§2 Dreiecke

Mathematische Probleme, SS 2017
Montag 12.6
$Id: dreieck.tex,v 1.33 2017/06/12 15:01:14 hk Exp $
§2
Dreiecke
2.1
Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Wir beschäftigen uns gerade mit den Konstruktionsaufgaben für Dreiecke mit gegebenen Seiten beziehungsweise Winkeln. Wir kennen bereits den SSS-Satz bei dem alle
drei Seiten gegeben sind sowie die SWS- und SSW-Sätze bei denen zwei Seiten und ein
Winkel vorgegeben werden. Es verbleibt nur noch der SWW-Satz bei dem eine Seite
und zwei Winkel bekannt sind. Als Vorbereitung für diesen Satz wollen wir wiederum
beweisen das die Winkelsumme im Dreieck immer π ist.
Satz 2.5 (Winkelsumme im Dreieck)
Sei ∆ = ABC ein Dreieck und bezeichne α, β, γ die Winkel von ∆ in den Standardbezeichnungen. Dann gilt α + β + γ = π.
C
l
α
r
n
β
γ
w
v
α
A
β
u
m
B
g
h
Beweis: Durch eventuelles Umbenennen der Ecken A, B, C können wir annehmen das
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∆ orientiert ist. Bezeichne m die Verbindungsgerade von A und B, g die von B und
C und h die von C und A. Nach §1.Lemma 5.(c) existiert eine Gerade n ⊆ R2 mit
C ∈ n und m k n. Weiter bezeichne u ⊆ m den Strahl mit Startpunkt A und B ∈ u,
u0 ⊆ m den Strahl mit Startpunkt B und A ∈ u0 , v ⊆ g den Strahl mit Startpunkt
B und C ∈ v, v 0 ⊆ g den Strahl mit Startpunkt C und B ∈ v 0 , w ⊆ h den Strahl
mit Startpunkt C und A ∈ w sowie w0 ⊆ h den Strahl mit Startpunkt A und C ∈ w0 .
Bezeichnet H die Halbebene mit affinen Rand g die A nicht enthält, also A ∈
/ H, so
ist r := H ∩ n ⊆ n nach §1.Lemma 18 ein Strahl mit Startpunkt C. Wählen wir einen
Punkt R ∈ r\{C} so liegen A und R auf verschiedenen Seiten von g. Schließlich seien
l der r gegenüberliegende Strahl und v 00 ⊆ v ⊆ g der Strahl mit Startpunkt C.
Es gilt ](w, v 0 ) = γ und nach dem Stufenwinkelsatz §1.Satz 34.(a) sind auch
](r, w0 ) = ](BAC) = α und ](l, v 00 ) = ](u0 , v) = β.
Für die diesen Winkeln jeweils gegenüberliegenden Winkel folgen damit auch ](l, w) =
α und ](v 0 , r) = β. Nach Lemma 4 liegen r und B auf derselben Seite von h und da
l und r nach §1.Lemma 18 auf verschiedenen Seiten von h liegen, sind l und B auf
verschiedenen Seiten von h. Da ABC orientiert ist liegt B links von w, also ist l rechts
von w und nach Aufgabe (18.a) gilt π < ∠(w, l) < 2π, und wegen ∠(l, w) = 2π−∠(w, l)
auch 0 < ∠(l, w) < π. Wieder da ABC orientiert ist liegt A und damit auch w links
von v, also ist w rechts von v 0 und wieder nach Aufgabe (18.a) ist π < ∠(v 0 , w) < 2π,
also ergibt ∠(w, v 0 ) = 2π − ∠(v 0 , w) auch 0 < ∠(w, v 0 ) < π. Schließlich liegt r auf der
anderen Seite von g als A und ein weiteres Mal da ABC orientiert ist, ist r rechts von
v, also links von v 0 und Aufgabe (18.a) liefert 0 < ∠(v 0 , r) < π. Damit haben wir
σ := α + β + γ = ](l, w) + ](w, v 0 ) + ](v 0 , r) = ∠(l, w) + ∠(w, v 0 ) + ∠(v 0 , r).
Folglich unterscheidet sich σ ∈ (0, 3π) nur um ein Vielfaches von 2π von ∠(l, r) = π,
es muss also σ = π sein.
Damit können wir nun zur Dreieckskonstruktion mit zwei gegebenen Winkeln kommen.
Da die Winkelsumme 180◦ ist, spielt es dabei keine Rolle welche Winkel vorgegeben
werden, sind zwei Winkel bekannt so stehen bereits alle drei Winkel fest. Der entstehende Satz ist dann der sogenannte Kongruenzsatz Seite–Winkel–Winkel, also SWW, und
zur Berechnung der fehlenden Seitenlängen verwenden wir den sogenannten Sinussatz,
den wir zunächst einmal formulieren und beweisen wollen. Hierzu brauchen wir den
Begriff der Höhen eines Dreiecks, ist ∆ ein Dreieck und A eine Ecke von ∆ so nennt
man das Lot von A auf die Verbindungsgerade l der beiden anderen Ecken von ∆ die
Höhe von ∆ durch A beziehungsweise die Höhe von ∆ auf l, der Lotfußpunkt Ha von A
auf l heißt dann der Höhenfußpunkt von ∆ auf l. Oft werden auch die Strecke Ha A oder
deren Länge ha := |Ha A| als die Höhe bezeichnet, dass das Wort Höhe“ dadurch mit
”
drei verschiedenen Bedeutungen belegt ist, ist zwar etwas unglücklich aber üblich. Ist
∆ = ABC so bezeichnet man die Höhenfußpunkte beziehungsweise die Höhen von ∆
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durch A, B, C in den Standardbezeichnungen als Ha , Hb , Hc beziehungsweise ha , hb , hc .
Satz 2.6 (Der Sinussatz)
Sei ∆ ein Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ in der Standardbezeichnung.
Dann gilt
sin β
sin γ
sin α
=
=
a
b
c
und bezeichnet ha , hb , hc die Höhen auf den jeweiligen Seiten a, b, c so haben wir
ha = c · sin β = b · sin γ, hb = c · sin α = a · sin γ, hc = b · sin α = a · sin β,
Beweis: Wir beginnen mit der Aussage über die Höhen und dabei reicht es hc = b·sin α
zu zeigen, die anderen Gleichungen gehen aus dieser durch Umbezeichnungen hervor.
Wir schreiben h = hc . Im Fall α = π/2 fallen h und b zusammen und wegen sin(π/2) =
1 ist in diesem Fall sofort h = b · sin α. Wir können also α 6= π/2 annehmen und es
treten drei mögliche Fälle auf.
b
α
a
h
b
h
a
α
p
c
p
h
a
b
p
α
c
Fall 1
c
Fall 2
Fall 3
Im ersten Fall ist 0 < α < π/2 und h liegt im Dreieck. Dann lesen wir den Sinus
von α im links auftauchenden rechtwinkligen Dreieck ab und haben sin α = h/b, also
h = b · sin α. Im zweiten Fall ist 0 < α < π/2 weiterhin ein spitzer Winkel aber h
liegt außerhalb des Dreiecks. Dann verlängern wir die Seite c wie gezeigt zu einem
rechtwinkligen Dreieck und in diesem lesen wir den Sinus von α wieder als sin α = h/b
ab, haben also wieder h = b·sin α. Im letzten Fall ist π/2 < α < π ein stumpfer Winkel.
Betrachten wir dann das links auftauchende rechtwinklige Dreieck ACH wobei H der
Fußpunkt von h = hc auf AB ist, so liegt in diesem bei A der Winkel π − α an, also ist
sin α = sin(π − α) =
h
also erneut h = b · sin α.
b
Der eigentliche Sinussatz ist jetzt eine unmittelbare Folgerung, wegen
c · sin β = b · sin γ ist
sin β
sin γ
=
b
c
und wegen
c · sin α = a · sin γ haben wir auch
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sin α
sin γ
=
.
a
c
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Damit ist der Sinussatz vollständig bewiesen.
Nun kommen wir zum finalen Kongruenzsatz SWW:
Satz 2.7 (Dreiecksberechnung bei einer Seite und zwei Winkeln)
Seien c > 0 und 0 < α, β < π gegeben. Dann existiert genau dann ein Dreieck ∆ =
ABC mit |AB| = c und Winkeln α bei A und β bei B wenn α + β < π ist. In diesem
Fall ist ∆ bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt und es gelten
sin α
· c,
a =
sin(α + β)
sin β
b =
· c,
sin(α + β)
γ = π − α − β.
Beweis: Da die Winkelsumme im Dreieck nach Satz 5 gleich π ist, ist die Bedingung
α + β < π notwendig für die Existenz eines passenden Dreiecks. Nun nehme umgekehrt α + β < π an. Dann tragen wir eine Strecke AB der Länge |AB| = c ab und
bilden im Winkel α einen von A ausgehenden Strahl und im Winkel β einen von B
ausgehenden Strahl so, dass diese beiden Strahlen auf derselben Seite H der AB enthaltenden Geraden liegen und sich gegenüberliegen. Nach dem Parallelelaxiom §1.Satz
34.(b) schneiden sich die beiden Strahlen in einem Punkt C ∈ H und dann ist ABC ein
Dreieck mit |AB| = c und Winkel α bei A und β bei B. Damit ist die Existenzaussage
bewiesen, und wir kommen nun zur Eindeutigkeit.
