Seminar Analytische Zahlentheorie Vortrag 1

Seminar Analytische Zahlentheorie
Vortrag 1
Bruschek Clemens
1
1
Erinnerung
Im Folgenden sei an einige einfache Tatsachen aus Schule und Einführungsvorlesungen, die im Weiteren wesentlich sind, erinnert:
1.1
Teilbarkeit
Definition 1. Man sagt für d, n ∈ Z ”d teilt n” (Schreibweise: d|n) genau dann, wenn
n = c · d für ein gewisses c ∈ Z. In diesem Fall sagt man auch, daß n ein Vielfaches
von d, d ein Teiler von n oder auch d Faktor von n ist. Teilt d nicht n, so schreibt man
kurz: d - n.
Teilbarkeit stellt eine gewisse Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen her, welche
etwa folgende Eigenschaften besitzt:
Hilfssatz 1. Seien m, n, d, a, b, c ∈ Z; dann gilt:
1. n|n (Reflexivität)
2. d|n und n|m ⇒ d|m (Transitivität)
3. d|n und d|m ⇒ d|(an + bm) (Linearität)
4. d|n ⇒ ad|an (Multiplikative Eigenschaft)
5. ad|an und a 6= 0 ⇒ d|n (Kürzungsregel)
6. 1|n (1 teilt jede ganze Zahl)
7. m|0 (jede Zahl teilt 0)
1.2
Größter gemeinsamer Teiler
Satz + Definition 1. Seien a, b ∈ Z. Dann gibt es genau eine Zahl d ∈ Z mit:
1. d > 0
2. d|a und d|b
3. e|a und e|b ⇒ e|d
Diese Zahl d ∈ Z heißt ”größter gemeinsamer Teiler von a und b” und man schreibt:
d = ggT (a, b) = (a, b).
Bemerkung. Der ggT läßt sich etwa mithilfe des Euklidischen Algorithmus berechnen
(vgl. einführende VO Algebra).
Hilfssatz 2. (Eigenschaften des ggT ) Mit a, b, c ∈ Z gilt:
1. (a, b) = (b, a)
2. (a, (b, c)) = ((a, b), c)
3. (ac, bc) = |c|(a, b)
4. (a, 1) = (1, a) = 1
5. (a, 0) = (0, a) = |a|
Lemma 1. (Lemma von Euklid) Für a, b, c ∈ Z gilt: a|bc und (a, b) = 1 ⇒ a|c.
2
1.3
Fundamentalsatz der Arithmetik
Satz 1. Jede natürliche Zahl n > 1 läßt sich in bis auf Reihenfolge eineutiger Weise
als Produkt von Primfaktoren schreiben. Seien also p1 , . . . , pk die Primfaktoren von n
mit entsprechenden Vielfachheiten a1 , . . . , ak , so ist n als
n = pa1 1 · · · pakk
darstellbar.
Für Beweise der Sätze des letzten Kapitels und weiteren daraus resultierenden Folgerungen sei auf die Literatur verwiesen.
2
Zwei Beispiele Arithmetischer Funktionen
In der Zahlentheorie spielen Funktionen vom folgenden Typ eine besondere Rolle:
Definition 2. Eine reell- oder komplexwertige Funktion definiert auf den natürlichen
Zahlen heißt Arithmetische Funktion oder Zahlentheoretische Funktion. Dies sind also
Funktionen der Form f : N −→ R bzw. g : N −→ C.
Die Möbiusfunktion µ
2.1
Definition 3. Sei n = pa1 1 · · · pakk die bis auf Reihenfolge eindeutige Primfaktorzerlegung einer Zahl n ∈ N. Dann wird die Möbiusfunktion µ wie folgt definiert:
(i)
µ(1) := 1
(ii) für n > 1:
µ=
(−1)k
0
für a1 = a2 = . . . ak = 1
sonst
Bemerkung. µ(n) = 0 ⇔ n hat Quadratfaktoren größer 1.
Wertetabelle:
n
µ(n)
1
1
2
-1
3
-1
4
0
5
-1
6
1
7
-1
8
0
Satz 2. Sei n ≥ 1; dann gilt:
X
d|n
µ(d) =
1
1 wenn n = 1,
=
0 wenn n > 1.
n
3
9
0
10
1
Beweis. Für n = 1 ist die Aussage klar, da µ(1) = 1 = 11 . Sei nun n > 1; n läßt
sich wiederum schreiben als
n = pa1 1 . . . pakk
P
mit p1 , . . . , pk Primfaktoren von n. In d|n µ(d) kommen jene Terme ungleich null
von d = 1 und jenen Teilern von n, welche quadratfrei sind. Also:
X
µ(d) = µ(1) +
X
µ(pi ) +
X
i
d|n
µ(pi · pj ) + . . . + µ(p1 · · · pk ) =
i,j
k
X

