¨Ubungen zur Mathematik für Physiker I

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
WS 2007/2008
Übungen zur Mathematik für Physiker I
Prof. Dr. D. Dürr
Blatt 4
Aufgabe 1: Die Symbole ∧ ; ∨ stehen für die logischen “und” und “oder”, die Symbole ∀ ; ∃
stehen “für alle” und “es existiert”, die Symbolreihung {x|...} steht für die Menge aller x, die ...
erfüllen. Vervollständigen Sie in den folgenden Ausdrücken:
Seien M1 und M2 Mengen, dann gilt
(a) M1 ∩ M2 = {x|x ∈ .....}
(b) M1 ∪ M2 = {x|x ∈ .....}
(c) M1 ⊂ M2 ⇐⇒ ∀x ∈ ....
(d) Sei I 6= ∅ eine Indexmenge und (Mα )α∈I eine Familie von Mengen. Dann ist
[
Mα = {x|.....}
α∈I
und
\
Mα = {x|.....}
α∈I
(e) Sei Ω eine Menge und M ⊂ Ω. Dann bezeichnet Ω\M = M c := {ω ∈ Ω|ω ∈
/ M }. Sei
M1 ⊂ M2 ⊂ Ω. Zeigen Sie: M2c ⊂ M1c .
(f) Zeigen Sie
Ã
[
Mα
α∈I
!c
=
\
Mαc
α∈I
Hinweis: Gleichheit von Mengen A = B kann man zeigen, indem man A ⊂ B und B ⊂ A
(vgl. (c)) zeigt.
Aufgabe 2: Es seien X, Y, Z Mengen und f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Zeige: Für
g◦f :X → Z
gilt:
x 7→ g(f (x))
(a) f, g injektiv ⇒ g ◦ f injektiv.
(b) f, g surjektiv ⇒ g ◦ f surjektiv.
(c) g ◦ f injektiv ⇒ f injektiv.
(d) g ◦ f surjektiv ⇒ g surjektiv.
Aufgabe 3:
Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv? Welche sind surjektiv, welche bijektiv? Beweisen
Sie Ihre Aussage.
(a)
f :R→R
f (x) = sin x
(b)
g:R→R
g(x) = x3
Hinweis für Bedenkenträger: Den Zwischenwertsatz darf man hier benutzen!
(c)
h : Q+ → Q+
h(x) = x2
Q+ ⊂ Q bezeichnet hier die Menge aller positiven Brüche.
Aufgabe 4:
(a) Es sei X eine unendliche Menge. Zeige, daß es eine injektive Abbildung f : X → X gibt, die
nicht surjektiv ist und daß es eine surjektive Abbildung g : X → X gibt, die nicht injektiv
ist.
(b) Für welche endlichen Mengen M , N gilt: f : M → N ist injektiv ⇔ f : M → N ist surjektiv?
Beweisen Sie Ihre Aussage.
Aufgabe 5: Eine Menge X heißt abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung
f : X → N gibt. X heißt abzählbar, wenn X endlich oder abzählbar unendlich ist. Zeigen Sie:
(a) Das karthesische Produkt P = M × N zweier abzählbarer Mengen M und N (d.h. die Menge
aller Tupel (m, n) mit m ∈ M und n ∈ N ) ist abzählbar. Verallgemeinern Sie die Aussage
auf karthesische Produkte von mehr als zwei Mengen.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Sei (Mn )n∈N eine Familie von abzählbaren Mengen. Dann ist das unendliche karthesische Produkt
M = ×n∈N Mn
abzählbar.
Anmerkung: Man widerlegt Aussagen z.B. durch Auffinden eines Gegenbeispiels.
Pn
(c) Die Menge aller Polynome ( k=0 ak xk ) beliebigen Grades (n ∈ N ∪ {0}) mit rationalen
Koeffizienten (ak ) ist abzählbar.