Geniale Ideen großer Mathematiker (1) Online-Ergänzung

Geniale Ideen
großer Mathematiker (1)
Der EUKLIDische Algorithmus
H EINZ K LAUS S TRICK
Online-Ergänzung
MNU 66/4 (1.6.2013) Seiten 1–2, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss
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GENIALE IDEEN GROSSER MATHEMATIKER (1) // H EINZ K LAUS S TRICK
Der EUKLIDische Algorithmus (und Variationen)
Um 325 v. Chr. fasste der griechische Mathematiker
EUKLID VON ALEXANDRIA die bis dahin entwickelten
Erkenntnisse der Mathematik in genialer Weise in den
Elementen zusammen – mit Sicherheit das einflusreichste Mathematikbuch aller Zeiten.
Wir verdanken es Wissenschaftlern des islamischen
Kulturkreises wie THABIT IBN QURRA und NASIR AL-DIN
AL-TUSI, dass diese mathematische Enzyklopädie
erhalten wurde.
In Buch 7 der 13 Bücher (Kapitel) betrachtet er zwei Streckenlängen |AB| und |CD|:
Wenn CD aber AB nicht misst (d. h., wenn |AB| nicht ein Vielfaches von |CD| ist) und man
bei AB, CD abwechselnd immer das Kleinere vom Größeren wegnimmt, dann muss eine
Zahl übrig bleiben, welche die vorangehende misst.
So beschreibt EUKLID das Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers
zweier Zahlen – mithilfe einer geometrischen Methode.
(1) Erläutere den EUKLIDischen Algorithmus am Beispiel der Zahlen 30 und 48:
ggT(30; 48) = ggT(18; 30) = ggT(12; 18) = ggT(6; 12) = ggT(6; 6) = 6
(2) Betrachte das folgende Spiel auf einem Blatt Papier mit
Rechenkästchen: Gegeben ist ein Rechteck mit den
Seitenlängen 48 und 30. In diesen Rechteck zeichnet man ein
Quadrat ein mit Seitenlänge 30 (also ein möglichst großes
Quadrat). In die restliche Fläche kann man wieder ein möglichst
großes Quadrat einzeichnen usw. Wann endet das Spiel? Was
hat das Spiel mit dem EUKLIDischen Algorithmus zu tun?
(3) Von welchen Zahlen wird in den folgenden Bildern der ggT gesucht? Kann die Frage
eindeutig beantwortet werden?
(a)
(b)
(c)
(4) Den EUKLIDischen Algorithmus zu den Zahlen 48 und 30 kann man auch so
charakterisieren: [1; 1, 1, 2]; zum Bild in (a) gehört [1; 2, 2].
Welche Charakterisierung passt zu (b) bzw. zu (c)? Was ist das Besondere bei (c)?
Welche anderen Zahlenpaare haben ähnliche Eigenschaften wie (c)?
EUKLIDischer Algorithmus © Heinz Klaus Strick 2013
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MNU 66/4 (1.6.2013), ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss