Höhere Mathematik I

Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
1. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 1.
Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:
2n = n.
Aufgabe P 2.
Zeigen Sie, dass x +
1
x
= 2 für alle x ∈ R+ gilt.
Wir betrachten die Abbildung f : D → R, die durch die Vorschrift f (x) = x + x1 gegeben ist.
Geben Sie den Definitionsbereich D j R so groß wie möglich an und skizzieren Sie den Graph
der Funktion.
Aufgabe P 3.
Geben Sie für die folgenden rationalen Zahlen die Dezimalbruchentwicklung an:
56
,
64
33
,
27
15
.
12
Verwenden Sie dazu den aus der Schule bekannten Algorithmus des schriftlichen Dividierens.
Aufgabe P 4.
Gegeben sind die beiden Polynome
p1 (X) = X 3 + 2X 2 − X − 2 und
p2 (X) = X 3 − 1.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen für die beiden Gleichungen p1 (X) = 0 und p2 (X) = 0:
Erraten Sie dazu zunächst jeweils eine Lösung z1 für p1 (X) = 0 und z2 für p2 (X) = 0.
Bestimmen Sie dann die beiden Polynome
p1 (X)
und
(X − z1 )
p2 (X)
.
q2 (X) =
(X − z2 )
q1 (X) =
Nun können Sie mit Hilfe der Mitternachts-Formel weitere Lösungen (falls solche existieren) für
die Gleichungen q1 (X) = 0 und q2 (X) = 0 bestimmen.
Warum sind solche Lösungen auch Lösungen für die Gleichungen p1 (X) = 0 und p2 (X) = 0?
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
1. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 1.
Gegeben seien die Zahlen a, b, c, d ∈ R. Zeigen Sie die beiden folgenden Aussagen:
(a < b) ∧ (c < d) =⇒ a + c < b + d und
1
1
0 < a < b =⇒ 0 < < .
b
a
Aufgabe H 2.
Es seien die komplexen Zahlen x = 3 + 4 i sowie y =
√
2
2
−
√
2
2
i und z =
4
5
+ 27 i gegeben.
Berechnen Sie x · x , 21 (y − y ), 21 (y + y ). Was fällt Ihnen auf (denken Sie an Betrag, Realund Imaginärteil)? Ist das auch allgemein gültig?
y
Bestimmen Sie weiter y 2 , y 3 , x − z , x + y und x sowie x · z .
Aufgabe H 3.
Es sei z = − 21 +
√
3
2
i ∈ C gegeben. Berechnen Sie z 2 , z 3 , z 6 .
Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen für die Gleichung x3 − 1 = 0 (es gibt hier drei
Lösungen) sowie für x4 − 1 = 0 (es gibt hier vier Lösungen).
Aufgabe H 4. Binomialsatz für komplexe Zahlen
Es seien x = a + b i und y = c + d i zwei komplexe Zahlen (mit a, b, c, d ∈ R) und n ∈ N 0
eine natürliche Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass gilt:
n n X
n
(a + b i)n−j (c + d i)j
(a + b i) + (c + d i) =
j
j=0
Schreiben Sie diese Formel für n = 4 explizit aus. Verwenden Sie dabei für die Binomialkoeffizienten das Pascalsche Dreieck.
Hinweis: In der Vorlesung haben wir den Binomialsatz für reelle Zahlen schon bewiesen. Orientieren Sie sich an diesem Beweis.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
2. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Häufig begegnen uns komplexe Zahlen, die in Polarkoordinaten angegeben sind, auch in einer
etwas eleganteren Form. Mit Hilfe der Eulerschen Zahl e gilt nämlich:
a cos(ϕ) + i sin(ϕ) = a eiϕ .
Diesen Sachverhalt werden wir später in der Vorlesung noch genauer studieren. Damit wird aber
die in der Vorlesung behandelte Erkenntnis
a cos(ϕ) + i sin(ϕ) · b cos(ψ) + i sin(ψ) = ab cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
zu einem für reelle Zahlen bereits aus der Schule bekannten Exponentialgesetz
a eiϕ · b eiψ = ab ei(ϕ+ψ) .
Aufgabe H 5.
Es seien die komplexen Zahlen x =
gegeben.
√
2
2
−
√
2
2
i, y = 1 +
√
3 i und z = 6 cos( 65 π) + i sin( 56 π)
Geben Sie x und y in Polarkoordinaten an. Verwenden Sie dabei keine Näherungen für die
Argumente, sondern geben Sie diese exakt an.
y
Berechnen Sie x2 , x3 , y 2 , y 3 , x · z , z , x + z und y − z . Verwenden Sie zur Berechnung die
Darstellung in Polarkoordinaten, wenn es Ihnen sinnvoll erscheint. In diesen Fällen ist es legitim
das Ergebnis in Polarkoordinaten anzugeben.
π
π
π
Geben Sie von den komplexen Zahlen ei 2 , ei 4 und ei 3 jeweils Real- und Imaginärteil an und
skizzieren Sie die Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
Aufgabe H 6.
|x| 5 1 sowie M2 = x ∈ C |x + i| = 2 und
Gegeben
seien
die
Mengen
M
=
x
∈
C
1
M3 = x ∈ C Im(x) 5 2 .
Skizzieren Sie die Mengen M1 , M2 , M3 sowie M2 ∩ M3 und M1 ∪ M2 .
Aufgabe H 7.
Wir betrachten die Gerade g = {(3, 3, 2) + λ(2, 2, 1) | λ ∈ R} und des weiteren die Ebene
E = {(1, 2, 2) + α(0, 1, 1) + β(1, 3, 0) | α, β ∈ R}.
Gibt es einen Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E ? Geben Sie ihn gegebenenfalls an.
Aufgabe H 8.
Zeigen Sie, dass die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten
R[X] = αn X n + αn−1 X n−1 + . . . + α1 X + α0 n ∈ N0 und αn , . . . , α0 ∈ R
die Axiome für einen Vektorraum erfüllt.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
3. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 5.
Es sei der K-Vektorraum V und die Vektoren v1 , . . . , vm ∈ V gegeben. Die Menge
( m
)
X
αj v j ∈ V α1 , . . . , αm ∈ K
L (v1 , . . . , vm ) :=
j=1
heißt lineare Hülle oder Aufspann.
Zeigen Sie, dass L (v1 , . . . , vm ) ein Untervektorraum von V ist.
Aufgabe P 6. Lissajous-Figur
Entscheiden Sie, ob die Abbildung f : [0, 2π[→ R2 : t 7→ sin(t), sin(2t) injektiv ist.
Aufgabe P 7.
Entscheiden Sie, ob die Funktionen f1 : R → R : x 7→ |x| und f2 : R → R : x 7→ x3 jeweils
injektiv, surjektiv, bijektiv sind. Modifizieren Sie gegebenenfalls den Definitions- und Zielbereich
so, dass Sie bijektive Abbildungen erhalten.
Aufgabe P 8.
Sind die Abbildungen
g1 : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ (2x + 4y + 7z, 5y + z, 3z)
g2 : R2 → R3 : (x, y) 7→ (5x + 2y, 4y, 4x + 3y)
jeweils injektiv, surjektiv, bijektiv?
Aufgabe P 9.
Es seien die Vektoren v = (−7, 16, −1), u = (1, 2, 1) und w = (3, −4, 1) in R 3 gegeben.
Zeigen Sie v ∈ L (u, w), indem Sie Vektoren u0 ∈ L (u) und w 0 ∈ L (w) so bestimmen, dass
v = u0 + w 0 gilt.
Bestimmen Sie einen Vektor w 00 ∈ L (u, w), der orthogonal zu u ist, d.h. hu|w 00 i = 0, und der
normiert ist, d.h. hw 00 |w 00 i = 1 erfüllt.
Aufgabe P 10.
Wir betrachten die Menge R[X] der reellen Polynome. Für p, q ∈ R[X] sei
Z 1
p(x) q(x) dx
hp|qi :=
0
definiert. Zeigen Sie, dass dies für alle p, q, r ∈ R[X] und alle α ∈ R die Eigenschaften
(a) hp|qi = hq|pi
(b) hp|pi = 0 ∧ hp|pi = 0 ⇔ p = 0
(c) hp|q + ri = hp|qi + hp|ri
(d) αhp|qi = hα p|qi = hp|α qi
eines Skalarproduktes besitzt.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
3. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 9. wurde bereits auf dem 2. Blatt gestellt
Zeigen Sie, dass die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten
R[X] = αn X n + αn−1 X n−1 + . . . + α1 X + α0 n ∈ N0 und αn , . . . , α0 ∈ R
die Axiome für einen reellen Vektorraum erfüllt.
Aufgabe H 10.
Wir betrachten den komplexen Vektorraum Cn . Für die Vektoren v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Cn und
w = (w1 , . . . , wn ) ∈ Cn sei
n
X
hv|wi :=
vj wj
j=1
definiert. Zeigen Sie, dass für alle u, v, w ∈ Cn und alle α ∈ C gilt:
(a) hu|vi = hv|ui
(b) hu|ui ∈ R+
0 und hu|ui = 0 ⇔ u = 0
(c) hu|v + wi = hu|vi + hu|wi
(d) αhu|vi = hα u|vi = hu|α vi
Aufgabe H 11.
Wir betrachten einen reellen Vektorraum V mit Skalarprodukt. Zeigen Sie, dass für alle v, w ∈ V
gilt:
(a) |v + w|2 = |v|2 + 2hv|wi + |w|2
(b) |v − w|2 = |v|2 − 2hv|wi + |w|2
(c) |v|2 − |w|2 = hv + w|v − wi
Aufgabe H 12.
Ein spurgebundenes Fahrzeug (Eisenbahn, Transrapid, etc.) übt momentan eine
√ Antriebskraft
√ √ vom Betrag 4 aus und bewegt sich dabei auf Schienen, die in Richtung − 41 2, 41 2, 21 3
√ √ √ verlegt sind. Zusätzlich wirkt auf das Fahrzeug die Windkraft 43 2, 45 2, 21 3 .
Wie groß ist die Gesamtkraft in Fahrtrichtung?
Wie groß ist die vom Wind erzeugte Querkraft auf die Schiene (die Kraft, die senkrecht zur
Schiene in der horizontalen Ebene, die von (1, 0, 0) und (0, 1, 0) aufgespannt wird, wirkt)?
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
4. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 11.
Gegeben seien die folgenden Vektoren in R3 :
 
