Bearbeitungsvorschlag

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
SS 2017
Blatt 8
20.06.2017
Tutorium zur Vorlesung
Grundlagen der Mathematik II“
”
— Bearbeitungsvorschlag —
29. Zu betrachten ist ein gleichseitiges Dreieck ∆ABC mit der Seitenlänge a:
C
a
ru
M
ru
A
a
2
a
h
ri
H
a
2
B
Da die drei Seiten im Dreieck ∆ABC die gleiche Länge haben, ist jede der drei
Mittelsenkrechten gleichzeitig auch Höhe und Winkelhalbierende, und die Höhenfußpunkte stimmen mit den Seitenmittelpunkten überein; es bezeichne H den
Höhenfußpunkt von C auf der Seite [AB]. Ferner ist der Schnittpunkt M der
Mittelsenkrechten der Mittelpunkt sowohl des Umkreises als auch des Inkreises
des Dreiecks ∆ABC.
a) Für die Höhe h des gleichseitigen Dreiecks ∆ABC ergibt sich über den Satz
des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck ∆CAH
√
a 2
a 2
3
3
⇐⇒ h2 = a2 −
⇐⇒ h2 = a2 ⇐⇒ h =
a
a2 = h2 +
h>0
2
2
4
2
und damit für den Flächeninhalt des Dreiecks ∆ABC
√
√
1
1
3
3 2
F∆ABC = · a · h = · a ·
a=
a.
2
2
2
4
b) Für den Umkreisradius ru des gleichseitigen Dreieck ∆ABC ergibt sich über
den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck ∆M AH
a 2
1
2
ru =
+ (h − ru )2 = a2 + h2 − 2 · h · ru + ru2 ,
2
4
woraus sich
2 · h · ru =
und damit
1 2
1
3
a + h2 = a2 + a2 = a2
a) 4
4
4
√
a2
a
3
a2
√
ru =
=√ =
=
a
2 · h a) 2 · 3 a
3
3
2
ergibt. Für den Inkreisradius ri erhält man demnach
√
√
√
1
3
3
3
a−
a=
a = √ a.
ri = h − ru =
2
3
6
2 3
c) Im gleichseitigen Dreieck ∆ABC stimmen mit den drei Seitenlängen auch
die drei Innenwinkel überein und betragen jeweils 60◦ . Wir betrachten das
rechtwinklige Dreieck ∆CAH mit der Hypotenuse [CA] der Länge a, wobei
der Innenwinkel ^HAC = 60◦ die Gegenkathete [HC] der Länge h und die
Ankathete [AH] der Länge a2 besitzt. Damit ergibt sich nach Definition von
Sinus und Cosinus
√
h
sin 60◦ = =
a
3
2
a
a
=
1√
3
2
sowie
cos 60◦ =
a
2
1
= ,
a
2
woraus man dann
sin 30◦ = cos (90◦ − 30◦ ) = cos 60◦ =
sowie
cos 30◦ = sin (90◦ − 30◦ ) = sin 60◦ =
1
2
1√
3
2
erhält.
30. a) Für das Dreieck √
∆ABC mit dem Innenwinkel α = 45◦ und den beiden
Seitenlängen c = 6 und a = 2 erhalten wir mit Hilfe des Sinussatzes
√
√ √
√
sin γ
c
sin α
6
6
2
3
◦
=
⇐⇒ sin γ = · sin α =
· sin 45 =
·
=
a
c
a
2
2
2
2
und damit γ = 60◦ oder γ = 120◦ . Im Falle γ < 90◦ , also für γ = 60◦ mit
cos γ = 21 , erhalten wir dann mit Hilfe des Cosinussatzes für die verbleibende
Seitenlänge
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ ⇐⇒ b2 − 2 · a · b · cos γ + (a2 − c2 ) = 0,
also
b2 − 2 · 2 · b ·
√ 1 2
+ 2 − ( 6)2 = 0,
2
also b2 − 2 · b − 2 = 0,
und damit
b=
−(−2) ±
p
√
√
√
(−2)2 − 4 · 1 · (−2)
2 ± 12
=
= 1 ± 3 = 1 + 3.
b>0
2
2
b) Wir betrachten das Dreieck ∆ABC mit drei spitzen Innenwinkeln; ferner
seien HA der Höhenfußpunkt von A auf der Seite [BC] sowie HB der Höhenfußpunkt von B auf der Seite [AC].
• Die beiden Dreiecke ∆BCHB und ∆CAHA stimmen zunächst in den
beiden Innenwinkeln
^CHA A = 90◦ = ^CHB B
und ^ACHA = γ = ^HB CB,
folglich auch im Innenwinkel ^HA AC = ^CBHB überein; somit sind
die beiden Dreiecke ähnlich.
• In den beiden gemäß a) ähnlichen Dreiecken ∆BCHB und ∆CAHA
stimmt das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete des Winkels γ
überein, es gilt also
AC
BC
=
CHA
CHB
bzw.
AC · CHB = BC · CHA .
