Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
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Vorlesung 10+11: Roter Faden: Heute: Harmonische Schwingungen Erzwungene Schwingungen Resonanzen Gekoppelte Schwingungen Schwebungen, Interferenzen Versuche: Computersimulation, Pohlsches Rad, Film Brücke, gekoppelte Pendel, Rotationsschwingung 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1 Formale Einführung der Zahl i Zahlenpaare sind extrem nützlich um Schwingungen zu beschreiben, da eine Schwingung durch ZWEI Zahlen beschrieben wird, nämlich Amplitude und Phase! 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 2 Darstellung der komplexen Zahlen x+iy = r (cosϕ + i sinϕ) = r e iϕ 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 3 Rechenregel 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 4 Ungedämpfte (harmonische) Schwingungen Lösung mit komplexen Zahlen: x(t)=A e iωt+ϕ. Einsetzen ergibt: -mω2 Ae iωt+ϕ= -k Ae iωt+ϕ x(t) = A e i√(k/m) t+ϕ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A cos √(k/m) t+ϕ 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 5 Kreisbewegungen Komponenten, d.h. Projektionen der Kreisbewegung auf Achsen sind sin und cos Funktionen! 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 6 Energieerhaltung bei ungedämpften Schwingungen Was passiert wenn Energieverluste durch Reibung auftreten? Reibung i.A. proportional vn, oft n≅1 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 7 Ein Körper der Masse m=2kg führt Schwingungen der Form s(t)=0,2*cos(3*t) aus (Einheit m,s). a) Gib Schwingungsdauer und Frequenz der Schwingung an. b) Bestimme die maximale kinetische Energie des Körpers. c) Wie groß ist die maximale Rückstellkraft, die der Körper erfährt? d) Berechne die Federkonstante des Systems. e) Worin unterscheidet sich die Bewegung von einer Bewegung der Form s(t)=0,2*sin(3*t). 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 8 Pendel als Drehbewegung r T Drehmoment M = r x F = dL/dt=d(r x p)/dt Oder -r x mg = d(r x mv)/dt =mr x dv/dt Oder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r) ϕ Oder, da a x (b x c)= b (a.c) –c (a.b), gilt -r x g = ω r2-r (r. ω) = ω r2 Fr α (Scalarprodukt r. ω=0 da r⊥ ω (=α) Oder -lgsin ϕ =l2 ϕ F=mg g=(0,0,g) (ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3/(3!)+… ≅ ϕ) Steigung 2π/√g Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ : ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω2 sin(ωt), √l Methnode um g zu messen 26.05.06 oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) , oder ω=√g/l =2π/T. Schwingungsdauer T=2π√(l/g) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 9 Konisches Pendel Seilkraft+Gewichtskraft liefern Zentripetalkraft Diskussion: cos α ∝ 1/ω2 d.h. desto größer Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit, desto kleiner cos α, desto höher fliegt Körper. Versuch mit Flugzeug. 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 10 Gedämpfte Schwingungen Addiere Reibungskraft –bv zur Federkraft –kx: 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 11 Gedämpfte Schwingungen Exponentieller Abfall Aperiodischer Grenzfall Kriechfall 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 12 Lösung mit komplexen Zahlen: x(t)=A eλt Einsetzen in mx+bx+kx=0 ergibt: mλ2 + b λ +k =0 oder λ = -b/2m ±1/(2m)√(b2-4mk) x(t) = A e –bt/2m e ± √(b2/4m2-k/m) t =A e –γt e ± iω t ω= 1/(2m) √(4mk-b2) =√(ω02- γ2) ω0= √ k/m γ=b/2m=1/τ Q= ω0 τ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A e –γt cos ω t (Anfangsphase 0 gesetzt) 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 13 Zusammenfassung der gedämpften Schwingungen Exponentieller Abfall Aperiodischer Grenzfall Kriechfall 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 14 Schwingungssimulator Simulator auf Webseite der Vorlesungen unter: SCHWING (Vorsicht: gibt nur Simulation der gedämpften Schwingungen OHNE Resonanzen) 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 15 Energie der gedämpften Schwingungen 2 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 16 Berechnung des Q-Faktors 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 17 Erzwungene Schwingungen (inhomogene DG hat gleiche Lösungen wie homogene DG + spezielle Lösung) 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 18 Erzwungene Schwingungen 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 19 Erzwungene Schwingungen 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 20 Erzwungene Schwingungen 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 21 Versuch: Pohlsches Rad F0cosωt 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 22 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 23 Gekoppelte Schwingungen, z.B. Atome 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 24 Gekoppelte Schwingungen 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 25 Additionstheoreme 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 26 Versuch: Gekoppelte Pendelschwingungen 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 27 Versuch: Gekoppelte Pendelschwingungen Pendelamplituden von 1 und 2 Schwebungen treten überall auf, wenn Schwingungsamplituden mit leicht unterschiedlichen Frequenzen addiert werden. 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 28 Schwebung bei gekoppelten Pendeln 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 29 Resonanzen bei erregten Schwingungen 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 30 Lissajous Figuren 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 31 Versuch: Lissajous Figuren 26.05.06 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 32 Zum Mitnehmen Erzwungene Schwingungen führen zu Resonanzen, wenn Erregerfrequenz und Eigenresonanz übereinstimmen 26.05.06 Gekoppelte Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen führen zu Schwebungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 33