 
 
0
0
1





1 ,
1
1
, v3 =
, v2 =
v1 =
1
0
0


1
v4 =  0  ,
−1


1
v5 =  0  .
1
Sind die Vektoren
• v1 , v2 , v3
• v1 , . . . , v 5
• v1 , v5
jeweils linear unabhängig? Bilden sie jeweils ein Erzeugendensystem von R3 ? Bilden sie jeweils
eine Basis von R3 ?
Bilden Sie aus den Vektoren v1 , . . . , v5 mindestens zwei verschiedene Basen von R3 sowie
mindestens zwei davon verschiedene Erzeugendensysteme von R3 .
Aufgabe P 12.
Wir betrachten den Vektorraum R3 mit der Basis B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}.
Geben Sie für den Vektor v = (2, 3, −4) ∈ R3 das Koordinatentupel B v bezüglich B an.
Aufgabe P 13.
Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind.
(a) Die Kreislinie v ∈ R2 |v| = 1 ist ein Untervektorraum von R2 .
nP
o
2
(b) Die Menge
α
v
α
∈
R
mit v1 = (1, 2, −1) und v2 = (0, 1, −7) ist ein
j
j=1 j j
Untervektorraum von R3 .
(c) Die Menge (x, y, z) ∈ R3 3 x + 2 y − z = 0 ist ein Untervektorraum von R3 .
(d) Die Menge (x, y, z) ∈ R3 3 x + 2 y − z = 2 ist ein Untervektorraum von R3 .
Aufgabe P 14.
Wir betrachten den Vektorraum Pol2 R :=
nP
2
j=0
o
αj X j αj ∈ R der reellen Polynome vom
Grad höchstens 2 mit den Basen B = {X 2 , X − 1, X + 1} und C = {1, X, X 2 }.
Geben Sie für das Polynom p(X) := X 2 + 2X + 1 die Koordinatentupel
C p bezüglich C an.
Bp
bezüglich B und
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
4. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 13.
Gegeben seien die Vektoren v1 = (1, 0, 2, 1), v2 = (2, 1, π, 0), v3 = (1, −1, 2, 2) sowie
v4 = (0, 1, 0, −1) und v5 = (4, 1, 4 + π, 2) ∈ R4 . Entscheiden Sie in jedem der folgenden
Fälle, ob die gegebenen Vektoren linear unabhängig sind. Begründen Sie Ihre Antwort mit der
entsprechenden Rechnung.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
v 1 , v3
v 1 , v2 , v3
v 1 , v2 , v5
v 1 , v2 , v3 , v4
Bestimmen Sie dim L (v1 , v3 ) und dim L (v1 , v2 , v3 , v4 ). Geben Sie jeweils eine Basis an.
Aufgabe H 14.
(a) Beschreiben Sie die durch die Punkte P1 = (2, 3, 2), P2 = (5, 4, 7) und P3 = (−1, 3, −1)
in R3 verlaufende Ebene E in Parameterdarstellung.
Hinweis: Sie können Richtungsvektoren direkt aus den gegebenen Punkten bestimmen.
(b) Geben Sie die Ebene E in der Hesseschen Normalform an.
Aufgabe H 15.
√
√
√
√
14
(a) Finden Sie den Durchstoßpunkt S der Geraden g1 : (−2, 2, −4)+λ(0, 2 6+5 14 , − 6+2
)
5
3
in R durch die Ebene E aus der vorigen Aufgabe.
(b) Geben Sie eine Gerade g2 an, die senkrecht zu der Ebene E durch den Durchstoßpunkt
S verläuft.
(c) Welchen Winkel schließen g1 und g2 ein?
Aufgabe H 16.
Vom Nutzen
Basen
nP verschiedener
o
2
j
Im Vektorraum Pol2 R =
aller reellen Polynome vom Grad
j=0 cj X c0 , c1 , c2 ∈ R
höchstens 2 bilden die folgenden Elemente eine Basis:
1
1
1
1
p1 (X) := X 2 − X , p2 (X) := −X 2 + 1 , p3 (X) := X 2 + X .
2
2
2
2
(a) Bestimmen Sie die Werte pj (k) für alle j ∈ {1, 2, 3} und k ∈ {−1, 0, 1}.
(b) Finden Sie f, g ∈ Pol2 R derart, dass gilt:
f (−1) = 13, f (0) = 1234567, f (1) = −22,
g(−1) = 0, g(0) = −12,
g(1) = 1.
Hinweis: Setzen Sie f und g als Linearkombinationen von p1 , p2 , p3 an.
(c) Warum ist die Basis p1 , p2 , p3 hier besser als die Basis X 0 , X 1 , X 2 ?
Zusatz: Können Sie auch nachweisen, dass p1 , p2 , p3 eine Basis für Pol2 R bildet?
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
5. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 15.
Wir betrachten die folgenden linearen Gleichungssysteme in R3 .
2x1 − x3 + 3x2 = 0
1x1 + 3x2 = −1
x1 + x 3
= 0
(a)
(b) −2x1 + x2 = 4
3x1 + 3x2
= 0
7x2 + 0x1 = 2
Sind die Gleichungssysteme jeweils homogen oder inhomogen?
(c)
2x1 + x2 = −5
x1 + 0x2 = 4
3x2 + x2 = 0
Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix auf.
Lösen Sie die Gleichungssysteme.
Aufgabe P 16.
Gegeben ist ein Sechseck im R3 mit den Eckpunkten
√ √ 3 3 3
3 3 3
P1 = 2, 2 , 2
P2 = −2, 2 , 2
P3 = (−3, 0, 0)
√ √ P4 = −2, − 32 , − 3 2 3
P5 = 2, − 32 , − 3 2 3
P6 = (5, 0, 0)
wobei jeweils die aufeinanderfolgenden Punkte sowie die Punkte P1 und P6 miteinander verbunden sind.
Verifizieren Sie, dass die Punkte P1 , . . . , P6 in einer Ebene liegen.
Berechnen Sie die Fläche des Sechsecks.
Hinweis: Versuchen Sie die Fläche in Parallelogramme und Dreiecke, deren Fläche Sie leicht
berechnen können, zu zerlegen. Versuchen Sie Symmetrien der Figur zu erkennen.
Aufgabe P 17.
Wir versehen R3 mit der aus der Vorlesung bekannten Standardbasis ej j = 1, . . . , 3 .
Gegeben sind die reellen Zahlen
α1,1 = 1 α1,2 = 0 α1,3 = 0
α2,1 = 1 α2,2 = 1 α2,3 = 1
α3,1 = 0 α3,2 = 1 α3,3 = 0
o
n
P
Zeigen Sie, dass die Menge B = bk = 3j=1 αj,k ej k = 1, . . . , 3 eine Basis von R3 ist.
Bestimmen Sie das Koordinatentupel des Vektors v = (−2, 0, −3) bezüglich der Basis B .
Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis C = cj j = 1, . . . , 3 so, dass L (b1 ) = L (c1 ),
L (b1 , b2 ) = L (c1 , c2 ) und L (b1 , b2 , b3 ) = L (c1 , c2 , c3 ).
Bestimmen Sie das Koordinatentupel des Vektors v bezüglich dieser Basis C .
Aufgabe P 18. ein unendlich-dimensionaler Vektorraum
Wir betrachten den Vektorraum R[X]. Verifizieren Sie, dass für alle n ∈ N die Menge
{X n , X n−1 , . . . , X 1 , X 0 } linear unabhängig ist. Können solche Mengen Basen von R[X] sein?
Warum nicht? Konstruieren Sie ausgehend von diesen Erkenntnissen eine Basis von R[X].
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
5. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 17.
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in R4 :
−x1 − x3 + 5x4
3x1 + 2x2 + x4
−x1 + x4
x1 + x 4
= 3
= 0
= −1
= 1
Geben Sie auch die erweiterte Koeffizientenmatrix an.
Handelt es sich um ein homogenes oder um ein inhomogenes Gleichungssystem?
Aufgabe H 18.
Gegeben seien die Punkte P1 = 1, 12 , 2 , P2 = (−1, 2, 1) und P3 = (3, −1, −6) in R3 .
(a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene E1 , die von diesen drei Punkten
aufgespannt wird.
(b) Bestimmen Sie die Ebene E2 parallel zu E1 , auf der der Punkt P4 = (−2, 4, 7) liegt.
Geben Sie diese in der Hesseschen Normalform und in Parameterdarstellung an.
Aufgabe H 19. ein Orthonormalisierungsverfahren
Wir befinden uns im R4 und betrachten die Vektoren v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 2, 0, 1) sowie
v3 = (−1, 3, 1, −1). Für k = 1, 2, 3 definieren wir die Vektoren
!
k−1
X
1
bk := rD
hvk |bj i bj ,
E vk −
Pk−1
Pk−1
j=1
vk − j=1 hvk |bj i bj vk − j=1 hvk |bj i bj
dabei wird
P0
j=1
wj = 0 gesetzt.
(a) Berechnen Sie die Vektoren b1 , b2 und b3 .
(b) Zeigen Sie: B = {bj | j = 1, . . . , 3} bildet ein Orthonormalsystem.
Ist B auch eine Orthonormalbasis von R4 ?
Aufgabe H 20.
Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektoren v und w eines K-Vektorraumes V .
(a) Für welche Werte von α ∈ K sind die Vektoren v , v + αw linear abhängig, für welche
sind sie linear unabhängig?
(b) Bestimmen Sie α ∈ K so, dass die Vektoren v + αw , w orthogonal zueinander stehen.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
6. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 19.
Gegeben sind die reellen Matrizen
√
2 √1 π 0
2 4
C1 =
C2 =
2
3 1
3
3 1
2


1
0
C3 =  0 −1
−1 1


1 2 3
C4 = 4 5 6 
7 8 9
Bestimmen Sie für l, m ∈ {1, . . . , 4} alle die Produkte Cl Cm , die überhaupt definiert sind.
Aufgabe P 20.
Heinrich Lohse braucht für sein Büro einen neuen Computer. Um einen Mengenrabatt zu bekommen bestellt er Radiergummis, Schreibmaschinenpapier und Computer im Wert von insgesamt
300.000,– DM und bekommt dann Radiergummis für 0,10 DM pro Stück, Schreibmaschinenpapier für 2,80 DM pro Packung und Computer für 6000,– DM pro Gerät (zur Erinnerung:
1e∼
= 1,95883 DM). Insgesamt bestellt Herr Lohse 300.000 Artikel beim Großhandel. Wieviele Radiergummis, wieviele Packungen Schreibmaschinenpapier und wieviele Computer hat er
jeweils bestellt?
Aufgabe P 21.
(a) Gegeben sei die Matrix A := ( α1 α1 ) ∈ R2×2 . Bestimmen Sie alle α ∈ R, so dass eine
c12
2×2
Matrix C = ( cc11
r {0} existiert, für die AC = 0 gilt.
21 c22 ) ∈ R
Bestimmen Sie jeweils alle solchen Matrizen C ∈ R2×2 und berechnen Sie dann auch CA.
(b) Gegeben sei die Matrix A := ( ac db ) ∈ R2×2 . Was muss für a, b, c, d ∈ R gelten, dass es
möglich ist, die inverse Matrix A−1 zu A zu bestimmen (also eine Matrix A−1 ∈ R2×2
mit AA−1 = E2 = A−1 A) ? Geben Sie die Inverse in diesen Fällen an.
Aufgabe P 22.
Wir betrachten in K2×4 die Matrizen A = (azs )15z52,15s54 und B = (bzs )15z52,15s54 .
Berechnen Sie AT B und AB T . Wie viele Zeilen und Spalten haben diese Produkte jeweils?
Aufgabe P 23. ein nicht-lineares Gleichungssystem
Wir betrachten für Vektoren x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 das folgende Gleichungssystem:
x1 x2 + x 3 = 1
x3 − 1 = 0
Bestimmen Sie die Lösungsmenge L j R3 . Ist L ein Untervektorraum von R3 ?
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
6. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 21.
Lösen Sie das für x ∈ R7 gegebene Gleichungssystem Ax = b mit

1
2

0

A := 
2
3

0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−2
1
−2
−3
0
−1
2
2
2
3
2
2
2

