2. Übung zur Analysis I im WS 2013/14 Hausübungen

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Patrizio Neff
Christian Thiel
22.10.2013
2. Übung zur Analysis I im WS 2013/14
Präsenzaufgabe 1:
Für welche x ∈ R wird die Ungleichung
p
i)
x2 + 1 + 2 − x ≥ 0
ii) 6 +
5
> 4,
x
erfüllt?
Präsenzaufgabe 2:
Seien A, B, C beliebige Mengen. Beweisen Sie die folgenden Ausagen:
a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) ,
b) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) .
Hinweis: Eine Skizze kann hilfreich sein. . .
Präsenzaufgabe 3:
Sei a eine nichtnegative reelle Zahl. Zeigen Sie: Ist a kleiner oder gleich jeder beliebig vorgegebenen Schranke ε, so
muss a = 0 gelten. Mit Quantoren können wir diese Aussage auch kürzer formulieren:
(∀ ε > 0 : 0 ≤ a ≤ ε) ⇒ a = 0 .
Hinweis: Was wäre denn, wenn a 6= 0 ist. . . ?
Präsenzaufgabe 4:
Seien a, b ∈ N und M := {k ∈ N | ∃ l ∈ N : 2l = k}. Welche der Symbole ∨, ∧, ⇐, ⇒, ⇔ können Sie sinnvoll bei einsetzen, damit korrekte Aussagen entstehen?
i) a ∈ M
b∈M
a+b∈M,
ii) a ∈ M
b∈M
a·b∈M,
iii) a ∈ M
b∈M
∃ k ∈ N : 4k = a · b .
Hausübungen
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Es seien a und b positive reelle Zahlen und n eine natürliche Zahl mit n ≥ 2. Beweisen Sie, dass folgende Aussage
gilt:
Für alle positiven reellen Zahlen x, die die Ungleichung
xn ≤ ax + b
erfüllen, ist
x<
√
n−1
2a +
√
n
2b .
Aufgabe 2: (4 Punkte)
Lösen Sie nach e auf:
s
b+c·d
a=
(e − f ) · g
Hinweis: Für welche b, c, d, e, f, g ist der obige Ausdruck überhaupt wohldefiniert?
1
Aufgabe 3: (3+3 Punkte)
Seien X und Ai für i ∈ {1, . . . , n} beliebige Mengen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
!
!
n
n
n
n
\
\
\
[
a)
(X ∪ Ai ) = X ∪
Ai ,
b) X \
Ai =
(X \ Ai ) .
i=1
i=1
i=1
i=1
Aufgabe 4: (6 Punkte)
Seien a und b zwei reelle Zahlen. Zeigen Sie: Ist für jede Schranke ε > 0 dann a kleiner oder gleich der Summe b + ε,
so gilt bereits a ≤ b. Mit Quantoren lässt sich diese Aussage auch kürzer formulieren:
(∀ ε > 0 : a ≤ b + ε) ⇒ a ≤ b .
Hinweis: Könnte Präsenzaufgabe 3 helfen?
Aufgabe 5: (2+2+2 Punkte)
Setzen Sie für jeweils eines der Symbole >, <, =, ⇐, ⇒, ⇔, ∧, ∨ ein, sodass eine korrekte Aussage entsteht.
a) ∀ n 12 :
2n
163
103
1000
c)
b) a < b < c a < c b < c
x2 + 2
> −8
−7
⇔
x2 + 2 56
x2 < 100
x < 10
Abgabe: Bis Mittwoch, 30.10.2013, 18 Uhr, im Übungskasten im Foyer des WSC. Bitte benutzen Sie
für alle Hausaufgaben ausschließlich weißes Blankopapier, einseitig beschriftet in blau oder schwarz,
durchgehend nummeriert und links oben getackert. Bitte verwenden Sie keine Hefter, Ordner oder
Klarsichthüllen. Achten Sie auf Ihre Handschrift und Leserlichkeit. Für viele von Ihnen könnte es
sinnvoll sein mit Füller zu schreiben. Pro Hausübung gibt es 3 Zusatzpunkte für Ordnung, Handschrift
und Leserlichkeit.
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