Sei also ein beliebiges Dreieck ∆ des gesuchten Typs gegeben. Dann ist γ = π−α−β
und mit dem Sinussatz Satz 6 folgen
sin α
sin α
sin α
a=
c=
·c=
·c
sin γ
sin(π − (α + β))
sin(α + β)
und ebenso
sin β
sin β
b=
c=
· c.
sin γ
sin(α + β)
Insbesondere ist ∆ bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt.
Zusammenfassend haben wir damit die folgenden Kongruenzaussagen eingesehen: Zwei
Dreiecke sind genau dann kongruent wenn sie
• in allen drei Seiten,
• in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel,
• in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel,
• in einer Seite und zwei Winkeln
übereinstimmen.
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Ähnliche Dreiecke
Wir hatten zwei Dreiecke kongruent genannt wenn sie sich durch eine Bewegung der
Ebene ineinander überführen lassen und hatten uns überlegt das dies genau dann der
Fall ist wenn in ihnen entsprechende Seiten gleich lang sind. Wir wollen diesen Begriff
nun noch etwas abschwächen und sogenannte ähnliche Dreiecke einführen.
Definition 2.1 (Ähnliche Dreiecke)
Man nennt zwei Dreiecke ∆, ∆0 ähnlich zueinander wenn in ihnen entsprechende Winkel
kongruent sind, wenn also in den Standardbezeichnungen α = α0 , β = β 0 und γ = γ 0
gelten.
Mit den Kongruenzsätzen des vorigen Abschnitts ist es auch leicht einige Ähnlichkeitskriterien für Dreiecke anzugeben.
Satz 2.8 (Charakterisierungen ähnlicher Dreiecke)
Seien ∆, ∆0 zwei Dreiecke deren Seiten und Winkel gemäß der Standardbezeichnungen
als a, b, c, α, β, γ beziehungsweise a0 , b0 , c0 , α0 , β 0 , γ 0 benannt sind. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Die Dreiecke ∆ und ∆0 sind ähnlich.
(b) Entsprechende Seiten haben dieselben Verhältnisse, also
a
a0 a
a0 b
b0
= 0 , = 0 , = 0.
b
b c
c c
c
(c) Ein Paar entsprechender Winkel und das Verhältniss der angrenzenden Seiten sind
gleich.
(d) Das Verhältniss zweier entsprechender Seiten und die der jeweiligen größeren Seite
gegenüberliegenden Winkel sind gleich.
(e) Zwei Paare entsprechender Winkel sind gleich.
Beweis: (a)⇐⇒(e). Klar nach Satz 5.
(a)=⇒(b). Nach dem Sinussatz Satz 6 gilt
a
sin α
sin α0
a0
=
=
=
b
sin β
sin β 0
b0
und die Gleichheit der anderen Verhältnisse ergibt sich analog.
(b)=⇒(a). Nach Satz 1 gilt
2
b + c 2 − a2
1 b c a a
α = arccos
= arccos
+ − ·
2bc
2 c b b c
0
1 b
c0 a0 a0
+ − 0 · 0
= α0 ,
= arccos
2 c 0 b0
b c
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und analog ergeben sich auch β = β 0 und γ = γ 0 .
(a)=⇒(c). Klar da die Implikation von (a) nach (b) bereits gezeigt ist.
(c)=⇒(b). Sei etwa b/c = b0 /c0 und α = α0 , die anderen beiden Fälle ergeben sich
dann durch Umbezeichnungen. Nach Satz 3 gilt
s
r
0 2
c 2
c
c
c0
a0
a
= 1+
− 2 · cos α = 1 + 0 − 2 0 · cos α0 = 0 ,
b
b
b
b
b
b
und analog folgt auch a/c = a0 /c0 .
(a)=⇒(d). Klar da die Implikation von (a) nach (b) bereits gezeigt ist.
(d)=⇒(c). Beachte das durch das Verhältnis zweier Seiten festgelegt ist welches die
größere der beiden ist, daher entsprechen sich auch die der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel in beiden Dreiecken. Bis auf Umbezeichnungen können wir b/c = b0 /c0
und β = β 0 annehmen. Mit Satz 2 folgt
s s 2
2
a0
a
b
b0
2 0
−
sin
β
=
,
= cos β +
− sin2 β = cos β 0 +
c
c
c0
c0
und wir haben die Situation von (c) hergestellt.
Als ein Beispiel wollen wir einmal das sogenannte Mittendreieck diskutieren.
C
B’
A’
Sm
A
C’
B
Gegeben sei ein Dreick ∆ = ABC mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ. Dann bilden
wir den Mittelpunkt A0 der Strecke BC, den Mittelpunkt B 0 der Strecke AC und
schließlich den Mittelpunkt C 0 der Strecke AB, es gelten also
a
b
c
|A0 B| = |A0 C| = , |B 0 A| = |B 0 C| = und |C 0 A| = |C 0 B| = .