1
2

0

4

3

0
1


−1
2
 
−2
 

b := 
−1
3
 
0
1
Aufgabe H 22.
Sie wollen für die Gruppenübung in Höherer Mathematik Kuchen backen. Dafür haben Sie
mehrere Rezepte zur Auswahl: Für einen Napfkuchenteig brauchen Sie 500g Mehl, 250g Zucker,
250g Butter und 5 Eier, für einen großen Rührkuchen 6 Eier, 500g Zucker, 400g Butter und
500g Mehl, und für einen kleinen Strudel 250g Mehl, 50g Butter und 2 Eier. Sie plündern die
WG-Küche und finden 1kg Mehl, 41 kg Zucker, 9 Eier und einige Butterüberreste, die zusammen
350g ergeben. Wieviele Kuchen von welcher Sorte können Sie damit backen, wenn Sie alle
Vorräte aufbrauchen wollen?
Aufgabe H 23.
Es seien die Matrix A ∈ R4×4 und die Vektoren b1 und b2 ∈ R4 folgendermaßen gegeben:

2
0
A := 
1
−1
1
1
1
2
4
2
3
3

−3
−1

−2
−1
 
3
 1

b1 := 
 2
1


5
−1

b2 := 
2
−5
Bestimmen Sie die Lösungen der linearen Gleichungssysteme S1 : Ax = b1 und S2 : Ax = b2 .
Zeigen Sie, dass die Lösungsmengen L (S1 ) und L (S2 ) zueinander parallele affine Teilräume
sind, d.h. durch Verschiebung (Addition eines festen Vektors) auseinander hervorgehen.
Aufgabe H 24. Blockmatrizen
Wir betrachten zwei beliebige 3 × 3-Matrizen A, B . Verifizieren Sie:
E3 A
E3 B
E3 A + B
=
0 E3
0 E3
0
E3
(Zur Erinnerung: E3 ist die 3 × 3-Einheitsmatrix, 0 ist in diesem Fall die 3 × 3-Nullmatrix).
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
7. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 24.
Bestimmen Sie den Rang Rg A der folgenden

2
0
A := 
1
−1
reellen Matrix:

1 4 −3
1 2 −1

1 3 −2
2 3 −1
Aufgabe P 25.
Betrachten Sie die Abbildungen
g1 : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ (2x + 4y + 7z, 5y + z, 3z)
g2 : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ (x2 , xyz, z + 3x − 29y)
g3 : R2 → R3 : (x, y) 7→ (5x + 2y, 4y, 4x + 3y)
(a) Welche dieser Abbildungen sind linear?
Geben Sie die Matrixdarstellung der linearen Abbildungen bezüglich der Standardbasis an.
(b) Bestimmen Sie den Kern der linearen Abbildungen.
(c) Ist die Komposition der Abbildungen g1 ◦ g3 linear? Falls dem so ist, geben Sie auch dafür
die Matrixdarstellung E (g1 ◦ g3 )E bezüglich der Standardbasis E an.
Aufgabe P 26.
Es sei die Abbildung f : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ y + z, − 32 x + 23 y − 12 z, 21 x − 32 y + 12 z gegeben. Weiterhin betrachten wir die Basis B = {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (0, 1, −1)}.
(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
E fE
von f bezüglich der Standardbasis E .
(b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
B fB
von f bezüglich der Basis B .
(c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung B fE von f bezüglich der Basis B im Zielbereich
und der Standardbasis E im Definitionsbereich.
Aufgabe P 27.
Wir betrachten den Vektorraum C 1 (R) und darin die Menge B := {b1 , b2 , b3 }, wobei
b1 : R → R : x 7→ sin(x)
b2 : R → R : x →
7 cos(x)
b3 : R → R : x 7→ sin(πx)
Weiter betrachten wir die lineare Abbildung D : L (b1 , b2 , b3 ) → C 0 (R) : f 7→ f 0 , die jeder
Funktion ihre Ableitung zuordnet.
Bestimmen Sie eine Basis C für das Bild Im (D).
Geben Sie die Matrixdarstellung
C DB
bezüglich der Basis B an.
Bestimmen Sie den Kern Ker (D).
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
7. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 25.
In Abhängigkeit von dem Parameter t ∈ R ist die folgende Matrix


0 1
0
0
0 2
0
t

At := 
1 2
1
3
0 2 t−1 3
gegeben, die die lineare Abbildung αt : R4 → R4 : x 7→ At x beschreibt.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t den Kern Ker (αt ).
Hinweis: Es kann hierbei im Gauß-Algorithmus nötig sein, Spalten zu vertauschen.
Aufgabe H 26.
Die reelle Matrix


1
0
0
0 1
0
 0
−1 −1 −1 0 −2 


 0
2
1
0 2 −3 


Bt := 

−3
2
2
1
2
−2


t(t + 1) 1
1
1 0
2 
1
0
0
0 1 t+1
ist in Abhängigkeit von dem reellen Parameter t gegeben. Bestimmen Sie Rg Bt .
Aufgabe H 27.
o
Wir betrachten den Polynomraum Pol2 R :=
αj X αj ∈ R zusammen mit der Ab0
bildung D : f 7→ f , die einem Polynom dessen Ableitung zuordnet (vgl. auch Vortragsübungen,
Blatt 1, Aufgabe V 2).
nP
Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen
2
j=0
M DM , B DB , L DL
j
von D bezüglich
(a) der Monombasis M : X 2 , X 1 , X 0 ,
(b) der Basis B : X 2 , X − 1, X + 1 aus Aufgabe P 14, sowie
(c) der Basis L :
1
2
X 2 − 12 X, −X 2 + 1, 12 X 2 + 12 X aus Aufgabe H 16.
Aufgabe H 28.
Geben Sie eine lineare Abbildung
α : R2 → R3 so an, dass
1 1
1
α 1, − 3 = 3 , 3 , −4
und
α 0, 13 = 32 , − 31 , 9 .
Ist es möglich zusätzlich
zu fordern, dass α 1, 0 = 13 , −7, 42 ? Besteht die Möglichkeit
α 1, 0 = 1, 0, 5 zu fordern? Begründen Sie Ihre Antworten.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
8. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 28.
Gegeben sind die folgenden reelle Matrizen:




1 −1
1 2 3
1
2
1
A := 4 5 6 B := −1 1  C :=
2 1 0
0
1
7 8 9


1 −2 1 −7
−2 1
0
4

D := 
0
0 −2 1 
0
0 −3 3
(a) Für welche Matrizen gibt es eine Rechtsinverse, eine Linksinverse, eine Inverse?
(b) Berechnen Sie in den Fällen, wo es möglich ist, die Inverse.
Aufgabe P 29.
Wir befinden uns in R3 . Gegeben sind die Basis B : (1, 0, −1), (1, 1, 0), (0, 1, −1), die Basis
C : (−1, −1, 0), (0, −1, 1), (1, 0, −1) und die Standardbasis E .
(a) Bestimmen Sie eine lineare Abbildung f : R3 → R3 derart, dass
f (1, 0, −1) = (0, −1, 0) ,
f (1, 1, 0) = (2, 0, 0) ,
f (0, 1, −1) = (0, 0, 3).
Geben Sie die Matrixdarstellung E fB an.
(b) Berechnen Sie die Matrixdarstellungen
B
(c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen
idB ,
E
idB ,
B
idE ,
E
idC ,
C
idE ,
B
idC ,
E fE , B fB , B fC .
Aufgabe P 30.
Wir betrachten die Abbildung

 

x1
x1 + 2x3 − 2x4

 x2 

 7→  −x1 − x2 − x3 + 2x4 
f : R 4 → R4 : 
 x3 
2x1 + x2 + 3x3 − 4x4 
x4
x1 + 2x2 − 2x4
(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
E fE
bezüglich der Standardbasis E .
(b) Bestimmen Sie Rg(E fE ). Geben Sie dim Ker (f ) und dim Im (f ) an.
Hinweis: Benutzen Sie die Dimensionsformel.
(c) Bestimmen Sie Ker (f ) und Im (f ). Geben Sie jeweils eine Basis an.
(d) Bestimmen Sie Ker (f ) ∩ Im (f ).
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
C
idB .
8. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 29.
Gegeben ist die Matrix