µ
j=0
(mit p0 := 1). Elementare Kombinatorik
mit der Summe
1
ij
Y

pl 
l=i1
liefert Gleichheit des letzten Ausdruckes
k X
k
k
k
k
2
k
1+
(−1) +
(−1) + . . . +
(−1) =
(−1)j
1
2
k
j
j=0
welche sich nach dem Binomischen Lehrsatz zu
k X
k
j
j=0
(−1)j = (1 − 1)k = 0
berechnet.
2.2
Die Euler’sche ϕ - Funktion
Definition 4. Für n ≥ 1 ist die Euler’sche ϕ-Funktion an der Stelle n definiert als die
Anzahl von positiven ganzen Zahlen kleiner gleich n, welche relativ prim zu n sind,
also:
ϕ(n) = #{k; 0 < k ≤ n mit (k, n) = 1}
Oft wird
ϕ(n) =
n
X
0
1
k=1
geschrieben, wobei 0 andeuten soll, daß nur über jene Elemente aus {1, . . . , n} zu summieren ist, welche zu n relativ prim sind.
Wertetabelle:
n
ϕ(n)
1
1
2
1
3
2
4
2
5
4
6
2
7
6
8
4
9
6
10
4
Bemerkung. Aus der Definition ergibt sich unmittelbar, daß ϕ(p) = p − 1 für p prim
ist.
Wie im Fall für die Möbiusfunktion (vgl. Satz 1) gibt es auch eine Formel für die
Summe der ϕ -Funktion über die Teiler einer Zahl n:
1 Interpretiere
hierzu
n
k
als die Anzahl der Möglichkeiten k Elemente aus n Elementen auszuwählen!
4
Satz 3. Sei n ≥ 1; dann gilt:
X
ϕ(d) = n
d|n
Beweis. S := {1, 2, . . . , n}. Die Menge S läßt sich wie folgt disjunkt zerlegen. Für
alle Teiler d von n sei
A(d) := {k; (k, n) = d, 1 ≤ k ≤ n}.
A(d) besteht aus all jenen Elementen von S, die mit n größten gemeinsamen Teiler
gleich d haben. Die Mengen A(d) sind aufgrund der Eindeutigkeit des ggT disjunkt
und ergeben trivialerweise nach Vereinigung ganz S. Sei nun f (d) := #A(d). Dann
Ul
Pl
gilt (aus S = i=1 Ai ⇒ #S = i=1 #Ai (alle auftretenden Mengen sind endlich)
):
X
f (d) = n (∗)
d|n
und weiters ergeben sich aus den Rechenregeln für ggT und Ungleichungen die folgenden Äquivalenzen:
(k, n) = d
⇔ ( kd , nd ) = 1
0<k≤n
⇔0<
k
d
≤
n
d.
Mit q := kd erkennt2 man leicht, daß es eine Bijektion zwischen Elementen von A(d)
und jenen natürlichen Zahlen, die
0<q≤
n
n
und (q, ) = 1
d
d
erfüllen, gibt. Dabei bleibt insbesondere die Anzahl der Elemente erhalten. Die Anzahl
jener q ist per definitionem gerade ϕ( nd ) und somit schreibt sich (∗) als
X n
ϕ( ) = n.
d
d|n
Da nun aber jeder Ausdruck nd selbst ein Teiler von n ist, läßt sich in der Summe das
ϕ( nd ) durch ϕ(d) ersetzen, woraus die Behauptung folgt.
2.3
Einige Zusammenhänge