• Die beiden Dreiecke ∆ABC und ∆HB HA C stimmen im Innenwinkel
^ACB = ^HB CHA sowie gemäß
AC · CHB = BC · CHA ⇐⇒
AC
CHA
=
.
BC
CHB
im Verhältnis der diesem Winkel anliegenden Seiten überein; somit sind
die beiden Dreiecke ähnlich.
31. a) Wir betrachten ein beliebiges Dreieck ∆ABC mit den üblichen Bezeichungen
für die Seitenlängen und Innenwinkel. Für den Flächeninhalt des Dreiecks
∆ABC gilt
c
c
F = · hc = · b · sin α;
2
2
ferner gilt nach dem Sinussatz
b
c
=
sin β
sin γ
bzw.
b=
c · sin β
sin γ
und damit
F =
c
c c · sin β
c2 sin α · sin β
· b · sin α = ·
· sin α =
·
.
2
2
sin γ
2
sin γ
b) Die erste Aussage ist wahr, die zweite hingegen falsch; wir beweisen zunächst
die erste und widerlegen dann die zweite Behauptung.
• Sind die beiden Dreiecke ∆ABC und ∆A0 B 0 C 0 kongruent, so stimmen
sie nach dem SWS–Satz in zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen
Innenwinkel überein, es gilt also α = α0 , b = b0 und c = c0 und damit
nach der bekannten Flächenformel
F∆ABC =
c
c0
· b · sin α = · b0 · sin α0 = F∆A0 B 0 C 0 .
2
2
Alternativ läßt sich aus der Kongruenz der beiden Dreiecke ∆ABC und
∆A0 B 0 C 0 gemäß dem WSW–Satz folgern, daß sie in einer Seitenlänge
und den beiden anliegenden Innenwinkel übereinstimmen, es gilt also
α = α0 , β = β 0 und c = c0 ; damit stimmen sie auch im dritten Innenwinkel γ = γ 0 überein, und nach Teilaufgabe a) ergibt sich
F∆ABC
c02 sin α0 · sin β 0
c2 sin α · sin β
·
=
·
=
= F∆A0 B 0 C 0 .
2
sin γ
2
sin γ 0
Schließlich ließe sich von der Kongruenz der beiden Dreiecke ∆ABC
und ∆A0 B 0 C 0 zunächst über den SSS–Satz auf a = a0 , b = b0 und c = c0
und dann mit Hilfe der Formel von Heron auf die Flächengleichheit
F∆ABC = F∆A0 B 0 C 0 schließen.
• Die beiden rechtwinkligen Dreiecke ∆ABC und ∆A0 B 0 C 0 mit den rechten Winkeln γ = 90◦ = γ 0 und den Kathetenlängen a = 8 und b = 3
bzw. a0 = 12 und b0 = 2 besitzen zwar gemäß F∆ABC = 12 = F∆A0 B 0 C 0
den gleichen Flächeninhalt, sind aber aufgrund unterschiedlicher Seitenlängen gemäß dem SSS–Satz nicht kongruent.
32. a) Wir betrachten in der mit einem kartesischen x–y–Koordinatensystem versehenen Anschauungsebene den Punkt P = (x, y); dabei bezeichne zunächst
r seinen Abstand vom Ursprung O = (0, 0) sowie im Falle (x, y) 6= (0, 0)
dann α den gerichteten Winkel zwischen der positiven x–Achse und der
Halbgeraden [OP . Diese schneidet den Einheitskreis um O mit Radius 1
im Punkt (cos α, sin α) und damit den Kreis um O mit Radius r im Punkt
P = (r · cos α, r · sin α); damit ist also
x = r · cos α und y = r · sin α.
Diese Beziehung gilt auch für den Punkt P = (0, 0) mit r = 0 und einem
beliebigen Winkel α.
b) Wir betrachten einen Punkt P = (x, y) der Anschauungsebene mit den
Koordinaten
x = r · cos α und y = r · sin α,
der nun um das Drehzentrum Z = (0, 0) mit dem Drehwinkel δ gedreht
wird. Für die Koordinaten des Bildpunktes P 0 = (x0 , y 0 ) erhalten wir
x0 = r · cos(α + δ) und y 0 = r · sin(α + δ).
c) Mit Hilfe der Additionstheoreme erhalten wir
x0 =
=
=
r · cos(α + δ)
r · (cos α · cos δ − sin α · sin δ)
sin α} · sin δ
r| · cos
{z α} · cos δ − r| · {z
=x
= x · cos δ − y · sin δ
= cos δ · x − sin δ · y
=y
sowie
y0 =
=
=
r · sin(α + δ)
r · (sin α · cos δ + cos α · sin δ)
r| · {z
sin α} · cos δ + r| · cos
{z α} · sin δ
=y
=x
= y · cos δ + x · sin δ
= sin δ · x + cos δ · y
und damit die gewünschten Koordinaten
x0 = cos δ · x − sin δ · y
des Bildpunktes P 0 .
und y 0 = sin δ · x + cos δ · y