1 2 3
A := −3 2 −1 ∈ R3×3
−1 0 2
(a) Berechnen Sie A−1 .
(b) Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme Ax = bi für die Vektoren
 6 


 
 
48
3
6
7
b4 =  0 
b3 =  24 
b2 =  4 
b1 =  0 
3
0
−3
1
Hinweis: Benutzen Sie die oben berechnete Inverse.
Aufgabe H 30.
Berechnen Sie für x, y, z ∈ K die

1 0 0
0 1 0
A := 
0 0 1
0 0 0
Inverse zu

x
y

z
1


1 x y
B := 0 1 z 
0 0 1
Aufgabe H 31.
Es sei E die Standardbasis von R4 . Gegeben sind die linearen Abbildungen f : R4 → R3 und
g : R3 → R4 durch f (b1 ) = (1, 0, −1), f (b2 ) = (0, 1, 0), f (b3 ) = (2, −1, 2), f (b4 ) = (0, 2, 0)
und g(c1 ) = (0, −1, 0, 0), g(c2 ) = (1, 0, 1, 0), g(c3 ) = (2, −3, 0, −1) für die Basen
B : b1 = (1, 0, −1, 0), b2 = (0, 1, 0, −1), b3 = (1, 0, 1, 0), b4 = (0, 2, 0, 1)
und
C : c1 = (0, 1, 0), c2 = (1, 0, −1), c3 = (2, −1, 2).
(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
E (g
◦ f )E .
(b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
B (g
◦ f )B .
(c) Bestimmen Sie Ker (g ◦ f ).
Aufgabe H 32.
Es seien αjk ∈ R und ej Basisvektoren der Standardbasis E von Rm .
Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) Die Abbildung f : Rn → Rm : (x1 , . . . , xn ) 7→
(b) Die Abbildung f : Rn → Rm : (x1 , . . . , xn ) 7→
(c) Die Abbildung f : Rn → Rm : (x1 , . . . , xn ) 7→
Pm P n
j=1
k=1
Pm P n
j=1
Pm
j=1
k=1
Pn
k=1
αjk xk ej ist linear.
2
αjk
xk ej ist linear.
αjk x2k ej ist linear.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
9. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 31.
Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrizen:


1 2 3
2 1
A :=
B := 4 5 6
3 2
7 8 9


1 −2 4 3
0 −1 1 0

C := 
4 14 −9 6
7 −34 42 9
Aufgabe P 32.
Gegeben sind die folgenden beiden Matrizen:




−3 4t
6
−2 −1 2
Bt :=  2 −2 2t − 5
At := −2 t − 1 2
1
0
−2
−2 −1 1
(a) Berechnen Sie det(At ) und det(Bt ).
(b) Entscheiden Sie, für welche t ∈ R die Matrizen At und Bt invertierbar sind.
−1
−1
(c) Bestimmen Sie, falls möglich, det(A−1
t ), det(Bt ), det(At Bt ), det(At ) det(At ).
(d) Bestimmen Sie det(At 16 ).
Aufgabe P 33.
Es sei die folgende Abbildung gegeben:




x
−14 x −21
s : R 3 → R1 :  y  →
7 det  42 y 56 
z
7 z 63
(a) Zeigen Sie, dass s eine lineare Abbildung ist.
(b) Berechnen Sie Ker (s). Geben Sie eine Basis davon an.
(c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung E sB bezüglich der Standardbasis E und der Basis

 
  
3
−2
0
B :  0  ,  6  ,  −8 
−9
1
1
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
9. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 33.
Gegeben ist x ∈ R und die Matrix

t
3

0

0

0
0
2
4
0
0
0
0
0
0
5
7
0
0

0 0 0
0 0 0

6 0 0

8 0 0

0 9 10
0 11 12
Berechnen Sie det(At ), det(At 5 ), det(xA
t ) und für die t ∈ R, bei denen die Ausdrücke auch
−1
−1 5
definiert sind, det(At ), det (At ) .
Aufgabe H 34.
Wir versehen Pol2 R mit der Basis B : X 2 , X − 1, X + 1, der Basis C : X 2 , X 1 , X 0 , der Basis
D : 12 X 2 − 12 X, −X 2 + 1, 21 X 2 + 12 X und der Basis E : X 2 + X + 1, X + 1, 1.
Es ist weiter die Abbildung s : Pol2 R → Pol2 R : aX 2 + bX + c 7→ bX 2 + cX + a gegeben.
(a) Zeigen Sie, dass s eine lineare Abbildung ist.
(b) Berechnen Sie det(B sB ), det(C sC ), det(D sD ), det(E sE ).
(c) Berechnen Sie det(B sE ), det(C sD ).
Aufgabe H 35.
Gegeben ist die Matrix


−4 − λ
5
−5
3 − λ −2 
Aλ :=  −2
1
−1 2 − λ
(a) Bestimmen Sie das durch c(λ) := det(Aλ ) gegebene Polynom c.
(b) Berechnen Sie die Nullstellen λ1 , λ2 , λ3 des Polynoms c und zerlegen Sie es in seine
Linearfaktoren.
Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die Linearfaktoren ausmultiplizieren!
Aufgabe H 36.
Es sei Aλ wie oben gegeben, und es seien λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = −1 die Nullstellen des dort
berechneten Polynoms c. Außerdem sei α : R3 → R3 : x 7→ A0 x.
(a) Bestimmen Sie Vektoren b1 , b2 , b3 derart, dass Aλj bj = 0 für j ∈ {1, 2, 3} gilt und
dass B : b1 , b2 , b3 eine Basis ist.
(b) Geben Sie die Matrixdarstellung B αB an.
P
(c) Berechnen Sie 5k=0 k!1 (E αE )k .
Hinweis: Die Matrix B αB hilft dabei.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
10. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 34.
Zeigen Sie: Die Matrix
√ √ 
0
−
2
2
1 √
F :=
−√ 2
1
1 
2
2
1
1