Zwischen Möbiusfunktion und Eulerscher ϕ-Funktion gibt es - wie im Folgenden gezeigt werden soll - einige sehr interessante Zusammenhänge.
Satz 4. Sei n ≥ 1; dann gilt:
ϕ(n) =
X
d|n
2 Beachte: k
d
∈ Z, da d|k.
5
µ(d)
n
d
Beweis. Die Definition von ϕ läßt sich auch schreiben als:
n X
1
ϕ(n) =
.
(n, k)
k=1
Mit Satz 1 und Eigenschaften des ggT folgt:
ϕ(n) =
n
X
X
µ(d) =
k=1 d|(n,k)
n X
X
k=1
µ(d)
()
d|n
d|k
Sei nun d ein fixierter Teiler von n. Dann erstreckt sich die Summation über jene k
(mit 1 ≤ k ≤ n), welche durch d teilbar sind, d.h. k = q · d für q ∈ N und 1 ≤ k ≤ n
⇔ 1 ≤ q ≤ nd . Somit:
n
() =
n
d
XX
µ(d) =
d|n q=1
X
µ(d)
d
X
1=
q=1
d|n
X
µ(d) ·
d|n
n
.
d
Satz 5. Sei n ≥ 1; dann gilt mit p prim
ϕ(n) = n ·
Y
p|n
1
1−
p
Beweis. Für n = 1 ist das Produkt leer, also per definitionem gleich 1 und die Behauptung ist wahr. Für n > 1: p1 , . . . , pr seien die Primteiler von n, dann gilt:
Y
r Y
X 1
X 1
1
1
(−1)r
1−
=
1−
=1−
+
+ ... +
.
p
pk
pi
pi pj
p 1 · · · pr
p|n
k=1
(Dabei ist die Summation über alle möglichen Konfigurationen zu verstehen). Jeder
Summand hat die Form ± d1 . Das Vorzeichen wird genau von µ(d) gesteuert. Somit:
X µ(d) Y 1
=
1−
.
d
p
d|n
p|n
Daraus folgt mit Multiplikation von n die Behauptung.
3
3.1
Ergänzungen
Alternative Definition der Möbiusfunktion
Anstatt die Möbiusfunktion wie in Kapitel 2.1 zu definieren, kann man alternativ Satz
2 als Definition heranziehen und die ”alte” Definition herleiten:
Sei also µ definiert als jene arithmetische Funktion, die
X
1
1 wenn n = 1,
µ(d) =
=
0 wenn n > 1.
n
d|n
erfüllt. Für n = 1 ist daraus µ(1) = 1 unmittelbar ablesbar. Um die Werte der Funktion
für n > 1 herzuleiten gehe man wie folgt vor:
6
1. Ist n = pk eine Primzahlpotenz, so ist

 1 für k = 0,
−1 für k = 1 .
µ(pk ) =

0 falls k > 1
Für k = 0 ist das klar. k=1: µ(1) + µ(p) = 0; daraus folgt Beh.. Für k > 1 folgt
die Behauptung mit Induktion.
2. Seien n1 , n2 ∈ N teilerfremd und n = n1 ∗ n2 , dann ist die Abbildung
{d1 ∈ N; d1 |n1 } × {d2 ∈ N; d2 |n2 } −→ {d ∈ N; d|n}; (d1 , d2 ) −→ d1 ∗ d2
bijektiv und es folgt mit Induktion nach n1 oder n2 : µ(n) = µ(n1 n2 ) = µ(n1 )µ(n2 ).
3. Damit folgt die Behauptung.
Literatur: Tom Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. Chpt. 3,4. Springer.
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