A ist notwendig und hinreichend für B.“
”
A und B sind äquivalent.“
”
A B
w w
w f
f w
f f
A⇒B B⇒A A⇔B
w
w
w
f
w
f
w
f
f
w
w
w
Quantoren
Ist M eine Menge und A(m) eine Aussage über m, so schreibt man
I
I
∀m ∈ M : A(m)
Für alle Elemente m der Menge M gilt A(m).“
”
∃m ∈ M : A(m)
Es gibt (mindestens) ein Element m in der Menge M, für das
”
A(m) gilt.“
(Der Doppelpunkt wird manchmal weggelassen.)
∀ Allquantor“
”
∃ Existenzquantor“
”
Bemerkung
Ist M = ∅, so ist
∀m ∈ M : A(m)
immer wahr (unabhängig von A(m)).
Quantoren
Beispiel
A(m): m ist durch 2 teilbar.“
”
M = {2, 8, 10, 11}.
I
I
∀m ∈ M : A(m)
Jedes m ∈ M ist durch 2 teilbar.“,
”
∃m ∈ M : A(m)
Es gibt ein m ∈ M, das durch 2 teilbar ist.“
”
(falsch)
(wahr)
M̃ = {2, 8, 10}
I
I
∀m ∈ M̃ : A(m)
Jedes m ∈ M̃ ist durch 2 teilbar.“,
”
∃m ∈ M̃ : A(m)
Es gibt ein m ∈ M̃, das durch 2 teilbar ist.“
”
(wahr)
(wahr)
Quantoren
Beispiel
M = {2, 8, 10, 11}.
A(m): m ist durch 2 teilbar.“
”
I Negation von ∀m ∈ M : A(m)
(wahr)
∃m ∈ M : ¬A(m)
Es gibt ein m ∈ M, welches nicht durch 2 teilbar ist.“
”
I Negation von ∃m ∈ M : A(m)
∀m ∈ M : ¬A(m)
(falsch)
Für jedes m ∈ M gilt, dass es nicht durch 2 teilbar ist.“
”
Kein m ∈ M ist durch 2 teilbar.“
”
Allgemein
Negation von
∀m ∈ M : A(m)
∃m ∈ M : ¬A(m)
Negation von
∃m ∈ M : A(m)
∀m ∈ M : ¬A(m)
Negationen bei mehreren Quantoren
Erinnerung: N = {1, 2, 3, . . .}
Beispiel
Zu jedem x ∈ N existiert ein y ∈ N, so dass y < x gilt.“ (falsch)
”
Mit Quantoren:
(?)
∀x ∈ N ∃y ∈ N : y < x
|
{z
}
A
I
Negation von ∀x ∈ N : A wie oben:
∃x ∈ N : ¬A
I
Negation von A wie oben:
∀y ∈ N : ¬(y < x) bzw. ∀y ∈ N : y ≥ x
I
Insgesamt Negation von (?):
∃x ∈ N∀y ∈ N : y ≥ x
Es existiert ein x ∈ N, so dass für alle y ∈ N gilt, dass y
”
(wahr)
größer oder gleich x ist.“
Abbildungen
Seien A und B Mengen.
Eine Abbildung oder Funktion von A nach B ist eine Vorschrift f ,
die jedem x ∈ A genau ein Element f (x) ∈ B zuordnet.
Notation: f : A → B, x 7→ f (x).
I
A – Definitionsbereich von f
I
B – Zielmenge
I
M ⊆ A, f (M) := {f (x) : x ∈ M} ⊆ B – Bild von M unter f .
I
N ⊆ B, f −1 (N) := {x ∈ A : f (x) ∈ N} ⊆ A – Urbild von N
unter f .
I
G (f ) := {(x, f (x)) : x ∈ A} ⊆ A × B – Graph von f .
Beispiel
I
f : R → R,
x 7→ x 3
I
f : R → [0, ∞),
x 7→ |x| , wobei |x| =
x,
x ≥ 0,
−x, x < 0.
Komposition
Sind f : A → B und g : C → D Funktionen mit f (A) ⊆ C , so ist
g ◦ f : A → D,
x 7→ g (f (x))
die Komposition von g und f .
Beispiel
g : R → R, x 7→ x 3 ,
f : R → R, x 7→ x 2 ,
g ◦ f : R → R,
(g ◦ f )(x)=g (f (x))=(f (x))3 =(x 2 )3 =x 6
Abbildungen
Seien f , g : A → R beliebige Funktionen und sei α ∈ R. Dann sind
f + g : A → R,
αf : A → R,
definiert durch
I
(f + g )(x) := f (x) + g (x),
I
(αf )(x) := α · f (x),
I
(f · g )(x) := f (x) · g (x).
Sei A0 := {x ∈ A : g (x) 6= 0}.
Dann ist
I f
g
: A0 → R,
x 7→
f (x)
g (x) .
f ·g :A→R