ist orthogonal.
Aufgabe P 35.
Gegeben sind die Vektoren
v1 = (1, 1, 1, 1)
v2 = (1, 0, 3, 0)
v3 = (2, 2, 4, 0)
v4 = (8, −2, 6, −4)
Konstruieren Sie (mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens) eine Orthonormalbasis F : f1 , f2 , f3 , f4 derart, dass L (f1 ) = L (v1 ), L (f1 , f2 ) = L (v1 , v2 ), L (f1 , f2 , f3 ) =
L (v1 , v2 , v3 ) und L (f1 , f2 , f3 , f4 ) = L (v1 , v2 , v3 , v4 ).
Aufgabe P 36. Symmetrien eines Tetraeders
Im dreidimensionalen Raum ist das regelmäßige Tetraeder mit den Eckpunkten
q √ q √
√
P1 = 1, 0, 0
P2 = − 13 , 2 3 2 , 0
P3 = − 13 , − 32 , 23
P4 = − 13 , − 32 , − 23
gegeben. Es ist M := {P1 , P2 , P3 , P4 } die Menge der Ecken des Tetraeders und Sym(M ) die
Gruppe der Permutationen seiner Ecken.
Weiter ist die Basis B : P2 , P3 , P4 gegeben. Die Standardbasis von R3 bezeichnen wir mit E .
(a) Gegeben sind die Transpositionen
τ1 := PP11 PP23 PP32 PP44 ∈ Sym(M ) und τ2 := PP11 PP22 PP34 PP43 ∈ Sym(M ).
Skizzieren Sie die Wirkung von τ1 , τ12 , τ2 , τ22 und τ1 ◦ τ2 auf den Ecken des Tetraeders.
Bestimmen Sie jeweils das Signum der Abbildung.
(b) Zerlegen Sie die Permutation δ1 := PP11 PP24 PP32 PP43 ∈ Sym(M ) in Transpositionen und
bestimmen Sie sig δ1 .
(c) Es sei ϕ1 : R3 → R3 eine lineare Abbildung, die ϕ1 (Pj ) = δ1 (Pj ) erfüllt.
Geben Sie die Matrixdarstellungen B ϕ1 B und E ϕ1 E an.
(d) Es ist darüber hinaus die Permutation δ2 := PP12 PP23 PP31 PP44 ∈ Sym(M ) gegeben, und es
sei ϕ2 : R3 → R3 eine lineare Abbildung, die ϕ2 (Pj ) = δ2 (Pj ) erfüllt.
Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen B ϕ2 B , B (ϕ2 ◦ ϕ1 )B , B (ϕ1 ◦ ϕ2 )B , E (ϕ2 ◦ ϕ1 )E
und E (ϕ1 ◦ ϕ2 )E .
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
10. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 37.
Gegeben sind die Vektoren
v1 = (1, 1, 0, 0)
v2 = (−1, 0, 1, 0)
v3 = (1, 0, 0, 1)
v4 = (1, 0, 1, 1)
(a) Konstruieren Sie mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens eine Orthonormalbasis F : f1 , f2 , f3 , f4 derart, dass L (f1 ) = L (v1 ), L (f1 , f2 ) = L (v1 , v2 ),
L (f1 , f2 , f3 ) = L (v1 , v2 , v3 ) und L (f1 , f2 , f3 , f4 ) = L (v1 , v2 , v3 , v4 ).
(b) Zeigen Sie, dass die Matrix A := E f1 E f2 E f3 E f4 orthogonal ist.
Aufgabe H 38.
Im R3 ist die Basis B : b1 , b2 , b3 mit
√
√
√ b1 = 12 , − 22 , 21
b2 = − 22 , 0, 22
b3 =
gegeben und E bezeichne die Standardbasis.
Die lineare Abbildung δ ist durch
√ 2
1
1
,
−
,
−
δ(e
)
=
B
1
2
2
2
definiert.
(a)
(b)
(c)
(d)
√
√
2
2
,
−
,
0
δ(e
)
=
−
B
2
2
2
√
2 1
1
,
,
2 2 2
B δ(e3 ) =
√ 2
1
1
,
−
,
2
2 2
Zeigen Sie, dass B eine Orthonormalbasis von R3 ist.
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung B δB .
Zeigen Sie, dass δ eine orthogonale Abbildung ist.
Berechnen Sie det (E δE ).
Aufgabe H 39. Schmidtsches Orthonormierungsverfahren
Wir befinden uns im R4 . Es sei die Basis C : v1 , . . . , v4 gegeben. Für k ∈ {1, . . . , 4} definieren
wir die Vektoren
!
k−1
X
1
hvk |bj i bj ,
bk := rD
E vk −
Pk−1
Pk−1
j=1
vk − j=1 hvk |bj i bj vk − j=1 hvk |bj i bj
dabei wird
P0
j=1
wj = 0 gesetzt.
Zeigen Sie: B = {bj | j = 1, . . . , 4} bildet ein Orthonormalsystem.
Aufgabe H 40.
Zeigen Sie, dass die Menge

1



0
0



0
eine Untergruppe von GL(4, R) ist.
0
1
0
0
0
0
1
0


x



y
 ∈ GL(4, R) x, y, z ∈ R
z



1
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
11. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 37.
Es sind die affinen Abbildungen α : R3 → R3 : v 7→ Av + t und β : R3 → R3 : v 7→ Bv + r
durch
 


 


0
3 0 −4
2
1 0
1







1 
0
r :=
B := 1 2 −1
t :=
A := 1 −1 −1
0
2 1 0
1
0 1
2
gegeben. Weiter ist

 

 
3 1






−2 λ ∈ R
2
+
g := λ


0 −1
eine Gerade.
(a) Untersuchen Sie, welche der Abbildungen α, β Affinitäten sind.
(b) Bestimmen Sie α(g) und β(g). Sind das Geraden?
(c) Berechnen Sie den linearen Anteil und den Translationsanteil von α ◦ β und β ◦ α.
Aufgabe P 38.
Gegeben ist die affine Abbildung

0
1 √
3
3
α: R → R : v →
7
−√ 2
2
2
√
√ 


2 − 2
0
1
1  v +  −5 
3
1
1
Untersuchen Sie, ob α eine Affinität ist und ob es sich dabei um eine Bewegung handelt.
Bestimmen Sie, falls α eine eigentliche Bewegung ist, eine Drehung δ und eine Translation τ
so, dass α = τ ◦ δ . Bestimmen Sie gegebenenfalls auch den Drehwinkel von δ .
Aufgabe P 39.
Es ist E = (~0; e1 , e2 , e3 ) das in R3 gegebene Standardkoordinatensystem. Durch den Punkt
P := (−1, 12 , 4) und die Vektoren f1 := (1, 2, 0), f2 := (−2, −3, 1), f3 := (3, −1, 1) ist ein
weiteres affines Koordinatensystem F := (P ; f1 , f2 , f3 ) bestimmt.
(a) Ist F ein kartesisches Koordinatensystem?
(b) Berechnen Sie die Koordinaten F~0, F e1 , F e2 , F e3 .
(c) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation E κF .
(d) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation F κE .
Überprüfen Sie damit Ihr Ergebnis für F~0, F e1 , F e2 , F e3 .
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
11. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Gegeben ist die Matrix


1 −2 2
1
A := −2 1 2
3
2
2 1
sowie die Vektoren s := (2, 2, −2) und t := (1, −1, 0). Damit werden die beiden affinen
Abbildungen σ : R3 → R3 : v 7→ Av + s und τ : R3 → R3 : v 7→ Av + t definiert.
Aufgabe H 41.
Zeigen Sie:
(a) σ und τ sind Affinitäten.
(b) σ und τ sind uneigentliche Bewegungen.
Aufgabe H 42.
(a) Gegeben ist die Ebene F := v ∈ R n
3
√1 (1, 1, −1)v
3
o
= 0 . Verifizieren Sie τ (F ) = F .
(b) Bestimmen Sie für den Punkt P = (p1 , p2 , p3 ) eine Gerade g , die P und τ (P ) enthält.
Zeigen Sie: die Gerade g ist genau dann parallel zu F , wenn P ∈ F .
Aufgabe H 43.
(a) Bestimmen Sie die Fixpunktmenge Fix(σ) := v ∈ R3 σ(v) = v .
Zeigen Sie: Fix(σ) ist eine affine Ebene.
(b) Stellen Sie für den Punkt P = (p1 , p2 , p3 ) 6∈ Fix(σ) eine Gerade f auf, die die Punkte
P und σ(P ) enthält.
Verifizieren Sie, dass die Gerade f die Ebene Fix(σ) orthogonal durchstößt.
Aufgabe H 44.
(a) Wählen Sie einen Punkt U ∈ Fix(σ) und finden Sie eine orthogonale Basis b1 , b2 , b3
so, dass U + b1 ∈ Fix(σ) und U + b2 ∈ Fix(σ). Damit ist ein Koordinatensystem
U := (U ; b1 , b2 , b3 ) gegeben.
(b) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation U κE .
(c) Beschreiben Sie die Abbildungen σ, τ und σ ◦ τ bezüglich des Koordinatensystems U.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
12. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 40.
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
−11 −7
4 1
A :=
B :=
14 10
−4 0
C :=
3
2
−5 −3
(a) Bestimmen Sie von den Matrizen A, B, C alle reellen Eigenwerte und die zugehörigen
Eigenräume.
(b) Bestimmen Sie von den Matrizen A, B, C alle komplexen Eigenwerte und die zugehörigen
Eigenräume.
Aufgabe P 41.
In R3 sind die Punkte P0 = (5, −2, 1), P1 = (6, 1, 4), P2 = (3, −1, 3), P3 = (5, −1, 2) gegeben.
Bestimmen Sie ein Koordinatensystem F so, dass F P0 = ~0, F P1 = e1 , F P2 = e2 , F P3 = e3 . Dabei
ist E : e1 , e2 , e3 die Standardbasis des Vektorraums R3 und E das Standardkoordinatensystem.
Geben Sie die Koordinatentransformationen F κE und E κF an.
Berechnen Sie die Koordinaten E P4 des Punktes F P4 = (2, 1, −3).
Aufgabe P 42.
In R3 sind die affinen Abbildungen σ und δ gegeben durch E σ E : R3 → R3 : E v 7→ A · E v + t
und E δ E : R3 → R3 : E v 7→ B · E v + s, wobei mit E wie üblich das Standardkoordinatensystem
bezeichnet



