BLATT 12

Logik für Informatiker
WS 2016/17
Dozent: PD Dr. Markus Junker
Assistent: Andreas Claessens
BLATT 12
(16.01.2017)
Aufgabe 1
Sei L eine Sprache, E ein zweistelliges Relationszeichen in L und TE die L-Theorie, die aussagt,
dass E die Gleichheitsaxiome erfüllt.
Wir definieren nun die Struktur M/E wie folgt:
• Universum M/E ist die Menge der Äquivalenzklassen von E.
• Für die Funktionszeichen f ∈ L gilt
f M/E (a1 /E, . . . , an /E) = f M (a1 , . . . , an )/E
• Für die Relationszeichen R ∈ L gilt
(a1 /E, . . . , an /E) ∈ RM/E ⇔ (a1 , . . . , an ) ∈ RM
(a) Zeigen Sie, dass die Struktur M wohldefiniert ist, d.h. dass die Auswertung der Funktionsund Konstantenzeichen unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.
(b) Sei π : M → M/E, m 7→ m/E die natürliche Projektion. Zeigen Sie, dass π ein starker
L-Homomorphismus ist.
(c) Zeigen Sie, dass E M/E die Gleichheit ist.
Aufgabe 2
Sei L0 = L \ {E}, wobei L und E wie in Aufgabe 1 gegeben sind. Sei φ eine L0 -Formel und φ∗
die L-Formel, die aus φ hervorgeht, indem man jedes τ1 =τ
˙ 2 durch Eτ1 τ2 ersetzt.
Zeigen Sie, dass in einer L-Struktur M für jede Belegung β gilt
M |= φ∗ [β] ⇔ M/E |= φ[β/E]
wobei β/E(vi ) = β(vi )/E ist.
Aufgabe 3
Sei L eine Sprache, T eine L–Theorie und ψ(v1 , . . . , vn , v0 ) eine L–Formel, in der die vi nicht als
gebundene Variablen vorkommen. Es gelte T ` ∀v1 . . . ∀vn ∃!v0 ψ(v1 , . . . , vn , v0 ), wobei ∃!v0 die
übliche Abkürzung für es gibt
neues
genau ein v0“ ist. Sei ff vein
n–stelliges Funktionszeichen,
”
0
0
1 ...vn
L := L ∪ {f } und T := T ∪ ∀v1 . . . ∀vn ψ v1 , . . . , vn , v0
.
(a) Zeigen Sie, dass jede atomare L0 -Formel äquivalent zu einer L0 -Formel ist, bei der jede
.
.
atomare Teilformel die Form vi = f τ1 . . . τn , vi = τ1 oder Rτ1 . . . τm hat, wobei in den
Termen τi das Zeichen f nicht vorkommt (In dieser Formel dürfen Existenzquantoren
.
.
.
vorkommen). Verwende hierzu Tricks wie τ1 = τ2 ∼ ∃v0 (v0 = τ1 ∧ v0 = τ2 ).
(b) Zeigen Sie, dass es zu jeder L0 –Formel φ eine L–Formel φ̂ mit T 0 ` (φ ↔ φ̂) gibt.
Hinweis: Verwenden Sie für den Induktionsanfang das Ergebnis von (a).
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Assistent: Andreas Claessens
Aufgabe 4
Wir betrachten die Sprache L = {f0 , f1 , c0 , c1 }, wobei die Funktionszeichen beide zweistellig
sind. Des Weiteren betrachten wir die L-Struktur N = (N, +, ·, 0, 1), d.h. f0M = +, f1N = ·,
N
cN
0 = 0 und c1 = 1.
(a) Werten Sie folgende Formeln in N aus und entscheiden Sie, ob die Struktur die Formeln
erfüllt oder nicht.
.
.
.
.
∃v0 ∃v1 ∃v2 ∀v4 ∀v5 (f1 v4 v5 = v0 → ((v4 = c1 ∨ v5 = c1 ) ∧ ¬v4 = v5 ))
.
.
.
.
.
∧ (f1 v4 v5 = v1 → ((f1 v4 v5 = v5 ∨ f1 v4 v5 = v4 ) ∧ ¬v1 = c1 ∧ ¬v2 = c0 ))
.
.
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.
.
∧ (f1 v4 v5 = v2 → ((v4 = v2 ∨ v5 = v2 ) ∧ ¬v2 = c1 ∧ ¬v2 = c0 ))
.
∧ f0 v0 v1 = v2
.
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∀v0 ((v0 = f0 f0 f0 f0 11111 → ∀v0 v0 = f0 f0 f0 f0 11111) → ∀v1 (¬v0 = v1 → ∃v0 v0 + v0 = v1 ))
(b) Finden Sie zu folgenden Aussagen jeweils eine äquivalente prädikatenlogische L-Aussage:
• Das Polynom x3 − 4x2 + x + 6 hat (mindestens) eine Nullstelle in N.
• Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Abgabe bis Montag 23.01.2017, 10 Uhr,
im Briefkasten in Gebäude 51 (siehe Briefkastenaufschrift)
Auf die Abgaben gehören die Namen der Abgebenden und die Gruppennummer!!!