Kohärente Zustände, Tensorprodukt, Zweikörper System

Universität des Saarlandes
Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät (NT)
Fachrichtung Physik
Prof. Dr. L. Santen
Dr. C. Arita
E. Maikranz (Mail: [email protected])
Web: http://santen.physik.uni-saarland.de/
Saarbrücken, den 14.06.2017
Blatt 9 zur Theoretischen Physik III, SS2017
(Abgabe bis 21.06.2017, 14.00 Uhr)
Aufgabe 1 Kohärente Zustände des harmonischen Oszillators [4 + 4 + 4 + 8 = 20 Punkte]
Wir betrachten den harmonischen Oszillator in einer Dimension.
† −α∗ a
a) Der Verschiebungsoperator D(α) (α ∈ C) ist definiert durch D(α) = eαa
üblich die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind. Zeigen Sie
1
2
†
i) D(α) = e− 2 |α| eαa e−α
∗a
ii) D† (α) = D−1 (α) = D(−α)
, wobei a† und a wie
iii) D(α)aD(−α) = a − α .
1
Hinweis: Verwenden Sie die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eA+B = eA eB e− 2 [A,B] . Diese folgt aus
dem Hadamard Lemma das wir auf Blatt 2 angesprochen haben und gilt wenn [A, B] eine Zahl ist.
b) Der kohärente Zustand |αi ist definiert als ein Eigenzustand von a, i.e. a|αi = α|αi.
i) Zeigen Sie |αi = D(α)|0i. Hinweis: Man zeigt schnell aD(−α)|αi = 0.
ii) Berechnen Sie h0|αi. iii) Drücken Sie |αi in Abhängigkeit der |ni’s aus.
c) Das System befinde sich im Zustand |αi. Berechnen Sie
2
i) hN i ii) hn|αi
d) Wir betrachten nun die Zeitentwicklung der Wellenfunktion |ψ(t)i, mit Anfangszustand |ψ(0)i = |αi.
i) Zeigen Sie |ψ(t)i = e−iωt/2 |α(t)i mit α(t) = αe−iωt .
ii) Berechnen Sie x̄(t) = hX(t)i.
iii) Berechnen Sie Wahrscheinlichkeitsdichte zum Zeitpunkt t.
Hinweis: Das Ergebnis ist gaußverteilt.
Aufgabe 2 Tensorprodukt [4 + 7 + 5 = 16 Punkte]
a) Sei {|1i, |2i, · · · , |nj i} eine Basis des Vektorraums Vj , j = 1, 2. (Der Einfachheit halber betrachten wir
nur endlichdimensionale Vektorräume) Wir führen den neuen Vektorraum V1 ⊗ V2 mit Basis {|µi ⊗
|νi} 1≤µ≤n1 ein und definieren das Tensorprodukt von Vektoren
1≤ν≤n2
|ψ1 i =
n1
X
αν |νi ,
|ψ2 i =
ν=1
n2
X
βν |νi
ν=1
als
|ψ2 i ⊗ |ψ2 i =
n1 X
n2
X
µ=1 ν=1
αµ βν |µi ⊗ |νi .
Diese Tensorprodukte sind die Elemente von V1 ⊗ V2 .
In a) und b) betrachten wir nur den einfachen Fall n1 = n2 = 2.
a
c
und |ψ2 i = c|1i+d|2i =
. Drücken Sie |ψ1 i⊗|ψ2 i als Zeilenvektor
b
d
aus. Nehmen Sie dabei folgende Reihenfolge der Basisvektoren an |1i ⊗ |1i, |1i ⊗ |2i, |2i ⊗ |1i,
|2i ⊗ |2i.
i) Sei |ψ1 i = a|1i+b|2i =
ii) Für Dualräume V1∗ und V2∗ , ist das Tensorprodukt definiert indem man
Bras ersetzt.
die Kets durch
0
0
Weiterhin gelte für das Skalarprodukt der Basisvektoren hµ | ⊗ hν | |µi ⊗ |νi = δµ0 µ δν 0 ν .
Zeigen Sie hΨ|Ψi = hψ1 |ψ1 ihψ2 |ψ2 i für |Ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i.
b) Als nächstes führen wir das Tensorprodukt A⊗B für lineare Operatoren A (V1 → V1 ) und B (V2 → V2 )
via
(A ⊗ B) |ψ1 i ⊗ |ψ2 i = A|ψ1 i ⊗ B|ψ2 i ein.
i) Schreiben Sie für den Fall A =
A ⊗ B als eine 4 × 4 Matrix .
a b
c d
,B=
e f
g h
ii) Sei I die Einheitsmatrix. Zeigen Sie folgende Relationen:
α) (A ⊗ B)(A0 ⊗ B 0 ) = (AA0 ) ⊗ (BB 0 )
β) [A ⊗ I, I ⊗ B] = 0
0
00
0
γ) [A ⊗ I, A ⊗ I] = A ⊗ I falls [A, A ] = A00
δ) (A ⊗ I + I ⊗ B)2 = A2 ⊗ I + I ⊗ B 2 + 2A ⊗ B
iii) Seien die Eigenwerte von A {a1 , · · · , an1 } und von B {b1 , · · · , bn2 }.
Bestimmen Sie die Eigenwerte von A ⊗ I + I ⊗ B.
c) Sei n1 = n2 . Der Permutations Operator P, ist definiert als P (|µi ⊗ |νi) = |νi ⊗ |µi.
i) Geben Sie für n1 = n2 = 2, die Matrixdarstellung von P an.
ii) Bestimmen Sie die Eigenwerte von P.
iii) Für Systeme mit zwei identischen Teilchen hat der Hamilton Operator die Form H = A⊗I +I ⊗A.
Zeigen Sie, dass H und P kommutieren.
Bemerkung: Die gemeinsamen Eigenzustände von H und P mit Eigenwerten 1 (−1) für P gehören
zu Bosonen (Fermionen).
Aufgabe 3 Zweikörper System [1 + 3 = 4 Punkte]
Wir betrachten die Schrödinger-Gleichung mit Hamilton Operator H =
Beachten Sie das die Massen verschieden sind.
1
2
2m1 P1
+
1
2
2m2 P2
+V.
a) Es gelte für das Potential V = V1 (X1 ) + V2 (X2 ). Daher kann man den Hamilton Operator als H =
1
H1 + H2 mit Hj = 2m
Pj2 + Vj (Xj ) (∗) schreiben.
Nehmen Sie an die Teilchen sind zum Zeitpunkt t = 0 in den Eigenzuständen |Ej i mit Energien Ej
(j = 1, 2).
Bestimmen Sie die zeitabhängige Lösung der Schrödinger Gleichung.
b) Nun gelte für das Potential V = V (|X1 − X2 |), i.e. das Potential ist eine Funktion der Abstände der
Teilchen. In diesem Fall kann der Hamilton Operator nicht wie in (∗) zerlegt werden. Stattdesen führen
wir die neuen Variablen xa = αx1 + βx2 , xb = x1 − x2 ein.
Bestimmen Sie die Koeffizienten α, β (α + β = 1), und neue Massen ma und mb , sodass H = Ha + Hb
gilt.