 wird und




3
7
−3 2 −2
−8
5 − 13
2
2
1 
3 
s := 
A := −2 2 −1 t :=  −4 
B :=  2 − 52
2
19
3
−6
−2
−11
2 −1 2
4
2
Weiter sei P := (−1, 0, −2).
(a) Bestimmen Sie die charakteristischen Polynome χA (λ) für A und χB (λ) für B .
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix A. Nummerieren Sie dabei
ihre Eigenwerte so, dass der Eigenwert λ1 negativ ist.
(c) Zeigen Sie: P ist ein Fixpunkt von σ und δ , also σ(P ) = P und δ(P ) = P .
(d) Wählen Sie ein Koordinatensystem F = (P ; f1 , f2 , f3 ) folgendermaßen:
Es sei f1 ein Eigenvektor zum negativen Eigenwert λ1 . Sie erhalten f2 , indem Sie einen
weiteren geeigneten Eigenvektor von A wählen. Schließlich sei f3 := Bf2 .
Zeigen Sie: f3 ist ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert von f2 .
(e) Bestimmen Sie F σ F .
(f) Zeigen Sie: f1 ist ein Eigenvektor von B .
(g) Zeigen Sie, dass Bf3 = −f2 .
(h) Bestimmen Sie F σ ◦ δ F und
F
δ◦σ
F
.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
12. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 45.
Gegeben ist die Abbildung α : R5 → R5 : x 7→ Ax, die durch die folgenden Matrix A beschrieben wird:


−2 0
0
0
0
 4 −2 − 3 − 3 − 3 
2
2
2

 ∈ R5 .
−6
0
1
0
0
A := 

 3
3
3
3 
−
0
2
4
4
4
1
3
0 − 34 14
2
4
(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom χA (λ) für A.
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von A. Wählen Sie die
Nummerierung der Eigenwerte so, dass λ1 der negative Eigenwert ist.
(c) Konstruieren Sie nun eine Basis: Wählen Sie einen Eigenvektor f1 ∈ V (λ1 ) zum negativen
Eigenwert λ1 . Wählen Sie nun einen Vektor f2 so, dass (A−λ1 E3 )f2 = f1 . Ergänzen Sie
die so gewonnenen Vektoren zu einer Basis, indem Sie aus den verbleibenden Eigenräumen
drei linear unabhängige Vektoren f3 , f4 , f5 wählen.
(d) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix F αF bezüglich der Basis F : f1 , f2 , f3 , f4 , f5 .
Aufgabe H 46.
Es ist A ∈ Kn×n eine Matrix und n eine natürliche Zahl.
(a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Ist λ ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v ,
dann ist λn ein Eigenwert von An zum Eigenvektor v .
√
(b) Widerlegen Sie die Behauptung: Ist λ ein Eigenwert von An , dann ist n λ ein Eigenwert
von A.
Hinweis: In kleinen“ Räumen lassen sich für kleine n schöne Gegenbeispiele finden.
”
Aufgabe H 47.
i
Gegeben ist die Abbildung ϕ : C2 → C2 : x 7→ Ax, wobei A := ( 1i −1
).
(a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von A.
(b) Wählen Sie einen Eigenwert λ von A und einen zugehörigen Eigenvektor f1 . Konstruieren
Sie eine Basis F : f1 , f2 , indem Sie einen Vektor f2 so wählen, dass (A − λE2 )f2 = f1 .
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung F ϕF .
Aufgabe H 48.
Es ist das Koordinatensystem O := (U ; o1 , . . . , on ) des affinen Raumes Kn gegeben. Es bezeichnet E wie üblich das Standardkoordinatensystem. Die affine Abbildung α ist gegeben
durch O α(X) = B · O X + s.
Leiten Sie analog Satz 4.7.12 aus der Vorlesung eine Formel her für den linearen Anteil und den
Translationsanteil von α bezüglich E.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
13. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 43.
Gegeben sind die folgenden Matrizen in C2×2 :
−1 1
−1 1
A :=
B :=
0 −1
0 1
Kreuzen Sie alle wahren Aussagen an.
C :=
Welche Eigenschaften treffen auf die jeweiligen Matrizen zu?
EW
−1
2
EW Basisaus EV
EW
EW
keine reellen
+1
A
B
C
0 1
−1 0
2-dim Eigenraum
Aufgabe P 44.
|
|
|
In R2 sind die Vektoren v1 := (2, −1) , v2 := (−3, 2) , v3 := (−2, 2) sowie die folgenden
Matrizen gegeben:
−5 −8
10 18
B :=
A :=
4
7
−6 −11
(a) Überprüfen Sie, ob v1 , v2 , v3 Eigenvektoren von A beziehungsweise B sind und geben
Sie gegebenenfalls die zugehörigen Eigenwerte an.
(b) Diagonalisieren Sie die Matrizen A und B : Bestimmen Sie jeweils eine Diagonalmatrix,
zu der die entsprechende Matrix konjugiert ist, und die zugehörige Transformationsmatrix.
Aufgabe P 45.
Gegeben ist die Quadrik
n
o
|
3
2
2
2
Q := x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R 2 x1 + 3 x2 − 4 x3 + 2x1 x2 − 3 x1 x3 + x3 − 2 x1 + 1 = 0
(a) Geben Sie den quadratischen Teil q , den linearen Teil 2 f und den konstanten Teil c der
Quadrik Q an.
(b) Bestimmen Sie eine symmetrische Matrix A und einen Spaltenvektor a so, dass
o
n
|
|
Q = x ∈ R3 x A x + 2 a x + c = 0
(c) Entscheiden Sie, ob Q eine kegelige, eine parabolische oder eine Mittelpunktsquadrik ist.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
13. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 49.
(a) Es sei A ∈ Kn×n eine Matrix mit den Eigenwerten
λ1 , . . . , λk . Weiter sei v ein Vektor, der
P
sich folgendermaßen zerlegen lässt: v = kj=1 vj , wobei vj ∈ V (λj ) für i ∈ {1, . . . , k}.
P
Zeigen Sie: A v = kj=1 λj vj .
(b) Gegeben sei nun
A :=

