3. Folgen, Abzählbarkeit

3. Folgen, Abzählbarkeit
Definition (Eigenschaften von Funktionen)
Seien A, B nichtleere Mengen und f : A → B eine Funktion. f (A) := {f (x) : x ∈ A} ⊆ B heißt
Bildmenge von f .
f heißt surjektiv : ⇐⇒ f (A) = B
f heißt injektiv : ⇐⇒ aus x1 , x2 ∈ A und f (x1 ) = f (x2 ) folgt stets x1 = x2
f heißt bijektiv : ⇐⇒ f ist injektiv und surjektiv
Definition (Folgen)
Eine Funktion a : N → B heißt eine Folge in B. Schreibweisen: an statt a(n) (mit n ∈ N) ist
das n-te Folgenglied. (an ) oder (an )∞
n=1 oder (a1 , a2 , . . .) statt a. Ist B = R, so heißt (an ) eine
reelle Folge.
Beispiele:
(1) an :=
1
n
(n ∈ N), (an ) = (1, 12 , 13 , . . .)
(2) a2n := 0, a2n−1 := 1 (n ∈ N), (an ) = (1, 0, 1, 0, 1, . . .).
Definition (Endlich, unendlich, abzählbar, überabzählbar)
Sei B eine nichtleere Menge.
(1) B heißt endlich : ⇐⇒
B = {f (1), . . . , f (n)}.
∃n ∈ N und eine surjektive Funktion f : {1, . . . , n} → B, also
(2) B heißt unendlich : ⇐⇒ B ist nicht endlich.
(3) B heißt abzählbar : ⇐⇒ ∃(an ) ∈ B : B = {a1 , a2 , a3 , . . .} ( ⇐⇒ ∃a : N → B mit a
surjektiv).
„Die Elemente von B können mit natürlichen Zahlen durchnummeriert werden.“
Beachte: Endliche Mengen sind abzählbar!
(4) B heißt überabzählbar : ⇐⇒ B ist nicht abzählbar.
Beispiele:
(1) N ist abzählbar, denn N = {a1 , a2 , . . .} mit an := n (n ∈ N)
(2) Z ist abzählbar, denn Z = {a1 , a2 , a3 , . . .} mit a1 := 0, a2n := n, a2n+1 := −n
(3) N × N := {(n, m) : n, m ∈ N} ist abzählbar.
Beweis: Sei g : N × N → N mit g(n, m) := n + 21 (n + m − 1)(n + m − 2). g ist bijektiv
(Übung! ), dann ist g −1 : N → N × N ebenfalls bijektiv.
(4) Q ist abzählbar
n
, f ist surjektiv.
Beweis: Q+ := {x ∈ Q : x > 0}, f : N × N → Q+ mit f (n, m) := m
−1
+
bn := f (g (n)) (n ∈ N). Dann: Q = {b1 , b2 , b3 , . . .}. a1 := 0, a2n := bn , a2n+1 :=
−bn =⇒ Q = {a1 , a2 , a3 , . . .}
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3. Folgen, Abzählbarkeit
(5) Sei B die Menge der Folgen in {0, 1}. Also (an ) ∈ B ⇐⇒ an ∈ {0, 1} ∀n ∈ N. B ist
überabzählbar.
Beweis: Annahme: B ist abzählbar,
also B = {f1 , f2 , f3 , . . .} mit fj = (aj1 , aj2 , aj3 , . . .)
(
1, falls ann = 0
und ajk ∈ {0, 1}. Setze an :=
. Es ist (an ) ∈ B.
0, falls ann = 1
∃m ∈ N : (an ) = fm = (am1 , am2 , . . .) = (a1 , a2 , . . .) =⇒ an = amn ∀n ∈ N =⇒ am =
amm , Widerspruch!
Satz
(1) Sei ∅ =
6 B ⊆ A und A sei abzählbar. Dann ist B abzählbar.
(2) Seien B1 , B2 , B3 , . . . abzählbar viele Mengen und jedes Bj sei abzählbar.
∞
[
Bj ist ab-
j=1
zählbar.
Beweis
(1) A = {a1 , a2 , . . .}, sei b ∈ B fest gewählt.
(
an
bn :=
b
falls an ∈ B
falls an ∈
/B
Also C := {b1 , b2 , . . .} ⊆ B. ∀x ∈ B =⇒ x ∈ A =⇒ ∃m ∈ N : x = am =⇒ am ∈
B =⇒ bm = am =⇒ x = bm =⇒ x ∈ C =⇒ B ⊆ C =⇒ B = C.
(2) Siehe Übungsblatt 2
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