Übungsklausur Analysis

Übungsklausur Analysis
Frage 1
Vervollständigen sie die folgenden Denitionen:
a) Eine Folge {xn }n∈N in einem metrischen Raum (X, d) heiÿt Cauchy-Folge, falls ...
b) Eine Folge {xn }n∈N in einem metrischen Raum (X, d) heiÿt konvergent, falls ...
c) Eine Funktion f : (X, dX ) −→ (Y, dY ) zwischen metrischen Räumen heiÿt stetig
in p ∈ X , falls ...
d) Eine Funktion f : [a, b] −→ R heiÿt Regelfunktion, falls ...
Frage 2
Bestimmen sie folgende Grenzwerte:
a) lim
sin2 x
2
x−→0 x
b) lim
xn +ex
x
x−→∞ e
(n ∈ N)
Frage 3
Ist durch f (x) :=
Frage 4
Bestimmen Sie
d
dx
Rx2
x2
3
x∈
/Z
eine Regelfunktion f : [0, 2008] −→ R gegeben?
x∈Z
sin(t) dt
0
1
Aufgabe 1
Beweisen sie mit vollständiger Induktion, dass 2n3 + 3n2 + n für alle n ∈ N durch 6
teilbar ist.
Aufgabe 2
Bestimme die folgenden Grenzwerte:
a) lim 3
√
n
n−→∞
2n2
b) lim
(n−2)2
2 +3n−1
2n
n−→∞
Aufgabe 3
Welche der folgenden Reihen konvergieren bzw. divergieren?
∞
∞
∞
P
P
P
1
n2 +1
a) (−1)n n+1
c)
b)
2
n
n(n+1)(n+2)
n!
n=1
n=1
n=1
Aufgabe 4
Sei M ⊂ R>0 eine nicht-leere Teilmen der Menge der positiven, reellen Zahlen. Zeige,
dass die Menge
A :=
1
x ∈ M
x
genau dann nach oben beschränkt ist, wenn inf (M ) > 0 gilt.
Aufgabe 5
Welche der folgenden Funktionenfolgen {fn }n∈N konvergieren für n −→ ∞ punktweise
auf ]0, ∞[? Welche konvergieren sogar gleichmäÿig?
a) fn (x) := sin(nx)
b) fn (X) := n1 cos(nx)
Aufgabe 6
Berechnen sie folgende Integrale:
a)
Rπ
π
2x cos(x) dx
0
b)
R2
sin2 (x) dx
c)
−1
R
xe−x
2 +1
dx
−2
0
Aufgabe 7
Eine Funktion f :]a, b[−→ R heiÿt Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L ∈ R>0 ,
falls |f (x) − f (y)| ≤ L |x − y| ∀x, y ∈]a, b[. Zeigen Sie, dass jede Lipschitz-stetige Funktion stetig ist. Ist jede Lipschitzstetige Funktion auch gleichmäÿig stetig?
Aufgabe 8
Sei f :]a, b[−→ R eine stetig dierenzierbare Funktion mit f 0 (x) 6= 1 ∀x ∈]a, b[. Zeigen
sie, dass dann höchstens ein x ∈]a, b[ mit f (x) = x existiert.
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