8359
 41
 84
 41
8400
41
200 − 8400
41



− 84
41 
200 − 8441
41
1
|
|
Überprüfen Sie, dass die Vektoren v1 = (100, 1, 100) und v2 = (1, 0, 1) Eigenvektoren
von A sind und geben Sie die zugehörigen Eigenwerte an.
|
, 23 , 1171 den Vektor A v . Verwenden Sie dazu (a), indem
Berechnen Sie für v = 2342
98 98 49
Sie v = w1 + w2 zerlegen mit w1 ∈ L (v1 ) und w2 ∈ L (v2 ).
Hinweis: Finger weg vom Taschenrechner!
Aufgabe H 50.
Diagonalisieren Sie die in Aufgabe H 49 gegebene Matrix A: Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix D , zu der A konjugiert ist, und die Transformationsmatrix T , für die D = T −1 A T
gilt.
Hinweis: Der Eigenraum V (λ) zum negativen Eigenwert λ ist 2-dimensional.
Aufgabe H 51.
Gegeben ist die Quadrik Q := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 x21 − x22 − x23 + 1 = 0 .
(a) Geben Sie den quadratischen, den linearen und den konstanten Teil der Quadrik an.
(b) Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik Q an.
(c) Entscheiden Sie, ob Q eine kegelige, eine parabolische oder eine Mittelpunktsquadrik ist.
(d) Skizzieren Sie die Quadrik.
Hinweis: Gehen Sie analog zur Vorlesung vor und schneiden Sie die Quadrik mit Ebenen,
die senkrecht zu Koordinatenachsen liegen.
Aufgabe H 52.
|
Bezüglich der Standardbasis E ist in Rn eine quadratische Form über q : E x 7→ (E x) A (E x)
gegeben. Es sei B : b1 , . . . , bn eine weitere Basis.
|
|
Geben Sie eine Matrix C ∈ Rn×n so an, dass für alle x ∈ Rn gilt: (E x) A (E x) = (B x) C (B x).
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
14. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 46.
Bestimmen Sie die euklidische Normalform der folgenden Quadrik:
26
12
|
2
2 2
x +
x −7=0 .
Q := (x1 , x2 ) ∈ R x1 + x1 x2 + 3 x2 x1 + 4 x2 +
5 1
5 2
Geben Sie für jeden Transformationsschritt und für die Gesamttransformation jeweils das neu
gewählte Koordinatensystem und die Koordinatentransformation an. Skizzieren Sie die Quadrik.
Aufgabe P 47.
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit:
(a) n + sin(2 π n) n∈N
(b) n sin( π2 n) n∈N
(c) n1 sin(2 π n + n) n∈N
(d) sin(2 π n − n1 ) n∈N
(e) sin(π n − n1 ) n∈N
Aufgabe P 48.
Um welche Quadriken könnte es sich bei den folgenden Bildern handeln? Geben Sie jeweils den
Typ der Quadrik und eine mögliche euklidische Normalform an.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
14. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 53.
Bestimmen Sie die euklidische Normalform der folgenden Quadrik:

 

 x1
Q := x2  ∈ R3 3 x21 − 12 x3 x1 − 3 x22 + 12 x3 x2 − 4 x1 − 22 x2 + 34 x3 − 33 = 0 .


x3
Geben Sie für jeden Transformationsschritt und für die Gesamttransformation jeweils das neu
gewählte Koordinatensystem und die Koordinatentransformation an. Skizzieren Sie die Quadrik.
Aufgabe H 54.
In W. Kimmerle, Lineare Algebra und Geometrie für Ingenieure, Informatiker und Physiker, Seiten 120-122 wird ein Beispiel für die Bestimmung der euklidischen Normalform einer Quadrik
gegeben. Bestimmen Sie für jeden angegebenen Transformationsschritt und für die Gesamttransformation jeweils das neu gewählte Koordinatensystem und die Koordinatentransformation.
Bestimmen Sie den linearen Anteil und den Translationsanteil der jeweiligen Koordinatentransformationen.
Aufgabe H 55.
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit:
2
n +n
(a)
n2
n∈N
2
n n +n
(b) (−1)
n2
n∈N
(c) 2 n + sin(n) n∈N
(d) 2 π n + n sin(n) n∈N
Aufgabe H 56.
Um welche Quadriken könnte es sich bei den folgenden Bildern handeln? Geben Sie jeweils den
Typ der Quadrik und eine mögliche euklidische Normalform an.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Poppitz
15. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2005/06
Aufgabe P 49.
Entscheiden Sie, ob die Folgen konvergent sind:
4
4
4
4
4n − 3n + 1
4n − 3n + 1
4n − 3n + 1
4n − 3n + 1
,
,
,
.
n5
n4
n3
n2
n∈N
n∈N
n∈N
n∈N
Hinweis: Vielleicht hilft es, eine Identität der Form
Konvergenzsätze zu benutzen.
4 n4 −3 n+1
N
=
4 n4
N
+
−3 n
N
+
1
N
und dann
Aufgabe P 50.
Es sei q ∈ R. Untersuchen Sie die Folge (q n )n∈N . Für welche Werte von q ist die Folge
konvergent, divergent beziehungsweise bestimmt divergent?
Aufgabe P 51.
Es sei (an )n∈N eine konvergente Folge positiver Zahlen und a := lim an ebenfalls positiv.
n→∞
√
√ √
an n∈N konvergiert und dass lim an = a gilt.
Zeigen Sie, dass
n→∞
√
√ Hinweis: Zeigen Sie: Für alle ε > 0 existiert ein nε ∈ N so, dass an − a < ε für alle
n = nε gilt. Verwenden Sie hierzu lim an = a sowie
n→∞
√
√ a |an − a|
an − a = √an − √
a n + a 5 √a
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/
15. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 57.
(a) Zeigen Sie: lim √1n = 0.
n→∞
√
√
(b) Es sei an := n + 1 − n. Zeigen Sie: die Folge (an )n∈N konvergiert. Bestimmen Sie
den Grenzwert.
Hinweis: Die Dritte Binomische Formel (a − b)(a + b) = a2 − b2 und der Sandwichsatz
helfen.
Aufgabe H 58.
√
Es ist die Folge (an )n∈N definiert durch a1 = 4 und an+1 = 2an + 1.
(a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N gilt: an = 2.
(b) Untersuchen Sie die Folge (an )n∈N auf Monotonie und Beschränktheit.
(c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (an )n∈N , falls diese konvergent ist.
Hinweis: P 51 √
hilft. Damit kann man begründen, dass man den Grenzwert a durch die
Gleichung a = 2a + 1 bestimmen kann.
Aufgabe H 59.
Gegeben sind die Folgen
(an )n∈N = (2 n)n∈N
2 n3 + 2 n 2 + n
(cn )n∈N =
n2 + 1
n∈N
2
−6 n + 42 n − 72
(en )n∈N =
−3 (n + 1)
n∈N
1
(bn )n∈N =
n n∈N
2 n4
(dn )n∈Nr{2} =
−2 n2 + 8 n∈Nr{2}
1
2
(fn )n∈N = n n∈N (gn )n∈N =
(−1)n n2 n∈N
(a) Untersuchen Sie diese Folgen auf Konvergenz, Divergenz und bestimmte Divergenz.
(b) Führen Sie diese Untersuchung ebenfalls durch für die Folgen
(an bn )n∈N
(an gn )n∈N
(dn bn )n∈Nr{2}
(fn gn )n∈N
gn
bn
(an − cn )n∈N
(an − dn )n∈Nr{2}
(an − en )n∈N
gn n∈N
bn n∈N
Begründen Sie mit Hilfe dieser Erkenntnisse, warum es nicht möglich ist, Ausdrücken wie
0 · ∞“, ∞ − ∞“, ∞
“ oder 00 “ einen vernünftigen Wert zuzuordnen.
”
”
”∞
”
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/