2
2
2
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Mit diesen drei Mittelpunkten bilden wir dann das sogenannte Mittendreieck A0 B 0 C 0
und wir wollen einsehen das dieses zu ∆ ähnlich ist und halb so große Seitenlängen
hat.
Lemma 2.9 (Lemma über das Mittendreieck)
Sei ∆ = ABC ein Dreieck mit Mittendreieck ∆0 = A0 B 0 C 0 . Dann sind die vier Dreiecke
∆0 , C 0 BA0 , B 0 A0 C und AC 0 B 0 alle zueinander kongruent und alle ähnlich zu ∆ mit halb
so großen Seitenlängen. Weiter sind A0 B 0 parallel zu AB, A0 C 0 parallel zu AC und B 0 C 0
parallel zu BC.
Beweis: Bezeichne die Seiten und Winkel in ∆ gemäß der Standardbezeichnungen. Im
Dreieck C 0 BA0 ist der Winkel bei B gleich β und das Verhältniss der beiden anliegenden
Seiten ist
1
a
|A0 B|
a
2
=
1 = ,
0
|C B|
c
c
2
also sind ∆ und C 0 BA0 nach Satz 8 ähnlich. Wieder nach Satz 8 ist damit auch
1
|A0 C 0 |
|A0 C 0 |
b
=
= , also |A0 C 0 | = b,
1
0
|BC |
c
2
c
2
das Dreieck C 0 BA0 hat also halb so große Seitenlängen wie ∆. Analog schließen wir für
B 0 A0 C und AC 0 B 0 , und insbesondere sind diese drei Dreiecke zueinander kongruent.
Damit hat das Mittendreieck ∆0 = A0 B 0 C 0 die Seitenlängen
1
1
1
a0 = |B 0 C 0 | = a, b0 = |A0 C 0 | = b und c0 = |A0 B 0 | = c,
2
2
2
ist also ebenfalls zu ∆ ähnlich mit halbierten Seitenlängen und zu den anderen drei
Dreiecken kongruent. Die Aussagen über die Parallelität sind eine unmittelbare Folgerung, da B 0 A0 C ähnlich zu ABC ist stimmen die Winkel dieser Dreiecke bei A0
beziehungsweise B überein, die Gerade BC scheidet A0 B 0 und AB also im selben Winkel und somit sind A0 B 0 und AB nach dem Stufenwinkelsatz §1.Satz 34.(a) parallel.
Die beiden anderen Parallelitätsaussagen ergeben sich analog.
2.3
Einige spezielle Punkte im Dreieck
Mit den speziellen Punkten“ in einem Dreieck sind Punkte gemeint die in irgendeiner
”
kanonischen Weise geometrisch aus dem Dreieck heraus konstruiert werden können,
also beispielsweise der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden oder der Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten. Wir behandeln hier hauptsächlich die vier wichtigsten von diesen,
und dies sind die jeweiligen Schnittpunkte der Seitenhalbierenden, der Winkelhalbierenden, der Mittelsenkrechten und der Höhen. Dies hängen eng mit dem Innkreis und
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dem Umkreis eines Dreiecks zusammen. Den Satz über den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden haben wir dabei bereits in §1 als ein Beispiel zum Satz von Ceva bewiesen,
wir wollen ihn jetzt nur noch einmal in der inzwischen eingeführten Sprache formulieren.
Satz 2.10 (Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden)
Sei ABC ein Dreieck mit Mittendreieck A0 B 0 C 0 . Dann schneiden die drei Seitenhalbierenden AA0 , BB 0 und CC 0 sich in einem Punkt Sm und dieser zerlegt diese Strecken
jeweils im Verhältnis 2 : 1, d.h. es gelten
2|Sm A0 | = |ASm |, 2|Sm B 0 | = |BSm | und 2|Sm C 0 | = |CSm |.
Beweis: Dass die drei Seitenhalbierenden kopunktal haben wir bereits in §1.3 gesehen.
Dort haben wir auch (CSm C 0 ) = 2 gezeigt und nach §1.Lemma 27 liegt Sm zwischen C
und C 0 und es gilt |CSm |/|Sm C 0 | = (CSm C 0 ) = 2 also |CSm | = 2 · |Sm C 0 |. Die anderen
beiden Behauptungen ergeben sich analog.
Man nennt den Schnittpunkt Sm der Seitenhalbierenden eines Dreiecks ∆ auch den
Schwerpunkt von ∆. In §1.3 hatten wir auch gesehen das sich der Schwerpunkt in
baryzentrischen Koordinaten als
Sm =
1
1
1
A+B+C
= A+ B+ C
3
3
3
3
schreiben läßt.
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