Randomisierte Algorithmen“ ¨Ubungsblatt 4, WS 2012/13

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Univ.-Prof. Dr. Martin Dietzfelbinger, Dipl.-Ing. Christopher Mattern
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ws-20122013/ra/
Randomisierte Algorithmen“
”
Übungsblatt 4, WS 2012/13
Besprechung:
Mittwoch, 12.12.2012 (50. KW). Für das Vorrechnen einer mit *“
”
markierten Aufgaben werden Bonuspunkte vergeben.
Aufgabe 1 (Es funkt zwischen Alice und Bob) *
Alice und Bob möchten über einen Funkkanal kommunizieren. Bob sendet dabei zum Zeitpunkt
t das Signal b(t) ∈ {−1, 1}. Der Sendepegel −1 repräsentiert dabei ein Null-Bit und der Pegel
1 repräsentiert ein Eins-Bit. Neben Bob gibt es n weitere Sender, die in gleicher Weise kodierte
Signale b1 (t), . . . , bn (t) senden. Alice empfängt zum Zeitpunkt t
a(t) := b(t) +
n
X
wi bi (t) mit 0 < wi ≤ 1 für 1 ≤ i ≤ n, und W :=
i=1
n
X
wi > 1,
i=1
wobei die Gewichte Dämpfungen der anderen Signale (wegen Entfernung, Hindernissen, etc.)
modellieren. Alice interprätiert a(t) < 0 als ein Null-Bit und a(t) ≥ 0 als ein Eins-Bit. Im
Folgenden betrachten wir einen festen Zeitpunkt t und nehmen an, dass alle Signale uniform
verteilt sind. Zunächst definieren wir die Ereignisse
E0 := {a(t) < 0 ∧ b(t) = 1},
E1 := {a(t) ≥ 0 ∧ b(t) = −1},
E := E0 ∪ E1 .
Zeigen Sie:
"
Pr(a(t) < 0 | b(t) = 1) ≤ Pr(a(t) ≥ 0 | b(t) = −1) ≤
e
1
2W
1 #−1
1
1 2 (1− W )
1−
.
W
Folgern Sie daraus eine obere Schranke für Pr(E).
Hinweis: Überlegen Sie, unter welchen Bedingungen (bzgl. a(t) und b(t)) Alice beim Dekodieren ein Fehler unterläuft. Finden Sie eine Darstellung dieser Bedingungen in Abhängigkeit von
Zufallsvariablen mit dem Wertebereich ⊆ [0, 1] und wenden Sie die Hoeffding-Ungleichung an.
Aufgabe 2 (Kreise und Permutationen) *
Man kann eine Permutation π von {1, 2, . . . , n} als Graph Gπ darstellen: Für jeden Knoten
i ∈ {1, 2, . . . , n} gibt es eine Kante von i nach π(i). Wir betrachten nun einen solchen Graphen,
der aus einer zufälligen Permutation π entsteht.
Zeigen Sie, dass
Pr( es gibt in Gπ mindestens
”
gilt.
√
n Kreise“ ) = o(1)
2
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Aufgabe 3 (Parameterschätzung bei Bernoulli-Experimenten, z. B. Münzwurf) *
Seien Z1 , Z2 , Z3 , . . . unabhängige Zufallsvariable, die jeweils zum Parameter p, 0 < p < 1,
geometrisch verteilt sind. Diese Zufallsvariablen modellieren die Wartezeit auf einen Erfolg bei
unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Weiter sei für k ≥ 1 die Zufallsvariable Yk definiert durch Yk = Z1 +Z2 +· · ·+Zk . Dann modelliert
Yk die Wartezeit auf k Erfolge bei unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Wir wollen eine Art Hoeffding-Schranke für Yk ermitteln.
(a) Zeigen Sie: E(Yk ) = k/p.
(b) Finden Sie eine obere Schranke für Pr Yk ≥ (1 + ε) kp .
Hinweis: Wenn X1 , X2 , X3 , . . . unabhängige {0, 1}-wertige Zufallsvariable mit Pr(Xi =
1) = p sind, dann kann man sich vorstellen, dass Yk wie folgt definiert ist:
Yk = min{i | X1 + X2 + · · · + Xi ≥ k}.
Also gilt für ganzzahlige t, dass Pr (Yk > t) = Pr(X1 + · · · + Xt < k). Nun kann man die
Hoeffding-Schranke aus der Vorlesung ins Spiel bringen.
(c) Finden Sie eine obere Schranke für Pr Yk ≤ (1 − ε) kp .
(d) Benutzen Sie das Ergebnis von (b) und (c), um folgende Strategie zu analysieren: Gegeben
ist eine unfaire Münze, die mit Wahrscheinlichkeit p Kopf und mit Wahrscheinlichkeit 1−p
Zahl zeigt. Der unbekannte Parameter p soll geschätzt werden.
Man wirft die Münze mehrmals, bis genau k-mal Kopf erschienen ist. Die beobachtete Zahl
der Versuche ist Y . Nun gibt man p̂ = k/Y als Schätzwert für p aus. Es soll etwas über
die Wahrscheinlichkeit gesagt werden, dass man mit dieser Schätzung weit vom echten p
entfernt liegt.